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Escuela Matemática de América Latina y el Caribe2010
Solución Numérica de EDP, Introducción alMétodo de Elemento Finito
Dr. L. Héctor Juárez V.
Villahermosa, Tabasco02 al 13 de agosto de 2010
Índice1. Problemas elípticos unidimensionales 2
1.1. Problema modelo (Sturm–Liouville) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Existencia y unicidad de soluciones. Comportamiento asintótico . . . . . . . 41.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2. Formulación variacional del problema unidimensional. 82.1. Problema de minimización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2. Derivación del problema variacional de la ecuación diferencial . . . . . . . . 92.3. Aproximaciones de Ritz–Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3. El método de elemento finito en el problema unidimensional 123.1. Construcción de las funciones base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2. Aproximación del problema variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.3. Propiedades de la matriz de rigidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.4. Algunos cálculos prácticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4. Problema multidimensional elíptico. 194.1. Problema modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.2. Formulación variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
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4.3. Problema de minimización asociado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.4. El problema de Neumann puro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5. El método de elemento finito en el problema bidimensional 245.1. Discretización del dominio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.2. Construcción de las funciones base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.3. Aproximación del problema variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.4. Propiedades de la matriz de rigidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325.5. Aspectos prácticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6. Extensión a problemas parabólicos 376.1. Problema modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386.2. Formulación variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386.3. Aproximación por medio del método de elemento finito . . . . . . . . . . . . 396.4. Solución del sistema de EDO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406.5. Análisis de estabilidad de los métodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426.6. Análisis de estabilidad por medio de métodos de energía . . . . . . . . . . . 446.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1. Problemas elípticos unidimensionalesObjetivo: Introducir el método de elemento finito y las matemáticas asociadasal método. En una dimensión la construcción de los elementos es más simple ynatural, además la manipulación matemática es directa y simple. Por lo tanto,comenzaremos con el caso de problemas unidimensionales y después extendere-mos los resultados a problemas en dos dimensiones.
1.1. Problema modelo (Sturm–Liouville)
Calcular u = u(x) tal que
− d
dx
(p(x)
du
dx
)+ q(x)u = f(x), 0 < x < L, (1.1)
u(0) = 0, (1.2)du
dx(L) = 0. (1.3)
A la condición (1.2) se le denomina condición de frontera de tipo Dirichlet ó esencial, mien-tras que a la condición (1.3) se le denomina condición de frontera de tipo Neumann ó natural.Podemos considerar q(x) = 0 en (1.1), sin pérdida de generalidad.
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Notación. Con el objeto de simplificar la notación escribiremos indistintamente
u ′ = ux ≡ du
dx.
A continuación presentamos dos ejemplos de aplicación en donde aparece un problemade Sturm–Liouville del tipo (1.1)–(1.3).
Ejemplo 1. Barra elástica sujeta a una carga. Consideremos una barra unidimensionalde longitud L sujeta a una carga tangencial de intensidad f, como se ilustra en la Figura 1.
Figura 1: Barra elástica de longitud L sometida a una intensidad de carga f .
Denotamos por:
σ (x), la tracción en x debido a la intensidad de carga f .
u (x), el desplazamiento en x debido a la intensidad de carga f .
k (x), el módulo de elasticidad. Si k (x) = constante, el material es homogéneo.
Suponiendo que el material de la barra es elástico lineal y que los desplazamientos u(x) sonpequeños, se tiene
σ(x) = k(x)u ′(x), (Ley de Hooke)−σ ′(x) = f(x), (Ecuación de equilibrio)
u(0) = u ′(L) = 0. (Condición de frontera)
Eliminando σ, obtenemos la ecuación diferencial
− d
dx
(k(x)
du
dx
)= f(x), 0 < x < L, (1.4)
u(0) = u ′(L) = 0. (1.5)
Ejemplo 2. Conducción de calor en una barra. Consideremos el problema de la con-ducción de calor en una barra de longitud L, sujeta a una fuente de calor de intensidad f .Denotamos por:
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u(x), la temperatura de la barra en la posición x debida a la fuente de calor f .
q(x), la cantidad de calor en x debida a la fuente de calor f .
k(x), el coeficiente de conductividad térmica.
Suponiendo que el extremo derecho de la barra se aísla térmicamente y que el extremoizquierdo se mantiene a una temperatura constante cero, se tiene
−q(x) = k(x)u ′(x), (Ley de Fourier)q ′(x) = f(x), (Conservación de calor)u (0) = u ′(L) = 0. (Condiciones de frontera)
Eliminando q, obtenemos la ecuación diferencial
− d
dx
(k(x)
du
dx
)= f(x), 0 < x < L, (1.6)
u(0) = u ′(L) = 0. (1.7)
1.2. Existencia y unicidad de soluciones. Comportamiento asintóti-co
Introducimos el operador
L .= − d
dx
(p(x)
d
dx
). (1.8)
Estamos interesados en analizar el problema
Lu = f, (1.9)u(0) = u ′(L) = 0. (1.10)
Problema fundamental: ¿Para qué clase de funciones f hay una solución u?
En primer término intentaremos obtener los espacios de funciones adecuados o espaciosde funciones admisibles. El conocer los espacios de funciones admisibles es de importanciafundamental para estudiar los principios variacionales así como los métodos de aproximación.Una posible elección específica es admitir funciones f con “energía finita”, es decir quesatisfacen ∫ L
0
f(x)2 dx < ∞. (f , potencial de carga) (1.11)
Por ejemplo, cualquier función suave por tramos es admisible. La función δ de Dirac no seadmite (descartamos las cargas puntuales de intensidad infinita). Denotamos por L2(Ω) aeste conjunto de funciones admisibles, donde Ω = (0, L). Para que la ecuación diferencial(1.9)–(1.10) tenga solución se requiere que
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1. p(x) ≥ p0 > 0.
2. u, u ′ y u′′ tengan “energía finita”.
Denotamos por H2(Ω) a este espacio de funciones. Entonces la solución de la ecuacióndiferencial se encuentra en el espacio
V =v ∈ H2 (Ω) : v (0) = 0
. (1.12)
Teorema. El operador L : V → L2(Ω) transforma biunívocamente V sobre L2(Ω). Por lotanto, para cada f ∈ L2(Ω), existe una única solución u ∈ V. Además la solución dependecontinuamente de los datos, es decir pequeñas perturbaciones en el dato f producen pequeñasperturbaciones en la solución u.
Para explicar la dependencia continua entre f y u, observamos que estas funciones sedeben medir bajo normas distintas:
∥f∥0 =(∫ L
0
f(x)2dx
)1/2
, (1.13)
y
∥u∥2 =(∫ L
0
[u(x)2 + u ′(x)2 + u′′(x)2
]dx
)1/2
. (1.14)
Entonces la dependencia continua de la solución respecto de los datos puede expresarseen forma cuantitativa de la siguiente manera
∥u∥2 ≤ C ∥f∥0 . (1.15)
Unicidad de la solución. La estimaciones del tipo (1.15) constituyen uno de los aspectosfundamentales de la teoría moderna de las ecuaciones diferenciales. Por ejemplo, utilizan-do esta estimación podemos probar unicidad de soluciones en forma inmediata, ya que sisuponemos que u1 y u2 son soluciones de la ecuación diferencial, entonces u = u1 − u2 essolución de
Lu = 0,
u(0) = u ′(1) = 0,
y en consecuencia∥u∥ ≤ C∥0∥0 = 0.
Es decir u1 = u2.
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Funciones propias del operador diferencial. Para continuar con el análisis de las solu-ciones de la ecuación, primero construimos una solución. La clave consiste en encontrar lasfunciones propias y los valores propios del operador L. Para simplificar la exposición haremosla suposición de que p(x) = p es constante. En este caso las funciones propias son
un(x) =
√2
Lsen
(π
L
(n− 1
2
)x
), n = 1, 2, . . . ,∞. (1.16)
Es fácil verificar que estas funciones satisfacen (1.10). Por otro lado, los valores propios λn,asociados a las funciones un, satisfacen
Lun = λnun,
o bien−p u′′
n(x) = λn un(x).
De (1.16) y de esta última condición es fácil obtener
λn = pπ2
L2
(n− 1
2
)2
. (1.17)
Ortogonalidad de las funciones propias. Las funciones propias un∞n=1 constituyen unconjunto ortonormal de funciones bajo el producto escalar usual en L2 (Ω). Se puede verificarque
⟨un, um⟩ =∫ L
0
un(x)um(x) dx = 0, ∀ m, n con m = n,
y que⟨un, un⟩ = 1, ∀ n.
Es decir⟨un, um⟩ = δmn. (1.18)
Construcción de la solución. Para construir la solución de (1.9)–(1.10) expresamos eldato f como combinación lineal de las funciones propias. Es decir, escribimos
f(x) =∞∑n=1
an un(x) =∞∑n=1
an
√2
Lsen
(π
L
(n− 1
2
)x
), (1.19)
para algunas constantes an, n = 1, . . . , ∞. Estas constantes deben satisfacer
∥f∥20 =∫ L
0
f(x)2 dx =∞∑n=1
a2n < ∞, (1.20)
para que f ∈ L2(Ω).
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Nota. Aparentemente hay una paradoja en la definición de f , puesto que uno podría pensarque dado que un(0) = u ′
n(L) = 0, para toda n = 1, 2, . . ., entonces, en (1.19), f(0) = f ′(L) =0. Sin embargo, independientemente de que f satisfaga condiciones de frontera espurias ono, su expresión (1.19) es solamente válida en el sentido de mínimos cuadrados. Es decir∫ L
0
[f(x)−
N∑n=1
an un(x)
]2
dx → 0 cuando N → ∞. (1.21)
Podemos pensar que las condiciones “a la frontera” de f , heredadas de las funciones propiasun, son inestables y desaparecen tan pronto como N → ∞.
Tomando en cuenta las anteriores consideraciones, podemos construir la solución delproblema modelo (1.9)–(1.10) mediante la suma infinita
u(x) =∞∑n=1
anλn
un(x) =L2
π2
∞∑n=1
an un(x)
p (n− 1/2)2, (1.22)
en donde
an =
∫ L
0
f(x)un(x) dx. (1.23)
Se puede verificar directamente (a partir de (1.22)) que
∥u∥22 ≤
[1 +
(2L
π
)2
+
(2L
π
)4]
p2∥f∥20 . (1.24)
Por lo tanto, se satisface (1.15) con
c =
√1 +
(2L
π
)2
+
(2L
π
)4
p.
Pregunta. ¿Porqué entonces u (x) satisface las condiciones de frontera (1.10), mientras quef(x) no las satisface, siendo que ambas tienen expansiones en términos de las funcionespropias un (x)?
Respuesta. Porque
uN(x) =L2
π2
N∑n=1
an un(x)
p (n− 1/2)2
converge en sentido más fuerte. Es decir
∥u− uN (x)∥2 → 0 cuando N → ∞,
mientras que fN (x) =∑N
n=1 anun (x) no converge a f(x) en la norma ∥·∥2, sino sólo en lanorma ∥·∥0, como ya hemos comentado anteriormente.
