FUNÇÃO QUADRÁTICA

Definição:

Uma função quadrática é uma função definida por

são números reais.

- O domínio de uma função quadrática é o conjunto dos números reais.- O gráfico de uma função quadrática é uma parábola.

1. ESTUDO DA FUNÇÃO

Construa-se o gráfico da função

Nota: Esta função deverá ser visualizada na máquina de calcular.

Vamos fazer agora o estudo da função, tendo em conta a sua representação geométrica.

Domínio: (como aliás já tinha sido dito na definição);

Contradomínio: ;

Zeros: 0;

Sinal da função: f é não negativa em todo o seu domínio, ou seja, em ;

Monotonia: f é decrescente no intervalo f é crescente no intervalo ;

x-3 9-2 4-1 10 01 12 43 9

1

Extremos: A função tem um mínimo em 0;

Injectividade: A função é não injectiva, pois existem objectos diferentes que têm a mesma imagem,

Por exemplo: f(1)=1 e f(-1)=1 ;

Paridade: A função é par, pois,

Eixo de simetria: O eixo de simetria é (uma vez que é par);

Vértice da parábola: (0,0);

Concavidade: Voltada para cima.

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Vamos agora fazer o estudo dos vários casos de funções quadráticas.

1º CASO: GRÁFICO DA FUNÇÃO

(a) Consideremos as seguintes funções em que a>0:

h(x)=2

Vamos representar graficamente estas três funções:

Conclusões: Verificamos que nestas três funções o que varia é a abertura da parábola,

mantendo--se todas as outras características. Então podemos concluir que quanto maior é o valor de a, mais fechada é parábola.

(b) Consideremos agora as funções em que a<0:

Voltemos novamente a representá-las geometricamente:

Conclusões:Verificamos que o que varia nestas três funções é novamente a abertura da parábola.

Neste caso, quanto menor é o valor de a, mais fechada é a parábola. Em relação às funções consideradas em (a) já vão variar outras características.

3

Registemos num quadro as principais características da função do tipo :

a<0

À medida que a diminui, a abertura também diminui

a>0

À medida que a aumenta, a abertura diminui

Concavidade voltada para baixo voltada para cima Domínio

Contradomínio =

Monotonia crescente decrescente

crescente decrescente

Zeros 0 0Extremos máximo absoluto: 0

maximizante: 0mínimo absoluto: 0

minimizante: 0Vértice (0,0) (0,0)

Eixo de simetria eixo de equação eixo de equação Sinal não positiva em não negativa em

2º CASO: GRÁFICO DA FUNÇÃO

Consideremos as funções:

Geometricamente temos:

Conclusões: A abertura das parábolas é a mesma, assim como a concavidade (a é o mesmo); Houve uma translação vertical nas funções h e g em relação a f; A função g sofreu uma translação associada ao vector (0,-2); A função h sofreu uma translação associada ao vector (0,2); Os vértices vão passar a ser: - em h (0,2)

4

- em g (0,-2) Os eixos de simetria são os mesmos, ou seja, a recta ; Os extremos vão mudar: - em g temos um mínimo -2 - em h temos um mínimo 2 O contradomínio também vai sofrer alterações: - - Zeros: Neste caso poderemos ter 0, 1 ou 2 zeros:

Sintetizando:

Concavi-dade

voltada para cima voltada para cima voltada para baixo voltada para baixo

Domínio

Contra-domínio

Monotoniadecrescente:

crescente:

decrescente:crescente:

decrescente:

crescente:

decrescente:

crescente:Zeros não tem e e não temExtremos mínimo absoluto: k

minimizante: 0mínimo absoluto: k minimizante: 0

máximo absoluto: k maximizante: 0

máximo absoluto: k maximizante: 0

Vértice (0,k) (0,k) (0,k) (0,k)Eixo de simetria

eixo de equação eixo de equação

eixo de equação eixo de equação

Sinal positiva em positiva:

negativa:

positiva: negativa: negativa em

Exercício 1:Determina os zeros, analiticamente, das funções f, g e h anteriormente definidas:

Resolução:f(x)

(1 zero) (2 zeros)

Equação impossível (nenhum zero)

Exercício 2:Escreve na forma as funções que têm a seguinte representação gráfica:

5

(a) (b)

Resolução:

(a) Temos que , logo vem

Resta determinar a. Como o ponto (2,4) pertence à parábola, ele verifica a equação:

Então a equação da função é dada por .

