Eserciziedelemen-diteoriasuimo-apparen-dellalunaedei

piane-

LaLunaMo-apparen-dellaLunaedeipiane-.DistanzaTerra-Luna.Fasilunariedei

piane-.Eclissi

FiammaCapitanio,INAF-IAPSRoma

Olimpiadi di Astronomia 2018 Selezione Interregionale Lazio astrolimpiadi.lazio@iaps.inaf.it

LaTerraelaLunasipossonoconsiderare,permol-aspeB,comeunpianetadoppio.IlraggiomediodellaLunaècirca1/3.7diquellodellaterra.MassadellaLunaècirca1/81dellamassadellaTerra.E’ilbaricentrodelsistemaTerra-Lunachesimuoveintornoalsole

IlsistemaTerra-Luna

Mesesiderale;Msid=27d7h43m;èiltempocheimpiega la Luna ad effeHuare un giro di 360°intornoallaterrarispeHoallestellefisseMesesinodico;Msin=29d12h44m;èladistanzaditempocheintercorretraduenoviluni.Se la terra fosse ferma rispeHoal sole, iduemesi coinciderebbero. Invece, nel tempo chela luna impiegaper compiereuna rivoluzione,ovvero 360° (13,3°/giorno), la terra si èspostatadi27°sullasuaorbitaaHornoalsole(1°/giorno). La luna perciò risulterà allineatacon le stelle fisse ma non sarà ritornata innovilunio: stesso allineamento sole, luna,terra. La Luna deve quindi descrivere unangolodi27°perriallinearsiconsoleeterra.

hHp://digilander.libero.it/furlanma/museo/cabrianima/lunare1.html

PN

PS

PN

PS

Terra PN

PS

PN

PS

Terra

PN

PS

PN

PS

Terra

LIBRAZIONI

LibrazioneinLa-tudine:Inclinazione dell’asse dir o t a z i one de l l a l unaeispeHo alla sua orbitaintornoallaterra

LibrazioneinLongitudine:Mentrelavelocitàdirotazionesulsuoasseècostante,quelladirivoluzioneintornoallaterravariaacausadell’eccentricitàdell’orbitadellalunaintornoallaterra(secondaleggediKeplero).

h1p://divulgazione.uai.it/index.php/File:AA_Librazione2.jpg

T

Es1.a)CalcolareladistanzadalcentrodellaTerradelbaricentrodelsistemaTerra-LunaCalcoliamolaposizionedelbaricentroponendolozerodelnostrosistemadiassicartesianinelcentrodellaTerraquindixT=0exL=DTL.Ilbaricentroèilcentrodelladistribuzionedimassadelsistema(ilpuntoincuisipuòpensarediconcentraretu7alamassadelsistema)edèdatodallaseguenteformula:

L

xbr =mLxl +mT xTmL +mT

Da-:mL=7.3481022kgmassaLunamt=5.9761024kgmassaTerraDTL=384400kmdistanzaTerra-LunaRt=6371km

Xbr=4669kmdalcentrodellaTerra,unvaloreminoredelraggioterreste,ilbaricentroèquindiall’internodellaTerra.Maquanto?xBr=6371-4669km=1702km

b)CalcolareladistanzadalcentrodiPlutonedelbaricentrodelsistemaPlutone-Caronte

Da-:mC=0.11022kgmassaCaronteMt=1.31022kgmassaPlutoneDPC=19640kmdistanzaPlutone-CaronteRP=1185km

XBRr=1403kmdalcentrodiPlutone,unvaloremaggioredelraggiodiPlutone.Plutone-CaronteèquindiunsistemadoppiodipianeU(nani).IlbaricentroèinfaV218kmall’esternodellasuperficiediPlutone

