erros de truncamento e séries de taylor
DESCRIPTION
Slide referente a Séries de Taylor e Erro de TruncamentoTRANSCRIPT
![Page 1: Erros de Truncamento e Séries de Taylor](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051018/563dbb96550346aa9aae7d6a/html5/thumbnails/1.jpg)
UFRN
Universidade Federal do Rio Grande do Norte Escola de Ciências e Tecnologia
Erros de Truncamento e Séries de Taylor
ECT1303 – Computação Numérica 2014.1
![Page 2: Erros de Truncamento e Séries de Taylor](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051018/563dbb96550346aa9aae7d6a/html5/thumbnails/2.jpg)
• Manter o telefone celular sempre desligado/silencioso quando estiver em sala de aula;
• Nunca atender o celular na sala de aula.
![Page 3: Erros de Truncamento e Séries de Taylor](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051018/563dbb96550346aa9aae7d6a/html5/thumbnails/3.jpg)
Erros de Truncamento
Sua calculadora ou computador usa um polinômio de Taylor com muitos termos, suficientes para a precisão desejada!
Calculadoras e computadores só realizam operações aritméticas básicas.
Você já parou para pensar como sua calculadora calcula e0,03 ou sin (1,23) ???
![Page 4: Erros de Truncamento e Séries de Taylor](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051018/563dbb96550346aa9aae7d6a/html5/thumbnails/4.jpg)
Erros de Truncamento
Erros de truncamento surgem quando aproximações são usadas no lugar de um
procedimento matemático exato.
Todos os métodos numéricos são baseados em aproximações de funções
por polinômios.
![Page 5: Erros de Truncamento e Séries de Taylor](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051018/563dbb96550346aa9aae7d6a/html5/thumbnails/5.jpg)
Série de Taylor
Para analisar os erros de truncamento, utiliza-se uma
formulação matemática que é amplamente usada nos métodos numéricos para expressar uma função de forma aproximada –
a Série de Taylor.
![Page 6: Erros de Truncamento e Séries de Taylor](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051018/563dbb96550346aa9aae7d6a/html5/thumbnails/6.jpg)
Série de Taylor
A Série de Taylor prevê o valor da função em um ponto em termos do valor da função e suas
derivadas em outro ponto.
Observação: Válido para qualquer função lisa!
![Page 7: Erros de Truncamento e Séries de Taylor](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051018/563dbb96550346aa9aae7d6a/html5/thumbnails/7.jpg)
Construindo a Série de Taylor
• Seja x um ponto qualquer próximo de x0
• O polinômio de grau 0 (zero) que fornece a melhor aproximação de f(x) em torno de x0 é:
• Essa relação é chamada de aproximação de ordem zero.
• Quais as conseqüências dessa aproximação?
f (x) f (x0)
primeiro termo na série
![Page 8: Erros de Truncamento e Séries de Taylor](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051018/563dbb96550346aa9aae7d6a/html5/thumbnails/8.jpg)
Construindo a Série de Taylor
• Usando uma aproximação de primeira ordem (polinômio de grau 1), temos:
• Aproximação por uma reta com inclinação f ’(x0).
f (x) f (x0) f (x0)(x x0)
segundo termo na série
![Page 9: Erros de Truncamento e Séries de Taylor](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051018/563dbb96550346aa9aae7d6a/html5/thumbnails/9.jpg)
Construindo a Série de Taylor
• Um termo de segunda ordem é adicionado para capturar alguma curvatura que a função possa apresentar:
f (x) f (x0) f (x0)(x x0)f (x0)
2!(x x0)2
terceiro termo na série
![Page 10: Erros de Truncamento e Séries de Taylor](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051018/563dbb96550346aa9aae7d6a/html5/thumbnails/10.jpg)
Construindo a Série de Taylor
• E assim sucessivamente até se obter a expansão completa em série de Taylor:
• O resto (erro) representa todos os termos de n+1 até infinito:
onde ξ é um ponto entre x0 e x.
n
nn
Rxxn
xfxx
xf
xxxf
xxxfxfxf
)(!
)()(
!3
)(
)(!2
)())(()()(
00
)(3
00
2
00
000
Rn f (n1)()
(n 1)!(x x0)n1
![Page 11: Erros de Truncamento e Séries de Taylor](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051018/563dbb96550346aa9aae7d6a/html5/thumbnails/11.jpg)
Construindo a Série de Taylor
• A série de Taylor pode ser simplificada definindo um tamanho de passo h = x – x0:
e
n
nn
Rhn
xfh
xf
hxf
hxfxfxf
!
