esercizi test interattivi - liceo classico scientifico xxv ... · 10,0 8,0 2,0,, % l 10 0 20 20 kj...

534

ESERCIZIESER

CIZ

I

4 ESEMPIO ��

Una centrale elettrica produce 500 MW, utilizza vapore molto caldo e ha un rendimento del 35%. L’energia non convertita in lavoro, cioè in energia elettrica, deve essere scaricata nell’ambiente utilizzando l’acqua di un fiume.

Quale portata deve avere il fiume per far sì che la sua temperatura non aumenti di oltre 5,0 °C, allo scopo �

di ridurre quello che viene chiamato inquinamento termico?

� RISOLUZIONE

Usare la potenza invece dell’energia non fa differenza per la definizione di rendimento, perché questo è un rapporto tra due grandezze omogenee; il rendimento è quindi:

Qt

QtL

L

potenza termica assorbita

potenza meccanica

c c

T

Th = = =

Indichiamo con P la potenza meccanicae con Wc e Wf rispettivamente la potenza termica prodotta nella centrale e la potenza termica scaricata nel fiume:

WP

ch =

Per il primo principio si ha: P W W W P Wc f c f&= - = +

Vogliamo conoscere la potenza termica Wf dispersa nel fiume, avendo come dati P e h:

WP

P WP W P

1

c ff&h

h

h= =

+=

-

Ricaviamo infine L:

� Risultato numerico

500

%

P

35

MW

h

=

=500 10

,

,929 9,3W

0 35

1 0 35MW WMW 8

f $.=-

=^ hQuesti 930 MW scaldano l’acqua del fiume. Indichiamo con Qa il calore che viene passato all’acqua del fiume nell’intervallodi tempo ,tT con ma la massa dell’acqua, con ca il calore specifico dell’acqua e con

TT il salto di temperatura. Risulta:

Wt

Qt

m c Tf

a a a

T T

T= =

La portata del fiume è ,m ta T quindisi ha: t

mc T

Wa

a

f

T T=

2��

QUANTO? Una macchina termica ha un rendimento del 25%.

Quanto calore deve utilizzare per produrre 100 J �

di lavoro? 400 J6 @3

�� In ogni suo ciclo, una macchina termica assorbe 280 J da una sorgente calda e scarica 238 J nell’am-biente.

Qual è il suo rendimento? � %156 @

Macchine termiche1

Motori a combustione interna2

1��

QUANTO? Una macchina termica produce 40 J a ciclo, assor-

bendo 220 J di calore.Quanto calore viene disperso nell’ambiente? �

180 J6 @

20 test (30 minuti)

TEST INTERATTIVI

535

12 � Il secondo principio della termodinamica

ESER

CIZ

I

Il secondo principio della 3 termodinamica: enunciato di KelvinMacchine frigorifere4

Il secondo principio della 5 termodinamica: enunciato di Clausius

8��

QUANTO? Un frigorifero, per estrarre 480 J dal suo interno,

consuma 120 kJ.Quanto vale il suo coefficiente di prestazione? �

46 @9

�� QUANTO?

Una pompa di calore estrae 480 J dall’ambiente fred-do esterno, consumando 120 kJ.

Quanto vale il suo coefficiente di guadagno? � 56 @10

�� Un frigorifero con coefficiente di prestazione pari a 4,5 consuma 100 W.

Quanta potenza termica scarica all’esterno? �

550 W6 @


°

°

5,0

,

W

T

c

930

4 2

MW

C

kJ kg C

f

a $

T

=

=

= ^ h ° °, 5,

,

tm

4 10 0

9 3 10

2 kJ kg C C

W

kg s m s

3

8

4 3

a

$ $

$

T= =

,4 4 10 44$= =

^_ ^hi h

Per evitare innalzamenti di temperatura superiori a 5,0 °C la portata del fiume deve essere almeno .44 m s3

5��

Considera la centrale dell’esercizio precedente e supponi che il suo rendimento sia il 30%, pur man-tenendo la potenza prodotta di 500 MW.

Quanto si innalzerebbe la temperatura dell’acqua �

del fiume con una portata di 44 ?m s3 6,3 °C6 @6

�� Una macchina termica assorbe 200 J di energia ter-mica per ogni ciclo e scarica nell’ambiente 140 J.

Se effettua 25 cicli al secondo, quanto vale la sua �

potenza? 1,5 kW6 @7

�� Un motore sviluppa 1800 W effettuando 20 cicli s e con un rendimento del 25%.

Qual è l’energia scaricata nell’ambiente a ogni ciclo? �

E quella scaricata nell’ambiente in un’ora di fun- �

zionamento? 270 J ; 19 MJ6 @

11 ESEMPIO ��

Un frigorifero assorbe 8,0 kJ da un termostato freddo e scarica nell’ambiente 10,0 kJ.Qual è il suo COP? �

Il frigorifero è reversibile e viene fatto funzionare come macchina termica.Qual è il suo rendimento? �

� RISOLUZIONE

Il COP (coefficiente di prestazione) è �

il rapporto tra il calore estratto dall’ambiente freddo e il lavoro che è stato necessarioper eseguire l’estrazione:

L

QCOP

f=

Il lavoro è la differenza tra il calore scaricato e quello assorbito: L Q Q

Q Q

QCOPc

cf

f

f&= - =

- �

536

Princìpi della termodinamicaESER

CIZ

I � Risultato numerico

10,0

8,0

Q

Q

kJ

kJ

c

f

=

= , ,

,,

10 0 8 0

04 0

8COP

kJ kJ

kJ=

-=

Se il frigorifero viene fatto funzionare �

come macchina termica, allora si considera il rendimento h, che è il rapporto tra lavoro prodotto e calore assorbito:

QL

ch =


,

,

Q

Q

8 0

10 0

kJ

kJ

f

c

=

=

10,0 8,0 2,0

,

,%

L

10 0

2 020

kJ kJ kJ

kJ

kJh

= - =

= =

12 ESEMPIO ��

All’interno di un frigorifero 5 °T C=^ h sono stati messi 10 L d’acqua a 20 °C. Il COP del frigorifero vale 4,2. Trascura le dispersioni termiche e i contenitori dell’acqua.

Calcola l’energia utilizzata dal frigorifero per raffreddare l’acqua. �

� RISOLUZIONE

Il frigorifero estrae il calore Qf dell’acqua massa^ m e calore specifico cah e lo

scarica all’esterno:Q m c Tf a T=

Il coefficiente di prestazione del frigorifero è il rapporto tra il calore estratto e il lavoro necessario per estrarlo:

L

QL

Q m c TCOP

COP COPf f a

&T

= = =


°

° ° °

,

,

,

,

V

c

T

1 0 10

1 0 10

4 19

4 2

20 5 15

kg m

m

kJ kg C

COP

C C C

3 3

2 3

a

$

$

$

T

t =

=

=

=

= - =

-

^ h, /m , m kgm V 1 0 10 1 0 10 10kg 3 33 2$ $t = == -^ ^h h

° °

,

, 150,15L

4 2

10 4 19kg kJ kg C CJM

$= =

^ ^^ ^h hh h

13��

Un frigorifero consuma 160 kJ per raffreddare 12 L di acqua da 16 °C a 4 °C.Determina il suo coefficiente di prestazione. � ,3 86 @

14��

Una pompa di calore immette 20 kW per scaldare una casa. L’aria che esce dalla pompa è a 40 °C, mentre l’esterno si trova a 20 ° .C-

Determina il suo COP. �

Calcola la potenza del motore che aziona la pompa di calore. � 4,2 ; 3,8 kW6 @

537


ESER

CIZ

I15��

In un ciclo industriale, un grosso frigorifero COP 4,8=^ h trasforma acqua a circa 1 °C in ghiaccio a 0 °C. Il frigorifero consuma 800 W.