Relazione che lega ilperiodo sinodico aquello siderale perpianeG interno eLuna

2πPs

=2πPp

−2πP0

→1Ps

=1Pp−1P0

Moto Apparente dei pianeti •  Per effetto della somma proprio moto di rivoluzione intorno al sole e di quello della terra, i pianeti

descrivono sulla sfera celeste col passare del tempo delle “S” o dei cappi. •  moto diretto: Quando il pianeta si muove da ovest verso est •  moto retrogrado: Quando Quando il pianeta si muove da est verso ovest •  punto stazionario: Il punto in cui il pianeta cambia direzione •  Più il pianeta è lontano più il suo moto è lento e più la “S” si avvicina ad un’ellisse (La parallasse) Periodo sinodico: il tempo che intercorre tra due eventi (ad esempio due opposizioni successive) Periodo siderale: il periodo di rivoluzione intorno al sole, ovvero dopo aver percorso 360°. Il periodo siderale è tipico di ogni corpo celeste, mentre il periodo sinodico dipende dalla somma o differenza dei periodi siderali dei due corpi presi in considerazione (es. il periodo sinodico della Luna intorno alla Terra).

ω p =

ω0 =

ωs =2πPs; Ps= periodosinodico

Velocitàangolaremediadelpianeta

VelocitàangolaremediadellaTerra

ωs =ω p −ω0

Relazione che lega lave loc i tà ango lares inodica a quel lasiderale per pianeGesterniωs =ω0 −ω p

Il secondotermined e l l ’ e qua z i onecambia di segnose si tra7a di unpianetaesterno

1Ps

=1Pp−1P0

Peripiane-internielaLunaconPsiderale<365g

1Ps

=1P0−1Pp

Peripiane-esterniPsiderale>365g

Ovvero:

Es2.DatoilmesesideraledellaLunapariaMl=27.322calcoliamociilmesesinodico,Ms.

1Ps

=1Pp−1P0

1Ms

=1Ml

−1P0

1Ms

=1

27.322g−

1365.256g

=1

0.0339= 29.5g

Es 5. Supponiamo invece di calcolare il periodo tra 2 noviluni di Titano rispeHo ad unosservatore posto su Saturno (supponendo ovviamente che gli altri satelliW di Saturnoinfluenzinol’orbitadiTitanoinmanieratrascurabile).Possiamodefinirequestoperiodocomeil“mese”sinodicodiTitano.ATTENZIONE!! Per la precisione per “mese sinodico” si intende il periodo di tempo tra due successivinoviluni della LUNA rispe1o ad un osservatore terrestre. Però solo per questo esercizio possiamoestenderneilsignificatoedefinireun“mesesinodicorispe1oaSaturno”

1Ps

=1Pp−1P0

P0=inquestocasoè ilperiodosideraledisaturno=29,45anni=29.45*365=10749.25giorniPp=èil“mese”sideralediTitano=15,9giorniPs=il“mese”sinodicodiTitanorispeHoasaturno1

Ps=115,9

−1

10749.25= 0.063

PS =15.92

Perchéladifferenzatra“mese”sinodicoe“mese”sideralediTitanoèpra-camentenulla?

La culminazione è il passaggio di un corpocelesteaHraverso ilmeridianoastronomico(cerchio massimo che passa per i poli, lozeniteilnadir).Si dis-ngue una culminazione superiore otransito come l'aHraversamento più vicinoallo zenit e la culminazione inferiore comel'aHraversamentopiùlontanodallozenit.Per le stelle circumpolari e per la Luna,il transito viene deHo anche passaggiosopra il polo, mentre la culminazioneinferioresichiamapassaggiosoHoilpolo.

Il Tempo solare medio (deHo anche tempomedio , tempo medio loca le ) è l ' ango loorario del Solemedio più 12 ore. L'ora zero (iniziodel giorno solaremedio) è data dalla culminazioneinferioredelSolemedioperilluogodiosservazione.

