erettsegi feladatok xi, 2015 algebra

XI. osztály, M1 A feladatokat válogatta és a feladatlapot összeállította: Mátéfi István

FORRÁSANYAG: A TANÜGYMINISZTERIUM ÉRETTSÉGI JAVASLATAI.

A feladatokat válogatta és a feladatlapot összeállította: Mátéfi István

1

Permutációk

1. Hány páros permutáció van az S 10 halmazban?

2. Határozzuk meg az A={ 66|6 S si 32 } halmaz elemeinek a számát?

3. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket: a)

12354

543212x ; b) yy , ahol

213

321 .

4. Adottak a

52143

54321 és

13452

54321 permutációk :

a)Számítsuk ki ; b)Számítsuk ki 11 ; c)Határozzuk meg a legkisebb *

Νp , úgy, hogy

ep ;

d)Számítsuk ki 2009 ; e)Oldjuk meg a x egyenletet; f)Oldjuk meg a x egyenletet;

5. Határozzuk meg az a és b értékeit úgy, hogy a

21453

7654321

ab permutáció páros legyen.

6. Határozzuk meg az n értékét tudva, hogy az nS halmaznak 45 transzpoziciója van.

7.Adottak a

213

321 és

231

321 permutációk. Számítsuk ki a , , 2 és 2 permutációkat.

8.Adottak a

45213

54321 és

13425

54321 permutációk. Számítsuk ki a 1

, 1 , 1

permutációkat és mutassuk ki, hogy 111 .

9.Adott a

2134

4321 permutáció. Számítsuk ki a

2009 permutációt.

10.Adottak a

213

321 és

312

321 permutációk.

Határozzuk meg az 3Sx permutációt tudva, hogy ex .

11.Adottak a

4312

4321 és

4231

4321 permutáció.

Mutassuk ki, hogy: e 22 , 1 , 1

és .

12. Határozzunk meg egy 4Sx permutációt úgy, hogy xx 1.

13.Adott a

213

321 permutáció. Számítsuk ki a

3 permutációt és oldjuk meg a ex 2009 , 3Sx egyenletet.

14.Határozzuk meg a

213

321 ,

1342

4321 és

42153

54321 permutációk előjelét.

15.Adott a 6163542

654321S

. Számítsuk ki a

1 permutációt és igazoljuk , hogy a és

1 permutációk inverzióinak a száma megegyezik.

16. Adott a 515432

54321S

permutáció és az NnA n halmaz.

a) Határozzuk meg az A halmaz elemeinek a számát.

b)Mutassuk ki, hogy az A halmaz minden eleme páros.

17. Legyen 3S a harmadrendű permutációk halmaza.

a) Határozzuk meg az 3S halmaz elemeinek az előjelét.




2

b) Igazoljuk, hogy az 3S halmaz összes permutációinak szorzata egy páratlan permutáció, függetlenül a

tényezők sorrendjétől.

18. Adott a 6163254

654321S

.

a) Határozzuk meg a permutáció inverzióinak a számát.

b) Igazoljuk, hogy az 4x egyenletnek nincs megoldása az 6S halmazban.

19. Adott a 3213

321S

.

a) Határozzuk meg az összes 3Sx permutációt, amelyre xx .

b) Oldjuk meg az 2x egyenletnek az 3S halmazban.

20. Legyen nA az n-edrendű páros permutációk halmaza. Határozzuk meg az n értékét tudva, hogy az nA

halmaz elemeinek száma

!6

!4n .

21. Határozzuk meg az n értékét tudva, hogy az nS halmaznak 45 transzpoziciója van.

22. Adott az 54321 aaaaa ötjegyű szám, ahol .1,5,2,4,6 54321 aaaaa

Számitsuk ki az

5

54321

S

aaaaaS

összeg értékét.

23. Adott a

1243

4321 permutáció.

Igazoljuk, hogy nem létezik olyan x 4S permutáció, amelyre 2x .

24. Adott a nS2 permutáció , ahol

12...312...8642

2...21...4321

nn

nnnn .

Határozzuk meg a permutáció inverzióinak a számát.

25. Adott a 515432

54321S

permutáció és az NnA n halmaz.

a) Határozzuk meg az A halmaz elemeinek a számát?

b) Legyen 5S úgy, hogy 22 . Igazoljuk, hogy .

26. Határozzuk meg az m és n értékeit úgy, hogy a

186453

87654321

nm permutáció páratlan legyen.

27. Adottak a 3, Se permutációk,

213

321 és

321

321e .

a)Számítsuk ki 3 ;

b)Oldjuk meg a ex 2009 egyenletet;

c)Igazoljuk, hogy az 3S halmaz összes permutációinak szorzata egy páratlan permutáció, függetlenül a tényezők

sorrendjétől.

