equazioni disequazioni - primolevi.gov.it studenti/equa... · la posizione della parabola associata...
TRANSCRIPT
Indice
1 Background 1
1.1 Proprieta delle potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Prodotti notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Equazioni e disequazioni razionali 3
2.1 Equazioni e disequazioni di I◦ grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Equazioni e disequazioni di II◦ grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.3 Equazioni e diesequazioni di grado superiore al II◦ . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3.1 Equazioni e disequazioni binomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3.2 Equazioni e disequazioni trinomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3.3 Algoritmo di Ruffini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 Equazioni e disequazioni fratte 9
4 Sistemi di disequazioni 10
5 Equazioni e disequazioni con valori assoluti 11
5.1 Equazioni e disequazioni contenenti un valore assoluto . . . . . . . . . . . . . . 12
5.2 Equazioni e disequazioni contenenti due o piu valori assoluti . . . . . . . . . . . 12
6 Equazioni e disequazioni irrazionali 13
7 Equazioni e disequazioni esponenziali 14
7.1 La funzione esponenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
7.2 Equazioni esponenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
7.3 Disequazioni esponenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
8 Equazioni e disequazioni logaritmiche 17
8.1 Proprieta dei logaritmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8.2 La funzione logaritmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8.3 Equazioni logaritmiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8.4 Disequazioni logaritmiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9 Esercizi 20
1Background
1.1 Proprieta delle potenze
1. ab · ac = ab+c
2. ab : ac = ab−c
3.(
ab)c
= ab·c
4. (a · b)c = ac · bc
5. (a : b)c = ac : bc
6. (a)c =
(
1
a
)
−c
7. c
√a = a1/c
1.2 Prodotti notevoli
1. (A ± B)2 = A2 ± 2AB + B2
2. (A ± B)3 = A3 ± 3A2B + 3AB2 ± B3
3. (A ± B + C)2 = A2 + B2 + C2 ± 2AB + 2AC ± 2BC
4. (A − B − C)2 = A2 + B2 + C2 − 2AB − 2AC + 2BC
5. (A2 − B2) = (A − B) · (A + B)
1
Background
6. (A3 − B3) = (A − B) · (A2 + AB + B2)
7. (A3 + B3) = (A + B) · (A2 − AB + B2)
Gli ultimi 3 punti sono un caso particolare della fattorizzazione dei binomi del tipo An ±Bn.
La tabella illustra quando il polinomio xn ± an e divisibile per il polinomio x± a in funzione
di n numero naturale.
x − a x + a
xn − an ∀ n ∈ N n ∈ N pari
xn + an 6 ∃ n n ∈ N dispari
Tabella 1.1: Fattorizzazione dei binomi del tipo xn ± an
In particolare si ha che:
• xn + an
– con n dispari e divisibile solo per x + a e si ha
xn + an = (x + a) · (xn−1 − axn−2 + · · · − an−2x + an−1)
– con n pari non e scomponibile
• xn − an
– con n dispari e divisibile solo per x − a e si ha
xn − an = (x − a) · (xn−1 + axn−2 + · · · + an−2x + an−1)
– con n pari e divisibile sia per x − a che per x + a. Per la scomposizione conviene
comunque considerare il binomio come differenza di due quadrati:
xn − an =(
xn/2 + an/2)
·(
xn/2 − an/2)
Si controlla poi se i due binomi cosı ottenuti sono o meno ulteriormente scompo-
nibili.
2
2Equazioni e disequazioni razionali
2.1 Equazioni e disequazioni di I◦ grado
Soluzioni Soluzioni della Soluzioni della
dell’equazione disequazione disequazione
ax = b ax > b ax < b
a > 0 x =b
ax >
b
ax <
b
a
a < 0 x =b
ax <
b
ax >
b
a
2.2 Equazioni e disequazioni di II◦ grado
Consideriamo solo il caso a > 0 al quale ci si puo sempre ricondurre.