Calcola quanti kilogrammi di ghiaccio produce ogni ora. � 41 kg6 @16 ESEMPIO ��

Una certa macchina termica ha rendimento 33% ed estrae 210 J dalla sorgente calda. Supponi che l’enunciato di Clausius sia falso e mostra che in tal caso, con un frigorifero «impossibile» �

che viola l’enunciato di Clausius, sarebbe possibile violare anche l’enunciato di Kelvin.

� RISOLUZIONE

L’enunciato di Clausius afferma che non esiste alcun frigorifero che possa trasferire calore da una sorgente calda a una fredda senza che non vi siano altri scambi energetici.

Supponiamo che l’enunciato di Clausius sia falso: esiste un frigorifero «impossibile» che trasferisce calore da una sorgente fredda a una più calda senza alcun effetto secondario.

Una macchina termica con rendimento h assorbe calore da una sorgente a temperatura alta, ne trasforma la frazione h in lavoroe scarica la frazione 1 h-^ h in una sorgente fredda. Una macchina del genere non violail principio di Kelvin.

La nostra macchina ha %:33h = se in un ciclo assorbe 210 J, produce 70 J di lavoro e scarica nella sorgente fredda i restanti 140 J.

La coppia composta dalla macchina termicae dal frigorifero «impossibile» è una macchina termica «impossibile» che viola l’enunciatodi Clausius.

Il frigorifero «impossibile» può prendere i 140 J scaricati nella sorgente fredda e trasferirli nella sorgente calda. Così restano 70 J di calore prelevati dalla sorgente calda e trasformati interamente in lavoro in un ciclo della coppia macchina-frigorifero «impossibile».

L’enunciato di Kelvin afferma che nonè possibile trasformare integralmente in un ciclo termico il calore in lavoro.

La coppia macchina-frigorifero «impossibile» viola l’enunciato di Kelvin.

17��

Un frigorifero assorbe 500 J da un termostato fred-do e scarica 800 J a un termostato caldo.

Supponi che l’enunciato di Kelvin sia falso e �

mostra che, in tal caso, con una macchina termi-ca «impossibile» sarebbe possibile violare l’enun-ciato di Clausius.

Trasformazioni reversibili e teorema 6 di Carnot

Macchina di Carnot e ciclo di Carnot7

18��

QUANTO? Un motore opera fra le temperature di 50 °C e

650 °C.Quanto vale il suo rendimento massimo? � %656 @

19��

QUANTO? Una macchina reversibile di Carnot prende 300 J a

ciclo da una sorgente termica a 500 K.Quanto calore deve scaricare nell’ambiente? �

180 J a ciclo.6 @20

�� Una macchina reversibile di Carnot assorbe calore da una sorgente a 400 °C e lo scarica nell’ambiente a 20 °C.

Calcola il suo rendimento. � %566 @21

�� Una macchina termica, che assorbe calore da una sorgente a 600 K e scarica calore a 350 K, ha un rendimento del 30%.

È una macchina di Carnot? �

No, il rendimento teorico è 42%6 @

538


CIZ

I A quale temperatura arriva il gas? �

Durante questa espansione quanto lavoro com- �

pie il gas?E quanto calore assorbe? �

Se il gas fosse stato monoatomico invece che bia- �

tomico, le risposte alle domande precedenti sarebbero cambiate?

°12,2 ; 49 ; 0,49 ;

,

V T LQ 1 69

L C kJ

kJi f= = =

=

6 @26

�� 1 mole di gas monoatomico a 21 °C occupa un volu-me di 6,1 L.

Qual è la pressione (in bar) del gas? �

Si scalda il gas e lo si fa espandere reversibilmente, mantenendo costante la pressione, fino a quando raggiunge un volume di 9,1 L.

Qual è il lavoro che si ottiene? �

Durante l’espansione quanto calore viene assor- �

bito dal gas?4 bar ; 1,2 kJ ; Q 3,0 kJP L= = =6 @

27��

1 mole di gas monoatomico a 21 °C viene compres-sa da un volume iniziale di 24,4 L a 20,0 L in modo reversibile e adiabatico.

Calcola la temperatura finale del gas. �

T 63 °Cf =6 @28

�� 1 mole di gas biatomico a 20 °C viene espansa da 24,4 L a 26,8 L in modo reversibile e adiabatico.

Calcola la temperatura finale del gas. �

T 9 °Cf =6 @

22��

La temperatura delle acque superficiali del mare può raggiungere i 25 °C, mentre nelle profondità si hanno temperature più basse, che si aggirano intor-no ai 5 °C.

Quale rendimento avrebbe una macchina di Car- �

not operante fra queste temperature? %7<6 @23

�� Una macchina termica reversibile opera fra due sorgenti a temperature rispettivamente Tc e

40 ° .T Cf =

Determina la temperatura minima � Tc che assicu-ra un rendimento maggiore del 55%. 700 K6 @

24��

Una macchina termica assorbe in un ciclo termico 200 J da una sorgente a temperatura alta e scarica 140 J nell’ambiente a 20 °C.

Qual è il rendimento di questa macchina? �

È possibile che la sorgente a temperatura alta, da �

cui la macchina assorbe i 200 J, sia vapore a120 °C? T30% ; con 120 °C 393 K si ha

25% < 30% , pertanto la risposta è:

non è possibile

calda

max

h

h

= = =

=

6@

25��

2 moli di gas biatomico a 20 °C sono tenute a una pressione di 4,0 10 Pa5$ in un recipiente dotato di pistone.

Qual è il volume iniziale (in litri) del recipiente �

che contiene il gas? Si fa espandere reversibilmente questo gas fino ad

aumentare il volume del 10%, ma tenendo costante la pressione a , .4 0 10 Pa5$

29 ESEMPIO ��

Un recipiente di volume complessivo 4,80 L, dotato di pareti adiabatiche, è riempito per metà con 0,800 moli di argon e si trova a temperatura ambiente .T 20 °Ca =^ h L’altra metà è vuota. A mantenere contenuto il gas c’è un leggero setto mobile, anch’esso adiabatico, bloccato da alcuni fermi. I fermi vengono rimossi e il gas spinge sul setto di colpo, fino a riempire tutto il recipiente. A questo punto il setto viene spinto verso il basso e il gas è riportato al volume iniziale in modo reversibile. Trascura massa e spessore del setto mobile.

espansione libera adiabatica irreversibile

compressione adiabatica reversibile

539


ESER

CIZ

IQuanto valgono la pressione e la temperatura dopo l’espansione nel vuoto? �

E dopo che il gas ha occupato nuovamente mezzo recipiente? �

Calcola il lavoro necessario a ricomprimere il gas per riportarlo al volume iniziale. �

� RISOLUZIONE

L’espansione del gas è irreversibile, ma non comporta �

alcun lavoro perché la parte superiore del recipiente è vuota e noi trascuriamo la massa del setto mobile. Inoltre le pareti sono adiabatiche, per cui non ci sono scambi di calore. Ciò significa che l’energia interna U del gas resta invariata. Consideriamo l’argon nel recipiente un gas perfetto: la sua energia interna dipende solo dalla temperatura e dal numero di moli.

