Equations – Inéquations 3ème

Objectifs:- Résoudre une équation du type A x B = 0 où A et B sont des expressions du 1er degré de la même variable.

- Résoudre l’équation x² = a, où a est un nombre positif.

- Comparer des nombres en utilisant l’addition et la multiplication.

- Résoudre une inéquation du 1er degré à une inconnue.

La méthode de résolution des équations (muadala) découverte par le perse Abu Djafar Muhammad ibn Musa al Khwarizmi (Bagdad, 780-850)consiste en:

- al jabr (le reboutement, 4x - 3 = 5 devient 4x = 5 + 3), le mot est devenu "algèbre" aujourd’hui.

Dans l’équation, un terme négatif est accepté mais al Khwarizmi

s’attache à s’en débarrasser au plus vite.

Pour cela, il ajoute son opposé des deux côtés de l’équation. - al muqabala (la réduction, 4x = 9 + 3x devient x = 9)

Les termes semblables sont réduits.

A cette époque, la « famille des nombres » est appelée dirham et la « famille des x » est appelée chay (=chose), devenu plus tardxay en espagnol qui explique l’origine du x dans les équations.

I. Equations du 1er degré à une inconnue

1) Les deux règles de résolution

Pour résoudre une équation, on peut appliquer les deux règles suivantes :

Règle n°1 : On ne change pas les solutions d’une équation en

ajoutant ou en retranchant un même nombre aux

deux membres d’une équation.

Règle n°2 : On ne change pas les solutions d’une équation en

multipliant ou en divisant ses deux membres par

un même nombre non nul.

Vocabulaire

Inconnue c’est une lettre qui cache un nombre cherché → x

Equation c’est une opération « à trous » dont « les trous »

sont remplacés par une inconnue → 32210 xx

Résoudre une équation c’est chercher et trouver le

nombre caché sous l’inconnue.

Solution c’est le nombre caché sous l’inconnue  → 625,0x

Vérification :

10 x 0,625 - 2 = 2 x 0,625 + 3 donc 0,625 est

solution.

2) Quatre exemples

Résoudre les équations suivantes :

9412 x Le but est de réunir la « famille des x » dans le membre de gauche et la « famille des nombres » dans le membre de droite.494412 x On élimine +4 à gauche en ajoutant

dans chaque membre -4 (Règle n°1 )

1312 x

12

13

12

12

x On élimine 12 (qui est multiplié à x) à gauche en divisant chaque membre par 12 (Règle n°2 )

12

13x La solution de cette équation est

12

13x

15134 xxLe but est de réunir la « famille des x » dans le membre de gauche et la « famille des nombres » dans le membre de droite.

131513134 xx On élimine -13 à gauche en ajoutant dans chaque membre +13 (Règle n°1 )

1454 xx

xxxx 514554 On élimine -5x à droite en ajoutant dans chaque membre +5x (Règle n°1 )

149 x

9

14

9

9

x On élimine 9 (qui est multiplié à x) à gauche en divisant chaque membre par 9 (Règle n°2 )

9

14x La solution de cette équation est

9

14x

xxx 36524On va d’abord développer et réduire chaque membre de l’équation avant depasser à la résolution. xxx 618584

185134 xx On peut maintenant passer à la résolution comme pour l’exemple n°2.

1318513134 xx

554 xx

xxxx 55554

59 x

9

5

9

9

x

9

5x La solution de cette équation est

9

5x

2

1

7

1

14

x On va d’abord réduire chaque membre de l’équation au même dénominateur, ici 14.

14

7

14

2

14

x

2x

2x

x7

x7

14

7

14

2

x On peut supprimer maintenant les dénominateurs qui sont égaux (Règle n°2 )

72 x On peut maintenant passer à la résolution comme pour l’exemple n°1.

2722 x

9x La solution de cette équation est 9x

II. Equations du 2nd degré à une inconnue

1) Equation produit nul Si un produit de facteurs est nul, alors l’un au moins des facteurs est nul.

Exemple: Résoudre l’équation (4x + 6)(3 - 7x) = 0

Si A x B = 0 alors A = 0 ou B = 0 Soit 4x + 6 = 0 Soit 3 - 7x = 0

4x = -6 - 7x = -3 x = -6/4 x = -3/-7

x = -3/2 x = 3/7

Les deux solutions de l’équation sont : x = -3/2 et x = 3/7

Remarque : on peut noter aussi S = {-3/2 ; 3/7}

Si A x B = 0 alors A = 0 ou B = 0

2) Equation du type x² = aLes solutions de l’équation x² = a (avec a > 0) sont : et

a a

Remarque : si a est négatif l’équation n’admet pas de solution.

Exemples : - Résoudre l’équation 52 x

Les solutions de l’équation sont : et 5x

55;S

5x

- Résoudre l’équation 74 2 x

On a : et 7474 xx

4747 xx

Les solutions de l’équation sont :

et 4747 xx

4747 ;S

Soit encore : et

III. Inéquations du 1er degré à une inconnue

1) Ordre et opérations Exemples:

- Si x < 3, que peut-on dire de 3x – 4 ?

x < 3

3x < 9

3x - 4 < 5

x3 x3

– 4 – 4 

-Si x > 1, que peut-on dire de – 2x + 4 ?

x > 1

-2x -2

x(– 2) x(– 2)

- 2x + 4 < 2

+ 4  + 4 

<

Règle n°3 : On ne change pas le sens d’une inégalité si

on

ajoute ou on retranche un même nombre (positif ou

négatif)

aux deux membres d’une inéquation.Règle n°4 : On ne change pas le sens d’une inégalité si on

multiplie ou on divise les deux membres d’une inéquation

par un même nombre POSITIF.

Règle n°4 bis: On change le sens d’une inégalité si on

multiplie ou on divise les deux membres d’une inéquation

par un même nombre NEGATIF.

2) Résolution d’une inéquation

Inéquation inégalité qui contient une inconnue x.

Résoudre une inéquation c’est trouver toutes les valeurs

de x qui vérifient cette inégalité.

il s’agit d’un ensemble de valeurs.

Remarque : On résout une inéquation du 1er degré à une

inconnue de la même manière qu’une équation

du 1er degré à une inconnue, en veillant à bien

appliquer les règles 3, 4 et 4bis.

Exemples :Résoudre les inéquations suivantes et représenter les solutions sur une droite graduée.

xx 5432

3452 xx

17 x

71

x

0 1 1/7

solutions

Les solutions sont tous les nombres strictement inférieurs à .71

.

5442 xx )(

5482 xx

5842 xx

32 x

23

x

On divise par un nombre négatif donc on change le sens de l’inégalité.

0 1  2 -1 - 2 -3/2

solutions

Les solutions sont tous les nombres supérieurs ou égaux à .23

≥