ESCUELA POLITÉCNICA NACIONALFACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA

TESIS PREVIA A LA OBTENCIÓN DEL TITULO DE

INGENIERO ELÉCTRICO, ESPECIALIZACION POTENCIA

MAGDALENA CECILIA ORDOÑEZ LOPE?,

Octubre , 1981

CERTIFICO QUE EL PRESENTE TRABAJO

DE TESIS HA SIDO REALIZADO EN SU

TOTALIDAD POR LA SEÑORA MAGDALENA

CECILIA ORDOÑEZ LÓPEZ, BAJO MI

DIRECCIÓN,

: W G . MEWTÜR POI/EPA

5ui vdvoy'd 7 9-07

i? Vv^Tí^^vod va ñ ' ?-ov3r?"3X'Uí 9-7 w y

01

77?

/? 1x^7 71^-3 vcíiiioi) TJ ? ' oT-ditca/"? TI?

Í N D I C E

P a g . N o .

CAPITULO I

1.1. Alcance del tema 2

1.2. Introducción 4

1.3. Circuitos equivalentes 5

CAPITULO II

ARMÓNICAS DE ESPACIO

2.1. Origen y desarrollo en una Máquina Fun_

damental - 17

2.2. Desarrollo en Máquina Trifásica 23

2.3. Generalización 29

CAPITULO III

3.1. Origen y desarrollo en una Máquina Fun_

damental 35

3.2. Desarrollo en Máquinas Trifásicas 37

Pag.No

3.3. Generalización

CAPITULO IV

CRITERIO DE EXISTENCIA DE LAS ARMÓNICAS

4.1 En el Estator 44

4.2. En el Rotor 48

4.3. Armónicas de ranura y subarmónicas.... 53

CAPITULO V

EFECTOS DE LAS ARMÓNICAS

5.1. Torques sincrónicos 60

5.2. Torques asincrónicos 64

5.3. Reactancias de dispersión 66

CAPITULO VI

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

6.1. Respecto de las f.m.m.s 78

6.2. Respecto de las f.e.m.s 79

6.3. Respecto de los torques 82

ANEXO "A" 94

ANEXO "B" 121

BIBLIOGRAFÍA , 127

1,1, JUSTIFICATIVO DEL TEMA

El estudio que a continuación se expone, es parte de

un esfuerzo de varias personas que pretende desarrollarse

en etapas, cuyo proposito es tener una visión completa del

fenómeno de las armónicas en las máquinas eléctricas '.

El avance de la tecnología y la ciencia en el mundo

se ha acelerado, desde la utilización de las computadoras

para la resolución de complejos problemas de ingeniería,pe

ro existen fenómenos como el de las armo aicas que por su

importancia en el desarrollo de nuevos diseños de máquinas

se han mantenido como secretos de producción, esto explica

la escasa bibliografía que hay sobre el tema, y el hecho

de que no existen publicaciones actualizadas sobre solucio_

nes computarizadas paraesteproblema.

Sinembargo, resulta una obligación de los técnicos y

profesionales ecuatorianos el tratar de desentrañar estos

"secretos", que de una forma u otra ayuden a desarrollar u

na tecnología propia.

Por esta razón el trabajo presente trata de ser cla-

ro, coherente, y de permitir una comprensión sobre las ar-

. - 3 .

monicas en máquinas sincrónicas de polos salientes mostran_

do las ecuaciones que rigen estos fenómenos;tomando como

punto de partida el conocimiento general de este tipo de

máquinas.

La producción de torques parásitos como consecuencia

de la presencia de las armónicas, es parte del estudio ya

que es este efecto uno de los más importantes en el funcio_

namiento de estas máquinas.

Por ultimo se ha tratado de compendiar conclusiones

a las cuales ha conducido este estudio, tratando de suge -

rir soluciones a los problemas que ocasionan las armónicas

estudiadas.

LISTADO DE VARIABLES

b - Valor instantáneo de la f.m.m. de sentido ne-

gativo

bu Valor instantáneo de la armónica de orden u 3

de la distribución de flujo del rotor

Bu D Amplitud de la armónica amortiguada de distri-

bución de flujo del rotor5 en lineas por pulga-

da cuadrada

Du1 Factor de amortiguamiento de la armónica de or-

den u3 de flujo del rotor

f Valor instantáneo de la f.m.m. de sentido posi-

tivo

•í-i ' Frecuencia de linea

g Espesor del estrehierro, pulgadas

I« Corriente en el secundario

I y Corriente en el secundario referida al estator

Ib Corriente de sentido negativo del estator

Id Corriente del eje directo

If Corriente de sentido positivo

• Iq Corriente de eje en cuadratura

Ist Corriente de arranque3 por unidad

I^-u Corriente de sentido negativo de devanado deDb °amortiguamiento

Dd Corriente de eje directo del devanado de amor-

tiguamiento

IDf Corriente de sentido positivo de devadado de

amortiguamiento

TDq Corriente de eje en cuadratura de devanado de

amortiguamiento

I ' 5f Corriente de sentido positivo de las barras del

rotor debida a la armónica del estator de or-

2 / Listado de variables

I • •lu Corriente inducida en el devanado del esta-

tor por la armónica del rotor de orden u

k2 Cualquier entero positivo o negativo,, inclui-

do cero

kc Factor de cárter

kdp kd x kp 3 factor de arrollamiento

JÜe Longitud efectiva del núcleo

1 Número de fases del estator

2 Número dé fases del rotor

1 Número de vueltas en serie por fase, del es-

tator

2 Número de vueltas en serie por fase, del ro-

tor

Np Número de barras de amortiguación por polo

Np1 1807 s°

p ' Número de pares de polos

^2 . Número de ranuras del rotor de jaula completa

r1 Resistencia del devanado, del estator

rf Resistencia del devanado de campo

Resistencia de «

amortiguamiento

Resistencia de <

de amortiguamiento

' Dd Resistencia de eje directo1 del devanado de

r • •Dq Resistencia de eje en cuadratura del devanado

3 / Listado de variables

S Deslizamiento del rotor respecto de la onda

principal

Su1 Velocidad de la armónica del rotor de orden

u con respecto al estator

T Torque, por

V1 Voltaj e primario por fase

XL Abscisa fijada en el estator

X1 Reactancia de dispersión del devanado del es-

tator

Xad Reactancia de reacción de armadura de:eje di-

recto

Xaq Reactancia de reacción de-armadura de eje en

cuadratura

•Xf -Reactancia de dispersión del devanado de campo

Xmu' Reactancia de flujo principal de la armónica

del rotor de orden u

Xm( '=p) Reactancia de flujo principal • •

XDq Reactancia de dispersión de eje en cuadratura

del devanado de amortiguamiento

XDd Reactancia de dispersión de eje directo del de-

vanado de amortiguamiento

Zad Impedancia de flujo principal de eje directo

Zaq Impedancia de fluj o principal de ej e en cua-

dratura

Zf Impedancia de devanado de campo

ZDd Impedancia de eje directo del devanado de amor-

tiguamiento

4- / Listado de variables

ZDq =. Impedancia de eje en cuadratura del devanado

de amortiguamiento

Ángulo entre la barra en consideración y el

eje directo

u ^ Orden de la armónica del rotor respecto a la

onda principal (u = 1)

u'=pu Orden de la armónica del rotor respecto de la

onda de dos polos

V = • Orden de la armónica del estator respecto de

la onda principal (V=l)

V'=p Orden de la armónica del estator respecto de

la onda de dos polos

Paso polar

v = 2Tíf

. 4

1.2, INTRODUCCIÓN

Las máquinas sincrónicas ocupan dentro de las máqui-

nas eléctricas un muy importante lugar, debido a su estru£

tura, se las prefiere como generadores de corriente alter-

na desde en plantas muy pequeñas hasta las gigantescas ge_

neradoras hidráulicas, de allí el interés de conocer el

porqué y el como de su funcionamiento.

Dentro de las máquinas sincrónicas, las de polos sa-

lientes son el tipo más generalizado, y de ellas las trif JL

sicas son las que se encuentran regularmente, de allí que

se haya particularizado en el estudio de estas máquinas

que forman parte de nuestra vida cotidiana sea directa o

indirectamente.

La estructuración de la máquina es muy variada, pe-

ro se ha tratado siempre de tomar el caso más general, por

ejemplo el análisis se ha hecho considerando que los polos

salientes se encuentran en el rotor; y que las propiedades

constructivas son las mismas de un tipo común, excluyendo

a propósito los casos especiales que sin duda existen.

1,3, CIRCUITOS EQUIVALENTES

Los problemas de la obtención de circuitos equivalen^

tes en una máquina sincrónica son los siguientes:

a) El hecho de que existen partes fijas y partes móvi -

les .

b) Las variaciones de entrehierro por efecto de los po-

los salientes.

c) La presencia de devanados de amortiguamiento.

d) La doble alimentación que permite esta máquina.

A los anteriores habrán que sumarse para el análisis

de armónicas los siguientes problemas:

a) La variación de tiempo y espacio.

b) El deslizamiento, que aparece en el movimiento rela_

tivo de armónicas.

De lo dicho puede deducirse cuan complej a puede ser

la -tarea de tener circuitos equivalentes para este tipo de

máquina.

Por tanto no se pretenderá hacer un desarrollo mate-

. 6 .

mático y lógico del funcionamiento de las máquinas sincró-

nicas, sino mas bien dar una referencia clara de las ecua-

ciones necesarias para la resolución de los problemas de

armónicas.

Premisas:

a) Los conductores están distribuidos en la armadura en

cada fase de manera de lograr una onda lo más sinu -

soidal posible,

b) Los efectos de saturación e histeresis son desprecia_

bles. (Sabemos que esta aseveración no es exacta pues

la saturación existe en cierto grado prácticamente

en todas las máquinas comerciales, por esta razón los

resultados deberán ser aplicados con cierta discrimi-

nación) .

Valores de Referencia:

Torque unitario: se tomará el torque nominal de una maquina

trifásica.

f.m.m. unitaria: la f.m.m. producida por el valor de la on-

da cuadrada equivalente debida a la reac -

ción de armadura, y por lo tanto a la co-

rriente nominal trifásica.

P 3NX/2I Afmm = Ampere - vueltas

Flujo unitario: es la onda fundamental de flujo de campo

nominal que girando a velocidad sincrónica

genera un voltaje unitario,E

Y/7 pir. - f luj o unitario =

2 TTfNltT

N = espiras efectivas

p = pares de polos

Los valores unitarios de corriente, voltaj e e impe -

dancia son los usuales.

Se hace necesario definir el deslizamiento, debido a

que este fenómeno se hace presente a pesar de que en máqui^

ñas sincrónicas no se lo considera, debido a que las velo-

cidades de las armónicas introducen este criterio.

