eqe 002 otimizaÇÃo em engenharia quÍmica 27 de agosto de 2013 tópicos 1 a 6
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EQE 002EQE 002
OTIMIZAÇÃO EM ENGENHARIA OTIMIZAÇÃO EM ENGENHARIA QUÍMICAQUÍMICA
27 de agosto de 2013
Tópicos 1 a 6
CONTEXTO DA DISCIPLINA
Área da Engenharia Química dedicada ao Projeto de Processos Químicos
ENGENHARIA DE PROCESSOS
Esta disciplina de Otimização em Engenharia Química se desenvolve no contexto da
O conjunto de ações desenvolvidas
DesdeA decisão de se produzir um determinado produto químico
AtéUm plano bem definido para a construção e a operação da instalação industrial.
É um conjunto numeroso e diversificado de ações !!!
PROJETO
ANÁLISE SÍNTESE
SELEÇÃO DA ROTA QUÍMICA
PROJETO
(a) escolha de um equipamento para cada tarefa.(b) definição da fluxograma do processo.
(a) previsão do desempenho do processo.(b) avaliação do desempenho do processo.
Esse conjunto compreende três sub-conjuntos que interagem:
SELEÇÃO DAROTA QUÍMICA
Investigar mercado para o produto
Investigar reagentesplausíveis
Investigar a disponibilidade
das matérias primas
Definir as condições das reações e
identificar os sub-produtos gerados
SÍNTESE
Estabelecer o número e o tipo
dos reatores
Definir o número e o tipo dos
separadores
Definir o número e o tipo de
trocadores de calor
Estabelecer malhas de controle
Definir o fluxograma do
processo
ANÁLISE
Calcular o consumo de utilidades
Calcular a vazão das correntes
intermediárias
Calcular as dimensões dos equipamentos
Calcular o consumo dos insumos
Calcular o consumo de matéria prima
Avaliar a lucratividadedo processo
O PROJETO É CARACTERIZADO PELA
MULTIPLICIDADE DE SOLUÇÕES
Equipamentos disponíveis para a geração do fluxograma de um processo
RM
Reator demistura
RT
Reator tubular
DS
Coluna de destilaçãosimples
DE
Coluna de destilaçãoextrativa
A
Aquecedor
R
Resfriador
T
Trocador deIntegração
A Síntese consiste em combinar esses equipamentos formando todos os fluxogramas plausíveis em busca do melhor.
Um problema com multiplicidade de soluções
MULTIPLICIDADE NA SÍNTESE
DS
RM
R
A
A,B
P,A
P
A
(7)
RM
A,B
P,A
DS
P
A
T
(8)
RM
R
A
A,B
P,A
P
A
DE
(9)
DSRT RAA,B A,P
P
A
(11)
RM
A,B
P,A
P
A
T DE
(10)
DSRT A,P
P
A
T
A,B
(12)
RT RAA,B A,P
P
A
DE
(13)
RT A,P
P
A
T
A,B
DE
(14)
Na Síntese, as soluções são fluxogramas
Um número finito de soluções viáveis
EXPLOSÃO COMBINATÓRIA !!!
Podendo ocorrer uma
Modelo1. Q* (xo
* - x1) - W1 y1 = 02. y1 - k x1 = 03. Q* (x1 - x2) - W2 y2 = 04. y2 - k x2 = 0
Balanço de Informação: V = 8, N = 4, C = 2, M = 0 G = 2 (otimização)Variáveis de Projeto: x1, x2
MULTIPLICIDADE NA ANÁLISE
rafinado
x1 kgAB/kg A ?
W1 kg B/h ?
y1 kg AB/kg B ?extrato
W1 kg B/h ?
Q = 10.000 kgA/h
y2 kg AB/kg B ?extrato
W2 kg B/h ?
Q = 10.000 kgA/hx2 kgAB/kgA ?
W2 kg B/h ?
rafinado
Q* = 10.000 kgA/hxo
*= 0,02 kg AB/kg A1 2
alimentação
Cada par (x1,x2) é uma solução fisicamente viável
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
02468
101214161820
0,002
0,004
0,006
0,008
0,010
0,012
0,014
0,016
0,018
0,020
MULTIPLICIDADE NA ANÁLISE
Variáveis contínuas: uma infinidade de soluções viáveis
Na Análise, as soluções são pares de valores x1,x2
A multiplicidade de soluções de um problema acarreta o seguinte:
Multiplicidade de Soluções
Exige a busca da Otimização
Solução Ótima
através de
Campo da Matemática dedicado ao desenvolvimento de
métodos de busca da solução ótima de um problema
OTIMIZAÇÃO
Ação de buscar a solução ótima de um problema
Palavra com dois significados:
Fonte da complexidademultiplicidade de soluções nos três níveis
Nível Tecnológico: determinação da melhor rota química.
Nível Paramétrico (Análise): determinação das dimensões ótimas de equipamentos e correntes.
Nível Estrutural (Síntese): determinação do fluxograma ótimo.
Otimização Tecnológica
Otimização Estrutural
Otimização Numérica
O Projeto de Processos pode ser identificado como um problema complexo de otimização
COMO RESOLVER?
MÉTODOS DE
INTELIGÊNCIA ARTIFICIAL
Nível TecnológicoSeleção de uma Rota
Fluxograma ?Dimensões ?
Nível EstruturalSíntese de um
FluxogramaDimensões ? Lucro?
Nível NuméricoAnálise do Fluxograma
Dimensionamentodos Equipamentos
e das Correntes. Lucro.
RaizRota Química ?Fluxograma ?Dimensões ?
Busca Orientada por Árvore de Estados
P?? ?
D+E P+FD,E P,F
??
A+B P+CA,B P,C
??
1 PAB Cx
?
T D
2PA
B Cx
?T A
P3DE Fx
?
DM
PF
4DE x
?
M E
L
x
6
x o = 3x*
8
L
xx o = 4x*
L
10
xx o = 6x*
L
x
7
x o = 5x*
P?? ?
D+E P+FD,E P,F
??
L
x4
10
?
P3DE Fx
Nível TecnológicoSeleção de uma Rota
Fluxograma ?Dimensões ?
