E q u ~ z i o a i d i f ferenzia l i in uuo sp,tzio di Bannch . Teorema di cs is tenzn e struttur:~ del peaue l lo dcl le so luz ioni

in ipotes i di Carath6odory .

di GIUSEPPE PULVIRENTI: (a Gatania) (*)

Sunto. - Si stabilisce un teorema di esistenza per equazioni differe~ziali in uno spazio di BANACH sotto ipotesi di CARATH~]ODORY. Viene s tud ia ta la s t ru t tura del pcnnello delle soluzioni pervenendo a teoremi che estendono quelti~ noti nel caso degli spazi euclidei~ di I-i. KI~!ESER e ) i . I:{UKUHARA.

Summat'y. - An existence the9re~v~ for 'differeTttial equations in a BA~ACH space is proved under hypothesis o f CARATHEODOR¥ type. The set of solutions issued from a given poin t is studied and results analogous to those val id in case of a euclidean space, by It. KNESZI~ and M. I-~UKUHARA~ a r e obtained.

1. ln t roduzione.

noto che le soluzioni del l 'equazione integrale

(E) t

x(t) = ~° + f f(z, x(~))d~, to

sotto condizioni opportune (ipotesi di CAtiATtI]~ODORY), sono anehe soluzioni, in an certo senso, del l 'equazione differenziale

(1) x : f ( t , x)

con la condizione iniziale

(2) X(to) - xo.

]~ pure noto the l ' ins ieme dei punt:i (t, x(t))appartenenti a dette soluzioni (pennel]o di PEA~O) ~ chiuso e ehe le sue sezioni con rette (o piani~ o iper- piani, seeondo la dimensione dello spazio ambiente)d i equazione t - - - cos tante

(*) L ' ~ . fa parte del 60 gruppo di ricerca del C. ~ . ~..

Annal~ d~ Matematica 35

282 G. I)ULVIRENTI: Eq~eazioni dif ferenziali ~n u~o .~pazio di Banach, ecc.

sono dei eontinui (teorema di H. K~ESER [7]) (1) ed infine cbe ogni punto della front iera del penuello si pub congiungere con l 'or igine (to, ~c °) di questo mediante una soluzioue il cui d iagramma appart iene per intero alla frontiera stessa (teorema di M. HUKUI-IARA [6]).

Nel presente lavoro vogliamo mostrare come gii stessi risultati si otten- gano (per le soluzioni di un 'equaz ione integrale, (E'), anche pifi generale della (E)) in ipotesi convenienti ehe generalizzano in mode abbastanza natura le quelle ehe assieurano i teoremi prima, ricordati, nel case in cui x ed f(t , x) anzich6 scalari o vettori ad n dimensioni indichino funzioni a vatori in un qualunque spazio di BA~ACI=[ (~).

Se si preseinde dal case in cui f ~ funzione l ineare della ~, ampiamente trat tato in numerosi lavori, tra eui citeremo a titolo di esempio quelli di J . L . MASSERA e 5. J . SCttA]~FER [8], i r i s u l t a t i r e l a t i v i a l l ' e s i s t e n z a d e l l e

soluzioni sono ottenuti per Io pifi in ipotesi di continuith sulla f(cfr. E HILLE-R. S. PttILLIPS [5], C. CORDUNEANU [2]), mentre a quanto ci consta l 'un ico lavoro in cui si siano introdotte ipotesi del ripe di CARATtt]~ODOR¥

una Nota [3] di C. CORDUNEA~U, nella quale perb la na tura delle ipotesi. tale da assicurare anche F unicit~t della soluzione.

Nel n. 2 preciseremo anzitutto le ipotesi da noi adottate e ne giustifiche. remo la scelta. Un teorema di esistenza sarh prora te nel n. 3, e, dope aver stabilito (n. 4) una prima propriet~ del pennello di PEANO, estenderemo i teoremi di H. K~ESEI~ (n. 5) e di M. HU~:CHARA (n. 6). Pe r quest 'ul t imo, restr ingendo alquanto le ipotesi, seguiremo da vicino un metodo impiegato da K. HAYASI~I [4] nel case degli ordinari spazi euclidei.

2. Posizione del problema.

Preeisiamo, era, le ipotesi nelle quali s tudieremo il problema. Sia B uno spazio di BA~ACH reale o complesso ed f(t, x) una

a valori in B, definita ne l l ' ins ieme funzione,

S: to <_, t < to + ~ (~ > 0), x ~ B,

dove t 6 una variabile reale. Posto I - - i t ; t o ~ t <--to + ~ ! , sia verif ieata la seguente ipotesi :

a) La funzione f(t , x~) sia, per ogni fissure valore di w, fortemente misurabile rispetto a t e, per ogni t e I, continua (~) rispetto ad x.

(i) I humeri in parentesi quadre si riferiscono alla bibl iografia che trovasi in fondo al lavoro.

(~) _Per la terminologia e per le definizioni occorrenti cfr. E. HtLLE-R. S. PI4I]~,LIPS [5]. (s) In questo lavoro intenderemo la continuith, derivabil i th ed in generale la topologia

in sense forte (della norma),

G. PcLwrt~,~ri: Equazioni di]ferenziali in uno spazio di Banach, ecc. 283

Esista una [unzlone reale di variabile reale M(t) definita in /, ivi non nega- tiva e sommabile secondo LEBES(~UE per la quale si abbia in S:

(3) II f(t, x~) II < M(t).

