equivalencias entre polÍgonos
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DIBUJO TÉCNICO II. 2º BACHILLERATO
POLÍGONOS.EQUIVALENCIAS
1
34
5 2
b
aa
/2
a/2
M A
L4
B
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POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
DOS POLÍGONOS SON EQUIVALENTES CUANDO
MANTIENEN LA MISMA ÁREA
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A base
altu
ra (
h)
C
B
El área de un cuadrilátero es base x altura
POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
TRIÁNGULOS EQUIVALENTES ENTRE SÍ
![Page 4: EQUIVALENCIAS ENTRE POLÍGONOS](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012318/588aeeff1a28abf8548b46a1/html5/thumbnails/4.jpg)
POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
h
Todos los triángulos que tienen la base común y el tercer vértice sobre una recta paralelaa esa base son equivalentes, ya que tienen la misma base y la misma altura, y por tanto,
la misma área.
TRIÁNGULOS EQUIVALENTES ENTRE SÍ
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POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
EQUIVALENCIA ENTRE TRIÁNGULO Y RECTÁNGULO
A A basebase
altu
ra (
h)
altu
ra (
h)
E D
C
B B
El área de un cuadrilátero es base x altura, mientrasque la del triángulo es base x altura / 2.
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POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
EQUIVALENCIA ENTRE TRIÁNGULO Y RECTÁNGULO
A
M
C
B
Si tomamos una de lasbases del triángulo y hallamos la mediatrizde su altura
![Page 7: EQUIVALENCIAS ENTRE POLÍGONOS](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012318/588aeeff1a28abf8548b46a1/html5/thumbnails/7.jpg)
POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
EQUIVALENCIA ENTRE TRIÁNGULO Y RECTÁNGULO
A
ME D
C
B
Obtendremos la medida del lado menor de un rectángulo que tiene como lado mayor la base del triángulo
![Page 8: EQUIVALENCIAS ENTRE POLÍGONOS](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012318/588aeeff1a28abf8548b46a1/html5/thumbnails/8.jpg)
POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
EQUIVALENCIA ENTRE TRIÁNGULO Y RECTÁNGULO
A
E D
C
B
Obtendremos la medida del lado menor de un rectángulo que tiene como lado mayor la base del triángulo
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POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
EQUIVALENCIA ENTRE TRIÁNGULO Y RECTÁNGULO
A
ME D
C
B
Obtendremos la medida del lado menor de un rectángulo que tiene como lado mayor la base del triángulo
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POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
CONSTRUCCIÓN DE UN CUADRADO EQUIVALENTE A UN RECTÁNGULO DADO
A B
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POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
CONSTRUCCIÓN DE UN CUADRADO EQUIVALENTE A UN RECTÁNGULO DADO
b a/2
A B C
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POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
CONSTRUCCIÓN DE UN CUADRADO EQUIVALENTE A UN RECTÁNGULO DADO
b a/2
A CBMEDIATRIZ AC
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POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
CONSTRUCCIÓN DE UN CUADRADO EQUIVALENTE A UN RECTÁNGULO DADO
b a/2
A CBMEDIATRIZ AC
L4
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POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
CONSTRUCCIÓN DE UN CUADRADO EQUIVALENTE A UN RECTÁNGULO DADO
b a/2
A CBMEDIATRIZ AC
L4
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POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
CONSTRUCCIÓN DE UN TRIÁNGULO EQUIVALENTE A UN POLÍGONO DADO
A
F
E
D
C
B
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POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
A
F
E
D
C
B
CONSTRUCCIÓN DE UN TRIÁNGULO EQUIVALENTE A UN POLÍGONO DADO
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POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
A
E
D
C
B
CONSTRUCCIÓN DE UN TRIÁNGULO EQUIVALENTE A UN POLÍGONO DADO
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POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
A
E
D
C
B
CONSTRUCCIÓN DE UN TRIÁNGULO EQUIVALENTE A UN POLÍGONO DADO
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POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
A
D
C
B
CONSTRUCCIÓN DE UN TRIÁNGULO EQUIVALENTE A UN POLÍGONO DADO
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POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
A
D
C
B
CONSTRUCCIÓN DE UN TRIÁNGULO EQUIVALENTE A UN POLÍGONO DADO
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POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
A
C
B
CONSTRUCCIÓN DE UN TRIÁNGULO EQUIVALENTE A UN POLÍGONO DADO