Sea S el deslizamiento en p.u.; la velocidad polar es

p.y= por unidad

. 9

entonces :

V (1"s') C1-1)

La corriente que gira en el mismo sentido de rotación

que los polos tendrá una velocidad:

VM= Cl-s) + s = 1 - s + s= l (1-2)

y para efecto de posteriores referencias se denominará ve-

locidad positiva, y se entenderá sistema positivo.

La corriente que gira en sentido contrario tendrá una

velocidad :

vw-(l-s) - s = 1 - 2s

y en adelante se entenderá para el sistema negativo.

En general el deslizamiento se define por:

-V^ ¡".-¿̂ tl-33s l

y en particular para las armónicas se define como:

n n Vr orden de laV S V" n ; nsv= A- 5 armónica ^^

nsv v

de la ecuación anterior se concluye que:

10

svf = 1 - v(l- s) O)

o' bien para el sistema negativo

De este modo tengase presente que las frecuencias se-

rán :

� " S?i para la fundamental

í 2 = ^\jfi Para ̂ as armónicas

Donde los subíndices 2 y 1 indican el rotor y el es-

tator respectivamente.

Equivalentes: if = corriente de sen t ido pos i l ivode se-ntido nega t ivo

Las relaciones de corrientes son

i f = ¿ (id + iq) (+0 Cl-7)

ib - y (id - iq) (-) Cl"8)

donde id = componente de corriente de armadura de ej e directo

iq = componente de corriente de armadura de eje en cua-

dratura .

. 11 .

Para la obtención de los ejes de voltaje se tomará a

las corrientes como pulsantes en los dos ejes del rotor.

r. Z , + Z Z , - Z= |/£ ad , aq + i. ad . aq i a) ci-9)

Z , - Z Z , + Zad aq . . ad ;b 2

ef .e b son los voltajes de s en t i do positivo y negat ivo, respectiva mcn te

Z , y Z son las impedancias de reacción de armadura másad ' aq r

corrientemente conocidas como X , . X . son ahora los vaload J aq1 —

res completos de impedancias y no solo pas reactancias

El voltaje total del mismo sentido será:

er = ef + es

G = irr( r1 + j xa ) caída de tensión debida a ir en

el estator mientras que en sentido contrario el voltaj e de-

berá ser :

V " ° = eb

. ;Desde este análisis se concluye (Ref . LINVILLE)

= Zad

ri r ri» 1 ~ ¿ """ 7̂ "̂ T "** T -2C n = ^_ o i-.- -i - r -,q aq 2s -1 J l q L 2 s - l 1

. 12 .

de lo cual se tiene que

V + Vzd zq l + z d l z q

7 i _ 7 i" J ^ J

Í = - - ~ - r (1-12)b

Zd Zq '

para S = y se produce una indeterminación en los impedan-

¿ias Zj1 y Z i pero para Z,\ Z \ • n

if = ib = O7 + 7¿ ¿

Dadas las ecuaciones 1-11 y 1-12 se prosigue por la in_

treducción de las corrientes de eje directo y eje en cuadra-

tura así:

2 Z iI, = If + L = 3 (1-13)

7 7 , 4 - 7 , 7¿.i -, ¿.i i • ¿j -, \d q d q

- 1 = 5 (1-14)

e introduciendo las equivalencias correspondientes a las im-

. 13 .

pedancias : Z . = jx ,; Z = i Xad J adj aq J £

í zf = 1T + jxf (1-15)

ZDq = rDq/S + ' XDq

7 + 7ad £

r-i -iU-1

Las corrientes del devanado de Damper referidas al estator

son :

Z 4TT = T afDd ^d , "

Para el devanado de campo en circuito abierto

T

Dd d

2 A l¿ C^ , + XT,,)+ jy^./s ,T T ad _ d I ̂ ad _ Dd-^ J ' Dd J ad ri - Q

Z + ZZad ZDd

y las corrientes de los ej es en cuadratura para el devanado

de Damper referidas al estator son:

[ = I —=^Dq q +

aq Dq

. 14

Xaq qx - . y

v 'Dq' J ' aq Dq-7

De la primera equivalencia de las ecuaciones 1-19 y 1-20 se

obtiene:

-ya1, £ ~ IDf 2 ( IDd

T , = T = r T - Tva1 , b Db 2 L 1Dd -1 Dq

Calculando en función de las impedancias

X = T - r X - , + X ) tendríamos Xm..im 2 ^ a d aq^ v

y además :

i i • ' A2 vava oi -

y entonces las ecuaciones del rotor serán:

va

2 2X

. 15

T2va1= ; ' ' sval, f

para el sentido negativo:

mva1

svaí,

donde:

va1 , b

Los diagramas de circuitos equivalentes usados son

FIG.7-7. CIRCUITO EQUIl/ALEWTE FÁRA EL EJE

DIRECTO

. 15

'Dq

F I G . 1 - 2 . C I R C U I T O E Q U I l / A L E W T E P A R A E L E J E

EN CUADRATURA

* *

C A P I T U L O II

A R M Ó N I C A S DE E S P A C I O

2,1, ARMÓNICAS DE ESPACIO

NOCIONES

Se parte del sencillo estudio que se realiza sobre u

na máquina monofásica que tiene una sola bobina de n espic -

ras en el estator, lo cual significa que q = 1. .El número

de polos es dos, es decir que el flujo (visto desde el ro-

tor) entra una vez, y sale una vez. Se asume que la co-

rriente que circula por la bobina tiene un valor i.

FIG. 2-1

Aplicando la ley de Ampere por el circuito así forma_

do, y sabiendo que n i es la misma en todas las líneas de

. 18

fuerza, entonces:

= NI = ni (2-1)

Se representa ahora esta función en el eje de ángulos

en el entrehierro, y se obtiene una onda cuadrada, de ampli

tud: n i y período 2 T. Por comodidad, y además para que

quede el fluj o entrante como positivo y el fluj o saliente

como negativo, se gráfica a esta onda como en la figura No.\2 ahora la parte positiva de la onda es igual a n i/2

al igual que la parte negativa.

V

La densidad de flujo B sería igual a: B = UQ uH

; donde:

u0 ~ permeabilidad del vacío

^. u ~ permeabilidad relativa del material

H = intensidad de campot

Las condiciones para el análisis son:

a) El valor de la permeabilidad muy alta del hierro ;

b) u = 1 para el aire;

c) I está en amperios

d) H está en amperios vuelta/cm.

19

e) B está en gausses .

-/2 4. V ~fr nclsenw( t\f--

-7 r-i i

Curva de la fmm del arrollamiento monofásico de dos polos,mostrada con la fundamental y dos armónicas únicamente

FTG. 2-2

ahora u0 = 0, 4ir se obtiene que: (2-2)

B = 0,4-rry H

De esta ecuación se obtiene que la integral de línea

está determinada en definitiva por el entrehierro, 7 tiene

un valor de:

- H (2-3)

. 20

reemplazo Ec. 1-3 en Ec. 1-1 y se obtiene:

Sabiendo del entrehierro g, que su densidad de flujo

es Bg

Bg = 0,4 irHg (2-5)

reemplazo ahora la Ec. 1-5 en la Ec. 2-4 y obtengo:

n i n i .,Bg = 0,4 ir -̂ - = 0,4-ir . -|- .- i- (2-6)

2g

que representa la densidad de f luj o de la máquina en fun -

ción del número de espiras , y del entrehierro . .

Aplico la serie de Fourier a la curva representada

en la fig. 2-2 haciendo las siguientes consideraciones :

Período +_ T = 2 T .

Amplitud de onda = ni/2

La función tiene simetría de media onda.

La función consta de términos de función seno sola -

mente

El desarrollo correspondiente (obsérvese Anexo B-2) da

. 21

como resultado la ecuación siguiente:

t TT 1eos — x - Y cos 57T

+ ±- cos ~ - . . J (2 -7 )

De la observación sencilla de la ecuación última se

obtiene los primeros resultados para las armónicas:

a) Sólo existen armónicas impares para esta disposición

de bobinas.

b) La amplitud de las armónicas es — vece's la ampli-

tud de la fundamental.

De la ecuación 1-7 se obtiene que la fundamental tie-

ne un valor:

Tífrn,(x) = 0,9 n i sen wt cos — x (2-8)11J c —

el subíndice 1 indica que se trata de la fundamental. Anali_

zando esta ecuación se puede ver que si fijamos un instante

de tiempo dado t, la f.m.m, variará con la función coseno

del espacio, mientras que para un punto fijo en el espacio,

x,'variarán tanto la corriente como la densidad de flujo,

B. De la manera siguiente:

. 22

imax —*• B, fmm, máximas

i cambia de dirección +• B, fmm, cambian de dirección

i, mínima H3, fmm, mínima.

este comportamiento señala a esta onda como una onda esta -

cionaria fija en el espacio, pero cuya magnitud varía con

el tiempo, al igual que la dirección.

Se aplica la relación trigonométrica

1 1sen a eos b = j- sen ( a-b) + y sen (a+b) (2-9)

a la ecuación 1-8 como sigue:

ff , (x) - 0,9 - >r ncl [sen (wt - ~ x) + sen (wt + -~ x) ]

= 0,45 n I [ sen (wt - — x) + sen (wt + — x)]

ó f r-i) (x) =0,45 n I sen (wt - —x)

+ 0,45 n I sen (wt + — x) (2-10)

Esta ecuación está compuesta de dos términos, la cual

analizada significa que es una onda constituida por la suma

de dos ondas cuyas amplitudes son iguales, pero que tienen

signo contrario. Esta ya no es la ecuación de una onda es-

tacionaria, sino es la suma de dos ondas viajeras, cuyas di_

recciones de propagación son opuestas.

23

2,2, ECUACIONES PARA LA MAQUINA TRIFÁSICA

Para proseguir con el análisis se toma a partit de

este punto la máquina trifásica por ser la máquina más fre_

cuente, y para introducirnos a la generalización de las e-

cuaciones.

Las tres bobinas están distribuidas en el estator si-

metricamene como se ve en la fig, 2-3 es/decir están desplsi

zadas 120 grados eléctricos, y están alimentadas por tres

corrientes de igual amplitud y forma senoidal, pero defasa-

das en el tiempo 120 grados. "La ecuación para la bobina No.

1 será como en la Ecuación 2-8.

FIG. 2-3

(x) = 0,9 n I sen eos -x (2-11)

. 24 .

mientras que las de las otras bobinas estarán desplazadas

120 grados:

fi;[(x) = 0,9 ncl sen (wt - 120) eos (-~x - 120) (2-12)

fli;[(x) = 0,9 ncl sen (wt - 240) eos (—x - 240) (2-13)

La onda resultante que se obtendría, y que es igual a

la suma de las tres ecuaciones anteriores se obtiene :

£ - f j ( x ) + fjr(x) + f T T - r W = ° > 9 ncí [Sen Wt COS ^~ X

+ sen(wt-120) eos ( —x - 120) + sen(wt-240) eos— x-240

Introduzco la identidad trigonométrica de la ee. 1-9

f = 0,9 n I • i ísen (wt - ~ x) + sen (wt + 7- x)J, L. ¿- L L 1

sen (wt-120 + — x - 120) sen (wt-120 -^— x + 120)

sen(wt-240 +— x-240) +sen (wt*240-*—- x+ 240)]

£T = 0,9 ncl . j [sen (wt~ x) + sen (wt+ ^— x)

+ sen (wt + • — ̂x - 240) sen (wt- — x) + sen(wt +31— x -480)T T T

+ sen (wt - — - x) 1T J

. 25 .

