1

_________________

Esercitazione 4 _________________

LAVORAZIONI PLASTICHE – PARTE 1

Elenco formule utilizzate nell’esercitazione

12

1max

t

R p

deformazione massima a trazione in una piegatura

R

dT

0

modulo di tenacità del materiale

134

3

Et

R

Et

R

R

R Y

i

Y

i

f

i relazione tra raggio di piegatura e raggio finale

22

0storia,

p

eqYeq

i

Y

i

H

hFhf

σσσ funzione di snervamento con incrudimento isotropo

2

ESERCIZIO 1: PIEGATURA DI UNA LASTRA

Si debba realizzare una piegatura con un raggio interno di Rp = 40 mm di una lastra piana di

spessore t = 4 mm in lega leggera di alluminio. Il materiale sia caratterizzato da una uno sforzo di

snervamento Y = 414 MPa e da una legge lineare in campo plastico con pendenza E

p = 4500 MPa.

In assenza di un diagramma di formabilità stabilire sulla base della tenacità del materiale misurabile

nella prova di trazione uniassiale se la lavorazione è da ritenersi realizzabile. Si consideri un

modulo di tenacità del materiale pari a 12.5 MJ/m3.

Soluzione

Impostazione del problema:

Il problema si risolve verificando se la deformazione massima raggiunta durante la piegatura sia

nel dominio plastico.

a) calcolo deformazione totale massima durante la piegatura della lastra

La piegatura della lastra comporta l’allungamento delle fibre

esterne e l’accorciamento delle fibre in corrispondenza del

raggio interno. In base alla teoria della flessione, la fibra

centrale, sul piano medio della lastra rimane indeformata e

quindi non si allunga. I valori massimi di allungamento (e

quindi di deformazione) si ottengono, in modulo, sulle fibre

esterne e interne.

Se la curva sottende un angolo , la lunghezza della fibra

centrale risulta pari a:

22/

tRl pt

Questa è la lunghezza iniziale della porzione di lastra (poiché la fibra centrale rimane indeformata).

La fibra esterna si allunga fino a:

tRl pt

Quindi la deformazione totale sulla fibra esterna è:

12

1

2

2

2

2max

t

RtR

t

tR

tRtR

ppp

pp

Con i valori dati nel testo, si ottiene:

04762.0max

Rp Rp + t

3

b) calcolo deformazione totale in corrispondenza del carico di rottura sulla curva sforzi-

deformazioni del materiale

Il valore della deformazione massima a rottura andrà confrontato con la deformazione in

corrispondenza del carico massimo nella curva sforzi-deformazioni del materiale. E’ infatti

presumibile che, oltre tale livello di deformazione, il materiale possa andare soggetto a rotture e

lacerazioni. Si ricordi comunque che il confronto con la curva monodimensionale non assicura la

stampabilità del pezzo.

Per calcolare un valore approssimato della deformazione in corrispondenza del carico di rottura si

deve considerare che il modulo di tenacità è l’area sottesa alla curva sforzi-deformazioni (incluso il

tratto elastico).

R

dT

0

In base alla funzione di snervamento fornita nel testo, il comportamento a trazione del materiale è il

seguente:

E’ possibile esprimere Y in funzione di

Y e del

modulo elastico in campo lineare

005914.0E

YY

L’area sottesa all’intera curva ha espressione:

YUUYYYT 2

1

2

1

Si hanno due incognite, U ed

U, ma è possibile esprimere U

in funzione di U.

YU

p

YU E

Risulta quindi un sistema di 2 equazioni in 2 incognite:

YU

p

YU

YUUYYY

E

T

2

1

2

1

Sostituendo la seconda nella prima:

Y

U

Y

U

4

022

22

1

2

1

2

1

2

1

2

TE

ET

ET

YYYUYYUp

YUYUpYYY

YUYUpYYYY

029998.0

024084.02

2

U

p

YYpYY

YU

E

TE

c) Confronto e conclusione

Paragonando U con max si può valutare che la tenacità del materiale non è sufficiente per effettuare

l’operazione.