AlcunedefinizioniuWli

Testoedisegnocopia-da:hHps://eratostene.vialaHea.neterielabora-

FasiLunari

Le fasi lunari sono una conseguenza delle diverseposizionioccupatedallaLuna,rispeHoalSole,nelsuomoto di rotazione aHorno alla Terra (vedi Fig1); Sipossonodis-nguere4fasiprincipalichesitrasformanoprogressivamente l’una nell’altra, più due fasiintermedie:

•  Lunanuova,(1)incongiunzionecolsole,invisibile,mostralasuaparteinombra.Culminaamezzogiorno(temposolaremedio).Stessalongitudinedelsole

•  Lunacrescente(2) apparedopoduegiornidalla lunanuova,unafalcesoBleadovestaltramontoindirezionedelsole,convessitàversoilsole.

•  primoquarto(3).Dopo7giornidallalunanuova,laLunaèinquadraturaorientale(90°estinlongitudinedalsole),culminaalle18.00(TSM),visibilesolonellaprimapartedellanoHe.

•  Lunagibbosacrescente(4).Laparteilluminatacon-nuaacrescereper7giorni•  Lunapiena(5).Dopo7giornidalprimoquarto, inopposizionecolSole(180°inlongitudinerispeHoal

Sole),tuHoildiscoilluminato,visibiletuHalanoHe,culminaamezzanoHe(TMP).•  Lunagibbosacalante(6.).lalunacominciaadecrescere,convessitàrivoltaversolevante.•  UlWmo quarto (7.). Dopo 7 giorni dalla luna piena, in quadratura (longitudine 90° ovest dal Sole),

culminaalle6delmaBno(TMP),visibilesolonellasecondametàdellanoHe•  Lunacalante(8.).FalcesemprepiùpiccolafinchésiritornaincongiunzionecolSole.

Soluzione:considerandoilgiornosolaremediosiha:-  Lalunanuovaculminaamezzogiorno-  LaLunapienaculminaamezzanoHe-  Ilprimoquartoculminaalle18.00-  L’ul-moquartoculminaalle6delmaBno

Esercizi

1.LaLunaèallasuaculminazionesuperiorealle8pmTemposolaremedio.S-malafasedellaluna

Quindiselalunaculminaalle20.00vuoldirecheètrailprimoquartoelalunapiena:LalunaèquindiGIBBOSACRESCENTE

Garainterregionale2017esercizion°3categoriasenior.LaprossimaLunapiena

VoletecalcolarequandosiverificheràlaprossimaLunaPiena.Aveteadisposizione un calendario basato sul mese lunare siderale, la cuidurata è: Msiderale = 27.32 giorni. Oggi è il 13 febbraio, il mesesideraleincorsoèiniziatoconlaLunaNuovadelloscorsogennaioefiniratra11giorni.SapendocheilmeselunaresinodicoèMsinodico=29.52giorni,quandosiverificheràlaprossimaLunapiena?

13Fe+11g=finemesesideralecheiniziaconlunanuova.Gi=13Fe+11g-27.32=iniziomesesiderealescorso,lunanuovaGi+29.5=LunaNuovasuccessiva=13Fe+11g-27.32g+29.5=13Fe+13.18Lalunapienaarrivaametàdelmesesinodico29.5/2=14.8gLalunapienac’èstata2gfa(13Fe+13.8-14.8).QuindilaproxlunapienacisaràilmesesuccessivoGiornodilunanuova+14.8gquindi13Fe+13.18g+14.8g=13Fe+27.98gproxLunapiena=13Fe+28g=12Marzo

EclissidisoleedilunaEclissediSole=occultazionedelSoledapartedellaLuna.

