Equilibride la partícula

El cas del telefèricC. Crespo, Tecno-Lògics Bellvitge. Cas adaptat de l'eBook Multimedia Engineering Statics

En un dels nostres parcs nacionals s’ ha instal·lat un telefèric per tal que els turistes puguin gaudir de l’exepcional paisatge. Però es va dissenyar malament i en el viatge de proba un dels cables de suport es va trencar i la cabina va caure, per sort sense passatgers.

En un dels nostres parcs nacionals s’ ha instal·lat un telefèric per tal que els turistes puguin gaudir de l’exepcional paisatge. Però es va dissenyar malament i en el viatge de proba un dels cables de suport es va trencar i la cabina va caure, per sort sense passatgers.

El redisseny del sistema s’ha encarregat a l’equipd’enginyeria civil BellEnginy

En un dels nostres parcs nacionals s’ ha instal·lat un telefèric per tal que els turistes puguin gaudir de l’exepcional paisatge. Però es va dissenyar malament i en el viatge de proba un dels cables de suport es va trencar i la cabina va caure, per sort sense passatgers.

El redisseny del sistema s’ha encarregat a l’equipd’enginyeria civil BellEnginy

SOM-HI !!!

Què cal fer?

Dimensionar els cablesper tal que suportin el pes del telefèric a plena càrregasense trencar-se ni deformar-se.

Què cal fer?

Dimensionar els cablesper tal que suportin el pes del telefèric a plena càrregasense trencar-se ni deformar-se.

1. Determinar quines forces actúen sobre el sistema.

2. Calcular aquestes forces.

3. Dimensionar els cables.

En el nostre cas

Totes les forces concorren en el punten què el telefèric està connectat a la catenària.

Determinació de les forcesDiagrama de Cos Lliure

El Diagama de Cos Lliureajuda a centrar l’atenció en l’objecteper determinar les forces que actúen sobre ell.

1. Identificar el cos que serà aïllat.

2. Fer un gràfic del cos aïllant-lo del que l’envolta, incloure els angles i dimensions.

3. Dibuixar els vectors de les forces que actuen, i etiquetar-les.

4. Escollir un sistema de coordenades apropiat.

P

αβ

T2

T1x

y

Càlcul de les forcesEquilibri estàtic

Un cos està en equilibriQuan es mou a velocitat constant (sense acceleració).En problemes estàtics, la velocitat és zero.Així segons la 2ª llei de Newton:

ΣF = m·a = 0

P

αβ

T2

T1x

y

T1

T2

P

Per aplicar les equacions de l’estàticacal descomposar les forces que intervenensegons el sistema de coordenades escollit

P

αβ

T2

T1x

y

T1 · cos α

ΣFx = 0 / ΣFy = 0

El sistema de coordenades és arbitrari.

El millor és escollir aquell que ens premeti simplificar els futurs càlculs.

Això es pot fer abans o després de dibuixar el diagrama.T2

T1 · sen α T1

T2 · cos β

T2 · sen β

Càlcul de les forcesEquilibri estàtic

ΣFx = 0 → T1 · cos α = T2 · cos β

ΣFy = 0 → T2 · sen β = T1 · sen α + m·g

T2 · cos β

T2 · sen β

En el nostre cas

El sistema d’acoblament de la cabina amb la catenària és una barra vertical.

El cable dret de l’acoblament forma un angle α = 5º, i el cable esquerre, de 20º (β = 160º) respecte la horitzontal.