(b) Temos que , logo vem

Resta determinar a. Como o ponto (2,0) pertence à parábola, ele verifica a equação:

Então a equação da função é dada por .

Exercício 3:

Seja f uma função quadrática definida por . Indica as coordenadas do

vértice, o contradomínio e os intervalos de monotonia.

Resolução:

Como então as coordenadas do vértice são .

O contradomínio é o intervalo .

A função é decrescente no intervalo e crescente no intervalo .

3º CASO: GRÁFICO DA FUNÇÃO

A partir do gráfico da função , constrói os gráficos das seguintes funções:

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Conclusões:Obtivemos os gráficos das funções g e h através de uma translação horizontal,

segundo o vector (h,0). Vamos ter alterações nos zeros, nas coordenadas do vértice, o eixo de simetria e na monotonia.

Sintetizando:a>0 a<0

Concavidade voltada para cima voltada para baixo

DomínioContradomínio

Monotoniadecrescente:

crescente: decrescente: crescente:

Zeros h h

Extremosmínimo absoluto: 0

minimizante: hmáximo absoluto: 0

maximizante: hVértice (h,0) (h,0)

Eixo de simetria recta de equação recta de equação Sinal não negativa em não positiva em

Exercício: Sem efectuar cálculos faz um possível esboço do gráfico de cada uma das funções:

(a) (b) (c)

Resolução:

(a) v = (0;2,5) (b) v = (0;-4)

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(d) v = (3,0)

4º CASO: GRÁFICO DA FUNÇÃO

Consideremos a função . Que transformações devem ser feitas ao gráfico da função para obter o

gráfico da função f ?

1º) Passar de para :

8

2º) Passar de para :

Vamos deslocar o gráfico segundo uma translação associada ao vector (-1,0).

3º) Passar de para :

Vamos deslocar o gráfico segundo uma translação associada ao vector (0,-3).

Conclusões: Obtemos o gráfico de f através de uma translação do gráfico da função ,

associada ao vector (-1,3).

Sintetizando:

a>0 a<0Concavidade voltada para cima voltada para baixo

DomínioContradomínio

Monotonia crescente em decrescente em

crescente em decrescente em

Extremos mínimo absoluto: k máximo absoluto: k

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minimizante: h maximizante: hVértice

Eixo de simetria recta de equação recta de equação

Exercício:Sem efectuar cálculos faz um possível esboço do gráfico da seguinte função:

2)3x(5x

Resolução:v = (-3,0)

Em termos de representação gráfica temos o seguinte:

1º CASO: GRÁFICO DA FUNÇÃO Qualquer função do tipo tem gráfico resultante do de , variando apenas a abertura da parábola.

2º CASO: GRÁFICO DA FUNÇÃO O gráfico de funções do tipo resulta do de por uma translação vertical associada ao vector (0,k).

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3º CASO: GRÁFICO DA FUNÇÃO Qualquer função definida por uma expressão do tipo tem gráfico resultante do de

por uma translação associada ao vector (h,0).

4º CASO: GRÁFICO DA FUNÇÃO Qualquer função definida por uma expressão do tipo , tem um gráfico resultante do de por translação associada ao vector (h,k).

Exemplo: Sem representar graficamente a função

indica as suas principais características.

Resolução: Domínio: ; Contradomínio: ; Concavidade: voltada para baixo, uma vez que ; Monotonia: crescente ; decrescente ; Vértice: (3,1); Máximo absoluto: 1 maximizante: 3

COMO PASSAR DE PARA ?

