Erhaltungsgrößen

Egon BergerDidaktik der Physik

29.11.05

Voraussetzungen:

• Newtonschen Axiome• Konzept des Schwerpunkts• Gravitationsgesetz• Vektorrechnung: Addition, Skalarprodukt und Kreuzprodukt • Differenzieren von Vektoren

• Zur Vektorrechnung:

Das Kreuzprodukt ist bilinear.

vuvuwvwuwvu

)()(

Seien u, v ,w Vektoren und l ein Skalar. Dann gilt:

Analog für die zweite Komponente.

Im Besonderen benötigen wir davon im Folgendem:

• Zur Differenzialrechnung:

Seien v(t) und w(t) Vektoren, welche sich in der Zeit verändern.

v w bezeichne das Skalarprodukt, v x w das Kreuzprodukt. Dann gilt:

wvwvwvdtd )(

vvvdtd

2)( 2

wvwvwvdtd )(

Frage: Was ergibt ?)( vvdtd

0)( vv Was wir im Folgendem ebenfalls benötigen!

Erhaltungsgrößen:

Definition:

Eine Erhaltungsgröße E ist eine Kombination aus physikalischen Größen (Ort, Zeit, Masse,…) dessen numerischer Wert im Zeitablauf gleich bleibt.

Mathematisch ausgedrückt bedeutet dies:

Zielgruppe des Vortrages:Der Vortrag ist für Schulklassen gedacht, welche obige Voraussetzungen erfüllen.

0Edtd

Ist der Wert einer Erhaltungsgröße für einen Zeitpunkt bekannt, dann ist er - weil sich dieser Wert nicht ändert – für den gesamten Zeitablauf bekannt.

Erhaltungsgrößen am Bsp. der Planetenbewegung Erde-Sonne:

Erstellen ein idealisiertes Modell bzw. Gedankenexperiment:• Erde und Sonne bewegen sich im freien Raum

SSS

EEE

Fxm

Fxm

Newtonsche Bewegungsgleichung:

EmSm

Ex

Sx

VO

SF

EF

Nach dem 3. Netwonschen Axiom gilt:

ES FF

Dies bedeutet, dass sich die Größe

Damit:

ESS

EEE

Fxm

Fxm

0 SSEE xmxm

0 SSEE xmxmdtd

SSEE xmxm

Nach Addition der beiden Gleichungen erhält man:

Was gleichbedeutend ist mit:

im Zeitablauf nicht ändert.

Anstelle von zwei Planeten betrachten wir nun n Teilchen im freien Raum, einso genanntes n-Teilchensystem:

ij

ijii Fxm

bezeichnet die Kraft, die das j-te Teilchen auf das i-te ausübt

Bewegungsgleichung des i-ten Teilchens:

erster Index: herausgegriffene Teilchen

zweiter Index: Teilchen das die Kraft erzeugt

m j

m i

Fij Fij

i ij

iji

ii Fxm

ji

ijF

ij

jiji

ij FF

0i

ii

xmdtd

1-nn,2,n1,n

n1,-n

2,31,3

n,24,23,21,2

n,14,13,12,1

FFF

F

FF

FFFF

FFFF

0

Addition aller Bewegungsgleichungen:

ij

ijF

Veranschaulichung der Summe:

Was gleichbedeutend ist mit

Dies bedeutet, dass sich die Größe

im Zeitablauf nicht ändert.

i

iixm

Ergebnis vorheriger Überlegungen ist, dass sich die Größen

SSEE xmxm i

iixm

bzw.

im Zeitablauf nicht ändern.

Die Kenntnis dieser Tatsache verringert den mathematischen Aufwand bei derLösung eines Problems. Aus diesem Grund hat das Produkt „Masse mal Geschwindigkeit“ eine besondereBedeutung in der Physik und erhält den Namen Impuls.

Definition:Sei m die Masse und x die Geschwindigkeit eines Körpers.Dann heißt

xmP

sein Impuls.Die Summe aller Impulse eines Systems wird mit Gesamtimpuls bezeichnet.

Impulserhaltung:Der Sachverhalt, dass sich der Gesamtimpuls eines Systems in der Zeit nicht ändert,also eine Erhaltungsgröße ist, wird mit Impulserhaltung bezeichnet.