Si ha il seguente

LEM)~A. - Se f(t, x) soddisfa l'ipotesi a) ed x(t) ~ una funzione, a valori in B, continua i1~ I, la funzione f(t, x(t)) ~ integrabile in 1 secondo Bochner.

Jnfatti , per ogui intero positivo n, suddiviso I in n intervall i uguali I~ (k = 1, 2, ..., n), definiamo una funzione x~(t) assegnandole per tutti i punti di I ~ k il valore assunto dalla funzione x(t) ad esempio nel l ' es t remo sinistro di tale intervallo.

AUora, per qualsiasi t ~ I la differenza x ( t ) - yen(t) ~ la differenza dei

valori c h e l a funzione x(t) assume in due punti distanti al pifi -~. Ma x(t), n

essendo continua, in I che b un insieme compatto, ~ ivi uniformemente continua, dunque per ogni z > 0 si pub determinare un intero positivo v tale che si abbia

Dalla continuit/~ di f(t, ~) rispetto ad x segue c h e l a successione If(t, x,(t))l converge in I verso f(t, x(t)).

D'al t ronde ogni f(t~ x,(t)), per il modo col quale xJ t ) ~ stata definita e per l ' ipotesi a), r isul ta misurabi le in l ~ k; da cib segue che f(t, x,~(t)) b misu. rabile in L Dunque ([5], pag. 74) /~ misurabi le in I anche fit, x(t)'.

Inol t re lI f(t, x/t))II ~ misurabi le secondo LEBESGUE in [ e, per la (3), ivi sommabile. Quindi ([5], pag. 80) f(t, x(t)) ~ integrabile secondo BOCm~:ER.

I1 lemma ora dimostrato d~ significato alla seguente ipotesi:

b) Per qualsiasi funzione x(t), a valori in B, continua in / , la funzione integralc (secondo ]~OCI-I~ER)

t

• (t) = f to

t e l

assuma valori appar tenent i ad un insieme compatto di B.

284 G. PUL¥IRE~TI: Equazioni dif ferenziali i~ u no spazio di Banach, ecc.

Considera ta l ' equaz ione in tegra le

t

(E) x(t) = xo + f f(% x(~))d~, t ~ L to

segue, in tanto , da note propr ie tk de l l ' i n t eg ra l e di BOOH~ER ([5], pag. 88) che le soluzioni de l la (E) sono funzioni , a valor] in B, def in i te in I, fo r t emen te a s so lu t amen te con t inue che ver i f icano quasi ovunque l ' equaz ione (1) nonchb la condizione "(2); sono, cio~, soluzioni del p rob lema ( 1 ) ( 2 ) s e e o n d o CARX- TH]~ODOR¥; e, supposto che Ia funz ione f(t , ~c) ver i f ichi l ' ipo tes i a), viceversa.

P i~ in generale , de t ta ~(t) una funzione~ a valor] in B, con t inua in 1, ci r i fe r i remo al la equazione

t

(E') x(t) = <;(t) + f f(~, x(~))d% t e 1, to

che comprende la (E) come caso par t ico lare ( ~ ( t ) " - ~ o t E I ) . Dimos t re remo che, sotto le ipotesi a), b) F equazione (E') ammet t e in I

a lmeno una soluzione. Tale soluuione, come provano i semplici esempi addot t i nel easo di equazioni d i f ferenzia l i nel campo reale, nel le ipotesi sopra d ich ia ra te (4) non 6, in genera]e, unica. In tan to , se w(t) i~ u n a soluzione de l l ' equaz ione (E'), il pun to (t, x(t)), per t ~ I , b un punto dello spazio B1-----E1 X B che ~ uno spazio di BA~.c:~ con la norton

!l (t, ~) l l .~ = I t l + It ~ Li.

3. Teo rema di esis tenza.

Dimos t r i amo il

TEOREMA I. - 8e la funz ione ~(t), ct valor] in B, ~ co~,tinua in I e se la funzione f(t, x) sodd i s fa le ]poles] a), b) l' equazione (E') ammet t e in I a lmeno u n a soluzione.

DI~IOSTRAZlONE. - Pe r consegui re la d imost raz ione ve r ranno ut i l izzat i i metodi de l l ' ana l ] s ] funz iona le e, in par t icolare , un noto teorema di SCHAUDER [10]. A tale seopo ind ich iamo con ~. lo spazio di BA~ACH delle funzioni a

(4) Nel caso di funzioni real] di variabili real], infatti, la condizione b) ~ eonseguenza delia a) che fornisce le c lassiche ipotesi di CARATII]~ODORY.

G. PULVIRENTI: Equazioni differenziali in uno spazio di Banach, etc. 285

valori in B, continue in L con

]x ] = sup IIx(t) II. I

Consideriamo la trasformazione funzionale

y - - T~

definita associando ad ogni punto x e E il punto y, anch~esso di E, costitnito dalla funzione, a valori in B, continua in l, data dalla relazione

t

y(t) = ~,(t) + f f(z, x(':))d~, to

t e L

Dimostriamo c h e l a trasformazione T ~ continua e che trasforma Y, in un insieme compatto.

