ja lisäksi oletetaan, että integraali∫ b

a g(x)dx hajaantuu. Tällöin minorant-

tiperiaatteen nojalla myös integraali∫ b

a f (x)dx hajaantuu5. Eli intuitiivi-sesti ajateltuna funktion f ja x-akselin välinen pinta-ala on ääretön, koskatämä ala on ”suurempi” kuin funktion g ja x-akselin välinen pinta-ala, jo-ka on ääretön.

Minoranttiperiaatetta käytetään seuraavasti:

1. Halutaan todistaa, että jokin integraali∫ b

a f (x)dx hajaantuu.

2. Etsitään funktio g, joka on pienempi kuin f eli g(x) ≤ f (x) ja jonkaintegraali

∫ ba g(x)dx hajaantuu.

3. Tällöin integraali∫ b

a f (x)dx hajaantuu.

Esimerkki 14.3. Osoita minoranttiperiaatteen avulla, että integraali∫ ∞

2

1√x− 1

dx

hajaantuu.

Ratkaisu. Nyt f (x) = 1√x−1 . Pitäisi löytää tätä funktiota pienempi funktio

g, jonka integraali hajaantuu välillä [2, ∞]. Helppo tapa löytää pienempifunktio on kasvattaa osoittajaa yhdellä:

1√x− 1

>1√x

.

Eli nyt etsimämme funktio on g(x) = 1/√

x. Tämän integraali voidaanlaskea jälleen suoraviivaisesti:∫ ∞

2

1√x

dx = limM→∞

∫ M

2

1√x

dx

= limM→∞

∣∣∣∣M2

2√

x

= limM→∞

(2√

M− 2√

2)

= ∞.

5Tämä periaate seuraa itse asiassa suoraan majoranttiperiaatteesta: jos f suppenisi,niin silloin majoranttiperiaatetta voisi soveltaa ja myös g suppenisi.

43

Täten koska∞ =

1√x<

1√x− 1

,

niin integraali 1√x−1 hajaantuu.

15 Tiheysfunktiot

Kuten jo useaan kertaan on todettu, integraalilla voi laskea aloja ja tila-vuuksia. Yksi määrätyn integraalin tärkeimpiä sovelluksia on lisäksi se,että sillä voi laskea tapahtumien todennäköisyyksiä. Tämän sovelluksenkäyttäminen vaatii kuitenkin tiheysfunktion käsitettä.

Tiheysfunktio on matemaattisesti ajateltuna mikä tahansa ei-negatiivisiaarvoja saava funktio, joka integroituu reaaliakselilla lukuun yksi eli jollepätee ∫ ∞

−∞f (x)dx = 1 ja

f (x) ≥ 0.

Graafisesti tulkittuna tiheysfunktio on siis funktio, joka on jatkuvasti x-akselin yläpuolella (tai x-akselilla) ja jonka alla olevan alueen pinta-ala onyksi.

Tiheysfunktion idea on seuraava: jos satunnaismuuttujalla X on tiheys-funktio f (x), niin tätä tiheysfunktiota integroimalla voi laskea todennä-köisyyksiä. Jos merkitään P(a ≤ X ≤ b) todennäköisyyttä, että satun-naismuuttuja X saa arvon välillä [a, b], niin tämän todennäköisyyden voilaskea integroimalla satunnaismuuttujan tiheysfunktion f (x) tällä välillä:

P(a ≤ X ≤ b) =∫ b

af (x)dx.

Alla olevissa esimerkeissä käytetään lisäksi seuraavaa ”integrointisään-töä”: jos funktio f (x) on jollakin välillä [i, j] nolla eli pätee f (x) = 0, x ∈[i, j], niin myös tämän funktion integraali välillä [i, j] on nolla eli∫ j

if (x) = 0.

Tarkastellaan nyt funktiota f (x), joka on määritelty paloittain:

f (x) =

{ex, kun x ∈ [a, b]0 muulloin.

44

Eli funktio f saa positiivisen arvon ex joukossa [a, b] ja on nolla muualla.Kun tätä funktiota nyt integroi välillä [−∞, ∞], niin se alue jossa funktioon nolla voidaan sivuttaa:∫ ∞

−∞f (x)dx =

∫ b

aexdx.

Eli koska funktion integraali on nolla sillä alueella jossa funktio on nolla,niin integroitaessa tämä nolla-alue voidaan poistaa eli integroinnit rajatvoidaan muuttaa siten, että nolla-alue poistuu.

Tarkastellaan nyt esimerkkien avulla tiheysfunktioita ja niiden integroin-tia.

