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Equation Chapter 1 Section 1

Dep. de Ingeniería Eléctrica

Escuela Técnica Superior de Ingeniería

Universidad de Sevilla

Sevilla, 2017

Trabajo Fin de Máster

Máster en Ingeniería Industrial

Análisis Comparativo de Métodos de Cálculo de

Sistemas de Puesta a Tierra

Autor: Francisco José Armenteros Berral

Tutor: Pedro Luis Cruz Romero

Trabajo Fin de Máster

Máster en Ingeniería Industrial

Análisis Comparativo de Métodos de Cálculo de

Sistemas de Puesta a Tierra

Autor:

Francisco José Armenteros Berral

Tutor:

Pedro Luis Cruz Romero

Profesor titular

Dep. de Ingeniería Eléctrica

Escuela Técnica Superior de Ingeniería

Universidad de Sevilla

Sevilla, 2017

Trabajo Fin de Máster: Análisis Comparativo de Métodos de Cálculo de Sistemas de Puesta a Tierra

Autor: Francisco José Armenteros Berral

Tutor: Pedro Luis Cruz Romero

El tribunal nombrado para juzgar el Proyecto arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros:

Presidente:

Vocales:

Secretario:

Acuerdan otorgarle la calificación de:

Sevilla, 2017

El Secretario del Tribunal

A mi familia

A mis maestros

Agradecimientos

Quiero dar las gracias a D. Pedro Luis Cruz Romero por sugerirme y darme las directrices para realizar este

trabajo fin de máster.

A mi familia, en especial a mi padre Francisco José y a mi madre Marina, por todo el esfuerzo que han realizado

durante estos años de máster, por todo su apoyo día tras día y por estar siempre a mi lado. Pilar fundamental

para que esto haya sido posible.

A mi novia Sandra por estar en todo momento apoyándome, sugiriendo y motivando tanto en los buenos

momentos como en los malos. No fuera sido posible terminarlo sin tu fuerza aportada. Sin duda, este trabajo va

dedicado a ti.

A mis hermanos, amigos y compañeros, por estar conmigo en todo momento en estos años.

A todos vosotros, gracias.

Francisco José Armenteros Berral

Sevilla, 2017

i

Resumen

Los sistemas de puesta a tierra son una parte esencial de las instalaciones eléctricas. Su correcto diseño, ejecución

y verificación de los sistemas de puesta a tierra aportan garantía de seguridad a las personas y al resto de

instalaciones propias o instalaciones vecinas.

Un buen diseño disminuirá el riesgo asociado que conlleva una derivación de corriente a tierra, ya sea debido a

averías en los equipos, condiciones meteorológicas adversas, materiales con deficiencias, etc.

Por eso el objetivo de este documento es el estudio de diferentes métodos de análisis y diseño de sistemas de

puesta a tierra.

Se describirán fundamentos físicos propios de los sistemas de tierra y se presentarán varios métodos para

diferentes configuraciones, situaciones y medios.

iii

Abstract

Grounding systems are an essential part of electrical installations. Its correct design, execution and verification

of the earthing systems provides a guarantee of safety to the people and to the rest of its own facilities or

neighboring facilities.

Good design will reduce the associated risk associated with a current-to-ground shunt, whether due to equipment

breakdowns, adverse weather conditions, materials with deficiencies, etc.

Therefore, the purpose of this document is the study of different methods of analysis and design of earthing

systems.

Physical fundamentals of ground systems will be described and various methods for different configurations,

situations and means will be presented.

v

Índice

Agradecimientos i

Resumen iii

Abstract v

Índice vii

Índice de Tablas ix

Índice de Figuras xi

1 Introducción 1

2 Fundamentos físicos de los sistemas de puesta a tierra 3 2.1 Introducción 3 2.2 Planteamiento del problema 3

2.2.1 Modelo matemático 4 2.2.2 Analogía con la electrostática 5 2.2.3 Parámetros fundamentales a obtener de los electrodos 6

2.3 Resistencia de puesta a tierra 6 2.3.1 Cálculo de resistencia de puesta a tierra de electrodos tipo 7

2.4 Cálculo del potencial 9 2.4.1 Cálculo del potencial originado por un punto de corriente 11 2.4.2 Cálculo del potencial originado por distribuciones lineales de puntos de corriente 12 2.4.3 Cálculo del potencial originado por distribuciones superficiales de puntos de corriente 16

3 Métodos de cálculo 19 3.1 Método de Howe 19

3.1.1 Determinación de las tensiones de paso y contacto 22 3.1.2 Determinación de la resistencia de puesta a tierra 23 3.1.3 Aplicación del método de Howe 24

3.2 Método de simulación de cargas 27 3.2.1 Aplicación del método de simulación de cargas (CSM) 30

4 Comparativa resultados métodos de cálculo 35 4.1 Introducción 35 4.2 Una pica 35 4.3 Varias picas en hilera 37 4.4 Anillo 40 4.5 Anillo con picas 43

5 Métodos en sistemas no homogéneos 47 5.1 Introducción 47 5.2 Método de simulación de cargas (CSM) en terreno de dos capas 47

6 Interconexión de tierras 55 6.1 Introducción 55 6.2 Modelo matemático 56

6.3 Ejemplo de análisis 58

Anexo I Listado de códigos en Matlab 63

Bibliografía 71

ÍNDICE DE TABLAS

Tabla 2-1 Resistencia de puesta a tierra para electrodos tipos 9

Tabla 4-1 Valores característicos para configuración pica simple 35

Tabla 4-2 Errores cometidos en los valores calculados para pica simple 36

Tabla 4-3 Valores característicos para configuración de varias picas en hilera 38

Tabla 4-4 Errores cometidos en los valores calculados para picas en hilera 39

Tabla 4-5 Valores característicos para configuración en anillo 41

Tabla 4-6 Errores cometidos en los valores obtenidos para un anillo 42

Tabla 4-7 Valores característicos para configuración en anillo con picas 44

Tabla 4-8 Errores cometidos en los valores obtenidos para un anillo con picas 45

Tabla 6-1 Resultados obtenidos para ρ = 100 Ωm 59

Tabla 6-2 Resultados obtenidos para ρ = 50 Ωm 60

Tabla 6-3 Resultados obtenidos en el caso ρ1 = 100 Ωm y ρ2 = 50 Ωm 60

Tabla 6-4 Resultados obtenidos en el caso ρ2 = 100 Ωm y ρ1 = 50 Ωm 61

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 2-1 Electrodo enterrado en un medio semiinfinito 3

Figura 2-2 Elemento cargado en un medio semiinfinito 5

Figura 2-3 Electrodo esférico enterrado 7

Figura 2-4 Electrodo semiesférico enterrado 8

Figura 2-5 Pica enterrada 8

Figura 2-6 Influencia de una carga puntual 9

Figura 2-7 Influencia de una distribución volumétrica de carga 18

Figura 2-8 Alambre en un medio infinito 12

Figura 2-9 Electrodo lineal horizontal en un medio infinito 12

Figura 2-10 Electrodo lineal en un medio infinito en posición vertical 13

Figura 2-11 Electrodo vertical real y su electrodo imaginario 14

Figura 2-12 Configuraciones virtuales para el problema planteado 15

Figura 2-13 Distribución superficial de puntos de corriente para el cálculo del potencial en el punto P 16

Figura 2-14 Electrodo en forma de disco 17

Figura 3-1 Dos conductores interaccionando en un medio infinito 19

Figura 3-2 Dos conductores paralelos interaccionando 20

Figura 3-3 Dos conductores perpendiculares interaccionando 22

Figura 3-4 Cálculo del potencial en P 22

Figura 3-5 Reparto uniforme de corriente por el electrodo 23

Figura 3-6 Pica de 2 m enterrada 0.5 m 24

Figura 3-7 Elementos de la estructura objeto de estudio 28

Figura 3-8 Puntos fuente y campo para un mismo elemento de la estructura 28

Figura 3-9 Elemento liberando corriente a través de M fuentes puntuales de corriente 29

Figura 3-10 Distribución de cargas en los elementos 31

Figura 3-11 Forma del potencial para el caso de una pica simple a una profundidad de 0.5 m 33

Figura 4-1 Potencial para cada punto del plano z=0 con electrodo de una pica 36

Figura 4-2 Picas en hilera, enterradas a 0.5 m 37

Figura 4-3 Puntos de cálculo, 𝑃1 y 𝑃2 para obtener 𝐾𝑐 37

Figura 4-4 Puntos de cálculo, 𝑃1 y 𝑃2 para obtener 𝐾𝑝 38

Figura 4-5 Potencial en cada punto del plano z=0 con varias picas en hilera 39

Figura 4-6 Anillo sin picas, enterrado a 0.5 m 40



Figura 4-9 Potencial en cada punto del plano z=0 con electrodo en forma de anillo 42

Figura 4-10 Anillo con picas, enterrado a 0.5 m 43



Figura 4-13 Potencial en cada punto del plano z=0 con electrodo en forma de anillo con picas 45

Figura 5-1 Modelo de terreno de dos capas 47

Figura 5-2 Detalle de los puntos fuente y campo para un elemento de radio r 48

Figura 5-3 Distribución puntos fuentes y puntos campo electrodo de ejemplo 48

Figura 5-4 Configuración de Wenner 50

Figura 5-5 Curvas maestras para K negativa 51

Figura 5-6 Curvas maestras para K positiva 51

Figura 5-7 Gráfica 𝜌𝑎 vs a para aplicación del método de Sunde 52

Figura 5-8 Curvas de Sunde 52

Figura 6-1 Tierras separadas 55

Figura 6-2Tensión transferida tierras independientes 55

Figura 6-3 Tensión transferida por elemento metálico 56

Figura 6-4 Tierras interconectadas 56

Figura 6-5 Electrodos considerados en instalaciones de puesta a tierra independientes 58

Figura 6-6 Distribución de potenciales 59

1 INTRODUCCIÓN

Los sistemas de puesta a tierra son una parte esencial de las instalaciones eléctricas que garantizan la protección

tanto de las personas como de la propia instalación.

Una instalación eléctrica, como cualquier sistema, no es perfecto por lo que puede sufrir fallos ya sean por

accidentes meteorológicos o debidos a la propia red. Ante este tipo de fallos, suelen aparecer potenciales en

elementos no pertenecientes a la puesta a tierra debido a corrientes que circulan por estos.

Los objetivos de una instalación de puesta a tierra son:

- Proporcionar una resistencia del sistema de puesta a tierra lo suficientemente baja para facilitar una

operación satisfactoria de las protecciones en caso de defecto a tierra.

- Asegurar que las personas presentes en la instalación no queden expuestos a potenciales inseguros.

- Mantener los voltajes del sistema dentro de límites razonables bajo condiciones de defecto a tierra

asegurándose que no se exceda el voltaje de ruptura dieléctrica del aislante.

- Limitar el voltaje a tierra sobre materiales conductores próximos a equipos eléctricos.

- Estabilizar voltajes fase-tierra en líneas eléctricas.

- Proporcionar una trayectoria alternativa para las corrientes inducidas para minimizar el ruido eléctrico

en cables.

- Proporcionar equipotencialidad.

Para alcanzar los objetivos anteriores, el sistema de puesta a tierra debe ante todo tener una resistencia baja, de

modo que a la hora de dispersar corriente en el terreno no se produzca un aumento de tensión que pueda

sobrepasar los límites máximos.

Para no sobrepasar estos límites máximos, toda instalación eléctrica necesita un diseño exacto de la instalación

de puesta a tierra, para minimizar las diferencias de potencial peligroso que pueden aparecer y que son accesibles

para las personas.

A la hora del diseño de una instalación de puesta a tierra se debe alcanzar un punto técnico-económico, es decir,

cumplir con los requisitos técnicos establecidos por normativa, sin realizar gastos desorbitados.

Los sistemas de puesta a tierra no solo están diseñados para garantizar la seguridad de la instalación y de las

personas, también garantizan el correcto funcionamiento de las protecciones eléctricas. Para alcanzar este

objetivo necesitamos la caracterización de los electrodos que forman la puesta a tierra.

Para caracterizar los electrodos y obtener importantes parámetros eléctricos como la tensión de paso, la tensión

de contacto o la tensión del propio electrodo es necesario utilizar métodos matemáticos y físicos como pueden

ser el método de Howe y el método de simulación de cargas (CSM). Los fundamentos de estos métodos están

basados en las leyes de la electrostática y el electromagnetismo.

Ante el gran avance de los ordenadores resulta de gran interés la simulación del comportamiento de los

electrodos de puesta a tierra cuando por ellos discurre una corriente originada por un defecto en la instalación

eléctrica. La elevada capacidad de estos nos permitirá obtener resultados con gran precisión, eliminando errores

que pueden derivar en graves consecuencias para las personas y la propia instalación.

Por ello, en este trabajo se estudiarán los fundamentos físicos y matemáticos que rigen los sistemas de puesta a

tierra. Se describirán todos los aspectos necesarios para entender los métodos que caracterizan los electrodos

(Método de Howe y CSM).

Todo estudio o diseño de sistema de puesta a tierra se realizará con corrientes constantes a lo largo del tiempo

limitando nuestro trabajo a corrientes en régimen estacionario, ya que el diseño de sistema de puesta a tierra que

inyectan corrientes en el terreno dependientes del tiempo (régimen transitorio) son muy difíciles de acometer

1

Análisis Comparativo de Métodos de Cálculo de Sistemas de Puesta a Tierra

alejándose así de los objetivos principales de este trabajo.

El estudio que se presenta en este documento está estructurado en cinco apartados (sin tener en cuenta la

introducción) y un anexo.

El apartado 2 comprende la descripción de los fundamentos físicos y matemáticos de los sistemas de puesta a

tierra, analizando con mayor profundidad los parámetros eléctricos de los electrodos tipo.

El apartado 3 describe los métodos (Método de Howe y método de simulación de cargas, CSM) más frecuentes

para la obtención de parámetros eléctricos. En este apartado se estudia una aplicación del método de Howe y el

método CSM para la obtención de parámetros característicos de un electrodo tipo (pica enterrada).

El apartado 4 establece una comparativa de valores característicos entre los dos métodos y los valores que

proporciona el documento de UNESA “Método de cálculo y proyecto de instalaciones de puesta a tierra para

centros de transformación conectados a redes de tercera categoría”, para cuatro electrodos tipo (una pica, varías

picas en hilera, un anillo y anillo con picas).

El apartado 5 analiza un modelo de suelo no homogéneo o estratificado, en concreto el modelo bicapa. Se

muestra cómo se puede aproximar a este modelo por medio de expresiones matemáticas o usando métodos

gráficos.

El apartado 6 muestra los casos principales de potenciales transferidos y el desarrollo matemático del cálculo

de potencial transferido para cada un de los casos.

Para finalizar, se incluye en el anexo I el desarrollo en Matlab del ejercicio de aplicación acometido en el

apartado 3 tanto por el método de Howe como por el método CSM.

2

2 FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LOS SISTEMAS DE

PUESTA A TIERRA

2.1 Introducción

En este apartado, se estudian los fundamentos físicos en los que se basa el diseño de sistemas de puesta a tierra.

Se presentarán los parámetros característicos para electrodos tipos, así como cálculos necesarios para diseñar

sistemas.

En los sistemas a analizar se considerarán que inyectan al terreno corrientes no dependientes del tiempo, es decir

intensidades en régimen estacionario.

2.2 Planteamiento del problema

El problema que surge es debido al desconocimiento de lo que ocurre cuando una corriente procedente de

diferentes orígenes, como pueden ser sobretensiones de origen atmosférico, sobretensiones debido a maniobras

o desequilibrios eléctricos, circula a través de un sistema de puesta a tierra. Por lo tanto, debemos conocer lo que

ocurre, para elegir la mejor configuración del sistema de puesta tierra en las distintas instalaciones y así no poner

en peligro a las personas y a los equipos existentes en la instalación. El problema se debería de plantear con un

electrodo al que se le inyecta una corriente armónica en el tiempo, pero dado su gran complejidad que se aleja

del objetivo de este trabajo, la corriente inyectada será una corriente estacionaria a tierra.

El electrodo en estudio será uno genérico como se muestra en la Figura 2-1. Este estará enterrado en el terreno,

el cual se caracteriza por su conductividad, σ, y por su inversa, la resistividad, ρ. El paso de una corriente, 𝐼, por

dicho electrodo provocara un potencial 𝑉𝑒 constante. Este irá disminuyendo a medida que nos alejemos del

electrodo, siendo cero a distancias grandes consideradas como infinitas.