£T = 0,9 n i - \3 sen (wt - — x) + sen (wt + — x)I C Z L T T

+ sen (wt - í— x - 240) + sen (wt + ~- x - 480)] (1-14)

Los tres últimos términos de la ec. 1-14 son un sistema

equilibrado cuya resultante es igual a cero , por lo tanto se

obtiene que :

1 Tí= 0,9 • y n I 3 s e n (wt - — x)

7Tf_ =0.45 . 3n I sen (wt- —x)T c T '

la última ecuación indica una onda función del espacio, es la

ecuación de una onda viajera y cuya amplitud tiene un valor:

A = 1,35 n i con lo cual la nueva ecuación será:

fT(x) = 1,35 n I sen (wt - —x) (2-15)

Si nos colocamos imaginariamente en el rotor veremos a

esta onda como un campo magnetomotriz, de amplitud constante

viajando en el entrehierro. Este es el momento para dej ar

establecida la diferencia entre la ecuación de fmm. encentra^

da para la máquina monofásica y la ecuación de fmm., encon -

trada para la máquina trifásica.

- La ec. 1-8 es una fmm. alterna

V-001958

. 26 .

es una onda estacionaria fija en el espacio,

cuya magnitud es variable ,

es sustituible por dos fmms., giratorias de direccio-

nes opuestas.

- La ec. 1-15 es una fmm. giratoria

es una onda viajera

tiene amplitud constante.

De todo lo cual se establece que el campo magnético g:L_

ratorio que se obtiene en las máquinas sincrónicas, nace a

partir de la rotación de la bobina de campo que está alimen"i"

tada por corriente continua, tanto en la máquina de induc

ción así como en la máquina sincrónica se origina un campo

magnético cu/as características son:

Máquina de inducción: campo magnético giratorio produ-

cido por bobinas fijas.

Corriente de alimentación alterna.

Máquina Sincrónica: campo magnético giratorio produci-

do por una bobina giratoria.

Corriente de alimentación continua.

Las ecuaciones de las armónicas en la máquina trifási-

ca serían:

. 27

£ T = 0,9 n I sen wt eos — x - -=• eos — x +ai c L T ó T

1 5ir 1 7ir•=- eos — x ~ y eos — x + . . .

f II = 0 , 9 n i sen (wt - 120) f c o s ( ^ - x -120) = ~a c ** ^ *i

eos (4f x - 360) + ^ eos (^p. x - 5 . 120) x

- y eos ( — x - 7 x 120) x + . . .

£ T T T = 0,9 n I sen ( w t - 2 4 0 ) [ eos (-^- x - 2 4 0 ) - ^(eosaj .JLJL C ^ o \ x -3 . 240) x + ~ cos(4^ x - 5 . 240)x

- ~ eos (7r x - 7 . 240)17 ~T" J

ya que el espaciamiento entre bobinas de cada fase es:

120 grados para la fundamental

3 - 120 grados para la tercera armónica

5 .. 120 grados para la quinta armónica, y así sucesi^

vamente.

La-suma de las ecuaciones de cada armónica dará la ar_

monica resultante en cada caso.

Se realiza en primer lugar el sumatorio de la tercera ar_

momea:

E f 3 00 s - 0,9 -• 3* n I [sen wt eos ^L + sen (wt- 3.120)

eos (̂ x - 3.120) + sen (wt-3 . 240) eos

,3irx - 3.240

= sen a eos b = y [5en (a + b) + sen (a - b ) |

£ 3 C x ) = - 0 , 9 . 1. . 1 n i [sen (wt + ̂ ) + sen (wt ~) +

2 TT "̂ TTsen (wt + — - 480) + sen (wt - — + 240) sen

(wt + ̂ ~ + 960) + sen (wt - — + 480

Son dos sistemas equilibrados de tres ventores eada uno e

iguales a O.

(x) = -0,9 , 1 - I n Iv(o) = O (2-16)3 2 c

Lo cual significa que no se generan fmm de componentes de

tercera armónica en la máquina trifásica; un análisis si

lar indica que ninguno de los múltiplos de esta onda exis-

ten en esta máquina.

Realizados los sumatorios para la quinta y séptima ar_*

mónicas se obtiene:

29

= 1 . 1,35 n i sen (wt + STT x) [2-171r- C "̂5 T

f 7 ( x ) = !_ . 1,35 n i sen (wt - 7n x) (2-18)/ -~< *_7 T

2,3, ECUACIÓN GENERAL PARA LA MAQUINA SINCRÓNICA

GENERALIZACIÓN

Las ecuaciones 2-8 y 2-15 fueron deducidas baj o la pre_

misa que se tenía un grupo bobina por polo por fase (q=l) en

adelante trataremos de introducir una ampliación, cual es pa_

ra q mayor que uno para este caso basta hacer la suma geo-

métrica de las q fmms. de las bobinas sencillas, debido a

que tanto las ecuaciones 2-8 como 2-15 denotan funciones senoi^

dales y por tanto se las puede manejar como vectores, así la

fmm. resultante será la fmm total de las fmms individuales de

cada bobina sencilla.

La diferencia entre una máquina con q = 1, y con q>l

constituye la deformación que sufre la onda por efecto de la

distribución de las bobinas, efecto que se refleja en la apa-

rición del factor de distribución (qkd), y aun más si el paso

. 30 .

de la bobina no es un paso completo, sino fraccionario tam

bien aparecerá el factor de paso kp.

La relación general en cuanto a la amplitud de la on

da de la ecuación general, se obtiene fácilmente de las e-

cuaciones de la máquina monofásica a la trifásica:

1,35 n iC , r m # ,-. -z t k r: , • m ra ff • t - a coc rJ- j O -i j J l l " X c L ^ C C )

0 , 9 ncl

que es precisamente la relación del número de

fases sobre dos, lo cual quiere decir que además las fases

también tienen una ingerencia directa sobre el resultado

final de la fmm.

Ya puede escribir por tanto la ecuación de la ampli-

tud de la fuerza magnetomotriz:

F = 0,9. m . nr q k, k I . (2-19]V "o"

. 31 .

= 0,9. m nc N

2

Fv = 0,45 m N kd k I (2-21)P l

Hasta aquí se ha introducido una generalización sobre

la ecuación de la fundamental. Ahora se tratará de prose -

guir el análisis para las armónicas, por tanto tomo la ecua

ción 2-7

[-] -7 — -1 _ _ t - ' l

" Tcos ll x + l eos 5 - x

5

\s 7 - x + ••• 17 T J

aisladamente cada termino son las ecuaciones de las armóni-

cas :que para el caso son 4e ondas estacionarias conocidas

como "fluj os armónicos" estacionarios.

El termino correspondiente a la tercera armónica es :

f3(x) - -0,9 . j ncl sen wt cos ZL x (2-21)

que para la armónica de orden V sería:

"V 1£ s va = Fsv sen wt ees \ 7̂ ^ (2-23)

Fsy amplitud de la armónica de orden v

Se le puede descomponer como se hiciera antes (en la ecua-

ción 2-8) en dos integrantes girando en direcciones opuestas

32

= - 0 , 9 . i . ^- ncl [sen (wt - ¿1 x) + s

"^Tí(wt + ¿- x

en

tomando en cuenta que la ecuación 2-21 ya tenía signo con-

trario que la fundamental , se concluye que :

Cada armónica se puede descomponer en dos ondas que via-

j an en sentidos contrarios , y que tienen signo propio . Así

mientras la tercera armónica se opone a la fundamental, la

quinta armónica concuerda con ella, y sus descomposiciones

serán similares variando únicamente en cuanto a los signos.

Por inducción del estudio hecho para la tercera armó-

nica, y además introduciendo las particularidades de la má-

quina sincrónica de polos salientes se puede generalizar

las ecuaciones de la siguiente manera:

En cuanto a las amplitudes, se tendrán las siguientes

ecuaciones :

If m^ph C+) C 2 - 2 4 )TT V

FV T

. 33 .

y las ecuaciones completas serían para el estator.

fvi= Fvi sen (wt - -^ Xi ) ( + ) (2-26)

sen[(2s-l) wt + — Xi] (-) (2-27)q T J

Para el rotor la amplitud sería:

TI V I T . . 1 o \ . _ i. C1ULJ. ,,

sendonde: Kv'u' 1 2

sen ( u1 -v1 ) TÍP m^

donde m2 =

= N2 "p

y las ecuaciones totales son:

f u1 = F u 1 K i i sen ( S ( 1 wt - — — x9 ) (2 -30 )V U V V T ^ ^ ^ J

En estas ecuaciones se han introducido los factoresi !

de paso y distribución cuya explicación se encuentra en el

Anexo A.

C A P I T U L O I I I

A R M Ó N I C A S DE TIEMPO

3,1, ORIGEN Y DESARROLLO EN UNA MAQUINA FUNDAMENTAL

Considérese un alternador elemental como el de la

figura (3-1) que consiste de una bobina con n espiras

que gira a una velocidad uniforme ̂ y que el campo mag_

nético giratorio que ofrecen los dos polos^son uniformes 3

condición esta que implica que la densidad de flujo en el

plano diametral coincidente con la bobina en el instante

t = 0; es igual en todos sus puntos, que expresado en fór_

muía es :

Bm - (3-1)

donde: Bm - es la densidad máxima de flujo

D = es el diámetro de la bobina

I = es la longitud total axial

A/ espiras

Fig. 3-1 Alternador elemental

¿"(componente radial)

Análisis del alternador elemental

F T G . 3-J

. 36 .

para un momento t = t la bobina formará respecto de su po-

sición inicial un ángulo 9 y ahora el flujo que atraviesa

la bobina es :

$̂ = eos 9 (3-2)

cuyo valor de fuerza electromotriz es entonces :

sen 9 d 9 (3-3)dt dt

De la ecuación 3-3, el término d9 expresa la velocidad dedt

rotación de la bobina, la cual expresada en función de la

frecuencia se s u s t i t u y e ;

e = 2 TT/£ N sen wt ' (3-4)

el valor eficaz e = VTTr -£ N $sen wt y la amplitud es Vy E

e = VT E sen wt (3-5)

Cualquiera que sea la distribución espacial de la den-

sidad del flujo, que es función del ángulo espacial 9; la va_

riación en el tiempo de la fem por conductor tiene la misma

forma, puesto que es función del tiempo t, la incidencia de

tiempo y espacio se la realiza para

T _ 2ir1 " w

De la forma obtenida para la f.e.m. se observa una vez

más 1.a presencia de armónicas cuya ecuación vendría dada por

. 37 .

la siguiente expresión:

e = VT En Sen (v wt - — v) (3-6)

3,2, DESARROLLO EN MAQUINAS TRIFÁSICAS

Como se deduce del análisis sobre fmm en máquinas tr_i_

fásicas en el capítulo segundo, en este tipo de máquinas se

anulan los fmms armónicas de tercer orden> así como todos sus

múltiplos lo cual señala concluyentemente que si estas orde-

nes de armónicas de fem aparecen en una máquina trifásica ,

no deberán su existencia a la presencia de las primeras, si-

no que necesariamente tendrán otro origen.