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1.3. Ejercicios
Ejercicio 1.1. Verificar que las funciones propias un, (1.16), y los valores propios λn,(1.17), satisfacen Lun = λn un.
Ejercicio 1.2. Verificar la ortonormalidad, (1.18), de las funciones propias un.
Ejercicio 1.3. Verificar que (1.22) es solución del problema (1.9)–(1.10).
Ejercicio 1.4. Verificar la desigualdad (1.24).
2. Formulación variacional del problema unidimensional.El problema (1.9)–(1.10) está relacionado con la minimización del siguiente funcional
cuadrático (también llamado funcional de energía).
J(v) =1
2
∫ L
0
p (vx)2 dx−
∫ L
0
f v dx. (2.1)
El primer término del lado derecho describe la energía potencial total asociada al “desplaza-miento” v. El segundo término está relacionado con el potencial de carga f .
2.1. Problema de minimización
J(v) tiene un mínimo u sólo sí la primera derivada (o primera variación) de J es cero enu. Es decir J(v) tiene un mínimo u si
d
dϵJ(u+ ϵv) |ϵ=0 = lım
ϵ→0
J(u+ ϵv)− J(u)
ϵ= 0, ∀ v ∈ V. (2.2)
Obsérvese que
J(u+ ϵv) =1
2
∫ L
0
p (u+ ϵv)2x dx−∫ L
0
f(u+ ϵv) dx
=1
2
∫ L
0
p u2x dx+ ϵ
∫ L
0
p ux vx dx+ϵ2
2
∫ L
0
p v2x dx−∫ L
0
f u dx− ϵ
∫ L
0
f v dx
= J(u) + ϵ
∫ L
0
p ux vx dx−∫ L
0
f v dx
+
ϵ2
2
∫ L
0
p v2x dx.
Entonces
lımϵ→0
J(u+ ϵv)− J(u)
ϵ=
∫ L
0
p ux vx dx−∫ L
0
f v dx, ∀ v ∈ V.
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Por lo tanto, u ∈ V es un mínimo de J(v) sí∫ L
0
p ux vx dx =
∫ L
0
f v dx, ∀ v ∈ V. (2.3)
A este último problema se le conoce como el problema variacional asociado a la ecuacióndiferencial, y su solución u es la función en la cual la variación del funcional J es mínima. Elproblema de minimización del funcional (2.1) corresponde al principio de mínima energíapotencial en mecánica, mientras que el problema variacional (2.3) corresponde al principiode trabajo virtual.
2.2. Derivación del problema variacional de la ecuación diferencial
Es posible derivar también el problema variacional (2.3) directamente de la ecuación difer-encial (1.9)–(1.10). El procedimiento consiste en escoger una función de prueba v, conocidatambién como función de desplazamiento virtual . Multiplicando la ecuación diferencial(1.9) por esta función e integrando, se obtiene
−∫ L
0
(p ux)x v dx =
∫ L
0
f v dx, ∀ v ∈ V,
y al hacer integración por partes en el lado izquierdo, se obtiene
−p ux v|x=Lx=0 +
∫ L
0
p ux vx dx =
∫ L
0
f v dx, ∀ v ∈ V.
El término de frontera desaparece debido a que ux(L) = 0 y v(0) = 0, obteniendo el problemavariacional (2.3). A este problema variacional también se le conoce como forma débil o deGalerkin de la ecuación diferencial. La equivalencia de ecuaciones diferenciales con problemasvariacionales es básica para la elección del esquema computacional. Por ejemplo,
La ecuación diferencial (1.9) puede aproximarse por medio de diferencias finitas.
El problema variacional (2.3) se puede aproximar por medio de un método de Galerkin,como veremos un poco más adelante.
En muchas aplicaciones el principio físico primario es el variacional. En tales aplicacionesel problema fundamental es de minimización y es el que debe ser aproximado. Obsérveseque en el problema de minimización del funcional (2.1) o en el problema variacional (2.3)no intervienen derivadas segundas de las funciones, como sucede en el caso de la ecuacióndiferencial (1.9). En tales casos solo se requiere que ux tenga energía finita, y no es necesarioque uxx ∈ L2(Ω).
Obsérvese que sí p(x) es acotada en 0 ≤ x ≤ L, y si además tanto u como v se escogenen el espacio
V =v ∈ H1(Ω) : v(0) = 0
, (2.4)
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entonces ∣∣∣∣∫ L
0
p ux vx dx
∣∣∣∣ ≤ P
∣∣∣∣∫ L
0
ux vx dx
∣∣∣∣ ≤ P ∥ux∥0 ∥vx∥0 < ∞,
donde P = max0≤x≤L
|p(x)|. Por lo tanto el problema variacional (2.3) se define en forma natural
sobre el espacio de funciones (2.4). Es por esta razón que al problema variacional también sele conoce como el problema débil asociado a la ecuación diferencial, pues la función pruebay la solución se buscan en un espacio de funciones (2.4), el cual es más amplio pero confunciones menos suaves o regulares que el espacio de funciones (1.12).
Esta última observación tiene consecuencias prácticas (computacionales) importantes,ya que podemos escoger funciones que sean continuas, pero lineales por tramos (las cualesciertamente pertenecen a H1
0 (Ω)), con el objeto de buscar soluciones del problema variacional,en lugar de buscar funciones en H2(Ω). Ciertos tipos de funciones continuas lineales portramos, como las funciones polinomiales a trozos, son fáciles de construir, y su primeraderivada tiene energía finita.
Para el espacio de Hilbert (2.4), el producto escalar y su norma correspondiente se definenpor
⟨u, v⟩1 =∫ L
0
[u(x) v(x) + u ′(x) v ′(x)] dx, (2.5)
∥v∥1 =(∫ L
0
[v(x)2 + v ′(x)2
]dx
)1/2
. (2.6)
2.3. Aproximaciones de Ritz–Galerkin
El problema variacional consiste en encontrar
u ∈ V =v ∈ H1(Ω) : v(0) = 0
,
tal que ∫ L
0
p ux vx dx =
∫ L
0
f v dx, ∀ v ∈ V. (2.7)
Dos propiedades del espacio de funciones V que juegan un papel crucial en las aproximacionesdel problema variacional (2.7) son:
1. V es un espacio vectorial lineal de funciones.
2. V es un espacio de dimensión infinita.
Por ejemplo, las funciones propias un (x), n = 1, 2, . . . , definidas en (1.16), pertenecen a V ygeneran V . En realidad, no es necesario tener funciones tan suaves como las trigonométricas.Es suficiente con cualquier conjunto de funciones base φn∞n=1 con una derivada generalizadaen Ω = (0, L) y que se anulen en x = 0. Estas funciones, para que formen una base de V ,
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deben ser linealmente independientes. Además, toda v ∈ V se debe poder expresar comocombinación lineal de la forma
v =∞∑i=1
αi φi, αi ∈ R.
Si tomamos un número finito de términos en esta serie, digamos N , obtenemos una aproxi-mación v
Na v, definida por
vN(x) =
N∑i=1
αi φi(x). (2.8)
Las N funciones base φ1, φ2, . . . , φN generan un subespacio N–dimensional de V que
denotaremos por VN . El método de Garlekin consiste en buscar una solución aproximadau
Ndel problema variacional:Encontrar u
N∈ VN tal que∫ L
0
p u ′Nv ′ dx =
∫ L
0
f v dx, ∀ v ∈ VN . (2.9)
Se ha utilizado la notación u ′N
= d uN/dx y v ′ = d v/dx. Como VN es un espacio de fun-
ciones de dimensión finita generado por φiNi=1, entonces el problema (2.9) es equivalente alsiguiente problema:
Encontrar uN∈ VN tal que∫ L
0
p u ′Nφ ′i dx =
∫ L
0
f φi dx, i = 1, 2, . . . , N.
Si además α1, α2, . . . , αNson las constates tales que
uN(x) =
N∑j=1
αj φj(x), (2.10)
entonces este problema es, a su vez, equivalente al problema:Encontrar los coeficientes α1 , α2 , . . . , αN
tales que
N∑j=1
(∫ L
0
pφ ′i φ
′j dx
)αj =
∫ L
0
f φi dx, i = 1, 2, . . . , N.
Este problema constituye un sistema de ecuaciones que podemos escribir en la forma
Kα = F, (2.11)
en donde los coeficientes del vector α son las incógnitas αiNi=1, y los coeficientes de la matrizK y el vector F son
Kij =
∫ L
0
pφ ′i φ
′j dx y Fi =
∫ L
0
f φi dx, 1 ≤ i, j ≤ N,
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respectivamente. A la matriz K se le conoce como matriz de rigidez del problema, y alvector F como el vector de carga. Estos nombres provienen de la mecánica de estructuras,en donde primero se utilizaron estos métodos de aproximación. La matriz K es simétrica y,debido a que p(x) ≥ p0 > 0, la matriz también es definida positiva, lo cual implica que esinvertible. Por lo tanto, el sistema de ecuaciones (2.11) tiene solución única.
La calidad de la aproximación está completamente determinada por la elección de lasfunciones base φiNi=1, y el número N de ellas. Una vez que estas funciones base se han es-cogido, la determinación de los coeficientes αj (grados de libertad del problema aproximado)es un problema computacional, que consiste en la solución de un sistema de ecuaciones. Esposible verificar que la aproximación u
Nes el elemento en VN que mejor aproxima a u, pues
⟨u− uN, v⟩ = 0, ∀ v ∈ VN , (2.12)
debido a la ortogonalidad de las funciones base φi.
2.4. Ejercicios
Ejercicio 2.1. Escribe el funcional de minimización J(v) asociado con el problema (1.9)–(1.10). Escribe el correspondiente problema variacional.
Ejercicio 2.2. Demuestra que cualquier solución de la ecuación diferencial (1.9)–(1.10) essolución del problema variacional (2.7). Sin embargo, no toda solución del problema varia-cional es solución de la ecuación diferencial. Intenta explicar por qué e indica cuál es lacondición adicional para que la solución del problema variacional también sea solución de laecuación diferencial.
Ejercicio 2.3. Explica en que consiste el método de Galerkin para resolver el problemavariacional (2.7). Demuestra que la matriz de rigidez K es definida positiva si p(x) ≥ p0 > 0para toda x.
Ejercicio 2.4. Demuestra la igualdad (2.12). Utiliza esa propiedad para demostrar que uN
es el elemento en VN que mejor aproxima a u.
3. El método de elemento finito en el problema unidi-mensional
El método de elemento finito proporciona un técnica particular, además de sistemáti-ca, para construir funciones base φiNi=1 en la aproximación de Ritz–Galerkin de problemascon valores a la frontera. La idea principal detrás del método de elemento finito consiste endefinir las funciones base φi como funciones polinomiales por tramos, sobre subregionesdel dominio llamadas elementos finitos. En esta sección mostraremos la construcción del
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elemento finito más simple para resolver problemas unidimensionales, el cual consiste defunciones polinomiales lineales por tramos (elemento de Lagrange de primer orden).