Figura 2-1 Electrodo enterrado en un medio semiinfinito

3


2.2.1 Modelo matemático

El problema planteado en el Epígrafe 2.2 se resuelve por medio de la ecuación de Laplace, cuya expresión es la

siguiente:

2. 𝑉 = 0 (2-1)

Pero para conseguir esta expresión debemos conocer algunos fundamentos físicos y matemáticos importantes

dentro del electromagnetismo.

• Ecuación de continuidad

𝐽 = −𝜕𝜌𝑉

𝜕𝑡 (2-2)

Donde 𝐽 es un campo vectorial de la densidad de corriente eléctrica y 𝜌𝑣 densidad de corriente

volumétrica.

Esta expresión indica que la cantidad de corriente que sale de un elemento de volumen arbitrario es

igual a la disminución de la carga interior del elemento con el tiempo.

Para corrientes estacionarias, en las que la carga no varía con el tiempo, se cumple que:

∇ 𝐽 = 0 (2-3)

Teniendo en cuenta la Figura 2-1, donde la intensidad que libera el electrodo a través de la superficie 𝑆

y 𝑆𝑐 es:

𝐼 = ∯ 𝐽 . 𝑑𝑆𝑐 = ∯ 𝐽 . 𝑑𝑆

𝑆𝑆𝑐 (2-4)

Donde 𝑆𝑐 es la superficie del electrodo conductor y 𝑆 cualquier superficie cerrada que rodee y envuelva

al electrodo.

Relacionando la expresión 2-3 con la expresión 2-4:

𝐼 = ∯ 𝐽 . 𝑑𝑆𝑐 = ∯ 𝐽 . 𝑑𝑆 =

𝑆∇ 𝐽

𝑆𝑐= 0 (2-5)

Afirmamos que, en régimen estacionario, las corrientes liberadas por electrodo son de igual magnitud

que las que entran a través de este, 𝐼.

• ley de Ohm

𝐽 = 𝜎. (2-6)

Indicando la relación existente entre la densidad de corriente, 𝐽 , y el campo eléctrico, . Siendo la

relación, para medios homogéneos, constante y para medios no homogéneos, función de la posición.

• ley de Faraday

Es una de las ecuaciones de Maxwell, las cuales conforman las ecuaciones fundamentales del

electromagnetismo.

𝑟𝑜𝑡 𝐸 = −𝜕𝐵

𝜕𝑡 (2-7)

Considerando que la inducción magnética, 𝐵, no varía con respecto al tiempo (regimen estacionario)

podemos afirmar que:

𝑟𝑜𝑡 𝐸 = 0 (2-8)

Ecuación que nos indica que el campo eléctrico es irrotacional, derivando del gradiente de un potencial.

4


= −∇ 𝑉 (2-9)

Relacionando los fundamentos establecidos con anterioridad (ecuación de continuidad, ley de Ohm y ley de

Faraday) podemos obtener sin mucha complejidad la ecuación de Laplace, por la que se rige nuestro problema.

∇ 𝐽 = 𝜎. ∇ . = −𝜎. ∇ 2. 𝑉 = 0 − −→ ∇ 2. 𝑉 = 0 (2-10)

2.2.2 Analogía con la electrostática

La ecuación de Laplace también se puede obtener a través de la Electrostática. Esta se rige fundamentalmente a

través de:

• Ecuaciones de Maxwell

a) ∇ = 𝑝𝑣 (2-11)

b) 𝑟𝑜𝑡 𝐸 = 0 (2-12)

Siendo el desplazamiento eléctrico.

• Relaciones existentes en los medios

a) 𝑗 = 𝜎. (2-13)

b) = 𝜇. (2-14)

c) = 𝜀. (2-15)

Siendo el campo magnetico, 𝜇 la permeabilidad del medio y 𝜀 la permitividad del medio.

Para plantear nuestro problema según la Electrostática vamos a considerar un elemento con carga 𝑄, en un medio

semiinfinito y con permitividad del medio 𝜀, como nos muestra la Figura 2-2.

Figura 2-2 Elemento cargado en un medio semiinfinito

5


Teniendo en cuenta que nuestro medio planteado no tiene distribuciones de carga uniformes, 𝑝𝑣= 0, el gradiente

del desplazamiento eléctrico es nulo.

∇ = 0 (2-16)

Cumpliéndose estas condiciones establecidas, podemos afirmar que a partir de la Electrostática también

podemos resolver nuestro problema.

(𝜀. ) = 𝜀. . = 𝜀. . (− 𝑉) = −𝜀. 2. 𝑉 = 0 − −−→ 2. 𝑉 = 0 (2-17)

2.2.3 Parámetros fundamentales a obtener de los electrodos

Existen parámetros que son interesantes y de mucha utilidad a la hora de estudiar cómo se comporta un electrodo

al paso de una corriente.

a) Potencial del electrodo, 𝑉𝑒. Potencial adquirido en el electrodo al paso de una corriente de defecto, 𝐼.

b) Resistencia de puesta a tierra, 𝑅𝑝𝑎𝑡. Constante de proporcionalidad entre dos magnitudes: la tensión

aplicada al electrodo y la corriente de defecto.

𝑅𝑝𝑎𝑡 =𝑉𝑒

𝐼 (2-18)

c) Tensión de paso, 𝑉𝑝𝑎𝑠𝑜. Diferencia de potencial existente entre dos puntos del terreno, 𝑃𝑜 y 𝑃1,

separados un metro de distancia, que puede ser puenteada por una persona que camine por un terreno

en el cual existe una corriente de defecto circulando por un sistema de puesta a tierra.

𝑉𝑝𝑎𝑠𝑜 = 𝑉𝑃0− 𝑉𝑃1

(2-19)

d) Tensión de contacto, 𝑉𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑐𝑡𝑜. Diferencia de potencial que aparece entre el potencial originado como

consecuencia de un defecto de aislamiento de una parte accesible conectada al electrodo, 𝑉𝑒, y el

potencial de un punto situado a 1 metro de estas partes, 𝑉𝑃0.

𝑉𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑐𝑡𝑜 = 𝑉𝑒 − 𝑉𝑃0 (2-20)

2.3 Resistencia de puesta a tierra

La resistencia de puesta a tierra se puede definir como la oposición del terreno o medio donde está enterrado el

electrodo al campo de corrientes provocadas por la activación del electrodo al paso de una corriente.

Antes de dar una expresión matemática de la resistencia de puesta a tierra, debemos dar una serie de premisas y

recordatorios:

1) 𝑉𝑒. Diferencia entre el potencial adquirido en un punto del electrodo y otro punto situado en el infinito

con potencial cero, 𝑉(∞) = 0.

Esta diferencia de potencial se puede expresar como el trabajo que realiza el campo eléctrico, , al

desplazar una carga desde un punto 𝑃 del electrodo a otro punto situado en el ∞.

De forma matemática se puede expresar:

𝑉𝑒 = ∮ ∞

𝑃. 𝑑𝑟 (2-21)

2) La corriente que sale de la superficie 𝑠𝑐:

𝐼 = ∯ 𝐽 𝑆𝑐

. 𝑑𝑆𝑐 (2-22)

En general, la expresión de la 𝑅𝑝𝑎𝑡 puede expresarse como:

6



𝐼=

∮ .𝑑𝑟 ∞

𝑃

∯ 𝐽 .𝑑𝑆 𝑐𝑠𝑐

(2-23)

2.3.1 Cálculo de resistencia de puesta a tierra de electrodos tipo

A continuación, se presentará el cálculo de 𝑅𝑝𝑎𝑡 de electrodos tipos a partir de la expresión 2-23:

a. Resistencia de puesta a tierra a una distancia r de un electrodo esférico

Figura 2-3 Electrodo esférico enterrado

Esfera enterrada en un medio infinito cuya resistencia viene dada por la siguiente expresión:


𝐼=

∮ .𝑑𝑟 ∞

𝑃

∯ 𝐽 .𝑑𝑆 𝑆

=∮ .𝑑𝑟

∞

𝑃

∯ 𝜎. .𝑑𝑆 𝑆

=∮ 𝑑𝑟

∞

𝑃

∯ 𝜎.𝑑𝑆 𝑆

= ∮1

∯𝜎.𝑑

𝑑 (𝑑 )𝑆

∞

𝑃 (2-24)

Esta expresión se puede simplificar si suponemos que el grosor entre las distintas capas de las

superficies equipotenciales es constante, por lo que 𝑑𝑟 no dependerá de 𝑑𝑆

𝑅𝑝𝑎𝑡 = ∮𝑑𝑟

∯ 𝜎.𝑑𝑆 𝑠

∞

𝑃= ∮

𝑑𝑟

𝜎.𝑆

∞

𝑃 (2-25)

Como el punto 𝑃 se encuentra a una distancia 𝑟 del centro de la esfera y la superficie es 𝑆 = 4. 𝜋. 𝑟2,

la expresión queda:

𝑅𝑝𝑎𝑡 = ∮𝜌.𝑑𝑟

4.𝜋.𝑟2

∞

𝑅=

𝜌

4.𝜋∮

𝑑𝑟

𝑟2

∞

𝑅=

𝜌

4.𝜋.𝑟 (2-26)

b. Resistencia de puesta a tierra de un electrodo semiesférico

Electrodo semiesférico a nivel de tierra con radio R, donde 𝑅𝑝𝑎𝑡 viene dada por la siguiente expresión:


𝜎.𝑆

∞

𝑅= ∮

𝜌.𝑑𝑟

2.𝜋.𝑟2

∞

𝑅=

𝜌

2.𝜋∮

𝑑𝑟

𝑟2

∞

𝑅=

𝜌

2.𝜋.𝑅 (2-27)

7


Figura 2-4 Electrodo semiesférico enterrado

c. Resistencia de puesta a tierra de una pica vertical

Este ejemplo se va a plantear de manera diferente a los anteriores, ya que en este vamos a calcular la

resistencia del medio material desde un punto 𝑃 a una distancia del centro de la pica 𝑅 hasta un punto

situado a una distancia 𝑥.

El extremo de la pica en estudio será una semiesfera de radio 𝑅 como se verá en la figura 2-5.

La superficie total de la pica vendrá dada por la suma de dos partes: la parte cilíndrica (𝑆𝐶) y la parte

semiesférica (𝑆𝑆).

𝑆𝑇 = 𝑆𝐶 + 𝑆𝑆 = 2 . 𝜋 . 𝑅. 𝐿 + 2 . 𝜋 . 𝑅2 (2-28)

Por lo que la resistencia de puesta a tierra será:


𝜎.𝑆𝑐

𝑥

𝑅= ∮

𝜌.𝑑𝑟

2 .𝜋 .𝑅.𝐿+ 2 .𝜋 .𝑅2

𝑥

𝑅 (2-29)

Figura 2-5 Pica enterrada

Para obtener la 𝑅𝑝𝑎𝑡 de otro tipo de electrodos se sigue el mismo camino utilizado hasta ahora en los

ejemplos anteriores. En la Tabla 2.1 se muestra la resistencia de puesta a tierra de electrodos simples

que se utilizan en el diseño de sistemas de puesta a tierra.

8


Tabla 2-1 Resistencia de puesta a tierra para electrodos tipos

Esfera

𝑅 =𝜌

4. 𝜋. 𝑅

Disco

𝑅 =𝜌

8. 𝑅

Barra

𝑅 =𝜌

4. 𝜋. 𝐿log (

2. 𝐿

𝐷2

)

Anillo

𝑅 =𝜌

4. 𝜋2. 𝑅log (

8. 𝑅

𝐷2

)

Electrodo en

superficie

𝑅 =𝜌

2. 𝜋. 𝑅

2.4 Cálculo del potencial

El cálculo del potencial en electrodos activos lo vamos a asemejar al cálculo del potencial en un punto 𝑃 creado

por una carga puntual 𝑞, una distribución volumétrica de cargas o una distribución superficial de cargas según

la teoría electrostática.

La carga puntual se situará en un sistema de coordenadas como muestra la Figura 2-6. Esta estará a una distancia

𝑟′ del punto de referencia del sistema de coordenadas y el punto 𝑃 estará situado a una distancia 𝑟 de la

referencia.

Figura 2-6 Influencia de una carga puntual

9


El campo electrostático 𝐸 que se origína en el punto 𝑃 viene dado por la siguiente expresión:

𝐸(𝑃) =𝑟−𝑟′

|𝑟−𝑟′|

𝑞

4.𝜋.𝜀.|𝑟−𝑟′|2=

𝑞.(𝑟−𝑟′)

4.𝜋.𝜀.|𝑟−𝑟′|3 (2-30)

A partir de esta expresión podremos obtener la expresión del potencial en el punto 𝑃, 𝑉(𝑃).

𝑉(𝑃) = 𝑞

4.𝜋.𝜀.|𝑟−𝑟′| (2-31)

Si suponemos una distribución volumétrica de cargas como muestra la Figura 2-7, la expresión del campo

eléctrico viene dada por:

𝐸(𝑃) =1

4.𝜋.𝜀∭

𝜌𝑉′(𝑟−𝑟′)

|𝑟−𝑟′|3𝑑𝑉′

𝑉′ (2-32)

Integral que es triple ya que debemos calcular todas las componentes del campo eléctrico. Una integral por cada

componente de 𝐸.

Como ya hemos comentado con anterioridad el campo electrostático es irrotacional (𝑟𝑜𝑡 𝐸 = 0) y por lo tanto

deriva del gradiente de 𝑉 (𝐸 = −∇𝑉).

Podemos afirmar que:

𝑟−𝑟′

|𝑟−𝑟′|3= −𝛻

1

|𝑟−𝑟′| (2-33)

Por lo que podemos escribir el campo eléctrico con la siguiente expresión:

𝐸(P) = −1

4.π.ε∭ ∇

ρV′ .dV′

|r−r′|= −∇

1

4.π.ε∭

ρV′ .dV′

|r−r′|V′V′ (2-34)

Como afirmamos que 𝐸 = −∇𝑉, podemos hacer una comparación entre las dos expresiones y obtener el

potencial en el punto 𝑃.

𝐸(𝑃) = −𝛻𝑉 = −𝛻1

4.𝜋.𝜀∭

𝜌𝑉′ .𝑑𝑉′

|𝑟−𝑟′|𝑉′ (2-35)

𝑉(𝑃) =1

4.π.ε∭

𝜌𝑉′ .𝑑𝑉′

|𝑟−𝑟′|𝑉′ (2-36)

Figura 2-7 Influencia de una distribución volumétrica de carga

Si la distribución de cargas es superficial la expresión del potencial en el punto 𝑃 es:

𝑉(𝑃) =1

4.π.ε∯

𝜌𝑆′ .𝑑𝑆′

|𝑟−𝑟′|𝑆𝑐 (2-37)

10


Expresión que tiene como base la expresión del potencial en el punto 𝑃 originado por una distribución

volumétrica de carga, pero haciendo una serie de cambios como 𝜌𝑉′ . 𝑑𝑉′ por 𝜌𝑆′ . 𝑑𝑆′ y la integral de

volumen por la integral de superficie.

Si el cambio es 𝜌𝑉′ . 𝑑𝑉′ por 𝜌𝑙 . 𝑑𝑙′ y la integral de volumen se cambia por la integral de una línea la

expresión resultante será:

𝑉(𝑃) =1

4.π.ε∫

𝜌𝑙.𝑑𝑙′

|𝑟−𝑟′|𝑙 (2-38)

Expresión del potencial en el punto 𝑃 si la distribución de cargas es lineal, por ejemplo, una distribución de

cargas a lo largo de un cable.

2.4.1 Cálculo del potencial originado por un punto de corriente

En el apartado anterior, el cálculo del potencial en el punto 𝑃 era originado por una carga o una distribución de

estas, basado en la teoría electrostática.

Existe un concepto en teoría eléctrica que guarda cierta similitud con una carga. Este concepto es el denominado

punto de corriente, que como su propio nombre indica es un punto que inyecta una intensidad 𝐼 a un terreno o

medio material.