Consideremos a seguinte função:

Teremos que construir um caso notável:

A função f representa uma parábola com a concavidade voltada para cima , vértice no ponto (2,-4) e eixo de simetria .

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Exercício:Dadas as funções g e h, passa à forma , indicando o vértice de cada uma delas: (a) (b)

Resolução:

(a)

31

31x3

2

O vértice tem coordenadas .

(b)

149

49x3x2 2

O vértice tem coordenadas .

Exercícios :

1) Para cada par de funções, descreve como podes obter o gráfico da segunda partindo

do gráfico da primeira:

1.1) ;

1.2) ;

Resolução:

1.1) O gráfico da função terá que sofrer uma translação segundo o vector (-5,0).

1.2) Primeiro, o gráfico da função terá que ser invertido em relação ao eixo ,

depois terá que sofrer uma translação associada ao vector (-2,3).

2) Escreve a expressão que define a função quadrática tal que:

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(a) o vértice da parábola é (-1,4) e ;

(c) o vértice da parábola é (-3,1) e um dos zeros é

Resolução:

(a) A expressão será do tipo .Temos que e

logo virá

(c) k)hx(ay 2 , e

Logo temos

Como um dos seus zeros é 3 então o ponto (3,0) pertence à parábola, substituindo

vem

Temos então

1)3x(61y 2

3) Considera a família de funções .

3.1) Sabendo que , o que podes dizer acerca dos intervalos de monotonia da

função?

3.2) Considerando e determina o contradomínio da função.

3.3) Indica um intervalo onde a função seja injectiva.

Resolução:

3.1) Como , a função é do tipo . Logo o que irá fazer

variar a função é o valor de a.

Então:

- se , a função é

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- se , a função é

3.2)

3.3) Por exemplo o intervalo

4) Escreve uma expressão analítica para as funções quadráticas representadas

graficamente:

4.1) 4.2)

Resolução:

4.1) O vértice tem coordenadas (0,3), logo . Vem então . Resta determinar a. Como o ponto (-2,0) é um ponto da parábola, então verifica a equação:

Vem então

4.2) O vértice tem coordenadas (2,0), logo . Vem então . Resta determinar a. Como o ponto (0,4) é um ponto da parábola, então verifica a equação:

Vem então

ESTUDO DO GRÁFICO DE A PARTIR DE E DE

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Já vimos a importância do valor a, pois além de nos indicar a abertura da parábola, também nos permite concluir se a concavidade da parábola está voltada para cima ou para baixo, mediante a>0 ou a<0, respectivamente.

Outro parâmetro importante para o estudo do gráfico de uma função é , ou seja, o binómio discriminante.

Ao analisarmos o valor de , ficamos a conhecer o número de raízes da função, podendo ser 0, 1 ou 2.

Então,não existem raízes

existe uma raiz,

existem duas raízes, (fórmula resolvente)

Conhecendo a e podemos localizar o gráfico da função em relação ao eixo horizontal e posteriormente saber o sinal da função.

(2 raízes) (1 raiz dupla) (não há raízes)

a>0

Função positiva

Função negativa

Função positiva Função sempre positiva

a<0

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Função positiva

Função negativaFunção negativa Função sempre

negativa

Exemplos:

(a) Consideremos a função definida por . A função representa uma parábola de concavidade voltada para cima .

- Zeros

Logo a função tem dois zeros.

Determinemo-los:

Para fazermos um esboço da parábola um pouco mais rigoroso, é necessário determinar as coordenadas do vértice. Como a parábola é simétrica relativamente ao seu eixo de simetria (que é a recta vertical que passa pelo vértice), o eixo fica equidistante das suas raízes. Logo a abcissa do vértice é dado por:

Como o vértice é um ponto da parábola, para determinarmos a sua ordenada, basta substituirmos na equação por 1,

Temos então que o vértice tem coordenadas (1,-1). O eixo de simetria é a recta de equação . Já estamos então em condições de traçar um esboço do gráfico:

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- Domínio ; - Contradomínio: ;- Monotonia: crescente em ; decrescente em ;- Sinal:

positiva em e ;

negativa em

(b) E se considerarmos a função definida por ?

