equações de conservação - puc-riomecflu2.usuarios.rdc.puc-rio.br/transcal_ii_mec2348/2...angela...

Angela Nieckele – PUC-Rio

1

Equações de Conservação

Teorema de Transporte de Reynolds

Equação de Massa (continuidade)

Equação de Quantidade de Movimento Linear

(2a Lei de Newton)

Equação de Navier-Stokes

Equação de Energia Mecânica

Equação de Quantidade de Movimento Angular

Equação de entropia


2

Teorema de Transporte de Reynolds

Variação total = taxa de variação + fluxo líquido saindo

com o tempo de da grandeza grandeza específica

de uma grandeza específica no VC através da SC

de um sistema

f = grandeza específica ; r = massa específica ;

d = volume infinitesimal

d m = massa infinitesimal ; d m = r d ;

d F = grandeza no volume infinitesimal ; d F = f d m = f r d

permite transformar as equações para sistema

(massa fixa) para volumes de controle (volume fixo)

dm = r d

sistema dm = r d

SC

VC

V2

V1

Angela Nieckele – PUC-RioAngela Nieckele – PUC-Rio

3

d m=r dA L= =r dA Vn dt

quantidade da grandeza que cruza a superfície:

f d m = f r dA L= = f r dA Vn dt = f r

fluxo líquido de massa cruzando a SC

dA

dm = r d

SC

VC

V2

V1

taxa de acumulação de uma grandeza específica

rf

f

VCVC

dt

dmt

SC

AdnV

rf

SCVCsistema

AdnVdttd

d rfrf

F

nV

V

V

Vn

Vn

Vn


4

Equação de Conservação de Massa

Sistema:

00

td

mdd

td

d

sistema

r

dm = r d

sistema

Volume de controle:

A B

Variação com o tempo da Fluxo líquido de massa

da massa do volume de controle através da superfície de controle

SCVC

AdnVdt

0

rr


5

Aplicando o teorema de Leibnitz

t

a t

b t

ta t

b t

f x dx f x dx dbdt

f b dadt

f a( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

ao termo A , temos

r rt

V Ct

V C

d d . .

Aplicando o teorema de divergência de Gauss ao termo B, temos

r r V n d A div V d

VCSC

( )

Somando A com B r

r

tdiv V d

VC

( )

0

Queremos que está equação seja válida para qualquer volume, portanto, dividindo por d e

aplicando o limite d tende a zero, obtemos a equação de conservação de massa diferencial,

válida para qualquer ponto


r

r

tdiv V ( )

0 ( I )

Variação da massa Fluxo líquido de massa

com o tempo por por unidade de volume

unidade de volume

A equação acima pode ser rescrita sabendo que ρVVρ)Vρ()Vρ(

div

como r

r r

tV V

0

Definido o operador : derivada material, ou total ou substantiva D A

D t

A

tV A

variação local variação

temporal convectiva

temos

D

D tV

rr

0 ( II )


7

Coordenadas cartesianas:

Coordenadas curvilíneas:

Coordenadas cilíndricas:

0

w

zv

yu

xtrrr

r

0

zr u

zu

rur

rrtrr

r

r

Equação de Conservação de Massa ou

Continuidade

0

)(div V

t

r

r0 )(div V

Dt

D r

rou0

i

i

x

u

t

)(rr

Casos Particulares1. Regime Permanente:

2. Incompressível:

0)(div V

r

0)(div V

i

jij

i

i

i

jij

i

jjijj

ii

x

eeu

x

u

tx

eeu

x

uee

tue

xe

t

)(

)()(

)()( r

rrr

rrr

r0


8

Equação de Quantidade de Movimento

Linear (2a Lei de Newton)