En un medio material de resistividad 𝜌, el punto de corriente originará un campo eléctrico y debido a la ley

de Ohm (𝐽 = 𝜎. ) se creará una densidad de corriente 𝐽 . Por lo tanto, el potencial en un punto 𝑃 viene dado por

la siguiente expresión:

𝑉(𝑃) = ∫ . 𝑑𝑟 ∞

𝑟= ∫

𝐽

𝜎 . 𝑑𝑟

∞

𝑟= ∫ 𝜌. 𝐽 . 𝑑𝑟

∞

𝑟 (2-39)

La expresión anterior se puede desglosar aún más sabiendo que la corriente liberada 𝐼 cumple que:

𝐼 = ∯ 𝐽 . 𝑑𝑆 𝑆

= 𝐽 ∯ 𝑑𝑆 𝑆

(2-40)

Por lo tanto, nos queda lo siguiente:

𝑉(𝑃) = ∫ 𝜌. 𝐽 . 𝑑𝑟 ∞

𝑟= 𝜌 ∫

𝐼

∯ 𝑑𝑆 𝑆

. 𝑑𝑟 ∞

𝑟 (2-41)

A continuación, abordaremos una serie de ejemplos, donde se calculará 𝑉(𝑃) en función de donde se coloque

el punto de corriente.

• Punto de corriente en un medio infinito

𝑉(𝑃) = 𝜌 ∫𝐼

4.𝜋.𝑟2 . 𝑑𝑟 ∞

𝑟=

𝜌.𝐼

4.𝜋∫

𝑑𝑟

𝑟2 =𝜌.𝐼

4.𝜋.𝑟

∞

𝑟 (2-42)

• Punto de corriente a nivel del suelo en un medio semiinfinito

𝑉(𝑃) = 𝜌 ∫𝐼

2.𝜋.𝑟2 . 𝑑𝑟 ∞

𝑟=

𝜌.𝐼

2.𝜋∫

𝑑𝑟

𝑟2 =𝜌.𝐼

2.𝜋.𝑟

∞

𝑟 (2-43)

• Punto de corriente a cierta profundidad en un medio semiinfinito

El potencial en un punto 𝑃 creado por un punto de corriente en un medio semiinfinito se puede realizar

mediante el método de las imágenes. Método que se abordará con más detalle en los siguientes

apartados.

Con este método el potencial en un punto 𝑃 es igual a la suma de potencial creado por el punto de

corriente (𝑉1) y su imagen (𝑉2), en un medio infnito. Dicho esto, la expresión de 𝑉(𝑃) es:

11


𝑉(𝑃) = 𝑉1(𝑃) + 𝑉2(𝑃) =𝜌.𝐼

4.𝜋.𝑟+

𝜌.𝐼

4.𝜋.𝑟′ =𝜌.𝐼

4.𝜋 (

1

𝑟+

1

𝑟′) (2-44)

2.4.2 Cálculo del potencial originado por distribuciones lineales de puntos de corriente

Para obtener la expresión general del potencial 𝑉(𝑃) supondremos un alambre con inicio en 𝐴, y final en 𝐵

como muestra la Figura 2-8.

Suponiendo el punto de cálculo en un medio infinito y dando la siguiente premisa:

𝜌𝑙 . 𝑑𝑙′ = 𝑑𝐼, por lo tanto, para una distribución uniforme de puntos de corriente 𝜌𝑙 . 𝑙 = 𝐼

La expresión del potencial en el punto 𝑃 viene dada por:

𝑉(𝑃) = ∮𝜌.𝜌𝑙.𝑑𝑙′

4.𝜋.|𝑟−𝑟′|=

𝐵

𝐴

𝜌.𝐼

4.𝜋.𝑙∮

𝑑𝑙′

|𝑟−𝑟′|

𝐵

𝐴 (2-45)

Figura 2-8 Alambre en un medio infinito

Para mostrar una aplicación del potencial creado por distribuciones lineales de puntos de corriente, a

continuación, se muestran, algunos ejemplos.

• Electrodo lineal en un medio infinito en posición horizontal

Se presenta un ejemplo de cálculo del potencial en el punto 𝑃 producido por una distribución uniforme

y lineal de puntos de corriente como se muestra en la Figura 2-9.

Figura 2-9 Electrodo lineal horizontal en un medio infinito

El potencial en el punto P tiene el siguiente valor:

𝑉(𝑃) =𝜌. 𝐼

4. 𝜋. 𝐿∮

𝑑𝑥′

|𝑥 − 𝑥′|=

𝜌. 𝐼

4. 𝜋. 𝐿[− ln(𝑥 − 𝑥′)]−𝐿

2

𝐿2

𝐿2

−𝐿2

=𝜌. 𝐼

4. 𝜋. 𝐿[−𝑙𝑛 (𝑥 −

𝐿

2) + ln (𝑥 +

𝐿

2)] =

𝜌. 𝐼

4. 𝜋. 𝐿 𝑙𝑛 (

𝑥 +𝐿2

𝑥 −𝐿2

)

12


(2-46)

• Electrodo lineal en un medio infinito en posición vertical

En este ejemplo se mostrará el cálculo del potencial de un punto cualquiera del espacio 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) en

un medio infinito de resistividad constante originado por un alambre en posición vertical que se

encuentra inyectando al medio una intensidad 𝐼 como muestra la Figura 2-10.

Figura 2-10 Electrodo lineal en un medio infinito en posición vertical

Particularizando para este ejemplo la expresión general del cálculo del potencial originado por

distribuciones lineales de puntos de corriente, obtendremos:

𝑉(𝑃) =𝜌.𝐼

4.𝜋.𝐿∮

𝑑𝑧′

|𝑟−𝑟′|

𝐿

2

−𝐿

2

=𝜌.𝐼

4.𝜋.𝐿∮

𝑑𝑧′

√𝑥2+𝑦2+(𝑧−𝑧′)2

𝐿

2

−𝐿

2

(2-47)

Desarrollando la integral anterior obtenemos lo siguiente:


4.𝜋.𝐿𝑙𝑛 [

(𝐿

2−𝑧+√𝑥2+𝑦2+(𝑧−

𝐿

2)2).(

𝐿

2+𝑧+√𝑥2+𝑦2+(𝑧+

𝐿

2)2)

𝑥2+𝑦2 ] (2-48)

• Electrodo lineal en un medio semiinfinito en posición vertical enterrado a nivel del suelo

En este ejemplo se calculará el potencial de un punto 𝑃 situado en la superficie del suelo.

Este ejemplo se va acercando a la realidad debido a la disposición del electrodo y el medio en el que

está (semiinfinito).

Se resolverá por el método de las imágenes, es decir, eliminaremos la línea de frontera terreno-aire y se

sustituirá por un electrodo imaginario idéntico al original inyectando igual intensidad 𝐼 en un medio

infinito quedando finalmente como muestra la Figura 2-11.

13


Figura 2-11 Electrodo vertical real y su electrodo imaginario

Hay que destacar que en este caso la intensidad inyectada será el doble debido a la corriente del electrodo

original y el electrodo virtual.

Por lo tanto, el potencial del punto 𝑃 vendrá dado por la siguiente expresión:

𝑉(𝑃) =𝜌.2.𝐼

4.𝜋.𝐿∮

𝑑𝑟

𝑟

𝐿

2

−𝐿

2

=𝜌.𝐼

2.𝜋.𝐿∮

𝑑𝑦

√𝑥2+𝑦2

𝐿

2

−𝐿

2

=𝜌.𝐼

2.𝜋.𝐿[ln (√

𝑦2

𝑥2 + 1 +𝑦

𝑥)]

−𝐿

2

𝐿

2

(2-49)

𝑉(𝑃) =𝜌. 𝐼

2. 𝜋. 𝐿

[

𝑙𝑛

(

√𝐿4

2

𝑥2+ 1 +

𝐿2𝑥

)

− 𝑙𝑛

(

√𝐿4

2

𝑥2+ 1 −

𝐿2𝑥

)

]

=𝜌. 𝐼

2. 𝜋. 𝐿ln

(

(

√𝐿4

2

𝑥2 + 1 +

𝐿2𝑥

)

(

√𝐿4

2

𝑥2 + 1 −

𝐿2𝑥

)

)

=𝜌. 𝐼

2. 𝜋. 𝐿𝑙𝑛

(

(√𝐿2 + 4. 𝑥2

2+

𝐿2)

(√𝐿2 + 4. 𝑥2

2−

𝐿2)

)

(2-50)

• Electrodo lineal en un medio semiinfinito en posición vertical enterrado a cierta profundidad

En este caso se calculará el potencial en un punto de la superficie del terreno provocado por un electrodo

vertical que libera una intensidad 𝐼 enterrado a una cierta profundidad con respecto a la superficie en un

medio semiinfinito de resistividad constante.

Al igual que en el apartado anterior, este ejemplo se acerca aún más a la realidad debido a que aconsejan

que el electrodo este enterrado a cierta profundidad ya que se originan potenciales en la superficie del

terreno menores que si se colocan a ras de suelo.

Una forma de obtener el potencial en un punto 𝑃 sobre el terreno será la de superponer dos

configuraciones como se presentan en la Figura 2-12.

14


Por tanto, el potencial en el punto 𝑃 será la suma de potenciales de las dos configuraciones:

𝑉(𝑃) = 𝑉1(𝑃) + 𝑉2(𝑃) (2-51)

Siendo:

𝑉1(𝑃) =𝜌.𝐼

2.𝜋.(𝐿+ℎ)ln [

(𝐿+ℎ+√𝑥2+(𝐿+ℎ)2)

𝑥] (2-52)

𝑉2(𝑃) =𝜌.(−𝐼)

2.𝜋.(𝐿+ℎ)ln [

(ℎ+√𝑥2+ℎ2)

𝑥] (2-53)

El valor de la densidad de corriente por unidad de longitud es 𝐼 (𝐿 + ℎ)⁄ por lo que finalmente se

obtiene:


2.𝜋.(𝐿+ℎ)ln [

(𝐿+ℎ+√𝑥2+(𝐿+ℎ)2)

(ℎ+√𝑥2+ℎ2)] (2-54)

Figura 2-12 Configuraciones virtuales para el problema planteado

15


Figura 2-13 Distribución superficial de puntos de corriente para el cálculo del

potencial en el punto P

2.4.3 Cálculo del potencial originado por distribuciones superficiales de puntos de corriente

La corriente inyectada a cualquier tipo de electrodo tiende a propagarse por el exterior de este, liberando la

corriente a través de la superficie. Podría compararse con los conductores de las líneas eléctricas de alta tensión,

donde la corriente tiende a propagarse por la capa más externa del conductor.

Por lo tanto, para el cálculo del potencial necesitamos conocer la distribución de corriente en la superficie del

electrodo en cuestión (Figura 2-13).

El potencial en el punto 𝑃 provocado por un conjunto de puntos de corriente sobre una superficie viene dado

por la siguiente expresión:

𝑉(𝑃) =𝜌

4.π∯

𝑑𝐼

|𝑟−𝑟′|𝑆𝑐 (2-55)

Donde:

𝑑𝐼 = 𝜌𝑆′ . 𝑑𝑆′ (2-56)

Por lo que la expresión queda:

𝑉(𝑃) =𝜌

4.𝜋∯

𝜌𝑆′ .𝑑𝑆′

|𝑟−𝑟′|𝑆𝑐 (2-57)

A continuación, se abordará un ejemplo de aplicación de cálculo del potencial de un electrodo en forma de disco

en un medio infinito como muestra la Figura 2-14. Como es de esperar la corriente o los puntos de corriente

estarán distribuidos uniformemente en su superficie.

Considerando que la densidad superficial puede expresarse de la siguiente forma, siempre que la distribución de

puntos de corriente sea uniforme:

𝜌𝑆′ =𝐼

𝑆=

𝐼

𝜋.𝑅2 (2-58)

Y el diferencial de superficie 𝑑𝑆′ será:

𝑑𝑆′ = 2. 𝜋. 𝑟′. 𝑑𝑟′ (2-59)

16


El potencial en el punto 𝑃 situado sobre el eje Z viene dado por siguiente expresión:

𝑉(𝑃) =𝜌

4.π∫

𝐼

𝜋.𝑅2

2.𝜋.𝑟′.𝑑𝑟′

√𝑟′2+𝑧2

𝑅

0=

𝜌.𝐼

2.π.R2 ∫𝑟′.𝑑𝑟′

√𝑟′2+𝑧2

𝑅

0=

𝜌.𝐼

2.π.R2 (√𝑟′2 + 𝑧2 − 𝑧2) (2-60)

Figura 2-14 Electrodo en forma de disco

17


18

3 MÉTODOS DE CÁLCULO

3.1 Método de Howe

El método Howe, también conocido como método APM acrónimo del inglés Average Potencial Method analiza

cómo se comporta un electrodo cuando libera una intensidad 𝐼 y calcula la distribución adecuada para asegurar

la equipotencialidad del electrodo y el potencial constante en la superficie de este.

Este método analiza y cuantifica el comportamiento de un electrodo al disipar una corriente en un medio infinito

y homogéneo, considerando una distribución proporcional de la corriente a lo largo del electrodo.

El objetivo de este método es calcular los parámetros característicos 𝐾𝑟, 𝐾𝑝 y 𝐾𝑐, para poder realizar el cálculo

de la resistencia de puesta a tierra R, y las tensiones de paso y contacto 𝑉𝑝 y 𝑉𝑐. Valores calculados en base a la

resistividad del terreno, ρ, y la corriente de inyectada al electrodo, 𝐼𝐸.

Antes de comenzar con el cálculo de los parámetros característicos, se introduce para un caso general como el

que se muestra en la Figura 3-1 el cálculo de 𝑉𝑖𝑗 y 𝐴𝑖𝑗.

Figura 3-1 Dos conductores interaccionando en un medio infinito

Suponiendo que por electrodo 𝛾𝑖 circula una intensidad con densidad constante, el potencial en el electrodo 𝛾𝑗

creado por 𝛾𝑖, se obendrá de la siguiente expresión:

𝑉𝑗 = ∫𝜌.𝜌𝑙

4.𝜋.|𝑟𝑖 −𝑟𝑗 |𝛾𝑗𝑑𝑙𝑗 (3-1)

Para facilitar la integral anterior, el potencial medio inducido por el electrodo 𝛾𝑗 sobre 𝛾𝑖 se puede escribir:

𝑉𝑖𝑗 =1

𝑙𝑖∫ (∫

𝜌.𝜌𝑙

4.𝜋.|𝑟𝑖 −𝑟𝑗 |𝛾𝑗𝑑𝑙𝑗)𝛾𝑖

𝑑𝑙𝑖 (3-2)

Y teniendo en cuenta que la intensidad es uniforme 𝜌𝑙 =𝐼𝑗

𝑙𝑗 , la expresión nos queda:

19


𝑉𝑖𝑗 =𝜌.𝐼𝑗

𝑙𝑗.𝑙𝑖∫ (∫

1


𝑑𝑙𝑖 (3-3)

La anterior expresión se puede escribir como:

𝑉𝑖𝑗 =𝜌.𝐼𝑗

𝑙𝑗.𝑙𝑖∫ (∫

1


𝑑𝑙𝑖 = 𝜌. 𝐼𝑗. 𝐴𝑖𝑗 . 𝑙𝑗 (3-4)

Donde el coeficiente de influencia 𝐴𝑖𝑗 es:

𝐴𝑖𝑗 =1

4.𝜋.𝑙𝑗.𝑙𝑖∫ (∫

1


𝑑𝑙𝑖 (3-5)

Para determinar el coeficiente 𝐴𝑖𝑗, se supone que el elemento en estudio está compuesto por infinitas esferas

diferenciales que disipan corriente.

Si se cumple que todos los elementos de la configuración son paralelos a los ejes del sistema ficticio, puede

plantearse tres ecuaciones genéricas para la determinación de los correspondientes coeficientes 𝐴𝑖𝑗.

a) Coeficiente de autoinfluencia

𝐴𝑖𝑖 =1

2.𝜋.𝑙𝑖[𝑙𝑜𝑔 (

2.𝑙𝑖

𝑑)] (3-6)

Donde:

𝑙𝑖 es la longitud del elemento i.