Nível EstruturalSíntese de um
FluxogramaDimensões ? Lucro?
Nível NuméricoAnálise do Fluxograma
Dimensionamentodos Equipamentos
e das Correntes. Lucro.
Reagentes: D,E. Fluxograma: 3. Valor de x: 4 demais dimensões.
RaizRota Química ?Fluxograma ?Dimensões ?
Solução do Problema de Projeto por Busca Orientada
Vantagem
Varre todas as soluções sem repetições
sem omitir a ótima
Desvantagem
Explosão Combinatória(outros métodos)
Solução Ótima:
Interesse deste capítulo
INÍCIO DO CAPÍTULO
O seu contexto, na Engenharia de Processos é na
Análise de Processos
Este Capítulo trata da
OTIMIZAÇÃO NUMÉRICA
ANÁLISE
Calcular o consumo de utilidades
Calcular a vazão das correntes
intermediárias
Calcular as dimensões dos equipamentos
Calcular o consumo dos insumos
Calcular o consumo de matéria prima
Avaliar a lucratividadedo processo
1. Conflitos em Otimização2. Origem do Problema de Otimização Numérica3. Elementos Comuns em Problemas de Otimização 3.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 3.2 Critério 3.3 Função Objetivo 3.4 Restrições 3.5 Região Viável4. Localização da Solução Ótima5. Problemas e Métodos de Otimização6. Método Analítico 6.1 Problemas univariáveis 6.2 Problemas multivariáveis.
OTIMIZAÇÃO NUMÉRICA
Todo problema de Otimização encerra um conflito.
A solução ótima é o ponto de equilíbrio entre os fatores conflitantes
A vazão ótima é o ponto de equilíbrio entre os fatores conflitantes
R
C
0
10
20
30
40
50
60
L,R,C$/a
Lo=15,6
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
W kg/hWo = 1.973,6
L = R - C
Exemplo
No extrator, a vazão de solvente afeta o Lucro de forma conflitante.
- aumenta o consumo de solvente. Logo, aumenta o Custo operacional.
- aumenta a recuperação de soluto. Logo, aumenta a Receita.
Com o aumento da vazão:
Até à vazão ótima, a Receita cresce mais rapidamente e o Lucro aumenta. Após a vazão ótima, o Custo cresce mais rapidamente e o Lucro diminui.
W kg B/h ?
Q = 10.000 kgA/h
rafinado
y kg AB/kg B
xo= 0,02 kg AB/kg A
(extrato)
x kgB/kgA
EXTRATOR
B: benzeno (solvente)
A : água
AB: ácido benzóico (soluto)
Vazão ótima Lucro máximo
1. Conflitos em Otimização2. Origem do Problema de Otimização Numérica3. Elementos Comuns em Problemas de Otimização 3.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 3.2 Critério 3.3 Função Objetivo 3.4 Restrições 3.5 Região Viável4. Localização da Solução Ótima5. Problemas e Métodos de Otimização6. Método Analítico 6.1 Problemas univariáveis 6.2 Problemas multivariáveis.
OTIMIZAÇÃO NUMÉRICA
W4 = 60.000 kg/h
A = 360 m2
W2 = 60.000 kg/h
1 3
2
4
W1*= 36.345 kg/h
T1* = 80 oC
T2* = 15oC
W3 = 36.345 kg/h
T3* = 25oC
T4* = 30oC
Problema : quanto se deve fornecer de área de troca térmica e de água de resfriamento a um trocador de calor para resfriar a corrente 1 de 80oC a 25oC, utilizando água a 15oC e limitando a sua saída a 30oC.
Este tipo de problema é chamado deProblema de Dimensionamento
Generalizando...
W4 = 60.000 kg/h
A = 360 m2
W2 = 60.000 kg/h
1 3
2
4
W1*= 36.345 kg/h
T1* = 80 oC
T2* = 15oC
W3 = 36.345 kg/h
T3* = 25oC
T4* = 30oC
1 3
2
4
dQ3 C3
*
Q2 C2*
Q1* C1
*
Q4 C4*
As variáveis do problema podem ser classificadas em:Conhecidas: vazão e condição da corrente processada, condição da corrente auxiliar: W1
* , T1* , T2
*
Metas (de projeto e operação): a serem atendidas à saída do equipamento: T3
*, T4*
Calculadas ou Incógnitas: calculadas para proporcionar as metas: dimensão e vazão da corrente auxiliar: A, W2
Ela decorre do fato de que um sistema de equações pode ser:
- inconsistente (sem solução) - consistente
- determinado (solução única)- indeterminado (infinidade de soluções)
Exemplo trivial: solução de um sistema de duas equações lineares
y
x
Consistente determinadoInconsistente Consistente indeterminado
y
x
paralelas
y
x
coincidentes
Balanço de Informação
O Balanço de Informação é uma análise prévia da consistência de um problema.
Número de Incógnitas: I = V - E
Número de equações independentes: N
Número Total de Variáveis: V
Número de Variáveis Especificadas: E = C + MC: Variáveis Conhecidas e M: Metas de Projeto
Os Graus de Liberdade (G) dependem dos seguintes elementos encontrados no sistema de equações:
O Balanço de Informação consiste no cálculo dosGraus de Liberdade do problema
1. F z1 = V y1 + L x1
2. F z2 = V y2 + L x2 3. z1 + z2 = 14. y1 + y2 = 15. x1 + x2 = 16. F = V + L
Esse sistema é formado por 6 equações dependentes:qualquer uma pode ser obtida a partir das demais. Ex:Somando 1 + 2 F (z1 + z2) = V (y1 + y2) + L (x1 + x2).Usando 3, 4 e 5 F = V + L, que é a equação 6.
As cinco primeiras formam um sistema de equações independentes.Elas são suficientes para resolver qualquer problema relativo ao sistema.
Equações IndependentesNão resultam da combinação das demais
F,z1,z2
V,y1,y2
L,x1,x2
É possível formar 6 conjuntos de 5 equações. Cada um deles constitui um sistema de equações independentes.
Ex.: em processos de separação:
A equação 6 torna-se supérflua para fins de resolução do problema, maspode ser usada para conferir a solução obtida.