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POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
A
C
B
CONSTRUCCIÓN DE UN TRIÁNGULO EQUIVALENTE A UN POLÍGONO DADO
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POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
CONSTRUCCIÓN DE UN CUADRADO EQUIVALENTE A UN PENTÁGONO REGULAR
1
34
5 2
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POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
Primero transformamos el pentágono en el triángulo equivalente 1-M-Amediante las paralelas 5-M y 2-A
a las diagonales 1-4 y 1-3 del pentágono
1
34
5 2
CONSTRUCCIÓN DE UN CUADRADO EQUIVALENTE A UN PENTÁGONO REGULAR
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POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
CONSTRUCCIÓN DE UN CUADRADO EQUIVALENTE A UN PENTÁGONO REGULAR
Primero transformamos el pentágono en el triángulo equivalente 1-M-Amediante las paralelas 5-M y 2-A
a las diagonales 1-4 y 1-3 del pentágono
1
34
5 2
![Page 26: EQUIVALENCIAS ENTRE POLÍGONOS](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012318/588aeeff1a28abf8548b46a1/html5/thumbnails/26.jpg)
POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
CONSTRUCCIÓN DE UN CUADRADO EQUIVALENTE A UN PENTÁGONO REGULAR
Primero transformamos el pentágono en el triángulo equivalente 1-M-Amediante las paralelas 5-M y 2-A
a las diagonales 1-4 y 1-3 del pentágono
1
34M A
5 2
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POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
CONSTRUCCIÓN DE UN CUADRADO EQUIVALENTE A UN PENTÁGONO REGULAR
Teniendo el triángulo, a partir del mismo se obtiene el cuadrado equivalente:
L = b · a/2
Basta construir la MEDIA PROPORCIONALentre la base (b) y la mitad
de la altura del triángulo (a/2)
1
34
5 2
2
b
aa
/2
M A
![Page 28: EQUIVALENCIAS ENTRE POLÍGONOS](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012318/588aeeff1a28abf8548b46a1/html5/thumbnails/28.jpg)
POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
CONSTRUCCIÓN DE UN CUADRADO EQUIVALENTE A UN PENTÁGONO REGULAR
Para construir la MEDIA PROPORCIONAL entre la base (b) y la mitadde la altura del triángulo (a/2), 1º: sumamos en un segmento b + a/2
1
34
5 2
b
aa
/2
a/2
M A
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POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
CONSTRUCCIÓN DE UN CUADRADO EQUIVALENTE A UN PENTÁGONO REGULAR
2º: Trazamos la semicircunferencia de centro O y diámetro b+a/2
1
34
5 2
b
aa
/2
a/2
M A
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POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
CONSTRUCCIÓN DE UN CUADRADO EQUIVALENTE A UN PENTÁGONO REGULAR
2º: Levantamos una perpendicular en A (la unión de b+a/2), que cortaráa la semicircunferencia trazada en el punto B
AB = L4, lado del cuadrado resultante
1
34
5 2
b
aa
/2
a/2
M A
B
L4
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POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
CONSTRUCCIÓN DE UN CUADRADO EQUIVALENTE A UN PENTÁGONO REGULAR
3º. Una vez tenemos L4, podemos construir el cuadrado completo
1
34
5 2
b
aa
/2
a/2
M A
L4
B
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POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
CUADRATURA DEL CÍRCULO
Este problema no es exacto, porque interviene en el área el número
inconmesurable . Sin embargo, se puede obtener graficamentecon bastante aproximación.
El área del círculo es r y la del cuadrado buscado es L .
Igualando las dos superficies tenemos que r = L , o lo que es
igual: L =r · r.
Por tanto el lado del cuadrado es media proporcional entre los segmentos r y r
Construir el cuadrado equivalente al círculo dado
O
2 2
2
22
1er PROCEDIMIENTO
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POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
CUADRATURA DEL CÍRCULO
Primero, calculamos r, que es la rectificación de lasemicircunferencia (suma de PR y PQ)
Construir el cuadrado equivalente al círculo dado
O
P
Rr
Q
r
A N
1er PROCEDIMIENTO
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POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
CUADRATURA DEL CÍRCULO
A r le sumamos r para hallar la media proporcional de ambos segmentos. Luego trazamos la semicircunferencia
de diámetro r +r (tenemos que trazar la mediatriz de MNpara calcular el centro).
Construir el cuadrado equivalente al círculo dado
O
P
R
Q
rr
AM N
r
1er PROCEDIMIENTO
![Page 35: EQUIVALENCIAS ENTRE POLÍGONOS](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012318/588aeeff1a28abf8548b46a1/html5/thumbnails/35.jpg)
POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
CUADRATURA DEL CÍRCULO
La media proporcional de r y r (calculada en este caso por el teorema de la altura),
es L, lado del cuadrado equivalente a la circunferencia dada.