3
Equazioni e disequazioni razionali
∆ := b2 − 4ac Soluzioni Soluzioni della Soluzioni della
dell’equazione disequazione disequazione
(a > 0) ax2 + bx + c = 0 ax2 + bx + c > 0 ax2 + bx + c < 0
∆ > 0 x1,2 =−b ±
√b2 − 4ac
2ax < x1 ∪ x > x2 x1 < x < x2
(x1 < x2)
∆ = 0 x1 = x2 = − b
2ax 6= − b
2a6 ∃ soluzione
∆ < 0 6 ∃ soluzione reale ∀ x 6 ∃ soluzione
Ricordiamo che
• ax2 + bx + c = a (x − x1) (x − x2)
•
x1 + x2 = − b
ax1 · x2 =
c
a
Vediamo ora di giustificare geometricamente la tabella precedente. Allo scopo, associamo al
trinomio ax2 + bx + c l’equazione della parabola avente la medesima espressione e vediamo
graficamente le soluzioni dell’equazione ax2 + bx + c = 0 come intersezioni di tale curva con
l’asse delle x.
Nella colonna di sinistra abbiamo i tre casi in cui a > 0; dall’altro verso il basso: due
intersezioni, una intersezione, nessuna intersezione (rispettivamente. ∆ > 0, ∆ = 0, ∆ <
0). Analogamente a destra abbiamo i tre casi in cui a < 0; dall’altro verso il basso: due
intersezioni, una intersezione, nessuna intersezione (rispettivamente. ∆ > 0, ∆ = 0, ∆ < 0).
Per risolvere la disequazione ax2 + bx+ c > 0 o ax2 + bx+ c < 0 e allora sufficiente esaminare
la posizione della parabola associata nel piano:
• in blu sono rappresentate le soluzioni della disequazione ax2 + bx + c > 0;
• in verde sono rappresentate le soluzioni della disequazione ax2 + bx + c < 0;
• i pallini rappresentano le soluzioni dell’equazione ax2 + bx + c = 0.
4
Equazioni e disequazioni razionali
(∆ > 0)��
x
y
x1 x2
��
x
y
x1 x2
(∆ = 0)�
x
y
x1
�
x
y
x1
(∆ < 0)
x
y
x
y
2.3 Equazioni e diesequazioni di grado superiore al II◦
2.3.1 Equazioni e disequazioni binomie
Consideriamo solo il caso a > 0 al quale ci si puo sempre ricondurre.
5
Equazioni e disequazioni razionali
(a > 0) Soluzioni dell’equazione Soluzioni della disequazione Soluzioni della disequazione
axn + b = 0 axn + b > 0 axn + b < 0
n dispari x =n
√
− b
ax >
n
√
− b
ax <
n
√
− b
a
b > 0 6 ∃ x ∈ R ∀ x ∈ R 6 ∃ x ∈ R
n pari b = 0 x = 0 x 6= 0 6 ∃ x ∈ R
b < 0 x1,2 = ± n
√
− b
ax < − n
√
− b
a∪ x >
n
√
− b
a− n
√
− b
a< x <
n
√
− b
a
2.3.2 Equazioni e disequazioni trinomie
Le equazioni (disequazioni) trinomie hanno forma normale
ax2n + bxn + c = (<>) 0
La strategia risolutiva consiste nel porre xn = t. Ci si riconduce cosı ad un’equazione (dise-
quazione) di II◦ grado in t: at2 + bt + c = (<>) 0. Ottenute le soluzioni t1 e t2 si risolvono
le due equazioni (disequzioni) binomie xn = (<>) t1 e xn = (<>) t2.
2.3.3 Algoritmo di Ruffini
A Paolo Ruffini e dovuto un algoritmo per la divisione di un polinomio p(x) per un binomio
del tipo x − k (con k ∈ R).