Mátrixok

28. Adott az

8923

5441

6152

,, AMA nm Z mátrix.

a) Határozzuk meg az A mátrix típusát.

b) Írjuk fel a következő elemeket : 23a , 31a , 34a és 12a .




3

c) Számítsuk ki: 32

2

2433113113 2 aaaaaa .

29. Adott az

134

701

625

A mátrix.

a) Soroljuk fel a főátlón található elemeket.

b) Soroljuk fel a mellékátlón található elemeket.

c) Mennyivel egyenlő ATr ?

d) Írjuk fel a At mátrixot.

30. Tekintsük az

640

723

512

A és

431

182

2410

B mátrixokat.

a) Melyik matrix halmazokhoz tartoznak a fenti mátrixok?

b) Számítsuk ki: BTrATrBTrATr tt 2 ;

31. Határozzuk meg az Ryx, az alábbi egyenlőségek esetében:

a) 230

02I

x

x

; b) 2

1lg0

0164O

y

x

.

32. Határozzuk meg az Rcba ,, az alábbi egyenlőségek esetében:

a)

2

33

3

2

115

232 a

c

c

b; b) 2

3

4

2 1 1 6 1 1

1 3 1 1

0 0 2

a

b

C c

.

33. Határozzuk meg az , ,a b xR értékeit úgy, hogy az

2 2

2 2

3 2 6 4

lg 1 1 36

a a b xA

x a b

mátrix a nullmátrixal

legyen egyenlő.

34. Határozzuk meg az , , ,x y z uR értékeit úgy, hogy az alábbi mátrix egyenlő legyen az egységmátrixal:

a)

2 9

1

2

5 lg 3

3 3 1

x

z

yA

; b) 1

3 2 8 0

0 1 0

0 2 4 5 2 1

y

z z

x

A

u

.

35. a) Számítsuk ki az 2 2

tI I mátrixot;

b) Igazoljuk, hogy bármely 2A M R és m R esetén t tmA m A .

c) Határozzuk meg az 2A M R mátrixot úgy, hogy 2

tA A O .

36. Határozzuk meg az

2,1,,2,

2221

1211jiaa

aa

aaM ijij Z halmaz elemeinek a számát.

37. Adottak az

31

12A és

43

21B mátrixok. Számítsuk ki az BA , BA 32 és tAA mátrixokat.

38. Adottak az

112

011A és

11

20

11

B mátrixok. Számítsuk ki az BA és AB mátrixokat.




4

39. Adottak az

02

24A ,

32

14B és

dc

baX mátrixok. Számítsuk ki az dcba összeg

értékét ha AABX 2 .

40. Adottak az

01

22 kA

k

k mátrixok. Határozzuk meg a nAAAB 21 , Nn mátrixot.

41. Adott az

cba

cba

cba

A

333

222 , Rcba ,, mátrix.

a) Mutassuk ki, hogy létezik Rd úgy, hogy AdA 2 .

b) Mutassuk ki, hogy létezik R1,3MK és R3,1ML úgy, hogy LKA .

42. Adott a

0,,

10aba

baXG R halmaz.

a) Mutassuk ki, hogy ha GBA , , akkor GBA .

b) Keressünk két olyan GDC , mátrixot, úgy hogy CDDC .

c) Mutassuk ki, hogy ha GA , akkor GAAI 2

2 .

43. Adott a C2Mdc

baA

mátrix, jelölje daATr , az A mátrix nyomát.

a) Mutassuk ki, hogy YXTrYTrXTr , C2, MYX esetén.

b) Igazoljuk, hogy XYTrYXTr és XTrYTr C2, MYX , C esetén.

44. Igazoljuk, hogy nem létezik C2, MYX úgy, hogy XYYXI 2.

45. Számítsuk ki

2007

11

11

.

46. Adott az R201

10MA

. Számítsuk ki 2008A .

47. Adott a

tt

ttB

cossin

sincosmátrix. Számítsuk ki nB ,

Nn .

48. Adott az

31

13A mátrix. Számítsuk ki nA ,

Nn .

49. Adottak az

42

105A és

aa

aaB

412

1051, Ra mátrixok.

Számítsuk ki az nA és nB ,Nn mátrixokat.

50. Adottak az

11

22A és aAIaX 2 , Ra mátrixok.

a) Mutassuk ki, hogy abbaXbXaX .

b) Számítsuk ki az naX ,Nn mátrixot.

c) Határozzuk meg a Nt számot úgy, hogy 1200921 tXXXX .

51. Az 2X M R halmazban tekintsük az 4 6

2 3A

és az 2X a I aA , aR mátrixokat.

a) Számítsuk ki az 3A mátrixot.

b) Ellenőrizzük, hogy X a X b X a b ab , ,a b R .




5

c) Számítsuk ki az 1 2 2010X X X összeget.

52. Adott az R201

10MA

mátrix. Ha az R2MX mátrix teljesíti az XAAX egyenlőséget,

igazoljuk, hogy létezik Rba, úgy, hogy

ab

baX .

