Marina Cobal - Dipt.di Fisica - Universita' di Udine

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Un uomo parte da una casa e cammina per 4.0 km a N, per 3.5 km a E, per 2.7 km a SE.

In che direzione deve muoversi, e per che distanza deve camminare per tornare alla stessa casa?

Esercizi sui vettori

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•  Anzitutto determiniamo le coordinate dei punti raggiunti

•  Abbiamo bisogno di un formalismo più completo: il formalismo vettoriale

( ) ( )( ) ( )

1

2 3

0,0 0,0 0,0 4,0

3,5 4,0 ? ?

O P

P P

≡ ≡

≡ ≡

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I vettori

•  Definiamo i vettori spostamento

•  Lo spostamento finale è la somma dei tre (testa coda…)

( )

(0,0 4,0)(3,5 0,0)2,7 2,7 1,9 1,92 2

=

=

= − = −

1

2

3

SS

S

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I vettori

•  In totale

•  Per tornare alla casa lo spostamento necessario

•  Con modulo

( )( )

1 2 3

0,0 3,5 1,9 4,0 0,0 1,9

5,4 2,1

= + + =

+ + + − =

S S S S

( )5,4 2,1− = − −S

( ) ( )2 25,4 2,1 5,8S km= − + − =

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I vettori

Calcoliamo il prodotto scalare fra i vettori E quindi i loro moduli e l’angolo compreso fra di essi.

( ) ( )21 1,5 2,3 2,5 4,3= =v v

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•  La definizione ci dà subito

•  I moduli dei vettori si calcolano come prodotti scalari dei vettori per sé stessi

I vettori

1 2 1,5 2,5 2,3 4,3 13,6= ⋅ + ⋅ =v vg

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I vettori

•  Dunque:

•  Ricordiamo ora che il prodotto scalare si può anche scrivere come

•  …E da questa relazione possiamo calcolarci l’angolo!

2 21 2

2 21 2

1,5 2,3 2,75

2,5 4,3 4,97

= + =

= + =

v v

v v

g

g

1 2 1 2 12cosv v θ=v vg

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I vettori

•  Riprendiamo…

•  Notate che i calcoli intermedi sono stati effettuati con più cifre significative, mentre il risultato è stato espresso con sole due cifre

1 212

1 2

12

14,2cos 0,9982,75 4,97

3 ,6v v

θ

θ

= = =⋅

= °

v vg1 2 1 2 12cosv v θ=v vg

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I vettori

Determinare le componenti del vettore prodotto esterno dei due vettori

Inoltre determinare il suo modulo, verificare che esso è

perpendicolare ai due vettori dati

( ) ( )1 21,5 2,3 0 4,3 2,5 0= =v v

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I vettori

•  Calcoliamo le componenti del vettore con il calcolo del determinante

[ ] [ ][ ]

1 2

ˆ ˆ ˆ1,5 2,3 04,3 2,5 0

ˆ ˆ2,3 0 0 2,5 1,5 0 0 4,3ˆ 1,5 2,5 2,3 4,3

ˆ6,14

= ∧ = =

= ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ +

⋅ − ⋅

= −

x y zV v v

x yz

z

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I vettori

•  Il suo modulo è uguale alla sua componente z (unica diversa da zero)

•  Il prodotto scalare con i vettori componenti è nullo quindi il vettore è sicuramente perpendicolare ai vettori componenti