EclissediLuna=occultazionedellaLunadapartedellaTerra.PerunacoincidenzaSoleeLuna,puravendodimensionimoltodiverse,sitrovanoadistanzetalidallaTerradamostrarepiùomenolostessodiametroapparente(circa0°.5).Lunaècirca400voltepiùvicinaallaTerramasuodiametroècirca400voltepiùpiccolodiquellodelSole.Seilpianodell’orbitadellaLunacoincidesseconquellodell’ecliBca,invecediessereinclinatodi5°9’, ad ogni novilunio si avrebbe un’eclisse di Luna e ad ogni plenilunio un’eclisse di Sole.Quindi, condizione necessaria e sufficiente perché si abbia un’eclisse è che in plenilunio onovilunio laLunasi trovi inprossimitàdeinodi, cioè invicinanzadell’ecliBcaeche i centridiLunaeSolesianoallinea-,oquasiallinea-,conl’osservatore.QuindipossonoessercieclissidiSoletotali,anularioparziali.Dipende da quanto è buono l’allineamento tra Luna e Sole e dalle dimensioni apparen- deldiscolunareAnalogamentese laTerrasi interponetra ilSolee laLuna,può interceHareper intero (eclissitotale)oinparte(eclissiparziale)iraggisolaricheilluminanolaLuna

EsercizisulleeclissiEs3.Calcolareilraggioydellasezionedelconod’ombraproieHatodallaterrapereffeHodell’illuminazionesolaresullaLunapostaadunadistanzal=60r(conr=raggioterrestre=AT)

x=LE,altezzadelconoa=ST=dist.terra-Sole=23481rR=BS=raggiodelsole=109rl=LT=dist.terra-luna=60r

ET LS

B

A

Fig9.

y

LEy

=SER

=TEr;ma TE = TL + LE = 60r + x

definiamo poi : x = !xr e y = !yrTEr

=SER

=STR

+TLR

+LER⇒60r + xr

=aR

+60rR

+xR;

R =109r; a = 23481r; l = 60r; x = !xr;60r + !xr

r=23481rR

+60rR

+!xrR

=23421r + !xr109r

;

60+ !x =23421+ !x109

⇒ !x =156.276⇒ x =156.3 r.

xy

=TEr; TE = x +TL = x + 60r = !xr + 60r; y = !yr

!xr!yr

=!xr + 60r

r⇒ !y = 0.72⇒ y = 0.72r

ItriangoliBSE,ATEeCLEsonotriangolisimili.Ilrapportotraiduecate-ècostante:

C

percomodità

1)

Dallaeq1)siha:

Ilraggiodellalunaèminoreepariacirca0.3raggiterres-.Abbiamodimostratochenonesistonoeclissianularidilunaperchèl’aperturadelconod’ombraèsempremaggioredelraggiodellaluna.Eclissiparzialiovviamentesisel’allineamentononèperfeHo

Es 1. Perché durante un’eclissi totale, laLuna è illuminata da una tenue luce dicolorerosso?

FotoNasa

La luce solare aHraversando l’atmosferasubisce rifrazione: ovvero, una deviazionedel percorso della luce che dipende dallafrequenza.Lalucesidivide,quindi,neisuoicolori. Inoltre la luce viene diffusa anchedallepar-celledell’atmosfera(scaHeringdiRayleigh). La luce blu-violeHa subisce unadiffusione più marcata rispeHo a quellarossacheinveceescedallaterraedilluminala Luna. Mentre la luce blu viene“sparpagliata”(vedicieloazzurro)

a.   InqualefaseLunareavvengonoleeclissidisole?b.   InqualefaseavvengonoinveceleeclissidiLuna?

LunanuovaLunapiena

•  Maree sigizie, lunanuovae lunapiena.Bassa ealtamareaiùintense

•  Maree a l l e quadrature , Luna e So leperpendicolari,mareemenointense.

•  Ci sono poi periodi parUcolari dove ladeclinazionedisoleelunasieguagliano:

1.  Agli equinozi dimarzo e se7embre (declinazioninulle), la componente lunisolare raggiunge lamassima forza (maree equinoziali). In questoperiodolemareesizigialisonomoltopiùgrandi.

2.  Al solsUziodi giugnoedicembre la componentelunisolare raggiungerà il suo valore massimogenerandolemareesolsUziali;inquestoperiodole maree diurne e le relaUve diseguaglianzediurneraggiungonoillorovaloremassimo.