Se U e n non cambiano, anche T non cambia, perciò la temperatura finale è

T T 20 293°C K1 a= = =

Dalla legge del gas perfetto si ha: PV

nRT1

1

1=


,

,31

4,80 4,80 10

293

8

n

V

T

R

0 800 mol

J/ (mol K)

L m

K

13 3

$ $

$

=

=

= =

=

-

,

, ,

4,06 10

P4 80 10

0 800 8 31 293

m

mol J mol K K

Pa

1 3 3

5

$

$

$

= =

=

-

^ ^^ ^h hh h

La compressione adiabatica è ora effettuata in modo �

reversibile. Questo fatto comporta l’attraversamento di stati di equilibrio in cui anche i valori di pressione sono sempre ben definiti e la compressione adiabatica reversibile è una curva nel piano P-V.

Per la trasformazione adiabatica reversibile da ,P V1 1^ h a ,P V2 2^ h si ha:

P PV

V2 1

1

2

= c

c

dove 5 3c = per il gas monoatomico.Il punto di partenza della trasformazione adiabatica reversibile è

, 10 , 4,80 104,06P V Pa m1 15 3 3$ $= -^ ^h h

Il punto di arrivo ha un volume V V 22 1=

Dalla legge del gas perfetto la temperatura finale raggiunta dopo la compressione adiabatica è T

nRP V

22 2

=


4,06 10

,

,

, ,

P

n

P

V

0 800

1 29 10

0 102 4 2 4

Pa

mol

Pa

L m

15

26

23 3

$

$

$

=

=

=

= = -

, ,P 4 06 10 2 1 29 10Pa Pa25 5 3 6$ $ $= =^ h

°, ,

, ,

466 193

T0 800 8 31

1 29 10 102 40

mol J mol K

Pa m

K C

2

6 3 3

$

$ $= =

= =

-

^ ^^^ ^

h hhh h

Il gas è aumentato di temperatura non perché ha assorbito �

calore (la trasformazione è adiabatica) ma perché il setto ha compiuto lavoro per ricomprimerlo. Poiché gli scambi di calore sono nulli, dal primo principio segue che questo lavoro è pari alla variazione di energia interna del gas:

L U n C T n C T TV V 2 1T T= = = -^ h�

540


CIZ

I � Risultato numerico

,n

C

T

T

R

0 800

3 2

466

293

mol

K

K

V

2

1

=

=

=

=

, ,

,

L 0 80023

8 31 466 293

1 73

mol J mol K K K

kJ

$= - =

=

^ ^^ ^h hh h

30��

Considera l’esercizio precedente nel caso in cui il recipiente contenga azoto, che è un gas biatomico.Quanto valgono la pressione e la temperatura dopo l’espansione nel vuoto? �

E dopo che il gas ha occupato nuovamente mezzo recipiente? �

Calcola il lavoro necessario a ricomprimere il gas per riportarlo al volume iniziale. �

[P1 = 4,06 $ 105 Pa, T1 = Ta; P2 = 10,7 $ 105 Pa, T2 = 387 K; L = 1,56 kJ]

31 ESEMPIO ��

Considera l’espansione adiabatica che fa passare n moli di gas perfetto da uno stato iniziale, caratterizzato da Pi e ,Vi a uno stato finale, caratterizzato da Pf e V kVf i= .k 1>^ h

Dimostra che il lavoro è �

L P Vk

c 11

V

1

i i= -c-c m= G

dove c C RV V= è il calore specifico molare del gas in unità R, per il quale vale la relazione .c 1 1V c= -^ h

In una espansione adiabatica reversibile di un gas perfetto gli stati iniziale e finale sono legati dalla relazione:

P PV

Vf i

f

i= c

c

dove c è il rapporto dei calori specifici del gas; in particolare 5 3c = per i gas monoatomici e 7 5c = per quelli biatomici.

Il una trasformazione adiabatica il gas non scambia calore con l’esterno, quindi

.Q 0= Per il primo principio della termodinamica allora si ha:

L UT=

In termini del calore specifico molare del gas cV il lavoro diviene L U n R TcVT T= =

A questo punto occorre determinare ;TT la temperatura iniziale Ti del gas è nota dalla legge di stato, quindi

TnRP V

ii i

=

Per determinare Tf bisogna prima calcolare ,Pf mentre è noto che al termine dell’espansione si ha :V kVf i=

iPkV

P V

kP

fi

i= =

c

cc

i

^ hDeterminiamo Tf mediante la legge del gas perfetto:

TnRP V

nRP V

kk

nRP V

k1 1

ff f i ii i

= = =c

c-c m

espansione adiabatica reversibile

V

P

Vi kVi

541


ESER

CIZ

ISostituendo nella relazione L n R TcV T= si ha: L n R T T n R

n RP V

n RP V

k

P Vk

c c

c

1

11

V V

V

1

1

i fi i i i

i i

= - = - =

= -

c

c

-

-

^ cc

h mm

==

GG

Rapporto dei calori specifi ci (gas biatomico) c 1,4

Pressione al punto 0 1,0 bar

Pressione dopo l’espansione isoterma (punto 2) 9,0 bar

Volume iniziale 0,2 L

Temperatura del termostato caldo Tc^ h 600 K

Temperatura del termostato freddo Tf^ h 300 K

• Inizia ricavando il numero di moli n.

• Costruisci una colonna con V come variabile indi-pendente partendo da 0,025 ,V Lmin = andando avanti con un passo , .V 0 005 LT =

• Aggiungi quattro colonne per la pressione, rispetti-vamente per le quattro trasformazioni; usa le formule P Vcostante= per le isoterme e cP Vcostante= e determina i valori delle costanti.

• Costruisci il grafico cancellando i valori eccedenti il ciclo. , ;

: , , , , ;

: , , , , ;

: , , , , ;

: , , , ,

n

P V T

P V T

P V T

P V T

0 00802

0 1 00 0 200 300

1 11 31 0 035 600

2 9 00 0 044 600

3 0 80 0 251 300

mol

punto bar L K

punto bar L K

punto bar L K

punto bar L K

=

= = =

= = =

= = =

= = =

6

@Il grafico è riportato nella figura seguente

P (b

ar)

V (L) 0,000

compressione adiabatica isoterma calda espansione adiabatica isoterma fredda

0

2

4

6

8

10

12

14

0,050 0,100 0,150 0,200 0,250

37��

Una macchina termica produce 540 W, prendendo calore da una sorgente geotermica a 180 °C e scari-cando il calore residuo in un lago in cui c’è ghiaccio e acqua in equilibrio a 0 °C. Per fondere 1 kg di ghiaccio occorrono 334 kJ.

Se il rendimento della macchina è il 12%, quanto �

ghiaccio viene fuso in un’ora?Se la macchina termica fosse una macchina di �

Carnot reversibile, quanto ghiaccio verrebbe fuso? ; ,4 8 83 kg kg6 @

32��

Considera la formula dimostrata nell’esercizio pre-cedente.

Dimostra che è valida anche nel caso di una com- �

pressione e che in questo caso si ha ,k 1< cioè il lavoro diventa negativo.

33��

Una mole di azoto (biatomico), che occupa un volume di 16 L alla temperatura ambiente di 20 °C, viene fatta espandere adiabaticamente fino al volume di 25 L.

