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Deflexão – Viga Deformada
Fonte: TCC Taia Marinho Pimenta - UFPB
Fonte: Profª Maria Fernanda Figueiredo de Oliveira (UERJ)
Linha Elástica
Diagrama de deflexão do eixo longitudinal que passa pelo centroide da
seção transversal.
x
v
x
v
qv
v
q
Linha Elástica
Rotação ou inclinação q(x)
Sentido anti-horário da linha horizontal à linha elástica
x
v q
(+)
x
v
q(-)
Deslocamento v(x)
x
v
v
(-)
x
v
v(+)
Convenção de sinais
Linha Elástica A linha elástica pode ser esboçada a partir do diagrama de momento
fletor e dos apoios da viga
Linha Elástica A linha elástica pode ser esboçada a partir do diagrama de momento
fletor e dos apoios da viga
Relação momento-curvatura
raio de curvatura =
ds
dsds
'
qddxds
q dyds '
q
y
d
ddy
y
1
Relacionando a
curvatura tem-se:
Relação momento-curvatura
y
1
E
I
My
Lei de Hooke
Fórmula da flexão
EI
M
1 = raio de curvaturaM = Momento fletorE = Módulo de elasticidadeI = Momento de inércia
EI = Rigidez à flexão
Fórmula da linha elástica
EI
M
1
• A maior parte da deformação é provocada pela flexão• Os pontos na viga se deslocam apenas verticalmente• A inclinação da curva elástica (dv/dx) é muito pequena
Hipóteses
EI
M
dx
vd
2
2
dx
dvq
Equação diferencialResolução: Integração direta
2
2
2/32
2
2
1
1
dx
vd
dx
dv
dx
vd
Fórmula da linha elástica
EI
M
dx
vd
2
2
dx
dvq (rad)
)(xwdx
dV
)(xVdx
dM
(+)
V
M
Convenção de sinais
MV
(+)
EI
M
dx
vd
2
2
dx
dvq
EI
V
dx
vd
3
3
EI
w
dx
vd
4
4
Fórmula da linha elástica
EI
M
dx
vd
2
2
dx
dvq (rad)
(+)
V
M
Convenção de sinais
MV
(+)
Fórmula da linha elástica
EI
M
dx
vd
2
2
dx
dvq (rad)
(+)
V
M
Convenção de sinais
MV
(+)
Revisão: E. D. por integração diretaDada uma equação diferencial ordinária do tipo
)()( xfxdx
ydn
n
sendo n a ordem da derivada em y, pode-se achar y(x) integrando
sucessivamente ambos os lados e aplicar condições de contorno para a resolução das constantes de integração.
542
2
xdx
yd
Exemplo:
dxxdxdx
yd)54(
2
2
1
2 52 cxxdx
dy
dxcxxdxdx
dy)52( 1
2
21
23
2
5
3
2cxc
xxy
2 incógnitas2 condições de contorno
00 xy
20 xdx
dy
02 c
21 c
xxx
y 22
5
3
2 23
Equação da linha elástica Condições de Contorno: em relação às deflexões e rotações nos apoios.
Segundo gênero
Primeiro gênero
Terceiro gênero
0)0( xv
0)0('')0( xEIvxM
0)0( xv
0)0('')0( xEIvxM
0)0( xv
0)0(')0( xEIvxq
Exemplos: Condições de apoio
AB
Ex.1: Viga engastada e livre com uma carga pontual:
0)0(0/
0)0(0/
A
A
xxp
vxvxp
Ex.2: Viga biapoiada com carga distribuída:
0)0(/
0)0(0/
B
A
vxvLxp
vxvxp
x
L
Exemplos: Condições de continuidade da
LE e da tangente à LE Ex.3: Viga biapoiada com carga pontual:
Trecho AC:
v1(x1) e q1(x1) C1 , C2 qq CA B
x2
1
Trecho CB:
v2(x2) e q2(x2) C3 , C4
Condições de Continuidade:
Para x1=a e x2=b v1(a) = v2(b)
Para x1=a e x2=b q1(a) = - q2(b)