3.1. Construcción de las funciones base
Dividimos la región Ω = (0, L) en un número finito de elementos. En el caso unidimen-sional estos elementos son subintervalos Ωi = (xi−1, xi), i = 1, 2, . . . , N . La Figura 2 ilustrael caso de cuatro elementos (N=4).
x = Lx = 0 x x x2 31 40
h hh1 2 3 h4
Ω Ω Ω Ω21 3 4
Figura 2: Malla unidimensional en el intervalo [0, L].
Se definen x0 = 0 y x4 = L, y se introducen los puntos intermedios x1, x2, x3. Los puntosx0, x1, x2, x3, x4 se denominan los nodos (o puntos nodales) de la malla, y los subintervalosΩ1, Ω2, Ω3, Ω4 se denominan los elementos de la malla. Sea hi = xi−xi−1, i = 1, . . . , 4 lalongitud del elemento Ωi, entonces
nodos + elementos = malla de elemento finito.
El tamaño de la malla se define por h = max1≤i≤4
hi.
Las funciones base φiNi=1, que se utilizan en el método de elemento finito, usualmentese construyen tomando en cuenta los siguientes criterios:
1. Son funciones polinomiales simples definidas por tramos, es decir definidas elementopor elemento sobre la malla.
2. Son funciones que pertenecen a H1 (Ω), es decir son funciones cuadrado integrables conderivada generalizada también cuadrado integrable.
3. Son funciones que se escogen de tal manera que los coeficientes αi en (2.10) sean igualesa u
N(xi) para 1 ≤ i ≤ N .
Las funciones sombrero, (“hat functions” por su nombre en inglés, ó también cono-cidas como “chapeau functions”), satisfacen estos criterios. Estas funciones son funcioneslineales (polinomios de grado 1) en cada elemento y se definen de la siguiente manera
φi (x) =
x− xi−1
hi
si xi−1 ≤ x ≤ xi,
xi+1 − x
hi+1
si xi ≤ x ≤ xi+1,
0 en otro caso,
(3.1)
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para i = 1, 2, . . . , N − 1. Para i = 0 e i = N se definen por
φ0 (x) =
x1 − x
h1
si x0 ≤ x ≤ x1,
0 en otro caso.(3.2)
φN(x) =
x− x
N−1
hN
si xN−1
≤ x ≤ xN,
0 en otro caso.(3.3)
Estas funciones se ilustran en la Figura 3, para el caso N = 4. Claramente estas funciones
Figura 3: Funciones sombrero
satisfacen el primer criterio. Para verificar que satisfacen el segundo criterio debemos verificarque φi (x) y φ ′
i (x) son cuadrado integrables. Esto se muestra a continuación∫ L
0
[φi (x)]2 dx =
1
3(hi + hi+1) < ∞, i = 1, . . . , N − 1. (3.4)
14
Para los casos i = 0 e i = N se obtiene solamente h1/3 y hN/3, respectivamente. Por otro
lado, para 1 ≤ i ≤ N − 1, la derivada de φi es
φ ′i (x) =
1
hi
si xi−1 < x < xi,
− 1
hi+1
si xi < x < xi+1,
0si x < xi−1 ó x > xi+1.
Obsérvese que para cada φi su derivada, en sentido clásico, no está definida en los nodos,pero si son cuadrado integrales, pues∫ L
0
[φ ′i (x)]
2dx =
∫ xi
xi−1
(1
hi
)2
dx+
∫ xi+1
xi
(1
hi+1
)2
dx =1
hi
+1
hi+1
< ∞, (3.5)
para i = 1, . . . , N−1. Para los casos i = 0 e i = N se obtiene 1/h1 y 1/hN, respectivamente.
Se concluye que, dado que las integrales son finitas y que las funciones φi (x), i =0, . . . , N son continuas, entonces ellas pertenecen al espacio de funciones H1 (Ω). Finalmenteverificaremos el criterio 3. Por construcción de las funciones sombrero se tiene
φi (xj) = δij. (3.6)
Por lo tanto, en (2.10) se obtiene
uN(xj) =
N∑i=1
αiφi (xj) =N∑i=1
αiδij = αj.
3.2. Aproximación del problema variacional
Para aproximar el problema variacional (2.7), consideramos el espacio de dimensión finitaVh, que es subespacio de V , definido por
Vh =vh ∈ C (Ω) : vh|Ωe
∈ P1 (Ωe) , e = 1, . . . , N, vh (0) = 0. (3.7)
Éste es el conjunto de funciones continuas vh definidas en Ω = (0, L) y que al restringirlasa cada elemento Ωe, son polinomios de grado uno, además de que satisfacen la condición detipo Dirichlet vh (0) = 0. Este espacio es de dimensión finita y está generado por
Vh = gen φ1, φ2, . . . , φN .
Obsérvese que hemos excluido φ0 del conjunto generador de Vh, para forzar la condición detipo Dirichlet vh(0) = 0. El problema variacional discreto asociado es:
15
Calcular uh ∈ Vh tal que∫ L
0
pduh
dx
dvhdx
dx =
∫ L
0
f vh dx, ∀ vh ∈ Vh. (3.8)
Este problema es equivalente al problema:Calcular uh ∈ Vh tal que∫ L
0
pduh
dx
φi
dxdx =
∫ L
0
f φi dx, ∀ i = 1, 2, . . . , N.
Además uh se puede escribir como
uh (x) =N∑j=1
uj φj (x) , (3.9)
donde uj denota uh(xj). Sustituyendo en la ecuación integral anterior, se obtiene que elproblema variacional discreto es equivalente al siguiente problema aproximado:
Calcular u1, u2, . . ., uNtales que
N∑j=1
(∫ L
0
pφ ′i φ
′j dx
)uj =
∫ L
0
f φi (x) dx, ∀ i = 1, 2, . . . , N. (3.10)
Éste es un sistema de ecuacionesKU = F, (3.11)
en donde la matriz de rigidez K y el vector de carga F, del elemento lineal de Lagrange, seconstruyen con las funciones sombrero φiNi=1 (3.1)–(3.3). El vector solución U del sistema(3.11) contiene los coeficientes uj, 1 ≤ j ≤ N , a partir de los cuales se obtiene la solucióndiscreta uh (3.9).
3.3. Propiedades de la matriz de rigidez
La matriz de rigidez K en (3.11) posee algunas propiedades importantes desde el puntode vista computacional:
1. Sumabilidad. Ésta es la propiedad más importante cuando se utiliza el método deelemento finito. La sumabilidad consiste en que los coeficientes Kij pueden calcularsecomo una suma de contribuciones en cada elemento, es decir
Kij =
∫ L
0
pφ ′i φ
′j dx =
N∑e=1
∫Ωe
pφ ′i φ
′jdx =
N∑e=1
Keij, (3.12)
dondeKe
ij =
∫Ωe
pφ ′i φ
′j dx.
16
En forma análoga se obtiene
Fi =N∑e=1
F ei , con F e
i =
∫Ωe
f φi dx. (3.13)
La sumabilidad cobra una mayor importancia en problemas bidimensionales y tridi-mensionales, en donde realmente ayuda a simplificar el proceso de cálculo de K y F,así como el proceso de su almacenamiento en la memoria de la computadora.
2. Escasez de coeficientes no cero. La mayoría de los coeficientes Kij en la matriz derigidez son cero, debido a que
φ ′i (x) φ
′j (x) = 0 solo sí j = i− 1, i, i+ 1.
Por lo tanto,
Kij =
∫ L
0
pφ ′i φ
′j dx = 0,
sólo cuando j = i− 1, i, i+ 1. Entonces K es una matriz tridiagonal, de la forma
K =
K11 K12 0K21 K22 K23
. . . . . .KN−1,N−2 KN−1,N−1 KN−1,N
0 KN−1,N KN,N
El hecho de que la matriz de rigidez sea rala o “sparse”, es decir que la inmensa mayoríade sus coeficientes son cero, es una característica común de las matrices que aparecen enla discretización de problemas modelados por ecuaciones diferenciales cuando se utilizael método de elemento finito. Otros métodos de discretización, como los métodos dediferencias finitas y volumen finito, también producen matrices ralas. También existenmétodos de aproximación que producen matrices densas, como por ejemplo métodos deaproximacion con funciones radiales (radial basis functions, por su nombre en inglés).
3. Simetría. Como ya hemos visto anteriormente, la matriz K es simétrica, es decirKij = Kji. Esta propiedad no está asociada a las funciones base, ni con el método deaproximación utilizado, sino con el problema variacional de la ecuación diferencial. Esdecir, el operador diferencial asociado al problema es autoadjunto.
3.4. Algunos cálculos prácticos
En esta sección calculamos los coeficientes (3.12) de la matriz de rigidez K y los coefi-cientes (3.13) del vector de carga F. Utilizando la propiedad de que Kij = 0 sólo si j = i−1,j = i o j = i+ 1, se obtiene
Ki,i−1 =
∫ L
0
p (x) φ ′i (x) φ
′i−1 (x) dx = − 1
h2i
∫ xi
xi−1
p (x) dx, (3.14)
17
para i = 2, . . . , N . Análogamente
Kii =
∫ L
0
p (x) [φ ′i (x)]
2dx =
1
h2i
∫ xi
xi−1
p (x) dx+1
h2i+1
∫ xi+1
xi
p (x) dx, (3.15)
para i = 1, . . . , N . Por simetría de K y analogía con (3.14), se obtiene
Ki,i+1 = − 1
h2i+1
∫ xi+1
xi
p (x) dx, (3.16)
para i = 1, . . . , N − 1. Por otro lado
Fi =
∫ L
0
f(x)φi(x) dx =
∫ xi
xi−1
f(x)φi(x) dx+
∫ xi+1
xi
f(x)φi(x) dx, (3.17)
para i = 1, . . . , N .
Las integrales resultantes en (3.14)–(3.17), cuando no se puedan calcular en forma exacta,se pueden aproximar mediante la regla del trapecio:∫ b
a
f(x) dx ≈ b− a
2f(a) + f(b) .
Introduciendo las notaciones pi = p (xi) y fi = f (xi) y aplicando la regla del trapecio,obtenemos
Ki, i−1 ≈ −pi−1 + pi2hi
i =2, . . . , N. (3.18)
Kii ≈ pi−1 + pi2hi
+pi + pi+1
2hi+1
i =1, . . . , N. (3.19)
Ki,i+1 ≈ −pi + pi+1
2hi+1
i =1, . . . , N − 1. (3.20)
Fi ≈ hi + hi+1
2fi i =1, . . . , N. (3.21)
El cálculo aproximado de las integrales no degrada el resultado final de la aproximación,debido a que el error de integración numérica es del mismo orden que el que resulta de laaproximación con el método de elemento finito. Se puede probar que este error de aproxi-mación es O (h2), en donde h = max
1≤i≤Nhi es el tamaño de la malla.