tD

VDff

tD

VDdfdamF cSextext

rr

força de corpo: Cf

força volumétrica,ex: força gravitacional gf g

r

força de superfície: fff pS


9

dydzxP )(

dy

dz

dydzdxxP )( ),,( zyx

- força de pressão: força normal compressivapf

dx

k

z

Pj

y

Pi

x

Pf p

Pf p

dFp,x= P dy dz - (P dy dz + P/x dx dy dz) = - P/x d

fp,x = - P/x logo fp,y = - P/y e fp,z = - P/z


10

Força de superfície viscosa resultante na direção x

yxdzz

yxzxdyy

zxzydxx

zyF zxzxzx

yxyxyx

xxxxxxx

,

zyxzyx

F zxyxxxx

,

convençãon

n

zyxf zxyxxx

x

,

dxdz

f

força viscosa: força definida por um

tensor, em cada face possui 3 componentes, dois

tangenciais e um normal

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

xx

yx

yy

y

x

z

yz

zz

xz

xy

zx

zy


11

Procedendo de forma análoga para as outras direções

zyxf zxyxxx

x

,

zyxf

zyyyxyy

,

zyxf zzyzxz

z

,

f

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

zyxf

zyxzyxzyxf zzyzxzzyyyxyzxyxxx


12

Equação diferencial de quantidade de

movimento na forma vetorial

coordenadas cartesianas

PgρtD

VDρ

z

τ

y

τ

x

τ

z

Pgρwvuρ

z

τ

y

τ

x

τ

y

Pgρwvuρ

z

τ

y

τ

x

τ

x

Pgρwvuρ

zzyzxzzz

w

y

w

x

w

t

w

zyyyxyyz

v

y

v

x

v

t

v

zxyxxxxz

u

y

u

x

u

t

u


13

PgρtD

VDρ grad

Pgρ grad

•Equação de Euler (fluido perfeito, não viscoso)

•Equação da Hidrostática:

Para fluidos viscosos, precisamos de uma informação

adicional: relação entre a tensão cisalhante e a taxa de

deformação do elemento de fluido

Casos Particulares:


14

pode-se demonstrar pelo uso

da equação conservação de

quantidade de movimento

angular que o tensor é

simétrico

zzzyzx

zyyyyx

zxyxxx

Equação Constitutiva para fluidos Newtonianos

Vx

u

x

v

y

uxxyxxy

3

22,

Vy

v

x

w

z

uyyzxxz

3

22,

Vz

w

y

w

z

vzzzyyz

3

22,

IVVVf T

div3

2gradgraddivdivdiv= ])([


15

Equação de Navier-Stokes: Equação de

conservação de quantidade de movimento linear para

fluido Newtonianos (coordenadas cartesianas)

x

w

zx

v

yx

u

xz

u

zy

u

yx

u

x

z

w

y

v

x

u

xxz

u

y

u

x

u

t

u

x

pgwvu

rr

3

2

y

w

zy

v

yy

u

xz

v

zyv

yx

v

x

z

w

y

v

x

u

yyz

v

y

v

x

v

t

v

y

pgwvu

rr

3

2

z

w

zz

v

yz

u

xz

w

zy

w

yx

w

x

z

w

y

v

x

u

zzz

w

y

w

x

w

t

w

z

pgwvu

rr

3

2


16

A equação de Navier-Stokes simplifica bem se a massa

específica e a viscosidade foram constante

A maioria dos líquidos podem ser considerados como fluidos

incompressíveis

A viscosidade da maioria dos gases é aproximadamente constante

0 V

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

z

w

y

w

x

wzz

w

y

w

x

w

t

w

z

v

y

v

x

vyz

v

y

v

x

v

t

v

z

u

y

u

x

uxz

u

y

u

x

u

t

u

μz

Pgρwvuρ

μy

Pgρwvuρ

μx

Pgρwvuρ

Navier-Stokes (propriedades constantes) VμPgρtD

VDρ 2

coordenadas cartesianas

Vμf 2


17

Navier-Stokes (propriedades constantes) em coordenadas cilíndricas

2z

2

22z

2

zzzz

2θ

2

22θ

2

θθθθ

2r

2

22r

2

rrrr

z

u

θr

uz

zz

uzθr

uθr

urt

u

r2z

u

θr

u

2θθ

θθr

z

uzθr

uθr

urt

u

θ2z

u

θr

u

2rr

r

2θ

z

uzθr

uθr

urt

u

r

ur

rr

1μ

z

Pgρuuuρ

θ

u

r

2

r

u

r

ur

rr

1μ

θr

Pgρ

r

uuuuuρ

θ

u

r

2

r

u

r

ur

rr

1μ

r

Pgρ

r

uuuuρ

Direção

radial

Direção

angular

Direção

axial


21

Equação de Quantidade de Movimento

Angular

Esta equação pode ser obtida com o produto vetorial do vetor

posição r com a equação de conservação de quantidade de

movimento linear

τPgrVVt

Vr

rr

r

]:[ε][I][][][

rrr

rPrgrVrV

t

Vr

e é o tensor de 3ª. ordem com componentes eijk (símbolo de

permutação)

diferentes

foremíndicesdoisquaisquerse

ijkse

ijkseijk

0

213ou1323211

312ou2311231

,

,e


22

kjiijk wvee wv

Produto vetorial de dois vetores:

Produto vetorial de um vetor e tensor:

321

321

321

www

vvv

eee

detwv

jkiijlklkjkjii rrr e eeeee

Se é simétrico:

não existe conversão de momentum angular macroscópico em

momentum angular interno, i.e, as duas formas de momentum se

conservam separadamente.