Número de Incógnitas: I = V - E
Número de equações independentes: N
Número Total de Variáveis: V
Número de Variáveis Especificadas: E = C + MC: Variáveis Conhecidas e M: Metas de Projeto
.
Os Graus de Liberdade (G) dependem dos seguintes elementos encontrados no sistema de equações:
G = I – N = (V - E) – N = V - N - E
O Balanço de Informação consiste no cálculo dos Graus de Liberdade do problema
Explicando melhor através de alguns exemplos
G = V - E - N
Exemplo 1
x1
x2
x3
x4c
x5c
x6m
x7m
1
2
3
Sistema consistente determinadoSolução única
y
x
N = 3
V = 7C = 2
M = 2
E = 4
G = V - E - N = 7 - 4 - 3 = 0
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
L
7xpx7m
0
100
200
300
400
500
y
x
x1
x2
x3
x4c
x5c
x6m
x7m
1
2
3
x1
x2
x3
x4c
x5c
x6m
x7
1
2
3
Exemplo 2
y
x
coincidentes
Metas insuficientes, incógnitas em excessoSistema consistente indeterminado
(infinidade de soluções)(uma há que ser apresentada)
G = V – E – N = 7 - 3 - 3 = 1
V = 7
N = 3
C = 2
M = 1
E = 3
x1
x2
x3
x4c
x5c
x6m
x7
1
2
3
x4c
x5c
x1
x2
x3
x6m
x7p
1
2
3
Para se obter uma das soluções, é preciso escolher uma das incógnitas e lhe atribuir um valor.
A variável escolhida é denominadavariável de projeto.
O critério de escolha se baseia na minimização doesforço computacional.
Cabe ao projetista a liberdade de escolher essa incógnita e o seu valor. Por exemplo: x7.
x1
x2
x3
x4c
x5c
x6m
x7p
1
2
3
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
L
7xpx7m
0
100
200
300
400
500
A cada valor corresponde uma solução viável e um valor para o Lucro.
Se a variável for contínua, haverá uma infinidade de soluções viáveis (indeterminado).
Qualquer outro valoratribuído como metaproduziria uma soluçãopior do que a ótima.
Ele deve escolher o valor que corresponde ao Lucro Máximo (solução ótima).
y
x
coincidentes
Exemplo 3
Sistema InconsistenteExcesso de metas ou de equaçõesNão há solução
1
2
3
x1
x2
x3m
x4c
x5c
x6m
x7m
E = 5
G = V – E – N = 7 - 5 - 3 = - 1
y
x
paralelasN = 3
V = 7C = 2
M = 3
Resumindo
O Balanço de Informação consiste no cálculo dos Graus de Liberdadedo problema: G = V – N - E (E = C + M).
Em função dos Graus de Liberdade, o problema pode ser:
- inconsistente (G < 0 : sem solução) - consistente
- determinado (G = 0 : solução única)- indeterminado (G > 0 : infinidade de soluções otimização)
Problemas de dimensionamento podem ser determinados (G = 0) ouindeterminados (G > 0, otimização).
Problemas de simulação são determinados (G = 0).(se impomos as entradas, a natureza não nos dá liberdade de escolha das saídas).
EM RESUMO
Insuficiência de metas gera graus de liberdade
Graus de liberdade geram multiplicidade de soluções
A multiplicidade de soluções exige a busca da solução ótima
A busca de solução ótima se dá por um processo de otimização
1. Conflitos em Otimização2. Origem do Problema de Otimização Numérica3. Elementos Comuns em Problemas de Otimização 3.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 3.2 Critério 3.3 Função Objetivo 3.4 Restrições 3.5 Região Viável4. Localização da Solução Ótima5. Problemas e Métodos de Otimização6. Método Analítico 6.1 Problemas univariáveis 6.2 Problemas multivariáveis.
OTIMIZAÇÃO NUMÉRICA
3.1 Variáveis de Decisão (ou Variáveis Manipuladas)
3.2 Critério
3.3 Função Objetivo
3.4 Restrições
3.5 Região Viável
3. ELEMENTOS COMUNS EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO NUMÉRICA
Todo problema de otimização exibe os seguintes elementos, qualquerque seja a sua área de aplicação.
3.2 Critério
3.3 Função Objetivo
3.4 Restrições
3.5 Região Viável
3. ELEMENTOS COMUNS EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO
Todo problema de otimização exibe os seguintes elementos qualquerque seja a sua área de aplicação.
3.1 Variáveis de Decisão (ou Variáveis Manipuladas)
3.1 Variáveis de Decisão (ou Variáveis Manipuladas)
São as variáveis manipuladas pelo método de otimização durante a busca da solução ótima.
Na Engenharia de Processos são chamadas de Variáveis de Projeto.
Resultam da liberdade conferida ao projetista pela insuficiência de metas de projeto
INCÓGNITAS
L
AVALIAÇÃO
ECONÔMICA
Vd,A
e,A
c,A
r
VARIÁVEIS DE PROJETO
r,T9,T
12OTIMIZAÇÃO
W4,W
6,W
8,W
11,W
14
MODELO
FÍSICO
VARIÁVEIS ESPECIFICADAS
W1
x11
,x14
T1,T
2,T
5,T
6,T
7,T
8,T
10,T
11,T
14,t
O módulo de Otimização arbitra sucessivos valores das variáveis de projeto até o Lucro alcançar o seu valor máximo.
x1
x2
x3
x4c
x5c
x6m
x7
1
2
3
y
x
coincidentes
Metas insuficientes, incógnitas em excessoSistema consistente indeterminado
(infinidade de soluções)
G = V – E – N = 7 - 3 - 3 = 1
V = 7
N = 3
C = 2
M = 1
E = 3
Há que se escolher uma solução
Para se obter uma das soluções, é preciso especificar uma das 4 incógnitas.
O critério de escolha se baseia na minimização do esforço computacional e foi abordado no Capítulo 3
(Algoritmo de Ordenação de Equações).
o projetista tem a liberdade de escolher essa incógnita. Por exemplo: x7 (variável de projeto).