Nun betrachten wir wiederum das n- Teilchensystem und eine weiteretrickreiche Umformung der Bewegungsgleichungen:

ij

ijii Fxmi-te Bewegungsgleichung :

Trick :Multiplizieren die i-te Bewegungsgleichung vektoriell mit dem i-ten Ortsvektor x

ij

ijiiii Fxxmx

Addieren alle Bewegungsgleichungen:

i ij

ijii

iii Fxxmx

ij

iji Fx

Veranschaulichen nun wieder die Summe:

1-nn,n2,nn1,nn

n1,-n1-n

2,331,33

n,224,223,221,22

n,114,113,112,11

x x x

x

x x

x x x x

x x x x

FFF

F

FF

FFFF

FFFF

ji

iji Fx

ij

jii Fx

ji

ijj Fx

ji

ijji )( Fxx 0

i ij

ijii

iii Fxxmx

ij

iji Fx

Ergebnis:

Aus diesem Grund hat das Vektorprodukt „Ortsvektor x Impuls“ eine besondereBedeutung in der Physik und erhält den Namen Drehimpuls.

Definition:Sei x der Ortsvektor und p der Impuls eines Körpers.Dann heißt

pxL

sein Drehimpuls.Die Summe aller Drehimpulse eines Systems wird mit Gesamtdrehimpuls bezeichnet.

Drehimpulserhaltung:Der Sachverhalt, dass sich der Gesamtdrehimpuls eines Systems in der Zeit nichtändert, also eine Erhaltungsgröße ist, wird mit Drehimpulserhaltung bezeichnet.

0i

iii xmx 0

iiii

xmx

dtd

Dies bedeutet, dass sich die Größe

im Zeitablauf nicht ändert.

i

iii xmx

Für das Auffinden der dritten Erhaltungsgröße kehren wir zur Planetenbewegung Erde-Sonne zurück:

VO

EmSm

Ex

Sx

SF

EF

)(

)(

3

3

ESES

SESSS

ESES

SEEEE

xxxxmmGFxm

xxxxmmGFxm

Die Bewegungsgleichungen lauten:

)(

)(

3

3

ESES

SESS

ESES

SEEE

xxxxmmGxm

xxxxmmGxm

Die Bewegungsgleichungen:

Trick:

Skalarmultiplikation der Bewegungsgleichungen mit der jeweiligen Geschwindigkeit.

EE xx

SS xx

)()(

3 SEESES

SE

SSSEEE

xxxxxxmmG

xxmxxm

Addition beider Gleichungen ergibt:

Behauptung: bei obigen Termen handelt es sich um die Zeitableitung folgender

(jedem Physiker bekannter) Funktionen:

ES

SESSEE

xxmm

Gdtdxm

dtdxm

dtd

2

2

22

Beweis:

EEEEE xxmxm

dtd

2

21

2

2

Zweiter Term: analog

Erster Term:

ES xxdtd

1

Dritte Term:

)()(

3 SEESES

SE

SSSEEE

xxxxxxmmG

xxmxxm

Nochmals die ursprüngliche Gleichung zum Vergleichen:

)()(13 SEES

ES

xxxxxx

21

2)( ES xxdtd

)()(2)(21

23

2ESESES xxxxxx

Definition:Sei x der Ortsvektor, x die Geschwindigkeit und m die Masse eines Körpers.Dann heißt

2kinxmE

seine kinetische Energie.

Energieerhaltung:Der Sachverhalt, dass sich die Gesamtenergie eines Systems in der Zeit nichtändert, also eine Erhaltungsgröße ist, wird mit Energieerhaltung bezeichnet.

im Zeitablauf nicht ändert. Sie erhält in der Physik den Namen Energie des Systems Erde-Sonne.

ES

SESSEE

xxmm

Gxmxm

22

22

Ergebnis vorheriger Überlegung ist, dass sich die Größe

Die beiden ersten Terme heißen kinetische Energie oder Bewegungsenergie der Erde bzw. Sonne, da sie von der Geschwindigkeit der Körper abhängt. Der dritte Term heißt potentielle Energie des Systems Erde-Sonne.