Un caso muy frecuente se presenta cuando p (x) = p0 = constante y hi = h, para todai = 1, . . . , N (malla uniforme). En este caso las fórmulas para el cálculo de los coeficientesde la matriz de rigidez y del vector de carga se simplifica, obteniendo
Ki,i =2p0h
, Ki,i−1 = Ki,i+1 = −p0h, Fi = h fi.
18
Por lo tanto, la matriz de rigidez y el vector de carga, en este caso especial, son de la forma
K =p0h
2 −1 0
−1 2 −1. . . . . .
−1 2 −10 −1 2
y F = h
f(x1)f(x2)
...f(x
N−1)
f(xN)
Las integrales también se pueden aproximar utilizando la regla del punto medio∫ b
a
f (x) dx ≈ (b− a) f
(a+ b
2
).
En este caso, los coeficientes son
Ki,i−1 = − 1
hi
p(xi−1/2
), Kii =
1
hi
p(xi−1/2
)+
1
hi+1
p(xi+1/2
),
Ki,i+1 = − 1
hi+1
p(xi+1/2
), Fi =
hi
2f(xi−1/2
)+
hi+1
2f(xi+1/2
),
en dondexi−1/2 =
xi−1 + xi
2, xi+1/2 =
xi + xi+1
2.
3.5. Ejercicios
Ejercicio 3.1. El método de elemento finito es un método particular de tipo Galerkin pararesolver ecuaciones diferenciales. Explica cuál es la idea principal detrás del método de ele-mento finito.
Ejercicio 3.2. Escribir las propiedades principales de las funciones sombrero.
Ejercicio 3.3. Verificar las propiedades (3.4), (3.5), (3.6).
Ejercicio 3.4. Indicar cuáles son las propiedades de la matriz de rigidez obtenida con elelemento lineal de Lagrange.
Ejercicio 3.5. Verificar las aproximaciones (3.18) a (3.21).
4. Problema multidimensional elíptico.
4.1. Problema modelo
Considérese una región Ω en Rd, con d = 2 o 3, la cual es abierta y conexa, y cuyafrontera es la unión de dos porciones ∂Ω = Γ0 ∪ Γ1. La porción Γ0 es la parte de la frontera
19
donde se imponen condiciones de frontera de tipo Dirichlet (también llamadas esenciales),y la porción Γ1 es la parte de la frontera donde se imponen condiciones de frontera de tipoNeumann (también llamadas naturales), como se ilustra en la Figura 4. Denotamos por nla normal unitaria exterior a la frontera ∂Ω, y por x = (x1, . . . , xd) a cualquier punto enΩ = Ω
∪∂Ω.
Figura 4: a) Dominio del problema, b) frontera que lo delimita
Consideremos el siguiente problema elíptico:Encontrar u = u (x) tal que
−∇ · (a∇u) = f en Ω, (4.1)
sujeta a las condiciones de frontera
Dirichlet: u = g0 sobre Γ0, (4.2)
Neumann: a∂u
∂n= g1 sobre Γ1, (4.3)
en donde a y f son funciones que dependen de x y están definidas sobre Ω, mientras queg0, g1 están definidas sobre Γ0 y Γ1, respectivamente. En (4.3), ∂u/∂n indica la derivadadireccional de u en la dirección de la normal exterior n, es decir
∂u
∂n= ∇u · n. (4.4)
En el problema elíptico (4.1)–(4.3) el coeficiente de difusión a(x) se entenderá como unafunción escalar, pero en algunos problemas sobre medios anisotrópicos puede manejarse comouna matriz A (x) = aij (x)1≤i, j≤d. Supondremos que existen constantes a0 y M tales que
0 < a0 ≤ a (x) ≤ M, ∀x ∈ Ω. (4.5)
Obsérvese que para el caso en que el coeficiente de difusión sea una constante a (mediohomogéneo), la ecuación (4.1) se reduce a la ecuación de Laplace
−a∇2u = f en Ω.
20
4.2. Formulación variacional
Al igual que el caso unidimensional, es conveniente introducir una función de prueba vsuficientemente suave y que, de preferencia, pertenezca a un espacio de Hilbert, además deanularse en la frontera Dirichlet Γ0. Multiplicando la ecuación (4.1) por una función de estetipo e integrando sobre Ω, se obtiene
−∫Ω
∇ · (a∇u) v dx =
∫Ω
f v dx, (4.6)
en donde dx = dx1 · · · dxd (la integración es múltiple). Utilizando la identidad vectorial∇ · (a∇u v) = ∇ · (a∇u) v + a∇u · ∇v, la ecuación se puede reescribir en la forma∫
Ω
a∇u · ∇v dx =
∫Ω
f v dx+
∫Ω
∇ · (a∇u v) dx.
Utilizando el teorema de la divergencia (Gauss)∫Ω
∇ · F dx =
∫∂Ω
F · n dΓ,
con F = a∇u v , la ecuación anterior resulta en∫Ω
a∇u · ∇v dx =
∫Ω
f v dx+
∫∂Ω
(a∇u v) · n dΓ.
La integral de frontera en esta última expresión se puede simplificar debido a que ∂Ω =Γ0 ∪ Γ1, la función de prueba satisface v = 0 sobre Γ0, y a que la solución u debe satisfacer∂u/∂n = g1 sobre Γ1. Por lo tanto,∫
Ω
a∇u · ∇v dx =
∫Ω
f v dx+
∫Γ1
g1 v dΓ.
Se observa que tanto u como v deben tener al menos una derivada generalizada para que lasintegral del lado izquierdo tenga sentido. Por lo tanto, basta con escoger como espacio defunciones prueba al conjunto
V0 =v ∈ H1 (Ω) : v = 0 sobre Γ0
, (4.7)
mientras que la solución la buscaremos en el espacio afín
Vg =v ∈ H1 (Ω) : v = g0 sobre Γ0
. (4.8)
Luego, el problema variacional asociado a (4.1)–(4.3) se puede formular de la siguientemanera:
Encontrar v ∈ Vg, tal que∫Ω
a∇u · ∇v dx =
∫Ω
f v dx+
∫Γ1
g1 v dΓ, ∀ v ∈ V0. (4.9)
21
En torno a este problema se tiene el siguiente resultado:
Sí los problemas (4.1)–(4.3) y (4.9) tienen solución, entonces ésta tiene que serúnica .
Demostración: Si u1 y u2 son dos soluciones de (4.9), entonces u = u1 − u2 satisface∫Ω
a∇u · ∇v dx = 0, ∀v ∈ V0.
Puesto que, en particular, u ∈ V0, entonces tomando v = u en la última ecuación, se obtiene:∫Ω
a |∇ u|2 dx = 0.
Esta última igualdad y (4.5) implican que |∇u| = 0, es decir u es constante. Sin embargo,u = 0 sobre Γ0 por lo que se debe satisfacer u1 = u2.
4.3. Problema de minimización asociado
Es bien conocido que la solución del problema variacional (4.9) minimiza el funcional deenergía potencial del problema, definido por
J (v) =1
2
∫Ω
a |∇v|2 dx−∫Ω
f v dx−∫Γ1
g1v dΓ, v ∈ V0. (4.10)
Este funcional cuadrático es estrictamente convexo si a > 0, por lo que una función uminimiza J (v) sí, y sólo sí, la primera variación de J en u, en cualquier dirección v, es cero.Es decir, si la derivada de de Gatéaux,
J (1) (u; v) = lımt→0
J (u+ tv)− J (u)
t, (4.11)
es igual a cero para toda v ∈ V0.
Afirmación. La primera derivada de J (v) es
J (1) (u; v) =
∫Ω
a∇u · ∇v dx−∫Ω
f v dx−∫Γ1
g1 v dΓ. (4.12)
Demostración: De acuerdo a (4.10) se tiene
J(u+ tv) =1
2
∫Ω
∇(u+ tv) · (u+ tv) dx−∫Ω
f (u+ tv) dx−∫Γ1
g1 (u+ tv) dΓ
= J(u) + t
∫Ω
a∇u · ∇v dx−∫Ω
f v dx−∫Γ1
g1 v dx
+
t2
2
∫Ω
a |∇v|2 dx.
22
De esta última expresión se obtiene
J (u+ tv)− J (u)
t=
∫Ω
a∇u · ∇v dx−∫Ω
f v dx−∫Γ1
g1 v dΓ +t
2
∫Ω
a |∇v|2 dx.
Tomando el límite cuando t → 0, obtenemos la expresión (4.12). Esto demuestra que lasolución del problema variacional (4.9) minimiza el funcional cuadrático (4.10).
4.4. El problema de Neumann puro
Cerraremos la discusión del problema elíptico considerando el caso Γ0 = ϕ, es decircuando no se tienen condiciones tipo Dirichlet en el problema. El problema resultante se ledenomina problema de Neumann puro, y consiste de las ecuaciones
−∇ · (a∇u) = f en Ω, (4.13)
a∂u
∂n= g1 sobre Γ = ∂Ω. (4.14)
Este problema no tiene solución para funciones arbitrarias f y g1. Para que exista solución,las funciones f y g1 deben estar relacionadas de manera especial mediante una condiciónde compatibilidad . Esta condición de compatibilidad (de los datos) puede derivarse de laformulación variacional∫
Ω
a∇u · ∇v dx =
∫Ω
f v dx+
∫Γ
g1 v dΓ, ∀ v ∈ H1 (Ω) .
Tomando v = 1 sobre Ω, la ecuación anterior se reduce a∫Ω
f dx+
∫Γ
g1 dΓ = 0. (4.15)
Esta última ecuación es precisamente la condición de compatibilidad que los datos f y g1deben satisfacer para que el problema Neumann puro (4.13)–(4.14) tenga solución. Estacondición significa fisicamente que el flujo g1, a través de la frontera Γ, debe estar blanceadopor la fuente f , definida en Ω. Por lo tanto, suponiendo que se satisface (4.15), entonces elproblema de Neumann puro tiene solución. Pero también se observa que la solución no esúnica, debido a que sí u es una solución del problema, entonces u+ c con c ∈ R también essolución del mismo problema. Sin embargo, podemos pensar que la solución es única salvoconstantes, introduciendo el espacio cociente H1 (Ω) /R. En resumen, tenemos que
Si f es una función en L2 (Ω), y g1 es una función en L2 (Γ), y ambas satisfacen lacondición de compatibilidad (4.15), entonces el problema de Neumann (4.13)–(4.14) tienesolución y esta solución es única salvo por una constante. Es decir, la solución es única enel espacio cociente H1 (Ω) /R.
