equaÇÃo exponencial - conceito e resolução
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Matemática
Equação Exponencial
Prof. Roberto
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Equação ExponencialEquação Exponencial
Definição:Uma equação exponencial é aquela que apresenta a incógnita no expoente de pelo menos uma de suas potências.
Exemplos:
a) 2x = 32
b) 3x+1 = 243
c) 5-x²+4 = 32
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Equação ExponencialEquação Exponencial
Para solucionarmos estas equações, necessitamos ter conhecimentos das propriedades de potências, e das seguinte propriedade:
Se duas potências são iguais, tendo as bases iguais, então os expoentes são iguais:
am = an <=> m = n, sendo a > 0 e a ≠ 1
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Equação ExponencialEquação Exponencial
Vamos resolver as equações:
a) 2x = 32
Podemos utilizar o método da decomposição por fatores primos para obtermos a potência de resultado 32.
32168421
22222
25
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Equação ExponencialEquação Exponencial
32 = 25, substituímos na equação, quando reduzimos a mesma base podemos igualar os expoentes.
Resolução:
2x = 25 x = 5 S = ( 5 )<=> <=>
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b) 3x+1 = 243
2438127931
33333
35
Equação ExponencialEquação Exponencial
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Equação ExponencialEquação Exponencial
3x+1 = 243
3x+1 = 35
x + 1 = 5
x = 5 - 1
x = 4 S = ( 4 )
243 = 35, substituímos na equação, quando reduzimos a mesma base, neste caso base 3 onde igualamos os expoentes.
Resolução:
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Equação ExponencialEquação Exponencial
c) ( 32 )x+1
=( 23 )
−2 x+3
Invertemos uma das frações, lembrando-se de “trocar” o sinal do expoente. Procedendo deste modo, podemos obter potências com bases iguais nos dois membros da equação.
Resolução:
Vejamos no próximo slide.
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Equação ExponencialEquação Exponencial
Temos;
( 32 )
x+1
=[( 32 )
−1]−2 x+3
x + 1 = +2x - 3
x – 2x = -3 - 1-x = -4
S = ( 4 )x = 4
Observe as regras de sinais.
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Equação ExponencialEquação Exponencial
Observe que esta equação possui três termos no 1º membro.
3x+1=3x . 31
1) Desmembramos o exponencial de expoente x + 1.
d)
2) Desmembramos o exponencial de expoente x - 1.
3x+3x+1−3x−1=119
3x-1= 3x
31
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Equação ExponencialEquação Exponencial
Vamos substituir na equação:
3x+3x+1−3x−1=119
3x+3x . 31− 3x
31=11
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Sendo 3x fator comum, vamos mudar a variável para melhorarmos a equação.
Onde 3x será igual á t => 3x = t.
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Equação ExponencialEquação Exponencial
Sendo 3x = t, temos:
3x+3x . 31− 3x
31=11
9t+t . 31−
t
31=
119
t+ 3 t−t
31=
119
9 t9
+27 t
9−
3 t9
=119
36 t9
−3 t9
=119
33 t9
=119
33 t= 11 t=1133
t=13
S=13
Observe que encontramos o m.m.c. e simplificamos o resultado final da fração.
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Equação ExponencialEquação Exponencial
3 x2 + x= 36
e) (3 x)x+1=729
x2+x=6
x2+x−6=0
7292438127
93
33333
36
13
Aplicamos o método da decomposição por fatores primos, temos 729 = 36, e resolvemos a equação encontrada pela fórmula de Bhaskara.
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Equação ExponencialEquação Exponencial
x2+x−6=0
∆ = b² – 4.a.c
∆ = (1)² - 4.(1).(-6)
∆ = 1 +24
∆ = 25
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
x=−b±√Δ
2ax=
−1±√252 . (1 )
x=−1±5
2x1=
−1+52
x2=−1−5
2
x1=42
x2=−62
x 1=2 x 2=−3
S=(2,−3)Solução
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Atividade elaborada pelo:
Prof. Roberto
Disciplina Matemática.
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:
BOSQUILHA, Alessandra – CORRÊA, Marlene L. Pires – VIVEIRO, Tânia Cristina Neto G. - Mini Manual Compacto de Matemática Ensino Médio: Editora Rideel.
IEZZI, Gerson – DOLCE, Oswaldo – DEGENSZAJN, David – PÉRIGO, Roberto – ALMEIDA, Nilze de - Matemática Ciências e Aplicações: Editora Saraiva..