Si scrive il polinomio p(x) in modo completo (considerando i termini eventualmente mancanti
come termini con coefficiente 0) e ordinando secondo le potenze decrescenti di x:
p(x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0
Per il teorema del resto le radici razionali del polinomio p(x) (ossia i valori che sostituiti alla x
annullano il polinomio) sono da cercare fra i divisori del termine noto a0, presi sia con il segno
positivo sia con il segno negativo o tra i rapporti tra tali divisori e quelli del coefficiente del
termine di grado massimo an. Pertanto si pone k uguale ad uno di essi in modo che p(k) = 0.
Si scrivono i coefficienti e il termine noto inserendoli in uno schema di questo tipo:
6
Equazioni e disequazioni razionali
an an−1 · · · a1 a0
k ↓
an
Si moltiplica il coefficiente an per k e si scrive il risultato nella colonna successiva:
an an−1 · · · a1 a0
k ↓ an · k
an
Si esegue l’addizione in colonna e si trova cosı un nuovo coefficiente bn−1 := an−1 + an · k:
an an−1 · · · a1 a0
+
k ↓ an · k
‖an bn−1
Si ripete l’operazione per ogni coefficiente bn−i := an−i + (bn−i+1 · k) :
an an−1 an−2 · · · a1 a0
k ↓ an · k bn−1 · k · · · b2 · k b1 · k
an bn−1 bn−2 · · · b1 b0
b0 e il resto della divisione. Per la scelta iniziale di k, esso dovra essere 0:
7
Equazioni e disequazioni razionali
an an−1 an−2 · · · a1 a0
k ↓ an · k bn−1 · k · · · b2 · k b1 · k
an bn−1 bn−2 · · · b1 0
In conclusione
p(x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0 = (x−k) · (anxn−1 + bn−1x
n−2 + · · · + b1)
8
3Equazioni e disequazioni fratte
• f(x)
g(x)= 0 e verificata per quei valori di x per i quali g(x) 6= 0 e f(x) = 0
• f(x)
g(x)> 0 e verificata per quei valori di x per i quali g(x) 6= 0 e f(x) e g(x) hanno segno
concorde percio nel grafico del “confronto dei segni” si considerano gli intervalli positivi
• f(x)
g(x)< 0 e verificata per quei valori di x per i quali g(x) 6= 0 e f(x) e g(x) hanno segno
discorde percio nel grafico del “confronto dei segni” si considerano gli intervalli negativi
Osserviamo che, come il quoziente, anche il prodotto di due termini e positivo se e solo se essi
sono di segno concorde. Dunque, come per le disequazioni fratte, si tratta semplicemente si
studiare separatamente il segno di ciascun termine e di impostare l’opportuno schema per il
“confronto dei segni”.
9
4Sistemi di disequazioni
Due o piu disequazioni costituiscono un sistema di disequazioni se devono essere verificate
contemporaneamente.
Risolvere un sistema significa percio determinare le soluzioni COMUNI a tutte le disequazioni
che formano il sistema stesso. Ovviamente, essendo le soluzioni delle disequazioni rappresen-
tate da intervalli, occorrera “sovrapporre” tali intervalli per determinare un sottointervallo in
cui tutte le disequazioni sono contemporaneamente soddisfatte. Il procedimento risolutivo
di un sistema di questo tipo, percio, non comporta altra difficolta se non la predisposizione
corretta di uno schema che consenta il confronto dei singoli intervalli risolutivi. Il confronto in
se non dipende dal grado delle disequazioni del sistema, le quali saranno risolte singolarmente
con i metodi visti in questi appunti.