Construir el cuadrado equivalente al círculo dado
O
P
R
Q
rr
AM N
rL
1er PROCEDIMIENTO
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POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
CUADRATURA DEL CÍRCULO
Teniendo L4, podemos trazar el cuadrado ABCD,solución del problema
1er PROCEDIMIENTO
Construir el cuadrado equivalente al círculo dado
O
P
RL
Q
rr
A
C D
B M N
r
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POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
CUADRATURA DEL CÍRCULO
2º PROCEDIMIENTO
Construir el cuadrado equivalente al círculo dado
O
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POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
CUADRATURA DEL CÍRCULO
2º PROCEDIMIENTO
Construir el cuadrado equivalente al círculo dado
A
B
Determinamos el diámetro AB y trazamos una perpendicular en B
O
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POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
CUADRATURA DEL CÍRCULO
2º PROCEDIMIENTO
Construir el cuadrado equivalente al círculo dado
O
A
1
B
Dividimos el radio OA en 6 partes iguales
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POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
CUADRATURA DEL CÍRCULO
2º PROCEDIMIENTO
Construir el cuadrado equivalente al círculo dado
O
A
N
A
1
B
Con centro en la división 1 y radio igual al doble del diámetro de la circunferencia,describimos un arco que corta a la perpendicular por B en el punto N
2 AB
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POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
CUADRATURA DEL CÍRCULO
2º PROCEDIMIENTO
Construir el cuadrado equivalente al círculo dado
O
A
C
N
A
1
B
Unimos N y A con una recta que corta a la circunferencia en el punto C
2 AB
![Page 42: EQUIVALENCIAS ENTRE POLÍGONOS](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012318/588aeeff1a28abf8548b46a1/html5/thumbnails/42.jpg)
POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
CUADRATURA DEL CÍRCULO
2º PROCEDIMIENTO
Construir el cuadrado equivalente al círculo dado
O
A
C
N
A
1
B
El segmento CB es el lado del cuadrado equivalente a al círculo dado
2 AB
![Page 43: EQUIVALENCIAS ENTRE POLÍGONOS](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012318/588aeeff1a28abf8548b46a1/html5/thumbnails/43.jpg)
POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
CUADRATURA DEL CÍRCULO
2º PROCEDIMIENTO
Construir el cuadrado equivalente al círculo dado
O
A
C
N
A
1
B
El segmento CB es el lado del cuadrado equivalente a al círculo dado
2 AB
![Page 44: EQUIVALENCIAS ENTRE POLÍGONOS](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012318/588aeeff1a28abf8548b46a1/html5/thumbnails/44.jpg)
1A B P
HCr 2 3 4 5 6 7
1.Dividimos eldiámetro en 7 partes iguales,
sacamos tres partes hacia afuera(arco A3 = C).
Haciendo centro en la 4ª división,trazamos una semicircunferencia
radio 4C que corta a r en P
POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
CUADRATURA DEL CÍRCULO
Construir el cuadrado equivalente al círculo dado 3r PROCEDIMIENTO
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2. Si trazamos una perpendicular a r en B, al cortar la semicircunferencia
obtenemos el punto D.La distancia BD es el lado del
cuadrado equivalente.
1A B
D
C 2 3 4 5 6 7r P
POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
CUADRATURA DEL CÍRCULO
Construir el cuadrado equivalente al círculo dado 3r PROCEDIMIENTO
![Page 46: EQUIVALENCIAS ENTRE POLÍGONOS](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012318/588aeeff1a28abf8548b46a1/html5/thumbnails/46.jpg)
1A B
D E
F
M
C 2 3 4 5 6 7r P
3. Trazamos el cuadradoequivalente DBFE
POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
CUADRATURA DEL CÍRCULO
3r PROCEDIMIENTOConstruir el cuadrado equivalente al círculo dado
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POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
Calcula gráficamente el rectángulo cuyos lados están en la relación 1:2, equivalente al triángulo equilátero de 50 mm de lado.
1. Trazamos el triángulo de 50 mm de lado
A B
C
![Page 48: EQUIVALENCIAS ENTRE POLÍGONOS](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012318/588aeeff1a28abf8548b46a1/html5/thumbnails/48.jpg)
POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
Calcula gráficamente el rectángulo cuyos lados están en la relación 1:2, equivalente al triángulo equilátero de 50 mm de lado.
A B
C
1. Trazamos el triángulo de 50 mm de lado
![Page 49: EQUIVALENCIAS ENTRE POLÍGONOS](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012318/588aeeff1a28abf8548b46a1/html5/thumbnails/49.jpg)
POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
Calcula gráficamente el rectángulo cuyos lados están en la relación 1:2, equivalente al triángulo equilátero de 50 mm de lado.
h
A D B
C
2. El primer paso es calcularel CUADRADO equivalente
al triángulo dado.Para ello, calcularemos primero
el rectángulo equivalente.Primero, empezamos por
hallar la alturadel triángulo
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POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
Calcula gráficamente el rectángulo cuyos lados están en la relación 1:2, equivalente al triángulo equilátero de 50 mm de lado.