Calcola il lavoro di espansione. � 0,99 kJ6 @34

�� Se fai funzionare a rovescio una macchina reversi-bile di Carnot, ottieni un frigorifero che raffredda un ambiente a temperatura ,Tf scaricando calore in un luogo caldo a temperatura .Tc

Determina il COP di questo frigorifero. �

T T TCOP f c f= -^ h6 @35

�� Considera il ciclo di Carnot.

Verifica che il lavoro fatto dal gas nell’espansio- �

ne adiabatica è uguale e opposto a quello subito dal gas durante la compressione adiabatica.

36��

Il ciclo di Carnot è sempre rappresentato in forma stilizzata come in figura. La forma è topologica-mente corretta, ma le trasformazioni non sono così separate. Usa il foglio elettronico per disegnare le quattro trasformazioni in modo realistico.

espansioneisoterma

espansionenisotermae

espansioneisoterma

compressioneisoterma

1

2

0

3

espansioneadiabatica

compressioneadiabatica

P (bar)

V (L)

Come suggerimento puoi seguire la seguente procedura.• Assumi, come dati, i valori riportati nella tabella

della colonna a fianco.

• Utilizza , .R 0 0831 bar L kg mol$ $= ^ ^h h

542


CIZ

I 38 ESEMPIO ��

Una macchina termica opera secondo il ciclo rappresentato in figura, utilizzando due trasformazioni a pres-sione costante (isobare) e due trasformazioni a temperatura costante (isoterme). La macchina termica con-tiene 0,120 moli di gas monoatomico. Nello stato iniziale A il volume è 1,00V LA = e la temperatura è

.T 301 KA = La compressione isoterma dimezza il volume, mentre il successivo riscaldamento, con espan-sione isobara, porta la temperatura al valore 500 .T KC =

Qual è il rendimento di questo ciclo termico? �

isobara

isobara

isotermaisoterma

AD

B C

P

V

� RISOLUZIONE

Conviene organizzare i risultati in forma di tabella contenente gli stati A, B, C, D. I dati sono riportati in rosso.

T (K) P (Pa) V (L)

A 301 1,00

B 0,50

C 500

D

La legge dei gas permette di riempire le celle vuote.

La pressione nel punto A è

, ,,

,

P n RVT

0 120 8 3141 00301

3 00 10

mol J mol KLK

Pa

AA

A

5

$

$

= = =

=

^ ^^h hh

301T T KB A= = perché la trasformazione è isoterma.

,0,50

1,00,P P

VV

3 00 10 6 00 10PaL

LPaB A

B

A 5 5$ $= = =^ hP PC B= perché la trasformazione è isobara.

,301500

,V VTT

0 50 0 83LKK

LC BB

C= = =^ h

500T T KD C= = perché la trasformazione è isoterma.

,,

,,V V

PP

0 833 00 10

6 00 101 66L

Pa

PaLD C

D

C

5

5

$

$= = =^ h

Ora la tabella degli stati è completata. T (K) P (Pa) V (L)

A 301 ,3 00 105$ 1,00

B 301 ,6 00 105$ 0,50

C 500 ,6 00 105$ 0,83

D 500 ,3 00 105$ 1,66

543


ESER

CIZ

ICompletiamo adesso una tabella coni valori del lavoro, del calore e della variazione di energia interna del gas durante ogni trasformazione. Cominciamo con l’osservare che nelle isoterme si ha .U 0T =

∆U (J) L (J) Q (J)

Isoterma A B" 0

Isobara B C"

Isoterma C D" 0

Isobara D A"

Totali

Il lavoro durante una trasformazione isoterma è

lnL nRTVV

isotermai

f=

, ,,

,

, ,,

,

ln

ln

L

L

0 120 8 31 3011 00

0 50

208

0 120 8 31 5000 83

1 66

346

mol J mol K KL

L

J

mol J mol K KL

L

J

A B

C D

$ $

$ $

= =

=-

= =

=

"

"

^ ^^ ^

^ ^^ ^

h hh h

h hh h

Il lavoro durante una trasformazione isobara è

L P Visobara T=

, , ,

1,98 10 198

, , ,

L 6 00 10 0 83 0 50

3 00 10 1 00 1 66

Pa L L

Pa L J

Pa L L

B C

D A

5

5

5

5

$

$ $

$

= -

= =

-

="

"

1,98 10 198

L

Pa L J$ $

=

=- =-

=

^ ^

^ ^

h h

h h

L’energia interna è una funzione di stato, il cui valore si calcola con la formula U nR C TVT T= utilizzando i dati della precedente tabella:

, ,

, ,

U 0 120 8 3123

500 301 298

0 120 8 3123

301 500

mol J mol K

K K J

mol J mol K

K K

B C

D A

$ $

$

$

T =

- =

-

"

"U

298 J

$

$

T =

=-

^ ^^^

^ ^^^

h hhh

h hhh

La tabella può quindi essere aggiornata nel modo seguente:

∆U (J) L (J) Q (J)

Isoterma A B" 0 2 80-

Isobara B C" 298 198

Isoterma C D" 0 346

Isobara D A" 298- 198-

Totali 0 138

Per completare la colonna del calore, utilizziamo il primo principio:

.Q U LT= +

∆U (J) L (J) Q (J)

Isoterma A B" 0 2 80- 2 80-

Isobara B C" 298 198 496

Isoterma C D" 0 346 346

Isobara D A" 298- 198- 496-

Totali 0 138 138

Il rendimento h è il rapporto tra lavoro totale e il calore assorbito. Il calore assorbito è quello positivo:

L 138

842

138

J

J

J

C

=

Q 496 346 842J J J= + =

%16h = =

544


CIZ

I 39��

Il ciclo termico rappresentato in figura è costituito da quattro trasformazioni. Questo ciclo è effettuato da una macchina termica che contiene 0,15 moli di gas biatomico .C 5 2V =^ h Nello stato iniziale, cioè nel punto A, il volume è 0,500V LA = e la tempe-ratura è quella ambiente, .T 293 Ka = Dopo il riscaldamento a volume costante la temperatura è salita al valore .T 620 KB = L’espansione isoterma porta il volume a 1,60 L mantenendo costante la temperatura. La compressione a pressione costante riporta il gas alla temperatura iniziale. La seconda isoterma è una compressione che ripristina il valo-re iniziale di pressione.

isocora

isobara isoterma

isoterma A

D

B

C

P

V0,5 L 1,6 L

Determina i valori di pressione, volume e tempe- �

ratura nei punti A, B, C e D del ciclo.Calcola il lavoro, il calore e la variazione di ener- �

gia interna per le quattro trasformazioni del ciclo.Quanto vale il rendimento del ciclo? �

:Risposta6T K^ h P Pa^ h V L^ h

A 293 ,7 30 105$ 0,50

B 620 ,1 5 104 6$ 0,50

C 620 ,4 8 102 5$ 1,60

D 293 ,4 8 102 5$ 0,76

U JT ^ h L J^ h Q J^ hIsocora A B" 1019 0 1019

Isoterma B C" 0 899 899

Isobara C D" 1019- 408- 1427-

Isoterma D A" 0 153- 153-

18%h = @

L’entropia8

40��

QUANTO? Un ragazzo nuota in un lago la cui temperatura è

20 °C. Per conduzione termica e per il movimento delle sue braccia e gambe, il lago assorbe circa200 W di potenza termica.

Di quanto aumenta l’entropia del lago in un’ora �

di nuoto? 2,5 kJ K6 @

41��

QUANTO? 1,0 kg d’acqua a 0 °C diventa ghiaccio cedendo

all’ambiente 334 kJ.