0]:[ε


23


A energia mecânica de um sistema não se conserva, porém esta

equação é muito útil em diversas situações.

Pode ser obtida através do produto escalar do vetor velocidade com

a equação de conservação de quantidade de movimento linear

τPgVtD

VDV

rr

ii VVVVouVVVV

22

VVV

tVV

t

VV

tD

VDV

22

2

1

2

1rrr

rr

VPVPPV

VVV

:

VVt

VV

tVVV

t

V

tD

VD

decontinuidazero

rr

rr

rr

])([

Obs: (1)

(2)

Então, operando o produto escalar


24

jiijklijjkilklijkjlilklkjiji eeeeeeee :τ:σ

Produto escalar de dois tensores (produto duplo):

VVVVV T

:])([: 3

2

Para fluido Newtoniano

j

iij

k

k

i

j

j

i

x

u

x

u

x

u

x

uV

F

3

2:

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

k

k

j

i

i

j

j

i

j

i

3

2F

F é sempre positivo, é a

função dissipação

22

3

2

2

1

k

k

i

j

j

i

x

u

x

u

x

uF

Para fluidos Não-newtonianos pode ser negativoV

:


25

Equação de Energia Cinética

internaenergia

asívelirreverconversão

detaxa

viscosasforças

adevidotrabalho

detaxa

internaenergiaareversívelconversão

detaxa

pressãoadevido

trabalhodetaxa

cionalgravitaforça

adevidotrabalho

detaxa

cinéticaenergia

delíquidofluxo

cinéticaenergia

deaumentodetaxa

VVVPVPgVVVVt

:)( rrr 22

2

1

2

1

pode ser positivo ou negativo, dependendo se o fluido está

sofrendo expansão ou compressão. As mudanças de temperatura

podem ser grandes em compressores, turbinas ou na presença de

ondas de choque.

VP

V

: é sempre positivo para fluidos Newtonianos. Este termo pode

ser significativo em sistemas com viscosidades e gradientes de

velocidades elevados, como ocorre em lubrificação, extrusão rápida

e vôos de alta velocidade.


26


Trabalhando o termo podemos reescrever a equação para

a soma da energia cinética e potencial, gerando a equação de

energia mecânica

Introduzindo a definição de energia potencial por unidade de massa

Y, definida com , temos que

gV

r

tV

tV

VVVgV

)()()(

)()(

YrYr

rYYr

rYYrYrr

Yg

VVVPVPVVVt

:)())( YrrYrr 22

2

1

2

1


convenção

27

Equação de Energia

inQ

outWoutin WQE

outin WQt

E

SCVCoutin Adnuede

tWQ

rr

A B


28

Aplicando o teorema de Leibnitz

t

a t

b t

ta t

b t

f x dx f x dx dbdt

f b dadt

f a( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

CVt

CVt

dede rr

ao termo A , temos

Aplicando o teorema de divergência de Gauss ao termo B, temos

SC VC

deuAdnue )(div

rr

Somando A com B

outin

VC

WQdeut

e

)(div r

r


29

Queremos que esta equação seja válida para qualquer volume, portanto, dividindo por d e

aplicando o limite d tende a zero, obtemos a equação de conservação de massa diferencial,

válida para qualquer ponto

arredoresnossistemapelo

feitotrabalhodetaxa

out

calordeadição

detaxa

in

energiadesaindoliquido

fluxo

energiadeacumulação

detaxa

d

W

d

Qeu

t

e

)(div

)(r

r

(****)


30

O calor pode entrar no volume de controle de duas formas: por difusão relativo ao movimento

de mistura do escoamento devido a movimento molecular aleatório e por conversão de energia

química, eletromagnética, atômica, etc em energia térmica como fonte de calor. Portanto

dqAdnqQ

VCSCin

;

onde q

é o fluxo difusivo de calor e q é a taxa que energia térmica é liberada por unidade de

volume.