53. Adottak az

43

21A és

10

11B mátrixok és az RR 22: MMf , XAAXXf függvény .

a) Számítsuk ki Af és Bf mátrixokat.

b) Mutassuk ki, hogy DfCfDCf , R2, MYX esetén.

54. Adott az R211

22MA

mátrix.

a) Mutassuk ki, hogy létezik Ra úgy, hogy AaA 2.

b) Számítsuk ki az 2010tAA mátrixot.

55. Mutassuk ki, hogy az 2

2 IX egyenletnek végtelen sok megoldása van az Z2M halmazban.

56. Adottak az

462

693

231

A ,

2

3

1

X , 231Y , AIB 3 és aAIC 3 , Ra mátrixok.

a) Számítsuk ki az YXAS mátrixot.

b) Határozzuk meg az Ra számot úgy, hogy 3ICB .

c) Mutassuk ki, hogy nn AA 141 , Nn .

57. Adottak az

23

02A és

11

01B mátrixok és az AXXAMXAC R2 halmaz.

a) Mutassuk ki, hogy ACB .

b) Igazoljuk, hogy ha ACX , akkor létezik Rba, úgy, hogy

ab

aX

0.

c) Oldjuk meg az AXX 2 , R2MX egyenletet.

58. Adott az

011

001

000

A mátrix és az

Ccba

abc

ab

a

M ,,0

00

halmaz.

a) Számítsuk ki az 3A mátrixot.

b) Mutassuk ki, hogy ha C3MX és XAAX , akkor MX .

c) Igazoljuk, hogy az AX 2 egyenletnek nincs megoldása az C3M halmazban.

59. Adottak az C2, MBA mátrixok úgy, hogy fennáll az ABAAB egyenlőség 1 .

a) Mutassuk ki, hogy az

00

100A és

20

010B mátrixok esetében fennáll az 1 -es egyenlőség.

b) Igazoljuk, hogy nnn nABABA , Nn , 2n .

60. Adott az R3

010

100

011

MA

mátrix




6

a) Igazoljuk, hogy 3

23 IAAA .

b) Mutassuk ki, hogy 3

22 IAAA nn , Nn , 3n .

c) Igazoljuk, hogy Nn esetén az nA mátrix elemeinek az összege 3n .

61. Adott az 0,2

bM

ab

baA R mátrix, jelölje daATr , az A mátrix nyomát.

a) Igazoljuk, hogy ha XAAX , R2MX akkor létezik Rvu, úgy, hogy

uv

vuX .

b) Mutassuk ki, hogy

nn

nnn

xy

yxA , Nn , ahol ,

2

nn

n

babax

és

2

nn

n

babay

.

c) Oldjuk meg az

21

123X , R2MX egyenletet.

Determinánsok

62. Adott az R212

24MA

mátrix. Számítsuk ki 32

2det AAAI értékét.

63. Adott az R280

01MA

mátrix. Oldjuk meg a 0det 2 xIA , Rx egyenletet.

64. Adott az R2Mdc

baX

mátrix. Mutassuk ki, hogy 2det bcadXX t .

65. Adott az R213

01MA

mátrix.

a) Igazoljuk, hogy

13

01

nAn , Nn .

b) Számítsuk ki 20072 detdetdet AAA összeg értékét.

c) Számítsuk ki a 20072det AAA determináns értékét.

66. Tekintsük a

Cwz

zw

wzG , halmazt.

a) Mutassuk ki, hogy ha GA és 0det A , akkor 2OA .

b) Igazoljuk, hogy ha GBA és 2OBA , akkor 2OA vagy 2OB .

67. Tekintsük az R3

1

21

21

M

ab

bbb

aaa

A

mátrixot.

Mutassuk ki, hogy 12det babaA és számítsuk tAAdet értékét.

68. Oldjuk meg a 0

623

532

321

2

xx

, Rx egyenletet.

69. Tekintsük a 21

931

111

aa

aD , Ra determinánst.

a) Oldjuk meg a 0aD , Ra egyenletet.

b) Oldjuk meg a 03 xD , Rx egyenletet.




7

70. Igazoljuk, hogy abacbc

cba

cba 222

111

, R cba ,, esetén.

71. Igazoljuk, hogy abacbcadbdcd

dcba

dcba

dcba

3333

2222

1111

, R dcba ,,, esetén.

72. Az 023 xx egyenlet gyökei R321 ,, xxx .

Számítsuk ki a

132

213

321

xxx

xxx

xxx

determináns értékét.

73. Az 023 xx egyenlet gyökei R321 ,, xxx .

Számítsuk ki a

213

132

3

3

3

2

3

1

2

xxx

xxx

xxx

determináns értékét.

74. Számítsuk ki a

3214

2143

1432

4321

3 determináns értékét.