Capacitat màxima de la cabina: 25 persones (2.900 kg)

T1 · cos α

T1 · sen α

P = m·g

α=5º

β=160º

T2 · cos β

T2 · sen β

T1 · cos α

T1 · sen α

Σ Fx = 0 T1 · cos 5º = T2 · cos 160º

0,996 T1 = - 0,94 T2 T1 = - 0,943 T2

T2 = 67.028,30 N

T1 = 63.261,31 N

P = 28.420 N

α=5º

β=160º

P = 2.900 kg · 9,8 m/s2 = 28.420 N

Σ Fy = 0 T2 · sen 160º - T1 · sen 5º = P

0,342 T2 - 0,087 T1 = 28.420

0,342 T2 - (0,087 · (-0,944 T2)) = 28.420

0,342 T2 - (- 0,082 T2) = 28.420

0,424 T2 = 28.420 T2 = 28.420 / 0,424

ΣFx = 0 → T1 · cos α = T2 · cos β

ΣFy = 0 → T2 · sen β = T1 · sen α + m·g

En el nostre cas

Dimensionar és calcular la secció òptima de la peçaper suportar els esforços treballant en zona elàstica(per sota del límit elàstic)

Dimensionatdels cables de la catenària

Dimensionar és calcular la secció òptima de la peçaper suportar els esforços treballant en zona elàstica(per sota del límit elàstic)

Dimensionatdels cables de la catenària

Material dels cables de la catenària:acer laminat S 355 K2

Coeficient de seguretat: n = 3

Dimensionar és calcular la secció òptima de la peçaper suportar els esforços treballant en zona elàstica(per sota del límit elàstic)

Dimensionatdels cables de la catenària

Material dels cables de la catenària:acer laminat S 355 K2

S: acer estructural355: límit elàstic (σe) = 355 N/mm2

K2: grau de soldabilitat màxim dins el grup S355

Segons les especificacions de la norma UNE EN 1002per als acers laminats

Dimensionar és calcular la secció òptima de la peçaper suportar els esforços treballant en zona elàstica(per sota del límit elàstic)

Dimensionatdels cables de la catenària

Material dels cables de la catenària:acer laminat S 355 K2

Coeficient de seguretat: n = 3tensió de treball per als càlculs (σt) = σe / 3

Dimensionatdels cables de la catenària

T2 > T1 tensió de treball a considerar: σ t = T2 / S

Per suportar els esforços treballant en zona plàstica(per sota del límit elàstic): σ t = σe / n

Secció del cable (S) = π·(D/2)2

σe: límit elàstic de l’acer utilitzat (355 N/mm2)n: coeficient de seguretat (3)D: diàmetre del cable

T2 = 67.028,30 N

T1 = 63.261,31 N

Dimensionatdels cables de la catenària

σt = σe / 3 = 118,33 N/ mm2

σt = T2 / S S = T2 / σt = 67.028,30 / 118,33 = 566,45 mm2

S = π·(D/2)2 D = √ 4·S / π = 26,86 mm

consultar diàmetres comercials de cables d’acer

T2 > T1 tensió de treball a considerar: σ t = T2 / S

Per suportar els esforços treballant en zona plàstica(per sota del límit elàstic): σ t = σe / n

T2 = 67.028,30 N

T1 = 63.261,31 N

Deformaciódels cables de la catenària

Recordeu la Llei de Hooke:

Mòdul d’elasticitat de l’acer: E = 210.000 N/mm2

Longitud cable catenària: Lo = 1.640 mlongitud cable telefèric Fuente Dé

Deformació unitària: ε = ΔL / Lo

Deformaciódels cables de la catenària

Recordeu la Llei de Hooke:

ε = σt / E

ε = 118,33 N/mm2 / 210.000 N/mm2 = 5,65·10-4 ε = 0,0565 %

ε = ΔL / Lo ΔL = ε / Lo = 5,65·10-4 · 1640 m = 0,92 m ΔL = 92 cm

P = 28.420 NComprovació Dimensionat

perfil de suport de la cabina

Tot i que la cabina no ha fallat,per assegurar el correcte funcionament del sistema,comprovem que el seu disseny inicial és correcte.

Perfil buit quadrat 80x80 d’acer laminat S 275 J2

Coeficient de seguretat: n = 3

consultar característiques geomètriques dels perfils normalitzats

Catenària:cables d'acer laminat S 355 K2de ∅ 28 mm amb ànima d'acer

Suport cabina:Perfils tubulars de secció quadrada 80x80d'acer laminat S 275 J2

Partícula en equilibriTelefèric a punt