G = V – E – N = 7 - 3 - 3 = 1
x1
x2
x3
x4c
x5c
x6m
x7
1
2
3x7p
x1
x2
x3
x4c
x5c
x6m
x7p
1
2
3
x7m0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
L
7xp
0
100
200
300
400
500
A cada valor de x7p
corresponde uma solução viável x1, x2, x3 e um valor para o Lucro.
Se a variável for contínua, haverá umainfinidade de soluções viáveis (indeterminado).
Sem imposições, o projetista também tem a liberdade de escolher o valor da variável de projeto.
Qualquer outro valoratribuído como metaproduziria uma soluçãopior do que a ótima.
Ele deve escolher o valor que corresponde ao Lucro Máximo (solução ótima).
x1
x2
x3
x4c
x5c
x6m
x7p
1
2
3
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
L
7xpx7m
0
100
200
300
400
500
Ou seja, em problemas indeterminados, o projetista tem a oportunidade de apresentar a Solução Ótima !
y
x
coincidentes
As variáveis de projeto são escolhidas dentre as não-especificadas.
Modelo Matemático
1. Q (xo - x) - W y = 0
2. y - k x = 0
Balanço de Informação
V = 5, N = 2, C = 2, G = 1
(candidatas: x, y, W)
W kg B/h
Q = 10.000 kgA/h
rafinado
y kg AB/kg B
xo= 0,02 kg AB/kg A
extrato
x kgB/kgA
Exemplo: otimização do extrator
W? x? y?
R
C
0
10
20
30
40
50
60
L,R,C$/a
Lo=15,6
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
W kg/hWo = 1.973,6
L = R - C
0,006 0,008 0,010 0,012 0,014 0,016 0,018 0,0200
10
20
30
40
50
60
L,R,C$/a
x kgAB/kg A
L
C
R
xo = 0, 01118
Lo = 15,6
xo*
1
y
x
W2
Q*
xo*
1
y
x
W
2
Q*
Variável de Projeto: W1. Q (xo - x) - W y = 02. y - k x = 0
Variável de Projeto: x1. Q (xo - x) - W y = 02. y - k x = 0
A solução ótima independe da variável de projeto escolhida
Wo = 1.972,3
xo = 0,01118 yo = 0,04472Lo = 15,6 $/h
xo = 0,01118 yo = 0,04472Wo = 1.972,3 Lo = 15,6 $/h
O Algoritmo de Ordenação de Equações conduz à escolha acertada
Escolha feliz !Ciclo aberto por x (o mesmo p/ y)Sequência de cálculo acíclica:2. y = k x1. W = Q (xo - x)/y
Variável de Projeto: x1. Q (xo - x) - W y = 02. y - k x = 0
xo*
1
y
x
W
2
Q*
Variável de Projeto: W1. Q (xo - x) - W y = 02. y - k x = 0
Escolha infeliz !Sequência de cálculo cíclicaOtimização com cálculo iterativo
xo*
1
y
x
W2
Q*
Mas a escolha afeta o esforço computacional envolvido na otimização
3.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas)
3.3 Função Objetivo
3.4 Restrições
3.5 Região Viável
3 ELEMENTOS COMUNS EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO
São os elementos presentes em qualquer problema de otimização,independentemente da área de aplicação.
Devem ser identificados e analisados antes de se iniciar a resolução doproblema
3.2 Critério
A busca da solução ótima tem que ser norteada por um critério.
O critério mais comum é econômico
3.2 Critério
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
L
0
100
200
300
400
500
Maximização do Lucro
x7o
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
L
0
100
200
300
400
500
R
C
L
Minimização do Custo(produção fixa Receita constante)
x7o
Outros critérios adotados: segurança e controlabilidade.
A solução ótima segundo um critério pode não ser a ótima segundo umoutro critério. Por exemplo: a solução mais econômica pode não ser a
mais segura. E vice-versa.
Dois ou mais critérios podem ser utilizados simultaneamente com pesosdiferentes (otimização com objetivos múltiplos)
3.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas)
3.2 Critério
3.4 Restrições
3.5 Região Viável
3. ELEMENTOS COMUNS EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO
São os elementos presentes em qualquer problema de otimização,independentemente da área de aplicação.
3.3 Função Objetivo
3.3 Função Objetivo
(c ) Convexidade: côncava ou convexa.
É a expressão matemática do critério de otimização descrita em termos das variáveis físicas do problema.
A sua caracterização é fundamental para a resolução do problema de otimização.
(a) Continuidade: contínua, contínua com descontinuidade na derivada, descontínua ou discreta.
Pode ser classificada quanto à:
(b) Modalidade: unimodal, multimodal.
Pode assumir formas das mais simples às mais complexas.
3.3 Função Objetivo(a) Continuidade
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
y
x
Função Contínua0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
y
x
Função Contínua comdescontinuidade na derivada
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
y
x
Função Descontínua0 2 4 6 8 10
0
2
4
6
8
10
y
xFunção Discreta
Os parâmetros da função dependem da
faixa de x
A função só existe para valores inteiros de x
3.3 Função Objetivo(b) Modalidade
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
y
x
Função Unimodal em 1 Dimensão Função Unimodal em 2 Dimensões
-1,0-0,8-0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
-1,0-0,8
-0,6-0,4
-0,20,00,20,40,60,81,0
f
X1
Função Bimodal em 1 Dimensão
1 2 3 4 5 6
200
205
210
215
220
y
x
A
B
C
D
E
F
3.3 Função Objetivo(b) Modalidade
Função Bimodal em 2 Dimensões
0
1
2
3
4
5
6
-2,0-1,5
-1,0-0,5
0,00,5
1,01,5
2,02,5
3,0
-1
0
1
2
3
4
f
x1
x 2
ABC
Incerteza quanto ao ótimo global
C, E: máximos locaisA: máximo global
B, D: mínimos locaisF: mínimo global
B: mínimo localF: mínimo globalC: ponto de sela
Função côncava: o valor dado pela função é superior ao dado pela reta. y[(1-a) x1 + a x2] > (1-a) y(x1) + a y(x2)
3.3 Função Objetivo(c ) Convexidade (funções univariáveis)
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
y
xx1 x2(1-a)x1+ ax2
y[(1-a) x1 + a x2]
(1-a) y(x1) + a y(x2)
0 a 1
3.3 Função Objetivo(c ) Convexidade (funções univariáveis)
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
y
xx1 x2(1-a)x1+ ax2
y[(1-a) x1 + a x2]
(1-a) y(x1) + a y(x2)
0 a 1
limite inferior para o máximo
Função convexa: o valor dado pela função é inferior ao dado pela reta: y[(1-a) x1 + a x2] < (1-a) y(x1) + a y(x2)
3.3 Função Objetivo(c ) Convexidade (funções univariáveis)
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5y
xx1x2
(1-a)x1+ ax2
y[(1-a) x1 + a x2]
(1-a) y(x1) + a y(x2)
0 a 1
limite superior para o mínimo
Concavidade (negativa) e Convexidade (positiva) de funções univariáveis podem ser determinadas pelo sinal da segunda derivada
da função no ponto extremo.