Risposta:lemareesigiziedovelecomponen-Lunasolesisommanoedinpar-colare,lemareesigizieagliequinozieaisols-zi,dovesoleelunasonoancheallinea-

a.   QualifasidellalunahannocomeeffeHodellemareepiùintenseeperchè

Durante il moto intorno al sole i piane- interni, vis- dallaTerra,acquisirannodifferen-gradidielongazionedalSoleeadogni grado corrisponderà una illuminazione diversa della suasuperficieequindiunadiversafase.

Fasideipiane-interni

A causa dei rispeBvimo- orbitali, anche i piane-mostrano le"fasi”Ilfenomenoèmoltoevidentesoloneipiane-interni

Essendo le Orbite di tuB gli altri piane- esterne alla nostra,mostrerannosemprel'emisferoilluminato,variandodipocolapercentuale interessata ed assumendo quel curioso aspeHodefinito "gibboso". Si può calcolare che la fase di un pianetaesterno “in quadratura” dipende dal rapporto tra il raggiodell’orbitadellaterraequellodelpianeta.Daquestodideducefacilmente che l’unico pianeta esterno di cui è possibilepercepire lafaseèMarte(la%di illuminazionepuòdiminuirefinoal0.877%).Perglialtril’illuminazionedellasuperficienonscendesoHolo0.989%

Fasideipiane-esterni

MarteinfaseGibbosahHp://paolocampaner.blogspot.it/2012/05/marte-2012.html

Es3. Supponiamo che Marte si trovi in quadratura, ovvero che l’angolo a che soHende ladistanzasoleMartesiareHo (l’angoloreHohacomever-celaterra).Martesipresenteràinfase, ovvero non sarà completamente illuminato, ma Sulla superficie sarà presente unterminatore,lalineacheseparailgiornodallanoHe.Calcolarelafasedelpianeta,F,ovveroilrapportotralasuperficieilluminata,A,elasuperficietotaledeldisco,STotassumendoche:•  leorbitedeipiane-sianocircolari•  MartesiaunasferaperfeHa

Definizione:Terminatore:E’deHoterminatorel'insiemedeipun-suunalunaopianetadoveiraggichecompongonolaradiazionesolaresonotangen-allasuperficie.Lalineaseparaporzionidi superficie in cuièpresente la lucedaquelle in cui c'èoscurità.Anche sulla terraesisteunterminatorecheèovviamenteilterminatoreèilcerchiocheseparailgiornodallanoHe.

δ

H

Sole

Terra

Marte

P

RT RS Aspetto di Marte visto

dalla Terra

Figura 1 Figura 2

δ

H

δ

H

Soluzionepoiché il profilo del terminatore è la proiezione di un semicerchio, avrà la forma di unasemiellissedisemiassemaggiorepariaraggiodiMarteedisemiasseminoreparialsegmentoPH(vedifigura1e2).Osservandolafigura2sideducefacilmentechel’areailluminata,A,deldiscoplanetario(l’areabiancainfig2)ècompostadaduefiguregeometriche:unasemi-ellissedelineatadalterminatore+unasemicirconferenzadiraggioparialraggiodelpianeta.

F =ASTot

; A =πr2

2+πrPH2

; PH = rcos(δ)

A = πr2 (1+ cosδ)2

;

F =πr2 (1+ cosδ)

2πr2=1+ cosδ2

;

RT = Rssenδ⇒ δ = arcsen(RtRs)

La fase in quadratura dipendesostanzialmentedall’angolod.El’angolo dipende dal rapportotra la distanza terra-sole equella marte-sole. Quindi piùlontano è il pianeta più l’areadel disco sarà illuminata nellaquasitotalità

Es1.QualipianeWdelSistemaSolarepossonosorgereaestlasera?

Es2.QualipianeWdelsistemasolarepossonoosservarsiinopposizionealsole?

Risposta:Ovviamentesolopiane-esterni,ipiane-interni sono sempre dalla parte del sole (vediFig13). Quindi sorgono e tramontano dalla stessapartedelSole.SesonoasunelongazionedalSoleabbastanza grande si possono osservare ad est lamaBnaoppureadovestlasera.

