equaÇÕes do 2º grau
DESCRIPTION
EQUAÇÕES DO 2º GRAU. Aceite para publicação em 15 de Março de 2010. menu principal. introdução. extras. equações do 1º grau. créditos. equações do 2º grau. agradecimentos. resumo. fim. introdução. pré-requisitos indispensáveis para a compreensão do tema em estudo. equação. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
![Page 1: EQUAÇÕES DO 2º GRAU](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061520/56814eff550346895dbc904b/html5/thumbnails/1.jpg)
EQUAÇÕES DO 2º GRAUAceite para publicação em 15 de Março de
2010
![Page 2: EQUAÇÕES DO 2º GRAU](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061520/56814eff550346895dbc904b/html5/thumbnails/2.jpg)
menu principal
introdução
equações do 1º grau
equações do 2º grau
resumo
extras
créditos
agradecimentos
fim
![Page 3: EQUAÇÕES DO 2º GRAU](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061520/56814eff550346895dbc904b/html5/thumbnails/3.jpg)
introdução
equação
solução de uma equação
membros e termos
pré-requisitos indispensáveis para a compreensão do tema em estudo
princípios de equivalência
equações e funções
grau de uma equação
![Page 4: EQUAÇÕES DO 2º GRAU](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061520/56814eff550346895dbc904b/html5/thumbnails/4.jpg)
equaçãouma equação é uma igualdade entre duas expressões onde aparece pelo menos uma letra designada por incógnita ou variável.
Exemplo:
3 4 2 1x x
3 4 7
25 2 1x y
é equação
não são equações
![Page 5: EQUAÇÕES DO 2º GRAU](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061520/56814eff550346895dbc904b/html5/thumbnails/5.jpg)
membros e termoso sinal de igual separa a equação em dois membros ecada monómio que neles figura chama-se termo
Exemplo: 3 4 2 1x x
1º membro 2º membro
3 2;x x
4 1;
termos com incógnita
termos independentes
![Page 6: EQUAÇÕES DO 2º GRAU](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061520/56814eff550346895dbc904b/html5/thumbnails/6.jpg)
solução de uma equaçãoum número diz-se solução de uma equação se ao se substituir esse número pela incógnita se obtiver uma proposição verdadeira
Exemplo: 3 4 2 1x x é solução de porque
3 4 2 1 15 4 10 1 11 15 15
O conjunto de todas as soluções de uma equação designa-se por conjunto-solução e representa-se por c.s. Neste exemplo
Equações equivalentes são equações com o mesmo conjunto-solução.Utiliza-se o sinal de equivalente
5. .c s
5
![Page 7: EQUAÇÕES DO 2º GRAU](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061520/56814eff550346895dbc904b/html5/thumbnails/7.jpg)
princípios de equivalênciaResolver uma equação significa determinar o seu conjunto-solução.Para resolver equações existem duas regras básicas conhecidas por princípios de equivalência.