3.3 Função Objetivo(c ) Convexidade (funções multivariáveis)
Para funções multivariáveis, a convexidade encontra-se relacionada aos seus
Valores Característicos
Equação Característica
que são as raízes da sua
jxix
f
2
ijf
f11
f12
H(x) = f
21f
22
Matriz Hessiana
f11
f12
f21
f22
-
- = 0det
Equação Característica:
Os Valores Característicos são as raízes desta equação.
2 – (f11 + f22) + (f11f22 – f12f22) = 0
Para uma função qualquer de duas variáveis para a qual existem as derivadas primeiras e segundas, existe uma
Ilustração com Funções Quadráticas (simetria)
3.3 Função Objetivo(c ) Convexidade (funções multivariáveis)
f(x) = bo + b1 x1 + b2 x2 + b11 x12 + b22 x2
2 + b12 x1 x2
Assumem formas diversas em função dos valores dos coeficientes
-1,0-0,8-0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
-1,0-0,8
-0,6-0,4
-0,20,00,20,40,60,81,0
f
X2
X1-1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
-1,0
-0,8
-0,6-0,4-0,20,00,20,40,60,81,0
f
-1,0-0,8-0,6-0,4-0,2
0,00,2
0,40,6
0,81,0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
-1,0-0,8
-0,6-0,4
-0,20,0
0,20,4
0,60,8
1,0
f
-1,0-0,8-0,6
-0,4-0,2
0,00,2
0,40,6
0,81,0-1,0
-0,8-0,6
-0,4-0,20,00,20,40,60,81,0
0
-0,80-0,50
-0,20
-0,20
-0,50
0,10
0,10
-0,80-1,1
-1,1
0,40
0,40
-1,4
-1,4
0,70
0,70
-1,7-1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
x 2
X1
estritamente convexa
convexa
estritamente côncava
côncava
ponto de sela
1 ,
2H ( x ) f ( x )
1
> 0 , 2
> 0 positiva definida
1 > 0 ,
2 = 0 positiva semi-definida
1
< 0, 2
< 0 negativa definida
1
< 0, 2
= 0 negativa semi-definida
1
> 0 , 2
< 0 indefinida
1 > 0 : 2 > 0
1 > 0 : 2 = 0
1 < 0 : 2 < 0
1 < 0 : 2 = 0 1 < 0 : 2 < 0
Exemplo de uma função não quadrática
1 2
Q = 10.000 kgA/h
x = 0,02 kgAB/kgAo
W1
kgB/hW2
kgB/h
y1
kgAB/kgBy2
kgAB/kgB
x1
x2
kgAB/kgAkgAB/kgA
Modelo Matemático1. Q(xo - x1) - W1 y1 = 02. y1 - k x1 = 03. Q(x1 -x2) - W2 y2 = 04. y2 - k x2 = 0
Avaliação EconômicaL = R - CR = pAB (W1 y1 + W2 y2 )C = pB (W1 + W2)pAB = 0,4 $/kgAB : pB = 0,01 $/kgB
Balanço de Informação: V = 8; N = 4; C = 2; G = 2 (otimização)
Dimensionamento de 2 extratores em série
1 2
Q = 10.000 kgA/h
x = 0,02 kgAB/kgAo
W1
kgB/hW2
kgB/h
y1
kgAB/kgBy2
kgAB/kgB
x1
x2
kgAB/kgAkgAB/kgA
Variáveis de Projeto: x1 e x2
Escrevendo o Lucro em função de x1 e x2
x1dcx2
baL ---=
x2x1
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
02468
101214161820
0,002
0,004
0,006
0,008
0,010
0,012
0,014
0,016
0,018
0,020
2
12
1 x
xdcx
x
baL ---=
Exemplo de Função Não-Quadrática(Lucro de 2 extratores em série)
3.3 Função Objetivo
Função Bimodal em 2 Dimensões
0
1
2
3
4
5
6
-2,0-1,5
-1,0-0,5
0,00,5
1,01,5
2,02,5
3,0
-1
0
1
2
3
4
ABC
Ponto C : x1 = 0,6 : x2 = 1,4 : f = 3,3 1 = 7 : 2 = -2,3
Ponto A: x1 = -1 : x2 = 1 : f = 01 = 10,6 : 2 = 3,4
Ponto B: x1 = 2 : x2 = 4 : f = 1.5 1 = 37 : 2 = 1
3.1 Variáveis de Decisão
3.2 Critério
3.3 Função Objetivo
3.5 Região Viável
3. ELEMENTOS COMUNS EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO
São os elementos presentes em qualquer problema de otimização,independentemente da área de aplicação.
3.4 Restrições
3.4 Restrições
São os limites impostos pelas leis naturais às variáveis do processo.
(b) restrições de desigualdade: g (x) 0 São os limites impostos às Variáveis de Projeto
(a) restrições de igualdade : h(x) = 0 São as equações do próprio modelo matemático.