M
h
A
C
D B
3. Hallamos la mediatriz dela altura
![Page 51: EQUIVALENCIAS ENTRE POLÍGONOS](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012318/588aeeff1a28abf8548b46a1/html5/thumbnails/51.jpg)
POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
Calcula gráficamente el rectángulo cuyos lados están en la relación 1:2, equivalente al triángulo equilátero de 50 mm de lado.
M
h
A
E
C
D
F
B
4. Trazamos el rectángulo equivalente ABFE,
que tendrá de base ABy de altura la mediatriz
de la altura del triángulo
![Page 52: EQUIVALENCIAS ENTRE POLÍGONOS](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012318/588aeeff1a28abf8548b46a1/html5/thumbnails/52.jpg)
POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
Calcula gráficamente el rectángulo cuyos lados están en la relación 1:2, equivalente al triángulo equilátero de 50 mm de lado.
h
GA
C
D
E
F
B
5. Trazamos un arco BF sobre la prolongación de AB
y obtenemos el punto G
![Page 53: EQUIVALENCIAS ENTRE POLÍGONOS](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012318/588aeeff1a28abf8548b46a1/html5/thumbnails/53.jpg)
POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
Calcula gráficamente el rectángulo cuyos lados están en la relación 1:2, equivalente al triángulo equilátero de 50 mm de lado.
h
GA
C
D M
E
F
B
6. Hallamos la mediatriz de AGy trazamos una semicircunferencia cuyo centro sea dicha mediatriz,
y su radio MA o MG
![Page 54: EQUIVALENCIAS ENTRE POLÍGONOS](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012318/588aeeff1a28abf8548b46a1/html5/thumbnails/54.jpg)
POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
Calcula gráficamente el rectángulo cuyos lados están en la relación 1:2, equivalente al triángulo equilátero de 50 mm de lado.
h
GA
C
D M
E
F
H
B
7. Prolongamos el lado BF del rectángulo hasta tocar la
semicircunferencia en el punto H.BH será el lado del cuadrado
que buscamos
![Page 55: EQUIVALENCIAS ENTRE POLÍGONOS](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012318/588aeeff1a28abf8548b46a1/html5/thumbnails/55.jpg)
POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
Calcula gráficamente el rectángulo cuyos lados están en la relación 1:2, equivalente al triángulo equilátero de 50 mm de lado.
GA B
C
D
E
F
H
J
K
8. Trazamos el cuadrado JBHK,equivalente al triángulo dado
![Page 56: EQUIVALENCIAS ENTRE POLÍGONOS](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012318/588aeeff1a28abf8548b46a1/html5/thumbnails/56.jpg)
POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
Calcula gráficamente el rectángulo cuyos lados están en la relación 1:2, equivalente al triángulo equilátero de 50 mm de lado.
GA B
C
D 2
1
E
F
M
L
N
H
J
K
9. Trazamos, coincidiendo con uno de los vértices inferiores del
cuadrado, un rectángulo cualquieraque tenga sus lados en relación 1:2
![Page 57: EQUIVALENCIAS ENTRE POLÍGONOS](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012318/588aeeff1a28abf8548b46a1/html5/thumbnails/57.jpg)
POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
Calcula gráficamente el rectángulo cuyos lados están en la relación 1:2, equivalente al triángulo equilátero de 50 mm de lado.
GA B P
C
D
E
F
H
J
K
M
L
N
10. A continuación, hallamos el cuadrado equivalente a dicho rectángulo.Para ello, empezamos por abatir
el lado BM sobre la prolongaciónde LB. Así obtenemos el punto P
![Page 58: EQUIVALENCIAS ENTRE POLÍGONOS](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012318/588aeeff1a28abf8548b46a1/html5/thumbnails/58.jpg)
POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
Calcula gráficamente el rectángulo cuyos lados están en la relación 1:2, equivalente al triángulo equilátero de 50 mm de lado.
GA B
C
D O
E
F
H
J
K
M
L
N
P
11. Hallamos la mediatriz de LP y trazamos una semicircunferencia con centro en O
y radio OL o OP
![Page 59: EQUIVALENCIAS ENTRE POLÍGONOS](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012318/588aeeff1a28abf8548b46a1/html5/thumbnails/59.jpg)
POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
Calcula gráficamente el rectángulo cuyos lados están en la relación 1:2, equivalente al triángulo equilátero de 50 mm de lado.
GA B
C
D
E
F
H
J
K
M
Q
R
S
L
N
PO
12. Trazamos el cuadrado RBQS, equivalente
al rectángulo LBMN
T
![Page 60: EQUIVALENCIAS ENTRE POLÍGONOS](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012318/588aeeff1a28abf8548b46a1/html5/thumbnails/60.jpg)
POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
Calcula gráficamente el rectángulo cuyos lados están en la relación 1:2, equivalente al triángulo equilátero de 50 mm de lado.