Con este precedente, analizaremos la primera armónica

que aparece en una máquina trifásica y que es la de tercer

orden.

fase 1

E3 sen 3wt fase 1

E3 sen (3wt- 350° ) ̂ E^ sen 3wt fase 2

e3 = VT E* sen (3wt- 720°) = V7 E3sen 3wt fase 3

de lo cual se deduce que las componentes de las tres fases

están en fase, al contrario de la fundamental que componía

un sistema equilibrado, una vez más para la armónica de or

den n .

7-rre = VT En sen ( vw.t - — v) (3-7)

3,3, GENERALIZACIÓN

La máquina de la figura 3-2 es una generalización del

alternador unipolar de la fig. 3-1. Estructuralmente dif ie_

ren principalmente en el movimiento relativo entre la arma-

dura del inducido y el campo magnético. E-s evidente que la

f.ejn. inducida en una máquina bipolar pasará por un ciclo com_

pleto, mientras que la máquina multipolar lo hará en el án^

guio subtendido para dos pasos polares, es decir que la fem

será p veces la de la máquina bipolar.

e = 2 irf E-) sen wt.

De lo examinado se observa que la fem inducida varía

38 A.

Fig.3-2. Al ternadormult ipolar de campo g¡-rbtorio.

F I G . 3 -2 -

. 39 .

con respecto al tiempo, como antes la fmm se distribuye en

el espacio.

La fem total es para cualquier instante la suma

algeb'raica de todas las fems instantáneas de los conducto-

res en serie que dependerá de:

a) La distribución de la densidad de Mujo en el en -

trehierro.

b) El número de conductores en serie y la forma en que

están dispuestos en el inducido.

c) La velocidad relativa con que los conductores se mue-

van en el flujo.

Así como cada fem elemental de frecuencia fundamental

se suma para dar la fem resultante principal, así también

cada serie de fems armónicas de su frecuencia respectiva se

combinan con sus semej antes en cada fase para dar una resul_

tante de armónica de frecuencia propia.

Pero la forma en que se combinan estas componentes in-

dividuales no es la misma para todas las frecuencias, con el

. 40 .

resultado de que la fem resultante (en función del tiempo)

no es en general igual a la forma espacial de la onda de

densidad de fluj o de la que dependen todas las fems .

Hasta aquí se han considerado las bobinas^ como de pa_

so diamental y concentradas como se observa en la figura si_

guiente:

Fig. 3-3. Armónico de flujo.

F I G . 3 - 3

pero si el devanado es de paso acortado, el caso sería

que se observa en la figura a continuación:

el

. 41

Fig. 3-4. Devanado de paso fraccionario

F T G . 3-4

Lo cual hace reflexionar en el hecho de que una gene_

ralización debe contemplar estos factores, hecho lo cual se

tendría para la armónica de ordenv

E., - 4,44 k, f N $V } dpy r x n C3-8)

Cuando la distribución de flujo*no senoidal la ecua

ción de intensidad de flujo vendría dada por:

B -n

n=lB sen

V£ B eos, Vn=l

(3-9)

. 42

Y la observación de la figura siguiente daría una i

dea objetiva, de esta característica.

F|u]o fundamento!iFem fundamental

r»m resultantedevanado de pasofraccionarlo

Distribuciónresultanle de f lujo yonda do la fom dadevanadoconcentrado

J . l__ r, , •~"^1. i --- 'Paao da devorado«^3?.-' ' i .ónlo

Fig. 3-5. Variotion de la' forma de onda de lafem debida a[ paso fraccionario

F J G . 3-5.

4,1, EN EL ESTATOR

A continuación se pretenderá obtener un criterio ^

mático que nos permita señalar la existencia de un orden d_e_

terminado de armónica.

Como se había deducido en el capítulo primero ecuación

2.23 la ecuación correspondiente a una fuerza m.m. existen-

te en una fase cualquiera de la máquina sincronica.es: ;

fsvA s Fsv sen wt cos * C4-1)

en donde el subíndice l indica que se trata del primario de

la máquina x̂ } una coordenada fija en el primario de la máqui_

na.

En esta ec, la longitud de la fundamental es 2 T y su am

plitud es:

F (v = 1) s 0,9 Ni !5dp 1 Cv = IPIi (4-2)

(p = pares de polos

. 45 .

Entonces la ecuación correspondiente a la fase adya-

cente será:

f 115= F , sen ( wt- — ) eos (— Vir - ll v ) (4-33s vB sv ^ mi J ^T mi J ^ J

y para la fase de orden N sería:

j- i- r ^ 2ir ... ,xi ir 27T ,..f = F s e n

- 46

trifásica, la variación será:

wt, wt - 120°, wt - 240°

pero en general la variación seráen;—• N; N=0,l,2. . [mi -1)

- mientras el ángulo de espacio variará, según el ángulo

anterior y relacionado con el orden de la armónica así:

m

Ahora interesa obtener la resultante de la onda dei

fmm para la armónica de orden, v y que se obtendría hacien

do el suma torio de la fmm de c/fase así (se ha aplicado a-

demás' las 'identidades correspondientes a sen [a + $) ; sen

([sen (I L \- - - eos N (v -1)= ^ J mi

eos (wt - xi —) £ sen N ( v-1) 2ir

N=0 ml

mi -1r f ^ x i ir v \ ,. , , n > 2 i rsen (wt + ̂ ~ Z eos N ( v + 1)

L T / •xr_n

m -1 ? Aeos (wt + X I T T V \ sen N (v + 1) ^— ( 4 - 6 )- • i IU i -J /

7

IU i

N=0

Como puede verse en la ecuación los dos primeros Tniem_

bros representan a una onda viajera en sentido positivo, y

. 47

los dos últimos términos otra onda viajera en sentido con-

trario .

La ecuación 4-6 tiene la particularidad de:

f (tixi) = f (para + \jsin el segundo término + f (para - vjsin

el segundo término

por tanto basta analizar los dos primetos términos deecua -i

ción y considerar valores positivos y negativos para v enton-

ces la ecuación se transforma en

- mi-1 mi-1= ~ F sen A £ eos N B + eos A I sen NB (4-7)

2 SV N=0 N=0

donde A = wt - wi irv (4-8)T .

B = (v-1) — (4-9)^ J mi J

introduciendo en esta ecuación (4-6) la equivalencia que se

indica en el Anexo B-2 se tiene:

2 SV

sen ( nú- 1 ) B/2 sen[A+ mi|l (4_1Q)sen B/2 L 2 J

«í°y por tanto se puede concluir el criterio de existencia de

esta función será analizada por la variación de la función

. 4¡

seno como ;

i 2ir (4-11)

o bien v ~ kiiru + 1 (4-12)

- donde kies un entero positivo, negativo o cero-ya que la

función senoidal será siempre cero para ki2ir.

4,2, CRITERIO DE EXISTENCIA DE LAS ARMÓNICAS DEL ROTOR

El criterio de existencia de las armónicas de rotor se

logra mediante un procedimiento muy similar partiendo de i-

guales consideraciones y de que para el caso del rotor la e-

cuación a considerarse será:

M mz \ m2f N= -TT N=—i i / 2 • \ u'rest. = y Fuá sen A1 £ eos B1 + eos A1! sen B1]-

^ N=l N=l /

+ i F ua [ sen C1 £ eos D1^ eos D1^ sen CM (4-13)

I T A ! ^ ^ U T T ^ l n ^ . U 1 " ^donde A1 = s v iw t - - - xz C •= s S v iw t + r- —

P

. 49 .

para valores de u1 positivos y negativos, logrando llegar

a que :

u1» k¿m2p + \>l (4-14)

este criterio es válido tanto para jaula incompleta como

para jaula completa si se considera a esta última dividida

en dos partes cada una de las cuales conduce Ibv12

teniendo m2 - Q2P

o^TTU /2 = Np

= I C4-15)Iphv> = p

La ecuación 4-13 puede ser analizada como puede obser

varse en el capítulo correspondiente a circuitos equivalen-

tes, descomponiéndose en dos sistemas, en .donde las corrien_

tes del rotor referidas al estator son:

I i £ correspondiente al sentido de giro positivov a

I ib correspondiente al sentido de gito negativov a

cuyas fuerzas magnetomotrices correspondientes serían:

u ' - v 1r 1 V ? T / - P Ufu = -^ I i , f - ^i sen — Tir v 3 u °

U Tí

P 2P

sen u --.v1

• " * / * •

«sP 2

i i

r c ^ U1 TT , Sen NP V^ ° S / 2sen( s v l f - - - X2 ) - 1

sen u 1 + v1 as

1 m-

senC Sv,( wt + £ ?

50 .

(4-16)

mientras que para el sistema de sentido de giro negativo

sería:

fu'-'- u1 • senu1P

TT

2 .!

.o,, i , H p 2

u1-*- v1_G c n p a s /2

sen(

sen Np u 1- v 1P

senP

~ C4-17)

Como puede verse una vez más la variación que una e-

cuación a otra es únicamente de signo, por tanto en adelan

te se procederá al análisis únicamente de una de ellas pa-

ra facilitar y acortar la evaluación.

. La diferencia entre los dos sentidos de giro es ade. ̂

nías el deslizamiento cuyos valores son los de las ecuacio-

nes 1-5 y 1-6.

Las ecuaciones 4-16 y 4-17 están expresadas en termi_

51 .

nos de la coordenada x^ del rotor, para poder expresar la ve_

locidad de la armóndca u'del rotor, con respecto al estator,

estas ecuaciones deberán expresarse .en términos de x., que es

una coordenada del estator, lo cual se hace mediante la ex -

presión:

X2= Xl - (1 - S) wt (4-18)

Para determinar las armónicas de f luj o u' se deberá in_

tr educir en las e cu ación es [4-16} y [4-17 J, el valor de per -

me acia del entre hierro jefectiva:(-L)Gff,

i ) eff = gkc( 1 - X eos

2lT(4-19)

kc = factor de Cárter.