Há dois tipos de restrições:
Min f(x) Função Objetivo x Variável de Projetos.a.: g(x) 0 Restrições de desigualdade h(x) = 0 Restrições de Igualdade
Enunciado Formal de um Problema de Otimização
Max L(x) = R - Cs.a.:
W kg B/h
Q = 10.000 kgA/h
rafinado
y kg AB/kg B
xo= 0,02 kg AB/kg A
extrato
x kgB/kgA
h1 (x) = Q (xo - x) - W y = 0h2 (x) = y - k x = 0
g(x) = x - xo 0
Exemplo: otimização do extrator
A presença de restrições pode alterar a solução de um problema
0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0
0,5
1,0
1,5
2,0
1.0
0,80,6
0,4
B
A
h(x) = 0
x1
x2
f x x x x( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 1 1 1 1 112
1 2 22
h x x( ) ,x 12
22 0 25 0
3.4 Restrições (a) Restrições de Igualdade (solução sobre a curva)
Solução Irrestrita: ASolução Restrita : B
g2(x) = x1 0g3(x) = x2 0
0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0
0,5
1,0
1,5
2,0 0,4
0,6
0,8
1,0A
B
C
h(x) = 0
x1
x2
f x x x x( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 1 1 1 1 112
1 2 22
h x x( ) , ( ) ,x 2 122 1 1 0 1 0
Solução Irrestrita: ASolução Restrita : BC é um máximo local
g2(x) = x1 0g3(x) = x2 0
0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0
0,5
1,0
1,5
2,0
1.0
0,80,6
0,4
B
A
h2(x) = 0
h1(x)=0
x1
x2
f x x x x( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 1 1 1 1 112
1 2 22
h x x1 12
22 0 25 0( ) ,x
h x x2 12
22 0 25 0( ) ,x Solução Irrestrita: A
Solução Restrita : B (restrições compatíveis)
g2(x) = x1 0g3(x) = x2 0
0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0
0,5
1,0
1,5
2,0
1.0
0,80,6
0,4
B
A
h2(x) = 0h1(x)=0
x2
x1
f x x x x( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 1 1 1 1 112
1 2 22
h x x1 12
22 0 25 0( ) ,x
h x x2 1 2 1 0( )x Solução irrestrita: ASolução restrita: impossível( restrições incompatíveis)
g2(x) = x1 0g3(x) = x2 0
f x x x x( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 1 1 1 1 112
1 2 22
g x x1 12
22 0 25 0( ) ,x = + -
3.4 Restrições (b) Restrições de Desigualdade (fronteira e interior de regiões)
g2(x) = x1 0g3(x) = x2 0
Solução irrestrita: ASolução restrita : B
0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0
0,5
1,0
1,5
2,0
x21.0
0,80,6
0,4
B
A
x1
f x x x x( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 1 1 1 1 112
1 2 22
0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0
0,5
1,0
1,5
2,0
x2
x1
1.0
0,80,6
0,4
B
A
g x x1 12
22 0 25 0( ) ,x = + -
g2(x) = x1 0g3(x) = x2 0
Solução irrestrita: ASolução restrita : A
f x x x x( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 1 1 1 1 112
1 2 22
0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0
0,5
1,0
1,5
2,0
x2
x1
0,40,6
0,8
1,0A
g (x)2
g (x)1
B
g x x1 12
22 1 0( )x
g x x2 12
22 4 0( )x
g3(x) = x1 0g4(x) = x2 0
Solução irrestrita : ASolução restrita : B
f x x x x( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 1 1 1 1 112
1 2 22
g x x1 12
22 1 0( )x
g x x2 12
22 4 0( )x
0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0
0,5
1,0
1,5
2,0
x2
x1
0,40,6
0,8
1,0A
g (x)1
g (x)2C
g3(x) = x1 0g4(x) = x2 0
Solução irrestrita: ASolução restrita : C
0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0
0,5
1,0
1,5
2,0
x2
x1
0,40,6
0,8
1,0A
g (x)1
g (x) 2
f x x x x( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 1 1 1 1 112
1 2 22
g x x2 12
22 4 0( )x
g x x1 12
22 1 0( )x
g3(x) = x1 0g4(x) = x2 0
Solução irrestrita: ASolução restrita : A
0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0
0,5
1,0
1,5
2,0
x2
x1
0,40,6
0,8
1,0A
g (x)1
g (x)2
f x x x x( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 1 1 1 1 112
1 2 22
g x x1 12
22 1 0( )x
g x x2 12
22 4 0( )x
g3(x) = x1 0g4(x) = x2 0
Solução impossívelRestrições incompatíveis
3.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas)
3.2 Critério
3.3 Função Objetivo
3.4 Restrições
3. ELEMENTOS COMUNS EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO
São os elementos presentes em qualquer problema de otimização,independentemente da área de aplicação.
3.5 Região Viável
3.5 Região Viável
h(x) = 0
g(x) 0
x1
x2
x3
Busca restrita ao interior da elipse (restrição de desigualdade g(x) 0) que se encontra sobre o plano (restrição de igualdade h(x) = 0)
Região do espaço delimitada pelas restrições de igualdade e de desigualdade à qual se restringe a busca da solução ótima.
Max f(x)s.a.: h(x) = 0 g(x) 0
Exemplo: encontrar o aluno de maior CR neste piso, nesta sala
Região ConvexaQualquer par de pontos pode ser unido por uma reta totalmente contida na região.
0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0
0,5
1,0
1,5
2,0
x2
x1
g (x)1
g (x)2
g (x) 3
A
B
g x x1 12 2
222 2 4 0( ) ( ) ( )x
g x x x2 12
22 4 0( )
g (x) (x 2) x 4 03 12 2
3.5 Região Viável Convexidade
A convexidade garante a convergência dos métodos de otimização
Região Não - ConvexaA reta que une A e B não
permanece contida na região
g (x) x x 4 01 12
22
2 1 2g (x) x (x 2) 4 02 2= + - -
g x x x3 12
221 1 0( ) ( )
0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0
0,5
1,0
1,5
2,0
x2
x1
g (x)1
g (x)2
g (x)3
B
A
É o maior desafio da otimização
A não-convexidade não garante a convergência dos métodos de otimização
3.5 Região Viável Convexidade
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
02468
101214161820
0,002
0,004
0,006
0,008
0,010
0,012
0,014
0,016
0,018
0,020
Restrições podem ser lineares:x1 – 0,02 0x2 – x1 0
1. Conflitos em Otimização2. Origem do Problema de Otimização Numérica3. Elementos Comuns em Problemas de Otimização 3.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 3.2 Critério 3.3 Função Objetivo 3.4 Restrições 3.5 Região Viável4. Localização da Solução Ótima5. Problemas e Métodos de Otimização6. Método Analítico 6.1 Problemas univariáveis 6.2 Problemas multivariáveis.