Risposta:Ovviamentesempreipiane-esterni

a=TM=?c=ST=1UAb=SM=1.523UAβ=60°

Impostazione

S M

T

α

β

γ

Soluzione:TM=1.753UA

Fig14.Peruntriangoloqualsiasisiaha:ac

b

α+β+γ=180°

Es8.QuantovaleladistanzaTerra-MartequandoladistanzaangolareMarte-Soleè di60°?Siconsideriperledistanzeterra-SoleeMarteunvaloreparialsemiassemaggioredell’orbita

EsercizioDimostrarechedaCatanianonsipuòosservarelaLunapassarealloZenith.Perlasoluzionesiricordichel’orbitadellaLunaèinclinatadicirca5°rispeHoall’ecliBca.InqualiregionidellaTerrasipuòosservarelaLunapassarealloZenith?

•  La-tudineCataniacirca37°•  Inclinazionedell’eccliBcarispeHoall’equatoreceleste23°27’•  InclinazionedellalunarispeHoall’eccliBca=5°

AngolomassimodellalunarispeHoall’equatore:23°27’+5°=28°27’La-tudinediCatania37°;QuindiperunosservatorepostoaCatania:Avremo:37°-28°27’=9°27’.QuestovuoldirecheunosservatorepostoaCataniavedràlaLunamoltoaltanelcielomanonallozenit90°-9°27’=81°27’.Aqualila-tudinilalunasipuòvederealloZenit?90°-X°-28°27’=90°;X°=28°27’(desertodelSaharacirca)

LaprossimaGanimedepiena!Dawikipedia:Larisonanzaorbitaleavvienequandoduecorpiorbitan-hannoperiodidirivoluzionetalicheillororapportoèesprimibileinfrazionidinumeriinteripiccoli.Quindiiduecorpiesercitano,l'unl'altro,unaregolareinfluenzagravitazionale.Questofenomenopuòstabilizzareleorbiteeproteggerledaperturbazionigravitazionali.PeresempiolelunediGiove,Ganimede,EuropaeIosonoinrisonanza1:2:4.ConsiderandocheperGioveilmesesinodicodellesueluneèpra-camenteiden-coaquellosiderale,ilperiododirotazionediIointornoaGioveèdi1,769giorni,risponderealleseguen-domande:Seunipote-coosservatorepostosuGioveosservasseinquestomomentoIoeGanimedeconl’emisferototalmenteilluminato(lunapiena:“Ganimedepiena”ed“Iopiena”),dopoquanteoreterres-GanimederivolgeràaGioveilsuoemisferobuio?(lunanuova)PGan:Pio=2:4PGan=Pio/2,quindidopo1.769/2giorniavremolaprossima“Ganimedepiena”.Mala“Ganimedenuova”avvieneametàdelciclo“lunare”,quindi:1,769/4=0.442giornià10orecirca.PeriododirotazionediGiove=0.4135dquindicircaungiornoGioviano

SempliciEserciziadomandamulGpla•  Lamassadellalunaè81voltepiùpiccoladelnostropianeta?VeroFalso•  IlbaricentrodelsistemaTerraLunaèall’internooaldifuoridellasuperficiedellaTerra?ÈnelcentrodellaTerraÈall’internodeldiametrodellaLuna.Èappenaall’esternodellasuperficiedellaTerraEall’internodellasuperficiedellaTerra,maèmoltospostatodalcentro.•  TraisatelliWdelsistemasolare,laLuna,indimensioni,cheposizioneoccupa?ÈunodeisatelliWpiùgrandiEunodeisatelliWpiùpiccoliNonènépiccolonégrande,tunisatelliWhannodimensionisimiliallasua.

•  Duranteun’eclissetotalediLuna,ilconod’ombradellaterracadesullaLuna.Mentreduranteun’eclissidiSoleèl’ombradellalunaacaderesullaTerra.Qualedeidueconid’ombraèilpiùgrande?