𝑑 es el diámetro del elemento.

b) Coeficiente de influencia entre elementos paralelos

En este apartado se analizará el coeficiente de influencia resultante de dos elementos paralelos, 𝛾𝑖 y 𝛾𝑗,


Figura 3-2 Dos conductores paralelos interaccionando

20


El coeficiente viene dado por la siguiente expresión:

𝐴𝑖𝑗 =1

4. 𝜋. (𝑥𝑗,2 − 𝑥𝑗,1). (𝑥𝑖,2 − 𝑥𝑖,1)

∑ ∑(𝑥𝑗,𝑘 − 𝑥𝑖,𝑚)

2

𝑚=1

2

𝑘=1

. 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛ℎ (𝑥𝑗,𝑘 − 𝑥𝑖,𝑚

𝐷𝑖,𝑗)√𝐷𝑖𝑖

2 + (𝑥𝑖,𝑘 − 𝑥𝑖,𝑚)2. (−1)𝑘+𝑚+1

(3-7)

Donde:

𝐷𝑖,𝑗 = (𝑦𝑖,1 − 𝑦𝑗,1) = √(𝑦𝑖,1 − 𝑦𝑗,1)2+ (𝑧𝑖,1 − 𝑧𝑗,1)

2 (3-8)

Siendo 𝐷𝑖,𝑗 la distancia entre los elementos i y j y 𝐷𝑖𝑖 la distancia entre los extremos del elemento i.

Podemos simplificar la expresión anterior del coeficiente de influencia, realizando los siguientes

cambios:

𝑙𝑗 = 𝑥𝑗,2 − 𝑥𝑗,1 (3-9)

𝑙𝑖 = 𝑥𝑖,2 − 𝑥𝑖,1 (3-10)

Siendo 𝑙𝑗 la longitud del elemento j.

Quedando la expresión como a continuación se muestra:

𝐴𝑖𝑗 =1

4.𝜋.𝑙𝑗.𝑙𝑖∑ ∑ (𝑥𝑗,𝑘 − 𝑥𝑖,𝑚)2

𝑚=12𝑘=1 . 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛ℎ (

𝑥𝑗,𝑘−𝑥𝑖,𝑚

𝐷𝑖,𝑗)√𝐷𝑖𝑖

2 + (𝑥𝑖,𝑘 − 𝑥𝑖,𝑚)2. (−1)𝑘+𝑚+1

(3-11)

c) Coeficiente de influencia entre elementos perpendiculares

Al igual que en los apartados anteriores, se calculará el coeficiente de influencia, pero en este caso entre

elementos perpendiculares como se muestra en la Figura 3-3.

La expresión 𝐴𝑖𝑗 es la siguiente:

𝐴𝑖𝑗 =1

4. 𝜋. (𝑦𝑖,2 − 𝑦𝑖,1). (𝑧𝑗,2 − 𝑧𝑗,1)

∑ ∑[(𝑧𝑗,𝑚 − 𝑧𝑖,1). 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛ℎ (𝑦𝑖,𝑘 − 𝑦𝑗,1

𝐷1) + (𝑦𝑖,𝑘 − 𝑦𝑖,1). 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛ℎ (

𝑧𝑗,𝑚 − 𝑧𝑖,1

𝐷2)

2

𝑚=1

2

𝑘=1

− (𝑥𝑗,1 − 𝑥𝑖,1). 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (1

𝐷4

(𝑧𝑗,𝑚 − 𝑧𝑖,1). (𝑦𝑖,𝑘 − 𝑦𝑗,1)

𝐷3)] . (−1)𝑘+𝑚

(3-12)

Teniendo los términos 𝐷 las siguientes expresiónes:

𝐷1 = √(𝑧𝑗,𝑚 − 𝑧𝑖,1)2+ (𝑥𝑗,1 − 𝑥𝑖,1)

2 (3-13)

𝐷2 = √(𝑦𝑖,𝑘 − 𝑦𝑗,1)2+ (𝑥𝑗,1 − 𝑥𝑖,1)

2 (3-14)

𝐷3 = √(𝑦𝑖,𝑘 − 𝑦𝑗,1)2+ (𝑥𝑗,1 − 𝑥𝑖,1)

2+ (𝑧𝑗,𝑚 − 𝑧𝑖,1)

2 (3-15)

𝐷4 = 𝑥𝑗,1 − 𝑥𝑖,1 (3-16)

21


Figura 3-3 Dos conductores perpendiculares interaccionando

3.1.1 Determinación de las tensiones de paso y contacto

Si conocemos el potencial absoluto en cualquier punto 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧), podremos determinar la tensión de contacto

como la diferencia entre el potencial absoluto en ese punto y el potencial absoluto que se genera en el electrodo.

El potencial absoluto en un punto será la suma de los potenciales que se crean en ese punto debido a los diferentes

elementos que componen el electrodo.

La diferencia entre dos puntos con potencial separados 1 m dará lugar a la tensión de paso.

El potencial absoluto en el punto 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) creado por un elemento lineal (𝑖) como se muestra en la Figura 3-4

se calcula así:

Figura 3-4 Cálculo del potencial en P

22


𝑉𝑝 =𝜌.𝑖

4.𝜋∫

𝑑𝑧

√(𝑥𝑝−𝑥1)2+(𝑦𝑝−𝑦1)

2+(𝑧𝑝−𝑧1)

2

𝑧2

𝑧1 (3-17)

Para llegar a la expresión anterior se divide el elemento lineal en infinitas esferas diferenciales y se integra el

potencial que originan cada una de estas esferas.

Si resolvemos la anterior integral obtendremos:

𝑉𝑝 =𝜌. 𝑖

4. 𝜋

[

𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛ℎ

[

𝑧2 − 𝑧𝑝

√(𝑥𝑝 − 𝑥1)2+ (𝑦𝑝 − 𝑦1)

2

]

− 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛ℎ

[

𝑧1 − 𝑧𝑝

√(𝑥𝑝 − 𝑥1)2+ (𝑦𝑝 − 𝑦1)

2

]

]

(3-18)

3.1.2 Determinación de la resistencia de puesta a tierra

Determinar la resistencia de puesta a tierra comprende, de manera general, tres pasos:

1. Dividir el electrodo en 𝑁 elementos, cálculando el potencial de cada elemento.

𝑉𝑖 = ∑ 𝑉𝑖𝑗𝑗=2𝑁𝑗=1 (3-19)

𝑉𝑖, que será la media de los potenciales inducidos del resto de elementos sobre este y del potencial

autoinducido.

𝑉𝑖𝑗 se puede expresar como sigue:

𝑉𝑖𝑗 = 𝜌. 𝐼𝑗. 𝐴𝑖𝑗 . 𝑙𝑗 (3-20)

2. Determinar el potencial medio del electrodo 𝑉𝑒.

𝑉𝑒 =1

𝑁∑ 𝑉𝑖

2𝑁𝑖=1 (3-21)

3. Dividiendo el potencial medio del electrodo entre la intensidad total disipada 𝐼𝐸, obtenemos la

resistencia de tierra.

𝑅 =𝑉𝑒

𝐼𝐸 (3-22)

Figura 3-5 Reparto uniforme de corriente por el electrodo

23


Teniendo en cuenta que la intensidad total disipada se puede expresar así (ver Figura 3-5):

𝐼𝐸 =𝐼𝑗.∑ 𝑙𝑘

2𝑁𝑘=1

𝑙𝑗 (3-23)

Podemos expresar la resistencia como:

𝑅 =𝑉𝑒

𝐼𝐸=

1

𝑁∑ 𝑉𝑖

2𝑁𝑖=1

𝐼𝑗.∑ 𝑙𝑘2𝑁𝑘=1𝑙𝑗

= 𝜌1

𝑁∑ (𝐼𝑗.∑ 𝐴𝑖𝑗)

2𝑁𝑗=1

2𝑁𝑖=1

𝐼𝑗.∑ 𝑙𝑘2𝑁𝑘=1𝑙𝑗

= 𝜌∑ (∑ 𝐴𝑖𝑗.𝑙𝑗)

2𝑁𝑗=1

2𝑁𝑖=1

𝑁 ∑ 𝑙𝑘2𝑁𝑘=1

= 𝜌. 𝐾𝑟 (3-24)

Donde 𝐾𝑟 es el coeficiente unitario de resistencia en (Ω Ω.𝑚⁄ ), de valor:

𝐾𝑟 =∑ (∑ 𝐴𝑖𝑗.𝑙𝑗)

2𝑁𝑗=1

2𝑁𝑖=1

𝑙𝑇 (3-25)

Siendo 𝑙𝑇 la longitud total del electrodo de puesta a tierra.

3.1.3 Aplicación del método de Howe

En este apartado se realiza un ejemplo sencillo como es el caso de una sola pica enterrada en el terreno a una

profundidad 𝐻, con una longitud 𝑙𝑧 y diametro de la pica 𝑑𝑧.

El electrodo en concreto junto a con su imagen se muestra en la Figura 3-6.

Figura 3-6 Pica de 2 m enterrada 0.5 m

Los datos del electrodo serán:

• 𝑙𝑧 = 2 𝑚

• 𝑑𝑧 = 0.014 𝑚

• 𝐻 = 0.5 𝑚

24


a) Coordenadas de los elementos enterrados (pica vertical)

El objetivo de este punto es obtener los componentes de las coordenadas de todos los elementos que

componen el electrodo.

El número de elementos 𝑛 que forman el electrodo enterrado será en nuestro caso:

𝑛 = 𝑛𝑝 = 1

Las matrices que muestran las coordenadas tendrán dimensiones 𝑖 x 𝑗, donde 𝑖 toma valores de 1 hasta

2𝑛 y la variable 𝑗 toma valores de 1 hasta 2.

En nuestro caso, tendremos matrices de 2 x 2.

𝐴 = (𝐴11 𝐴12

𝐴21 𝐴22)

Los componentes de las matrices 𝑥 e 𝑦 serán cero debido a que la pica está sobre el eje 𝑧. Por lo tanto:

𝑥 = (0 00 0

) 𝑦 = (0 00 0

)

Para valores de 𝑖 = 1, los términos de la matriz 𝑧 serán, 𝑧𝑖1 = −(𝑙𝑧 + 𝐻) y 𝑧𝑖2 = −𝐻.

𝑧11 = −(𝑙𝑧 + 𝐻) = −(2 + 1) = −3

𝑧12 = −𝐻 = −1

Si 𝑖 toma valores de 2, los terminos correspondientes de la matriz 𝑧 serán, 𝑧𝑖1 = 𝐻 y 𝑧𝑖2 = 𝑙𝑧 + 𝐻.

𝑧21 = 𝐻 = 1

𝑧22 = 𝑙𝑧 + 𝐻 = 2 + 1 = 3

Por tanto, la matriz 𝑧 será:

𝑧 = (−3 −11 3

)

De las matrices 𝑥, 𝑦, 𝑧 podemos conocer las coordenadas del origen y del fin tanto de la pica como de

su imagen.

• Coordenadas del origen del elemento 1 (0,0,−3)

• Coordenadas del fin del elemento 1 (0,0,−1)

• Coordenadas del origen del elemento 2 (0,0,1)

• Coordenadas del fin del elemento 2 (0,0,3)

b) Establecimiento de las longitudes de los diferentes elementos

La variable 𝑗 tomará valores de 1 a 2𝑛, es decir desde 1 hasta 2. Los términos de los componentes de la

matriz 𝑧 se calcularán como sigue:

𝑙𝑗 = √(𝑥𝑗,2 − 𝑥𝑗,1)2+ (𝑦𝑗,2 − 𝑦𝑗,1)

2+ (𝑧𝑗,2 − 𝑧𝑗,1)

2 (3-26)

Por tanto, la longitud del elemento 1 y el elemento 2 será:

𝑙1 = √(𝑥1,2 − 𝑥1,1)2+ (𝑦1,2 − 𝑦1,1)

2+ (𝑧1,2 − 𝑧1,1)

2= 𝑧1,2 − 𝑧1,1 = −1 + 3 = 2 𝑚 (3-27)

𝑙2 = √(𝑥2,2 − 𝑥2,1)2+ (𝑦2,2 − 𝑦2,1)

2+ (𝑧2,2 − 𝑧2,1)

2= 𝑧2,2 − 𝑧2,1 = 3 − 1 = 2 𝑚 (3-28)

La matriz quedará:

25


𝑙 = (22) 𝑚

c) Término 𝑨𝒊𝒋 para conductores paralelos al eje 𝒛

Para 𝑖: 1…2, 𝑗: 1…2

𝐷𝑖𝑗 = √(𝑥𝑗,1 − 𝑥𝑖,1)2+ (𝑦𝑗,1 − 𝑦𝑖,1)

2 (3-29)

La matriz 𝐷 quedará como sigue:

𝐷 = (0 00 0

)

En este caso la matriz 𝐷 será nula debido a que está solo depende de los términos de la matriz 𝑥 e 𝑦, las

cuales son también nulas.

d) Cálculo de 𝑨𝒊𝒋 para elementos paralelos al eje 𝒛

Para 𝑖: 1…2, 𝑗: 1…2, 𝑘: 1…2, 𝑚: 1…2

𝐴𝑖𝑗 =1

4. 𝜋. (𝑧𝑖,2 − 𝑧𝑖,1). (𝑧𝑗,2 − 𝑧𝑗,1)

∑ ∑ (𝑧𝑗,𝑘 − 𝑧𝑖,𝑚). 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛ℎ (𝑧𝑗,𝑘 − 𝑧𝑖,𝑚

𝐷𝑖,𝑗) − √𝐷𝑖𝑗

2 + (𝑧𝑗,𝑘 − 𝑦𝑖,𝑚)2. (−1)𝑘+𝑚−1

2

𝑚=1

2

𝑘=1

(3-30)

La expresión anterior es para el cálculo de los términos 𝐴𝑖𝑗 donde 𝑖 ≠ 𝑗.

Para 𝑖 = 𝑗, los terminos de la matriz 𝐴𝑖𝑗 se determinarán con la siguiente expresión:

𝐴𝑖𝑗 =1

2.𝜋.𝑙𝑧 𝑙𝑛 (

2.𝑙𝑧

𝑑𝑧) (3-31)

Resultando la matriz 𝐴𝑖𝑗 de la siguiente forma:

𝐴𝑖𝑗 = (0.45 0.0199

0.0199 0.45)

e) Cálculo del coeficiente unitario de resistencia

𝐾𝑟 =𝑉𝑒

𝜌.𝐼𝐸=

∑ (∑ 𝐴𝑖𝑗.𝑙𝑗)2𝑛𝑗=1

2𝑛𝑖=1

𝑛 ∑ 𝑙𝑗2𝑛𝑗=1

=∑ (∑ 𝐴𝑖𝑗.𝑙𝑗)

2𝑗=1

2𝑖=1

1.∑ 𝑙𝑗2𝑗=1

= 0.4699 Ω

Ω .𝑚 (3-32)

f) Cálculo del valor de potencial en la superficie del terreno (coeficiente de potencial)

El potencial en la superficie del terreno es el resultado de una función dependiente de las coordenadas

x e y como se muestra a continuación:

𝐾𝑝𝑜𝑡 =1

4. 𝜋. 𝑙𝑇

[

𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛ℎ

[

𝑧2 − 𝑧𝑝

√(𝑥𝑝 − 𝑥1)2+ (𝑦𝑝 − 𝑦1)

2

]

− 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛ℎ

[

𝑧1 − 𝑧𝑝

√(𝑥𝑝 − 𝑥1)2+ (𝑦𝑝 − 𝑦1)

2

]

]

(3-33)

26


La diferencia entre el potencial adquirido por el electrodo, 𝑉𝑒 y el potencial en el punto de la superficie

del terreno donde se ubiquen los pies de la persona 𝑃, 𝑉𝑝𝑜𝑡, nos dará el valor de el potencial de contacto.

𝑉𝑐 = 𝑉𝑒 − 𝑉𝑝𝑜𝑡 = 𝐾𝑟. 𝜌. 𝐼𝐸 − 𝐾𝑝𝑜𝑡 . 𝜌. 𝐼𝐸 = 𝐾𝑐 . 𝜌. 𝐼𝐸 (3-34)

En nuestro caso, el coeficiente de contacto tiene el siguiente valor:

𝐾𝑐 = 0.3825 𝑉

(Ω.𝑚). 𝐴

La diferencia de potencial entre dos puntos de la superficie del terreno, en los cuales están colocados

los pies de una persona, será el potencial de paso. Para nuestro caso el coeficiente de paso tiene el

siguiente valor:

𝐾𝑝 = 0.0129 𝑉

(Ω.𝑚). 𝐴

Todos los cálculos y valores que aparecen en este apartado se han realizado en Matlab, cuyo código

aparece en el Anexo I.