10
5Equazioni e disequazioni con valori assoluti
Elenchiamo alcune proprieta del valore assoluto di un numero:
1. |a| = 0 ⇔ a = 0
2. |a| = | − a| ∀a ∈ R
3. |a · b| = |a| · |b| ∀a, b ∈ R
4.∣
∣
∣
a
b
∣
∣
∣=
|a||b| ∀a, b ∈ R, b 6= 0
5. |a| = |b| ⇔ a = b o a = −b ∀a, b ∈ R
6. |a| ≤ b ⇔ −b ≤ a ≤ b ∀a, b ∈ R, b ≥ 0
7. |a| ≥ b ⇔ a ≤ −b o a ≥ b ∀a, b ∈ R, b ≥ 0
8. |a| ≤ |b| ⇔ a2 ≤ b2 ∀a, b ∈ R
9.√
a2 = |a| ∀a ∈ R
11
Equazioni e disequazioni con valori assoluti
10. ||a| − |b|| ≤ |a + b| ≤ |a| + |b| ∀a, b ∈ R (disuguaglianze triangolari)
5.1 Equazioni e disequazioni contenenti un valore assoluto
|f(x)| :=
{
f(x) se f(x) ≥ 0
−f(x) se f(x) < 0
Pertanto
|f(x)| = g(x) ⇔{
f(x) ≥ 0
f(x) = g(x)∪
{
f(x) < 0
−f(x) = g(x)
|f(x)| > g(x) ⇔{
f(x) ≥ 0
f(x) > g(x)∪
{
f(x) < 0
−f(x) > g(x)
|f(x)| < g(x) ⇔{
f(x) < g(x)
f(x) > −g(x)
In particolare per k ∈ R:
k < 0 k = 0 k > 0
|f(x)| = k 6 ∃ x ∈ R f(x) = 0 f(x) = ±k
|f(x)| > k ∀ x ∈ R f(x) 6= 0
{
f(x) ≥ 0
f(x) > k∪
{
f(x) < 0
−f(x) > k
|f(x)| < k 6 ∃ x ∈ R 6 ∃ x ∈ R
{
f(x) < k
f(x) > −k
5.2 Equazioni e disequazioni contenenti due o piu valori asso-
luti
Si suddivide l’asse reale in sottoinsiemi in cui ciascun modulo ha segno costante. Le soluzioni
della equazione o disequazione sono date dall’UNIONE delle soluzioni dei sistemi ottenuti.
12
6Equazioni e disequazioni irrazionali
Soluzioni Soluzioni Soluzioni
dell’equazione della disequazione della disequazione
A(x) = n
√
B(x) A(x) > n
√
B(x) A(x) < n
√
B(x)
n dispari (A(x))n = B(x) (A(x))n> B(x) (A(x))n
< B(x)
n pari
{
A(x) ≥ 0
(A(x))n = B(x)
B(x) ≥ 0
A(x) > 0
(A(x))n> B(x)
{
A(x) < 0
B(x) ≥ 0∪
{
A(x) ≥ 0
(A(x))n< B(x)
13
7Equazioni e disequazioni esponenziali
7.1 La funzione esponenziale
1
2
x
y
y = ax
0 < a < 1
1
2
x
y
y = ax
a > 1
7.2 Equazioni esponenziali
Un’equazione si dice esponenziale se l’incognita compare a esponente.
14
Equazioni e disequazioni esponenziali
Equazione Soluzione
ax = c x = loga c
(con a > 0, a 6= 1)
maf(x) = nbg(x) lnm + f(x) ln a = lnn + g(x) ln b
(con a, b > 0, a 6= 1 , b 6= 1)
f (ax) = c Si pone ax = t
(con a > 0, a 6= 1)
7.3 Disequazioni esponenziali
Disequazione Parametri Soluzione
c ≤ 0 ∀ x ∈ R
ax > c 0 < a < 1 x < loga c
c > 0
(con a > 0, a 6= 1) a > 1 x > loga c
c ≤ 0 6 ∃ x ∈ R
ax < c 0 < a < 1 x > loga c
c > 0
(con a > 0, a 6= 1) a > 1 x < loga c
Osservando che per a > 0 si puo scrivere ax =
(
1
a
)
−x
possiamo allora ricondurci sempre a
disequazioni con base maggiore di 1.