Per dimostrare la continuit/~ di T consideriamo una qualsiasi successione Ix,,! di punti d i ~ convergente ad un limite 2, ciob nna successione di fun- zioni l;c,(t)! convergente uniformemente in I a d una fnnzione 2(t). Ponendo:

t

y.(t) = ~(t) ÷ f f(~, x.,,('~))d-~, to

t e I ,

e risultando, per un teorema sul passago~io al limite sotto il segno di integrale (generalizzante quello di LEBESGUE) ([5], pag. 83),

si ha :

t t

to to

t

lim y.(t) = ~(t) + f f(z, ~(z))d~ = #(t), n ~ O D

to

teI,

te l ,

la convergenza essendo uniforme perchb le funzioni y(t), per la continuith della ~ e note proprieth del l ' in tegrale di BocH~En, sono equicontinue (8).

(~) Ci0 si v e d a r a g i o n a n d o , c o m e n e l caso de l l e f u n z i o n i r ea l i .

286 G. PULVIRENTI: Equazionl differenziali in uno spazio di BanacIb ecc.

Bas~eri~ era dimostrare che ogni suoeessione i Y~ t di punti (di Z) del trasforma~o di Y. ammette almeno an pattie di accumulazione e per cib basta osservare ehe le funzioni

t

¢(t) = f f(~, x(~))d~, to

teI,

sono equicotttinue in I ed i lore valori appartengono, per ipotesi, ad un insieme eompatto di B (B)

Viene eosi dimostrato, essendo ovviamente E un insieme ehiuso e con- vesso, per il teorema di SC~A~SDER [10], l 'es is tenza di almeno un punto unite per la trasformazione T cioi~ di almeno una soluzione del l 'eqazione (E').

4. I1 pennello di Peano.

Conformemente alia nomencla tura in use nel case degli spazi euclidei chiameremo pennello di Peano l ' ins ieme dei punti (t, x(t)) appar~enenfi a d iagrammi di soluzioni useenti da un medesimo punto che prende il nome di origine del pennello. Proveremo adesso il seguen~e

TEORE~A I[ (7). _ 8e 80nO verificate le ipotesi a), b) l ' insieme dei punt i del pennello delle linee integrali delt'equazione (E') ~ un continue dello spazio B1- - E 1 X B.

Infatt i detto Q(t, x) un punto, dello spazio B1, di accumulazione di punti del pennello sia gente a Q(t, ~).

Detta t x~(t) } quale si abbia

essendo

i Q,(t., x,)} una successione di punti del pennello conver-

una suecessione di soluzioni della equazione (E') per la

t

~.(t) : ~(t) q- f f (z, ~(z))d~ to

t

e risultando la successione l f f (~ , x.('~))d~ f compatta rispetto alla convergenza to

(s) P e r un rag ionamento analogo a quel lo the si fa per p rova re il teorema di ASCOLI nel case che le funzioni considera te siano reali .

(7) P e r i l case degl i spazi ouelidei err. ad es. K. HAYAsm [4].

G. I)ULVIRENTI: Equazioni d~fferenziali in uno spazio di Banach, ecc. 287

uniforme, poieh~ costi tuita da funzioni equicont inue in I assumenti valori in un insieme eompatto di B, si pub est rarre dalta successione I0c,(t)/ una sottosuecessione uni formemente convergente ad una funzione ~t), soluzione del l 'equazione (E') per la quale si dimostra che sussiste la relazione

(4) x(t) = x.

A tale seopo sia { a:,~j~(t)I~ la suceessione estrat ta dalla {w~(t)}. Si ha

x~k(L~ :) = ~ ,

(5) l im t'*k = t ' ~ k -,-* CO

(6) lira x . ~ ( t % ) = l im x 'k = x . n k ~ O D ftk ~ O0

Per provare la (4) basra dimostrare che

(7) l im x%(~ - - a~. n/g ---,* ~

Si ha intanto:

Per l ' equieont inui th delle x,~k(t ) per ogni ~ ~ o si pub trovare un ~ ~ o

tale ehe

(8)

pureh~

(9)

11 x.k(t) - - x.k(L k) 11 <

Ma per la (5) si pub trovare un indice vl tale ehe la (9) ~ verif icata per tutti gli indici nk > vl; allora la (8) ~ verif icata per nk ~ vl.

288 G. PULVIRENTI: Equazioni differenziali in uno spazio di Banach, eec.

D'e~ltronde per la (6) per 1o s tesso~ si pub t rovare un indice v2 tale ehe

pureh~ n~ ?> v2. Allora per n k > m a x (v~, v2)

e qu ind i la (7). L a (4) ~ cosl provata ed al lora il punto Q(t, x) appar t i ene al penneIlo

che ~ qu ind i un ins ieme chiuso di B~. Ino l t r e il pennel lo ~ un cont inuo cio~ non pub decompors i in due ins iemi

c h i u s i , non~ vuoti , senza p u n t i eomuni . In fa t t i se una tale decomP0sizione fosse possibile, indicato con A~ l ' i n s i e m e con tenen te l ' o r ig ine /90 del pennel lo e con Az l ' a l t r o sin P un punto di A2. Un quals ias i arco di l inea in tegra le del la (E') avente per es t remi Po e P dovrebbe al lora (prendendo le sue in tersezioni con A~ e A2) decompors i in due ins iemi chiusi , non vuoti e senz~ p u a t i comuni e cib ~ assurdo perch~ il d i a g r a m m a d i u n a funz ione x(t), a valori in B, con t inua in un in terval lo ~ un contintio di B~.

