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Felipe do Carmo Amorim
Engenharia Mecânica
Equação do Calor
RESUMO
O fenômeno da condução de calor através de um cilindro pode ser analisado
matematicamente por meio do uso de equações diferenciais parciais. Utilizando argumentos
físicos pode-se mostrar como é realizada a formulação da equação do calor em um cilindro. O
estudo da equação do calor, não somente para o caso desde trabalho, mostra-se fundamental
em numerosos campos científicos, portanto a dedução do problema em coordenadas cilíndricas
oferece uma melhor compreensão a respeito desse importante assunto.
Palavras-chave: calor, Bessel, Laplaciano, cilindro.
INTRODUÇÃO
Na metade do século XVII, motivados pelo problema de vibração de cordas, matemáticos
debateram sobre a expansão de funções arbitrária em séries trigonométricas. D’Alambert,
Euler, Bernoulli e Lagrange desenvolveram a matemática da época e aproximaram do que é
hoje conhecido como Série de Fourier.
Utilizando a teoria dos antecessores, em 1807 Fourier submeteu seu primeiro trabalho a
Academia Francesa, onde formalizou e solucionou o problema da condução de calor. Seu
trabalho não foi aceito e um concurso foi feito para premiar quem solucionasse o problema. Em
1811, Fourier submeteu novamente seu trabalho, mas a banca julgadora mais uma vez resolveu
não publicá-lo, alegando falta de rigor. A publicação dos seus trabalhos só ocorreu mais tarde,
quando Fourier tornou-se secretário da Academia.
Assim, a teoria de Fourier foi reconhecida, porém não finalizado, pois novos problemas
surgiram do seu trabalho. Equações diferenciais, Análise, Integral e teoria dos conjuntos foram
algumas das áreas que desenvolveram-se ou aprimoraram-se depois da teoria de Fourier.
APLICAÇÃO
Hoje são conhecidas diversas variações da equação do calor. Na sua forma mais
conhecida, ela modela a condução de calor em um sólido homogêneo, isotrópico e que não
possua fontes de calor, e é escrita:
A equação do calor é de uma importância fundamental em numerosos e diversos
campos da ciência. Na matemática, são as equações parabólicas em derivadas parciais por
antonomásia. Na estatística, a equação do calor está vinculada com o estudo do movimento
browniano através da equação de Fokker–Planck. A equação de difusão, é uma versão mais
geral da equação do calor, e relaciona-se principalmente com o estudo de processos de difusão
química. A equação do calor é usado em probabilidade e descreve passeios aleatórios. É
aplicada em matemática financeira por esta razão.
É também importante em geometria Riemanniana e, portanto, topologia: foi adaptada
por Richard Hamilton quando definiu o fluxo de Ricci que foi posteriormente usado por Grigori
Perelman para resolver a conjectura de Poincaré topológica.
LAPLACIANO EM COORDENADAS POLARES
Seja o Laplaciano operador diferencial em duas dimensões dado por
Que opera uma função u = u(x,y) de duas variáveis. Todavia muitas vezes trabalhar em
coordenadas cartesianas pode não ser a melhor forma de se abordar um problema. De acordo
com a geometria do problema a utilização das coordenadas polares pode facilitar a obtenção da
solução.
As coordenadas polares são dadas por
Ou ainda
Com essa transformação, a antiga função u = u(x,y) passa a ser v = v(r,θ). Derivando-se u
utilizando-se a regra da cadeia, pode-se obter
Derivando-se novamente
Utilizando novamente a regra da cadeia
Admitindo-se que u(x,y) é de classe C 2, pelo teorema de Schwarz
Logo, podemos escrever uxx como
Analogamente se obtém uyy como
Segundo a definição do Laplaciano
Agora basta resolver as derivadas
Portanto o operador Laplaciano em coordenadas polares se resume a
LAPLACIANO EM COORDENADAS CILÍNDRICAS
Analogamente às coordenadas polares, a transformação das coordenadas cartesianas
para as cilíndricas é dada por
Portanto, como já se calculou uxx e uyy , basta calcular-se uzz . Como não houve qualquer
transformação na variável z, o Laplaciano de uma função u(x,y,z) em coordenadas cilíndricas fica
como
FUNÇÕES DE BESSEL
Equação diferencial de Bessel
As funções de Bessel surgem como soluções da equação diferencial
n≥0 (1)
chamada equação diferencial de Bessel. A solução geral de (1) é dada por
(2)
A solução Jn(x), que tem limite finito quando x tende a zero, é chamada função de Bessel
de primeira espécie de ordem n. A solução Yn(x), que não tem limite finito (é não-limitada)
quando x tende a zero, é chamada função de Bessel de segunda espécie de ordem n, ou função
de Neumann.
Se a variável independente x em (1) é substituída por λx, (λ constante), a equação
resultante é
(3)
com solução geral
(4)
A equação diferencial (1) ou (3) é obtida, por exemplo, a partir da equação de Laplace
expressa em coordenadas cilíndricas (ρ, Φ, z).