3.2 Método de simulación de cargas

El método de simulación de cargas también denominado CSM acrónimo del inglés Charge Simulated Method

es un método numérico utilizado para resolver cálculos tipos relacionados con el campo eléctrico en sistemas de

gran complejidad.

En sistemas con electrodos en tres dimensiones, el potencial en el terreno se podrá calcular siempre que

conozcamos la distribución superficial de cargas en el electrodo, asegurando la equipotencialidad de este y

encontrándose los electrodos a potencial constante.

El problema planteado es de gran dificultad, por lo que debemos resolverlo a través del método de simulación

de cargas (CSM).

Este método supone que varias cargas, en nuestro caso serán puntos de corriente, están distribuidas en el interior

de un electrodo en forma de punto, línea o anillo, provocando la equipotencialidad en la superficie del electrodo.

El número de cargas a distribuir en el interior tendrá que ser optimizado para tener una mayor certeza en los

resultados a obtener y reducir el error cometido.

Pero su valor y posición se reduce a la aplicación de la ecuación de Laplace con condiciones de contorno de los

electrodos.

𝑉(𝑟 ) =1

4𝜋𝜀∭

𝜌(𝑟′ ).𝑑𝑉

|𝑟 −𝑟′ |𝑉 (3-35)

Donde 𝑟 es el vector distancia al punto de observación y 𝑟′ es el vector distancia al punto fuente 𝑃.

A continuación, se detalla de forma genérica la determinación de la densidad de corriente en cada elemento de

una estructura formada por N elementos conectados entre sí y se describe el procedimiento para encontrar la

distribución de corriente.

27


Figura 3-7 Elementos de la estructura objeto de estudio

La densidad de corriente que libera cualquier elemento de la malla hace que toda la malla sea equipotencial.

Suponiendo que en el conductor 𝑙𝑗 existe una densidad de corriente 𝜆(𝑟 ) entonces tenemos que el potencial del

elemento 𝑖 originado por el elemento 𝑗 es:

𝑉𝑖𝑗 = ∫𝜌.𝜆(𝑟𝑗 )

4.𝜋.|𝑟𝑖 −𝑟 𝑗|. 𝑑𝑙𝑗𝑙𝑗

(3-36)

Este potencial será distinto por cada elemento 𝑗.

Figura 3-8 Puntos fuente y campo para un mismo elemento de la estructura

El potencial del elemento 𝑖 creado por su propia corriente liberada, también llamado potencial propio o auto

potencial será:

𝑉𝑖𝑖 = ∫𝜌.𝜆(𝑟′𝑖 )

4.𝜋.|𝑟𝐿 −𝑟′ 𝑖|. 𝑑𝑙𝑖𝑙𝑖

(3-37)

Por lo tanto, el potencial del elemento 𝑖 creado por el mismo y por el resto de los elementos será:

𝑉𝑖 = ∑ 𝑉𝑖𝑗 +2𝑁𝑗≠𝑖=1 𝑉𝑖𝑖 (3-38)

Punto fuente

Punto campo

28


Donde la expresión 2𝑁 serán los elementos que forman la malla más sus imágenes.

Como ya dijimos con anterioridad, la densidad de corriente que libera cualquier elemento de la malla hace que

toda esta sea equipotencial, por lo que:

𝑉𝑖 = 𝑉𝑒

Para encontrar la distribución de corriente primero definimos el potencial en el punto campo correspondiente a

un elemento 𝑛 y un punto fuente 𝑚.

𝑉(𝑛,𝑚) = ∑ ∑𝜌

4. 𝜋

𝜆(𝑙, 𝑘)

√(𝑥𝑙𝑘 − 𝑥𝑛𝑚)2 + (𝑦𝑙𝑘 − 𝑦𝑛𝑚)2 + (𝑧𝑙𝑘 − 𝑧𝑛𝑚)2

𝑚

𝑘=1𝑙≠𝑛

+ ∑𝜌

4. 𝜋

𝑚

𝑘=1

𝜆(𝑛, 𝑘)

√𝑟2 + (𝑆𝑘 − 𝑆𝑚)2

(3-39)

La anterior ecuación tiene como condición que:

𝑉(𝑛,𝑚) = 𝑉𝑒

Tenemos una ecuación matricial con 2𝑁 𝑥 𝑀 incognitas, 𝜆(𝑙, 𝑘), donde 𝑙 indica el elemento y 𝑘 es el punto

fuente.

Resolviendo la ecuación tenemos:

𝑉𝑒 = 𝑅. 𝜆 𝜆 = 𝑅−1. 𝑉𝑒 (3-40)

donde 𝑉𝑒 tiene dimensiones de 2𝑁 𝑥 𝑀 y 𝑅 tiene dimensiones 2𝑀𝑁 𝑥 2𝑀𝑁.

Una vez obtenido 𝜆 ya se conoce la distribución de corrientes en cualquier punto del terreno 𝑃 (𝑥, 𝑦, 𝑧).

𝑉(𝑃) = ∑ ∑𝜌

4.𝜋𝑚𝑘=1

𝑛𝑙=1

𝜆(𝑙,𝑘)

√(𝑥𝑙𝑘−𝑋)2+(𝑦𝑙𝑘−𝑌)2+(𝑧𝑙𝑘−𝑍)2 (3-41)

El problema en estudio lo hemos planteado con corrientes variables en M fuentes puntuales por cada elemento

y equiespaciadas, pero también podemos plantearlo con corrientes repartidas de modo variable a lo largo de su

eje. Aunque es un método más complejo debido a los sistemas no lineales que presenta, debemos estudiarlo de

forma general ya que a partir de este se obtiene el ya estudiado.

Como ya hemos dicho, en este problema se consideran M fuentes puntuales de corriente, repartidas a lo largo

del eje de la varilla o elemento en posiciones variables.

Figura 3-9 Elemento liberando corriente a través de M fuentes puntuales de corriente

Autopotencial Potencial mutuo

29


El potencial en el punto 𝑃𝑚(𝑥𝑚, 𝑦𝑚, 𝑧𝑚) viene dado por la siguiente ecuación:

𝑉(𝑃𝑚) = ∑𝑝

4.𝜋𝑁𝑖=1

𝐼𝑖

√𝑥𝑚2 +𝑦𝑚

2 +(𝑧𝑚−𝑧𝑖)2 (3-42)

Tendremos una ecuación matricial no lineal como a continuación:

𝑉 = 𝑍. 𝐼

donde 𝑉 tiene dimensiones 2𝑁 𝑥 1, 𝑍 tiene dimensiones 2𝑁 𝑥 𝑀 y 𝐼 tiene dimensiones 𝑀 𝑥 1.

La ecuación tendrá 2𝑁 incognitas que se corresponden con la posición de las fuentes de corriente y su valor.

Por lo tanto, resolviendo el sistema no lineal podremos calcular el potencial en cualquier punto del terreno como

suma de todos los potenciales creados por las fuentes de corriente.

El problema estudiado con corrientes equiespaciadas es una aproximación de este estudiado, obteniéndose un

sistema más sencillo para resolver (sistema lineal).

3.2.1 Aplicación del método de simulación de cargas (CSM)

En este apartado se aplica el método CSM a través del programa informático Matlab al electrodo estudiado en

el Apartado 3.1.3.

a) Coordenadas de los extremos de los elementos enterrados (pica vertical)

El objetivo de este punto es obtener las componentes de las coordenadas de los extremos de los

elementos que componen el electrodo, así como el número de subelementos en los que se divide cada

elemento y su radio.

El número de elementos 𝑁 que forman el electrodo enterrado será en nuestro caso:

𝑁 = 1

Las coordenadas de los extremos se recogen en dos matrices 𝑃1 y 𝑃2 que recojen el origen y final de

cada elemento.

En nuestro caso, tendremos matrices 2 x 3.

𝑃1 = (0 0 −30 0 1

)

𝑃2 = (0 0 −10 0 3

)

El radio se recoge en un vector con tantas componentes como elementos e imágenes haya, 2𝑁:

𝑟 = (0.007 0.007)

Para poner en práctica el método CSM, debemos repartir a lo largo del eje del elemento 𝑀 cargas cuyas

coordenadas se recogen en las matrices 𝑋, 𝑌 𝑦 𝑍.

En nuestro caso, hemos repartido 4 cargas a lo largo de los ejes de los elementos (𝑀 = 4).

30


Figura 3-10 Distribución de cargas en los elementos

La distancia desde cargas al punto inicial del elemento se recoge en un vector con tantas componentes

como subelementos.

𝑙0 = ( 0.1250 0.3750 0.6250 0.8750)

Las coordenadas de estos subelementos con respecto al punto origen (0,0,0) se recogen en matrices de

2 x 4.

𝑋 = (0 0 0 00 0 0 0

)

𝑌 = (0 0 0 00 0 0 0

)

𝑍 = (−2.7500 −2.2500 −1.7500 − 1.25001.2500 1.7500 2.2500 2.7500

)

b) Matriz de resistencias de cada subelemento

La matriz a tratar, matriz de resistencias denotada como 𝑅, tendrá unas dimensiones de 2𝑀𝑁 𝑥 2𝑀𝑁

como ya se explicó en el Apartado 3.2. En nuestro caso como 𝑀 es igual a 4 y 𝑁 es igual a 1,

obtendremos una matriz cuadrada de dimensiones 8 x 8.

Para obtener la matriz de resistencias se han utilizado las ecuaciones del Apartado 3.2 que generalizando

son:

𝑅(𝑛,𝑚) = ∑ ∑𝜌

4. 𝜋

1

√(𝑥𝑙𝑘 − 𝑥𝑛𝑚)2 + (𝑦𝑙𝑘 − 𝑦𝑛𝑚)2 + (𝑧𝑙𝑘 − 𝑧𝑛𝑚)2

𝑚

𝑘=1𝑙≠𝑛

+ ∑𝜌

4. 𝜋

𝑚

𝑘=1

1

√𝑟2 + (𝑆𝑘 − 𝑆𝑚)2

(3-43)

Resistencia mutua Resistencia propia

Carga 4 del elemento 2

31


Aplicando esta ecuación hemos obtenido la siguiente matriz cuadrada:

𝑅 =

(

0.5649 0.5649 0.5649 0.5649 0.0099 0.0088 0.0088 0.00720.0638 0.0638 0.0638 0.0638 0.0114 0.0099 0.0088 0.00800.0370 0.0370 0.0370 0.0370 0.0133 0.0114 0.0099 0.00880.0262 0.0262 0.0262 0.0262 0.0159 0.0133 0.0114 0.00990.0099 0.0114 0.0133 0.0159 0.5649 0.5649 0.5649 0.56490.0088 0.0099 0.0114 0.0133 0.0638 0.0638 0.0638 0.06380.0080 0.0088 0.0099 0.0114 0.0370 0.0370 0.0370 0.03700.0072 0.0080 0.0088 0.0099 0.0262 0.0262 0.0262 0.0262)

Una vez obtenida la matriz de resistencias se calculará la densidad lineal de corriente que circula por

cada subelemento.

c) Densidad lineal de corriente que circula por cada subelemento

Bajo la suposición de que la superficie del elemento es equipotencial y que su potencial es de valor 1,

el vector de la densidad lineal de corriente tendrá dimensiones de 1 x 8 debido a que hay 4 subelementos

por cada elemento (8 subelementos en total). Por lo tanto, la matriz será:

𝑉𝑒 = 𝑅. 𝜆 𝜆 = 𝑅−1. 𝑉𝑒 =

(

0.505801.15140.84000.194540.10370.47770.68610.3121 )

d) Cálculo de la resistencia de puesta a tierra y el coeficiente de resistencia

La resistencia de puesta a tierra se calculará dividiendo el potencial del electrodo por la intensidad total

disipada.

El potencial del electrodo, 𝑉𝑒, es igual en todos los puntos de este y de valor 1. La intensidad total, 𝐼, es

la suma de todas las intesidades que recorren el electrodo de puesta a tierra y que se obtiene a partir del

vector de densidad lineal, 𝜆. Por lo tanto, la resistencia de puesta a tierra es:

𝑅𝑃𝐴𝑇 =𝑉𝑒𝐼

= 0.4683 Ω

Una vez calculada la resistencia de puesta a tierra, conociendo la resistividad del terreno, podemos hallar

el coeficiente de resistencia, 𝐾𝑟.

Consideramos una resistividad del terreno, 𝜌 = 1, por lo tanto, el coeficiente será:

𝐾𝑟 =𝑅𝑃𝐴𝑇

ρ= 0.4683

Ω

Ω.𝑚

e) Cálculo del potencial absoluto en la superficie del terreno (coeficiente de potencial y coeficiente

de contacto)

El potencial absoluto en cualquier punto del terreno se obtiene a través del principio de superposición,

es decir, el potencial absoluto en un punto es la suma de los potenciales de cada elemento del electrodo

en ese punto.

En nuestro caso, el potencial en un punto 𝑃 es la suma del potencial del electrodo y su imagen.

𝑉𝑝 = 𝑉𝑝1 + 𝑉𝑝2 (3-44)

32


Pasa igual que con el coeficiente de potencial, 𝐾𝑃𝑂𝑇:

𝐾𝑃𝑂𝑇 = 𝐾𝑃𝑂𝑇1 + 𝐾𝑃𝑂𝑇2 = 0.0893 𝑉

(Ω.𝑚). 𝐴

El coeficiente de contacto en un punto del terreno, en nuestro caso (0,0,0) tiene el siguiente valor:

𝐾𝑐 = 𝐾𝑟 − 𝐾𝑃𝑂𝑇 = 0.4683 − 0.0896 = 0.3787 𝑉

(Ω.𝑚). 𝐴

A continuación, se muestra una representación de los potenciales de la puesta a tierra en estudio:

Figura 3-11 Forma del potencial para el caso de una pica simple a una profundidad de 0.5 m

Todos los cálculos y valores que aparecen en este apartado se han realizado en Matlab, cuyo código

aparece en el Anexo I.

33


34

4 COMPARATIVA RESULTADOS MÉTODOS DE

CÁLCULO

4.1 Introducción

Para dar validez y certificar los métodos estudiados y sus resultados, se ha realizado una comparación con los

valores reflejados en la publicación “Método de cálculo y proyecto de instalaciones de puesta a tierra para centros

de transformación conectados a redes de tercera categoría” de UNESA.

Para este apartado se ha utilizado el método de Howe y método CSM, desarrollándose programas informáticos

independientes en Matlab, en los que se ha calculado el coeficiente de Resistencia, el potencial de contacto y el

potencial de paso. Los programas para ambos métodos han dado resultados relativamente coincidentes.

Se ha presentado los resultados en tablas para cuatro configuraciones tipo (una pica, varias picas, anillo y anillo

con picas). Se han obtenido valores unitarios que se compararan con los valores de UNESA.

4.2 Una pica

Este apartado recopila la mayoría datos obtenidos en el apartado 3.2.1 y 3.1.3, y los compara con los de UNESA.

Datos del electrodo:

• Pica de acero cobrizado de 2 m de longitud y 14 mm de diámetro enterrada a 1 m

Tabla 4-1 Valores característicos para configuración pica simple

Parámetros

característicos HOWE CSM UNESA

Coeficiente de Resistencia 0.4699 0.4683 0.4708

Coeficiente de tensión de

paso máxima 0.0129 0.0115 0.0129


contacto máxima 0.3825 0.3787 0.3963

Potencial en el punto (0,0) 0.0874 0.0896 0.0874

Sería interesante valorar el error, ε , cometido en nuestros cálculos. Valoraremos tanto el error absoluto, ( 𝜀𝑎),

como el error relativo ,(𝜀𝑟 (%)), dandole más importancia al error relativo ya que este es el verdadero indicador

35


de la calidad de lo que hemos obtenido. Mientras más pequeño es el error relativo mayor es su calidad.

Tomando como valor real de referencia el obtenido por UNESA (𝑋𝑈𝑁𝐸𝑆𝐴) y el valor de HOWE (𝑋𝐻𝑂𝑊𝐸) y

CSM (𝑋𝐶𝑆𝑀) los valores obtenidos en el calculo, se tiene que:

𝜀𝑎 = 𝑋𝑈𝑁𝐸𝑆𝐴 − (𝑋𝐻𝑂𝑊𝐸 ó 𝑋𝐶𝑆𝑀 )

𝜀𝑟 =𝜀𝑎

𝑋𝑈𝑁𝐸𝑆𝐴

Obteniendose la siguiente tabla:

Tabla 4-2 Errores cometidos en los valores calculados para pica simple

Parámetros

característicos

Error absoluto Error relativo

HOWE CSM HOWE CSM

Coeficiente de Resistencia 9 ∗ 10−4 2.5 ∗ 10−3 0.19 % 0.53 %


paso máxima 0 1.4 ∗ 10−3 0 % 10.85 %


contacto máxima 0.0138 0.0176 3.48 % 4.44 %

Potencial en el punto (0,0) 0 −2.2 ∗ 10−3 0 % -2.52 %

La forma del potencial en la superficie del terreno se muestra en la Figura 4-1.