5. Teorema di IL Kneser .

Se ~ 6 un quals ias i valore di I i nd ich iamo con B~ 1o spazio di BANACH in~ersezione t ra lo spazio B~ e lo spazio di equazione t - " x.

Proveremo, ora, che le soluzioni de l l ' equaz ione (E') p resen tano sotto le ipotesi a), b) il f enomeno di PEANO (s), in tendendo c o n cib che, per quals ias i f issato valore t ~ I , la sezione det pennel lo con lo spazio Bt (cio~ l ' i n s i e m e dei pun t i x(t) al va r i a re di x(t) n e l l ' i n s i e m e delle soluzioni dell ' equazione (E'))

un ins ieme chiuso (e compatto) di Bt che non pub deeompors i in due ins iemi chiusi , non vuoti , senza pun t i comun i ; cio~ ~ urt cont inuo di Bt.

Dimos t re remo d u n q u e il seguente

TEORtS~A I I I (~). - Se la funzione ~(t), a valori in B, ~ continua in I e se la f~tnziorte f(t, x) soddisfa le ipolesi a). b) per le soluzioni dell' equazione (E') sussiste il fenomeno di Peano.

(s) Per una locuzione simile, relativa al problema di C,~ucrIY per i sistemi di equazioni differenziali ordinarie di tipo normale cfr. G. STA)~rACCHI~ [i!] O per un'altra relativa al problema di DAICBOUX pet • i'equazione s=f(x , y, z) cft ~. G..PULVlRENTI [9].

(o) Per iI caso degli spazi euctidei err. E. KNESER [7J, K- ~E:~AYASHI [4],

G. I:)ULVIRENTI: Equazioni di]ferenziali in uno spazlo di Banach, ecc. 289

DIMOSTRAZlOSTE.- Per conseguire la dimostrazione faremo ancora uso dei metodi del l 'anal is i funzionale ed in part icolare di un teorema sulle trasformazioni funzionali dovuto ad 5L ARO~SZAJ~ [1] (~o).

A tale scopo ci serviremo anche della t rasformazione T che, come sf provato durante la dimostrazione del TEOREMA I, 6 completamente cont inua nello spazio E.

Inoltre ad ogni iutero positivo n associamo una trasformazione

Y n - - r l~ x~

facendo corr ispondere ad ogni punto x ~ x(t) e E il punto y~ =-- y,,(t), anch' esso di E, costituito dalla funzione a valori in B, continua in I, data dalle relazioni

y~Ct) = ~(t), t o <_ t <_ t o +

n

y , ( t ) - ~(t) + f f(% x(:))d,, to

< ; t < t o + ~ . to + -,

Dimostriamo, ora, che le trasformazioni T~,x cosi definite godono delle seguenti propriet~ :

i) Per ogni n, T,~x~ ~ una trasformazione comptetamente continua in E.

Infat t i essa ~ cont inua poich~, se t x~! /~ una qualsiasi successione di punt i di E couvergente ad un limite ~, cio~ una suecessione di funzioni (xk(t) t convergente uniformemente in 1 ad una funzione x(t), ponendo

t k t y,( ) = ~(t), t o <_ t <_ t o +

• t _ ~_

y~(t) = ~(t) + f(% x~(~))d.:, to

t o + ~<~ t _< t o + 8,

per il ~eorema sul passaggio al l imite ([5], pag. 83) si ha

¢*

lim y~(t) -- ~(t) + f f(% ~))dz, k ~ O O

to

< t ~ t o + ~ , to + ~,

(~0) Si potrebbe anche~ come si 6 fatto in [9], va lers i di un teorema di G. STA]i~PACCHIA [11] analogo a quello di N. ARO~SZAJ~=,

A n n a ~ i elk M a t e m a t i c a 37

290 G. PUI~VlREN~I: Equazioni di]ferenziali in uno spazio di Banaeh, ecc.

la convergenza essendo u n i f o r m e perch~ le funzioni del la success ione

k t yn(), to + - < t <_ to + ~, sono equ icon t inue ~m~'/, ~ qu ind i n

lira ~.x~ -" T.~

cio~ 7",w i~ eon t iuua . Ino l t r e T,~x t r a s fo rma ~ in an ins ieme compat to poichb le funzioni

t q - -

f f(~, x(':))d% to

t o + - ~ < t ~ to + ~, n

sono equ i con t i nue ed i loro valor i appar t engono , ins ieme compat to di B (12).

ii) Si ha uniformemente in E

per l ' ipo tes i b), ad u n

l im T ~ x - - Tx~.

Infa t t i , essendo

t t

to to

t t

t - - - t - - -

to~, t <--to+ ~ ,

B tO + n < t<--to + ~,

per l ' a s s o l u t a eont inui t~ de l l ' i n t eg r a l e del la M(t) ad ogni z > 0 si pub a s soc i a t e un in tero posi t ivo v tale che si abb ia

cio~ 1' asser to.