GA B
C
D
E
F
H
J
K
M
Q
R
S
L
N T
U
PO
13. Ahora, mediante una semejanza, vamosa determinar un rectángulo semejante a LBMN
que será la solución.Empezamos por trazar la recta BT (T es la
intersección del cuadrado con el rectángulo)que cortará al cuadrado JBHK en el punto U
![Page 61: EQUIVALENCIAS ENTRE POLÍGONOS](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012318/588aeeff1a28abf8548b46a1/html5/thumbnails/61.jpg)
POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
GA B
C
D
E
F
H
J
K
M
Q
R
S
L
N
PO
T
U
14. Trazamos una paralela a la recta ABpor el punto U, que cortará al lado BH
del cuadrado en el punto V
V
Calcula gráficamente el rectángulo cuyos lados están en la relación 1:2, equivalente al triángulo equilátero de 50 mm de lado.
![Page 62: EQUIVALENCIAS ENTRE POLÍGONOS](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012318/588aeeff1a28abf8548b46a1/html5/thumbnails/62.jpg)
POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
Calcula gráficamente el rectángulo cuyos lados están en la relación 1:2, equivalente al triángulo equilátero de 50 mm de lado.
GA B
C
D
E
F
H
J
K
M
Q
R
S
L
N
PO
T
UX
15. Trazamos la recta BN que cortará a la recta anteriormente trazada en el punto X
V
![Page 63: EQUIVALENCIAS ENTRE POLÍGONOS](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012318/588aeeff1a28abf8548b46a1/html5/thumbnails/63.jpg)
POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
Calcula gráficamente el rectángulo cuyos lados están en la relación 1:2, equivalente al triángulo equilátero de 50 mm de lado.
GA B
C
D
E
F
H
J
K
M
Q
R
S
L
N
PO
T
U
16. Teniendo los puntos BVX, tres vértices delrectángulo, ya podemos completar el
rectángulo buscado BVXY
X
Y
V
![Page 64: EQUIVALENCIAS ENTRE POLÍGONOS](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012318/588aeeff1a28abf8548b46a1/html5/thumbnails/64.jpg)
POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
Dibuja el cuadrado equivalente a un hexágono regular de lado 20mm
BAG H
F
E D
C
1. Se dibuja un triángulo GHE equivalenteal hexágono ABCDEF dado. Para ello,
primero bajamos el punto F en perpendiculara la prolongación del lado AB, y obtenemos
el punto G.. Trazamos un arco de centro B y radio BG,
con el que obtenemos el punto H
![Page 65: EQUIVALENCIAS ENTRE POLÍGONOS](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012318/588aeeff1a28abf8548b46a1/html5/thumbnails/65.jpg)
POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
Dibuja el cuadrado equivalente a un hexágono regular de lado 20mm
BAG H
F
E V D
C
2. BH será la base del triángulo. El vértice V lo podemos colocar en cualquier
punto de la recta que pasa por E y D
![Page 66: EQUIVALENCIAS ENTRE POLÍGONOS](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012318/588aeeff1a28abf8548b46a1/html5/thumbnails/66.jpg)
POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
Dibuja el cuadrado equivalente a un hexágono regular de lado 20mm
BAG H
F
E D
C
3. Se dibuja un triángulo GHV equivalenteal hexágono ABCDEF dado
V
![Page 67: EQUIVALENCIAS ENTRE POLÍGONOS](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012318/588aeeff1a28abf8548b46a1/html5/thumbnails/67.jpg)
POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
Dibuja el cuadrado equivalente a un hexágono regular de lado 20mm
BAG H
F
E D
Ch
M
4. Hallamos la mitad de la altura del triángulotrazado con anterioridad
V
![Page 68: EQUIVALENCIAS ENTRE POLÍGONOS](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012318/588aeeff1a28abf8548b46a1/html5/thumbnails/68.jpg)
POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
Dibuja el cuadrado equivalente a un hexágono regular de lado 20mm
BAG H
IF
E D
Ch
M
5. Si trazamos un rectángulo de igual base queel triángulo anterior y altura la media altura del
triángulo, obtendremos un rectángulo equivalenteal triángulo, y por tanto, equivalente al hexágono
ABCDEF
V
![Page 69: EQUIVALENCIAS ENTRE POLÍGONOS](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012318/588aeeff1a28abf8548b46a1/html5/thumbnails/69.jpg)
POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
Dibuja el cuadrado equivalente a un hexágono regular de lado 20mm
BAG H J
F
E D
Ch
M
I
6. Ahora comenzamos a trazar el cuadrado equivalente al rectángulo, que será la
solución del problema.Primero abatimos el lado menor del rectángulo
sobre la prolongación de la base GH, y obtenemos el punto J
V
![Page 70: EQUIVALENCIAS ENTRE POLÍGONOS](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012318/588aeeff1a28abf8548b46a1/html5/thumbnails/70.jpg)
POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