OTIMIZAÇÃO NUMÉRICA
4. Localização da Solução Ótima
Pontos estacionários, descontinuidades das derivadas e fronteiras do intervalo.
Máximos (M) e Mínimos (m) locais e globais
Localização de valores extremos na faixa x1 x x2
0 5 10 15 20
1
2
3
4
5
x
f(x)
m
m
M
M
M
x1 x2
1. Conflitos em Otimização2. Origem do Problema de Otimização Numérica3. Elementos Comuns em Problemas de Otimização 3.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 3.2 Critério 3.3 Função Objetivo 3.4 Restrições 3.5 Região Viável4. Localização da Solução Ótima5. Problemas e Métodos de Otimização6. Método Analítico 6.1 Problemas univariáveis 6.2 Problemas multivariáveis.
OTIMIZAÇÃO NUMÉRICA
(a) Quanto ao número de variáveis: - Univariáveis ou Multivariáveis(b) Quanto à presença de restrições: - Irrestritos ou Restritos
5. PROBLEMAS E MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO
(b) Quanto ao tipo de informação utilizada: - Diretos: utilizam apenas o valor da função objetivo. - Indiretos: utilizam, também, os valores das suas derivadas.
À luz dos conceitos apresentados os problemas de otimização podemser classificados:
(a) Quanto à natureza: - Analítico: localiza os pontos estacionários pelo cálculo das derivadas da função objetivo. - Numéricos: buscam os pontos estacionários por tentativas.
Os métodos de resolução podem ser classificados:
1. Conflitos em Otimização2. Origem do Problema de Otimização Numérica3. Elementos Comuns em Problemas de Otimização 3.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 3.2 Critério 3.3 Função Objetivo 3.4 Restrições 3.5 Região Viável4. Localização da Solução Ótima5. Problemas e Métodos de Otimização6. Método Analítico 6.1 Problemas univariáveis 6.2 Problemas multivariáveis.
OTIMIZAÇÃO NUMÉRICA
ATENÇÃO PARA O ROTEIRO DA RESOLUÇÃO DO PROBLEMA
W kg B/h
Q = 10.000 kgA/h
rafinado
y kg AB/kg B
xo= 0,02 kg AB/kg A
extrato
x kgB/kgA
Modelo Matemático:1. Q (xo - x) - W y = 02. y - k x = 0 (k = 4)
Balanço de Informação: V = 5, N = 2, C = 2, M = 0 G = 1 (otimização)
Avaliação Econômica:L = R - CR = pAB W yC = pB WpAB = 0,4 $/kgAB : pB = 0,01 $/kgB
6. MÉTODO ANALÍTICO 6.1 Problemas univariáveis
Exemplo: dimensionamento do extrator
2. y = k x1. W = Q (xo - x)/y
Sequência de Cálculo
Restrições de Igualdade !!!
x y W
1 * * *2 * *
x y W
1 x x o2 x o
Equações ordenadas
Variável de Projeto : x
Incorporando as Restrições de Igualdade ordenadasà Função Objetivo
(viável em problemas simples)
Função Objetivo: L = R - C = pAB W y - pB W
x 2. y = k x1. W = Q (xo - x)/y
L = pAB W y - pB Wy, W
LL = a - b x - c/x
x L
a = Q (pAB xo + pB / k) = 105
b = pAB Q = 4.000
c = pB Q xo / k = 0,5
0,006 0,008 0,010 0,012 0,014 0,016 0,018 0,020 0,0220
10
20
30
40
50
60
L,R,C$/a
x kgAB/kg A
L
C
R
xo =0, 01118
Lo = 15,6
Busca do ponto estacionário:
yo = 0,04472 kg AB/kg B; Wo = 1.972,3 kgB/h; Ro = 35,3 $/h; Co = 19,7 $/h; Lo = 15,6 $/h
Solução completa do problema:
L = a - b x - c/x
x b
dL
dxb
cx
co= - + = = =2
0 0 01118,
1. Conflitos em Otimização2. Origem do Problema de Otimização Numérica3. Elementos Comuns em Problemas de Otimização 3.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 3.2 Critério 3.3 Função Objetivo 3.4 Restrições 3.5 Região Viável4. Localização da Solução Ótima5. Problemas e Métodos de Otimização6. Método Analítico 6.1 Problemas univariáveis 6.2 Problemas multivariáveis.
OTIMIZAÇÃO NUMÉRICA
1 2
Q = 10.000 kgA/h
x = 0,02 kgAB/kgAo
W1
kgB/hW2
kgB/h
y1
kgAB/kgBy2
kgAB/kgB
x1
x2
kgAB/kgAkgAB/kgA
6. MÉTODO ANALÍTICO 6.2 Problemas multivariáveis
Modelo Matemático1. Q(xo - x1) - W1 y1 = 02. y1 - k x1 = 03. Q(x1 -x2) - W2 y2 = 04. y2 - k x2 = 0
Avaliação EconômicaL = R - CR = pAB (W1 y1 + W2 y2 )C = pB (W1 + W2)pAB = 0,4 $/kgAB : pB = 0,01 $/kgB
Balanço de Informação: V = 8; N = 4; C = 2; G = 2 (otimização)
Exemplo: dimensionamento de 2 extratores em série
Modelo Matemático1. Q (xo - x1) - W1 y1 = 02. y1 - k x1 = 03. Q(x1 -x2) - W2 y2 = 04. y2 - k x2 = 0
W1 x1 y1 W2 x2 y2 1 * * *2 * * 3 * * * *4 * *
W1 x1 y1 W2 x2 y2 1 o x x2 x o 3 x o x x4 x o
Equações Ordenadas2. y1 = k x1
4. y2 = k x2
3. W2 = Q (x1 – x2)/ y2
1. W1 = Q (xo - x1)/ y1
Ordenação
Variáveis de Projeto: x1 e x2
Incorporando as Restrições de Igualdade à Função Objetivo L
Buscando o ponto estacionário:
Solução completa:y1
o = 0,05428 kgAB/kgB; W1o = 1.184 kgB/h
y2o = 0,03684 kgAB/kgB; W2
o = 1.184 kgB/hCo = 23,68 $/h; Ro = 43,15 $/h; Lo = 19,47 $/h
L = a – b/x1– cx2 – d x1/x2
L/x1 = b/x12 – d/x2 = 0
L/x2 = - c + dx1/x22 = 0
x1o = (b2/cd)1/3 = 0,01357
x2o = (d/b) x1
2 = 0,00921
L = R – CR = pAB (W1 y1 + W2 y2 )C = pB (W1 + W2)
2. y1 = k x1
4. y2 = k x2
3. W2 = Q (x1 – x2)/ y2
1. W1 = Q (xo - x1)/ y1
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
02468
101214161820
0,002
0,004
0,006
0,008
0,010
0,012
0,014
0,016
0,018
0,020
L
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
02468
101214161820
0,002
0,004
0,006
0,008
0,010
0,012
0,014
0,016
0,018
0,020
ALERTA!