Aplicando novamente o teorema de divergência de Gauss,

VCin dqqQ

div qq

d

Qin

div


31

Trabalho feito pelo elemento de fluido nos arredores

rdFdW

potência: uFdW

(td

rdu

)

sc FdFdFd

onde cFd

é força de corpo e sFd

é força de superfície

trabalho entrando é negativo, trabalho realizado contra o elemento de fluido é negativo

força de corpo, força volumétrica, igual a força gravitacional dgFdFd gc

r

potência devido ao trabalho realizado contra a força gravitacional:

uFdW gg

dugWg r


32

Força de superfície, possui contribuição de pressão e viscosa: FdFdFd ps

potência contra a força de pressão: unAdpuFdW pp

potência contra a força viscosa: uAdnuAdtuFdW n

Combinando todos os termos:

dugAdnuAdnupW

VCSCSCout

r

Aplicando o teorema de divergência de Gauss,

VCout duupugW

r divdiv

uupugd

Wout

r divdiv

Substituindo todos os termos na equação (****)

Força de superfície, possui contribuição de pressão e viscosa: FdFdFd ps

potência contra a força de pressão: unAdpuFdW pp

potência contra a força viscosa: uAdnuAdtuFdW n

Combinando todos os termos:

dugAdnuAdnupW

VCSCSCout

r


Equação de energia

33

//

//

div)(div)(

pcondução

porenergiadeentrada

detaxa

penergiadegeração

penergiade

saindolíquidofluxo

penergiade

variaçãodetaxa

qqeut

e

r

r

r

///

divdiv

pviscosasforças

ascontratrabalho

detaxa

ppressãode

forçasascontra

trabalhodetaxa

pnaisgravitacio

forçasascontra

trabalhodetaxa

uupug


34

uupugqqtD

eD rr divdivdiv

A equação da energia pode ser rescrita com o auxílio da

equação da continuidade como

2

2

1Vie

q

• Iremos considerar que a energia e é formada de

interna e energia cinética .

• outras formas de energia, como nuclear, radiativa e

eletromagnética, podem ser consideradas no termo de

geração de energia,


35

• Energia interna, i, é a energia associada com o

movimento aleatório de translação e interno das

moléculas, além da energia de interação entre

moléculas. A energia interna depende da temperatura

e massa específica do fluidos.

• Energia cinética, ½ V2 é a energia associada com o

movimento observável do fluido.

uupugqqVitD

D

rr divdivdiv2

2

1

• Substituindo a definição da energia como a soma da

energia interna e cinética na equação de conservação,

temos que a equação de conservação de energia

interna e cinética é


36

• A energia potencial não será considerada

explicitamente na equação acima. A energia

potencial devido a localização no campo de força de

corpo é considerada como o resultado do trabalho

realizado pela força de corpo.

• Considere a energia potencial como Y. A força externa

pode ser expressa em termos do gradiente de um escalar

g

Yg

ttD

Dugu

Yr

YrYrr

então

Se Y independe do tempo, o último termo desaparece, e

tD

Dgu

Yrr


37

• Pode-se agora escrever a equação

de conservação de energia total Y 2

2

1Vie

uupqqVitD

D

Yr divdivdiv2

2

1

uuupupguVtD

D

:divdivdiv rrr 2

2

1

Combinando esta equação de conservação de energia interna

e cinética com a equação de conservação de energia

mecânica, derivada anteriormente, e repetida aqui

uupqqtD

iD :divdiv r

obtém-se a equação de conservação de energia térmica


38

internaenergiaem

mecânicotrabalhodeconversão

conduçãoporenergiadeentrada

detaxageração

internaenergiadeaumento

detaxa

uupqqtD

iD :divdiv r


39

A equação da energia térmica apresentada em termo de energia interna,

apresenta do lado esquerdo termos na forma de energia térmica e do lado

direito na forma de energia mecânica. É conveniente, reescrever a equação

somente em função de termos de energia térmica. Para isso, utilizaremos a

entalpia, cuja definição é

r

pih

tD

Dp

tD

pD

tD

hD

tD

iD r

rr 2

1

utD

D divr

r

utD

pDqq

tD

hD :div r

então

substituindo a equação acima na equação de conservação de energia térmica e

utilizando a equação da continuidade

temos


40

Para a maioria das aplicações de engenharia, é mais conveniente trabalhar com

a equação de energia térmica em função da temperatura e calor específico do

que da energia interna ou entalpia.