QuellodellaTerracheoscuralaLunaQuellochedellaLunacheoscurailSolesullaTerra.Idueconisonouguali.•  Quantodural'intervalloditempotraduefasilunari?24.4giornicirca15giorni29.5giornicirca27giorni•  IndividuaqualetraquesteaffermazioniècorreHa

lafaselunarecheprecedeilplenilunioèlalunacrescentequandolalunasitrovafrailsoleelaterraèincongiunzionelemareenoninfluisconosullavelocitàdellaterraLemareealleSigiziesonolepiùdeboli

•  QualipianeWèpossibileosservareininfase?SoloipianeWinterniSoloipianeWesterniInprincipiotunancheseperquellipiùlontanilaparteilluminatadeldiscononscendemaisoHounvalorecheèpiùgrandedel90%•  Plutoneèmoltolontanodalsole,èunpianetaconmolteparWcolaritàenonèancoraben

conosciuto.QualediquesteaffermazionisuPlutoneèvera?Plutoneeilsuosatellitepiùgrande,Caronte,sonounsistemadoppio.PlutoneèilpianetapiùlontanodelsistemasolarePlutoneèunpianetananoCarontehaunamassatrascurabilerispeHoaplutone•  Acosasonodovutelestagioni?

All’inclinazionedell’asseterresteAll’orbitaellincadellaTerraAllapresenzadellaLuna

BreveintroduzioneallaTrigonometriaMisuradegliangoliedegliarchi

Sistemasessagesimale:•  unitàdimisura:lanovantesimapartedell’angoloreHo,1°àangoloreHo,90°.SoHomulWpli:•  unprimoominutoprimo:la60esimapartediungradoà60’=1°•  Unsecondoominutosecondo:la60esimapartedelminutoprimoà60’’=1’

EsempiodiscriHura32°40’20’’,18=l’angolosommadi32gradi40primi20secondie18centesimidisecondo.Angolonullo:0°,angoloreHo:90°,angolopiaHo180°,angologiro360°

SistemaradialeUnitàdimisura:1radiante:angoloalcentrodiunacirconferenzaqualsiasiilcuiarcocorrispondenteèdilunghezzaparialraggio.Ovvero:

α =lr

= angolo in radianti

l = lunghezza arco rettificator = raggio circonferenza

Lalunghezzadellacirconferenzaè2πr,quindiperl’angologirosiavrà:*2πr

r→ 2π

*n.b.questo-podimisuraèindipendentedalraggiodellacirconferenza,infaBseaumentailraggioaumentaancheproporzionalmentelalunghezzadellacirconferenza

angolo nullo = 0°, angolo retto =π2, angolo piatto = π, angolo giro = 2π

Passaggiodasessagesimalearadiale:Sempliceproporzione:Generalmentegliangolisilascianoinfunzionediπ.Esistonodelletabelle.

π :180° = x : 30°

x =π183=

π3*6

3=π6

Sia α un angolo sulla circonferenza goniometrica(raggio=1,centroinzero.),sidefinisce:•  coseno dell'angolo α l'ascissa del punto P

associatoadα.Oppureilcosenodell’angoloαèlaproiezionedelpuntoPsull'assedelleascisse.

•  Seno dell’angolo α l’ordinata del punto Psull’assedelleordinate.OppurelaproiezionedelpuntoPsull’assedelleordinate.

•  tangente dell'angolo α la lunghezza delsegmentoP1T,doveTèl’intersezionetralareHapassante per P e O la reHa tangente allacirconferenzapassanteperP1(1,0)

•  Cotangente dell'angolo α la lunghezza delsegmentoP2T,doveTèl’intersezionetralareHapassante per P e O la reHa tangente allacirconferenzapassanteperP2(0,1)

o

T

P1

T2P2

Relazionifondamentalichesidimostranofacilmenteapar-redalle

definizioniedallacirconferenzatrigonometrica:

cos2(α)+ sen2 (α) =1

tan(α) =sen(α)cos(α)

cot(α) =cos(α)sen(α)