princípio da adição
princípio da multiplicação
![Page 8: EQUAÇÕES DO 2º GRAU](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061520/56814eff550346895dbc904b/html5/thumbnails/8.jpg)
princípio da adiçãoao adicionar a ambos os membros de uma equação o mesmo número obtém-se uma equação equivalente à inicial
Exemplo: 3 7
3 7
1
3 3
0
x
x
x
10. .c s
![Page 9: EQUAÇÕES DO 2º GRAU](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061520/56814eff550346895dbc904b/html5/thumbnails/9.jpg)
princípio da multiplicaçãoao multiplicar ambos os membros de uma equação pelo mesmo número diferente de zero obtém-se uma equação equivalente à inicial
Exemplo: 3 12
3 121
34
1
3
x
x
x
4. .c s
![Page 10: EQUAÇÕES DO 2º GRAU](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061520/56814eff550346895dbc904b/html5/thumbnails/10.jpg)
grau de uma equaçãoo grau de uma equação é igual ao maior grau dos seus termos
Exemplo:
3 1 4x equação do 1º grau
2 6 5 0x x equação do 2º grau
3 2 0x x equação do 3º grau
![Page 11: EQUAÇÕES DO 2º GRAU](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061520/56814eff550346895dbc904b/html5/thumbnails/11.jpg)
equações e funçõesas soluções de uma equação coincidem com os zeros da função correspondente
1º grau
2º grau
afim
quadrática
Clica nas palavras da tabela para mais informações
![Page 12: EQUAÇÕES DO 2º GRAU](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061520/56814eff550346895dbc904b/html5/thumbnails/12.jpg)
equações do 1º grauuma equação do 1º grau em x é uma equação que se pode reduzir à forma canónica:
0,a b a 0ax b e
solução de uma equação do 1º grau
soluções e zeros
função afim
Voltar à tabela
![Page 13: EQUAÇÕES DO 2º GRAU](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061520/56814eff550346895dbc904b/html5/thumbnails/13.jpg)
a solução da equação
solução de uma equação do 1º grau
0,a b a 0ax b b
a
2 8 0
8
24
x
x
x
4. .c s
Exemplo:
é com
e
![Page 14: EQUAÇÕES DO 2º GRAU](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061520/56814eff550346895dbc904b/html5/thumbnails/14.jpg)
função afimfunção cujo gráfico é uma recta e cuja expressão analítica é do tipo:
,m by mx b
gráfico da função afim
declive
ordenada na origem
casos particulares
Voltar à tabela
![Page 15: EQUAÇÕES DO 2º GRAU](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061520/56814eff550346895dbc904b/html5/thumbnails/15.jpg)
gráfico da função afimO gráfico da função afim é uma recta de equação:
,m by mx b
Qual será a influência dos parâmetros m e b
no gráfico da função afim?
Clica na figura e tenta descobrir!
![Page 16: EQUAÇÕES DO 2º GRAU](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061520/56814eff550346895dbc904b/html5/thumbnails/16.jpg)
declivem é responsável pela inclinação da
recta
![Page 17: EQUAÇÕES DO 2º GRAU](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061520/56814eff550346895dbc904b/html5/thumbnails/17.jpg)
ordenada na origemb ordenada do ponto de intersecção do
gráfico da função com o eixo dos yy
o gráfico da função passa no ponto
0,b
![Page 18: EQUAÇÕES DO 2º GRAU](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061520/56814eff550346895dbc904b/html5/thumbnails/18.jpg)
casos particulares da função afimas funções linear e constante são casos particulares da função afim
![Page 19: EQUAÇÕES DO 2º GRAU](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061520/56814eff550346895dbc904b/html5/thumbnails/19.jpg)
soluções e zerosdeterminar os zeros da função afim corresponde a determinar as soluções da equação do 1º grau
Exemplo:
2 6y x função afim
2 6 0
2 6
3
x
x
x
determinar zeros:
graficamente:
3. .c s
y mx b 0mx b
zero
![Page 20: EQUAÇÕES DO 2º GRAU](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061520/56814eff550346895dbc904b/html5/thumbnails/20.jpg)
equações do 2º grau
equações do 2º grau incompletas
uma equação do 2º grau em x é uma equação que se pode reduzir à forma canónica:
0, ,a b c a
equações do 2º grau completas
2 0ax bx c e
as equações do 2º grau dividem-se em dois tipos:
quando e/ou0b 0c
quando 0, ,a b c Voltar à tabela
![Page 21: EQUAÇÕES DO 2º GRAU](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061520/56814eff550346895dbc904b/html5/thumbnails/21.jpg)
equações do 2º grau incompletas
equações do tipo com
equações do tipo com
existem três tipos de equações do segundo grau incompletas:
2 0ax 0a
equações do tipo com 2 0ax bx 0,a b
2 0ax c 0,a c
![Page 22: EQUAÇÕES DO 2º GRAU](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061520/56814eff550346895dbc904b/html5/thumbnails/22.jpg)
equações do tipo têm apenas uma solução nula:
2 0ax
0. .c s
Exemplo: 2
2 2
2
2
5 3 3
5 3 3
4 0
0
0
x x x x
x x x x
x
x
x
0. .c s
![Page 23: EQUAÇÕES DO 2º GRAU](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061520/56814eff550346895dbc904b/html5/thumbnails/23.jpg)
equações do tipo têm duas soluções:
2 0ax bx
0. . ,b
c sa
Exemplo:
2
2
3 5
3 5 0
3 5 0
0 3 5 0
50
3
x x
x x
x x
x x
x x
50
3. . ,c s
Voltar à lei do anulamento do produto
![Page 24: EQUAÇÕES DO 2º GRAU](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061520/56814eff550346895dbc904b/html5/thumbnails/24.jpg)
equações do tipo
se têm duas soluções simétricas
2 0ax c
Exemplo 1
0c
a . . ;
c cc s
a a
se são impossíveis0c
a
2
2
2
2 32 0
2 32
16
16
4 4
x
x
x
x
x x
4 4. . ,c s
2
2
2
2 8 0
2 8
4
x
x
x
equação impossível
. .c s
Exemplo 2
![Page 25: EQUAÇÕES DO 2º GRAU](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061520/56814eff550346895dbc904b/html5/thumbnails/25.jpg)
equações do 2º grau completasuma equação do 2º grau completa é uma equação do tipo
0, ,a b c 2 0ax bx c com
fórmula resolvente
binómio discriminante
função quadrática
parábola
soluções e zeros
conclusões
![Page 26: EQUAÇÕES DO 2º GRAU](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061520/56814eff550346895dbc904b/html5/thumbnails/26.jpg)
para determinar as soluções de qualquer equação do 2º grau
22 4
02
b b acax bxc x
a
fórmula resolvente
![Page 27: EQUAÇÕES DO 2º GRAU](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061520/56814eff550346895dbc904b/html5/thumbnails/27.jpg)
fórmula resolvente 2
2 40
2
b b acax bx c x
a
Exemplo:2
2
5 6 0
5 5 4 1 6
2 1
5 1
25 1 5 1
2 22 3
x x
x
x
x x
x x
1
5
6
a
b
c
2 3. . ,c s
![Page 28: EQUAÇÕES DO 2º GRAU](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061520/56814eff550346895dbc904b/html5/thumbnails/28.jpg)
binómio discriminante
2 4b ac
é a expressão que figura debaixo do radical na fórmula resolvente
Qual será a relação entre o binómio discriminante e o número de soluções
de uma equação do 2º grau?
Clica na figura e tenta descobrir!
![Page 29: EQUAÇÕES DO 2º GRAU](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061520/56814eff550346895dbc904b/html5/thumbnails/29.jpg)
função quadráticafunção cujo gráfico é uma parábola e cuja expressão analítica é do tipo:
, ,a b c2y ax bx c
Qual será a influência do parâmetro a no gráfico da função quadrática?
Clica na figura e tenta descobrir!
Voltar à tabela
![Page 30: EQUAÇÕES DO 2º GRAU](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061520/56814eff550346895dbc904b/html5/thumbnails/30.jpg)
parábolauma parábola é uma curva de equação com
0a 2y ax bx c
Qual será a influência dos parâmetros h e k no gráfico
da função quadrática?
Clica na figura e tenta descobrir!
ou , usando os casos notáveis, 2y a x h k , , , ,a b c h k
![Page 31: EQUAÇÕES DO 2º GRAU](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061520/56814eff550346895dbc904b/html5/thumbnails/31.jpg)
com e
soluções e zerosdeterminar os zeros da função quadrática corresponde a determinar as soluções da equação do 2º grau
Outra forma de escrever a expressão analítica da função quadrática é
2y ax bx c 2 0ax bx c
1 2y a x z x z
1 2, ,a z z 0a
O que significam z1 e z2?