T~w - - T ~ I < ~, x ~ ~ , n i> v,

(il) Cfr. (5). (t~) Cfr. (6).

G. ~PuLvIRENTI: Equazioni differenziaIi in uno spazio di Banach, ecc. 291

Indi~ posto

U n ~ -7- x - - T n ~

ciob considerata la trasformazione U,x definita mediante le relazioni

/ u~(t) = x(t) - ~(t), to <-- t <_ to + n"

t~_

u~(t) = x ( t ) - ~ ( t ) - f(% ~(~))d':, to

< t .~ to + ~, to + n

proviamo the :

iii) Per ogni rt la trasfor.mazione U,,~c ~ biunivoca.

A tale scopo fissato l ' ind ice n, faremo vedere che ogni u , ~ U,,(E) proviene d~ un sol punto x e E . Fissiamo u . e siano ~ ed x2 due punti di ctli corrisponda u~. Proveremo che x~ -- x2, cio~ x~(t) - - x~(t) per t e L La cosa

ovvi~ per t o ~ t < : t o + n ~-" Sia, poi, tO+-n < l < ' t ° + 2 - n "

Essendo :

t _ ~ Tt

x~(t) = u.(t) + ~(t) + f f(,. x~(x))d, = to

t-----

- - u.(t) + ¢p(t) + f f(% u.( ' : )+ ~(z))d-:, to

t - - -

x~(t) = un(t) + ~(t) + f f(% x~(~))d,: = to

~t

= u~(t) + ~(t) + f f(':, u~(~) + to

~(~))d':,

292 G. PULVlRE~TI: Equazioni differenziali in uno spaMo di Banach, etc.

si ha ~x(l)--x2(t) per t o + ~- < l < _ t o + 2 - ~ , e cosi via; l ' asser to ~ cost

provato. Indicato, ora, con H iL dominio sferico di punt i di E, ovviamente l imitato,

convesso e chiuso, definito medi~mte la relazione

to+~

_< 1 + i 1+ J t /

to

proviamo, infine, che

iv) La lrasformazione U ~ -~ x - - T~x muta H in un insieme che con. tiene una sfera di centro l' origine di ~ e di raggio indipendente da n.

Invero sia, ad esempio, ~2 l ' in to rno sferico de l l 'o r ig ine dello spazio defini to dalla relazione:

Per ogni u---- u(t) e ~ consider iamo il punto x------ x(t) defini to dalla seguente legge (di TO~ELLI)

x(t) = u(t) + v(t), to <-- t < to + n '

$¢

x(t) - - u(t) + ?(t) + f t (% x(~))dz, to

tO+ n < t <--to+ ~.

Si ha :

ciob ~eH.

1 +1 1+ f *o

Sia, ora, A l ' ins ieme di tutt i i punt i x corr ispondenti , nel modo predetto, tutt i i punt i u di ~. Si ha :

e qu indi

Q c U.(H).

G. PVLVlR~N~I: Equazioni di]ferenziali in uno spazio di Banach, etc. 293

Essendo soddisfatte le condizioni i), ii), iii), iv) in base al gih r ieordato teorema di N. ARO~SZA;rN [1] l ' ins ieme X dei punti x e E per i quali ~ x ~- Tw (nella dimostrazione del TEOREMA I si ~ provata l 'es is tenza di tall punti) un continuo hello spazio ~, cio5 un insieme chiuso (compa t to )e connesso (ciob the non pub decomporsi in due insiemi chiusi, non vuoti, senza punti comuni).

Da cib, essendo i punti di X le soluzioni x(t) della equazione (E'), segue la dimostrazione del TEOnE~A III . Infat t i per ogni fissato valore t e I indi- chiamo con Xi- l ' ins ieme, dello spazio di ]3ANAC~ BT, dei punti ~'.~ al var iare di ~c(t) ne l l ' ins ieme delle soluzioni del l ' equazione (E').

X~ ~ un insieme chiuso. Infat t i detto ~t un punto, dello spazio B~, di accumulazione di punti di X~, sia xn~ una successione di punti di X~ conver- gente a ~ . Detta f x,(t)} una successione di soluzioni della (E') per le quali si abbia

essendo t

x.(t) = r(t) + f f(% x,~(~))d~ to

t

e r isultando la successione l ff(~, w.(~))d~ I compatta rispetto alla convergenza to

uniforme, poichb costi tuita da funzioni equicont inue in I assumenti valori in un insieme compatto di B, si pub estrarre dalla successione i xn(t)! una sottosuccessione uniformemente convergente ad una funzione, x(t), soluzione di (E') per la quale si ha

cio6 ~ye Xy; quindi X~- 6 un insieme chiuso. X7 non pub, altresl~ decomporsi nella somma di due insiemi chiusi, non

vuoti, senza punti comuni perch6, in tal caso, al t ret tanto accadrebbe per l ' ins ieme X. Infatti , supponiamo che X t si possa decomporre nella somma di due insiemi non vuoti, X ~ ) , X~ 2) , chiusi, senza punti comuni. Tali insiemi r isultano compatti ed, essendo senza punti comuni, a distanza positiva d. Suddiviso l ' ins ieme X in due insiemi X ¢~ ed X(2), ponendo nel primo insieme le soluzioni di (E') i cui diagrammi intersecano lo spazio B t in un punto di X~ ) e nel sec6ndo le rimanenti , detti xl ed x~, rispettivamente~ gli elementi generioi di X(x) ed X(~), essendo

I x ~ - - ~ I -- sup II ~(t) - ~2(t) II ~ d I

294 G. PULVlRENTI: Equazioni differenziali in uno spazio di Banach, etc.

si ha :

dist (X (~) , X(~)) ~ d.