Figura 4-1 Potencial para cada punto del plano z=0 con electrodo de una pica

36


4.3 Varias picas en hilera

Los datos del electrodo son:

• Picas en hilera unidas por un conductor horizontal

• Separación entre picas: 3 m

• Longitud de la pica: 2 m

• Diametro picas: 14 mm

• Profundidad de enterramiento: 0.5 mm

• Número de picas: 2

Figura 4-2 Picas en hilera, enterradas a 0.5 m

Según el tipo de configuración del electrodo, la tensión de contacto y la tensión de paso se obtendrán de manera

diferente como se muestra a continuación:

1. La tensión de contacto, 𝐾𝑐, se obtendrá teniendo en cuenta que la mano de una persona esta tocando

algún elemento en un punto, 𝑃1, conectado directamente al electrodo y los dos pies están situados en la

superficie del terreno, a 1 metro del centro del electrodo, 𝑃2 (1𝑚,𝑙𝑦

2 ), en sentido perpendicular a este


Figura 4-3 Puntos de cálculo, 𝑃1 y 𝑃2 para obtener 𝐾𝑐

37


2. La tensión de paso se obtendrá con un pie encima de la primera pica, 𝑃1, y otro pie a 1 m hacia el

exterior, 𝑃2, como muestra la Figura 4-4.

Figura 4-4 Puntos de cálculo, 𝑃1 y 𝑃2 para obtener 𝐾𝑝

Los valores característicos para este tipo de configuración comparados con UNESA aparecen en la Tabla 4-3.

Tabla 4-3 Valores característicos para configuración de varias picas en hilera

Parámetros




paso máxima 0.0346 0.0414 0.0392


contacto máxima 0.1228 0.1460

-

(*)

Potencial en el punto (0,0) 0.0472 0.0467 -

(*)

(*) Valores no reflejados en la publicación de UNESA

A simple vista los valores obtenidos en nuestros cálculos pueden parecer más o menos acertados, sin embargo,

lo que nos va a dar la calidad de estos resultados serán el cálculo del error, en concreto el error relativo, aunque

evaluaremos también el error absoluto. Esto se presentará en la Tabla 4-4.

38


Tabla 4-4 Errores cometidos en los valores calculados para picas en hilera

Parámetros

característicos


HOWE CSM HOWE CSM

Coeficiente de Resistencia 0 -0.023 0 % -11.44 %


paso máxima 4.6 ∗ 10−3 −2.2 ∗ 10−3 11.73 % -5.61 %


contacto máxima - - - -

Potencial en el punto (0,0) - - - -


Figura 4-5 Potencial en cada punto del plano z=0 con varias picas en hilera

39


4.4 Anillo


• Rectángulo de 8.0 m x 4.0 m

• Sección conductor: 50 mm2

• Sin picas

• Profundidad de enterramiento: 0.5 m

Figura 4-6 Anillo sin picas, enterrado a 0.5 m




algún elemento en un punto, 𝑃1, conectado directamente al electrodo y los dos pies estan situados en la

superficie del terreno, a 1 metro del centro del electrodo, 𝑃2 , en sentido de la diagonal a este como

muestra la Figura 4-7.


40



exterior, 𝑃2, en sentido de la diagonal al electrodo como muestra la Figura 4-8.



Tabla 4-5 Valores característicos para configuración en anillo

Parámetros




paso máxima 0.0159 0.0142 0.0169


contacto máxima 0.0487 0.0562 0.0508


(*)




evaluaremos también el error absoluto. Esto se presentará en la Tabla 4-6.

41


Tabla 4-6 Errores cometidos en los valores obtenidos para un anillo

Parámetros

característicos


HOWE CSM HOWE CSM

Coeficiente de Resistencia 0 2.9 ∗ 10−3 0 % 3.29 %


paso máxima 1 ∗ 10−3 2.7 ∗ 10−3 5.92 % 15.98 %


contacto máxima 2.1 ∗ 10−3 −5.4 ∗ 10−3 4.13 % -10.63 %



Figura 4-9 Potencial en cada punto del plano z=0 con electrodo en forma de anillo

42


4.5 Anillo con picas


• Rectángulo de 8.0 m x 4.0 m

• Sección conductor = 50 mm2

• Diametro picas = 14 mm

• Longitud de la pica, 𝑙𝑝 = 2 m

• Profundidad de enterramiento= 0.5 m

Figura 4-10 Anillo con picas, enterrado a 0.5 m




algún elemento en un punto, 𝑃1, conectado directamente al electrodo y los dos pies estan situados en la

superficie del terreno, a 1 metro del centro del electrodo, 𝑃2 , en sentido de la diagonal a este como

muestra la Figura 4-11.


43



exterior, 𝑃2, en sentido de la diagonal al electrodo como muestra la Figura 4-12.



Tabla 4-7 Valores característicos para configuración en anillo con picas

Parámetros




paso máxima 0.0078 0.0082 0.0154


contacto máxima 0.0345 0.0309 0.0338


(*)




evaluaremos también el error absoluto. Este se presentará en la Tabla 4-8.

44


Tabla 4-8 Errores cometidos en los valores obtenidos para un anillo con picas

Parámetros

característicos


HOWE CSM HOWE CSM

Coeficiente de Resistencia 3.4 ∗ 10−3 5 ∗ 10−4 4.7 % 0.69 %


paso máxima 7.6 ∗ 10−4 7.2 ∗ 10−4 4.93 % 4.67 %


contacto máxima −7 ∗ 10−4 2.82 ∗ 10−4 -2.07 % 0.83 %



Figura 4-13 Potencial en cada punto del plano z=0 con electrodo en forma de anillo con picas

45


46

5 MÉTODOS EN SISTEMAS NO HOMOGÉNEOS

5.1 Introducción

A la hora de obtener los parámetros que caracterizan un sistema de puesta a tierra es indispensable conocer o

determinar la composición del suelo y el grado de homogeneidad de este. Para esto debemos aproximarnos,

mediante métodos empíricos o métodos directos basados en teorías y cálculos, al suelo existente en el lugar.

Dando lugar a un modelo del terreno, siendo los más frecuentes los modelos de suelo uniforme y modelo de dos

capas.

𝜌1

En anteriores apartados, se han desarrollado los métodos de Howe y CSM considerando modelos de terreno

homogéneo e isótropo, pero ante la variedad de elementos que pueden formar el terreno y la variación excesiva

de sus propiedades eléctricas, no podemos tratar estos métodos solo para modelos de suelo uniforme.

El método de Howe o APM es una técnica intuitiva para analizar sistemas de puesta a tierra que se ha

desarrollado durante las últimas décadas, pero ante la evolución de técnicas de diseño y optimización se ha ido

alejando de los estudios actuales, ante todo cuando se estudian sistemas de puesta a tierra en terrenos de dos

capas. Por tanto, ante la evolución técnica para optimizar los sistemas de puesta a tierra se desarrollará el método

CSM para terrenos de dos capas.

5.2 Método de simulación de cargas (CSM) en terreno de dos capas

La representación de un electrodo de puesta a tierra en un terreno equivalente de dos capas es generalmente

suficiente para diseñar un sistema de puesta a tierra seguro. Sin embargo, se puede obtener una representación

aún más precisa de las condiciones reales del suelo utilizando un modelo de suelo de dos capas.

En el método CSM, el campo eléctrico real se simula con un campo formado por varias fuentes de corriente

discretas (puntos fuente) colocadas fuera de la región donde se desea la solución. Las fuentes de corriente

discretas se determinan cumpliendo condiciones de contorno en un número seleccionado de puntos de contorno

(puntos campo). Una vez conocidos los valores y la posición de los puntos fuente, el potencial y la distribución

de campo en cualquier parte del terreno se pueden calcular fácilmente.

Se puede ver el detalle de los puntos fuente y campo en la Figura 5-2.

Figura 5-1 Modelo de terreno de dos capas

1ª Capa

𝜌1

2ª Capa

𝜌2

47


Figura 5-2 Detalle de los puntos fuente y campo para un elemento de radio r

El cálculo en el terreno de dos capas es algo complicado debido a que los dipolos que se crean se alinean en los

diferentes suelos debido a la influencia de la tensión. Por lo tanto, cada interfaz dieléctrica (frontera entre las dos

capas del terreno) debe ser simulada también, al igual que los elementos de un electrodo, por fuentes de corriente

ficticias. Hay que tener en cuenta que el límite de la interfaz no se corresponde con una superficie equipotencial.

También, en ambos lados del límite de la interfaz debe ser posible calcular el campo eléctrico.

En el ejemplo de la Figura 5-3, hay M1 puntos fuentes o cargas y puntos campo para simular el electrodo, de los

cuales M1 están en el lado de la capa del suelo A y (M1-M𝐴) están en el lado de la capa del suelo B. Los M1

puntos fuentes son validos para el cálculo de campo en ambas capas. En el límite entre los dos suelos existen

M2 puntos campo (M1+1, …, M1+M2) con M2 puntos fuentes (M1+1, …, M1+M2) en suelo A valido para suelo

B y M2 puntos fuente (M1+M2 +1, …, M1+2.M2) en suelo B valido para suelo A. Por tanto, hay (M1+M2)

número de puntos campo y (M1+2.M2) numero de puntos fuente.

Figura 5-3 Distribución puntos fuentes y puntos campo electrodo de ejemplo

48


Como aparece en la Figura 5-3, h es la profundidad a la que se encuentra enterrado el electrodo de puesta a tierra

y z es la profundidad de la capa superior del terreno. Imponiendo condiciones de contorno a una serie de

ecuaciones podremos determinar las corrientes o cargas ficticias.

Las condiciones de contorno que se imponen son las siguientes:

- Cada punto campo del electrodo tendrá el mismo potencial que el mismo electrodo.

- El potencial y la componente normal de la densidad de flujo en cada punto campo de la interfaz

dieléctrica serán igual a un lado u otro del límite entre las dos capas del terreno.

Aplicando la primera condición de contorno para los puntos campo 1 a 𝑁1 obtenemos las siguientes ecuaciones,

basadas en la Eq 3-38 pero para un modelo de suelo de dos capas.

Las ecuaciones que obtenemos son las siguientes:

∑ ∑ ∑ 𝑅𝑎𝑀

𝑀1

𝑚=1

𝑀𝐴

𝑘=1𝑙≠𝑛

. 𝜆(𝑙, 𝑘) + ∑ ∑ 𝑅𝑎𝑃

𝑀1

𝑚=1

𝑀𝐴

𝑘=1

. 𝜆(𝑛, 𝑘) + ∑ ∑ ∑ 𝑅1𝑀

𝑀1+2𝑀2

𝑚=𝑀1+𝑀2+1

𝑀𝐴

𝑘=1𝑙≠𝑛

. 𝜆(𝑙, 𝑘) + ∑ ∑ 𝑅1𝑃

𝑀1+2𝑀2

𝑚=𝑀1+𝑀2+1

𝑀𝐴

𝑘=1

. 𝜆(𝑛, 𝑘) = 𝑉𝑒

(5-1)

∑ ∑ ∑ 𝑅𝑎𝑀

𝑀1

𝑚=1

𝑀1

𝑘=𝑀𝐴+1𝑙≠𝑛

. 𝜆(𝑙, 𝑘) + ∑ ∑ 𝑅𝑎𝑃

𝑀1

𝑚=1

𝑀1

𝑘=𝑀𝐴+1

. 𝜆(𝑛, 𝑘) + ∑ ∑ ∑ 𝑅2𝑀

𝑀1+𝑀2

𝑚=𝑀1+1

𝑀1

𝑘=𝑀𝐴+1𝑙≠𝑛

. 𝜆(𝑙, 𝑘) + ∑ ∑ 𝑅2𝑃

𝑀1+𝑀2

𝑚=𝑀1+1

𝑀1

𝑘=𝑀𝐴+1

. 𝜆(𝑛, 𝑘) = 𝑉𝑒

(5-2)

Donde

𝑅𝑎𝑀 =𝜌𝑎4.𝜋

1

√(𝑥𝑙𝑘−𝑥𝑛𝑚)2+(𝑦𝑙𝑘−𝑦𝑛𝑚)

2+(𝑧𝑙𝑘−𝑧𝑛𝑚)

2 es la resistencia mutua para 𝜌𝑎 (5-3)

𝑅𝑎𝑀 =𝜌𝑎4.𝜋

1

√𝑟2+(𝑆𝑘−𝑆𝑚)2 es la resistencia propia para 𝜌𝑎 (5-4)

𝑅1𝑀 =𝜌14.𝜋

1



2 es la resistencia mutua para 𝜌1 (5-5)

𝑅1𝑃 =𝜌14.𝜋

1

√𝑟2+(𝑆𝑘−𝑆𝑚)2 es la resistencia propia para 𝜌1 (5-6)

𝑅2𝑀 =𝜌24.𝜋

1



2 es la resistencia mutua para 𝜌2 (5-7)

𝑅2𝑃 =𝜌24.𝜋

1

√𝑟2+(𝑆𝑘−𝑆𝑚)2 es la resistencia propia para 𝜌2 (5-8)

Aplicando la segunda condición de contorno al potencial y a la densidad normal de corriente de los puntos

campo 𝑁1 + 𝑁2 a 𝑁2 + 𝑁1 a un lado y al otro del límite del terreno obtenemos una serie de ecuaciones.

Aplicando la condición al potencial obtenemos:

∑ ∑ ∑ 𝑅2𝑀

𝑀1+𝑀2

𝑚=𝑀1+1

𝑀1+𝑀2

𝑘=𝑀1+1𝑙≠𝑛

. 𝜆(𝑙, 𝑘) + ∑ ∑ 𝑅2𝑃

𝑀1+𝑀2

𝑚=𝑀1+1

𝑀1+𝑀2

𝑘=𝑀1+1

. 𝜆(𝑛, 𝑘) − [∑ ∑ ∑ 𝑅2𝑀

𝑀1+2𝑀2

𝑚=𝑀1+𝑀2+1

𝑀1+𝑀2

𝑘=𝑀1+1𝑙≠𝑛

. 𝜆(𝑙, 𝑘) + ∑ ∑ 𝑅2𝑃

𝑀1+2𝑀2

𝑚=𝑀1+𝑀2+1

𝑀1+𝑀2

𝑘=𝑀1+1

. 𝜆(𝑛, 𝑘)] = 0

(5-9)

Por otro lado, aplicando la condición a la densidad normal de corriente 𝜆𝑁 obtenemos:

∑ 𝜆𝑁1(𝑘)𝑁1+𝑁2𝑘=𝑁1+1 − ∑ 𝜆𝑁2(𝑘) = 0

𝑁1+𝑁2𝑘=𝑁1+1 (5-10)

A partir de estas ecuaciones podemos encontrar el valor y la distribución de las corrientes de los puntos fuente

repartidos en el eje del elemento o electrodo en cuestión.

Una vez conocidas las corrientes de los puntos fuente, a partir de la Eq. 5-1 se puede calcular el potencial en la

49


superficie del terreno. También la resistencia de puesta a tierra puede ser calculada usando la siguiente ecuación:

𝑅𝑃𝐴𝑇 =𝑉𝑒

∑ 𝜆𝑀1𝑚=1

(5-11)

El problema de este método no es otra que obtener la resistividad aparente, 𝜌𝑎, para modelos de suelo de dos

capas.

Existen desde métodos empíricos y basados en la experiencia, a métodos basados en teorías y cálculos para

obtener la resistividad aparente.

En nuestro estudio para obtener la resistividad aparente nos centraremos en métodos basados en teorías y

cálculos debidos a la confiabilidad que presentan estos con respecto a los métodos empíricos y basados en

experiencia.

Entre los métodos basados en teorías y cálculos encontramos el método de Tagg y el método gráfico de Sunde´s.