75. Adott az C2Mdc

baA

mátrix jelölje C2M

dc

baA

mátrixot.

a) Mutassuk ki, hogy AA detdet , C2MA esetén.

b) Igazoljuk, hogy RAAdet , C2MA esetén.

c) Legyen C2, MBA úgy, hogy ABBA , Igazoljuk, hogy 0det 22 BA .

76. Igazoljuk, hogy BABABA det2det2detdet , C2, MBA esetén.

77. Igazoljuk, hogy C2, MBA esetén BABA detdetdet vagy BABA detdetdet .

78. Adott az C2Mdc

baA

mátrix jelölje daATr , az A mátrix nyomát.

Igazoljuk, hogy 22

2 det OIAAATrA , C2MA esetén.

79. Adott az C227

14MA

. Igazoljuk, hogy 2

2 2 IAA .

80. Adott az C2Mdc

baA

mátrix.

a) Mutassuk ki, hogy bcadxdaxxIA 2

2det , Rx esetén.

b) Ha 2

2 OA , igazoljuk, hogy 0 da .

c) Tudva, hogy 2

2 OA , számítsuk ki 22det IA értékét.

81. Adottak a

33333

22222

11111

1

cxbabxa

cxbabxa

cxbabxa

és

333

222

111

2

cba

cba

cba

determinánsok.

Igazoljuk, hogy 2

2

1 1 x .




8

82. Tekintsük az R3

111

111

111

MA

mátrixot.

a) Oldjuk meg a 0det 2

3 AxI , Rx egyenletet.

b) Igazoljuk, hogy 2detdetdet CxACxAC , C3MC , Rx esetén.

83. Igazoljuk, hogy C és C3MX esetén XX detdet 3 .

84. Igazoljuk, hogy C3MA esetén ttt AAAA és 0det tAA .

85. Adottak az RR :f , 323 xxxf függvény és 333

1

111

cba

cba és

cfbfaf

cba

111

2

determinánsok.

a) Igazoljuk, hogy cbaaccbba 1.

b) Igazoljuk, hogy 21 .

c) Legyen A,B és C az f függvény grafikus képének, olyan pontjai , amelyek koordinátái természetes számok,

igazoljuk, hogy az ABC háromszög területe egy 3-mal osztható természetes szám.

86. Az xOy koordináta-rendszerben tekintsük az 3;3A , 4;4B és 3;5 C pontokat.

Számítsuk ki az ABC háromszög területét.

87. Az xOy koordináta-rendszerben tekintsük az 3;2A , 2;1mB és 2;3 mC pontokat, Rm .

Határozzuk meg az m értékét úgy, hogy az ABC háromszög területe minimális legyen.

88. Az xOy koordináta-rendszerben tekintsük az 3;1A , 1;2B és 4; aaC , Ra pontokat.

Határozzuk meg az a értékét úgy, hogy az A,B és C pontok kollineárisak legyenek.

89. Az xOy koordináta-rendszerben tekintsük az 1;1A és 7;3B pontokat.

a) Írjuk fel az AB egyenes általános egyenletét.

b) Határozzuk meg az m értékét úgy, hogy ABmmC 1; .

90. Az xOy koordináta-rendszerben tekintsük az AA yxA ; , BB yxB ; és

CC yxC ; pontokat és az

1

1

1

CC

BB

AA

yx

yx

yx

M mátrixot.

a) Igazoljuk, hogy ha az A,B és C pontok az xy 2 egyenletű egyenesen vannak, akkor 0det M .

b) Tudva, hogy az ABC háromszög derékszögű és a befogók hossza 1, igazoljuk, hogy 1det M .

91. Tekintsük a

1

, , 1

1

x ab

D a b x a bx

a ax

, , ,a b xR determinánst.

a) Számítsuk ki a 1,1,0D determináns értékét.

b) Igazoljuk, hogy a , ,D a a x determináns nem függ az x változótól.

c) Oldjuk meg a , , 0D a b x , egyenletet, ahol , 0,a b .

92. Tekintsük az

2 1

, 1 2

3

x

A x m x

x m

, ,x mR mátrixot.

a) Számítsuk ki az 1,3A mátrix determinánsának értékét.




9

b) Számítsuk ki a det ,A x m értékét

c) Határozzuk meg az mR paraméter értékét úgy, hogy det 0A , x R .

93. Adott az

1

1 2 1

0 3 1

x y

M

, ,x yR mátrix. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az

1,2 , 0,3A B , 0,0O és 1,2nC n n , n N pontok.

a) Számítsuk ki a det M értékét.

b) Igazoljuk, hogy az ,A B és 2C pontok kolllineárisak.

c) Határozzuk meg az nN értékét úgy, hogy az ABC háromszög területe minimális legyen.

94. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben tekintsük az 2 3

1log , log 9

2

n

n

nA

és ,2nB n n , n N ,

pontokat.

a) Írjuk fel a 1B és 2B pontokon áthaladó egyenes egyenletét.

b) Mutassuk ki, hogy n nA B , n N esetén .

c) Igazoljuk, hogy n N esetén az nA pont az 1 2A A egyenesen található.

95. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben tekintsük az 2, 4A , 2,6B , 0, 4C és , 2D x x .

Határozzuk meg az xR értékét úgy, hogy ABC BCDT T .

96. Adottak az 2, 1A , 6,3B pontok és a : 2 6 0d x y egyenletű egyenes.

Határozzuk meg a C d pont koordinátáit úgy, hogy 8ABCT legyen.

97. A 1 : 2 3 0d x y , 2 : 3 1 0d x y és a 3 : 3 5 0d x y egyenletű egyenesek egy háromszöget

alkotnak. Számítsuk ki a háromszög területét.

Inverz mátrix. Mátrixegyenletek

98. Határozzuk meg az mR értékét úgy, hogy az alábbi mátrix invertálható legyen:

a) 1

8 2

mA

; b)

1 2

3 1 2

1 1 4

m

B

; c)

1 1 2

2 1 1

1 3 0

m

C m

.

99. Tekintsük az 3

3 2

1 0

2 1 1

m

A m m M

m

R mátrix .

a) Határozzuk meg az mR értékét úgy, hogy 1A A , ahol A az adjungált mátrix.

b) Határozzuk meg az 1m , számítsuk ki az 1A mátrixot.

100. Határozzuk meg az mR értékét úgy, hogy az A mátrix invertálható legyen x R esetén.

a)

1

2 3

1 1 1

x m

A x

; b)

4 3

1

1 1

x

A x x

m m

; c)

2 0 1

1

3 2

m

A x x

x

.

101. Adott az C231

21MA

. Számitsuk ki 1A mátrixot.




1

0

102. Adott az R3

121

210

321

MB

. Számitsuk ki 1B mátrixot.

103. Határozzuk meg az Rm értékeit. úgy hogy az R3

321

213

12

M

x

A

mátrix invertálható legyen.

104. Adottak az Qcba ,, és az Q3M

acb

bac

cba

A

mátrix.

Tudva, hogy 0 cba és A nem invertálható az Q3M halmazban, igazoljuk, hogy cba .

105. Adott R3

001

100

010

MA

mátrix. Számítsuk ki az 3A és 1A mátrixokat.

106. Adottak az

369

246

123

A és AIB 3 mátrixok.

a) Igazoljuk, hogy AA 102 .

b) Mutassuk ki, hogy az A mátrix invertálható és az inverze a AIC11

13 .

107. Tekintsük az R4M

abcd

badc

cdab

dcba

A

mátrix.

a) Igazoljuk, hogy 4IAA t , ahol 2222 dcba .

b) Mutassuk ki, hogy ha 4OA , akkor az A mátrix invertálható és határozzuk meg az inverzét.

108. Adott a

1\

1

221Ra

aa

aaaXG halmaz.

a) Mutassuk ki, hogy abbaXbXaX , GbXaX , esetén.

b) Igazoljuk, hogy GaX mátrix invertálható és az inverz mátrix a G halmazban található.

109. Adott az R3

0143

11

112

M

m

mA

mátrix.

a) Határozzuk meg az Rm értékét úgy, hogy az A mátrix invertálható legyen.

b) Határozzuk meg az Rm értékét úgy, hogy AA 1 .

110. Adott az R2MA , úgy, hogy 2

2 OA . Igazoljuk, hogy az 2IA és 2IA mátrixok invertálhatóak.

111. Adottak az

25

13A és

12

10B mátrixok. Oldjuk meg az BXA egyenletet.

112. Adottak az

23

12A ,

23

35B és

21

11C mátrixok. Oldjuk meg az CBXA egyenletet.




1

1

113. Adottak az

101

101

121

A és

531

472B mátrixok. Oldjuk meg az BAX egyenletet.

114. Adottak az

21

11A ,

10

11B és

01

10C mátrixok. Oldjuk meg az CBXA egyenletet.

115. Adottak az

584

232

241

A és

0

2

4

B mátrixok.

a) Mutassuk ki, hogy 3

2 IA .

b) Oldjuk meg az BXAA 1 egyenletet.

116. Adott az R221

32MA

mátrix és az RR 22: MMf , XAXf függvény.

Mutassuk ki, hogy az f függvény bijektív.

117. Adott az C3MA invertálható mátrix. Igazoljuk, hogy 2detdet AA .

118. Adott az

Ndcba

dc

baM ,,, halmaz és az MA

31

21mátrix.

a) Mutassuk ki, hogy MA 1 .

b) Határozz meg az összes olyan MB invertálható mátrixot, amelyre MB 1 .

119. Adottak a R3

111

111

111

MJ

és bJaIA 3 , Rba, , 0a , 03 ba mátrixok.