Sabemos que para uma substância pura, na ausência de movimento, tensão

superficial e efeitos eletromagnéticos, o estado termodinâmico fica determinado

com somente duas propriedades independentes.

Considerando

u

u

O termo Dp/Dt é mais simples que o termo p div

porque é mais comum um fluido escoar em um processo a pressão quase

constante (i.e., Dp/Dt 0) do que em um processo com volume quase

constante (div 0).

vTii ,r

1v Td

T

ivd

v

iid

T

vdpsdTid

pTv

s

v

i

TT

Porém sabemos que

logo


41

T

icv

TdcvdT

pTpid

v

e utilizando a definição de calor específico a

volume constante

tem-se

pTT

v

p

s

Relembrando as relações de Maxwell

vTT

p

v

s

vss

p

v

T

pss

v

p

T

TdT

ivd

v

iid

T

vTTT

pTppT

v

s

v

i

então


42

uupqqtD

iD :divdiv r

tD

TDc

tD

vD

T

pTp

tD

iD

vrrr

utD

D

tD

D

tD

vD

r

r

rrr

11/

então

mas

Então a equação da energia

uuT

pTqq

tD

TDc

v

v

:divdiv r

pode ser escrita em função da temperatura como


43

A equação da energia pode agora ser simplificada com as

equações constitutivas vistas.

Utilizando a lei de Fourier para avaliar o fluxo da calor de

condução

Fr

u

T

pTTkq

tD

TDc

vv

divgraddiv

considerando um fluido Newtoniano, temos

j

iij

k

k

i

j

j

i

x

u

x

u

x

u

x

uu

F

3

2:

Tkq


44

utD

pDqq

tD

hD :div r

Uma outra forma conveniente da equação da energia em

função da temperatura pode ser a partir da equação de energia

em função da entalpia.

Com a definição de calor

específico a pressão constante pp

T

hc

pdp

hTdchd

Tp

pThh , pdp

hTd

T

hhd

Tp

Considerando


45

vdpidsdT

vphp

hi r

pdvvdphdid

pdvhdsdT pdvsdThd

Para reescrever a variação da entalpia com a pressão de forma

mais conveniente, vamos utilizar novamente a 1ª. Lei da

termodinâmica:

mas

então

vp

sT

p

h

TT

diferenciando a entalpia com relação a p


46

pTT

v

p

s

pppTTT

v

r

r

r

2

11/

pT

r

r

1

r

vp

s

T

1

vTvp

h

T

rT

p

h

T

1

1

onde

Utilizando a definição de coeficiente de

expansão térmica

Tem-se logo

Utilizando a relação de Maxwell


47

h

JTp

T

coeficiente de Joule Thompson

De forma alternativa, a variação da entalpia com a pressão pode

ser escrita utilizando o coeficiente de Joule Thompson

Sendo h=h(p,T) em um processo isoentalpico, tem-se

0

dp

p

hdT

T

hdh

Tp hpTp

T

T

h

p

h

logo

p

JTc

T

r

1JTp

T

cp

h

Note que para um fluido incompressível, o coeficiente de Joule

Thompson é sempre negativo


pd

TTdchd p

r

1

Reescrevendo a entalpia em função de temperatura e pressão

tem-se

pdcTdchd JTpp

tD

pD

tD

TDc

tD

hDJTp rr

tD

pDT

tD

TDc

tD

hDp rr 1

ou


49

utD

pDqq

tD

hD :div r

substituindo

na equação da energia

tD

pDT

tD

TDc

tD

hDp rr 1

utD

pDTqq

tD

TDcp

:div r

Fr tD

pDTTkq

tD

TDcp graddiv

Utilizando a lei de Fourier e considerando um fluido Newtoniano


50

utD

pDqq

tD

hD :div r

substituindo

na equação da energia

tD

pD

tD

TDc

tD

hDJTp rr

utD

pDcqq

tD

TDc JTpp

:)1(div rr

F rrtD

pDcTkq

tD

TDc JTpp )1(graddiv

Utilizando a lei de Fourier e considerando um fluido Newtoniano


51

Vamos analisar agora quatro casos particulares que são muito

utilizadas. Desprezaremos a dissipação viscosa, fontes e

consideraremos a condutividade térmica k constante.