O Método de Frobenius
Um método importante para a obtenção de soluções de equações diferenciais tais como
a de Bessel, é o método de Frobenius. Nesse método, supomos uma solução da forma
(5)
Onde ck, = 0, para k<0, de modo que (5) começa efetivamente com o termo contendo c0, que se
supõe diferente de zero.
Levando (5) em uma equação diferencial dada, podemos obter uma equação β
(constante) (chamada equação indicial), bem como equações que podem servir para determinar
as constantes ck.
Funções de Bessel de primeira espécie
Define-se a função de Bessel de primeira espécie de ordem n como
(6)
Ou
(7)
onde (n+1) é a função gama. Se n é inteiro positivo Г(n+1) = n!, Г(1) = 1. Para n=0, (6) se torna
(8)
A série (6) ou (7) converge qualquer que seja x. Se n é metade de um inteiro ímpar, Jn(x)
pode-se exprimir em termos de senos e cossenos Pode-se definir uma função J-n(x) n>0,
substituindo-se n por –n em (6) ou (7), Se n é inteiro, então pode-se mostrar que
(9)
Se n não é inteiro Jn(x) e J-n(x) são linearmente independentes, e neste caso a solução
geral de (1) é
n ≠ 0,1,2,3,4,5,6,... (10)
Funções de Bessel de segunda espécie
Define-se a função de Bessel de segunda espécie de ordem n como
n ≠0,1,2,3,...
(11)
n =0,1,2,3,...
Quando n = 0,1,2,3,4..., obtemos o seguinte desenvolvimento em série para Yn(x):
(12)
onde γ = 0,5772156... é a constante de Euler.
(13)
Função Geratriz de Jn(x)
A função
(12)
é a função geratriz da função de Bessel de primeira espécie de ordem inteira. È d grande
utilidade na obtenção de propriedades dessas funções para valores inteiros de n – propriedades
que, freqüentemente, podem ser provadas para todos os valores de n.
Fórmulas de Recorrência
Os resultados abaixo valem para todo n:
Se n é inteiro, tais resultados podem ser demonstrados utilizando a função geratriz.
Observe que os resultados 3 e 4 são equivalentes a 5 e 6, respectivamente.
As funções Yn(x) satisfazem precisamente as mesmas relações, com Yn(x) substituindo
Jn(x).
Funções relacionadas com as funções de Bessel
As funções Hankel de primeira e segunda espécies definem-se, respectivamente, por
(15)
Funções de Bessel modificadas. Define-se a função de Bessel modificada de primeira
espécie de ordem n como
(16)
Se n é inteiro,
(17)
mas se n não é inteiro, In(x) e I-n(x) são linearmente independentes.
A função de Bessel modificada de segunda espécie de ordem n é definida como
n ≠0,1,2,3,... (18)
n =0,1,2,3,...
Essas funções verificam a equação diferencial
(19)
e a solução geral desta equação é
(20)
ou, se n ≠ 0,1,2,3,4,...,
(21)
Funções Ber, Bei, Ker, Kei. As funções Bern(x) e Bein(x) são respectivamente as partes real
e imaginária de
, onde
(22)
As funções Kern(x) e Kein(x) são respectivamente as partes real e imaginária de
, onde
(23)
Essas funções são úteis em relação à equação
(24)
que surge na engenharia elétrica e em outros campos da técnica. A solução geral desta equação
é
(25)
Se n = 0, costuma denotar-se Bern(x), Bein(x), Kern(x) e Kein(x) por Ber (x), Bei(x), Ker(x),
Kei (x), respectivamente.
Equações transformáveis na equação de Bessel
A equação:
(26)
onde k, α, r, β são constantes, admite a solução geral
(27)
onde . Se α = 0, a equação é uma equação de Cauchy ou Euler e tem como
solução
(28)
Fórmulas assintóticas para funções de Bessel
Para grandes valores de x temos as seguintes fórmulas assintóticas:
(29)
Zeros das funções de Bessel
Pode-se mostrar que, n é real, Jn(x) = 0 tem um número infinito de raízes todas reais. A
diferença entre raízes sucessivas tende a na medida em que as raízes aumentam de valor. Este
fato pode ser constatado pela expressão (29). Pode-se ver também que as raízes de Jn(x) = 0 (os
zeros de Jn(s) estão entre as raízes de Jn-1(x) =0 e as de Jn+1 (x) = 0. Observações análogas valem
para Yn(x).
Ortogonalidade das funções de Bessel de primeira espécie
Se λ e μ são duas constantes diferentes, pode-se mostrar que
(30)
enquanto que
(31)
De (30) pode-se ver que, se λ e μ são duas raízes distintas quaisquer da equação
(32)
onde R e S são constantes, então
(33)
o que equivale afirmar que as funções e são ortogonais em (0,1). Notes-se
como casos especiais de (32), λ e μ podem ser duas raízes distintas de Jn(x) = 0 ou de J’n(x)=0.
Pode-se dizer também que as funções e são ortogonais em relação à função
densidade (função peso) x.