Mutassuk ki, hogy az A mátrix invertálható és határozzuk az Ryx, úgy, hogy JyIxA

3

1 .

120. Adott az AAésAAMAH 21

3 0detQ halmaz és az MA

31

21mátrix.

a) Mutassuk ki, hogy 33

23 OIAA , HA esetén.

b) Tudva, hogy HA , igazoljuk, hogy az 3IA és 3IA mátrixok invertálhatóak.

Mátrix rangja

121. Adott az

3862

1431A . Számítsuk ki A mátrix rangját.

122. Adott az

324

403

121

B . Számítsuk ki B mátrix rangját.

123. Adott az

1312

1354

3121

C . Számítsuk ki C mátrix rangját.

124. Adott az R3

011

001

000

MA

mátrix. Határozzuk meg az AI 3 és 2

3 AAI mátrixok rangját.




1

2

125. Adott az R4,3

111

211

4112

M

y

xA

mátrix. Határozzuk meg az Ryx, úgy, hogy 2Arang .

126. Tárgyaljuk az Rm függvényében az R3

11

11

11

M

m

m

m

A

mátrix rangját.

127. Adott az R3

11

21

21

M

a

bbb

aaa

A

mátrix. Mutassuk ki, hogy 2Arang .

128. Adott az

cba

cba

cba

A

333

222 , Rcba ,, mátrix. Számítsuk ki A mátrix rangját.

129. Adott az R3

18126

15105

1284

MA

.

a) Mutassuk ki, hogy AA 322 .

b) Igazoljuk, hogy 1nArang , Nn esetén.

130. Adott az R3

1

11

111

M

mm

mA

mátrix. Igazoljuk, hogy 2Arang , Rm .

131. Adottak az R4

1001

0000

0000

1001

MA

és R4

0000

0110

0110

0000

MB

mátrixok.

Igazoljuk, hogy BrangArangBArang .

132. Keressünk egy C2MA mátrixot úgy, hogy 2ArangArang .

133. Az xOy koordináta-rendszerben tekintsük az 6;0A , 4;1B és 8;1C pontokat és az

R3

846

110

1111

M

b

aM

mátrixot.

a) Igazoljuk, hogy az A,B és C pontok kollinéárisak.

b) Határozzuk meg az M mátrix rangját, ha 0,3 ba .

c) Mutassuk ki, hogy, ha az M mátrix egyik harmadrendű aldeterminánsa, amely tartalmazza az utolsó

oszlopot nulla, akkor 2Mrang .

134. Adott az C3MA mátrix, amelyre tAA . Mutassuk ki, hogy 2 tAArang .

Lineáris egyenletrendszerek

135. Tekintsük az

2 3

5 2 2

1 2 3 2

mx y z m

x y z

m x y z

, mR egyenletrendszert.




1

3

a) Határozzuk meg az mR úgy, hogy det 12A , ahol A az egyenletrendszer mátrixa.

b) Határozzuk meg az mR úgy, hogy 1,2, 3 számhármas az egyenletrendszer megoldása legyen.

c) Ha 1m , oldjuk meg az egyenletrendszert.

136. Adott az

2 3 3

2 4

4 1

x y

x y z

mx y z

, mR egyenletrendszert és

1 2 3

2 1 1

1 4

A

m

az egyenletrendszer mátrixa.

a) Határozzuk meg az mR úgy, hogy 2det 3A m m , ahol A az egyenletrendszer mátrixa.

b) Határozzuk meg az mR úgy, hogy 2,1, 1 számhármas az egyenletrendszer megoldása legyen.

c) Ha 5m , oldjuk meg az egyenletrendszert.

137. Adott az

2

2

2

x ay a z a

x by b z b

x cy c z c

, egyenletrendszer , ahol , ,a b cR és páronként különböznek.

a) Oldjuk meg az egyenletrendszert, ha 0, 1, 2a b c .

b) Ellenőrizzük, hogy det A a b b c c a , ahol A az egyenletrendszer mátrixa.

c) Igazoljuk, hogy az egyenletrendszer megoldása nem függ az , ,a b cR számoktól.

138. Az RRR halmazon oldjuk meg a

1022

1024

22

zyx

zyx

zyx

egyenletrendszert.

139. Az 3R halmazon oldjuk meg a

2632

132

zyx

zyxegyenletrendszert.

140. Oldjuk meg a valós számok halmazán az

652

12

12

tzyx

tzyx

tzyx

egyenletrendszert.

141. Oldjuk meg a valós számok halmazán az

12

232

3432

tz

tzy

tzyx

egyenletrendszert.

142. Oldjuk meg az

0

0

0

1

tzyx

tzyx

tzyx

tzyx

egyenletrendszert.

143. Legyen R\C egy harmadrendű komplex egységgyök.

A C halmazon oldjuk meg az

0

0

0

2

2

zyx

zyx

zyx

egyenletrendszert.