1 - Para gases ideaisv

TRTRp r

T

p

T

p

v

upTktD

TDcv

2r

tD

pDTk

tD

TDcp 2r

TTp

11

r

r


52

2 - Fluido a pressão constante

3 - Fluidos com massa específica r independente de T ( = 0)

4 - Sólidos: A massa específica é em geral constante e 0u

TktD

TDcp

2r

TktD

TDcp

2r

TktD

TDc 2r


53

Equação de Conservação para uma Mistura

A equação de conservação de massa utiliza valores médios em massa, não

fornecendo informações sobre como uma espécie se difunde na outra.

Definições:

mi = massa da espécie i

m = massa total da mistura =

n

iimm

1

ri = concentração em massa

r ii

m = massa da espécie i por unidade de volume

r = massa específica total da mistura

rm

n

ii

1

rr

ci = concentração molar

i

ii

Mc

r = número de moles da espécie i por unidade de volume


54

massa molecular da espécie i

i = fração em massa r

r i

i = concentração em massa da espécie i dividida pela

densidade de massa total da solução

xi = fração em moles c

cx ii concentração molar da espécie i dividida pela densidade de

molar total da solução

iu

= velocidade da espécie i em relação a um eixo estacionário

u

= velocidade média em massa

n

i

ii uu

1 r

r

uui

velocidade de difusão da espécie i em relação a u

ij = fluxo de massa da espécie i em relação a velocidade média em massa uuj iii

r , sendo que

01

n

iij


55

Equação da continuidade para a espécie i: iiii ru

t

r

rdiv

t

i

r = taxa de acumulação de massa da espécie i por unidade de volume

ii u

rdiv = fluxo líquido saindo da espécie i por unidade de volume

ri = taxa de criação ou destruição de massa da espécie i, por unidade de volume. As

espécies podem ser criadas, por exemplo, por reação química.

Cada componente do fluido possui uma equação análoga

Somando estas equações

i ii ii

i iru

t

r

rdiv

a massa específica da mistura e o fluxo de massa da mistura são definidos como

i irr ; i ii uu rr


56

Logo a velocidade média da mistura é

r

r i ii u

u

0i ir pois quando uma espécie é criada, outra é destruída

0

u

t

r

rdiv equação da continuidade da mistura

Usando a definição de fluxo de massa específico

iiii jru

t

divdiv

r

r


57

0

u

t

r

rdiv

iiii jru

t

divdiv

r

r

Equação da continuidade da mistura

n – 1 equações da continuidade das espécies

Para analisar uma mistura precisa-se satisfazer:


58

Utilizando agora a definição de fração em massa r

r i

i , tem-se

iiii jru

t

divdiv

r

r

ou com o auxílio da equação da continuidade da mistura

iii jr

tD

D div

r

Para uma mistura binária, vimos que a lei de Fick relaciona o fluxo de massa difusivo da

espécie 1 em relação a mistura com a fração em massa como

1121 r Dj


59

11211 r

r Dr

tD

Ddiv

rrrr 112 1 122 1

r

r

Finalmente, a equação de difusão de massa para uma mistura

binária é

Para uma mistura binária, não é necessário escrever uma

equação para o segundo componente, uma vez que a

ou


60

Equação de Entropia (2ª lei da Termodinâmica)

QST

T

Q

t

S

sistema

entropiadegeração

atemperatursobtotalcalor

detaxa

sT

Q

t

S

Para sistema temos

= corresponde a um processo reversível

> corresponde a um processo irreversível

convertendo a equação acima para um volume de controle e aplicando em

um volume infinitesimal

onde S é a entropia e Q é a calor transferido.

A variação com o tempo nos fornece


61

volumedeunidadeporentropiadegeração

volumedeunidadeatemperatura

sobrecalordelíquidofluxo

volumedeunidadeporentropia

desaindolíquidofluxo

volumedeunidadeporentropia

deacumulaçãodetaxa

sT

qsu

t

s

divdiv r

r

sT

q

tD

sD

divr


62

Vamos quantificar a geração de entropia

Considere a 1ª lei da termodinâmica T ds = di + p dv

tD

vDp

tD

iD

tD

sDT

r

r

r

r u

tD

D

tD

D

tD

vD

div/

2

11

u

p

tD

iD

TtD

sD div

r

1

uupqqtD

iD :divdiv r

T

u

T

q

T

q

tD

sD

:r

relembrando a equação da energia

substituindo na equação anterior, temos


63

2div

T

Tq

T

q

T

q

T

q

2T

Tq

T

q

T

q

2

:

T

Tq

T

q

T

u

T

q

tD

sD

r

sT

q

tD

sD

r

2T

Tq

T

uqs

:

mas

comparando com a equação de

conservação de entropia

Conclui-se que

então


64

2T

Tq

T

uqs

:

2

2

T

Tk

T

qs

F

Utilizando a lei de Fourier e considerando um fluido Newtoniano, a

geração de entropia é

Nota-se que o fluxo de calor, sempre causa geração de entropia,

assim como o atrito viscoso de um fluido Newtoniano, já que a

função dissipação F também é sempre positiva.