23
El hecho de que la solucion sea única solo en el espacio cociente, indica implícitameteque la cantidad física relevante no es la función escalar (potencial) u(x), sino la funciónvectorial σ(x) = −a(x)∇u(x), la cual si es única cuando el problema tiene solución. Lafunción σ representa el vector flujo de energía térmica en un problema de calor y la tracciónen un problema de elasticidad. Tomando en cuenta estas consideraciones, es posible derivarla condición de compatibilidad (4.15) utilizando el teorema de la divergencia:∫
Ω
f dx =
∫Ω
∇ · σ dx =
∫Γ
σ · n dΓ =
∫Γ
−a∇u · n dΓ = −∫Γ
g1 dΓ.
4.5. Ejercicios
Ejercicio 4.1. Escribe el problema modelo elíptico multidimendional, incluyendo la ecuacióndiferencial y las condiciones de frontera. Indica las condiciones que se pide que satisfaga elcoeficiente de difusión.
Ejercicio 4.2. Repite el procedimiento de la Sección 4.2 para encontrar la formulación varia-cional del problema elíptico, y verifica que esta minimiza el funcional definido en (4.10).
Ejercicio 4.3. Indica bajo que condiciones el problema de Neumann puro (4.13)–(4.14) tienesolución y ésta es única.
5. El método de elemento finito en el problema bidimen-sional
Para facilitar el estudio, escribimos de nuevo el problema elíptico:
−∇ · (a∇u) = f en Ω, (5.1)u = g0 sobre Γ0, (5.2)
a∂u
∂n= g1 sobre Γ1, (5.3)
cuya formulación variacional es:Encontrar u ∈ Vg tal que∫
Ω
a∇u · ∇v dx =
∫Ω
f v dx+
∫Γ1
g1 v dΓ, ∀ v ∈ V0, (5.4)
en donde
V0 =v ∈ H1 (Ω) : v = 0 sobre Γ0
, (5.5)
Vg =v ∈ H1 (Ω) : v = g0 sobre Γ0
. (5.6)
24
Al igual que en el caso unidimensional, para encontrar soluciones numéricas del problema(5.4), se deben aproximar los espacios de funciones de prueba V0 y el espacio afín Vg pormedio de espacios de funciones de dimensión finita. Para realizar la aproximación por mediodel método de elemento finito, los espacios de funciones de aproximación deberán consistirde funciones continuas y que son polinomiales por tramos. Es decir, sobre cada elementode una triangulación de la región Ω, la solución se aproxima por medio de un polinomio.Cuando se utilizan polinomios lineales, se obtienen las funciones piramidales , las cualesson el análogo bidimensional de las funciones sombrero, como veremos en esta sección.
5.1. Discretización del dominio
Dado el dominio Ω, existen muchas formas de subdividirlo en subdominios o elementos.Para simplificar la exposición, supondremos que el dominio es poligonal y escogemos trián-gulos como elementos de discretización. La Figura 5 ilustra el dominio y una triangulacióndel mismo.
G0
G1
WG0
G1
Figura 5: Dominio Ω con frontera ∂Ω = Γ0
∪Γ1 y su triangulación.
Denotaremos a la triangulación de Ω por
Th = conjunto de triángulos en la discretización de Ω.
El parámetro de discretización h, proporciona una medida de la malla o triangulación, y serefiere al diámetro máximo de los triángulos en Th. A diferencia del caso unidimensional,en donde la subdivisión de Ω consiste de subintervalos adyacentes y no requiere de restric-ciones especiales, en el caso bidimensional se requiere que la triangulación satisfaga ciertaspropiedades adicionales con el objeto de asegurar una aproximación correcta de las funcionesen el espacio de funciones V0 y en el espacio afín Vg. Estas propiedades (restricciones) se in-troducen a continuación.
La triangulación Th debe satisfacer las siguientes propiedades:
a) El conjunto de todos los triángulos forma el dominio y sus fronteras, es decir ∪T∈Th
T = Ω.
25
b) Dos triángulos T y T ′ en Th satisfacen una, y sólo una, de las siguientes propiedades
1. No se intersectan, es decir T ∩ T ′ = ϕ.
2. Si se intersectan, lo hacen en un vértice común ó en una arista común.
c) En la interfase entre la frontera Dirichlet Γ0 y la frontera Neumann Γ1 debe encontrarseun vértice de la triangulación.
La Figura 6 ilustra estas propiedades. Ahí se indican con una cruz (roja) las situacionesque no son permitidas en la triangulación, mientras que, encerradas (en verde), se indicanalgunas situaciones permitidas.
G0
G1
Figura 6: Propiedades de la triangulación
Una vez obtenida la triangulación Th, se construye la aproximación al espacio H1 (Ω). Loselementos en este espacio, como ya hemos mencionado anteriormente, se aproximan mediantefunciones continuas que al restringirlas a cada triángulo resultan ser polinomios de primergrado. Es decir, las funciones se aproximan mediante polinomios lineales por tramos y quecoinciden a lo largo de cada arista de dos triángulos adyacentes. A este espacio discreto lodenotamos por Vh, y formalmente se define como
Vh =v ∈ C0 (Ω) : v|T ∈ P1, ∀ T ∈ Th
, (5.7)
en donde C0 (Ω) denota al conjunto de funciones continuas en Ω, mientras que P1 denota elconjunto de polinomios de primer grado (lineales) en R2. Los polinomios lineales en R2 sonde la forma
p (x1, x2) = a0 + a1 x1 + a2 x2, con a0, a1, a2 constantes. (5.8)
Por lo tanto, si queremos aproximar una función u(x1, x2) ∈ H1(Ω) por medio de una funciónuh ∈ Vh, es necesario que en cada elemento triangular calculemos los coeficientes ai. Estos
26
Figura 7: Polinomio lineal que aproxima a u sobre T.
coeficientes se pueden determinar de manera única, sobre cada triángulo T , con los valoresde u en los tres vértices de dicho triángulo, como se muestra en la Figura 7.
Por otro lado, si se requiere un mayor orden de aproximación, el método de elementofinito permite aproximar con polinomios de orden mayor. Así por ejemplo, los polinomios desegundo grado en R2 son de la forma
p (x1, x2) = a0 + a1 x1 + a2 x2 + a3 x1 x2 + a4 x21 + a5 x
22,
por lo que se tienen seis grados de libertad, y hay que determinar seis coeficientes. Eneste caso, para determinar los coeficientes de manera única, es posible utilizar los valoresde la función sobre los vértices y sobre los puntos medios de cada triángulo T ∈ T . Enforma análoga, se construyen elementos de grados mayores. En la Figura 8 se muestran loselementos de segundo y tercer orden y sus grados de libertad.
2 u(x,y) = a + a x + a y + a xy + a x + a y2 2
3er. ORDEN2o. ORDEN
u(x1, x2) ≈ a0 + a1x1 + a2x2 + a3x1x2 u(x1, x2) ≈ a0 + a1x1 + a2x2 + a3x1x2 + a4x21 + a5x
22
+a4x21 + a5x
22 +a6x
21x2 + a7x1x
22 + a8x
31 + a9x
32
Figura 8: Elementos de 2o. y 3er. orden.
Malla y nodos de elemento finito
Al conjunto de vértices en la triangulación lo denotaremos por ϑh. Es decir
ϑh =P = (x1, x2) ∈ R2 : P es vértice de algún T ∈ Th
. (5.9)
27
De esta manera el conjunto de vértices de la triangulación más el conjunto de triángulosmismos constituyen la malla triangular del elemento finito:
ϑh + Th = Malla triangular de elemento finito. (5.10)
Por otro lado, los nodos del elemento finito son los puntos que se utilizan para realizarla aproximación sobre cada triángulo. Así por ejemplo, para el elemento de primer ordenel conjunto de nodos coincide con los vértices de la triangulación, mientras que para elelemento de segundo orden, el conjunto de nodos son los vértices más lo puntos medios decada triángulo.
5.2. Construcción de las funciones base
El análogo bidimensional de las funciones sombrero (3.4) son las funciones piramidales.Estas funciones pertenecen al espacio de aproximación Vh, (5.7), y cada nodo P tiene asociadauna de estas funciones. La función piramidal asociada al nodo P se define como uno en dichonodo y cero en todos lo demás nodos de la malla, como se ilustra en la Figura 9. En dichafigura no se muestra todo el dominio, solo se muestra la gráfica de la función en el soporte dela misma, pero se entiende que en todos los demás triángulos de la malla la función es iguala cero. Obsérvese que, restringida a cada triángulo T , la función piramidal es un polinomiolineal.
Figura 9: Soporte y gráfica de la función piramidal φP .
Las funciones piramidales son las funciones básicas que sirven para para generar las fun-ciones de aproximación en el elemento finito lineal de Lagrange. Claramente, estas funcionespertenecen a Vh y su propiedad básica es que, para todo P , Q en ϑh
φP(Q) = δ
PQ=
1 si P = Q,0 si P = Q.
(5.11)
Propiedades de las funciones piramidales. Las principales propiedades de las fun-ciones piramidales son:
28
1. Son funciones en Vh con soporte compacto. El soporte de cada función piramidalφ
P, es el conjunto de triángulos en Th que tienen como vértice común al punto P .
Utlizaremos la siguiente notación para indicar al soporte de φP
Th(P ) = supφP.
2. Son funciones linealmente independientes. Con el objeto de verificarlo, sean αP,
con P ∈ ϑh un conjunto de coeficientes constantes tales que∑P∈ϑh
αPφ
P(x) = 0, ∀ x = (x1, x2) ∈ Ω.
Para cada Q = P en ϑh, se tiene
0 =∑P∈ϑh
αPφ
P(Q) =
∑P∈ϑh
αPδPQ
= αQ,
lo cual comprueba la independencia lineal.
3. Son funciones que generan Vh. Para probarlo, sea cualquier vh ∈ Vh y defínase lafunción v∗h ∈ Vh por medio de la combinación lineal
v∗h (x) =∑P∈ϑh
vh (P ) φP(x) .
Para cada Q ∈ ϑh se tiene
v∗h (Q) =∑P∈ϑh
vh (P ) φP(Q) =
∑P∈ϑh
vh (P ) δPQ
= vh (Q) ,
por lo que v∗h = vh. Es decir, vh es una combinación lineal de las φP
con coeficientesconstantes α
P= vh (P ).
Resumiendo, toda vh ∈ Vh, es combinación lineal de funciones piramidales y además
vh (x) =∑P∈ϑh
vh (P ) φP(x) . (5.12)
Esta propiedad es el análogo a la propiedad 3 de las funciones sombrero.
Conclusión. El conjunto de las funciones piramidales φP, con P ∈ ϑh, forma una base del
espacio de funciones Vh que aproxima H1 (Ω). A este conjunto base lo denotaremos por
βh = φP
: P ∈ ϑh . (5.13)
Por lo tanto, Vh es un espacio de funciones de dimensión finita y su dimensión es
dimVh = #(ϑh) = número de vértices de la triangulación.