144. Az xOy koordináta-rendszerben tekintsük a 01:1 ymxd , 023:2 yxd 04:3 yxd egyeneseket.

Határozzuk meg az Rm értékét tudva, hogy az egyenesek összefutó egyenesek.




1

4

145. Tekintsük az

0

0

0

abzacybcx

czbyax

zyx

, Rcba ,, egyenletrendszert, jelölje A az egyenleredszer mátrixát.

a) Tudva, hogy acba oldjuk meg az egyenleredszert.

b) Oldjuk meg az egyenleredszert, ha cba .

146. Ha Zcba ,, , igazoljuk, hogy az

zazcybx

ybzaycx

xczbyax

2

1

2

1

2

1

, egyenletrendszernek csak az 0 zyx megoldása

van.

147. Tekintsük az

1

1

zx

aazy

ayx

,Ra egyenletrendszert. Igazoljuk, hogy az egyenletredszer összeférhető és

határozott és a megoldása három mértani haladványt alkotó szám.

148. Tekintsük az

133

1

1

zymx

mmzymx

mzyx

, egyenletrendszert. Határozzuk meg az Rm értékét úgy, hogy az

egyenletrendszer összeférhetetlen legyen.

149. Tekintsük az

aazyx

zayx

zyax

1

1

, Ra egyenletrendszert.

a) Oldjuk meg az egyenletrendszert ha összeférhető és határozott.

b) Oldjuk meg az egyenletrendszert ha 1,2a .

150. Tekintsük az

31222

211

1

2

2

zmymmx

zmymmx

zyx

, Rm egyenletrendszert.

a) Határozzuk meg az Rm értékét úgy, hogy egyenletrendszer összeférhető és határozott legyen.

b) Határozzuk meg az Rm értékét úgy, hogy egyenletrendszer összeférhetetlen legyen.

151. Tekintsük az

12

1

0

zmyx

mzymx

zyx

, Rm egyenletrendszert.

a) Igazoljuk, hogy az egyenletrendszer összeférhető bármely Rm esetén.

b) Határozzuk meg az Rm értékét tudva, hogy az egyenletrendszernek van egy 000 ,, zyx megoldása

ahol 20 z .

152. Tekintsük az

mzymx

zyx

zyx

3

3

1

,ahol Rm egyenletrendszert. Minden m esetén jelölje mS az

egyenletrenszer megoldáshalmazát.

a) Határozzuk meg az Rm értékét úgy, hogy egyenletrendszernek egy megoldása legyen.

b) Igazoljuk, hogy az egyenletrendszer összeférhető bármely Rm esetén.




1

5

c) Határozzuk meg a 1

222 ,,min Szyxzyx .

153. Tekintsük az

123

1312

12

mzmmyx

zymx

zmyx

,ahol Rm egyenletrendszert. Minden m esetén jelölje mS az

egyenletrenszer megoldáshalmazát.

a) Határozzuk meg az Rm értékét úgy, hogy egyenletrendszernek egy megoldása legyen.

b) Határozzuk meg az Rm értékét úgy, hogy egyenletrendszer összeférhető és határozatlan legyen.

c) Ha 1m határozzuk meg az összes 000 ,, zyx megoldást, amelyre 1432 2

0

2

0

2

0 zyx .

154. Tekintsük az

2

1

12

mzmyx

zmyx

zyx

,ahol 1\Zm egyenletrendszert.

Határozzuk meg az m értékét tudva, hogy az egyenletrendszert megoldása egész számokból áll.

155. Adott az

0

2

1

zyx

zyx

zymx

, Rm egyenletrendszer.

a) Határozzuk meg az Rm értékét úgy, hogy egyenletrendszer mátrixának a rangja 2 legyen.

b) Határozzuk meg az Rm értékét úgy, hogy az egyenletredszernek legyen olyan 000 ,, zyx megoldása,

amelyre 4000 zyx .

c) Határozzuk meg az Zm értékét úgy, hogy az egyenletredszernek egyetlen megoldása legyen,

amelyre 3Z000 ,, zyx .

156. Adott az

14321

43

21

xxxx

bxx

axx

, Rba, egyenletrendszer.

a) Igazoljuk, hogy az egyenletrendszer összeférhető bármely Rba, esetén.

b) Határozzuk meg az Rba, értékét úgy, hogy az egyenletredszernek legyen olyan 4321 ,,, xxxx

megoldása, amelyre 214321 ,,,, xxésxxxx egy számtani haladvány egymásutáni tagjai.

c) Ha az egyenletredszernek van egy olyan megoldása, amelynek minden komponense szigorúan pozitív,

mutassuk ki, hogy 1ba .

157. Adott az

42

2

332

zynx

mzyx

zyx

, Rnm, egyenletrendszer.

a) Határozzuk meg az Rn értékét úgy, hogy az egyenletredszernek egyetlen megoldása legyen.

b) Határozzuk meg az Rnm, értékét úgy, hogy az egyenletredszer összeférhető és határozatlan

legyen.