Esimerkki 15.1. Satunnaismuuttuja X on tasajakautunut, jos todennäköi-syys että X saa arvon tietyssä joukossa riippuu ainoastaan tämän joukonkoosta (eikä tämän joukon sijainnista x-akselilla). Jos X on esimerkiksitasajakautunut välillä [0, 2], sen tiheysfunktio on

f (x) =

{12 , jos 0 ≤ x ≤ 20 muulloin.

Tämä on tiheysfunktio, koska se on aina ei-negatiivinen ja sen integraalireaaliakselilla on yksi: ∫ ∞

−∞f (x)dx =

∫ 2

0

12

dx

=

∣∣∣∣20

12

x

= 1.

Nyt tätä tiheysfunktiota integroimalla voi siis laskea todennäköisyyksiä.Lasketaan todennäköisyys, että X saa arvon välillä [0, 1/6]:

P(0 ≤ X ≤ 1/6) =∫ 1/6

0

12

dx

=

∣∣∣∣1/6

0

12

x = 1/12.

Esimerkki 15.2. Toinen esimerkki satunnaismuuttujan tiheysfunktiostaon

f (x) =

{e−x, jos x ≥ 00 muulloin.

45

Tämä on tiheysfunktio, koska se on aina ei-negatiivinen ja se integroituuyhteen: ∫ ∞

−∞f (x)dx =

∫ ∞

0e−xdx

= limM→∞

∫ M

0e−xdx

= limM→∞

∣∣∣∣M0− e−x

= limM→∞

(−e−M − (−e−0))

= −0− (−1) = 1.

Tämä on erään eksponenttijakauman tiheysfunktio. Integroimalla tiheys-funktiota voidaan jälleen laskea välien todennäköisyyksiä:

P(a ≤ X ≤ b) =∫ b

ae−xdx

= (−e−a − (−e−b)

= e−b − e−a,

jossa oletetaan, että a > 0.

Tarkastellaan nyt paloittain määriteltyä funktiota

f (x) =

{ax2, jos 0 ≤ x ≤ 100 muulloin.

Tässä a on jokin vakio. Kysymys kuuluu: millä a:n arvolla tämä funktio ontiheysfunktio? Koska tiheysfunktiolta vaaditaan ensinnäkin ei-negatiiviisuus,niin on pakko olla, että a ≥ 0, sillä muuten yllä oleva tiheysfunktio saisinegatiivia arvoja.

Toisaalta tiheysfunktiolta vaaditaan, että se integroituu yhteen reaaliak-selilla eli ∫ ∞

−∞f (x)dx = 1.

Integroidaan nyt funktio f (x) = ax2 ja katsotaan millä a:n arvolla se

46

integroituu lukuun yksi:∫ ∞

−∞f (x)dx =

∫ ∞

−∞ax2dx

=∫ 10

0ax2dx

=

∣∣∣∣10

0

a3

x3.

=a3

1000.

Nyt tämä funktio on siis tiheysfunktio, kun tämä integraali saa arvon yksieli pätee

a3

1000 = 1,

eli a = 3/1000. Täten funktio

f (x) =

{3

100 x2, jos 0 ≤ x ≤ 100 muulloin

on tiheysfunktio.

16 Tasointegraalit

Ennen tasointegraaleihin siirtymistä käsitellään hieman integroinnin no-taatiota. Tarkastellaan jälleen tavallista yksiulotteista integraalia∫ b

af (x)dx.

Tässä siis integrointi tapahtuu välillä x ∈ [a, b]. Tätä väliä [a, b] voidaankuitenkin merkitä [a, b] = A, jolloin yllä oleva integraali voidaan merkitävastaavasti: ∫ b

af (x)dx =

∫A

f (x)dx.

Integraali∫

A f (x)dx ilmaisee, että funktio f (x) integroidaan joukossa A.Tässä tapauksessa koska A = [a, b], niin tämä on sama asia kuin integ-raali

∫ ba f (x)dx.

47

Tälle uudelle lyhyemmälle notaatiolle tulee käyttöä, kun tarkastelemmeuseamman muuttujan funktion integroimista. Tarkastellaan kahden muut-tujan funktiota

f : R×R→ R, (x, y)→ f (x, y).

Tämän muuttujan lähtöjoukko on nyt taso eli R×R. Sen maalijoukko onpuolestaan reaaliluvut eli R. Yksi esimerkki tällaisesta kahden muuttujanfunktiosta on

f (x, y) = x + y,

jolle pätee siis esimerkiksi että f (1, 2) = 3. Nyt tällaista funktiota f (x, y)voi integroida tasossa eli kahden muuttujan x ja y suhteen. Syntynyt in-tegraali on nimeltään tasointegraali.