15
Equazioni e disequazioni esponenziali
0 < a < 1 a > 1
af(x) > ag(x) f(x) < g(x) f(x) > g(x)
con a > 0 e a 6= 1
af(x) > bg(x) lnm + f(x) ln a > lnn + g(x) ln b
con a, b > 0 e a 6= 1, b 6= 1
16
8Equazioni e disequazioni logaritmiche
8.1 Proprieta dei logaritmi
Sia a > 0, a 6= 1.
1. Se b1 > 0 e b2 > 0 allora loga(b1 · b2) = loga b1 + loga b2.
2. Se b1 > 0 e b2 > 0 allora loga
(
b1b2
)
= loga b1 − loga b2.
3. Se b > 0 allora loga bk = k loga b.
4. loga 1 = 0.
5. loga a = 1.
6. loga (ac) = c.
7. Se c > 0 allora aloga
c = c.
8. Se b > 0 allora loga b =logc b
logc acon c > 0 e c 6= 1 (Regola del cambiamento di base).
In particolare vale la seguente successione di uguaglianze:
loga x = − loga
1
x= − log 1
a
x = log 1
a
1
x=
1
logx a
17
Equazioni e disequazioni logaritmiche
8.2 La funzione logaritmica
1 2 3x
y
y = loga x
0 < a < 1
1 2 3x
y
y = loga x
a > 1
8.3 Equazioni logaritmiche
Un’equazione si dice logaritmica se l’incognita compare nell’argomento dei logaritmi.
Equazione Soluzione
loga x = c x = ac
(con a > 0, a 6= 1)
logx a = c
x > 0
x 6= 1
x = a1/c
loga f(x) = c
{
f(x) > 0
f(x) = ax
(con a > 0, a 6= 1)
loga f(x) = loga g(x)
f(x) > 0
g(x) > 0
f(x) = g(x)
(con a > 0, a 6= 1)
f (loga g(x)) = c Deve essere g(x) > 0
(con a > 0, a 6= 1) Si pone loga g(x) = t
18
Equazioni e disequazioni logaritmiche
8.4 Disequazioni logaritmiche
0 < a < 1 a > 1
loga x > c 0 < x < ac x > ac
loga x < c x > ac 0 < x < ac
loga f(x) > c 0 < f(x) < ac f(x) > ac
loga f(x) < c f(x) > ac 0 < f(x) < ac
loga f(x) > loga g(x) 0 < f(x) < g(x) f(x) > g(x) > 0
loga f(x) < loga g(x) f(x) > g(x) > 0 0 < f(x) < g(x)
Poiche per a > 0, a 6= 1 si puo scrivere loga x = − log1/a x e sempre possibile ridursi a
disequazioni con base maggiore di 1.
19
9Esercizi
1. m2x2 + m − 1 = 0
2.a − 1
a − 2x2 − 2x +
5 − 15a
a − 2= 0
3.x2 − 4x + 6
x2 − 3x + 2− 27
x − 2= 1 − 26 + x
x − 1
4. 3x8 − 768 = 0
5. x6 − 7x3 − 8 = 0
6.−2x − 1
3+ 1 <
1
2− 3 − 2x
6
7. x2 − 3x + 1 > 0
8. −3x2 + x + 2 > 0
9. 3x2 − 3x +3
4< 0
10. x2 + x +1
2> 0
11.
4x − 12 ≥ 0
x2 + 4 > 0
x2 − 5x + 6 > 0
12. 9x6 − 10x4 + x2 ≥ 0
13. 1 − 2(x3 − 1) − 12x2 + 17x
4 − x2≥ 0
20
Esercizi
14. |x2 − 16| = 12
15. |2x − 5| = x − 2
16. |x2 − 1| + |x| = x + 2
17. |x2 − 1| < 15
18.