Cio~ gli insiemi X ~) ed X (~) sono senza punti comuni. Dimostriamo, infine, the essi sono ehiusi. A tale scopo basta fare la dimostrazione per X <~) perch~ un ' a l t r a analoga varrh per X (~). Sia. allora, ~ o ) ~ ~(1)(t ) un punto di accumulazione di X(o. Per ogni ~ > 0 vi sarh., quindi, almeno un punto x~ ~ x~(t) di X(1) per il quale si a vri~

[ 2 - x~ [ = s u p II ~(~)(t) - - x~(t) II < *. t

Considerato il punto x(1)(~, dello spa~io B[, per ogni ~ ~> 0 vi sar~t almeno un punto ~c~(t)di X~ ~) per il quale si avrh:

cio/~ ~v(1)(t) i~ un punto di accumulazione di X~)t , al quale appartiene, essendo

X(1) -~ ehiuso per ipotesi. Quindi il d iagramma della funzione 2(1)([) interseca

lo spazio B7 in un punto di X~ ) e quindi ~(1) appart iene ad X (1) ehe percib i~ chiuso. Essendo X----X (1)-{- X (e) si ha, allora, che X si pub decomporre in due insiemi ehiusi, non vuoti, senza punti comuni e cib ~ assurdo.

Allora, per ogni t e l , Xt ~ un insieme (che eventualmente consta di un sol punto) dello spazio di BANAC~ Bt, chiuso (e compatto) che non pub decomporsi in due insiemi chiusi, non vuoti, senza punti comuni cio~ ~ un eontinuo di Bt; il teorema I I I ~ eosi dimostrato.

6. Teorema di M. Hukuhara.

Supponiamo, ora, the sia verif icata l ' ipotesi a) e, in luogo della b), sia soddisfatta la pi~ restr i t t iva ipotesi

b') Per qualsiasi eoppia di funzioni xl(t), x2(t), a valori in B, continue in I, per qualsiasi funzione reale 0 < ' ~ ( t ) ~ . 1 e c °munque si seelgano tl, t 2e l , il punto

t2

f l f(% xl(~)) + tl

p(x~[f (':, x~(x)) - - f(x, x~(~)),]t dx

appar tenga ad un insieme eompatto in B.

G. PULVIRENTI: Equazioni dlfferenziali in uno spaz~o di Banacl becc. 295

Dimos t r i am% inf ine , il

TEORE~A IV (~). - Se sono verificate le ipotesi a), b') ogni punto P ~- ([,, ~), to ~ t -~ lo -~ ~, della frontiera del pen~ello detle linee inlegrali dell'equazione (E) (con origine in Po ~--(to, ~o)) si pub congiungere con Po mediante una lin, ea integrale tutti i punt i della quale appartengono alla fron. tiera del pennello di origine Po.

La d imos t r az ione di ques to t eo r ema pub fars i r ipe tendo , con qua ]che modif ica , que l l a di K. HAYs.s in [4] e la r i po r t i amo per es teso p r i n c i p a l m e n t e pe r comodi th del let~ore.

F i s sa to il pun to P ~ ([, ~) d iv id iamo l ' i n t e r v a l l o (to, ~ in n pa t t i ugua l i m e d i a n t e la sca la di va lo r i

to -- t., o < t;, 1 < ... < t . , . -1 ~ t . , . "-

e cons ide r i amo gli i n s i emi X t ~ ( j - - O , 1, 2, . . . , n) ognuno dei qual i , pe r il TEOREI~A i i I ~ u n c o n t i n u e di B%j( j "-O, 1, 2, ..., n).

D e f i n i a m o u a a succes s ione f in i t a di punt i , P , , j - ~ ( t , , j , ~,,i) (J-- O, 1, 2, . . . , n) de l la f r o n f i e r a del penne l l 0 di o r ig ine P0 p r e n d e n d o P . , , - - - - P e P , , j ( j - - 0 , 1, 2 . . . . , n ~ 1) med i an t e la s eguen te legge r i eo r r en t e .

Date P,, j -- (t,, i , ~,,i)(j = 1, 2 , . . . , n), sia x , , i ( t ) u n a so luz ione d e l l ' e q u a zione (E) pas san te pe r P , , j e deno t i amo con P~,i_~ ~ [tu, i-~, x,,j(t,,j_~)] l ' i n - t e r sez ione di ques t a con B % i _ . Sia ~,,j(t) u n a so luz ione d e l l ' e q u a z i o n e (1) g i u n g e n t e in P, , i e non pa s san t e pe r pun t i i n t e rn i al penne l lo (~); deno t i amo con P~,i-~ ~-[t,,j_~, 2,, i( t,, j_~) ] 1' i n t e r sez ione di q u e s t a con B t , , j _ .