Qual è la variazione di entropia dell’acqua dive- �

nuta ghiaccio? 1,2 kJ K-6 @42

�� Un corpo caldo a 400 K cede 720 J a un corpo fred-do a 300 K. I due corpi hanno dimensioni tali che le loro temperature rimangono praticamente inva-riate.

Qual è la variazione totale di entropia? �

,0 600 J K6 @43

�� Una resistenza mantiene calda l’acqua di una vasca alla temperatura di 30 °C, consumando una poten-za 400 .P W=

Qual è il tasso di produzione dell’entropia? �

,1 3 J K s$^ h6 @44

�� Considera una situazione analoga a quella dell’esempio 29 in cui un recipiente contenente 5,10 moli di elio si trova a temperatura ambiente,

20 ° .T Ca = L’altra metà è vuota. A mantenere bloccato il gas c’è un leggero setto mobile, anch’es-so adiabatico, bloccato da alcuni fermi. I fermi ven-gono rimossi e il gas spinge sul setto di colpo, fino a riempire tutto il recipiente. A questo punto il set-to viene spinto verso il basso e il gas è riportato al volume iniziale in modo reversibile. Trascura mas-sa e spessore del setto mobile.

Determina la variazione di entropia del gas pro- �

dotta nell’espansione irreversibile.

Quanto vale la variazione totale di entropia? �

; ,12 329 J K J K6 @45

�� Per fondere il ghiaccio occorrono .334 kJ kg

Qual è la variazione di entropia di un cubetto di �

ghiaccio di 50,0 g che fonde in un bicchiere d’ac-qua a 0 °C? ,61 4 J K-6 @

46��

In un recipiente termicamente isolato vengono mescolati 20 L di acqua a 15 °C con 30 L di acqua a 80 °C.

Determina la temperatura di equilibrio. �

Calcola il calore scambiato tra le due quantità di �

acqua.

Quanto valgono le loro variazioni di entropia? �

E la variazione complessiva di entropia? �

; , ; , , ;54 3 3 11 9 6 1°C MJ kJ K kJ K kJ K-6 @

545


ESER

CIZ

I47 ESEMPIO ��

Un blocco di metallo di capacità termica 200 J K a temperatura ambiente 20 ° 293T C K= =^ h viene immer-so in una grossa vasca piena di acqua a 80 °C .353 K^ h

Determina la variazione di entropia dell’acqua della vasca, del blocco di metallo e del sistema metallo + �

acqua.

� RISOLUZIONE

Se metti a contatto un corpo caldo a temperatura Tc con un corpo freddo a temperatura ,Tf il calore passa spontaneamente dal corpo caldo a quello freddo fino a che tra i corpi c’è differenza di temperatura.

L’equilibrio termico finale implica temperature uguali.

La vasca piena d’acqua calda è molto grande e si comporta praticamente come un termostato: la sua temperatura non varia in modo apprezzabile.

L’acqua resta a 80 °C, mentre il blocco di metallo passa da 20 °C a 80 °C.

Il calore ricevuto dal metallo è dato dalla formula

Q C T Tc f= -^ hdove C è la capacità termica.

T T 80 20 60 60

200 60

°C °C °C K

J K K

c f- = - = =

Q 12 kJ= =^ ^h hL’acqua rimane a 80 °C e cede al metallo il calore Q, quindi la sua entropia diminuisce: S

TQ

353

1234

K

kJJ Kacqua

cT =- =- =-

Il corpo freddo invece ha ricevuto Q a temperature variabili: all’inizio era ,Tf alla fine

.Tc Per conoscere la sua variazione di entropia è necessario considerare una serie di temperature intermedie Ti da Tf a .Tc

Man mano che la temperatura del pezzo di metallo aumenta di un ,TT il calore scambiato è

.Q C TT T= La variazione di entropia del corpo piccolo è la somma di tanti valori di variazione di entropia:

STQ

CTT

metalloTT T

= =//Per determinare il valore della somma si deve ricorrere al calcolo integrale, che non verrà affrontato in questa sede. Il risultato del calcolo è

lnS CTT

metallof

cT =

La variazione di entropia di un corpo di capacità termica C che passa dalla temperatura Tf alla temperatura Tc è

lnS CTT

f

cT =

Per il blocco di metallo si ha quindi 200293353

37,3lnS J KKK

J KmetalloT = =^ h

La variazione totale di entropia è la somma delle variazioni di entropia dell’acqua nella vasca e del metallo; tale variazione è positiva: ,

S S S

34 37 3 3J K J K J K

tot acqua metalloT T T= + =

=- + =

546


CIZ

I 48��

Considera l’esempio precedente con la seguente variante: il blocco di metallo, a 80,0 °C, viene immerso in una vasca d’acqua a 20,0 °C.

Determina la variazione di entropia dell’acqua della vasca, del blocco di metallo e del sistema metallo + acqua. �

, ; , ; ,41 0 37 3 3 7J K J K J K-6 @

Il secondo principio della termodinamica e l’entropia9

49 ESEMPIO ��

Dimostra che, se esistesse una macchina termica «impossibile» con un rendimento maggiore di quello della macchina reversibile di Carnot, allora questa macchina sarebbe in grado di diminuire l’entropia totale.

� RISOLUZIONE

Ragioniamo su una macchina reversibile, la quale è comunque idealmente realizzabile: ciò che non si può realizzare neppure idealmente èil rendimento superiore a quello della macchina di Carnot.

La macchina trasforma calore e produce lavoro. Se la macchina è reversibile non c’è alcuna entropia associata al lavoro. Il calore assorbito reversibilmente da una sorgente termica ne diminuisce l’entropia, quello ceduto ne aumenta l’entropia. Nel caso del calore ceduto esplicitiamo il segno meno.

La macchina «impossibile» preleva una quantità di calore Qc dalla sorgente calda a temperatura

.Tc

La sorgente calda vede diminuire la sua entropia della quantità

STQ

cc

cT =-

La macchina «impossibile» produce un lavoro L. A tale lavoro non è associata alcuna variazione di entropia.

La macchina «impossibile» scarica nella sorgente fredda il calore Qf che non ha convertito in lavoro.

La sorgente fredda vede aumentare la sua entropia della quantità

STQ

ff

fT =

La conservazione dell’energia richiede che il lavoro prodotto sia la differenza tra il calore assorbito e quello ceduto.

L Q Qc f= -

Se la macchina «impossibile» avesse un rendimento superiore alla macchina reversibile di Carnot, allora il rapporto L Qc sarebbe più grande di :T T1 f c-

QL

TT

1>c c

f-

Sostituendo l’espressione del lavoro si ha:

QQ Q

TT

TQ

TQ

1> <c

c f

c

f

f

f

c

c&

--

La variazione totale di entropia è la somma delle singole variazioni di entropia: S S S

TQ

TQ

c fc

c

f

fT T T= + =- +

Se fosse

TQ

TQ

<f

f

c

c

l’addendo negativo prevarrebbe su quello positivo e si avrebbe un’entropia totale negativa:

S 0<T

Questo è impossibile!

547


ESER

CIZ

Ia un altro con molteplicità ,w10N dove N è il nume-ro di Avogadro.

Di quanto aumenta l’entropia? � 20 J K6 @

53��

In una scatola sono contenute 200 monete che mostrano l’uomo di Vitruvio (per semplicità, testa): dopo averla scossa si contano solo 100 teste e 100 croci. È noto che il macrostato con 100 teste e 100 croci è formato da 9 1058$ microstati.