Zusammenfassung:

Wir haben nun, ausgehend von den Newtonschen Axiomen 3 Erhaltungsgrößen abgeleitet. In der folgenden Zusammenfassung beschränke ich mich auf zwei Körper, also auf ein so genanntes Zweikörperproblem:

Zwei Körper befinden sich im ansonsten freien Raum. Dann kann man ihnen drei Größen zuordnen, welche im Zeitablauf konstant bleiben:

Impuls:2211gesamt xmxmP

Drehimpuls: 222111gesamt xmxxmxL

Energie:ES

SESSEE

xxmm

Gxmxm

E

22

22

gesamt

Nun betrachten wir ein

Beispiel zur Energieerhaltung im freien Fall:Der Klippenspringer

Modellierung des Klippenspringers:

Em

Km

Ex

Kx

VOze

Rh

Die Gravitationskraft der Erde auf den Klippenspringer beträgt:

z2K ehRmm

GF KE

Das realistische Maximum eines Klippensprungs liegt mit Sicherheit unter 50m. Der Erdradius beträgt 6370 km. Der Abstand R + h kann also mit R ersetzt werden.

z2EK

K eRmm

GF

g:

zK g em

Damit:

z2E

K eRm

Gm

Jeder kennt aus den Schulbüchern folgende Formel:

bleibterhalten wobei, 2 gesamtK

2KK

gesamt Ehgmxm

E

Dies scheint im Widerspruch zu unserer Erhaltungsgröße zu stehen, welche lautet:

hgmxmxm

E 22 K

2EE

2KK

gesamt

Falls die Formel aus den Schulbüchern richtig ist, muss die kinetische Energie der Erde im Vergleich der übrigen Terme zumindest verschwindend klein sein.

Die Richtigkeit dieser Vermutung wird im Folgendem mittels der Impulserhaltung gezeigt. Danach gilt:

EKgesamt PPP

Die Geschwindigkeiten beider Körper sind am Beginn unserer Betrachtung gleich Null. Daher ist der Gesamtimpuls zu Beginn gleich Null. Da er seinen Wert behält, gilt zu jedem Zeitpunkt:

0gesamt P

KE PP

Quadrieren der Gleichung ergibt:2K

2K

2E

2E xmxm

Wird nun die Gleichung durch 2 dividiert, so erhält man:Em

22

2EK

E

K2EE xm

mmxm

Die Erde hat eine Masse von 6*10^24kg. Angenommen der Klippenspringer wiegt 80 kg, so ergibt sich für den Faktor:

22

E

K 10

mm

Und für obige Gleichung:

ingerKlippensprkin 22

Erdekin 10 EE Die kinetische Energie der Erde kann also in der Tat vernachlässigt werden. Damit erhält unser Energiesatz die endgültige Form:

hgmxm

E 2 K

2KK

gesamt

Abschließend diskutieren wir die

Energie und Impulserhaltung bei der Pendelkette:

„Eine Kugel fliegt rein, eine Kugel fliegt raus.“

Allg. Behauptung: Dies ist eine Folge von Energie-Impulserhaltung!

Im Folgenden werden wir diese Aussage überprüfen.

Wir beginnen mit zwei Kugeln:

Der Einfachheit halber reduzieren wir die Pendelkette auf einen eindimensionalen Stoß mit Kugeln gleicher Masse:

1v

2v

0

2m1m

1v 2v 0mm

gesuchtgegeben

Wir haben also:

1v 2v 0Vorher:

1n ? 2n ?Danach:

Energieerhaltung:

Impulserhaltung: 2222

22

21

22

21 mnmnmvmv

22

21

22

21 nnvv

2121 mnmnmvmv 2121 nnvv

Wir haben zwei Gleichungen und zwei Unbekannte. Die Geschwindigkeiten nach dem Stoß sind also eindeutig bestimmt.

Ergebnis:

121 ,0 vnn Stimmt mit Aussage überein

gegeben gesucht

Nun betrachten wir drei Kugeln:

1v2v 0 3v 0

Energie- und Impulserhaltung:

321321

23

22

21

23

22

21

nnnvvv

nnnvvv

Wir haben nun zwei Gleichungen und drei Unbekannte. Die Geschwindigkeiten nach dem Stoß sind nicht mehr eindeutig. Es gibt unendlich viele Lösungen.

Warum aber beobachten wir im Experiment immer nur die eine Lösung:

„Eine Kugel fliegt rein, eine Kugel fliegt raus.“

Fragen, die sich stellen:

• Ist unser Modell brauchbar, wenn es keine eindeutige Lösung gibt?

• Haben wir etwas übersehen, sodass unser Modell im allg. doch brauchbar ist?

Frage:

Was glaubt ihr, wie viel Platz ein Stoß von zwei Kugeln braucht?

Gibt es auch andere Lösungen, wenn die Kugeln keinen Abstand zueinander haben?