)(
!3
)(
!2
)()()()(
0
)(30
2000
Rn f (n1)()
(n 1)!hn1
![Page 12: Erros de Truncamento e Séries de Taylor](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051018/563dbb96550346aa9aae7d6a/html5/thumbnails/12.jpg)
Exemplo
Use expansões em séries de Taylor de ordem zero até ordem quatro para aproximar a função
em x = 1 a partir de x0 = 0.
![Page 13: Erros de Truncamento e Séries de Taylor](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051018/563dbb96550346aa9aae7d6a/html5/thumbnails/13.jpg)
Solução
• Temos f(0) = 1,2 e queremos encontrar f(1) = 0,2.
• A aproximação em série de Taylor com n = 0 é
• Com erro de truncamento de
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
f (x) 1,2
Et 0,21,2 1,0
![Page 14: Erros de Truncamento e Séries de Taylor](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051018/563dbb96550346aa9aae7d6a/html5/thumbnails/14.jpg)
Solução
• Para n = 1, a primeira derivada é calculada em x = 0:
• A aproximação de primeira ordem é
• Com erro de truncamento de
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
f (0) 0,4(0,0)3 0,45(0,0)2 1,0(0,0)0,25 0,25
f (x) 1,20,25h
Et 0,20,95 0,75
![Page 15: Erros de Truncamento e Séries de Taylor](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051018/563dbb96550346aa9aae7d6a/html5/thumbnails/15.jpg)
Solução
• Para n = 2, a segunda derivada é calculada em x = 0:
• A aproximação de segunda ordem é
• Com erro de truncamento
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
f (0) 1,2(0,0)2 0,9(0,0)1,0 1,0
f (x) 1,20,25h 1,0
2h2
Et 0,20,45 0,25
![Page 16: Erros de Truncamento e Séries de Taylor](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051018/563dbb96550346aa9aae7d6a/html5/thumbnails/16.jpg)
Solução
• A inclusão da terceira e quarta derivadas resulta exatamente na mesma equação do começo:
• Onde o resto é
f (x) 0,1h4 0,15h3 0,5h2 0,25h 1,2
R4 f (5)()
5!h5 0
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
![Page 17: Erros de Truncamento e Séries de Taylor](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051018/563dbb96550346aa9aae7d6a/html5/thumbnails/17.jpg)
Considerações
• Em geral, a expansão em Série de Taylor de ordem n será exata para um polinômio de grau n.
• E para outras funções diferenciáveis como exponenciais, senóides?
• Quantos termos são necessários para chegar “suficientemente próximo” do valor exato?
• A equação do erro de truncamento é extremamente útil para comparar o erro de métodos numéricos baseados na expansão em Séries de Taylor.
![Page 18: Erros de Truncamento e Séries de Taylor](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051018/563dbb96550346aa9aae7d6a/html5/thumbnails/18.jpg)
Resto
• A forma geral do resto segue a seguinte equação:
• Essa expressão apresenta 2 problemas:
– ξ não é conhecido exatamente, simplesmente está em algum lugar entre xi e xi+1.
– É necessário conhecer f(x) para se calcular a (n+1)-ésima derivada de f(x). Entretanto, se f(x) fosse conhecida, não se precisaria fazer a expansão em Série de Taylor.
1)1(
)!1(
)(
n
n
n hn
fR
![Page 19: Erros de Truncamento e Séries de Taylor](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051018/563dbb96550346aa9aae7d6a/html5/thumbnails/19.jpg)
Resto
![Page 20: Erros de Truncamento e Séries de Taylor](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051018/563dbb96550346aa9aae7d6a/html5/thumbnails/20.jpg)
Resto
![Page 21: Erros de Truncamento e Séries de Taylor](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051018/563dbb96550346aa9aae7d6a/html5/thumbnails/21.jpg)
Conclusões
• Em geral, pode-se supor que o erro de truncamento diminui com a adição de termos na série de Taylor;
• Em muitos casos, se h for suficientemente pequeno, o primeiro e alguns outros termos da série diminuem consideravelmente o erro;
• Assim, conclui-se que poucos termos são necessários para se obter uma estimativa adequada.
![Page 22: Erros de Truncamento e Séries de Taylor](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051018/563dbb96550346aa9aae7d6a/html5/thumbnails/22.jpg)
Atividade
Use expansões em séries de Taylor com n = 0 até 6 para aproximar f(x) = cos(x) em x = π/3 com base no valor de f(x) e suas derivadas em x0 = π/4.
Compare a variação que ocorre no erro de truncamento.