5

Y

U

U Y

ESERCIZIO 2: ESECUZIONE DI UNA PIEGATURA CON DIVERSI MATERIALI

Si debba realizzare una piegatura con un raggio interno di Rp = 29 mm di una lastra piana di

spessore t = 3.05 mm. Si considerino 3 tipologie di materiali, con le seguenti caratteristiche:

1) Lega Al allo stato ricotto: dove Y = 80 MPa ,

R = 130 MPa modulo di tenacità T=18 MJ/m

3

2) Lega Al con tempra+invecchiamento artificiale: Y = 220 MP,

R = 250 MPa e modulo di

tenacità T=29 MJ/m3

3) Acciaio bonificato: Y = 850 MPa ,

R = 1100 MPa e modulo di tenacità =85 MJ/m

3

I) Approssimando l’intera curva sforzi-deformazioni con un modello elastico con

incrudimento lineare, si valuti, in prima approssimazione, se la tenacità del materiale è

adeguata per effettuare la lavorazione in regime quasi statico

II) Per i casi in cui la lavorazione è ritenuta possibile, si consideri un valore medio di sforzo

plastico durante la lavorazione e si applichi la seguente espressione approssimata per

calcolare il raggio di piegatura dopo il ritorno elastico:

134

3

Et

R

Et

R

R

R Y

i

Y

i

f

i

Soluzione: adeguatezza dei livelli di tenacità

a) Calcolo deformazione massima durante la piegatura

Durante la piegatura la massima deformazione, in valore assoluto, si verifica per le fibre interne e

esterne, ed è calcolabile come:

12

1max

t

R p

Sostituendo i valori si ottiene max = 0.05

b) Applicazione del modello bi-lineare e calcolo deformazione in corrispondenza del carico

massimo di rottura

Applicando un modello elasto-plastico con

incrudimento lineare è possibile, noto il valore del

modulo di tenacità, valutare approssimativamente la

deformazione in corrispondenza del carico massimo di

rottura

L’area sottesa sotto l’intera curva ha espressione:

YUUYYYT 2

1

2

1

6

Y

U

U Y a

a

Il valore della deformazione allo snervamento per i diversi materiali, è pari a Y = Y

/E. Risulta

pertanto :

1) Lega Al allo stato ricotto: Y = 0.001143

2) Lega Al con tempra+invecchiamento artificiale: Y = 0.003143

3) Acciaio bonificato: : Y = 0.004250

Rimane incognita, dunque, solo U, determinabile dal valore della tenacità:

YUUYYYT 2

1

2

1

UY

YY

YU

T

2

12

1

Applicando la formula, risulta:

1) Lega Al allo stato ricotto: U = 0.17214

2) Lega Al con tempra+invecchiamento artificiale: U = 0.12508

3) Acciaio bonificato: : U = 0.08958

Per tutti i tre i materiali, quindi, il confronto con il modulo di tenacità rilevabile da una prova di

trazione uniassiale indica che il materiale ha una tenacità adeguata per la lavorazione. Tale

confronto non eseclude possibili problemi nella lavorazione tecnologico e non può sostituire una

valutazione più rigorosa, da eseguirsi, ad esempio, con i limiti di formabilità.

c) Calcolo sforzo medio in campo plastico durante la piegatura

Per tutti i materiali, la lavorazione comporta lo

sviluppo di deformazioni plastiche con un processo di

incrudimento. Per applicare la formula è più opportuno

sostituire al valore di sforzo di snervamento uno sforzo

medio, in campo plastico, durante la lavorazione.

Per il modello lineare applicato, è possibile calcolare la

pendenza, Ep, in campo plastico della curva sforzo-

deformazione per i diversi materiali e determinare, fra

lo snervamento e la massima deformazione della forza

applicata, il valore medio di sforzo.

Per i materiali proposti dall’esercizio si ha:

2

a

Y

ave

Y

a

pY

a

YU

YUp

E

E

7

Per i tre materiali, si ottiene:

1) Lega Al allo stato ricotto:

MPa

MPa

MPaE

ave

a

p

14.87

2.94

4.292

2) Lega Al con tempra+invecchiamento artificiale:

MPa

MPa

MPaE

ave

a

p

7.225

5.231

0.246

3) Acciaio bonificato:

MPa

MPa

MPaE

ave

a

p

0.916

0.983

2929

d) Calcolo raggio finale dopo il ritorno elastico

Applicando l’espressione:

134

3

Et

R

Et

R

R

R aveiavei

f

i

risulta

1) Lega Al allo stato ricotto:

Ri/Rf = 0.96 => Rf = Ri/0.96 = 33.35 mm

2) Lega Al tempra + invecchiamento:

Ri/Rf = 0.90 => Rf = Ri/0.90 = 35.67 mm

3) Acciaio bonificato:

8

Ri/Rf = 0.86 => Rf = Ri/0.86 = 37.45 mm

9

ESERCIZIO 3: DIAGRAMMA LIMITE DI FORMATURA E INCRUDIMENTO

Si consideri una lamiera di spessore 2.5 mm in lega leggera d’alluminio, caratterizzata dal

diagramma limite di formatura in figura:

0

20

40

60

80

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

eps II (%)

ep

s I

(%

)

La lamiera è soggetta a una lavorazione plastica a freddo caratterizzata dal seguente rapporto fra le

deformazioni principali:

yy = -0.4xx

Si stimi, assumendo un modello rigido-plastico di materiale, il valore dello spessore della lamiera al

limite di formatura, ricordando l’ invariabilità del volume durante la deformazione plastica.

SOLUZIONE

a) Calcolo stato di deformazione al limite di formatura

Lo stato di deformazione fornito è già espresso in assi principali:

IIIzz

IIyy

Ixx

Per l’ invariabilità del volume durante la deformazione plastica si ha:

10

xxxxxxyyxxzz

zzyyxx

6.04.0

0

IxxzzIII

IxxyyII

xxI

6.06.0

4.04.0

Per individuare lo stato di deformazione al

limite di formatura è necessario tracciare sul

diagramma la retta corrispondente alla

lavorazione considerata.

Come si può osservare in figura, la

deformazione limite può essere stimata

all’incirca al 17%.

Si ottiene, pertanto:

102.06.0

068.04.0

17.0

yyzz

xxyy

xx

L’utilizzo delle misure di deformazione logaritmica o ingegneristica dipende dal modo in cui è stato

ottenuto il diagramma limite di formatura. Assumendo che le deformazioni utiizzate siano quelle

logaritmiche, lo spessore al limite di formatura risulta:

t

dtd zz

0

ln

0t

t

t

dtt

t

zz

mmeett zz 257.25.2 0102

0

Considerando le deformazioni igneristiche si ha:

mmtt

t

tt

zz

zz

245.210

0

0

0

10

20

30

40

50

60

70

80

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

eps II (%)

ep

s I

(%

)

IIIII 5.24.0

1

11

ESERCIZIO 4: DIAGRAMMA LIMITE DI FORMATURA PER STIRO BIASSIALE

Si debba ottenere una lamiera con spessore pari a 3,55mm partendo da un semilavorato con spessore 5mm. Utilizzando il diagramma limite di formatura della lamiera espresso in

deformazioni vere riportato in figura 2 (eps I = xx; eps II = yy):

a) valutare se tale operazione tecnologica è possibile mediante lavorazione per deformazione plastica a freddo. Si assuma un modello rigido plastico di materiale e si ipotizzi durante la lavorazione una sollecitazione di stiro biassiale imponendo un

valore di deformazione yy pari al 20% (essendo la direzione z quella coincidente con

la normale alla superficie della lamiera).

b) determinare lo spessore della lamiera nell’ipotesi di eseguire la lavorazione al limite di

formatura mantenendo invariato il rapporto yyxx .

Fig. 2

0

20

40

60

80

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

eps II (%)

ep

s I

(%

)

12

SOLUZIONE

a) Calcolo stato di deformazione al termine dell’operazione

Lo stato di deformazione fornito è già espresso in assi principali:

IIIzz

IIyy

Ixx

L’utilizzo delle misure di deformazione logaritmica o ingegneristica dipende dal modo in cui è stato

ottenuto il diagramma limite di formatura. Assumendo che le deformazioni utiizzate siano quelle

logaritmiche, lo spessore al limite di formatura risulta:

t

dtd zz 34249.0

5

55.3lnln

00

t

t

t

dtt

t

zz

Considerando l’invariabilità del volume durante il processo di deformazione plastica si ha:

14249.02.034249.0

0

yyzzxx

zzyyxx

34249.0

2.0

14249.0

IIIzz

IIyy

Ixx

0

20

40

60

80

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

eps II (%)

ep

s I

(%

)

Fig. 2: eps I = xx; eps II = yy

13

0

20

40

60

80

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

eps II (%)

ep

s I

(%

)

7124.0III

Sulla curva limite abbiamo: II =0.4 I =0.71428*0.4=0.28

Per l’ invariabilità del volume durante la deformazione plastica si ha:

68.04.028.0

0

yyxxzz

zzyyxx

Considerando le deformazioni vere:

mmeett zz 533.268.0

0

Considerando le deformazioni igneristiche si ha:

mmtt

t

tt

zz

zz

6.110

0

0