(~) Per il case degli spazi euclidei efr. M. HUKUtIARA [{J], K. ]~AYASI-II [4]. (~4) Per provare l'esistenza di una tale fanzione basra provare t'esistenza di una

soluzione dell' equazione integrale

t

(10) x(t) = ~., j -t- ] f(~, ~¢(z))d~, t o ~___ t ~ t . , j (j -.~ 1, 2, ..., n), tn, j

non passante per punti interni al pennello. A tale scope sia I ~,m] I (m ~--- 1, 2, 3, ...) una suecessione di punti di Btn,j, non appar-

tenenti ad Xtn, j , eonvergente al punto ~,,j . Per ogni fissato m sia win(t), to~ t ~ tn, j, una soluzione dell'equagione integrale

t

t.,j

F esistenza della quale ~ assieurata da un ragionamento analogo a quello fatto per dimostrare

296 G. PULVIttENTI: Equazioni differenziali in uno spazio di Banach, ecc.

Considerato l ' insieme dei punfi, di B~,

p.,i_~(p)--P;,i__~-4-p(P;;,j_~--p'. , j_~), O<_p <_1,

indichiamo con o~,,j l 'estremo superiore dei vMori di p per cui Pn, j-~(P) b interno al pennello. P.,i_.~(p.,j) ~ un punto della frontiera del pennello e poniamo

Poniamo, ora,

P , , , j _ @ . , j ) - - (t.,j_~, ~.,j_.) = P . , s - .

X~,i(t) - - x.,](t) + p., j[2. , i ( t) - - x.,/(t)] per t . , j_~ < t <_ t . , i .

Poichb

ed

x~,. i(t) -" x., i(t,,, j) + f f(z, x.,/(-~))d% tn, j

• . , j ( t ) - - ~.,:(t. . /) -t-

t

f f~% x.,j(~))d~, t~, j

~ . , i ( t . , j) = ~ . , j (¢ , i) = ~-, J

t . , i-1 ~ t <__ t~, i,

t , , i_l < t ~ t~, i

il TEOREMA I dopo a v e r sostituito la ipotesi b) con la seguente loropriet~ discendente dal l ' ipo. tesi b') ,,Pet" qualsiasi funzione x(t) a va lor i in B cont lnaa in I e eomunque si scelgano ti~ f2el il punto

f f(~, X(~))d'~ t l

aploart iene ad un ins ieme eompatto di B ~. 11 d i ag ramma della funzione xm(t)(m---~ 1, 2, 3,...) b costituito tutto da punt i es terni al

pennel lo di or ig ine -P0 ~ (t0, x°) poiehb in caso contrario, detto t~*~ uno dei va lo r i di t r e l a t iv i ai punt i eomuni al d i a g r a m m a eonsiderato ed al pennello, tut t i i pun t i di coordinate (t, xm(t)) con tm__ t~t~,j fa rebbero parte del loennello di or igine P0 e cib centre l ' i po tes i

ehe i pun t i E(m. ) o , , j non appar tengano ad Xtn,]. Considera ta la sueeessione x,dt) da essa si pub estrarre , per le ipotesi fatte~ una sotto-

successione un i fo rmemen te convergen te ad una soluzione de l l ' equaz ione (i0) il cni diagram- ma ~ costituit% allora~ tutto da punt i non in tern i al pennel lo.

G. PULVII~ENTI: Equazioni diJferenziali in uno spazlo di Banach, etc. 297

si h a : t

X.,j(t) = ~c..j(t.,i) + f f(z, tn, j

x, , i(z))d~ +

t

+ ~., j f [f(z, ~.,j(z)) - - f(% x. , i(z))]dz = tn, J

t

= x., j(t . , i) + f : f(z, x..j(~)) + tn, j

+ p,~,j[f(z, 5~,i(z)) - - f(% xn, i(':))] }d:

p e r t.,j_~ <-- t <~ t . , i e si h a i n o l t r e

s a r ~

X., i( t . ,s) = x. , i ( t . , i) = ~.,i(t. , i) = i . , j

X . , i(t., i-,) = x. , j(t., j_,) + e., @.,o(t., j_.) - - x . , j(t,,, j_,)] = ~., i - , "

P o n i a m o

i (j = 2, 3 , . . . , n) ~.(t)

~,~. i p e r t., j_~ < t <-- t. , j

P. , I p e r to ~<, t _~,t,,,1

0 <-- ~,~(t) ~< 1 p e r to --< t _< t.

C o n s i d e r i a m o in.oltre le s e g u e n t i f u n z i o n i :

I ve,~, j(t) s e t . . j_~ < t <:, t . , j

x . , l(t) se to --< t < t,~,

( j = 2, 3 , . . . , n)

• ,~(t) = I ~'~' j(t) se t~, i-~ < t _< t., j

~,, l(t) se to ~ t < t . , 1

A n n a l i di M a t e m a t i c a

(j = 2, 3 , . . . , n)

38

298 G. PULVlR~N~I: Equaz ion i d i f /erenzial i in uno spazio di Banach, ecc.

X.(t) = I X,, j(l) s e t , , i-1 < t ~- tn, t

Xn, l(t) se to ~- t ~, t , , 1.

( j = 2, 3 , . . , , n)

Qualunque sia t nel l ' in terval lo to ~ t ~ - t possiamo serivere:

(11)

t

X.(t) = ~ + f i f(%, x.(':)) +

+ p.(z)[f(:, ¢ . ( z ) ) - f(% x.(z))] } d z - -

t

T

Da cui

t

+f[l - -

Y

p.(.:)]f(~, x.(':))d~.

t!