∣
∣
∣
∣
1 +2 − x
x
∣
∣
∣
∣
> 2
19. |4 − x2| − |3 − x| > x
20. 2x =1
32
21. 4x + 22x−1 = 3x+1 + 3x−1
22. 2x+9
1−x =1
4
23. 3x =3√
32x−1 x
√9
24. 22x+1 − 2x − 1 = 0
25. 25x > 5
26. 8x+2 > 324x+1
27.
(
1
2
)x
> 4
28. 2x+1 ≥ 51−x
29. 64 − 2 · 3x > 45 + 32−x
30. ln(ex + e) = 2
31. log3(x2 − 2x) = 1
32. 2 ln(√
3)
= ln(x2 − 4)
33.1
2lnx +
1
2ln(x − 1) = ln 2 +
1
2ln 5
34. ln3 x + 2 ln2 x − 3 lnx = 0
35. log2 3 > log2 x
36. log1/2 x < log1/2 5
37. log1/4(1 − x) < log1/4(2x + 3)
38. ln(x − 3) < 1
21
Esercizi
39. lnx − 2
lnx+ 1 ≥ 0
40. log1/2(32x − 3x + 1) > 0
❧ ❧ ❧ ❧ ❧ ❧ ❧ ❧ ❧ ❧ ❧ ❧ ❧ ❧ ❧ ❧ ❧ ❧ ❧ ❧ ❧ ❧ ❧ ❧ ❧
1.
x2 + 22x + 40 < 0
3x + 15 ≥ 0
x2 + 3x ≤ 0
2. 3(3x3 + 1) > 2x4 + 9x2 + x
3.x2 + 2x + 3
x2 + 2x − 1+ 2 <
x2 + 2x + 2
x2 + 2x − 2
4.1
x + 2− 1
x − 2< 1 +
1
4 − x2
5.
∣
∣
∣
∣
x + 1
x − 1
∣
∣
∣
∣
< 4
6. |x + 2| < 1 + |x − 1|
7. log100 x = −1
2
8. 2 lnx + ln 3 = ln(5x − 2)
9.ln(10 − x)
ln(4 − x)= 2
10. 2 log2 x + log1/2(3 − x2) − log2
(
1
x2 + 1
)
= 0
11. 1 + ln(x − 1) = ln 5
12.ln(2 − x)
ln(3 + x2)=
1
2
13. 3x+4 = 9
14. 123x = 127x−2
15. 22−x − 23−x + 2x = 0
16. e2x + ex − 2 = 0
17.6
2x − 1+
3
2x + 1=
2
2x − 1+ 5
22
Esercizi
18.
(
1
2
)x2−3x
< 4
19. 3x2
> 81
20. 3x2+2x ≥ 1
21.3−x − 81
5x+2
x − 25≤ 0
22. 21−x + 21+x > 4
23. log1/2(x2 − 8) > 0
24. (log3 x)2 + log3 x − 6 > 0
Soluzioni:
1. −3 ≤ x < −2 2. −12 < x < 1 ∨ 1 < x < 3
3. −3 < x < −√
3 − 1 ∨ −√
2 − 1 < x < −2 ∨ 0 < x <√
2 − 1 ∨√
3 − 1 < x < 1
4. x < −2 ∨ −1 < x < 1 ∨ x > 2 5. x < 35 ∨ x > 5
3 6. x < 0
7. x = 110 8. x = 1 ; x = 2
3 9. x = 1
10. x = 1 11. e+5e 12. x = 1
4
13. x = −2 14. x = 12 15. x = 1
16. x = 0 17. x = 1 18. x < 1 ∨ x > 2
19. x < −2 ∨ x > 2 20. x ≤ 2 ∨ x ≥ 0 21. x ≤ −4 ∨ 0 < x < 2
22. x 6= 0 23. −3 < x < −2√
2 ∨ 2√
2 < x < 3 24. 0 < x < 127 ∨ x > 9
23