Denotamos por N este número, es decir
N ≡ dimVh ≡ número de vértices de la triangulación. (5.14)
29
5.3. Aproximación del problema variacional
Con el objeto de encontrar una solución aproximada del problema variacional (5.4), debe-mos encontrar una aproximación del espacio de funciones prueba V0 (5.5). Para ello intro-ducimos la siguiente notación
NI ≡ número de vértices “interiores”. (5.15)
Por “vértices interiores” entendemos aquellos vértices donde se debe calcular el valor dela solución u. Más precisamente, un vértice es “interior” si este no es un vértice sobre lafrontera Dirichlet Γ0. Por lo tanto, los vértices interiores son los que se encuentran en elinterior de Ω y sobre el interior de la porción de frontera Neumann Γ1. Numerando losvértices de la triangulación, y suponiendo que primero se numeran los vértices interiores,entonces escribimos
ϑIh = PiNI
i=1 , (Nodos interiores) (5.16)
ϑDh = PiNi=NI+1 . (Nodos Dirichlet) (5.17)
Obsérvese queϑIh = ϑh − ϑDh.
Por lo tanto, el conjunto de funciones que aproxima el espacio V0 es
β0h = φP
: P ∈ ϑIh , (5.18)
por lo que podemos escribirV0h = gen β0h . (5.19)
Con los anteriores elementos podemos formular el problema variacional discreto, asociadoa (5.4) de la siguiente manera:
Encontrar uh ∈ Vh con uh (P ) = g0 (P ), ∀ P ∈ ϑDh, tal que∫Ω
a∇uh · ∇vh dx =
∫Ω
f vh dx+
∫Γ1
g1 vh dΓ, ∀vh ∈ V0h. (5.20)
Este problema discreto puede formularse en términos de funciones piramidales, notando que
Para que se satisfaga (5.20), basta con que se cumpla para cada una las funciones baseφ
Q∈ β0h, debido a (5.19).
La incógnita uh ∈ Vh se puede expander como combinación lineal de las funciones basepiramidales
uh (x) =∑P∈ϑh
uh (P ) φP(x) =
∑P∈ϑIh
uh (P ) φP(x)︸ ︷︷ ︸
interior
+∑
P∈ϑDh
g0 (P ) φP (x)︸ ︷︷ ︸Frontera Dirichlet
.
En la última sumatoria se ha hecho uso de que uh (P ) = g0 (P ) si P es un vértice sobrela frontera Dirichlet Γ0.
30
Tomando en cuenta estas consideraciones, el problema variacional discreto (5.20) también sepuede escribir de la siguiente manera:
Para cada P ∈ ϑIh, encontrar uh(P ), tal que:∑P∈ϑIh
(∫Ω
a∇φP· ∇φ
Qdx
)uh (P ) =
∫Ω
f φQdx+
∫Γ1
g1 φQdΓ
−∑
P∈ϑDh
(∫Ω
a∇φP· ∇φ
Qdx
)g0 (P ) , ∀ Q ∈ ϑIh.
Tomando en cuenta la numeración de los nodos Dirichlet y de los nodos interiores, (5.16) y(5.17), también se puede escribir el problema variacional discreto de la siguiente manera:
Encontrar los valores uj ≡ uh (Pj), j = 1, . . . , NI , tales queNI∑j=1
(∫Ω
a∇φj · ∇φi dx
)uj =
∫Ω
f φi dx+
∫Γ1
g1 φi dΓ
−N∑
j=NI+1
(∫Ω
a∇φj · ∇φi dx
)g0 (Pj) , ∀ i = 1, . . . , NI .
(5.21)
en donde se ha hecho la identificación φj = φPj
para todo 1 ≤ j ≤ N . Nótese que la expresiónanterior constituye un sistema de NI ecuaciones con NI incógnitas de la forma
AhUh = bh, (5.22)
en donde Uh es el vector de incógnitas uj. Los coeficientes de la matriz Ah y el vector bh
son, respectivamente,
aij =
∫Ω
a∇φi · ∇φj dx, (5.23)
bi =
∫Ω
f φi dx+
∫Γ1
g1 φi dΓ−N∑
j=NI+1
(∫Ω
a∇φi · ∇φj dx
)g0 (Pj) . (5.24)
NOTA. En el desarrollo anterior se pueden tomar las siguientes aproximaciones
a (x) ≈ ah(x) =N∑j=1
a (Pj) φj (x) . (5.25)
g1 (x) ≈ g1h(x) =
NI∑j=1
g1 (Pj) φj (x) . (5.26)
g0 (x) ≈ g0h(x) =N∑
j=NI+1
g0 (Pj) φj (x) , . (5.27)
31
o bien trabajar con las funciones originales y después aproximar las integrales resultantes en(5.23), (5.24). Obsérvese que se puede sustituir (5.27) en (5.24) para obtener la fórmula máscorta
bi =
∫Ω
f φi dx+
∫Γ1
g1 φi dΓ−∫Ω
a∇φi · ∇g0 dx. (5.28)
5.4. Propiedades de la matriz de rigidez
Las propiedades más importantes de la matriz de rigidez Ah son que ésta es simétricay definida positiva, por lo que el sistema de ecuaciones (5.22) tiene solución única Uh =ujNI
j=1. Esta propiedad inmediatamente implica que el problema discreto (5.20) asociado alproblema variacional (5.4) tiene la solución única
uh (x) =
NI∑j=1
uj φj (x) +N∑
j=NI+1
g0(Pj)φj (x) . (5.29)
A continuación demostramos las principales características de la matriz Ah:
Simetría. Es obvio que la matriz Ah es simétrica dado que
aij =
∫Ω
a (x)∇φi (x) · ∇φj (x) dx =
∫Ω
a (x)∇φj (x) · ∇φi (x) dx = aji.
Positividad. No es tan obvio, sin embargo, que Ah sea definida positiva. Para demostrarlo,considérese la i–ésima componente de AhUh
(AhUh)i =
NI∑j=1
aij uj.
Entonces
UThAhUh =
NI∑i=1
ui (Ah Uh)i =
NI∑i=1
NI∑j=1
aij ui uj
=
NI∑i=1
NI∑j=1
(∫Ω
a (x)∇φi (x) · ∇φj (x) dx
)ui uj
=
∫Ω
a (x)∇uh · ∇uh dx , donde uh (x) =
NI∑j=1
ui φj (x) ,
≥ a0
∫Ω
∥∇uh∥2 dx ≥ 0, por (4.5),
32
lo cual demuestra que Ah es positiva semidefinida. Para completar la demostración bastacon verificar que ∫
Ω
∥∇uh∥2 dx = 0 solo si uh = 0.
Suponiendo que la integral es cero, se sigue que uh es constante y, dado que uh = 0 sobreΓ0, entonces uh = 0 sobre Ω. Se concluye que la matriz Ah es definida positiva.
Sumabilidad. Al igual que en el caso unidimensional la matriz de rigidez Ah posee lapropiedad de sumabilidad
aij =
∫Ω
a (x) ∇φi · ∇φj dx =∑T∈Th
∫T
a(x)∇φi · ∇φj dx. (5.30)
Esta propiedad es clave en el método de elemento finito y se utiliza para ensamblar la matrizde rigidez en forma eficiente, así como para simplificar los cálculos. Análogamente, se obtienela propiedad de sumabilidad para el vector de carga (fuente) bh:∫
Ω
fφi dx =∑T∈Th
∫T
f φi dx. (5.31)
Escasez de coeficientes no cero. La matriz de rigidez Ah, al igual que en el caso unidimen-sional, también tiene escasez de coeficientes no cero, es decir es una matriz rala (“sparse”).Sin embargo, a diferencia del caso unidimensional, la matriz Ah no es tridiagonal, debido aque aij = 0 solo sí Pi y Pj son vértices adyacentes en la malla triangular. Por lo tanto loscoeficientes no cero de la matriz dependerán de la triangulación y de la forma en como senumeren los vértices de la malla.
5.5. Aspectos prácticos
Con el objeto de simplificar la exposición, hacemos un resumen de la notación utilizadahasta el momento:
Th, triangulación del dominio Ω.
ϑh, conjunto de vértices de la triangulación.
ϑIh, conjunto de vértices “interiores” (sobre Ω ∪ Γ1).
ϑDh, conjunto de vértices Dirichlet (sobre Γ0).
N , número de vértices en la triangulación = #(ϑh).
NI , Número de “vértices interiores” = #(ϑIh).
33
βh = φPP∈ϑh
= φiNi=1, funciones base piramidales.
β0h = φPP∈ϑ0h
= φiNI
i=1, funciones base interiores.
Vh = vh ∈ C0 (Ω) : vh|T ∈ P1, ∀ T ∈ Th = gen βh, espacio discreto de funcionesque aproxima H1 (Ω).
V0h = vh ∈ Vh : vh = 0 sobre Γ0 = gen β0h, espacio discreto de funciones queaproxima V0.
La solución aproximada uh del problema variacional (5.4) satisface el problema discreto(5.20). Esta solución discreta es de la forma
uh (x) =
NI∑j=1
uj φj (x) +N∑
j=NI+1
g0 (Pj) φj (x) , ∀ x ∈ Ω.
en donde los coeficientes ujNI
j=1 resuelven el sistema de ecuaciones
NI∑j=1
aij uj = bi, i = 1, . . . , NI ,
conaij =
∫Ω
a∇φi · ∇φj dx, i = 1, . . . , NI ,
y
bi =
∫Ω
f φi dx+
∫Γ1
g1 φi dΓ−∫Ω
a∇φi · ∇g0 dx.
Entonces, para tener completamente determinada la solución discreta uh, solo hay que calcu-lar las integrales que definen ai,j y bi, y después resolver el sistema de ecuaciones resultante.
Cuando las funciones a(x), f(x) y g1(x) no sean simples será necesario utilizar métodosde integración numérica para calcular, con cierto nivel de precisión, los coeficientes aij y bi.Estos métodos de integración numérica no deben introducir un error mayor al que producela aproximación del problema por medio del método de elemento finito. El siguiente resul-tado, indica el orden de aproximación de la solución cuando se utiliza el elemento lineal deLagrange para resolver el problema variacional.
Teorema. Sea uh la solución del problema variacional discreto (5.20) obtenida medianteel método de elemento finito lineal, y sea u la solución exacta del problema variacional (5.4).Supóngase que a medida que refinamos la malla, los ángulos de cada triángulo T de Th estánacotados inferiormente por un ángulo θ0 > 0, entonces
lımh→0
∫Ω
|uh − u|2 dx = 0 y lımh→0
∫Ω
|∇uh −∇u|2 dx = 0.
34
Además el error eh está dado por
eh = ∥uh − u∥L2(Ω) ≤ c h2, (5.32)
en donde c es una constante que no depende de h.
Entonces, el error en el cálculo de la solución por medio del método del elemento finitoes de orden O (h2). Por lo tanto, basta utilizar métodos de integración numérica que tenganal menos este orden de aproximación.