- A concavidade é voltada para cima.

- Zeros: Será que existem?

Logo não existem zeros.

Como determinar o vértice e o eixo de simetria?A maneira mais simples será construir um caso notável e escrever a equação na forma

.

Logo o vértice tem coordenadas (-2,1) e o eixo de simetria é a recta de equação .

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Exercício:Considere as funções quadráticas definidas como se segue:

;

1) Determine os zeros e estude o sinal da função f;2) Represente graficamente a função f. Indique as coordenadas do vértice da parábola, o contradomínio e intervalos de monotonia da função;3) Repita as alíneas anteriores para a função h.

Resolução:

1) Zeros:

Logo tem dois zeros

Determinemos os zeros:

Como a concavidade é voltada para cima, vem que: - a função é positiva e em ; - a função é negativa em

2) Determinemos as coordenadas do vértice:

Logo

Então as coordenadas do vértice são (3,-1).

Temos a seguinte representação geométrica:

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Contradomínio: ;Monotonia: crescente em ; decrescente em

3) Zeros: Logo não tem zeros.

Como , a concavidade é voltada para baixo, logo a função é sempre negativa.Para representar graficamente a função, será necessário determinar as coordenadas do seu vértice.

Logo o vértice tem coordenadas (1,-4).

Temos a seguinte representação geométrica:

Contradomínio: ;Monotonia: crescente em ; decrescente em

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APLICAÇÕES DO ESTUDO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA

INEQUAÇÕES DO 2º GRAU

O estudo que foi feito até aqui da função quadrática irá ser usado agora na resolução de inequações do 2º grau.

Problema: Para iluminar uma operação de salvamento lança-se um “very light” cuja altura h em relação ao nível do mar é dada aproximadamente pela lei

(h em metros, t em segundos)

A luz só é útil desde que o “very light” esteja a 4m ou mais acima do mar. Quanto tempo dura a luz útil de cada foguete?

Resolução:Queremos os valores de t para os quais , ou seja,

Queremos saber para que valores de , a função é positiva ou nula (não negativa), logo teremos que estudar o sinal da função.

- (tem concavidade voltada para baixo);

- logo a função tem dois zeros.

- Zeros:

A função é positiva no intervalo das raízes, ou seja, de -1 a 6. No entanto, neste problema

só interessa quando t>0, pelo que a luz é útil do instante 0 a 6, ou seja durante 6 segundos.

Exercícios:

20

Resolva, em , as inequações:

1) 2)

3) 4)

Resolução:

1)

c.s.:

2)

logo tem 2 zeros.

Determinemos os zeros:

c.s.:

3)

logo não tem zeros.

c.s.:

4)

Como a<0 temos que c.s.:

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Exercício:Determina o domínio da cada uma das seguintes funções f, definidas por:

(a) (b) (para trabalho de casa)(c) (para trabalho de casa)

Resolução:

(a)

C.A.

Então

(b)

C.A.

Impossível em , ou seja, a função não tem zeros.

(c)

C.A.

Então

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PROBLEMAS DE APLICAÇÃO

Um agricultor comprou 6 metros de rede para fazer um galinheiro rectangular. Para optimizar o empate de capital feito na compra da rede, pretende que o galinheiro tenha área máxima. Ajude o agricultor a resolver o problema, seguindo os passos que a seguir se indicam:

1) Exprime l em função de c; 2) Exprime a área A do galinheiro em função de c;3) Determina o valor de c para o qual a área é máxima e o correspondente valor de l.

Resolução:

1) e além disso . Logo

2) , como , vem

3) Queremos determinar o máximo da função

Como a , a<0, a concavidade será voltada para baixo, logo o máximo corresponde à abcissa do vértice da parábola.