Da:hHp://www.esercizimatema-ca.com/archi-associa--spiegazione/

ARCHIASSOCIATI

Lalunghezzadiuncatetoèdatodall’ipotenusaperilsenodell’angolooppostoalcatetostesso

Lalunghezzadiuncatetoèdatodall’ipotenusaperil coseno dell’angolocompreso tra cateto eipotenusa

Lalunghezzadiuncatetoèdatodall’altrocatetoperlat angen te de l l ’ ango looppostoalprimocateto

Lalunghezzadiuncatetoèdatodall’altrocatetoperlacotangentedell’angoloadiacentealprimocateto(quellononreHangolo)

b = c sen(β)a = c sen(α)

a = c cos(β)b = c cos(α)

a = b tan(α)b = a tan(β)

a = bcot(β)b = acot(α)

RelazionitrigonometrichetratriangolireHangoli

Teoremadeiseni:ilrapportotraunlatoedinsenodell’angolooppostoècostanteeparia2r,doverèilraggiodellaciirconferenzaincuiiltriangoloèinscriHo

=2r

Peruntriangoloqualsiasi:

Es.Calcolarel’elongazionemassimadiMercurioeVenereemarte.QuantoTempoèpossibileosservareipianeWprimadell’albaedopoiltramonto(assumendoorbitecircolarieinclinazionedelSoleparia0°)

a1)VenereeMercuriosonopiane-interni: PS

TSα

TS=distanzaTerra-Sole=1UAPS=distanzaPianetasole(mercurio-sole=0,387UA),(Venere-Sole=0,723UA)

PS = TS tan(α)⇒α = arctan(PSTS)

αmercurio = arctan(0,387) ≈ 21°

αVenere = arctan(0.723) ≈ 36°

b)Marteèpianetaesternoquindil’elongazionemassimapuòarrivarefinoa180°.Martepuòessereosservatoancheinopposizionealsole,pertuHalanoHe.

Terra

Marte

Mercurio.

Terraa2)Lasferacelesteruotadi360°/24h=15°l’ora.Quindi:1h:15°=xh:21°àx=21/15=1.4hpermercurioex=2.4hperVenere

Es3diunpianetaesternosiconosceiltempotrascorsotradueopposizionisuccessiveP=398.9gedildiametroangolareinopposizioneα=47.2”.Calcolare:a)  Ilperiodosideraleb)  Ilsemiassemaggioredell’orbitac)  Ildiametrodelpianetainkmd)  Chepianetaè

1Ps

=1P0−1Pp→

1398.9

=1365

−1Px→ Px = 4171.4g→ Px =11.4annia)

T 2

a3=(1anno)2

(1UA)3=1→ a = (11.4)23 = 5.1UAb)

rαc) α=47.2”r=Dsen(α/2);α=47.2”/3600=0.0131°;α/2=0.0655 D

diametro = 2r = 2Dsen(α2) = 2(a− dterra−sole )sen(

α2)

= 2 ⋅ 4.1(UA) ⋅ sen(0.0655°) = 8.1⋅15 ⋅107(km) ⋅1.14 ⋅10−4 =138 ⋅103km

d)IlpianetaèGiove

LestranegiornatediUranodoveilSoleècircumpolare!

PeriodoOrbitale:84anniterrestriInclinazionesull’ecliBcacirca0.77deg.DescriverecomevarianogiornoenoHesiaalpoloeall’equatoreall’equatore.

hHp://www.na.astro.it/~rifaHo/personale/dispense_di_astronomia.pdfhHps://rak-mchaHerjee.files.wordpress.com/2015/09/fundamental-astronomy.pdfhHps://rak-mchaHerjee.files.wordpress.com/2015/09/astronomy-principles-and-prac-ce.pdfhHp://scienceolympiadsbd.blogspot.it/2013/06/astronomy-olympiad-prepara-on.html

Perapprofondire

h1p://www.gak.it/pages/uGlity/dispense.php