• Método de Tagg

Tagg, tras un profundo estudio de los suelos biestratificados llega a la siguiente ecuación:

𝑉1 =𝜌1.𝐼

2.𝜋(1

𝑟+ 2.∑

𝐾𝑛

√𝑟2+(2𝑛ℎ)2𝑛=∞𝑛=1 ) (5-12)

Donde n es el numero de capas del terreno de resistividad uniforme y h son los espesores de las capas

del terreno siendo la ultima de espesor infinito. Como en nuestro caso son 2 capas, h será la profundidad

de la primera capa del terreno.

Ecuación que considera las capas homogéneas, donde el primer término de la ecuación es el potencial

en la superficie del terreno a una distancia r del punto de difusión de la corriente, que se puede asemejar

al potencial generado por un electrodo semiesférico en la primera capa.

𝜌1.𝐼

2.𝜋.𝑟 (5-13)

El segundo término es la aportación de potencial de la segunda capa, que puede ser negativo, positivo

o nulo dependiendo del valor del coeficiente de reflexión K.

𝜌1.𝐼

𝜋.𝑟∑

𝐾𝑛

√𝑟2+(2𝑛ℎ)2𝑛=∞𝑛=1 (5-14)

El coeficiente de reflexión viene dado por la siguiente ecuación:

𝐾 =𝜌2−𝜌1

𝜌2+𝜌1 (5-15)

Para obtener la expresión matemática de la resistividad aparente para un modelo de doble capa hay que

aplicar el método Wenner.

La Figura 5-4 muestra la configuración de Wenner, la corriente I entra por el punto A y sale por el punto

B, produciendo un potencial en B y C. La fuente de corriente A esta a una distancia a de B.

Figura 5-4 Configuración de Wenner

El potencial de valor V que se origina entre el punto B y C viene dado por la siguiente expresión:

𝑉 = 𝑉𝐵 − 𝑉𝐶 = 2.𝑉(𝑎) − 2. 𝑉(2𝑎) (5-16)

50


Que permite expresarlo mediante la ecuación:

𝑉 =𝜌1

2.𝜋.𝑎(1 + 4.∑

𝐾𝑛

√1+(2.𝑛.ℎ

𝑎)2

𝑛=∞𝑛=1 −

𝐾𝑛

√4+(2.𝑛.ℎ

𝑎)2) (5-17)

Y la resistividad aparente, mediante la ecuación:

𝜌𝑎 = 𝜌1. (1 + 4.∑𝐾𝑛

√1+(2.𝑛.ℎ

𝑎)2

𝑛=∞𝑛=1 −

𝐾𝑛

√4+(2.𝑛.ℎ

𝑎)2) (5-18)

Eq. 5-18 conocida como la ecuación de Tagg, mediante la cual determino unas curvas maestras que

consisten simplemente en darle valores a las variables k, h y a, obteniendo unos valores de 𝜌𝑎

𝜌1⁄ para

cada caso.

Es necesario comentar que K varía entre -1 y 1, es decir que para valores de K entre -1 y 0 se obtienen

resultados de 𝜌𝑎

𝜌1⁄ mayores que 0 y menores que 1, caso que corresponde a que la primera capa posee

una resistividad mayor que la segunda. Para valores de K entre 0 y 1, los valores de 𝜌𝑎

𝜌1⁄ serán mayores

a 1, ya que la resistividad de la segunda capa es mayor que la de la primera.

Figura 5-5 Curvas maestras para K negativa

Figura 5-6 Curvas maestras para K positiva

51


• Método gráfico de Sunde´s

Este método que modela el suelo en dos capas se basa en medidas obtenidas por el método de Wenner.

Las resistividades 𝜌1 y 𝜌2 son obtenidos de la figura de resistividad obtenida por el método Wenner,

donde 𝜌1 es el primer valor medido y 𝜌2 será el ultimo valor medido.

Este método arroja imprecisión en los resultados debido a que las resistividades de las dos capas del

terreno son escogidas a simple vista en la figura de resistividad aparente. El esquema de cálculo se

presenta a continuación.

a) Trazar la gráfica de la resistividad aparente, 𝜌𝑎, frente al espacio entre electrodos auxiliares, 𝑎. La

Figura 5-7 muestra un ejemplo de esta gráfica.

Figura 5-7 Gráfica 𝜌𝑎vs a para aplicación del método de Sunde

b) Obtener la resistividad de la capa superior, 𝜌1, y la resistividad de la capa inferior, 𝜌

2. 𝜌

1 corresponderá

a los valores medidos correspondientes al espacio entre electrodos auxiliares más pequeño y 𝜌2

corresponde al espacio más grande.

c) Una vez obtengamos las resistividades y su relación, 𝜌2

𝜌1⁄ , seleccionamos una curva del gráfico Sunde.

Figura 5-8 Curvas de Sunde

52


d) Seleccionamos un valor de 𝜌𝑎

𝜌1⁄ perteneciente a la curva seleccionada en c.

e) Seleccionamos el valor correspondiente de 𝑎 ℎ⁄ .

f) Multiplicamos la relación del punto d. por 𝜌1 para obtener la resistividad aparente 𝜌𝑎.

𝜌𝑎 =𝜌𝑎

𝜌1𝜌1 (5-19)

g) Obtenemos 𝑎 entrando en la gráfica de resistividad aparente 𝜌𝑎.

h) Obtenemos el grosor de la capa superficial del terreno a partir del valor a del punto anterior.

ℎ =𝑎

𝑎ℎ⁄ (5-20)

53


54

6 INTERCONEXIÓN DE TIERRAS

6.1 Introducción

Los sistemas de puesta a tierra de una misma instalación eléctrica o de otra distinta pueden o no estar conectados

entre sí. Cuando no están conectados y por una de ellas circule una intensidad, la otra se verá sometida a un

potencial. Este fenómeno por el cual aparece tensión en las masas y elementos metálicos de una instalación de

puesta a tierra como consecuencia del funcionamiento de otra toma de tierra próxima se denomina transferencia

de potenciales.

En caso de fallo, según el tipo de instalación eléctrica, pueden darse situaciones con gran peligrosidad debido a

que el potencial puede transferirse a otras zonas fuera del área que protege el sistema de puesta a tierra de la

propia instalación eléctrica. Transferencia que puede darse a través de circuitos de comunicación, neutros de

baja tensión, pantallas de cables aislados, tuberías, vallas, etc. Esta situación especialmente peligrosa puede

provocar daños de gran envergadura en personas y en aparatos eléctricos o electrónicos.

Puede darse la situación favorable en la que el potencial transferido genere mínimas diferencias de potencial o

una situación desfavorable donde las diferencias de potencia sean elevadas, existiendo un gran peligro. Este

peligro suele ser debida a la tensión de contacto transferida que puede definirse como la tensión de contacto que

aparece en una masa o elemento de una instalación de puesta a tierra provocada por el funcionamiento de otra

toma de tierra próxima.

Pueden considerarse cuatro casos de tensiones transferidas:

a) Tensión transferida en instalaciones de puesta a tierra separadas

Situación en la que los electrodos de las instalaciones de puesta a tierra no tienen una conexión

específica, como muestra la Figura 6-1.

Figura 6-1 Tierras separadas

b) Tensión transferida en instalaciones de puesta a tierra independientes

Situación que se da cuando una serie de electrodos están separados y pasa una corriente por uno de

ellos. En la Figura 6-2 se ilustra como al pasar una corriente por el electrodo 𝐸1, el otro electrodo 𝐸2

adquiere una tensión inferior a 50 V con respecto a la tierra de referencia (potencial cero).

Figura 6-2Tensión transferida tierras independientes

c) Tensión transferida a través de un elemento metálico

55


Situación dada cuando se transfiere la tensión a puntos separados de la instalación a través de un

conductor unido al sistema de puesta a tierra. En la Figura 6-3 se ilustra como el elemento de conductor

transfiere la tensión 𝑉1 (respecto al plano de referencia de potencial cero) provocado por el paso de

corriente por el electrodo 𝐸1. La tensión 𝑉1 se transfiere a la instalación 2, cuyas masas y electrodos se

encuentran con un potencial 𝑉0. Por lo que en el punto A se producirá una diferencia de potencial:

𝑉𝐴 = 𝑉1 − 𝑉0 (6-1)

Figura 6-3 Tensión transferida por elemento metálico

d) Tensión transferida en instalaciones de puesta a tierra interconectadas

Situación en ocasiones necesaria, Figura 6-4, bien por aplicación de normativa, conectando las tierras

de protección con las de servicio para formar una tierra general o bien para obtener una resistencia más

baja de difusión de la intensidad.

Figura 6-4 Tierras interconectadas

Las instalaciones (𝐸1, 𝐸2) tienen una resistencia de puesta a tierra (𝑅1, 𝑅2), difundiendo valores

distintos de corriente (𝐼1, 𝐼2), siendo importante conocer la resistencia equivalente (R) que difunde la

intensidad (I) y los valores de la intensidades (𝐼1, 𝐼2) que difunde cada una de las instalaciones.

No siempre es posible evitar estos potenciales transferidos, pero es necesario investigar las formas de

eliminarlos. Si fuera imposible eliminarlos, las conducciones o elementos metálicos serán señalados como

circuitos activos tomándose las medidas oportunas.

6.2 Modelo matemático

a) Instalaciones de puesta a tierra separadas

Consideramos dos electrodos pertenecientes a dos instalaciones de puesta a tierra diferentes formados

por elementos rectos lineales interconectados.

El electrodo 1 disipa a tierra una corriente 𝐼1 debido a un defecto existente en la instalación a la que

pertenece este electrodo. Esta corriente viene dada por la siguiente expresión:

[𝐶1]′. [𝜆1] = 𝐼1 (6-2)

La expresión general que relaciona los potenciales de los elementos que componen el electrodo y las

corrientes que circulan por ellos tienen la siguiente forma:

56


[𝑅11]. [𝜆1] + [𝑅12]. [𝜆2] = [𝐶1]. 𝑉𝐸1 (6-3)

[𝑅21]. [𝜆1] + [𝑅22]. [𝜆2] = [𝐶2]. 𝑉𝐸2 (6-4)

Siendo [𝜆1] y [𝜆2] vectores de densidades de corrientes correspondientes a los elementos (𝑁1son los

elementos del electrodo 1 y 𝑁2 son los elementos del electrodo 2) que componen los electrodos de

puesta a tierra, donde 𝑉𝐸1 y 𝑉𝐸2 son los potenciales de estos elementos. Los componentes de las matrices [𝑅11] y [𝑅22] son las resistencias propias de los elementos de los electrodos y los componentes matrices [𝑅12] son las resistencias mutuas entre los elementos del electrodo 1 y los elementos del electrodo 2. [𝑅21] es la traspuesta de la matriz [𝑅12]. [𝐶1] y [𝐶2] son vectores columna unidad y [𝐶1]′ es su

transpuesta.

De las expresiones anteriores desconocemos las corrientes que emanan de los elementos de los dos

electrodos, 𝑁1 + 𝑁2. También se desconocen los potenciales de ambos electrodos de los sistemas de

puesta a tierra. Obteniendo un sistema de 𝑁1 + 𝑁2 + 1 ecuaciones.

b) Instalaciones de puesta a tierra independientes

Si el electrodo 2 no está conectado a ninguna instalación de puesta a tierra, la expresión siguiente

completa al sistema estudiado en el apartado anterior.

𝐼2 = [𝐶2]′. [𝜆2] = 0 (6-5)

Por lo tanto, solo se considera que se inyecta corriente a través del electrodo 1, ya que en este caso la

corriente inyectada en el terreno por el electrodo 2 es nula.

El sistema de ecuaciones formado ahora puede resolverse para [𝜆1], [𝜆2], 𝑉𝐸1 y 𝑉𝐸2.

El voltaje en el electrodo 2 es causado por la diferencia de potencial generado por el electrodo 1 sobre

el electrodo 2 y el potencial 𝑉𝐸2.

Para calcular el potencial en cualquier punto x de la superficie del terreno entre los dos electrodos

podemos usar la siguiente expresión general.

𝑉𝑥 = [[𝑅1𝑥] [𝑅2𝑥]]. [ [𝜆1][𝜆2]

] (6-6)

Donde [𝑅1𝑥] y [𝑅2𝑥] son vectores fila de las resistencias mutuas de los electrodos de tierra 1 y 2 y el

punto x.

La diferencia entre el potencial adquirido si tocamos un objeto conectado al electrodo 2 y el potencial

en un punto x al que se encuentran los pies será la tensión de contacto.

𝑉𝑐𝑥 = |𝑉𝑥 − 𝑉𝐸2| (6-7)

La diferencia de potencial entre los puntos donde se encuentran los pies de una persona (1 metro de

separación desde un punto x) es la tensión de paso.

𝑉𝑝𝑥 = |𝑉𝑥 − 𝑉𝑥+1| (6-8)

c) Instalaciones de puesta a tierras interconectadas

En algunos casos las diferentes instalaciones de puesta a tierra son conectadas entre sí

intencionadamente, con el objetivo de decrecer el valor de la resistencia a tierra.

En este caso, los electrodos 1 y 2 forman un sistema de conexión a tierra común. Por lo que

sustituiríamos la Eq. 6-2 por la siguiente expresión:

[𝐶1]´. [𝜆1] + [𝐶2]´. [𝜆2] = 𝐼1 (6-9)

Para completar el modelo en este tipo de instalaciones faltaría la siguiente expresión:

𝑉𝐸1 = 𝑉𝐸2 = 𝑉𝐸 (6-10)

57


El sistema de ecuaciones formado ahora puede resolverse para [𝜆1], [𝜆2] y 𝑉𝐸.

La tensión de paso y de contacto puede calcularse aplicando la Eq. 6-6 - Eq.6-8.

La corriente que se inyecta en el suelo a través del electrodo 2 es:

𝐼𝑐2 = [𝐶2]´. [𝜆2] (6-11)

Por lo tanto, la corriente del electrodo 1 será:

𝐼𝑐1 = 𝐼1 − 𝐼𝑐2 (6-12)

d) Instalaciones de puesta a tierra conectadas a través de un elemento metálico

Para investigar el efecto de la conexión del electrodo de puesta a tierra 2 con otro electrodo, las Eq. 6-2

- Eq. 6-4 deben completarse con las Eq.6-11 y Eq.6-13.

𝑉𝐸1 = −𝐼𝑐2. 𝑅 (6-13)

Siendo R la resistencia a tierra de los elementos que conectan el electrodo 2 con otro electrodo, en

nuestro caso el electrodo 1.

El sistema de ecuaciones formado ahora puede resolverse para [𝜆1] y [𝜆2]. Aplicando las Eq.6-6 - Eq.

6-8 podemos calcular las tensiones de contacto y de paso en el área de interés.

6.3 Ejemplo de análisis

En este apartado nos centraremos en analizar una de las cuatro metodologías expuestas con anterioridad. Se ha

elegido el análisis de potenciales transferidos en instalaciones de puesta a tierra independientes.

Para esta aplicación se han considerado dos electrodos como muestra la Figura 6-5, donde sus lados tienen una

longitud de 60 m y los electrodos están enterrados a una profundidad de 0.7 m. Los elementos que forman el

electrodo son conductores cilíndricos de 1 cm de diámetro. Existe una distancia d entre los dos electrodos

considerados.

La resistencia de puesta a tierra del electrodo 1, cuando no existe otro electrodo en su proximidad y cuando 𝜌 =100 Ω𝑚, es 0.796 Ω. Las tensiones de contacto y de paso calculados para 𝐼1 = 1𝑘𝐴 son 𝑉𝑐1 = 190.5 𝑉 y 𝑉𝑝1 =

27.5 𝑉.

Figura 6-5 Electrodos considerados en instalaciones de puesta a tierra independientes

Como ya se discutió en el apartado correspondiente, la tensión de contacto en el electrodo 2 cuando el electrodo

1 inyecta al terreno una corriente 𝐼1 surje debido a la diferencia de potenciales de la superficie del suelo y el

potencial 𝑉𝐸2 del electrodo 2.

A continuación, se presenta una tabla donde se recogen tensiones de contacto máximo, 𝑉𝑐1 y 𝑉𝑐2, en los

electrodos 1 y 2, así como las tensiones de paso en el electrodo de puesta a tierra 2 para varias distancias de

separación de los electrodos en el caso de que el electrodo 1 inyecte al terreno una corriente 𝐼1 = 1 𝑘𝐴 y el

terreno tenga una resistividad 𝜌 = 100 Ω𝑚.