Cálculo de los coeficientes aij : Utilizando la propiedad de sumabilidad se tiene
aij =
∫Ω
a∇φi · ∇φj dx =∑T∈Th
∫T
a∇φi · ∇φj dx.
Debido a que ∇φi es una función vectorial constante sobre cada triángulo T , entonces
aij =∑T∈Th
∇φi · ∇φj |T
∫T
a (x) dx, (5.33)
en donde ∇φi · ∇φj |T
denota el valor (constante) de ∇φi · ∇φj sobre el triángulo T . Laintegral en (5.33), cuando a (x) = a = constante es a |T |, en donde |T | denota el área deltriángulo T . Por lo tanto, en este caso
aij = a∑T∈Th
∇φi · ∇φ |T|T |.
Por otro lado, cuando a depende de x, y no es posible calcular la integral en (5.33) demanera exacta, se puede utilizar cualquiera de las siguientes aproximaciones:
1. Regla del trapecio: ∫T
a (x) dx ≈ |T |3
3∑k=1
a(PkT),
en donde P1T, P
2T, P
3Tson los vértices del triángulo T .
2. Regla de Simpson: ∫T
a (x) dx ≈ |T |3
3∑k=1
a(MkT),
en donde M1T,M
2T,M
3Tson los puntos medios de las aristas del triángulo T .
3. Regla del centro gravitacional∫T
a (x) dx ≈ |T | a(GT ),
en donde GT es el centro gravitacional del triángulo T .
35
GT
Figura 10: Vértices, puntos medios y centro gravitacional.
La Figura 10 muestra los puntos de cuadratura para cada una de las reglas anteriores.
El orden de aproximación de la integral es, O (h2) para la regla del trapecio, O (h4)para la regla de Simpson y O (h2) para la regla del centro gravitacional. Además la regladel trapecio proporciona la integral exacta si a (x) es un polinomio de grado 1 sobre cadatriángulo T ; la regla de Simpson es exacta si a (x) es un polinomio de grado 3 sobre cadatriángulo T ; la regla del centro gravitacional es exacta si a (x) es un polinomio de grado 1sobre cada triángulo T .
Por otro lado, las integrales en (5.28) se pueden calcular en forma aproximada como seindica a continuación.
1. Las integrales de la forma ∫Ω
a (x)∇φi · ∇g0 dx,
pueden aproximarse en forma análoga a como se calcularon los coeficientes aij
2. Las integrales de la forma ∫Ω
f φi dx,
se expresan como: ∫Ω
f φi dx =∑T∈Th
∫T
f φi dx,
y sobre cada triángulo T ∈ Th se utiliza ya sea la regla del trapecio o bien la regla deSimpson. Estas integrales son no cero sólo cuando el nodo Pi es un vértice del triánguloT , y en este caso
Regla del trapecio :
∫T
f φi dx ≈ |T |3f (Pi) .
Regla de Simpson :
∫T
f φi dx ≈ |T |3
3∑k=1
a (MkT)φi (MkT
) .
Obsérvese que φi (MkT) = 0 para el punto medio sobre la arista opuesta al vértice Pi,
y vale 1/2 sobre los puntos medios de las aristas adyacentes a dicho vértice.
36
3. Las integrales de línea ∫Γ1
g1 φi dΓ,
se pueden calcular con la regla del trapecio o la regla de Simpson a lo largo de cadaarista de la triangulación que se encuentre sobre Γ1. Esta integral es no cero sólo enlos segmentos sobre Γ1 que contenga a el nodo Pi.
5.6. Ejercicios
Ejercicio 5.1. Dada una región Ω ∈ R2, indica como se construye una triangulación deelemento finito y las propiedades que debe satisfacer. ¿Cuáles son los ingredientes de unamalla de elemento finito?
Ejercicio 5.2. Dada la triangulación Th del dominio Ω describe al conjunto de funciones queaproximan el espacio H1(Ω). Las funciones piramidales forman una base de este conjunto,indica cuáles son sus propiedades principales.
Ejercicio 5.3. Dado el dominio Ω ∈ R2 y una triangulación de elemento finito, indica lo quesignifica cada uno de los siguientes símbolos: h, Th, N , NI , ϑh, ϑDh, ϑIh, Vh, V0h, βh, β0h.
Ejercicio 5.4. Escribe el procedimiento para aproximar el problema variacional mediante lasfunciones piramidales para llevarlo a un sistema de ecuaciones con matriz A y lado derechobh.
Ejercicio 5.5. ¿Cuáles son las propiedades de la matriz de rigidez del problema discreto(5.21)? Demuestra que la matriz de rigidez es definida positiva.
Ejercicio 5.6. Escribe la regla del trapecio, la regla de Simpson y la regla del centro gravita-cional para aproximar la integral de una función f sobre un triángulo T ∈ Th. Ahora escribelas reglas de aproximación para integrar sobre f sobre todo Ω =
∪T∈Th T .
6. Extensión a problemas parabólicosEn esta sección consideraremos un problema parabólico. Este tipo de problemas son una
extensión del problema elíptico al agregar un término dependiente del tiempo de la formaρ (x, t) ∂u/∂t. Este tipo de ecuación diferencial aparece en problemas de difusión dependi-entes del tiempo. El nuevo término nos obliga a discretizar la variable en el tiempo ademásde las variables espaciales. Para la integración en el tiempo consideraremos el estudio de dosde los métodos más sencillos, a saber, el método explicito y el método implícito de Euler.
37
6.1. Problema modelo
Considérese el siguiente problema parabólico:Encontrar u = u(x, t) que satisface
ρ∂u
∂t−∇ · (a∇u) = f en Ω× (0, T ) , (6.1)
u = g0 sobre Γ0 × (0, T ) , (6.2)
a∂u
∂n= g1 sobre Γ1 × (0, T ), (6.3)
u(x, 0) = u0(x) ∀x ∈ Ω , (6.4)
en donde las funciones ρ, a, g0, g1, y f , así como la incógnita u, dependen de x ∈ Ω y t ≥ 0.La frontera está dividida en dos porciones como se ilustra en la Figura 11. En una porciónde la misma, Γ0, se imponen condiciones de tipo Dirichlet (6.2), y en la porción restante, Γ1,se imponen condiciones de tipo Neumann (6.3).
GO
G 1
W
Figura 11: Dominio de interés, Ω ⊂ Rd, d = 2 ó 3.
Además, suponemos que las funciones a y ρ satisfacen las siguientes restricciones:
0 ≤ a(x, t) ≤ M , (6.5)0 < ρ0 ≤ ρ(x, t) ≤ Q , (6.6)
en donde M y Q son constantes reales positivas.
6.2. Formulación variacional
Al igual que para el problema elíptico, introducimos los siguientes espacios de funciones
V = H1(Ω) , (6.7)V0 = v ∈ V : v = 0 sobre Γ0 . (6.8)
El espacio V0 es el espacio de funciones de prueba para derivar el problema parabólico varia-cional. Para simplificar la notación denotamos ∂u/∂t por u. La formulación variacional del
38
problema parabólico es:
Dado u(0) = u0(x), para t > 0 calcular u(t) ∈ V tal que u(t) = g0(t) sobre Γ0, y quesatisface la ecuación integral∫
Ω
ρ u v dx+
∫Ω
a∇u · ∇v dx =
∫Ω
f v dx+
∫Γ1
g1 v dΓ, ∀ v ∈ V0. (6.9)
En esta formulación hemos utilizado la notación u(t) = u(x, t) y g0(t) = g0(x, t), con elobjeto de simplificar.
6.3. Aproximación por medio del método de elemento finito
El procedimiento para discretizar el problema variacional (6.9) es el mismo que utilizamospara discretizar la formulación variacional del problema elíptico. Dada una triangulación Th
de Ω, como la mostrada en la Figura 5, se definen las funciones piramidales φiNi=1, cuyaconstrucción y propiedades se establecen en la Sección 5.2. Los espacios de funciones V y V0,definidos en (6.7) y (6.8), se aproximan mediante los espacios discretos
Vh = v ∈ C(Ω) : v |T∈ P1, ∀ T ∈ Th = genφ1, · · · , φN
, (6.10)V0h = v ∈ Vh : v = 0 sobre Γ0 = genφ1, · · · , φNI
. (6.11)
Por lo tanto, el problema variacional discreto asociado a (6.9) se puede escribir de la siguientemanera:
Dado el estado inicial uh(x, 0) = u0(x), para t > 0 encontrar uh(x, t) ∈ Vh con uh(P, t) =g0(P, t) en cada vértice P ∈ ϑ0h, de tal manera que:∫
Ω
[ρ uh vh + a∇uh · ∇vh] dx =
∫Ω
f vh dx+
∫Γ1
g1 vh dΓ, ∀ vh ∈ V0h. (6.12)
Utilizando la notación uj(t) = uh(Pj, t) y g0j(t) = g0(Pj, t), en donde Pj ∈ ϑh, son los vérticesde la triangulación, podemos escribir a uh ∈ Vh como
uh(x, t) =
NI∑j=1
uj(t)φj(x) +N∑
j=N1+1
g0j(t)φj(x). (6.13)
Además, si tomamos vh = φi, con i = 1, . . . , NI , en (6.12), obtenemos
NI∑j=1
[(∫Ω
ρφj φi dx
)uj +
(∫Ω
a∇φj · ∇φi dx
)uj
]=
∫Ω
f φi dx+
∫Γ1
g1 φi dΓ
−N∑
j=NI+1
[(∫Ω
ρφj φi dx
)g0j +
(∫Ω
a∇φj · ∇φi dx
)g0j
], (6.14)
39
conuj(0) = u0(Pj), j = 1, . . . , NI . (6.15)
Observamos que (6.14) y (6.15) constituyen un sistema de NI ecuaciones diferen-ciales ordinarias (EDO) con NI incógnitas, que podemos representar en la forma
Sh Uh(t) + Ah Uh(t) = bh(t), t > 0, (6.16)Uh(0) = U0. (6.17)
en donde las matrices Sh y Ah tienen los coeficientes
sij =
∫Ω
ρ(t)φi φj dx, aij =
∫Ω
a(t)∇φi · ∇φj dx, 1 ≤ i, j ≤ NI , (6.18)
respectivamente. Los vectores Uh(t), U0, son
Uh(t) = uj(t)NI
j=1 , U0 = u0(Pj)NI
j=1 , (6.19)
respectivamente. Finalmente el vector bh(t) tiene los coeficientes:
bi(t) =
∫Ω
f(t)φi dx+
∫Γ1
g1(t)φi dΓ−N∑
j=NI+1
(∫Ω
ρφi φj dx
)g0j(t)
−N∑
j=NI+1
(∫Ω
a∇φi · ∇φj dx
)g0j(t).
