INTRODUÇÃO À ANÁLISE DIFERENCIAL DOS MOVIMENTOS DOS FLUIDOS

4.6 – Formas Diferencias das Leis Fundamentais- Equação diferencial da continuidade- Equação diferencial da quantidade de movimento- Equações de Euler- Equações de Navier-Stokes- Soluções particulares- Função corrente

INTRODUÇÃO

O desenvolvimento das equações básicas na forma integral para um volume de controle (V.C.) são particularmente úteis quando estamos interessados no comportamento genérico de um campo de escoamento e nos seus efeitos sobre dispositivos quaisquer. No entanto, o método de aproximação integral não nos capacita a obter conhecimentos ponto a ponto do campo de escoamento.

Este conhecimento detalhado é obtido quando se aplica a um campo de escoamento as equações do movimento dos fluidos na forma diferencial. Nesta aula, desenvolveremos as equações diferenciais para a conservação da massa e a segunda Lei de Newton (Equação de Navier-Stokes), e esta formulação serão desenvolvidas em termos de sistemas e volume de controle infinitesimal

EQUAÇÃO DE CONSERVAÇÃO DA MASSA NA FORMA DIFERENCIAL

Sistema de coordenadas retangulares (cartesiana)Vamos aplicar a conservação da massa a um volume de controle infinitesimal.

(1)

(2)

O fluxo mássico em cada face do volume de controle é apresentado na Figura 1.

Figura 1 – Fluxo de massa através do volume de controle diferencial.O volume de controle é um cubo infinitesimal com lados de comprimento dx, dy e dz. A

massa específica no centro do volume de controle é e a velocidade é .

I) A massa presente no interior do volume de controle é expressa por , onde o de

acumulo de massa no volume de controle descrito por: .

(3)II) O fluxo líquido de massa no volume de controle em cada direção pode ser expresso por:

Direção x: (4a)

Direção y: (4b)

Direção z: (4c)

O fluxo de massa total é a soma dos três termos acima. Substituindo estes na expressão geral do balanço, resulta:

(5)O volume não é alterado com o tempo, assim podemos dividir a expressão acima por e aplicar o limite quando tender a zero, obtém-se:

(6)

Os três primeiros termos podem ser representados pelo divergente do vetor resultando:

(7)

Para escoamento em regime permanente (estado estacionário), está equação se reduz a:

(8)

Para escoamento em regime permanente de um fluido incompressível, constante, a equação (11b) se reduz a:

(9)

EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE

COORDENADAS CARTESIANAS (x, y, z):

COORDENADAS CILÍNDRICAS (r, , z):

COORDENADAS ESFÉRICAS (r, , ):

EQUAÇÃO DE CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTOEQUAÇÕES DE NAVIER – STOKES

Desejamos desenvolver uma formulação matemática da segunda lei de Newton adequada para um volume de controle infinitesimal. Para um sistema movendo-se em relação a um ponto

inercial de referência, a segunda lei de Newton afirma que a soma de todas as forças externas atuando sobre o sistema é igual à taxa de variação com o tempo da sua quantidade de movimento linear.

A quantidade de movimento linear, , do sistema é dada por:

Então para um sistema infinitesimal de massa dm, a segunda Lei de Newton pode ser escrita:

A equação geral da conservação da quantidade de movimento pode ser descrita por:

Que pode ser expressa por:

As forças que atuam sobre o elemento de fluido podem ser classificadas como de campo ou de superfície; as de superfície incluem tanto as normais quanto as tangenciais.

O somatório destas forças na direção x é expresso por:

Dividindo a expressão acima por e aplicando o limite quando tender a zero, obtém-se:

De forma análoga para as outras direções:

O fluxo de quantidade de movimento através do volume de controle é ilustrado na figura abaixo:

Na direção x

Dividindo a expressão acima por e aplicando o limite quando tender a zero, obtém-se:

Que pode ser expressa por:

Esta equação pode ser simplificada com o uso da equação de conservação da massa, fornecendo:

Dividindo a expressão acima por e aplicando o limite quando tender a zero, obtém-se:

Substituindo cada termo na equação geral da conservação da quantidade de movimento obtém-se:

Na direção x:

Na direção y:

Na direção z:

Podemos observar que as o lado direito das equações representam a taxa de variação da quantidade de movimento com o tempo e o lado esquerdo as forças que atuam no volume de controle.

Utilizando a notação de derivada substantiva as equações podem ser expressas por:

Na direção x:

Na direção y:

Na direção z:

Estas equações são válidas para qualquer tipo de fluido.

Para um fluido Newtoniano, a tensão viscosa é proporcional a taxa de deformação por cisalhamento (taxa de deformação angular).

Para o sistema de coordenadas cartesiano são expressas por:

Substituindo estas na equação de conservação da quantidade de movimento, resulta:

Na direção x:

Na direção y:

Na direção z:

Estas são chamadas as Equações de Navier-Stokes, e estas equações são validas para fluidos compressíveis e incompressíveis.

Em nossos estudos vamos focar nossa atenção ao estudo de escoamento de fluido incompressível com viscosidade constante, simplificando as equações de Navier-Stokes, resultando:

Na direção x:

Na direção y:

Na direção z:

EQUAÇÃO DO MOVIMENTO PARA UM FLUIDO NEWTONIANO COM e CONSTANTES

COORDENADAS CARTESIANAS (x, y, z):

Equação de conservação da quantidade de movimento na direção x:

Equação de conservação da quantidade de movimento na direção y:

Equação de conservação da quantidade de movimento na direção z:

COORDENADAS CILÍNDRICAS (r, , z):

Equação de conservação da quantidade de movimento na direção r:

Equação de conservação da quantidade de movimento na direção :

Equação de conservação da quantidade de movimento na direção z:

COORDENADAS ESFÉRICAS (r, , ):

Equação de conservação da quantidade de movimento na direção r:

Equação de conservação da quantidade de movimento na direção :

Equação de conservação da quantidade de movimento na direção :