A —

x i - xad aq

C*ad + Xaa)/2

Introduzco 4-18 y 4-19 en 4-16 se obtiene

bu1 = VT 5,19

gkc

(4-20)

u - v as

£• -sen u1P 7T2o c j i isp • - • • •

- u1 - v l as

r. 7

2

52

sen Np

sen - s u irwt - -*-

senP

/- nsen C 1 rn -A ^ , U* Tí \t + - -xi. j -sen Np u-v1 as

P 2

sen u - v as

2

sen(2s-l),wt- u1 - 2p TT- — i-

(r f i o -v , u1 -sen [(3-2s) + —I

. wt -

sen Npu1+ v!as

sen u •*• v as

[Sení[(25-1) - u+vP

wt

. wt

2p1

p

u 1- 2pP

Xlí rsen I [ (3-2s)

(4-21)

que es la ecuación del valor instantáneo de la distribución

de -flujo de la armónica de orden u1 del rotor.

52 A

Valga acotar que tanto la ecuación (4-12) como la

ecuación (4--14) describen la existencia de armóni-

cas en el estator y en el rotor, respectivamente y

son válidos sobre las consideraciones posteriores

que se realizan al introducir las variantes de des-

lizamiento , coordenada de referencia, etc., que se

efectúan en las ecuaciones posterioes a ellas has-

ta la ecuación (4-21).

Asi por ejemplo, un arrollamiento trifásico (m=3)

producirá las siguientes armónicas: (De la ecuación

4-12).

Para % = O KI = -1 K. = +1 K± = -2 K± = +2 ,

se tiene:

V = 1 = -2 = 4 = -5 = +7 .

Como puede verse no aparecen las armónicas de ter-

cer orden, ni ninguno de sus múltiplos.

El signo de V , indicará el sentido de rotación de

la armónica.

De modo similar, la ecuación (4-14) dará la informa-

ción de la existencia de las armónicas en el rotor.

. 53

¿1,3, ARMÓNICAS DE RANURA Y SUBARMONICAS

4-3 . 1 . INTRODUCCIÓN

En el estudio precedente sobre el campo se ha ignora_

do el efecto de las ranuras en la superficie del inducido.

La expansión de flujo en los extremos de los dientes hará

que la forma del campo contenga ondulaciones que si perma-

necen fijas respecto de las caras polares podrían tenerse

en cuenta como una armónica adicional de la forma del cam-

po , no obstante lo que realmente ocurre es que las expan - •

siones de flujo siguen a los dientes a su paso por la cara

polar, logrando el efecto final de la superposición de un

flujo adicional sobre el flujo principal produciéndose pu_l_

saciones cuya frecuencia es aquella de paso de los dientes

por los polos salientes. Por consiguiente si hay q ranu-

ras por polo y por fase, m fases, habrán 2 mq ciclos de la

frecuencia de los dientes por cada ciclo completo de la

frecuencia fundamental.

•fd -

. 54 .

Introducidas estas consideraciones en el flujo obte-

nido en la ecuación (3-2) se obtiene:

¥' = O + i sen 2 ir

. 55

4.3.2. ARMÓNICAS DE RANURA

Se denominan así a las armónicas que tienen el mismo

factor de devanado que la onda principal.

Las órdenes de estas amónicas son para el estator

v - + N Oí , n x. _ „ ~r — p * 1 N = 1, 2, 3, etc. y

para el rotor

Hr B ± N & + i N = 1, 2, 3, etc.

La ecuación de distribución de flujo de las armónicas

de ranura con un factor de amortiguamiento D aproximada-

mente igual a 1 es :

sen wt -

donde:

A i n = 0.45 mj —r N k, , iv s a v dplv

tensión final} se utiliza como referen_

cía para 1 1 .

Lar armónicas de ranura se ven afectadas en su magni -

tud por una serie de ondas de "abertura de ranura" cuya ev_a

luación no se ha realizado hasta hoy, encontrándose única -

mente que estas ondas aumentan las armónicas de ranura del

56

estator.

4.3.3. SUBARMONICAS

Cuando se inicia el estudio de armónicas, resulta na_

tural tomar una fundamental de longitud de onda igual a 2^

y se lo hace así porque el perímetro total de la circunfe-

rencia de la armadura guarda una relación directa a los

pares de polos que está determinada por la siguiente rela-

ción :

p

pero esta longitud, de onda provoca entre las armónicas de

ranura la existencia de valores fraccionarios lo cual impli_

caria la existencia de armónicas fraccionarias; para obviar

este problema se define una nueva onda cuya longitud es:

TTD

Con esta nueva longitud de onda, la fundamental ante-

rior resulta una armónica, o como se denominará en adelante:

una onda de dos polos.

Valga la acotación de que esta onda existirá efectiva-

57 .

mente en devanados congruentes en máquinas de dos polos pa

ra otro número de polos la onda es ficticia. Mientras que

en devanados no congruentes existirá la onda de dos polos

aun en máquinas multipolares.

Si se desarrollara un ejemplo cualquiera existirían

como puede verse, además de la fundamental armónicas de or_

den superior pero también armónicas de orden inferior que

la fundamental, a estas ondas se las denomina SUBARMONICAS.

La subarmónica de orden 1 será una onda de dos polos,(por par de polos).

Las subarmónicas viajan a velocidad elevada y están

amortiguadas normalmente por corrientes parásitas que aque-

llas producen en la superficie del hierro•

La relación de la fundamental asumida en el acápite

presente con la onda de la longitud 2T se establece para

las armónicas a través de las siguientes ecuaciones :

v1 = vP en e^ estator •

ii1 = up en el rotor

* * *

EFECTOS DE LAS ARMÓNICAS

Se parte del hecho de que únicamente la onda funda

mental produce un par motor útil mientras que las armoni •

cas producen fuerzas tangenciales y pares motores parási

tos ,

5.1, TORQUE SINCRÓNICO

Para la producción de este tipo de torque se requie_

re que en' general tanto el rotor como el estator estén cp_

nectados a una fuente de alimentación, por lo tanto se

consigue un par motor útil y uniforme a un solo valor de

velocidad.

La ecuación general del torque sincrónico para las

armónicas es:2pT

T - 0,738 x 1 0 - - K I avblbualdx (S-l)

En esta fórmula, la armónica del rotor búa1 está prodia

cida por la armónica del estator va' donde:

. 60

Vb

A YIPT

Ni k, v, i If (•O (5-2)

wt

Avb pr nú v, ! Ib (-) (5-3)

v r _ VT 3,19 T , ry bya, " ~F gkc va1 J ± L'

~n ,i +

UA TT 5,19 iir ' gkc va't C2 .. { (2s-l)

ua - va :. wt -U.'TT

p T(5-4)

búa1 ,' ," ~ igkc va, 1 -•y a - v a.P

(1-s)] wt

ua 3,19

ya1- va1 *wt + (5-5)

donde: C l _ z - senua sen Np

ua1 +

senua as

P 2

(5-6)

. 61 .

Ci corresponde signos ( + )

Cs corresponde signos (-)

Asi pues como para cualquier caso de torque sincróni_

co su magnitud, depende de la posición relativa de las fmms,

y para el caso de la posición relativa de las armónicas de

fmm de estator respecto del rotor, en las e cu ación es (5 - 4),

(5-5)y(5-6)se ha considerado el instante t = O y por consi-

guiente X2 - Xi .

Pero se sabe que la condición general para t - O es

Xi = Xi - x^1 condición para la cual se deberán introducir

el ángulo de tiempo, y el espacio, así como un ángulo V̂ Q j

que introduce el desplazamiento entre las corrientes pr_i_

marias y secundarias.

Ángulo de tiempo ( - v^ . ir/ p T ) x2

Ángulo de espacio ( y¿ ir / p T ) X2

A continuación se analiza bajo que condiciones exis-

ten torque sincrónico:

Se necesitará la intervención de las armónicas VA¡ y.A

v-pi del estator V A Í induce y A l en el rotor, y esta pro-i5 }\

duce con v«i un torque sincrónico siempre y cuando ,

. 62

(5-7)

donde la ecuación 5-8 impone una igualdad sobre la veloci_

dad de propagación de las armónicas a un valor definido de

deslizamiento.

Si una vez más se tornadla descomposición en ambos

sistemas t positivo y negativo, según su sentido de rotación

se conseguirá la siguiente gama de combinaciones:

para If (+)

V IA = V í^ ; U A 1 ^ ^ AyA vB ' HA A

U * i ~vt>i produce un torque sincrónico a deslizamiento S=l

H A I = = V I produce un torque sincrónico a deslizamiento

S =

para Ib ( - )

VA

y j = +v-ni produce un torque sincrónico a deslizamiento S = l

y i - -v i produce un torque sincrónico a deslizamiento.'A B

oy-y) * 2P5 = - - -

V V + 4P

pero además es posible la existencia de torques sincróni-

cos para la combinación de ambos sistemas, es decir por

las armónicas del estator producidas por If y las armóni-

cas del rotor causadas por Ib; para

V

y A i = v -ni produce torque sincrónico a deslizamientoJ\

=_ yA1- vA1

y i =- vp i produce torque sincrónico a deslizamiento S = 1/\ D

Y por último las armónicas del estator producidas por Ib con

las armónicas del rotor causadas por If producen para:-

v

y 1=+v.Ri produce torque sincrónico a deslizamiento:

S = V- ^A1

. 64 .

De lo expuesto es evidente que los torques sincroni_

eos son muy numerosos, y se producen para una gran varié -

dad de condiciones.

5,2, TORQUES ASINCRÓNICOS

Los pares motores asincrónicos tienen una caracterís_

tica par motor - deslizamiento de la misma forma, que la

onda principal; pero aquellos causados por las armónicas a_

parecen como caídas, en aquella.

La fórmula general para el torque asincrónico es:

T - n V-^Q vl n v s iX2m2 v1V" °>738 ÜT^^v1 —1_

N

2 sen2 í i /o-,^as2v /2j

Similarmente a lo que ocurre en la máquina de induc-

ción un par motor asincrónico se produce cuando la fmm prin_

cipal del estator produce una onda de fmm en el rotor que

tiene el mismo número de polos que la onda del estator y

. 65 .

que está estacionaria con respecto a la onda del estator a

cualquier velocidad del rotor, adaptando este criterio a

lo que ocurre en la máquina sincrónica, con respecto a las

armónicas se tiene que:

las corrientes del estator : If i (+)

las corrientes en el rotor son: I,- i ( + )

se producirán torques asincrónicos en la máquina en estudio

cuando las armónicas inducidas por If i estén estáticas res-

pecto de las armónicas del mismo orden inducidas por If i en

el estator lo cual sucede para las siguientes condiciones:

y'= v 1 y 1 = 1 + ]L-~~ Cl-s)

. 66

La evaluación del torque máximo interesa para preve-

nirlo . Para torque sincrónico el valor máximo se produce

para :

^ n 7- 7-1 ' i n ~ 8 _ , .. , 2 dpVa1 dpvb1 sva1Tmax - 0,332 x 10 Tle (miNij x — l - ' -Np Ksva1

If B , I 2 (5-12)

En la ecuación 5-12 se puede sustituir If por Ib se-

gún el valor de avb*que se considere

A esta ecuación se llega a partir de la ecuación 5-1

introduciendo en ella 6\, en vez de la suma de los wt térmi-

nos y los términos constantes; y su diferencia por

. 67 .

y se observa que el valor máximo será para sen ( ¿i) = 1

o sen 62= 1

Para el torque máximo asincrónico la evaluación se\

realiza^diferenciación de la ecuación '5-9, respecto de s i

Pero como 11 i no es una función simple de s i sino muy

complicada, debe asumirse que esta diferenciación es una

constante, lo cual se puede hacer gracias a que a desliza-

T̂mientos elevados esta corriente varía muy ligeramente.