Clica na figura e tenta descobrir!
![Page 32: EQUAÇÕES DO 2º GRAU](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061520/56814eff550346895dbc904b/html5/thumbnails/32.jpg)
conclusões
![Page 33: EQUAÇÕES DO 2º GRAU](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061520/56814eff550346895dbc904b/html5/thumbnails/33.jpg)
resumo
![Page 34: EQUAÇÕES DO 2º GRAU](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061520/56814eff550346895dbc904b/html5/thumbnails/34.jpg)
extrasnesta secção podem ser recordados outros pré-requisitos
casos notáveis da multiplicação de polinómios
lei do anulamento do produto
factorização de polinómios
![Page 35: EQUAÇÕES DO 2º GRAU](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061520/56814eff550346895dbc904b/html5/thumbnails/35.jpg)
casos notáveis da multiplicação de polinómios
quadrado da soma
diferença de quadrados
quadrado da diferença
Voltar à parábola
![Page 36: EQUAÇÕES DO 2º GRAU](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061520/56814eff550346895dbc904b/html5/thumbnails/36.jpg)
quadrado da soma
2 2 22a b a ab b
Exemplo 1
2 23 6 9x x x
Exemplo 2
2 2 22 4 4x y x xy y
![Page 37: EQUAÇÕES DO 2º GRAU](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061520/56814eff550346895dbc904b/html5/thumbnails/37.jpg)
quadrado da diferença
2 2 22a b a ab b
Exemplo 1
2 25 10 25x x x
Exemplo 2
2 23 2 9 12 4x x x
![Page 38: EQUAÇÕES DO 2º GRAU](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061520/56814eff550346895dbc904b/html5/thumbnails/38.jpg)
diferença de quadrados
2 2a b a b a b
Exemplo 1
27 7 49x x x
Exemplo 2
23 3 9
2 5 2 5 4 25
x x x
![Page 39: EQUAÇÕES DO 2º GRAU](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061520/56814eff550346895dbc904b/html5/thumbnails/39.jpg)
factorização de polinómios
Exemplo 1 – colocando factores comuns em evidência
22 5 2 5x x x x
Exemplo 2 – usando os casos notáveis
22 14 49 7 7 7x x x x x
existem dois processos para factorizar polinómios:
![Page 40: EQUAÇÕES DO 2º GRAU](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061520/56814eff550346895dbc904b/html5/thumbnails/40.jpg)
lei do anulamento do produto
Exemplo
1 2 0
0 1 0 2 0
0 1 2
x x x
x x x
x x x
o produto de dois ou mais factores é nulo se pelo menos um dos factores for nulo
0 0 0 0a b c a b c
Este método é utilizado para a resolução de equações do 2º grau incompletas do tipo
2 0ax bx
![Page 41: EQUAÇÕES DO 2º GRAU](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061520/56814eff550346895dbc904b/html5/thumbnails/41.jpg)
CréditosEste trabalho foi integralmente elaborado por Erika Bizarro usando Microsoft PowerPoint e Geogebra e tendo sido convertido posteriormente em documento html.
Este trabalho foi publicado sob licença
Creative Commons da Casa das Ciências
![Page 42: EQUAÇÕES DO 2º GRAU](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061520/56814eff550346895dbc904b/html5/thumbnails/42.jpg)
Agradecimentos
À minha colega Emília Valle que me iniciou no Geogebra
À minha colega Ana Silva que me apresentou a Casa das
Ciências
Aos meus colegas da Casa das Ciências pelas dicas e sugestões
Ao meu irmão e à Ana pelo apoio informático
Aos meus pais, os meus mais rigorosos revisores
Aos meus Davids pela minha falta de tempo para eles
![Page 43: EQUAÇÕES DO 2º GRAU](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061520/56814eff550346895dbc904b/html5/thumbnails/43.jpg)
FIM
Erika Bizarro 2010