58


Tabla 6-1 Resultados obtenidos para 𝜌 = 100 Ω𝑚

d (m) 𝑽𝑬𝟏 (V) 𝑽𝑬𝟐 (V) 𝑽𝒄𝟏 (V) 𝑽𝒄𝟐 (V) 𝑽𝒑𝟐 (V)

10 781.6 252.9 186.4 56.1 8.6

20 789.0 213.8 188.7 40.2 6.3

30 791.9 186.7 189.5 31.1 4.8

40 793.4 166.1 190.0 25.1 3.8

50 794.2 149.8 190.2 20.7 3.1

60 794.7 136.5 190.3 17.3 2.5

70 795.1 125.4 190.4 14.8 2.2

La Figura 6-6 presenta la distribución de potencial en la superficie del terreno donde van instalados los electrodos

de puesta a tierra para una distancia de separación entre ambas de 30 m.

Figura 6-6 Distribución de potenciales

También se presenta una tabla donde se recogen tensiones de contacto máximo, 𝑉𝑐1 y 𝑉𝑐2, en los electrodos 1 y

2, así como las tensiones de paso en el electrodo de puesta a tierra 2 para varias distancias de separación de los

electrodos en el caso de que el electrodo 1 inyecte al terreno una corriente 𝐼1 = 1 𝑘𝐴 y el terreno tenga una

resistividad 𝜌 = 50 Ω𝑚.

59


Tabla 6-2 Resultados obtenidos para 𝜌 = 50 Ω𝑚


10 390.8 126.45 93.2 28.05 4.3

20 394,5 106.9 94.35 20.1 3.15

30 395.95 93.35 94.75 15.55 2.4

40 396.7 83.05 95 12.55 1.9

50 397.1 74.9 95.1 10.05 1.55

60 397.35 68.25 95.15 8.65 1.25

70 397.55 62.7 95.2 7.4 1.1

Por último, se ha realizado este análisis para modelos de suelos de dos capas. Las dos capas del suelo se

consideran con el espesor de la capa superior de 2 m. La Tabla 6-3 presenta los resultados obtenidos si la

resistivida de las capas del suelo superior e inferior son respectivamente 𝜌1 = 100 Ω𝑚 y 𝜌2 = 50 Ω𝑚.

Tabla 6-3 Resultados obtenidos en el caso 𝜌1 = 100 Ω𝑚 y 𝜌2 = 50 Ω𝑚


10 472.1 125.5 163.3 35.1 5.6

20 474.4 106.6 164.2 25.1 4.1

30 475.3 93.2 164.6 19.4 3.2

40 475.8 83.0 164.8 15.5 2.1

50 476.1 74.9 164.8 12.8 1.8

60 476.2 68.2 164.9 10.7 1.6

60


La Tabla 6-4 contiene los resultados para 𝜌2 = 100 Ω𝑚 y 𝜌1 = 50 Ω𝑚.

Tabla 6-4 Resultados obtenidos en el caso 𝜌2 = 100 Ω𝑚 y 𝜌1 = 50 Ω𝑚


10 667.3 254.4 107.7 42.3 6.4

20 678.0 214.2 109.9 30.4 4.5

30 682.3 186.7 110.8 23.6 3.4

40 684.4 166.0 111.2 19.3 2.9

50 685.6 149.7 111.4 15.9 2.2

60 686.3 136.4 111.6 13.5 1.8

Al comparar [1]los resultados obtenidos en ambas tablas para diversas configuraciones del terreno, podemos

observar que los potenciales 𝑉𝐸1 dependen considerablemente de la resistividad de la capa inferior del suelo. Se

pueden comparar con los valores obtenidos para los correspondientes casos de suelos uniformes con resistividad

del suelo que es igual a la resistividad de la capa del suelo inferior. Caso que ocurre también para los potenciales

𝑉𝐸2 donde la diferencia entre el uniforme y el modelo de dos capas es pequeña. Las tensiones de contacto y de

paso generados en el electrodo 2 debido al electrodo 1 son bajos comparándolos con los altos potenciales que se

pueden alcanzar en el electrodo 2.

Hay que tener en cuenta, que a mayor intesidad a la que se realicen los cálculos mayores son los potenciales que

hemos considerado en las tablas.

61


62

ANEXO I LISTADO DE CÓDIGOS EN MATLAB

A.I.1 Aplicación del método de Howe

En este apartado se detalla el programa en Matlab del electrodo del Apartado 3.2.1, mediante el método de

Howe.

a) Coordenadas de picas y conductores

X=xlsread('PICAX.xlsx');

Y=xlsread('PICAY.xlsx');

Z=xlsread('PICAZ.xlsx');

b) Establecimiento de la longitud de los elementos

n=1;

e=2;

for i=1:2*n

for j=1:e

X1(i,:)=X(i,1);

X2(i,:)=X(i,2);

Y1(i,:)=Y(i,1);

Y2(i,:)=Y(i,2);

Z1(i,:)=Z(i,1);

Z2(i,:)=Z(i,2);

l(i,:)=sqrt((X(i,2)-X(i,1)).^2+(Y(i,2)-Y(i,1)).^2+(Z(i,2)-

Z(i,1)).^2);

end

end

c) Cálculo autoinfluencia 𝑨𝒊𝒋 de los conductores

for i=1:2*n

for j=1:2*n

D(i,j)=sqrt((X(j,1)-X(i,1)).^2+(Y(j,1)-Y(i,1)).^2);

end

end

for i=1:2

for j=1:2;

if i~=j

S(i,j)=((-sqrt((Z(j,1)-Z(i,1)).^2)).*(-1).^(1+1+1))+((-

sqrt((Z(j,1)-Z(i,2)).^2)).*(-1).^(1+2+1))+((-sqrt((Z(j,2)-Z(i,1)).^2)).*(-

1).^(2+1+1))+((-sqrt((Z(j,2)-Z(i,2)).^2)).*(-1).^(2+2+1));

63


S(S==0)=1;

A(i,j)=(1./(4.*pi().*l(i,:).*l(i,:)))*S(i,j);

end

if i==j

dz=0.014;

A(i,j)=(1./(2.*pi().*l(i,:))).*log((2.*l(i,:))./dz);

end

end

end

d) Cálculo del valor de potencial en la superficie del terreno (coeficiente de potencial y de potencial de

contacto)

H=A*l;

P=sum(sum(H));

L=sum(l);

Kr=P/(n*L);

function Kpot=potencial_elemento(Xp,Yp,Zp)

%A)Coordenadas de picas y conductores

X=xlsread('PICAX.xlsx');

Y=xlsread('PICAY.xlsx');

Z=xlsread('PICAZ.xlsx');

%B)Longitud de los elementos

n=1;

e=2;

for i=1:2*n

for j=1:e

X1(i,:)=X(i,1);

X2(i,:)=X(i,2);

Y1(i,:)=Y(i,1);

Y2(i,:)=Y(i,2);

Z1(i,:)=Z(i,1);

Z2(i,:)=Z(i,2);

l(i,:)=sqrt((X(i,2)-X(i,1)).^2+(Y(i,2)-Y(i,1)).^2+(Z(i,2)-

Z(i,1)).^2);

end

end

Kpot1=(asinh((Z(1,2)-Zp)./sqrt((Xp-X(1,1)).^2+(Yp-Y(1,1)).^2))-asinh((Z(1,1)-

64


Zp)./sqrt((Xp-X(1,1)).^2+(Yp-Y(1,1)).^2)));

Kpot=Kpot1/(4*pi());

Kpot=potencial_elemento(0.00000001,0.000000001,0);

Kc=Kr-Kpot;

e) Cálculo del valor de la tensión de paso en la superficie del terreno (coeficiente de tensión de paso)

function Kp=potencial_paso(Xp,Yp,Zp)

pp=potencial_elemento(Xp,Yp,Zp);

radio=1;

k=50;

for i=1:k

t=(2*pi()/k)*(i-1);

rec(i,1)=Xp+radio*cos(t);

rec(i,2)=Yp+radio*sin(t);

Kprec(i)=potencial_elemento(rec(i,1),rec(i,2),Zp);

difKprec(i)=abs(Kprec(i)-pp);

end

Kp=max(difKprec);

Kp=potencial_paso(0.000000001,0.0000000001,0);

lim=max(max([X,Y]))+1;

Xp=-lim:.1:lim;

Yp=-lim:.1:lim;

[X,Y]=meshgrid(Yp,Xp);

POT=potencial_elemento(X,Y,0);

TPA=0;

for i=1:size(Xp,2)

for j=1:size(Yp,2)

TPA(i,j)=potencial_paso(Xp(i),Yp(j),0);

end

end

mesh(X,Y,POT);

mesh(X,Y,TPA);

65


B.I.1 Aplicación del método de simulación de cargas (CSM)

En este apartado se detalla el programa en Matlab del electrodo del Apartado 3.2.1, mediante el método de

simulación de cargas (CSM).

f) Procesamiento de las coordenadas de los extremos de los diferentes elementos enterrados, así como

el radio y el número de subelementos en que se divide cada elemento enterrado.

N=1; % Número de elementos enterrados

P1=xlsread('Coordenadasorigen.xlsx'); % Coordenadas origen de cada elemento

P2=xlsread('Coordenadasfin.xlsx'); % Coordenadas fin de cada elemento

r=xlsread('radioselementos.xlsx'); % Vector con radios de los elementos (2N)

M=4; % Número de subelementos en los que se divide los elementos

% Cordenadas de los M subelementos

for n=1:2*N

m=1:M;

lo=(2*m-1)/2/M;

X(n,:)=P1(n,1)+lo.*(P2(n,1)-P1(n,1));

Y(n,:)=P1(n,2)+lo.*(P2(n,2)-P1(n,2));

Z(n,:)=P1(n,3)+lo.*(P2(n,3)-P1(n,3));

end

g) Obtención de la matriz de resistencias y de la densidad lineal de corriente que circula por cada

subelemento, suponiendo que la superficie del electrodo es equipotencial.

for n=1:2*N

for m=1:M

for l=1:2*N

for k=1:M

i=(n-1)*M+m;j=(l-1)*M+k;

rho=1;

if l==n % Cálculo resistencia propia

d(n,m)=sqrt((X(n,m)-P1(n,1))^2+(Y(n,m)-P1(n,2))^2+(Z(n,m)-

P1(n,3))^2);

da=(d(n,m)-norm(P1(n,:)-P2(n,:)))/(2*M);

db=(d(n,m)+norm(P1(n,:)-P2(n,:)))/(2*M);

R(i,j)=(rho/4/pi)*log(((db-d(n,m))+sqrt((d(n,m)-

db).^2+r.^2))/((da-d(n,m))+sqrt((d(n,m)-da).^2+r.^2)));

else % Cálculo resistencia mutua

R(i,j)=rho*(norm(P1(l,:)-P2(l,:))/(4*pi*M))/sqrt((X(l,k)-

X(n,m)).^2+(Y(l,k)-Y(n,m)).^2+(Z(l,k)-Z(n,m)).^2);

end

end

66


end

end

end

V=ones(2*M*N,1);

Ab=[R V];

re=rref(Ab);

eps=1.0e+05;

reb=re/eps;

dens1=reb(:,9);

dens=zeros(2*N,M);

for n=1:2*N

for m=1:M

u=(n-1)*M+m;

dens(n,m)=dens1(u);

end

end

h) Cálculo del valor de puesta a tierra y el coeficiente de resistencia

curr=0;

for n=1:2*N

for m=1:M

u=(n-1)*M+m;

curr=curr+(norm(P1(n,:)-P2(n,:))/M)*dens1(u);

end

end

RPAT=1/curr;

Kr=RPAT;

i) Cálculo del valor de potencial en la superficie del terreno (coeficientes de potencial y de potencial de

contacto)

function Kpot1=potencial_elemento1(P1,P2,Xp,Yp,Zp,M,a1,rho)

M=4;

N=1;

rho=1;


P1=xlsread('Coordenadasorigen.xlsx');

P2=xlsread('Coordenadasfin.xlsx');

67


% Coordenadas origen barra 1/fin barra 1

X1=P1(1,1);

Y1=P1(1,2);

Z1=P1(1,3);

X2=P2(1,1);

Y2=P2(1,2);

Z2=P2(1,3);

% Coordenadas origen barra 2/ fin barra 2 (Imagen especular)

X1s=P1(2,1);

Y1s=P1(2,2);

Z1s=P1(2,3);

X2s=P2(2,1);

Y2s=P2(2,2);

Z2s=P2(2,3);

%Coordenadas de los subelementos M

n=1:M;

l=(2*n-1)/2/M;

%Coordenadas de los subelementos M de la pica real

Xn=X1+l.*(X2-X1);

Yn=Y1+l.*(Y2-Y1);

Zn=Z1+l.*(Z2-Z1);

%Coordenadas de los subelementops M de la imagen especular

Xsn=X1s+l.*(X2s-X1s);

Ysn=Y1s+l.*(Y2s-Y1s);

Zsn=Z1s+l.*(Z2s-Z1s);

v1=0;

for n=1:M

v1=v1+((a1(n)./sqrt((Xn(n)-Xp).^2+(Yn(n)-Yp).^2+(Zn(n)-

Zp).^2)+(a1(n)./sqrt((Xn(n)-Xp).^2+(Yn(n)-Yp).^2+(Zsn(n)-Zp).^2))));

end

L=norm(P1-P2);

dL=L/M;

v1=(v1*rho*dL)/4/pi;

Kpot1=v1/L;

68


function Kpot2=potencial_elemento2(P1,P2,Xp,Yp,Zp,M,a2,rho)

M=4;

N=1;

rho=1;


P1=xlsread('Coordenadasorigen.xlsx');

P2=xlsread('Coordenadasfin.xlsx');

% Coordenadas origen barra 1/fin barra 1

X1=P1(1,1);

Y1=P1(1,2);

Z1=P1(1,3);

X2=P2(1,1);

Y2=P2(1,2);

Z2=P2(1,3);

%Coordenadas origen barra 2/ fin barra 2 (Imagen especular)

X1s=P1(2,1);

Y1s=P1(2,2);

Z1s=P1(2,3);

X2s=P2(2,1);

Y2s=P2(2,2);

Z2s=P2(2,3);

%Coordenadas de los subelementos M

n=1:M;

l=(2*n-1)/2/M;

%Coordenadas de los subelementos M de la pica real

Xn=X1+l.*(X2-X1);

Yn=Y1+l.*(Y2-Y1);

Zn=Z1+l.*(Z2-Z1);

%Coordenadas de los subelementops M de la imagen especular

Xsn=X1s+l.*(X2s-X1s);

Ysn=Y1s+l.*(Y2s-Y1s);

Zsn=Z1s+l.*(Z2s-Z1s);

v2=0;

69


for n=1:M

v2=v2+((a2(n)./sqrt((Xn(n)-Xp).^2+(Yn(n)-Yp).^2+(Zn(n)-

Zp).^2)+(a2(n)./sqrt((Xn(n)-Xp).^2+(Yn(n)-Yp).^2+(Zsn(n)-Zp).^2))));

end

L=norm(P1-P2);

dL=L/M;

v2=(v2*rho*dL)/4/pi;

Kpot2=v2/L;

function Kpot=potencial_elemento(P1,P2,Xp,Yp,Zp,M,a1,a2,rho)

Kpot1=potencial_elemento1(P1,P2,Xp,Yp,Zp,M,a1,rho);

Kpot2=potencial_elemento2(P1,P2,Xp,Yp,Zp,M,a2,rho);

Kpot=Kpot1+Kpot2;

j) Cálculo del valor de la tensión de paso en la superficie del terreno (coeficiente de tensión de paso)

function Kp=potencial_paso(P1,P2,Xp,Yp,Zp,M,a1,a2,rho)

Kpot=potencial_elemento(P1,P2,Xp,Yp,Zp,M,a1,a2,rho);

pp=Kpot;

radio=1;

k=50;

for i=1:k

t=(2*pi()/k)*(i-1);

rec(i,1)=Xp+radio*cos(t);

rec(i,2)=Yp+radio*sin(t);

Kprec(i)=potencial_elemento(P1,P2,rec(i,1),rec(i,2),0,M,a1,a2,rho);

difKprec(i)=abs(Kprec(i)-pp);

end

Kp=max(difKprec);

70

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72

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