Calcola l’aumento di entropia del sistema forma- �

to dalle 200 monete. 1,9 10 J K21$ -6 @

54��

Dopo aver lanciato 10 carte in aria, osservi un «macrostato» formato da 5 carte col dorso rivolto verso l’alto.

Quanti sono i microstati corrispondenti? � 2526 @

55��

Il numero di permutazioni di n oggetti diversi è ! ,N N1 2 3$ $ $ $f= vale a dire il prodotto di tutti

i numeri interi da 1 a N. !N è un numero enorme già per valori di N non molto grandi. Per esempio 100 ! 9,33 10 .157$. Si dimostra che la formula seguente offre un’ottima approssimazione per il calcolo di ! :N

!N N e N2N N. r-

Questa approssimazione è tanto migliore quanto più grande è N.

Usa il foglio elettronico per verificare la validità �

di questa approssimazione, calcolando i due ter-mini dell’uguaglianza approssimata e trovando di quanto differiscono percentualmente per

,N 10= N 50= e .N 100= , % ; , % ; , %0 9 0 2 0 16 @

50��

L’entropia è una funzione di stato e può essere usa-ta come variabile, per esempio al posto della pres-sione. Se per rappresentare una trasformazione reversibile si usa il grafico T-S invece di quello P-V (T in ordinata e S in ascissa), allora l’area sottesa dal grafico della trasformazione rappresenta il calo-re e non più il lavoro.

Poiché una trasformazione adiabatica e reversi- �

bile non cambia l’entropia, qual è la forma del ciclo di Carnot nel piano T-S ?Dimostra, usando il piano � T-S, che il rendimento del ciclo di Carnot è .T T1 f ch = -

S

T

Tc

Tf

S1 S2

Qf

Qc

51��

Considera l’enunciato di Kelvin.Spiega perché, se esistesse una macchina in gra- �

do di violarlo, allora si potrebbe far diminuire l’entropia totale.

Il secondo principio 10 della termodinamica dal punto di vista microscopico

52��

QUANTO? Un gas evolve da un macrostato con molteplicità w

56 ESEMPIO ��

Considera un miscuglio di due gas ideali. Mostra che tale miscuglio ha un’entropia maggiore di un solo gas avente lo stesso numero di molecole �

totali. Utilizza la disuguaglianza

! !

!1

N N

N N>

X Y

X Y+^ h� RISOLUZIONE

Il numero di microstati w corrispondenti a una data energia permette di determinare l’entropia con la formula di Boltzmann (a meno di una costante):

lnS k w S 0= + ^ h�

548


CIZ

I

molecole dei gas X e Y mescolati insieme. Usa l’ap-prossimazione

!N N e N2N N. r-

nella quale puoi ignorare il termine N2r che per N dell’ordine della costante di Avogadro è assoluta-

Considera un gas ideale composto da N molecole tutte uguali, che si trova in un macrostato con valori definiti di P, V e T. N è un numero dell’ordine della costante di Avogadro. Il numero dei microstati w del gas dipende dal valore delle variabili di stato, ma a noi non interessa calcolarlo.

w è il numero di microstati del gas ed è un numero incredibilmente grande.

Se le N molecole fossero tutte diverse tra loro, il numero di microstati w l sarebbe molto più grande di w. Per ogni microstato possibile w se ne avrebbero altri !N ottenuti permutando le molecole.

Con tutte le molecole uguali il numero di microstati è w; con tutte le molecole diverse il numero di microstati è

!w N w=l

Supponiamo ora che le N molecole di gas siano una miscela di due tipi di gas, X e Y, ideali e non interagenti, rispettivamente con NX e NY molecole:

N N NX Y= +

Il numero di microstati w l è ridotto perché se permutiamo tra loro le NX molecole del gas X non cambia nulla. La stessa cosa se permutiamo tra loro le NY molecole dell’altro gas.

Delle !N permutazioni ce ne sono ! !N NX Y che non cambiano nulla. Quindi, con solo due gas, il numero di microstati è

! !!

! !

!w

N NN w

N N

N N w

X Y X Y

X Y=

+=l

^ he l’entropia è

lnS k w S 0= +l l ^ hIl miscuglio di due gas ha un’entropia S l maggiore dell’entropia S dello stesso stato di un gas formato da molecole identiche: ciò accade perché .w w>l La differenza tra le due entropie è

! !

!

ln lnS S k w S k w S

ww

N N

N N

0 0

X Y

X Y

- = + - - =

+ln lnk k= =

l l

l

^ ^^

h hh

Poiché

! !

!

! !

!ln

N N

N N

N N

N N1 0> >

X Y

X Y

X Y

X Y&

+ +^ ^h h

e quindi

S S>l

Si conclude che il mescolamento di gas, anche se non avvengono reazioni chimiche, produce un aumento di entropia.

57��

Nell’esempio si è visto che l’aumento di entropia dovuto al mescolamento di due gas è

! !

!lnk

N N

N NS

X Y

X YT

+=

^ h dove NX e NY sono rispettivamente il numero di

549


ESER

CIZ

IPROBLEMI FINALI

62��

Il motore che è andato più lontano L’energia elettrica necessaria a far funzionare le

sonde spaziali viene prodotta per via nucleare: un pezzo di materiale radioattivo, quindi caldo, viene utilizzato come sorgente di calore. Attraverso appo-siti materiali si realizza l’effetto Seebeck, la conver-sione diretta di una differenza di temperatura in corrente elettrica. L’efficienza di questi sistemi è bassa ma vengono utilizzati per la grande affidabi-lità. Il modello RHW-MTG, presente sulla sonda Voyager 1 (il primo oggetto costruito dall’uomo a lasciare il Sistema Solare), produce 160 W di poten-za elettrica a fronte di 2400 W di potenza termica.

Calcola il rendimento del sistema. � , %6 76 @

63��

Caldaie vecchie e nuove Una famiglia media italiana consuma circa 1000 m3

di metano all’anno per il riscaldamento. Attualmen-te il tipo di caldaia più diffuso ha un’efficienza (in questo caso, rapporto tra calore prodotto e calore trasferito all’impianto) di circa il 79%. Sostituendo-la con una a condensazione si potrebbe raggiungere il 96% di efficienza.

Quanti metri cubi di metano si risparmierebbero �

in un anno? 180 m36 @64

�� La forza dell’evoluzione

Le reazioni chimiche di produzione energetica all’in-terno delle nostre cellule avvengono sia nel citopla-sma sia nei mitocondri. I secondi sono strutture più recenti dal punto di vista evolutivo e hanno un’effi-cienza molto maggiore. Bruciando una mole di glu-cosio si ottengono 680 kcal di energia. I processi chimici citoplsmatici riescono a produrre solamente 24 kcal utilizzabili dal corpo, mentre nei mitocondri il ciclo di Krebs produce ben 263 kcal.

pai

d2w

rite

.org

mente trascurabile rispetto agli altri fattori.Dimostra che vale la relazione �

dove nX e nY sono i numeri di moli dei due gas.

58��

Considera la formula dell’entropia di mescolamento.Dimostra che si può scrivere come �

ln lnS R n n n n% %X X Y YT =- +^ h dove n %X e n %Y sono le percentuali di moli dei

due gas.Usando questa scrittura, prova a generalizzare la �

formula per ottenere l’entropia di mescolamento di più gas. lnS R n n %i i

i

T =-: D/

59��

In un recipiente diviso a metà da un setto ci sono 1,00 mol di ossigeno da una parte e 1,00 mol di azoto dall’altra, entrambe alla stessa temperatura e pres-sione. Il setto viene rimosso e i due gas si mesco lano.