65

Derivação das relações de Maxwell

1 - Função de Helmhots: a = i – T s

Variação TdssdTidad

1ª lei da termodinâmica vdpsdTid

Tdsvdpad

TdT

avd

v

aad

vT

Tv

ap

vT

as

;

Comparando com a

regra da cadeia

concluimos

logo


66

Tv

ap

vT

as

vT

a

T

p

v

2

Tv

a

v

s

T

2

vTT

p

v

s

.

Diferenciando novamente cada termo acima

;

E finalmente igualando, tem-se uma das relações de Maxwell


67

Derivação das relações de Maxwell

2 - Função de Gibbs: g = h – T s ou g = i – p v – T s ou

Variação

1ª lei da termodinâmica vdpsdTid

Comparando com a

regra da cadeia

concluimos

logo

TdssdTvdppdvidgd

Tdspdvgd

TdT

gpd

p

ggd

pT

pT

gs

Tp

gv


68

.

Diferenciando novamente cada termo acima

;

E finalmente igualando, tem-se outra das relações de Maxwell

Tp

g

p

s

T

2

pT

g

T

v

P

2

pT

gs

Tp

gv

pTT

v

p

s


69

CONDIÇÕES DE CONTORNO

• Fronteiras livres

• Fronteiras limitadas (parede)

Balanços interfaciais

1

2

A1

A2

n2

n1

Ai


70


Balanço de massa interfacial

1

2

A1

A2

n2

n1

Ai

02

1

k

ikkk )u(unr

S

tSkini

/nuu

tinii uuu

02

1

k

km

)u(un ikkkkm r Fluxo de massa interfacial

(mudança de fase)

ui velocidade da interface

uni velocidade de deslocamento dainterface

Posição da interface S(x, t)


71


Balanço de quantidade de movimento interfacial

1

2

A1

A2

n2

n1

Ai

Tensor de tensões:

Fluxo de superfície interfacial:

Parcela normal representa o efeito líquido da curvatura da interface, onde k é a curvatura média da superfície, é tensão superficial.

Força tangencial devido ao gradiente da tensão superficial.

02

1

i

k

kkkikkk Mnu)u(unr

k Fi tnM 2

kkk p τI


72

CONDIÇÕES DE CONTORNO

Interface fluido-sólido:

a velocidade do líquido é igual a velocidade do sólido

condição de não deslizamento: velocidades tangenciais iguais

condição de impenetrabilidade: velocidades normais iguais

un=ûsólido n em S

(parede fixa impermeável, û=0)

A condição de não deslizamento ocorre na maioria dos fluidos

Newtonianos (moléculas pequenas), e também em muitas

situações dos fluidos complexos

tit2t1t uuuu tu

Angela Nieckele – PUC-RioAngela Nieckele – PUC-Rio73

Condição de contorno Salto de quantidade de movimento:

Tensão viscosa

Tangencial

Normal

Fk

tk tτ

2

1

kr

121

2

1

2

2 nτnn

k

nkkkk

kk p

m

tknmktknkkk kτ τnτττn

Interface plana líquido-líquido: as velocidades e tensões são contínuas

através da interface

Interface plana líquido-gás: a tensão cisalhante é nula na interface, uma vez

que os gradientes do lado do gás são pequenos. Esta é uma boa aproximação

porque gases << liquidos.

Interface curvas líquido-gás ou líquido-gás: a tensão normal não é mais

contínua através da interface, e a tensão superficial torna-se importante


74


Balanço de energia

1

2

A1

A2

n2

n1

Ai

Energia interna por unidade de área interfacial:

1

2

1

diia

2

1

2

2k

kkkkk

kikkkiiisaas u

iitd

idqun)u(unuMu r

taxa de variação da energia da superfície

trabalho

realizado pela

tensão

superficial

transferência de energia do fluido de cada lado da interface


75

Condição de contorno

Condição de contorno de equilíbrio térmico

iii TTT 21

Interface fluido-sólido: solidosolidokk qnqn

solsolsol TkTk nn

Interface com mudança de fase

l = calor latente

llmTkTk 222111 nn


76

Escoamento internos ×

Escoamentos externosO escoamento e transferência de calor apresentam características

diferentes dependendo se o escoamento é externo ou interno.