Dibuja el cuadrado equivalente a un hexágono regular de lado 20mm
BAG H J
F
E D
Ch
M
M
I
7. Ahora trazamos la mediatriz de GJ para hallar el centro de la semicircunferencia
que nos permitirá sacar la media proporcional entre GH y HJ
V
![Page 71: EQUIVALENCIAS ENTRE POLÍGONOS](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012318/588aeeff1a28abf8548b46a1/html5/thumbnails/71.jpg)
POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
Dibuja el cuadrado equivalente a un hexágono regular de lado 20mm
MBAG H J
F
E D
Ch
M
I
8. Trazamos la semicircunferenciade centro M y radio MG o MJ
V
![Page 72: EQUIVALENCIAS ENTRE POLÍGONOS](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012318/588aeeff1a28abf8548b46a1/html5/thumbnails/72.jpg)
POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
Dibuja el cuadrado equivalente a un hexágono regular de lado 20mm
MBAG H J
F
E D
Ch
M
I
K
9. Levantamos el segmento HK, que esla media proporcional entre GH y HJy a su vez, el lado del cuadrado que
buscamos
V
![Page 73: EQUIVALENCIAS ENTRE POLÍGONOS](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012318/588aeeff1a28abf8548b46a1/html5/thumbnails/73.jpg)
POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
Dibuja el cuadrado equivalente a un hexágono regular de lado 20mm
MBAG H
KL
N J
F
E D
Ch
M
I
10. Dibujamos el cuadrado HKLN,solución del problema
V
![Page 74: EQUIVALENCIAS ENTRE POLÍGONOS](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012318/588aeeff1a28abf8548b46a1/html5/thumbnails/74.jpg)
POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
Dibuja un triángulo equivalente a un círculo de radio 15 mm.
1A B P
HCr 2 3 4 5 6 7
1. Comenzamos a calcular elcuadrado equivalente a la
circunferencia.Para ello dividimos el
diámetro en 7 partes iguales,sacamos tres partes hacia afuera
(arco A3 = C).Haciendo centro en la 4ª división,trazamos una semicircunferencia
radio 4C que corta a r en P
![Page 75: EQUIVALENCIAS ENTRE POLÍGONOS](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012318/588aeeff1a28abf8548b46a1/html5/thumbnails/75.jpg)
POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
Dibuja un triángulo equivalente a un círculo de radio 15 mm.
1A B
D
C 2 3 4 5 6 7
2. Si trazamos una perpendicular a r en B, al cortar la semicircunferencia
obtenemos el punto D.La distancia BD es el lado del
cuadrado equivalente.
r P
![Page 76: EQUIVALENCIAS ENTRE POLÍGONOS](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012318/588aeeff1a28abf8548b46a1/html5/thumbnails/76.jpg)
POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
Dibuja un triángulo equivalente a un círculo de radio 15 mm.
1A B
D E
F
M
C 2 3 4 5 6 7r P
3. Trazamos el cuadradoequivalente DBFE
![Page 77: EQUIVALENCIAS ENTRE POLÍGONOS](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012318/588aeeff1a28abf8548b46a1/html5/thumbnails/77.jpg)
POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
Dibuja un triángulo equivalente a un círculo de radio 15 mm.
1A B
D E
HGF
M
C 2 3 4 5 6 7r P
4. Para transformar el cuadrado entriángulo, hallamos la mitad del
lado del cuadrado y trazamos unasemicircunferencia con centro en la
mediatriz M y radio MD. Así obtenemoslos puntos G y H
![Page 78: EQUIVALENCIAS ENTRE POLÍGONOS](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012318/588aeeff1a28abf8548b46a1/html5/thumbnails/78.jpg)
POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
Dibuja un triángulo equivalente a un círculo de radio 15 mm.
1A B
D E
HGF
M
C 2 3 4 5 6 7
I
r P
5. Trazamos el arco FG, que corta al cuadrado en el punto I
![Page 79: EQUIVALENCIAS ENTRE POLÍGONOS](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012318/588aeeff1a28abf8548b46a1/html5/thumbnails/79.jpg)
POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
Dibuja un triángulo equivalente a un círculo de radio 15 mm.
1A B
D E
I
HG
J
F
M
C 2 3 4 5 6 7r P
6. Trazamos el arco IF, y obtenemos elpunto J en la prolongación del
lado FE
![Page 80: EQUIVALENCIAS ENTRE POLÍGONOS](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012318/588aeeff1a28abf8548b46a1/html5/thumbnails/80.jpg)
POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
Dibuja un triángulo equivalente a un círculo de radio 15 mm.
1A B
D E
I
HG
J
F
M
C 2 3 4 5 6 7r P
7. Trazamos por el punto J una paralela a r
![Page 81: EQUIVALENCIAS ENTRE POLÍGONOS](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012318/588aeeff1a28abf8548b46a1/html5/thumbnails/81.jpg)
POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
Dibuja un triángulo equivalente a un círculo de radio 15 mm.