Tmax = 0 , 3 6 9 ^- Q2 Xm2x)1 - (5-13)

1+ ^v1

siendo Smax:

c , ' r * V l rv, I" £r- (5-14)S y m a x ™ : — v v '

5.4. REACTANCIAS DE DISPERSIÓN

5.4.1. INTRODUCCIÓN

Se sabe que en la máquina sincrónica se desarrolla un

flujo que no está enlazado con las bobinas inductoras; el

inducido desarrolla un flujo que circula alrededor de las

ranuras y de las cabezas de bobinas, denominado flujo de

dispersión, que es proporcional a la corriente y que por con

siguiente da lugar a una reactancia constante o reactancia

de dispersión.

El flujo de dispersión es diferente de aquel flujo u_

til que concatena con el inducido como puede verse en la -

figura 4-3-1.

ú t i ldispersión

FIg.4-3-1.— F l u j o ú t i l y f l u j o de dispersiónen un circuito magné t ico de m a q u i n a sín-crona.

Pero la dispersión no solo existe en el rotor sino

también en el estator, que se cierra sobre los conductores

del estator.

La dispersión del inducido se puede considerar com -

puesta de tres partes:

a) El flujo de ranuras, aquel que se cierra alrededor de

la ranura del devanado inducido.

. 69

b) El flujo de dispersión de cabezas de diente o zig -

zag.

c) El flujo de dispersión frontal o de cabezas de bobi_

na, *

La reactancia de dispersión se cuantifica para el flu_

jo principal, el objeto de este acápite es dejar cuantifica-

da la reactancia de dispersión para las armónicas.

La dispersión para las armónicas se denomina también

dispersión diferencial debido a que el sumatorio de las ar-

mónicas de una función es igual a la función total menos la

fundamental.

Se exponen a continuación las ecuaciones de las

reactancias de dispersión armónica, así como las ecuaciones '

correspondientes a los valores de reactancias de flujo prin_

cipal respecto de las armónicas.

5-4.2. EN EL ESTATOR

Reactancia de flujo principal con respecto a cualquier

armónica válida para q entero o q fraccionario:

i _ _ , c ,.2 pT le -m"8 cxmiv1^ 0,16 mifiNi-í; 10 C

. 70 .

y la reactancia de dispersión armónica válida para q ente-

ro :

^l1 ^ ^ P ' ̂ l u?¿ í *• V

R^n

De la cual el ' . Qnrt

s u m a í o r i o se evotua1 en ^ 750b.

g r á f i c o a d j u n t o : •§-:> '°°

U\ 5 e5°

"i.s- ^so.§. c; ODU— -^ snow^

CQ|̂M 4°°

r- 350%"*•*:•7— -^" 30O

r-; r- i A CQF i g : 5-2 LAJ xCQ c £50

ZOO\0

1ÜO

50

0

y donde x n u f v ^ p / Z ) = 1,6 m i f

T/G . r , „ , n - 3 ^/ fase

)

•~~->~

"— .

X.

_ÍK._

-V^-

*̂ ,

^-

1^

/ J

^

•^ ̂

'

\

""^^

'*-

"—J±i^J

~- J

' -^

0

\\\. u

\

•̂ ^

^=»-*^

— ̂ .~^~-

-^__

1 — — .M^_

9

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J V.

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0

^v^\\ — .

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1

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• — -^

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— — .

7

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•̂ -̂ .

**• — ̂r-J~~' "—r~- —

0

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\

s>^«—N

±»^^_^ ;̂

>^-.

=>

•̂^^.^___

.6

\

V

\.

•̂

•v-r-

_,

0

. 71 .

de donde la variación de A para B par o impar se ve en la

figura siguiente: I

\0

34060 - 100300 — Z6O, ,' TT v'n

140 180"2.2Q IDO0

F T G . 5-3

5 . 4 . 3 . EN EL ROTOR

La j aula incompleta, para v = 1 produce a frecuencia

de deslizamientos corrientes en los dos sentidos de giro.

La corriente de sentido negativo, es regularmente me_

ñor que la de sentido positivo, especialmente a grandes -

deslizamientos.

Un valor aproximado satisfactorio para la reactancia

de dispersión diferencial se obtendrá considerando única-

mente las armónicas de flujo producidas por las corrien -

tes de barra de sentido positivo.

La influencia de los espacios interpolares se tomará

72

en cuenta a través de la reactancia de flujo principal por

la ecuación :

Xm = Xad + Xaq )5-15)

2

Como puede observarse en las ecuaciones 4-16 y 4-17

cada una de las componentes de by 1 índica una f.em y una

corriente en el devanado del estator .

Estas corrientes amortiguan los flujos producidos por

ellas. Si se denota con Iiy 1 la corriente del estator, se

. 73

Comparativamente el valor de r̂ /su1 es pequeño respec_

to de Xmy1 (1+ Tiy1) por ello se puede simplificar como :

1- — (5-21)

Con lo examinado la amplitud de la armónica de flujo

by 1 } ya amortiguada sería

B^D - ̂ |*̂

y1-] as

L sen y - P a

(A)

xisen Np

seny -*• p as

El flujo correspondiente a By^ es

* y ' - .^e=[onquiiud efectiva dd

núcleo

(5-22)

(5-23)

y la fuerza electromotriz inducida por este flujo en las b_a

rras de Damper que es:

VTT»• i 1 -, n-8 . ,By D - y • 10 volts. (5-24)

. 74

Luego la reactancia de dispersión debida a la

ca de orden y sería:

X i « ̂ - 2,032 £i-^~ - 10~8 Cy(P-r)2DyV barra (5-25)

" V* *kc "

siendo C la expresión entre los corchetes de la ecuación

(5-22) y la dispersión armónica diferencial de la jaula in

completa es

Xh,i = 2,032 fi1̂ - '- 10"8 ——^ Cy+(2-)2 Dy1 V barra (5-26)g c y J /p y l

para la jaula incompleta:

Xh = 2,032 £ -^-^ • 10~tí üi- ( £ )2 Abarra (5-27)oV 7 T\n V - , o _ - 4 - T iHA. " P -"̂ 2 —" " • 2 x 2 1 - '

evalúese el I por la siguiente figura de la próximo pagina.

El amortiguamiento de una armónica por las corrientes

del estator se incrementa con el decrecimiento del orden de

la armónica así como con el decrecimiento del número de po-

los .

En la j aula completa las armónicas producidas por las

corrientes a frecuencia de deslizamiento comienzan con las

armónicas de ranura que son del orden muy elevado, su amor-

tiguamiento por el estator es despreciable.

Rg.

20 24

pora jaula completa sin

Evaluación para la Ec. ( 5 - 2 7 J

. 75

Las ecuaciones hasta aquí expuestas no incluyen la

posibilidad de inclinación de las barras, si tal caso se

. da se incluirá el factor de inclinación.

Si se consideró que la reactancia de dispersión

armónica de la jaula completa sin inclinación era:

Xh3i « Xi - Xm (y* = p) (5-28)

donde xi es la reactancia de dispersión del devanado del

estator y xm la reactancia del flujo principal.

Ahora con inclinación sería:

sk = x- xm(y1= P)*s kjy1 =p)'< (5-29)

U1 3 assen p t2s 2

: = (5-30)

as

que Ksk, u es el factor de inclinación..

j& es la inclinación en . las mismas unidades que T2S.

as expresado en radianes.

El amortiguamiento se ve disminuido por la inclina -

76

clon de las barras, pero la reactancia de dispersión armó'

nica dependerá ahora de la posición relativa de las ranu-

ras del estator respecto de las ranuras del rotor.

C Q N C L U S I O N E S - Y ' R E C O M E N D A C I O N E S

6,1, PARA LOS FLUJOS A R M Ó N I C O S DE f . m . m .

Los flujos armónicos son indeseables por las siguien_

tes razones:

a) Porque distorcionan la curva de tensión.

b) Porque generan pares motores parásitos; ruido y vibra_

ciones.

c) Porque distorcionaTi la curva par motor velocidad, y o_

riginan pares motores de freno.

Por tanto es-aconsejable evitar o por lo menos redu -

cir las armónicas de f.m.m. lo cual se logra tomando las

siguientes medidas:

a) Usando devanado distribuidos y de paso acortado con

esto se logra reducir las armónicas aunque en detri -

mentó del valor mismo de la onda,.sinembargo la forma

que se obtiene es mucho más sinusoidal Las pérdidas

de tensión fluctúan entre el 3,5 y el 10%, dependien-

do del número de fases que tenga la máquina.

b) Un número de ranuras por polo por fase, elevada dismi_

. 79

nuye las armónicas .

Es interesante concluir sobre el estudio realizado a_

cerca de este tipo de armónicas que :

En máquinas trifásicas, se anula la fmm de tercer or_

den así como sus múltiplos t lo cual obliga a pensar que en

general una disposición adecuada de los bobinados eliminac

estas armónicas entonces: las armónicas de f.m.m. son debi_

dos a la disposición de los arrollamientos únicamente .

5,2, PARA LAS ARMÓNICAS DE LA CURVA DE

a) La curva de f.c.m tiene un valor eficaz definido por

la ecuación:

E l / T ' 2 . i T 1 2 . i T ' 2 i ! T % 2 i f C. ~\ V Ei + £3 + Es + E? + - - - . LO-IJ

para un mismo factor de paso k 1= k de la fundamental y

las armónicas, la f.e.m. resultante tiene un valor:

E, - En en una relación aproximada de:KC j.

ÍU- « 965o

Lo cual hace reflexionar en el hecho de que baj o estas

circunstancias el valor total de la f.,e.m. está determina^

80

do por el valor fundamental, y por tanto las armónicas re_

sultán despreciables.

b) El efecto del empleo de un devanado, de paso fracciona

rio es hacer que la forma de onda de tiempo de la f.

. 81 .

tan dirigidas desde los principios hacia los finales de

las tres fases, o viceversa. Por tanto, si se quiere e_

liminar el efecto que causa esta armónica, se deberá co_

néctar los terminales de la máquina en estrella, para

que se cancelen cada dos fases, porque si se conectase,

en delta se sumarán algebraicamente produciendo corrien-

te circulante que provoca pérdidas por calor.