(6.20)
6.4. Solución del sistema de EDO
La discretización del problema parabólico (6.1)–(6.3), mediante el método de elementofinito, produce un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) lineales de primerorden con matrices simétricas S y A. El sistema de EDO será un sistema con coeficientesconstantes si las funciones ρ y a no dependen de la variable t, de otra manera el sistema seráde coeficientes variables. Al igual que en el caso del problema elíptico, es fácil demostrar quela matriz Ah es definida semipositiva si a(x, t) ≥ 0, ∀ x ∈ Ω and t > 0. En forma análoga,se puede demostrar que la matriz Sh es definida positiva (y por lo tanto invertible) si existeρ0 > 0 tal que ρ(x, t) > ρ0, ∀ x ∈ Ω and t > 0.
Existencia y unicidad del sistema lineal de EDO. De acuerdo a lo anterior, si suponemosque las condiciones (6.5)–(6.6) se satisfacen para las funciones ρ(x, t) y a(x, t), entonces pode-mos asegurar que el sistema lineal de EDO (6.16)–(6.17) tiene solución y que esta soluciónes única. Esto debido a que de (6.16) se obtiene
U(t) = S−1h b+ S−1
h AhU(t),
40
en donde el lado derecho es una función continua respecto de t y Lipschitz continua respectode U.
Por otro lado, dado que el número de ecuaciones diferenciales NI puede llegar a ser dedecenas de miles, o incluso millones en el caso tridimensional, entonces es conveniente aplicaralgún método numérico para resolver el sistema lineal de EDO. En este trabajo solo con-sideraremos los métodos más simples: el método explícito de Euler y el método implícito deEuler. Estos métodos, aunque son métodos de primer orden (orden bajo), son muy robustos ypermiten resolver el sistema lineal de EDO en forma sencilla y económica, sobre todo cuandoel número de ecuaciones es grande.
Método explícito de Euler. Sea ∆t el parámetro de discretización en el tiempo, denotamospor Un a U(n∆t) para cada n ∈ N. El método explícito de Euler consiste en reemplazarla derivada temporal de U en t = n∆t por medio del cociente de diferencias hacía adelante,así como reemplazar los términos restantes por sus valores en el tiempo t = n∆t. Se obtieneel siguiente esquema:
Dado U0 = U0, para n > 1 suponiendo conocido Un, calcular Un+1 por medio delsiguiente esquema:
ShUn+1 −Un
∆t+ AhU
n = bn. (6.21)
Entonces, si se conoce Un, se calcula Un+1 resolviendo el sistema de ecuaciones algebraicas:
ShUn+1 = ∆tbn + (Sh −∆tAh)U
n. (6.22)
Sin embargo, es posible simplificar el proceso mediante una técnica, muy utilizada por losusuarios del método de elemento finito, denominada mass lumping . Esto es posible cuandola función ρ no depende de x, ya que es posible aproximar las integrales de masa en (6.18)mediante la regla del trapecio para obtener los coeficientes sij sin degradar el orden delmétodo de elemento finito. El resultado es que la matriz S será un múltiplo de la matrizidentidad, lo cual es crucial, ya que para calcular Un+1 en (6.22) no será necesario resolverun sistemas de ecuaciones. En su lugar solo se necesita evaluar la multiplicación de unamatriz por un vector en cada paso de tiempo, lo cual es mucho más económico, justificandola denominación del método como esquema explícito.
Método implícito de Euler. El método implícito de Euler consiste en reemplazar la deriva-da temporal de U en t = (n + 1)∆t por medio del cociente de diferencias hacía atrás, asícomo reemplazar los términos restantes por sus valores en el tiempo t = (n+1)∆t. Se obtieneel esquema:
Dado U0 = U0, para n > 1 suponiendo conocido Un, calcular Un+1 por medio delsiguiente esquema:
ShUn+1 −Un
∆t+ AhU
n+1 = bn+1. (6.23)
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Entonces, si se conoce Un, se calcula Un+1 implícitamente de la solución del sistema deecuaciones algebraicas
(Sh +∆tAh)Un+1 = ∆tbn+1 + ShU
n. (6.24)
Por lo tanto, con el método implícito es necesario resolver un sistema de ecuaciones detamaño NI ×NI en casa paso del tiempo, independientemente de si se realiza mass lumpingo no, y por eso el esquema se denomina implícito. Por esta razón se podría pensar quelos métodos implícitos son mucho más caros, desde el punto de vista computacional, quelos métodos explícitos. Sin embargo, esto no es del todo cierto debido a que los esquemasimplícitos usualmente no necesitan restricciones sobre el parámetro de discretización ∆tpara garantizar estabilidad numérica, a diferencia de los esquemas explícitos, como veremosa continuación. Además, los métodos implícitos son mucho más efectivos en problemas rígidos(problemas de mutiescala).
6.5. Análisis de estabilidad de los métodos
Existen diferentes conceptos de estabilidad cuando se estudian ecuaciones diferenciales.En el caso que nos ocupa estamos interesados en la estabilidad numérica del esquema utiliza-do. La estabilidad de los esquemas numéricos esta muy relacionada con el error numérico.Un esquema es estable si los errores cometidos en un paso de tiempo no crecen conforme seavanza en los cálculos en pasos posteriores. Para los problemas dependientes del tiempo, laestabilidad garantiza que el método numérico proporciona una solución acotada cuando lasolución exacta es acotada. En muchos casos se investiga la estabilidad por medio del análisisde Von Neumann.
Estabilidad del método explícito de Euler. Para el análisis de estabilidad de los es-quemas numéricos, usualmente se suprime el efecto de las fuentes, para descartar los efectosexternos, y solo se toman en cuenta las propiedades fundamentales del sistema discretizado.Por lo tanto, tomamos b = 0 en (6.22), y obtenemos la siguiente solución de la ecuaciónhomogénea:
Un+1 =(I −∆tS−1
h Ah
)Un. (6.25)
Con el objeto de garantizar que Un permanezca acotado para toda n, es necesario quelos modos fundamentales de la solución numérica permanezcan acotados conforme se avanzaen el tiempo. Los modos fundamentales de (6.25) están dados por los vectores propios de lamatriz I −∆tS−1
h Ah. Debido a que S es simétrica definida positiva y A es simétrica definidasemipositiva, entonces S−1
h Ah es simétrica definida semipositiva, y sus valores propios sonreales y no negativos.
Sea λi ≥ 0 un valor propio de S−1h Ah, y sea Λi su correspondiente vector propio. Entonces
por (6.25), se obtieneΛn+1
i = (1−∆t λi)Λni , ∀ n.
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Procediendo recursivamente, se obtiene
Λni = (1−∆t λi)
nΛ0i , ∀ n.
Por lo tanto, el modo permanecerá acotado, para toda n, si
|1−∆t λi| ≤ 1, o equivalentemente, si ∆t ≤ 2/λi.
Este resultado lo podemos resumir en el siguiente enunciado:
El método explicito de Euler es estable si el paso de discretización en el tiempo satisfacela condición
∆t ≤ 2
λmax(S−1h Ah)
. (6.26)
Debido a esto, se dice que el método explícito es condicionalmente estable.
Por supuesto que esta condición podría ser demasiado restrictiva para ciertos problemas,en los cuales el paso de discretización se escogería muy pequeño con el fin de mantener laestabilidad. Esta es la principal razón por la cual los métodos explícitos no son los máspopulares para resolver numéricamente ecuaciones diferenciales.
Estabilidad del método implícito de Euler. Haciendo b = 0 en (6.24), obtenemos(I +∆tS−1
h Ah
)Un+1 = Un. (6.27)
Si disponemos de los valores propios de la matriz S−1h Ah, y estos son λ1, λ2, . . ., λq, con
sus correspondientes vectores propios Λ1, Λ2, . . ., Λq, entonces para cada uno de ellos sesatisface
(1 + ∆t λi)Λn+1i = Λn
i , ∀ n.
Procediendo recursivamente y despejando, se obtiene
Λni =
(1
1 + ∆t λi
)n
Λ0i , ∀ n. (6.28)
Como λi ≥ 0, se obtienen los siguientes casos
Λni = Λ0
i si λi = 0,
lımn→∞
Λni → 0, si λi > 0.
En consecuencia, la solución Un del sistema homogéneo en (6.24) es acotada para toda n,independientemente del valor del parámetro de discretización ∆t > 0. Por esta razón se diceque el esquema es incondicionalmente estable. Por lo tanto, la elección del parámetro dediscretización en el tiempo esta determinada únicamento por el grado de precisión deseadoen la solución numérica y no por restricciones de estabilidad. Los métodos implícitos gen-eralmente se prefieren sobre los implícitos principalmente en problemas rígidos ó cuando sebuscan soluciones estacionarias.
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6.6. Análisis de estabilidad por medio de métodos de energía
Una forma alternativa de verificar la estabilidad de los esquemas numéricos es mediantetécnicas de estimaciones de energía. La idea central se basa en la observación de que la matrizSh, al ser simétrica y definida positiva, induce una norma:
∥U∥2S = (Sh U) ·U. (6.29)
Para ilustrar como podemos utilizar esta propiedad en el análisis de estabilidad, considere-mos el método implícito de Euler (6.23) con b = 0.
Multiplicando la ecuación (6.23) escalarmente por Un+1, obtenemos(Sh
Un+1 −Un
∆t
)·Un+1 +
(AUn+1
)·Un+1 = 0.
De esta ecuación y de (6.29), obtenemos
1
∆t
∥∥Un+1∥∥2
S+(AUn+1
)·Un+1 =
1
∆t(SUn) ·Un+1.
Puesto que (AUn+1) ·Un+1 ≥ 0, entonces podemos escribir la siguiente desigualdad
1
∆t
∥∥Un+1∥∥2
S≤ 1
∆t(SUn) ·Un+1 ≤ 1
∆t∥Un∥S
∥∥Un+1∥∥S,
que es una forma de la desigualdad de Cauchy-Schwartz. De esta última desigualdad seobtiene ∥∥Un+1
∥∥S≤ ∥Un∥S .
Procediendo recursivamente, obtenemos
∥Un∥S ≤∥∥U0
∥∥S. ∀ n,
lo cual demuestra que la solución numérica permanece acotada para toda n, independiente-mente del tamaño del paso de discretización ∆t.
6.7. Ejercicios
Ejercicio 6.1. Escribe el problema parabólico incluyendo la ecuación diferencial, las condi-ciones de frontera y las condiciones iniciales. Indica las condiciones que deben satisfacer elcoeficientes de difusión a y de densidad ρ.
Ejercicio 6.2. Encuentra el problema variacional del problema parabólico y la aproximaciónde elemento finito para obtener el problema de valores iniciales (6.14)–(6.15).
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Ejercicio 6.3. Describe los métodos explícito e implícito de Euler para integrar el sistemade ecuaciones (6.14)–(6.15) e indica cuales son sus diferencias.
Ejercicio 6.4. ¿Qué se entiende por estabilidad de un método numérico para resolver unproblema dependiente del tiempo? ¿Cuáles son la propiedades de estabilidad de los métodosexplícito e implícito de Euler?
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