Séries de funções de Bessel de primeira espécie
Tal como no caso das séries de Fourier, pode-se mostrar qie se F(x) e f’(x) são
seccionalmente contínuas, então em todo ponto de continuidade de f(x) no intervalo 0<x<1
existirá um desenvolvimento em série de Bessel da forma
(34)
onde , , , , , ... são as raízes positivas de (32) com R/S ≥ 0, S ≠ 0 e
(35)
Em qualquer ponto de descontinuidade, a série à direita de (34) converge para
, expressão que pode ser utilizada em lugar do membro esquerdo de (34).
Se S = 0, de modo que , , , , , ... são as raízes de Jn(x) = 0,
(36)
Se R = 0 e n = 0, então a série (34) começa com o termo constante
(37)
Neste caso, as raízes positivas são as de J’n(x) = 0.
Ortogonalidade e séries de funções de Bessel de segunda espécie
Os resultados acima, relativos às funções de Bessel de primeira espécie, podem ser
estendidos às funções de Bessel de segunda espécie.
PROBLEMA PROPOSTO
Seja um cilindro oco muito longo, de raio interno e raio externo ,é feito com material
condutor com difusividade . Se as superfícies interior e exterior são mantidas à temperatura
de 0 ºC e 100 ºC, enquanto a temperatura inicial é (sendo o raio). Determine a
temperatura em um ponto qualquer,em um instante arbitrário .
A figura ilustra esquematicamente o problema. Deseja-se saber como pode descrever a
temperatura no cilindro em coordenadas cilíndricas, ou seja, busca-se uma função
Levando-se em conta a simetria do problema e que este é regido pela equação do calor, o
que se almeja de fato é descobrir como a temperatura se distribui ao longo do tempo entre os
raios interno (a) e externo do cilindro (b), portanto .
SOLUÇÃO
Denotemos por a função que determina a temperatura inicial de um ponto
qualquer no instante inicial dentro de . Pela simetria do problema, observa-se
que a temperatura jamais varia com as variáveis ou .
Utilizando a equação do Calor
Em coordenadas cilíndricas e fazendo as considerações necessárias
Onde as condições de contorno são
Ou seja, a temperatura para um ponto qualquer no cilindro oco em um instante
arbitrário pode ser escrita como uma combinação de
Onde é a solução homogênea, em que as temperaturas externa e interna do
cilindro são 0 C, e é a solução particular em que a temperatura do raio externo é 100
C e independe do tempo t.
Assim sendo, realizar-se-á primeiro a solução para homogênea associada.
Pela separação de variáveis
Façamos , em (1)
Então
Que resultam em
Como
Aplicando-se as condições de contorno para em que ,
obtem-se
Estas equações nos levam à
De (5)
Deste modo,a eq.(4) pode ser escrita como:
e
Do fato, de que e utilizando a eq. (7):
Logo, a solução é
Quanto à solução particular , tem-se a equação
Temperatura estacionaria. Portanto esta equação pode ser considerada ordinária pois as
derivadas são apenas com respeito a . Com isso
Como , tem-se como solução
Aplicando-se as condições de contorno para em que e
Ou que
E a segunda condição
Portanto
Com as constantes determinadas, pode-se escrever
Para escrever a solução final basta lembrar que
Ou seja, a solução final do problema proposto é
É a função que descreve a temperatura para qualquer ponto dentro de um cilindro oco
com raios a interno e b externo as temperaturas 0º C e 100 º C, respectivamente, para qualquer
instante de tempo . O caráter exponencial do tempo na solução homogênea garante que a
distribuição tende a estacionaria conforme o tempo flui. Ou seja
Esta característica da solução vem como conseqüência da equação do calor, mostrando
dessa forma a irreversibilidade desse processo.
Distribuição estacionaria de temperatura em cilindro oco como o descrito no problema. A
figura ajuda a mostrar como a temperatura varia de forma logarítmica. OBS: o gráfico foi
traçado com raios interno e externo e o eixo significa .
CONCLUSÃO
Conforme analisado nesta obra, a equação do calor é de suma importância para a Física
e a Engenharia. Visto que é ferramenta para solucionar inúmeros problemas.Neste artigo foi
exposta a teoria que embasa,a referida equação,como também um exemplo prático.
AGRADECIMENTOS
Gostaria de agradecer ao professor Altair Souza de Assis pela assistência dada na
realização deste artigo bem como as discussões proveitosas para o entendimento dos conceitos
e de suas aplicações às ciências naturais aqui abordados.
REFERÊNCIAS
1 - Murray R. Spiegel, Análise de Fourier, Coleção Schaum, Editora McGraw - Hill do Brasil
Ltda,1976
2 - D. Kreider, D. R. Ostberg, R. C. Kuller, e F. W. Perkins, Introdução a Análise Linear, Volume 3,
Ao Livro Técnico S/A e Editora UNB, RJ, 1972.
3 - Stanley J. Farlow, Partial Differential Equations for Scientists and Engineers, John Wiley &
Sons Inc., 1982.
4- E. Butkov, Física Matemática, Guanabara Dois, RJ, 1978.
5 – A. S. de Assis, Notas de Aula de Métodos I, 2010