6.2.1. MÉTODOS DE ATENUAR LA DEFORMACIÓN DE LA f.e.m.

Por supuesto una manera de anular completamente la de_

formación de la fcm, es tener una distribución de flujo

puramente senoidal pero como tal no.es obtenible, se lo -

gran buenas aproximaciones con las siguientes medidas :

a) Curvando y achaflanando las piezas polares , asj como las

superficies de las piezas polares para que al ser ma-

yor la reductancia hacia los extremos, sea máxima la

inducción en el centro y menor en las partes latera-

les .

b) Si se inclinan las ranuras respecto de las genetatri^

ees de la superficie cilindrica del inducido > ° bien

se construyen las piezas polares con sus bordes no pa_

. . . —-Forma de las piezafc polarespara conseguir un reparto idoal del flu-jo magnético.

FTG. 6-1

ralelos a dichas generatrices, con esto se consigue

que no entre a la vez toda la longitud de cada haz

activo, bajo la pieza polar sino que entre más pro_

gresivamente de tal manera la f.e.m. no estarán for_

madas por rectas verticales, sino que estarán incli_

nadas.

6,3, PARA LOS TORQUES PRODUCIDOS POR ARMÓNICAS

Los flujos armónicos y las armónicas de distribución

que producen, ocasionan fuerzas tangenciales parásitas

que distorcionan la curva po,r motor-velocidad.

Hay otras fuerzas parásitas que en cambio son radia-

les y que están asociadas a torques sincrónicos y ocasio-

nan vibraciones radiales.

La fuerza radial está determinada por la ecuación si_

guíente :

fuerza = cter

donde se define b como:

b = [(va + vhj + ( ya + ybj] (6-2)

es decir esta fuerza radial será ocasionada por armónicas

del rotor y del estator en combinación, o bien, por armóni^

cas solo del estator, o solo por armónicas del rotor.

Si en general se define n y m como las órdanes de flu_

jos armónicos, que tienen las siguientes ecuaciones genera^

les :

b 1= B isen (w it - n rrrr— X i ) (6-3)

1 1 J Tí /- -\a fuerza radial producida por estas dos armónicas es,:

fuerzar = cte1 . ̂ , BnlBmi [eos | (wn1 - w1 ) t - (n1 - m1 ) —-

(^-5)

eos ) (wn1 wm1 ) t - (n1 +m: ) — ̂ x/ 1 de lo cual se concluye^ ' JL L i Ji

que :

. 84 .

la fuerza radial producida por dos flujos armónicos cuales^

quiera consiste de dos ondas viaj eras cuyas velocidades an

guiares son:

wn1- wm1

wn1+ wm!

y cuyas ordenes son: n1- m1 que además corresponden al nu_

n1* m1

mero de pares de polos de fuerza respecto de la fundamen-

tal de dos polos-que en adelante señalaremos como P 1

P1 = concentraciones de fuerza

Como se señala en el capítulo de criterio de existencia

de armónicas, se debe introducir lo s ordenes tanto positivo s

como negativos de las armónicas, y entonces se supedita a e-

llos el valor absoluto de P'. Pero en general se puede decir

que mientras es mayor el valor de P' menor es la longitud de

onda para un diámetro fijo de la armadura.

Se sabe que el estator es más rígido a la distorsión de

onda corta es decir cuando P' es mayor; que a la distorsión

de onda larga o sea cuando P' es menor y como consecuencia

de esto se deben evitar los valores pequeños de P', aunque ca_

be señalar que este no es el único factor determinante de la

existencia de la vibración y el ruido.

En el gráficosiguiente se puede observar la distorsión

que sufre el núcleo del estator que corresponde a:

P ' - O , 1 , 2 , 7 3 .

?. Distorsión del núcleo del estator para diferentes números de paresda polos de la fuerza

FTG'. 6-2

Aquí se puede analizar que ocurre por ejemplo para

P' = O - n'- m'= O con lo cual la ecuación 5-4 sería una

n'+ m'= O onda estática que ocasionaría una £uer_

za pulsante produciendo ensanchamiento

y reducción del diámetro del estator.

P1 >0 La distorsión vi.aj a alrededor de la má_

quina con la onda de fuerza y produce

vibraciones de las que resulta el rui-

do magnético.

Estas conclusiones son válidas para el total de los c;

sos, porque a partir de ecuaciones generales, se introduce

la probabilidad de que la distorsión sea causada por dos

16 .

flujos del estator o bien dos flujos del rotor y por últi

mo uno del rotor y otro del estator.

Se procede ahora a particularizar el análisis para

Armónicas solo del estator.

Para este caso se cumple que:

wn1 = wm = w

w = 2 ir *

y por consecuencia: P 1 = va1 - vb ' -f' = O

P = va1 + vb' -f' =2£i

entendiéndose por f la frecuencia de vibración, que cuan-

do tiene valor de cero implica que no existe frecuencia

de vibración. Si dentro de estos se diera el caso que

va = vb = v' es decir que será una sola onda a tomarse en

cuenta, que produce un par de fuerzas.

P1 = 2V1 de frecuencia íl « 2fi

lo cual implica que cada armónica del estator produce ondas

de fuerza del doble de la frecuencia de la línea, tal suce_

de también para la fundamental.

(b) Armónicas sólo del rotor

Ese requisito implica que: n ' = ya ; m 1 = yb por tan_

- Vb

t >y a y b 2 + (y a + v * a ) + ( y ' b - v * b ) ( l - s ) l 2 i r f 3P

y por consecuencia:

j au la ( P^y ' a -y 1 b £ l - = (k2a- R z b ) m 2 (1-s)

incompleta [ p ^ y ' a + y ' b

m =y a ;p a es producida por v'b del estator

n1 «n b1

P1 «

1 '

f1- = fiP

p1 =v'b +y¿ fl+=\2 4- pQ "' "VqPQ i- p

jaula incompleta

f ̂ =' Í2 + k a m(l-5)}

j aula completa

cuando el orden de kjo = O ya

•£1-= O

f'+= 2fi es decir ocurre lo mismo que

en el primer caso.

Otras particularizaciones de este análisis se hacen

para el caso- de armónicas de ranura.

Pero en general se puede concluir del análisis realiza_

do que:

1 . Se debe procurar que el número de ranuras del rotor

Q2 sea un número par, porque de lo contrario dos

fluj os armónicos del rotor pueden producir una onda

_ • - de polos de fuerza P1 = 1, que es una fuerza desequi_

librada que produce esfuerzos, además en el rotor -

(no solo en el estator). La fuerza está aplicada

radiaImente en cada elemento de superficie, para ob_

tener la resultante habría que integrar las proyec-

ciones sobre la superficie total de la armadura.

2. El nuido de disturbio de alta frecuencia es origina^

da normalmente por armónicas de orden superior.

3. La vibración no solo tiene origen electromagnético,

sino también mecánico, pero fuerzas radiales que se

originan en las partes activas de la máquina, así

como toda la máquina que participa en la vibración,

y la frecuencia natural ' del estator que es normal^

mente la fuente de ruido magnético, están determina^

das por las laminaciones del núcleo y además por

sus partes inactivas.

• Si la frecuencia de una onda viajera coincide con -

la frecuencia natural del estator, en cualquiera de sus

90

partes, se producirá ruido magnético molesto sin impor-

tar el orden de la armónica.

El estudio detallado del ruido magnético es muy com_=

plicado aún en núcleos sólidos y crece la dificultad si

fuera laminado pero en cambio se puede hacer las siguien_

tes referencias:

La magnitud de la fuerza radial no es determinante

en la intensidad del ruido, no así, los polos de

fuerza,

- Una relación de magnitudes Q?/Q-¡ grande reduce el va_

lor de los flujos armónicos en el rotor, pero produ-

ce pérdidas de hierro adicionales y aumenta los pa -

res motores parásitos.

La inclinación en el rotor disminuye las corrientes

del rotor de frecuencia elevada.

En la jaula completa aparece el ruido sin carga.

En la jaula incompleta puede aparecer en vacío el ru

do; debido a la combinación de la fundamental con

. 91

las armónicas de abertura de ranura.

4. Se ha visto en el capítulo correspondiente, la pro-

ducción de pares motores parásitos, cuyos desliza -

mientes son particulares para cada, armónica que es_

tos pares motores producen caídas que pueden dar

ocasión a que en el momento de deslizamiento apro-

piado la máquina no sea capaz de alcanzar su veloci_

dad.

Cuando esta caída aparece en reposo y es lo sufi

cientemente grande, la máquina no arrancará, denom_i_

naadose a este estado "punto muerto".

5. Los pares motores parásitos sincrónicos son función

de los ángulos ( pcl *" VQ-̂ - ) ( - x2>) y â'; para va_

lores iguales de x¿) estos ángulos tienen valores

diferentes para diferentes combinaciones de yQ } y

v ' ••", Y l°s torques sincrónicos calculados para es-b

tas diferentes combinaciones no están en fase, lo

cual implica que su máximo no aparece en la misma

posición del rotor respecto del estator. De aquí que

estos torques se calculen para diferentes combinacip_

nes de armónicas. ' -

. 92 .

Normalmente los mayores torques aparecen por•la com

binación de las armónicas de ranura del estator con las

armónicas del rotor para k2= 0.

6. Para el caso de la jaula completa estos pares moto -

res se pueden eliminar por una combinación adecuada

de ranuras del rotor y del estator, mientras que pa-

ra la jaula incompleta no sucede lo mismo. Una so -

lución alternativa ofrece la inclinación de las ranu-

ras del rotor y del estator.

La inclinación es totalmente efectiva sólo cuando

las ranuras están aisladas de lo contrario los pares

motores asincrónicos y sincrónicos debidos a las ar-

mónicas de ranura no se evitan por completo.

7. Los pares motores parásitos asincrónicos pueden re -

ducirse manteniendo pequeño el factor de acelera

miento de la armónica de orden v -

. 94

ANEXO A

A.l. PASO POLAR C T)

Se define como paso polar (T ) a la relación entre

el perímetro de la máquina o su circunferencia y el nía

mero de polos.

irD D = diámetro2p

p = pares, de polos

A. 2 PASO COMPLETO

Se define como paso completo cuando la separación -

entre grupos de conductores adyacentes es igual al paso

polar o bien cuando el claro de bobina es diametral.parodos polos.

Otra definición es aquella que agrupa a lados de bp_

bina en densidades de flujo de la misma intensidad.

A.3 PASO FRACCIONARIO

Se define como paso fraccionario a aquel cuya sepa-

ración entre centros de bobina que forman una gama de fa_

. 95 .

ses es menor que el paso polar

A.4 ÁNGULO DE RANURA ( s)

Es el ángulo existente entre dos ranuras adyacentes

del devanado de una máquina.

a = 180 x p x 2

Q180a

s m q

p - pares de polos

Q = Numero de ranuras total

m = Numero de fases

q = Numero de ranuras/polo/fase

A.5 ÁNGULO DE CAMPO MAGNÉTICO (am)

Es el ángulo existente entre dos vectores consecuti-

vos de la estrella de ranuras y se define:

n _ 180Q _ _-_m m N

A.6. DEFINICIÓN DE q

q es el número de ranuras por polo por fase y se de-

termina según la siguiente formula:

. 96

Qm x p x 2

donde: Q = No. total de ranuras

m = No. total de fases

p = pares de polos

q puese ser expresada como un numero entero o como un nú-

mero mixto tal.

q = 1, 2, 3. . .

q = 1 3 , 2 1 3 etc.T 1T

4.7. FACTOR DE PASO

Un devanado de corriente alterna no suele tener un pa_

so de bobina diametral, es decir un paso completo, sino

que casi siempre el paso es fraccionario o acortado, es de_

cir que un bobinado de este tipo tendrá un espaciamiento

de ranuras menor que el paso polar.