X.(t ') - - X. ( t") = f p.(~)f(-c, ¢.(,))dz +

+ f [1 - - p.(':)]f(':, x.(':))d¢ tt~

t!

- ,,~ , II < 2 M(*)d~ t t t

Le funzioni della suecessione {X,(t) t sono equicont inue ed assumono valori appar tenent i ad un insieme compatto di B.

Da I X , ( t ) I si pub, quindi, es t rarre una sottosuccessione i X , k(t)! unifor-

memente convergente in [to, t ] ve r so una funzione continua tale che X ( t ) = ed X (to) - - ~c °.

In tanto se t , , i_~ < t "<, t,,~ ( j = 2, 3, . . . , n), si ha:

x . ( t ) - - x.(t) : X,,, i(t) - - x . , i(t) = p., j[¢., i(t) - - x,,, i(t)]

G. PULVIRENTI: Equazioni differenziali in ~no spazio di Banach, ece. 299

da eui

(12)

t

• ,(t) - - w~(t) = 2, , , / t) -- x,,, j(t) = f { f(~, ~,~(~)) - - f ( . , x. , j( .)) ! d .

in, j

tn, j

II ~.(t) - ~,~(t) I1 <- 2 f M (~)d~ t

tn, j

]l x~(t)-x,,(t)H <- 2 f M(~)4~ t

t., i-1 < t N U, j .

Le (12) valgono pure per t0"~ t ~_ trot. Dalle (12) si deduce ehe le suecessioni {x,k(t )t e /~%(t)} convergono

uniformemente in [to, t] verso il l imite della suceessione i X,~(t)} cio~ verso X(t). Allora7 scrit~a la (11) ponendo nk al posto di n7 si ottiene al divergere di n k

t t

x ( t ) - ~ + f f(% x(~))a~ = ~o + f f(:, x(T))a~.

La funzione X(t) b soluzione dell 'equazione (E), eongiunge Po e P ed tutta costituita da punti della frontiera del pennello di origine /9o.

BIBLIOGRAFIA

[1] ~'. ARONSZAJN 7 Le correspondant topologique de l'unicitd dans la thdorie des dquations diffdrentielles, , &nn. of Math.~> 7 43 (I9:t2}, 730-738.

[3] C. CORDUNEANU~ Equazioni differenziali negli spazi di Banach, teoremi di esistenza e di prolungabilit4, ~, Rend. Acead. Naz. Lincei~ b (8) 23 {1957}7 226-230.

[3] C. CORDUNEA.NU 7 Ecuatii diferentiale in spatii Banach. Aplicabilitatea principiului topological lui Wazewski, , A c a d . R. P. Romine , Fi l . Ias i , Stud. Cerc. Sti. Mat.% 9 (1958), 101-11l.

[~] K, ]~AYASHI, On the solutions of the system of ordinary differential equations~ • ) '[em. Coll. Sei. Un iv . Kyo to ,,, Ser . A 28 (1953), 19.25.

[5] E. ]:[ILLE-R. S. PrzILL~PS, Eanetioaal analysis and semi.groups, rev ised ed 5 , Amer . Math. Soe. Col loquium Publ . ~7 31 (1957).

[6] M. ttUKUaARA (~ . Fukuhara) , Sur les systdmes des dquations diffdrentielles ordinaires, ,J-up. J-our. Math. ~ 5, (1928) 7 345-350.

[7] t t . KNESn~, U'ber die L6sungen eines Systems gewdhnticher Differentialgleichungen das der Lipsehitzschen Bedingung nicht geni~gt, ,~ Stzb. Preuss . ~ k . W i s s , Ph. - Math. K1. ~ 1923~ 171.174.

300 G. P~LVIRENTI: E q u a z i o n i d i f f e r e n z i a l i i n uno spaz io d i Ban(~db ecc.

[8] J. L. ~[~SS~.RA-J-. 5. SCg~F~a, a) Linear differential eqv~ations and functional analysis , ¢&nn. of Math.>>, 67 (1958), 517-573; b) Linear differential equations and functional

analysis, I L Equations ~oith periodic coefficients, ~Ann. of Math.,, ,69 (1959), 88-104; c) Linear differential equations and funclional analysis, I I I . Lyapunov ' s second method in the case of conditio~al stability, ~ Ann. of ]~ath.,,, 69 (1959), 535.57~; d) Linear differential equations and f~nctional analisys, IV.~ ~ Math. Annalen ~, 139 (1960), 287-342.

[9] ~. PUI, V[RE~'I'b I l fenomeno di Peal~o nel problema di Darboux per l 'equazione s ~--f(x, y, z) in ipotesi di Carath4odory, ~ Le matematiche ~, 15 (i960), 15-28.

[10] J. SCHAUDER~ Der Fixpunktsa tz .in 2'unktionalrdumen, • Studia Math, ~, 2 (1930)~ 171-180. []-l] ~, STAMPACCHIA, Le trasformazioni funzionali che presentano i~ fenomeno di ~)eano~

CRend. ikccad. ~az. Lincei ~, (8) 7 (1969) 80-84.