1 2
Q = 10.000 kgA/h
xo = 0,02 kgAB/kgA
W1 = 1.184 kgB/h
W2 = 1.184 kgB/h
x1 = 0,01357 kgAB/kgA
x2 = 0,00921 kgAB/kgA
y1 = 0,05428 kgAB/kgA y2 = 0,03824 kgAB/kgA
Estágio 1 2 Total
Soluto Rec. kg/h 64,28 43,62 107,90Solv. Cons. kg/h 1.184 1.184 2.368Lucro $/a 13,87 5,61 19,48
DIMENSIONAMENTO ÓTIMO
Examinando a contribuição de cada estágio à solução ótima
Resultado pelo Método Analítico: x1 e x2 manipuladas simultaneamente
02,04,0
6,08,0
10
12
1416
18
0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,0350,002
0,004
0,006
0,008
0,010
0,012
0,014
0,016
0,018
0,020
X2
X1
19,5
0,01357
0,00921
Solução Ótima no Plano Fase
Modelo Físico1. Q* (xo
* - x1 *) - W1 y1 = 0
2. y1 - k x1 * = 0
3. Q * (x1 * - x2
*) - W2 y2 = 04. y2 - k x2
* = 0
Balanço de InformaçãoV = 8, N = 4, C = 2, M = 2 G = 0 (solução única)
DIMENSIONAMENTO COM G = 0
Q* = 10.000 kgA/hxo
*= 0,02 kg AB/kg A
rafinado
x1 * = 0,015 kgAB/kgA
W1 kg B/h ?
y1 kg AB/kg B ?extrato
W1 kg B/h
Q * = 10.000 kgA/h
y2 kg AB/kg B ?extrato
W2 kg B/h
Q * = 10.000 kgA/hx2
* = 0,008 kgAB/kg A
W2 kg B/h ?
rafinado1 2
alimentação
Dimensionamento: x1* = 0,015 e x2
* = 0,008
02,04,0
6,08,0
10
12
1416
18
0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,0350,002
0,004
0,006
0,008
0,010
0,012
0,014
0,016
0,018
0,020
X2
X1
17,8
19,5
OTIMIZAÇÃO SEQUENCIAL
Alternativamente, pode-se pensar em decompor o problema em dois subproblemas univariáveis:
(a) otimizar o primeiro estágio x1o
(b) utilizar o valor ótimo x1o na otimização do segundo estágio.
Vejamos o resultado...
1Q*
xo* x
1
W1
W1y1
L p Q x x
p Q x x
kx
L a b xc
x
a Q p xp
k
b p Q
cp Q x
k
xc
b
L a
ab ob o
ab ob
ab
b o
o
o
1 11
1
1 1 1 11
1
1
1
1
11
1
1
105
4.000
05
00111803
1556
* ** *
* *
*
* *
( )
.
,
,
, $/
Q*
x* x
W
Wy
2
2
22
2
1
L p Q x x
p Q x x
kx
L a b xc
x
a Q p xp
k
b p Q
cp Q x
k
xc
b
L a
abb
abb
ab
b
o
o
2 1 21 2
2
2 2 2 22
2
2 1
2
21
22
2
2
6972
4000
02795
0008359
284
* ** *
* *
*
* *
( ) ,
.
,
,
, $/Solução ótima do Estágio 1 Solução ótima do Estágio 2
imposição!
x1 = 0,01118 kgAB/kgA
x2 = 0,008359 kgAB/kgA
1 2
Q = 10.000 kgA/h
xo = 0,02 kgAB/kgA
W1 = 1.972 kgB/h W2 = 843 kgB/h
y1 = 0,04472 kgAB/kgA y2 = 0,03344 kgAB/kgA
Estágio 1 2 Total
Soluto Rec. kg/h 64,28 28,21 116,41Solv. Cons. kg/h 1.972 843 2.815Lucro $/a 15,56 2,84 18,40
O segundo estágio foi otimizado para x1 = 0,01118
Resultando:
02,04,0
6,08,0
10
12
1416
18
0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,0350,002
0,004
0,006
0,008
0,010
0,012
0,014
0,016
0,018
0,020
X2
X1
A busca de x2o ficou restrita a x1 – 0,01118 = 0
Obviamente, não é a solução ótima
Comparando as duas soluções...
Solução Seqüencial
Estágio 1 2 Total
Soluto Rec. kg/h 88,20 28,21 116,41Solv. Cons. kg/h 1.972 843 2.815Lucro $/a 15,56 2,84 18,40
Solução Simultânea
Estágio 1 2 Total
Soluto Rec. kg/h 64,28 43,62 107,90Solv. Cons. kg/h 1.184 1.184 2.368Lucro $/a 13,87 5,61 19,48
A solução ótima é aquela obtida pela otimização simultânea
Na solução seqüencial, o primeiro estágio consome mais solvente e recupera mais soluto. Mas o faz ignorando o segundo estágio que
consome menos solvente mas recupera menos soluto.
EXERCÍCIOS