Escoamento externo: caracterizado pela região com gradiente

acentuado de velocidade (camada limite hidrodinâmica) e gradiente

acentuado de temperatura (camada limite térmica)

Escoamento interno:

Entrada: comportamento análogo à camada limite externa

Longe da entrada, em tubulações longas: escoamento

desenvolvido:

• Hidrodinâmicamente desenvolvido: u/x=0 ; dp/dx=cte

•Termicamente desenvolvido: forma do perfil de temperatura

não varia (/x=0)

é temperatura adimensional =(T-Tref)/ Tref


77

ESCOAMENTOS EXTERNOS: em geral desejamos

determinar as forças que atuam no corpo, isto é, força de arraste e

sustentação, e o calor trocado entre o corpo e fluido

Região afetada pela

presença do corpo

CAMADA LIMITE

Fora da camada limite, o

escoamento não é afetado

pela presença do corpo

forças viscosas não são

importantes

Quando o escoamento na camada limite é

desacelerado devido a uma diferença de

pressão, pode ocorrer uma reversão do

escoamento e a camada limite separa-se da

superfície do corpo, formando a esteira


ESCOAMENTOS EXTERNOS

A velocidade característica é a velocidade de

aproximação do corpo U e temperatura da corrente

livre T

A dimensão característica é o comprimento do corpo

na direção do escoamento, L

78

r LURe O número de Reynolds que caracteriza a

transição neste caso é

Re 5 x 105 laminar

Re > 5 x 105 turbulento

T


79

Camada Limite Hidrodinâmica:

região do fluido que sofre os efeitos da parede (u ≤ U∞)

(x)

x

y

U U

u(y)

Fluidos

Newtonianos:0

y

sy

u

Espessura da camada limite,

Cresce com x

Depende da viscosidade

u/yy=0 cai com x s (Cf) cai com x

221

U

xxCf s

r

)/(

)()(

Coeficiente de atrito


80

Camada Limite Térmica: região do fluido que apresenta variações no campo de temperatura

devido a presença da parede

t(x)

t

x

y

T0U

T(y)

T0

Ts

0

0

0

0

0

990

TT

y

Tk

h

TThy

Tkq

TT

TT

s

y

f

s

y

fs

s

s

"

,

• Coeficiente de transferência de calor h é função da distribuição de

temperaturas

• t cresce com x T/yy=0 cai com x h cai com x

• Espessura da camada limite térmica depende de Prandtl = cp/k


81

ESCOAMENTOS INTERNOS: em geral desejamos buscar

a relação entre vazão e queda de pressão, variação de

temperatura entre entrada e saída e fluxo de calor trocado

• Em um escoamento interno, longe da região de entrada, observa-se que o

escoamento não apresenta variações na sua própria direção, e a pressão varia

linearmente ao longo do escoamento. O escoamento é considerado como hidro

dinâmicamente desenvolvido.

• O comportamento na região de entrada de uma tubulação apresenta o mesmo

comportamento que o escoamento externo. Portanto, estudaremos escoamentos

externos e depois aplicaremos os resultados obtidos para analisar a região de

entrada de uma tubulação.


82

ESCOAMENTOS INTERNOS

Considerando que o escoamento como hidrodinâmicamente

desenvolvido.

A velocidade característica é a velocidade média um

A dimensão característica é o diâmetro hidráulico, Dh

dAuA

1

A

Qu

TTm

m

th

P

A4D

At é a área transversal do

escoamento e Pm é o perímetro

molhado, o fator 4 é introduzido por

conveniência.

r hm DuRe

O número de Reynolds que caracteriza a transição neste caso é

Re 2300 laminar

Re > 2300 turbulento


83

ESCOAMENTOS INTERNOS

Considerando que o escoamento como termicamente

desenvolvido.

A temperatura característica é a temperatura de mistura Tm

tmp

p

pp

mAuc

dATcu

dAuc

dAeu

cm

ET

r

r

r

r

Propriedades

constantestm

mAu

dATuT

ref

ref

T

TT

0

x

equações de conservação - puc-riomecflu2.usuarios.rdc.puc-rio.br/transcal_ii_mec2348/2...angela...

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