1A B
D
K
E
I
HG
J
F
M
C 2 3 4 5 6 7r P
8. Cualquier triángulo que hagamos con base HF y altura FJ será equivalente
a la circunferencia dada
![Page 82: EQUIVALENCIAS ENTRE POLÍGONOS](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012318/588aeeff1a28abf8548b46a1/html5/thumbnails/82.jpg)
POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
Dados cuatro cuadrados cuyos lados miden 15, 20, 25 y 30 mm, dibuja el cuadrado que tiene por área la suma de todos ellos.
L 30
L 25
![Page 83: EQUIVALENCIAS ENTRE POLÍGONOS](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012318/588aeeff1a28abf8548b46a1/html5/thumbnails/83.jpg)
POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
Dados cuatro cuadrados cuyos lados miden 15, 20, 25 y 30 mm, dibuja el cuadrado que tiene por área la suma de todos ellos.
L 30
L 25
L 20
![Page 84: EQUIVALENCIAS ENTRE POLÍGONOS](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012318/588aeeff1a28abf8548b46a1/html5/thumbnails/84.jpg)
POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
Dados cuatro cuadrados cuyos lados miden 15, 20, 25 y 30 mm, dibuja el cuadrado que tiene por área la suma de todos ellos.
L 30
L 25
L 20
![Page 85: EQUIVALENCIAS ENTRE POLÍGONOS](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012318/588aeeff1a28abf8548b46a1/html5/thumbnails/85.jpg)
POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
Dados cuatro cuadrados cuyos lados miden 15, 20, 25 y 30 mm, dibuja el cuadrado que tiene por área la suma de todos ellos.
L 30
L 25
L 15
L 20
![Page 86: EQUIVALENCIAS ENTRE POLÍGONOS](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012318/588aeeff1a28abf8548b46a1/html5/thumbnails/86.jpg)
POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
Dados cuatro cuadrados cuyos lados miden 15, 20, 25 y 30 mm, dibuja el cuadrado que tiene por área la suma de todos ellos.
L 30
L 25
L 15L 46,6
L 20
![Page 87: EQUIVALENCIAS ENTRE POLÍGONOS](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012318/588aeeff1a28abf8548b46a1/html5/thumbnails/87.jpg)
POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
A B
C
Dibuja la circunferencia que tiene por área la suma de otras tres circunferencias de radio 10, 15 y 20 mm
R 2
0 m
m
R 15 mm
![Page 88: EQUIVALENCIAS ENTRE POLÍGONOS](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012318/588aeeff1a28abf8548b46a1/html5/thumbnails/88.jpg)
POLÍGONOS. EQUIVALENCIASPOLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
Dibuja la circunferencia que tiene por área la suma de otras tres circunferencias de radio 10, 15 y 20 mm
R 15 mm
A B
C
M
![Page 89: EQUIVALENCIAS ENTRE POLÍGONOS](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012318/588aeeff1a28abf8548b46a1/html5/thumbnails/89.jpg)
POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
Dibuja la circunferencia que tiene por área la suma de otras tres circunferencias de radio 10, 15 y 20 mm
R 15 mm
R 10
A B
C
D
M
![Page 90: EQUIVALENCIAS ENTRE POLÍGONOS](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012318/588aeeff1a28abf8548b46a1/html5/thumbnails/90.jpg)
POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
Dibuja la circunferencia que tiene por área la suma de otras tres circunferencias de radio 10, 15 y 20 mm
A
M
B
C
D
M
![Page 91: EQUIVALENCIAS ENTRE POLÍGONOS](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012318/588aeeff1a28abf8548b46a1/html5/thumbnails/91.jpg)
POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
A
B
O
R 25 mm
Dibuja el pentágono regular que tiene por área el doble de otro que tiene por radio 25 mm
1er PROCEDIMIENTO
![Page 92: EQUIVALENCIAS ENTRE POLÍGONOS](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012318/588aeeff1a28abf8548b46a1/html5/thumbnails/92.jpg)
POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
Dibuja el pentágono regular que tiene por área el doble de otro que tiene por radio 25 mm
A
B
C
O
1er PROCEDIMIENTO
![Page 93: EQUIVALENCIAS ENTRE POLÍGONOS](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012318/588aeeff1a28abf8548b46a1/html5/thumbnails/93.jpg)
POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
Dibuja el pentágono regular que tiene por área el doble de otro que tiene por radio 25 mm
A
B
C D
O
1er PROCEDIMIENTO
![Page 94: EQUIVALENCIAS ENTRE POLÍGONOS](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012318/588aeeff1a28abf8548b46a1/html5/thumbnails/94.jpg)
POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
Dibuja el pentágono regular que tiene por área el doble de otro que tiene por radio 25 mm
A
B
C M D E
O
1er PROCEDIMIENTO