158. Tekintsük az ABC háromszöget, amelynek oldalai cAB , aBC és bAC és az

acybz

bazcx

cbxay

egyenletrendszer.

a) Oldjuk meg az egyenletredszert, ha 5,4,3 cba .

b) Igazoljuk, hogy az egyenletrendszer összeférhető és határozott bármely ABC háromszög esetében.

c) Ha 000 ,, zyx megoldása az egyenletredszernek, mutassuk ki, hogy 1;1,, 000 zyx .




1

6

159. Tekintsük az cba ,, páronként különböző valós számokat és az

1

0

0

333 zcybxa

czbyax

zyx

egyenletrendszer.

a) Igazoljuk, hogy abacbccbaA det , ahol A az egyenletrendszer mátrixa.

b) Oldjuk meg az egyenletrendszert, ha 0 cba .

c) Ha 0 cba , mutassuk ki, hogy az egyenletredszer összeférhetetlen.

160. Tekintsük az

bazyx

zyx

zyx

7

12

12

,ahol Rba, egyenletrendszert.

a) Határozzuk meg az Ra értékét úgy, hogy egyenletrendszer mátrixának a determinánsa nulla legyen.

b) Határozzuk meg az Rba, értékét úgy, hogy egyenletrendszer összeférhetetlen legyen.

161. Tekintsük az

bzyx

zyx

zyax

23

632

4

,ahol Rba, egyenletrendszert.

a) Határozzuk meg az Rba, értékét úgy, hogy 1,1,1 megoldása legyen az egyenletrendszernek

b) Határozzuk meg az Rba, értékét úgy, hogy egyenletrendszer összeférhetetlen legyen.

162. Tekintsük az

pntzyx

tmzyx

tzyx

1065

39

15432

,ahol Rpnm ,, egyenletrendszert.

a) Határozzuk meg a Rp értékét úgy, hogy 0000 ,,, tzyx , 000 tz megoldása legyen az

egyenletrendszernek

b) Határozzuk meg az Rpnm ,, értékét úgy, hogy egyenletrendszer összeférhető legyen és az

egyenletrendszer mátrixának a rangja 2 legyen.

163. Tekintsük az

4444

3333

2222

1111

A mátrixot.

a) Számítsuk ki az A mátrix rangját.

b) Igazoljuk, 4

2 2 IBB .

c) Igazoljuk, hogy a B mátrix invertálható és számítsuk ki az inverz mátrixot.

d) Számítsuk ki nB ,Nn .

164. Adott az Z2Mdc

baA

mátrix és az ZZ 1,21,2: MMf . Z1,2

2

1,, M

x

xXAXXf

függvény.

a) Mutassuk ki, hogy Z1,2,, MYXYfXfYXf és ZZ ,, 1,2MXXfXf .

b) Ha 0det A , igazoljuk, hogy f injektív.

c) Ha 1,1det A , igazoljuk, hogy f bijektív.

165. Adott az

0543

0432

032

zyx

zyx

zyx

, Czyx ,, egyenletrendszer, jelölje A az egyenletrendszer mátrixát.

a) Számítsuk ki az A mátrix rangját.

b) Oldjuk meg az egyenletrendszert.




1

7

c) Mutassuk ki, hogy NnIAn ,2 .

d) Keressünk egy R3MB , 3OB mátrixot, amelyre 3OBA .

e) Mutassuk ki, hogy Z\Qr esetén 0det 3 rIA .

166. Tekintsük az a, b, c és d különböző valós számokat , az RR :f , dxcxbxaxxf ,

RR :g , 13 xxxg függvényeket illetve a

3333

2222

1111

dcba

dcba

dcba és

dgcgbgag

dcba

dcbaA

2222

1111

determinánsokat.

a) Ellenőrizzük, hogy yzxzxy

zyx

zyx 222

111

, R zyx ,, .

b) Mutassuk ki, hogy cdbdbcadacab

c) Ellenőrizzük, hogy dacabaaf .

d) Mutassuk ki, hogy A .

e) Kifejtve az A determinánst az utolsó sora szerint , mutassuk ki, hogy

1

df

dg

cf

cg

bf

bg

af

ag.

167. Tekintsük a

13

3

22

2 baMab

baG Q halmazt.

a) Igazoljuk, hogy GI 2 .

b) Mutassuk ki, hogy GBA , esetén GBA

c) Ha Gab

baX

3, igazoljuk, hogy X invertálható és

ab

baX

3

1.

d) Keressünk egy Gab

baA

3, 0b mátrixot.

e) Ha Gab

baB

3, 0a és 0b , igazoljuk, hogy 2IBn Nn, .

f) Igazoljuk, hogy a G halmaz végtelen.

erettsegi feladatok xi, 2015 algebra

Documents