Di quanto aumenta l’entropia? �

,lnS R2 2 11 5 J KT = =6 @60

�� L’espansione libera a temperatura costante di n moli di un gas perfetto da un volume Vi a un volu-me Vf comporta un aumento di entropia, dovuto all’irreversibilità, pari a .lnS nR V Vf iT = ^ h Con-sidera un recipiente diviso in due parti uguali. In una parte c’è una mole di gas X e nell’altra c’è una mole di gas Y, entrambe alla stessa temperatura. Togli il setto e i due gas si mescolano. I due gas non interagiscono tra loro, se non per via degli urti. Lo spazio occupato da ciascun gas, essendo gas ideali, è trascurabile rispetto al volume complessi-vo. Ciò significa che rimuovere il setto equivale a lasciare ciascuno dei due gas libero di espandersi in un volume doppio.

Di quanto aumenta l’entropia? �

Questo modo di ragionare conduce allo stesso �

risultato che avresti ottenuto considerando l’au-mento di microstati? ,lnS R2 2 11 5 J KT = =6 @

61��

Considera il ragionamento svolto nell’esercizio pre-cedente.

Generalizzalo nel caso di mescolamento di due �

quantità diverse di gas, per ottenere la formula

ln lnS R n n n n% %X X Y YT =- +^ h,

,V n

nn n n V

n n V n

Affinché inizialmente la pressionedi volume sia la stessa moli devono occupare la frazione

nelle due parti del recipiente

e moli devono occupare la frazioneX

X

X YY

X Y Y

+

+^^ ^^hh hh

6

@

ln lnS R n nn n

n nn n

XX

X YY

Y

X YT =

++

+c m

550


CIZ

I 68��

Un aumento imprevisto! Un sasso di massa 2,5 kg affonda a velocità costan-

te nell’acqua di un lago profondo 30 m. La tempera-tura dell’acqua e anche quella del sasso è di 15 °C. Il processo è irreversibile.

Quanto vale l’aumento di entropia? � 2,6 J K6 @69

�� Consumi invernali

Il sistema di riscaldamento di un casa di montagna è una pompa di calore che utilizza il ciclo di Carnot. Inizialmente la temperatura esterna è uguale a quel-la interna e pari a 5 ° .C- Dopo un certo tempo la temperatura raggiunge i 18 °C.

Calcola il � COPPC iniziale e finale. 13infinito;6 @

70��

La macchina a vapore Il ciclo termico di una macchina a vapore è il ciclo di

Rankine, formato da un’isocora in cui il vapore (che si può considerare un gas perfetto) aumenta la pres-sione nel cilindro, il pistone si muove in un’espan-sione isobara, seguita da un’espansione adiabatica che raffredda il gas nel cilindro (figura a pagina seguente). Il pistone ricomprime il gas con una tra-sformazione isobara che riporta il gas al punto di partenza. Una macchina a vapore non riusciva pro-babilmente a utilizzare vapore a temperatura molto alte. Considera un cilindro con volume iniziale pari a 5,00V LA = contenente un gas biatomico (l’ac-qua non è un gas biatomico, ma usa questa appros-simazione: il calore specifico per mole a volume costante è 5 2 R^ h e 1,4 .c = h Inizialmente nel cilindro il gas si trova a pressione e temperatu-ra ambiente ;T P20 °CA A= =^ 1,00 10 .Pa5$ h Do-po il riscaldamento a volume costante la pressione sale a 1,40 10 .P PaB

5$= L’espansione isobara por-ta il volume al valore 5,50 .V LC =

Determina quante moli di gas sono coinvolte nel �

ciclo.

sig

no

reva

can

ze.it

Calcola l’efficienza dei due processi. � 3,5% ; %396 @65

�� Dalla marmitta al radiatore

La temperatura di una marmitta catalitica deve essere superiore a 300 °C per il suo corretto funzio-namento. In un’auto che viaggia in autostrada si ha un punto di raffreddamento del motore che è il radiatore, la cui temperatura media può essere sti-mata in circa 80 °C. Si potrebbe sfruttare questa differenza di temperatura per alimentare una mac-china di Carnot.

Che efficienza avrebbe? � %386 @66

�� Idrogeno sporco

I veicoli a idrogeno sono una promessa per abbatte-re le emissioni inquinanti in città. Dal punto di vista energetico il «tallone d’Achille» di questa tecnolo-gia è che se l’idrogeno viene prodotto da combusti-bili fossili si hanno rendimenti molto bassi e l’inqui-namento è solo spostato dalla città alla centrale. Per produrre idrogeno da combustibile fossile si parte da una centrale termoelettrica % ,40h =^ h l’elettri-cità viene utilizzata per scindere l’acqua % ,95h =^ h l’idrogeno prodotto viene liquefatto % ,80h =^ h «bruciato» in una cella a combustibile %45h =^ h e infine convertito in energia meccanica da un motore elettrico (h = 90%).

Calcola il rendimento complessivo del processo. �

%126 @67

�� Maggiore efficienza = meno consumi

Un motore Diesel ha un rendimento di circa il 33% mentre uno a benzina del 28%. Con un’automobile Diesel si riescono a percorrere circa 20 km con 1 L di carburante.

Calcola i kilometri percorsi nel caso di un motore �

a benzina. 17 km6 @

dig

ilan

der

.lib

ero

.it

551


ESER

CIZ

I

re Stirling è quella di immagazzinare una parte del calore del fluido in un rigeneratore, per fornirglielo internamente durante l’isocora ad alto volume.

Ricava l’espressione che fornisce il rendimento �

del ciclo teorico.Nel caso sia presente il rigeneratore, a quale �

valore tende il rendimento?

èè ;

lnVVf

f

21 1

1

dove il numero di gradi di libertà delle molecolee il rendimento del ciclo di Carnot

min

max

S

C

C S C"

h

h

h h h

=

+

d n>@

72��

Il motore a benzina Il ciclo Otto dei motori a benzina consiste di due tra-

sformazioni isocore e due trasformazioni adiabati-che. Di fatto è caratterizzato da due valori di volu-me, VA e ;VB il loro rapporto r V VB A= viene definito rapporto di compressione. Considera un gas il cui calore specifico a volume costante è .CV

Dimostra che il rendimento del ciclo reversibile è �

.r1 1 1h = -

c-^ h73

�� Un processo irreversibile

Una bottiglia, di capacità termica trascurabile, con-tiene 2,00 L di acqua a 5 °C. La bottiglia viene immer-sa in un grosso recipiente contente acqua calda a 80 °C, assimilabile a un termostato. L’acqua fredda si riscalda fino a raggiungere gli 80 °C. Il processo è irreversibile e l’entropia complessiva aumenta.

Determina la variazione di entropia dell’acqua, �

del termostato e quella complessiva.2,00 ; 1,78 ;

,

S SS 0 22

kJ K kJ K

kJ Kacqua termostato

tot

T T

T

= =-

=

6 @74

�� Un processo... meno irreversibile!