![Page 95: EQUIVALENCIAS ENTRE POLÍGONOS](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012318/588aeeff1a28abf8548b46a1/html5/thumbnails/95.jpg)
POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
Dibuja el pentágono regular que tiene por área el doble de otro que tiene por radio 25 mm
A
B
C M D
F
E
O
O´
1er PROCEDIMIENTO
![Page 96: EQUIVALENCIAS ENTRE POLÍGONOS](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012318/588aeeff1a28abf8548b46a1/html5/thumbnails/96.jpg)
POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
Dibuja el pentágono regular que tiene por área el doble de otro que tiene por radio 25 mm
A B
B
O
2º PROCEDIMIENTO
![Page 97: EQUIVALENCIAS ENTRE POLÍGONOS](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012318/588aeeff1a28abf8548b46a1/html5/thumbnails/97.jpg)
POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
Dibuja el pentágono regular que tiene por área el doble de otro que tiene por radio 25 mm
A B
B
O
2º PROCEDIMIENTO
![Page 98: EQUIVALENCIAS ENTRE POLÍGONOS](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012318/588aeeff1a28abf8548b46a1/html5/thumbnails/98.jpg)
POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
Dibuja el pentágono regular que tiene por área el doble de otro que tiene por radio 25 mm
A B
B
O
2º PROCEDIMIENTO
![Page 99: EQUIVALENCIAS ENTRE POLÍGONOS](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012318/588aeeff1a28abf8548b46a1/html5/thumbnails/99.jpg)
POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
Dibuja el pentágono regular que tiene por área el doble de otro que tiene por radio 25 mm
A B
B
O
2º PROCEDIMIENTO
![Page 100: EQUIVALENCIAS ENTRE POLÍGONOS](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012318/588aeeff1a28abf8548b46a1/html5/thumbnails/100.jpg)
POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
Construir un rectángulo, uno de cuyos lados es el segmento AB, equivalente a un cuadrado de 45 mm de lado
A
B
![Page 101: EQUIVALENCIAS ENTRE POLÍGONOS](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012318/588aeeff1a28abf8548b46a1/html5/thumbnails/101.jpg)
POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
Si igualamos las áreas delrectángulo que se buscay del cuadrado de lado
45 mm resulta:
De ahí deducimos que ellado desconocido del
rectángulo, el lado x, estercera proporcional entrelos segmentos AB y 45mm
AB · x = 45
AB 45
45x
=A
B
45 m
m4
5 m
m
2x
Construir un rectángulo, uno de cuyos lados es el segmento AB, equivalente a un cuadrado de 45 mm de lado
![Page 102: EQUIVALENCIAS ENTRE POLÍGONOS](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012318/588aeeff1a28abf8548b46a1/html5/thumbnails/102.jpg)
POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
Teniendo la medida del ladomayor del rectángulo, ya
lo podemos trazar
A
B
45 m
m4
5 m
m
x
x
Construir un rectángulo, uno de cuyos lados es el segmento AB, equivalente a un cuadrado de 45 mm de lado
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POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
CONSTRUCCIÓN DE UN CÍRCULO EQUIVALENTE A UNA ELIPSE
Tenemos que igualar las áreas de las dos figuras
r = ab, por tanto r = a·b.
A
C
D
BO
2 2
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POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
CONSTRUCCIÓN DE UN CÍRCULO EQUIVALENTE A UNA ELIPSE
Hay que hallar la media proporcional entre los semiejes a y b de la elipse para obtener el radio r del círculo equivalente.
A
C
D
BO
ab
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POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
CONSTRUCCIÓN DE UN CÍRCULO EQUIVALENTE A UNA ELIPSE
Para ello, podemos abatir b sobre el eje mayor 2a, haciendocentro en O. Así obtenemos el punto N
A
C
D
BO
ab
b
N
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POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
CONSTRUCCIÓN DE UN CÍRCULO EQUIVALENTE A UNA ELIPSE
Trazamos la circunferencia de radio NB(Consultar tercer procedimiento para hacer la media proporcional)
A
C
D
BO
ab
b
N O1
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POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
CONSTRUCCIÓN DE UN CÍRCULO EQUIVALENTE A UNA ELIPSE
Hallamos la tangente de O a la circunferencia trazada de O1.La tangente r es el radio de la circunferencia equivalente
al óvalo dado
A
C
D
BO
ab
br
N O1
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POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS
CONSTRUCCIÓN DE UN CÍRCULO EQUIVALENTE A UNA ELIPSE
Hallamos la tangente de O a la circunferencia trazada de O1.La tangente r es el radio de la circunferencia equivalente
a la elipse dada
A
C
D
BO
ab
br
N O1