Determinemos os zeros:

Então

A área é máxima quando m.Determinemos o valor e l correspondente:

EXERCÍCIO 1: Uma bola é lançada verticalmente ao ar, com uma velocidade inicial de 20m/s. A altura da bola, em metros, no tempo t, é dada aproximadamente pela fórmula

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1) Quanto tempo a bola se manteve no ar?

2) Qual é a atura máxima atingida pela bola?

3) Determina o intervalo de tempo em que a altura era superior a 0,5m.

4) A que altura foi lançada a bola?

RESOLUÇÃO:

1) Façamos um breve estudo da função para esboçar o gráfico:

, a<0, logo a concavidade é voltada para baixo.

Zeros: , 2 zeros

Determinemo-los:

A bola mantém-se no ar aproximadamente 4,02 segundos.

2) Determinar a altura máxima é determinar :

Logo

A altura máxima é de 20,5m.

3) Queremos determinar t, tal que

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C.A. 0)20t5(t 4t0t

A altura é superior a 0,5m no intervalo .

4) A bola foi lançada no instante , logo

A bola foi lançada a uma altura de 0,5m.EXERCÍCIO 2:

Uma bola atirada de baixo para cima, na vertical, atinge a altura h, em metros, dada por

ao fim de t segundos.

1) Qual é a altura máxima atingida pela bola e o tempo gasto nesse percurso?

2) Qual é a altura da bola ao fim de 2 segundos?

3) Em que instante atinge a bola o solo?

4) Em que instantes é a altura atingida pela bola superior a 5 metros?

RESOLUÇÃO:

1) Queremos determinar a altura máxima, ou seja, . Determinemos primeiro os zeros da função:

Então

logo

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Conclui-se então que o tempo gasto é de 3 segundos.

2)

A altura ao fim de 2 segundos é de 10 metros.

3) A bola atinge o solo no instante .

4) Queremos determinar o intervalo de tempo tal que

C.A.

Então a altura atingida pela bola é superior a 5 metros no intervalo de tempo .

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FUNÇÕES DEFINIDAS POR RAMOS

Consideremos a seguinte função módulo

que pode ser definida por

Geometricamente temos

Exemplo: Consideremos agora a seguinte representação gráfica:

Se quisermos determinar a sua expressão analítica, verificamos que não conseguimos definir a função em todo o seu domínio, com apenas uma expressão analítica. Determinemos primeiro a expressão analítica das duas rectas e consideremos os pontos , , e .

Para a recta AB:

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-

- Como o ponto A pertence à recta então verifica a equação, logo vem

Então temos

Para a recta CD:

-

Logo . Obtemos então .

Resta determinar a ordenada na origem:

Como o ponto C pertence à recta, então verifica a equação

Temos então

A recta AB não está definida em , mas apenas no intervalo , enquanto que a recta CD está definida no intervalo . Então a expressão analítica da função é dada por:

ou equivalentemente

EXERCÍCIOS

1. Considera a função

(a) Determina analiticamente os zeros da função h;(b) Calcula , e ;(c) Representa graficamente a função h.

2. Na figura está representado o gráfico da função g.

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(a) Indica o domínio, contradomínio e intervalos de monotonia;(b) Define a função g analiticamente.

RESOLUÇÃO

1. (a) Queremos determinar os valores de x tais que :

O único zero da função é -1, pois o segundo ramo da função não está definido em 0 nem em -1.

(b)

(c)

2. (a) Intervalos de monotonia: crescente constante

(b)

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Determinemos: - a equação reduzida da recta oblíqua

O ponto pertence à recta, logo verifica a equação

Logo a equação reduzida da recta é dada por .

- a equação da parábola O vértice tem coordenadas , logo temos

Determinemos a. Como o ponto pertence à parábola, então verifica a equação logo

Vem então .

A função g é definida por

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