Per questo esercizio è meglio usare il foglio elettro-nico. Ripeti il riscaldamento della bottiglia d’acqua dell’esercizio precedente con un processo più gra-

Calcola i valori di pressione, volume e temperatu- �

ra nei punti A, B, C e D del ciclo.Trova il rendimento del ciclo. �

0,205n mol=6P Pa^ h V L^ h T K^ h °T C^ h

A ,1 00 105$ 5,00 293 20

B ,1 40 105$ 5,00 410 137

C ,1 40 105$ 5,50 451 178

D ,1 00 105$ 6,99 410 137

L J^ h) Q J^ h U JT ^ hIsocora A B" 0 500 499

Isobara B C" 70 245 175

Adiabatica C D" 175 0 –175

Isobara D A" –199 698- 499-

%6h = @

71��

Un motore tornato alla ribalta I motori Stirling fanno parte delle macchine termi-

che a combustione esterna: il gas che compie il ciclo termodinamico rimane sigillato e riceve calore per conduzione dall’esterno. Questi motori, inventati due secoli fa, stanno vivendo un nuovo periodo di interesse dovuto alla possibilità di recuperare calo-re «di scarto» e tramutarlo in energia meccanica (e quindi elettrica). Il ciclo è composto da due isocore separate da due isoterme. L’idea «geniale» del moto-

P

B

A

D

V

C

P termostato caldo termostato freddo

condensatore pompa

cilindro caldaia

focolare

B

A D

V

C

552


CIZ

I effettivamente utilizzare.Stima quanta energia producono i mitocondri in �

un giorno. 3 10 J6$6 @76

�� Boltzmann a ferragosto

Se si vuole bere acqua fresca in spiaggia e non ci sono chioschi nelle vicinanze, una buona idea è met-tere una bottiglia in freezer la sera prima e portarse-la al mare congelata: il ghiaccio durerà sicuramente qualche ora mantenendo l’acqua fresca.

Stima di quanto è aumentata l’entropia dell’ac- �

qua quando è completamente liquida. 2 10 J K3$6 @

77��

Mentre scrivi al computer ricarichi il cellulare, senza sprechi!

La CPU (processore centrale) e la GPU (processore grafico) di un PC portatile arrivano facilmente a una temperatura di 70 °C, ma senza sistema di raffred-damento a ventola raggiungerebbero i 100 °C. Se si collegasse una piccola macchina termica che per-corresse un ciclo equivalente a quello di Carnot, si potrebbe recuperare una parte dell’energia dissipa-ta. I due processori interni dissipano circa 15 W di potenza.

Stima la potenza recuperabile teoricamente. �

3 W6 @78

�� Scivolone sull’entropia

Stai camminando e scivoli finendo per terra. La caduta viene «ammortizzata» anelasticamente.

Stima l’aumento dell’entropia dell’Universo. �

2 J K6 @79

�� Stirling in condominio

Nell’esercizio 71 hai calcolato il rendimento del ciclo Stirling teorico e con rigeneratore. Attualmente sono in corso progetti pilota per installare motori di questo tipo nei condomini, sfruttando una caldaia ad alta temperatura sia per l’impianto di riscalda-

ph

oto

pix

el.s

hu

tter

sto

ck

duale, utilizzando 15 termostati con temperature a 10 °C, 15 °C, 20 °C ecc., fino a 80 °C. La bottiglia con acqua a 5 °C viene immersa nel termostato a 10 °C. Quando l’acqua raggiunge 10 °C passa a quello con 15 °C e così via. Alla fine del processo la bottiglia di acqua arriva a 80 °C.

La variazione di entropia della bottiglia di acqua �

è la stessa che si avrebbe se si immergesse diret-tamente la bottiglia nel termostato a 80 °C?Verifica che la variazione di entropia totale è �

molto minore di quella trovata nel caso di un uni-co termostato a 80 °C, in quanto il processo, pur non essendo reversibile, avviene in modo più graduale di prima.

;

Sì, perché l entropia è una funzione di stato e gli statiiniziale e finale della bottiglia d acqua sono gli stessi

sia quando il processo è rapido sia quando è graduale

\

\

6

T°Cacqua^ h T

°Ctermostato^ h Q

kJacqua^ h Q

kJtermostato^ h S

kJ KacquaT^ h

S

kJ K

termostatoT

^ h5

10 10 41,8 ,41 8- 0,149 ,0 148-

15 15 41,8 ,41 8- 0,146 ,0 145-

20 20 41,8 ,41 8- 0,144 ,0 143-

25 25 41,8 ,41 8- 0,141 ,0 140-

30 30 41,8 ,41 8- 0,139 ,0 138-

35 35 41,8 ,41 8- 0,137 ,0 136-

40 40 41,8 ,41 8- 0,135 ,0 134-

45 45 41,8 ,41 8- 0,132 ,0 131-

50 50 41,8 ,41 8- 0,130 ,0 129-

55 55 41,8 ,41 8- 0,128 ,0 127-

60 60 41,8 ,41 8- 0,126 ,0 126-

65 65 41,8 ,41 8- 0,125 ,0 124-

70 70 41,8 ,41 8- 0,123 ,0 122-

75 75 41,8 ,41 8- 0,121 ,0 120-

80 80 41,8 ,41 8- 0,119 ,0 118-

, ,, , , ,

, ,

Q QS S

S

627 6272 00 1 98

0 016

kJ kJkJ K kJ K

kJ K quindi l entropia totale è ancorapositiva, ma è circa 14 volte più piccola di quella

dell esercizio precedente

tot acqua tot termostati

tot acqua tot termostati

tot

T T

T \

\

= =-

= =-

=

@

L’ARTE DELLA STIMA

75��

Di quanto carburante abbiamo bisogno?

Nell’esercizio 64 hai calcolato il valore per l’efficien-za mitocondriale. Queste fabbriche cellulari produ-cono tutta l’energia che il nostro corpo utilizza ogni giorno, ricavandola dal cibo e «trasformando» le calorie alimentari teoriche in joule che possiamo

553


ESER

CIZ

IStima il tempo necessario a raffreddarle. �

Il tempo reale è maggiore o minore? Perché? �

1 h ; maggiore6 @82

�� Il re dei motor i Diesel

I motori Diesel delle navi sono lentissimi se parago-nati a quelli di un’automobile. L’estrema lentezza è dovuta alle enormi dimensioni e permette un rendi-mento molto alto (fino al 50%). Un motore navale gira a 76 giri min e produce 35 000 kW di potenza.

Stima quanto carburante viene immesso ad ogni �

giro. 1 kg6 @

ind

ust

rial

.om

ron

.ch

mento sia per la produzione di energia elettrica. Considera, come esempio, il seguente sistema: per avere un buon rendimento la caldaia viene portata a 500 °C ed è in grado di fornire la corrente elettrica per 5 appartamenti.

Stima la potenza termica che deve assorbire que- �

sta macchina. 20 kW6 @80

�� Ingegneria del freddo

Hai una macchina refrigerante con COP 5= e vuoi costruirti un frigorifero. Decidi, per semplicità dei calcoli, di farlo di forma cubica e lo isoli con un’in-tercapedine di aria spessa 1 cm. La tua macchina termica consuma 100 W di potenza e vuoi che, rima-nendo sempre accesa, raggiunga 0 °C.

Quanto vale approssimativamente il lato del �

cubo? 1 m6 @81

�� Tempo di raffreddamento

Il frigorifero autocostruito dell’esercizio precedente è stato riempito di bottiglie dal contenuto vario: per quanto siano ben incastrate, il volume occupato è circa la metà di quello totale.

esercizi test interattivi - liceo classico scientifico xxv ... · 10,0 8,0 2,0,, % l 10 0 20 20 kj...

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