Como'es lógico esta disposición mecánica implica nece_

sariamente una modificación en la onda de f.e.m.

Debido al acortamiento el flujo máximo entrelazado con

la bobina es menor-que el flujo que atraviesa todo el polo.

. 97

La relación de flujo es la que puede apreciarse en

la figura y matemáticamente esta relación estaría dada -

por las áreas de la onda acortada y de la onda total.

Wi = paso de bobina acortado

t = paso de bobina diametral

El factor de paso toma en cuenta esta reducción del

flujo y la relación con el flujo si el paso hubiera sido

el paso polar.

-, __ flujo entrelazado por bobina con paso acortado

P flujo entrelazado por bobina con paso diametral

T+ W•y" —

Tísen — xdx- T

X ~ o

X = L

sen —— xdx

x = OT+ W

— OS —TT T

' T- W

eos - •• ( J- eos -

2

eos oi_]X |r eos —̂ - T- eos 0.x ' T

'O

TTT + 7T W T Tí - TTWeos —o - eos —=

2 T - 2Tkp = .-1- 1

TTT TTW T TT TTW

. 99

Pudores de paso o de acortamiento para la fúndame nial u ¡asarnióritcas superiores correspondientes a diversos grados de ht relación b¡r

bit

1,000O.ÜÍMi0,9 So0.9RI)0,ü-!0

1 ,0000,991!I), S lili0,7070.300

1,0000,

• 100 .

Una solución alternativa, realizable, es obtener una

resultante de estos vectores, que en todo caso será me ñor

que aquella f.e.m. que se había obtenido si se habría con

centrado todo el bobinado en dos ranuras, este resultado

multiplicado por un FACTOR DE DISTRIBUCIÓN pretende dar

como resultado un valor muy aproximado a aquel que se hu-

biera obtenido del sumatorio real.

El factor de distribución se define:

-. i f.e.m. resultante _ Erka. -

I f.e.m. individuales q Eb.

Este factor kd, será siempre menor que 1 pues denota

la reducción del valor de la f.e.m., del devanado distri-

buido , comparado al devanado concentrado.

Para la deducción de la fórmula general tomamos un ca_

so cualquiera:

(1) 2a + as - 180• }{])-í2) B a s ~ a1- O = cts = a1

(2) 2a + a1 = 180

1 = BC_ ' "f . e ' . m . ^ Eb_2 2R ^ 2R 2R

. 101

sen = 2R sen

Determinación del facfor de distribución

kd =

on aS2R sen q - ~-qas

sen 2

i-nq 2R sen CÍS

que es el factor obtenido para la fundamental mientras que

el factor obtenido para las armónicas será:

assen vq —~—

\ asq sen ~

A.9. ; Como se ha visto las armónicas de flujo de f.m.m.

dependen directamente de la disposición de los

11 amientes., de allí que son necesarios los conceptos

siguientes:

. 102 .

A.9.1. Devanado en una máquina de corriente alterna

Los devanados de una máquina de corriente alterna se

definen por las siguientes características:

1) El número de fases

2) El número de circuitos en paralelo por fase que pue-

den ser;uno o más.

3) Las conexiones entre fases que pueden serien estrella

o triángulo.

4) El número de capas de bobinas por ranura, que son 1 o

2, pero de uso más común 2.

5) El ángulo entre conductores consecutivos que pertene_z_

can a una fase determinada.

6) El paso de las bobinas individuales que comprenden el

devanado.

7) La disposición de las conexiones finales.

La variedad de disposiciones de los devanados en una

máquina es muy amplia, y hay variantes en cada uno de las

características antes señaladas, por eso la combinación tp_

tal de estos factores hacen que este fuera totalmente del

alcance de este estudio abarcar semejante variedad de al -

ternativas, por ello más bien se ha enfocado atención so-

103

bre las características 4, 5 y 6 que son las que tienen u-

na inferencia directa sobre el estudio de armónicas, pues-

to que son estas las que definen la forma de onda obtenida.

A. 9. 2. Devanados distribuidos

En este tipo de devanados los conductores están dis-

puestos en varias ranuras, es decir que los conductores -\es

tan suj etos a la acción inductiva de un solo polo , ocupan

varias ranuras adyacentes de manera que las f.e.m.s. gene-

radas por ellos están mutuamente desplazados de fase, por

lo cual la f . e .m. resultante de todo el devanado es menor

que el valor que tendría si estuviera concentrado en una

sola ranura ; pero en cambio su forma de onda es mejor.

Aparte de esta ventaja vale la pena señalar otras dos

a) La reacción del inducido es menor

b) La mayor área superficial de las bobinas contribuye a

una mejor disipación del calor.

Dentro de estos devanados existen dos tipos a los

les haremos amplia referencia y que están determinados por

el numero de ranuras por polo, por fase q.

. 104 .

Estos dos devanados son:

Congruentes

No congruentes

A.9,3. Devanado congruente

Es aquel devanado que tiene q - un entero, esto es

porque el número de ranuras es múltiplo del número de

polos. El tipo de paso T es completo.

Ejemplo (1) un devanado es congruente con q * 5 ,

quiere decir que existen 5 ranuras por polo por fase, es

decir que si la máquina es trifásica y exapolar, tiene

en total Q = 90 ranuras.

A.9.4. Devanado No congruente

.Es aquél devanado que tiene q = número mixto o bien

aquel que se expresa como una fracción. Aquí el número

de ranuras es múltiplo del número de fases, pero no lo -

es del número de polos .

En este tipo de devanado el paso de bobina, es decir

de centro a centro de las bobinas, es menor que el paso po-

lar T . ,1

. 105

Esta disposición de las bobinas se denomina paso acor

tado o fraccionario, y se utiliza mucho en las máquinas de_

bido a que la forma de onda se aproxima mejor a la forma

sinusoidal, y mejor aún como el numero de polos no es múl-

tiplo del número de ranuras se tiende a la supresión de

las pulsaciones de flujo lo cual quiere decir se tiende a

la supresión de las armónicas de f.m.m. (Ref. Langsdorf).

Ejemplo [2), q= número mixto = parte entera y parte

fraccionaria.

b Nq = a + Y ~ N, B no tiene divisor común

-j B

Un devanado congruente con q = i quiere decir que N=9

= número de ranuras de cada fase y lógicamente es igual a

q SjN = q 3-

B - 2 = 2 polos hacen la unidad básica de arrollamiento

mN = indica el número total de ranuras en los B polos

p/B = indica el número máximo posible de circuito en parale_

lo.

Pero que se obtiene de expresar q = a + —B

Pues cada fase dentro de los Apolos tiene:

-(3 - b) grupos bobina con a. bobinas sencillas

b grupos bobina con (a+1) bobinas sencillas

. 106

y siguiendo el ej emplo:

q = 4 - \s cada fase tiene dentro de los dos polos:

2 - 1 = 1 grupo bobina con 4 bobinas sencillas

y 'i grupo bobina con 5 bobinas sencillas.

A.9.5. La Estrella de Ranuras

La estrella de ranuras es un gráfico de vectores que

muestran la posición de los lados de la bobina en el cam-

po magnético de la máquina.

Se debe anotar que la estrella de ranuras o la es -

trella del lado activo de bobina es igual tanto para el

devanado de una sola capa, como para aquel de dos capas, y

la única diferencia se establece por el defasamiento que

ocasiona el paso fraccionario, pues el ángulo entre la di_

ferencia del paso polar y el claro de bobina denominado -

ángulo de cuerda hace que la f.e.m.s. no estén mutuamente

en fase, por lo demás la estrella de ranuras de una capa

es la representación exacta de la otra capa porque los a-

rrollamientos son totalmente .simétricos.

. 107

A. 9.6. La. estrella de ranuras de un devanado congruente

En un devanado congruente la estrella de ranuras, se

determina fácilmente conociendo o determinando primero el

ángulo de ranura as , que según se puede ver en la defini-

ción de A-4, se determina conociendo el número de polos y

el número total de ranuras.

Ejemplo (3). Siguiendo el ejemplo anterior, para un

devanado congruente con q = 5, tenia Q = 90 ranuras en tp_

tal y p = 3 pares de polos.

as = 180 x p = 180 x 2 x 3 = 2

. 108

ros 180° y se conocerá de hecho los demás.

En este ej emplo pertenecen a la fase A los vectores

1, 2, 3, 4, y 5 en la mitad superior y 16, 17, 18, 19 y

20 en la. otra mitad, es decir que ubicados los vectores 1

2, 3, 4 y 5 sabremos por consecuencia la ubicación de los

vectores 16, 17, 18, 19 y 20.

Una manera general de escribirlos es la siguiente:

. 109

RANURA

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

ÁNGULO .ENTRE RANURAS

0

1 2

24

36

48

60

72

84

96

108

120

132

144

156

168

180

RANURA

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

CUADRO No. 1

A. 9 . 7. Estrella de ranuras de un devanado no congruente

A pesar de que la estrella de ranuras de un devanado

congruente es muy similar a la estrella, de un devanado no

congruente, la diferencia aparece por el hecho de que el//

ángulo entre "vectores adyacentes de la estrella as deter_

110

mina que los vectores ya no se opongan una a otra 180°, co_

mo antes lo cual hace necesaria la graficacion completa de

la estrella.

Ej emplo 4. sea el generador trifásico visto en el e-

jemplo [2) es decir con 10 polos y Q - 135 ranuras en to -

tal.

Tomamos en consecuencia:

135 0 9q =3 x 2 x 5 m p 2

En el ejemplo existen 45 ranuras, por fase para los

10 polos y por tanto 45 _ _£ con un factor común de (5) en_10 2

tre numerador y denominador lo cual significa que la dis -

posición de las ranuras a cualquier serie del 2 ( 3 ) polos

consecutivos quedará exactamente duplicada en los siguien-

tes 2(g) polos consecutivos? no solo si la máquina tiene

10 polos sino también para todas aquellas que tengan 5 x p

x 2 polos ó , etc. y de igual manera para aquellas máqui -

ñas que tuvieren 5 x Q ranuras y en general:

n x 5 x p x 2 p o l o sn = 1, 2 , . . .

n x 5 x Q ranuras

La estrella de ranuras de este devanado estaría deter

. 111

minado por el ángulo de ranura °̂ s.

180 x 2 x 5 180 x 10 _ .Q

Lo cual

RANURA

1

2

3

4

5