Escola Politécnica de PernambucoDepartamento de Ensino Básico

Capítulo 09

Ajuste de Curvas, Regressão e Correlação

Prof. Sérgio Mário Lins Galdino

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Agenda

Ajuste de curvas;

Regressão;

O método dos mínimos quadrados;

A linha mínimos quadrados;

A linha mínimos quadrados em termos da variância amostral e covariância;

Agenda

Desvio Padrão da Estimativa;

O Coeficiente de Correlação Linear;

Coeficiente de Correlação Generalizado;

Correlação e Dependência;

Ajuste de curvas

A determinação de equações de curvas que se ajustem a determinados conjuntos de dados observados é chamado de Ajustamento de Curvas.

Ajuste de curvas

Pode-se fazer uma análise da seguinte forma:

• coleta-se os dados de duas variáveis. Por exemplo, x e y, a altura e peso de um grupo de pessoas, , respectivamente.

•traça-se um gráfico dos pontos (X1,Y1), (X2,Y2)....(Xn,Yn) em um sistema de coordenadas retangulares. O conjunto resultante é conhecido como diagrama de dispersão. Com esse diagrama pode-se visualizar uma curva aproximativa de dados ( curva de ajuste).

Ajuste de curvas

Relação linear entre variáveis

Relação linear não linear

Ajuste de curvas

Não existe relação

Regressão

Um dos objetivos do ajustamento é estimar uma das variáveis (V. D.) em função da outra (V. I.). Esse processo é conhecido como regressão (y(x) versus x) .

A equação e a curva de regressão de x sobre y ocorre quando a variável x é estimado em função de y (x(y) versus y) .

Método dos mínimos quadrados

De todas curvas que se aproximam de determinados conjuntos de pontos, a curva que atende a propriedade :

d₁2 + d₂2 + ......+dn2 = mínimo

Obs: o dn corresponde a diferença entre o valor e o valor ajustado pela curva nY

nY

Método dos mínimos quadrados

dn = desvio, erro ou resíduoC = melhor curva ajustadora

A linha de mínimos quadrados

A reta de mínimos quadrados aproxima o conjunto de pontos (xi , yi), tem a equação

onde a e b são determinadas pela solução das equações normais para linha de mínimos quadrados

xbay

2xbxaxy

xbnay

A linha de mínimos quadrados

Os valores de a e b são

22

22

2

xxn

yxyxnb

xxn

yxxxya

A linha de mínimos quadrados

O valores b pode ser reescrito como:

onde

2

xx

yyxxb

n

xx

xbyaxbay

A linha passando pelo centróide

A reta de mínimos quadrados passa pelo ponto , chamado centróide (centro de gravidade dos dados).

Ou a linha de regressão de x sobre y

yx,

xx

xx

yyxxyy

2

yy

yy

yyxxxx

2

Exemplo

Altura do Pai (x)(polegadas)

65 63 67 64 68 62 70 66 68 67 69 71

Altura do Filho (y) (polegadas)

68 66 68 65 69 66 68 65 71 67 68 70

Exemplo

x y x2 xy y2

65 68 4225 4420 4624

63 66 3969 4158 4356

67 68 4489 4556 4624

64 65 4096 4160 4225

68 69 4624 4692 4761

62 66 3844 4092 4356

70 68 4900 4760 4624

66 65 4356 4290 4225

68 71 4624 4828 5041

67 67 4489 4489 4489

69 68 4761 4692 4624

71 70 5041 4970 4900

x = 800 y = 811 x2 = 53.418

xy = 54.107

y2 = 54.849

a= 35.82 e b= 0.476

y = 35.82 + 0.476.x

A linha mínimos quadrados em termos da variância amostral e covariância

As variâncias e covariâncias amostrais de x e y são dadas por

É definido o coeficiente de correlação amostral como:

Então a equação da reta de regressão de mínimos quadrados de y sobre x:

Desvio Padrão da Estimativa

A medida da dispersão em torno de uma curva de regressão é dado por:

Como verificamos que a curva de mínimos quadrados é a que apresenta o menor desvio padrão de estimativa dentre as curvas de regressão.

Coeficiente de correlação linear

O coeficiente pode ser definido como:

: variação explicada ( os desvios tendem a um padrão definido pela reta de regressão de mínimos quadrados).

: variação total

Coeficiente de correlação linear

O r é a medida de quão bem a reta de regressão de mínimos quadrados se ajusta aos dados. Assim r2=1 é definido como correlação linear perfeita. Se r2=0 a variação total é toda não explicada.

Observação: ‘r’ estar entre 0 e 1.

Coeficiente de Correlação Generalizado

O coeficiente pode ser definido como:

: variação explicada

: variação total

Mede quão bem uma curva de regressão não-linear se ajusta aos dados = Coeficiente de Correlação Generalizado

Exemplo

Encontre o coeficiente de determinação e o coeficiente de correlação linear do exemplo acima.

Relembrando que o coeficiente de determinação é r2:

O coeficiente de correlação é r:

4938.092.38

22.19

totalvariação

explicadavariação2 r

7027.04938.0 r

Correlação e Dependência

• Sempre que duas variáveis x e y tem coeficiente de correlação diferente de 0, ela são dependentes ( sentido probabilístico).

• Nem sempre essa correlação representa uma interdependência causal direta.

• Exemplo 1 : altura e peso→ interdependência direta

• Exemplo 2: salário e criminalidade → Interdependência

indireta.