Seuraavaksi tasointegraali pitäisi määritellä. Palautetaan aluksi mieliin,että yhden muuttujan tapauksessa määrätty integraali

∫ ba f (x)dx määri-

teltiin ala- ja yläsummien avulla. Esimerkiksi alasumma saatiin laskettuajakamalla ensin integrointiväli [a, b] osiin ja laskemalla funktion f pieninarvo jokaisessa näistä osissa. Esimerkissämme väli [a, b] jaettiin kolmenosaan, joiden jokaisen pituus oli 1/3. Laskimme seuraavaksi funktion fpienimmän arvon jokaisessa näistä osissa: merkitsimme näitä m1, m2 jam3. Alasumma saatiin tämän jälkeen summana

13

m1 +13

m2 +13

m3,

jossa siis jokaisen välin pituus kerrottiin funktion pienemmällä arvollakyseisellä välillä.

Kuten yhden muuttujan tapauksessa, määrätty integraali tasossa määri-tellään ylä- ja alasummien avulla. Nyt emme kuitenkaan voi enää pelkäs-tään osittaa väliä, koska tasointegraali on nimensä mukaisesti määriteltytasossa eikä välillä. Valitaan integroitavaksi funktioksi f (x, y) = x + y.Tutkitaan kuitenkin helppoa esimerkkiä, jossa integrointi tapahtuu jou-kossa

[1, 3]× [1, 3],

eli joukossa jossa x ∈ [1, 3] ja y ∈ [1, 3]. Tämä joukko on sikäli helppo, et-tä se määritellään kahden välin karteesisena tulona. Kyseinen joukko onsiis yksinkertainen suorakulmio, joka näyttää kuvana seuraavalta:

48

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−2

−1

1

2

3

4

5

6

0

Tasointegraalin ylä- ja alasummia laskettaessa tämä suorakulmio jaetaanosiin. Muodostetaan alla olevassa kuvassa näkyvä mahdollisimman yk-sinkertainen jako eli jaetaan väli [1, 3] kahtia keskeltä:

1 2 3

1

2

3

A1 A2

A3 A4

Tästä näkyy, että suorakulmio [1, 3]× [1, 3] jaettiin nyt neljään osaan: osiinA1, A2, A3 ja A4. Alasumma määritellään valitsemalla funktion f pieninarvo jokaisessa näistä osista ja kertomalla se näiden osien pinta-alalla.

Olkoon siis m(Ai) funktion f pienin arvo joukossa Ai, jossa luonnolli-sesti i on 1, 2, 3 tai 4. Koska jokaisen näiden joukon pinta-ala on 1, niinalasumma on tässä tapauksessa

m(A1) + m(A2) + m(A3) + m(A4).

49

Nyt integroitavana on funktio f (x, y) = x + y. Kuvaa katsomalla huoma-taan, että tämän pienin arvo joukossa A1 on yhtä kuin 1 + 1 = 2. Vastaa-vasti tämän funktion pienin arvo joukossa A2 on 2 + 1 = 3, joukossa A3tämä pienin arvo on samoin 2 + 1 = 3 ja joukossa A4 tämä pienin arvoon 2 + 2 = 4. Täten alasumma saa arvon

m(A1) + m(A2) + m(A3) + m(A4) = 2 + 2 + 3 + 4= 11.

Vastaavasti yläsumma saadaan valitsemalla jokaisesta joukosta Ai funk-tion suurin arvo tässä joukossa. Merkitään tätä suurinta arvoa joukossaM(Ai), jolloin yläsumma saadaan jälleen helposti katsomalla yllä olevaakuvaa:

M(A1) + M(A2) + M(A3) + M(A4) = 4 + 5 + 5 + 6= 20.

Näin karkealla osituksella ylä- ja alasummat siis eroavat toisistaan melkopaljon. Nämä summat antavat siis ylä- ja alarajan tasointegraalille, jotamerkitään kahdella integroimismerkillä∫∫

Af (x, y)dxdy =

∫∫A(x + y)dxdy,

jossa joukko A on suorakulmio [1, 3]× [1, 3].

Esimerkki 16.1. Lasketaan vielä ylä- ja alasummien antamat arviot ta-sointegraalille ∫∫

A(x− y)dxdy,

jossa A = [0, 1]× [0, 2]. Tehdään nyt jako, jossa x-arvojen väli [0, 1] jaetaanväleihin

[0, 1

2

]ja[

12 , 1]

ja y-arvojen väli [0, 2] jaetaan neljään väliin:[0, 1

2

],[

12 , 1],[1, 1

2

]ja[

12 , 2]. Nyt tällä jaolla suorakulmio A = [0, 1]× [0, 2] saa-

daan jaettua kahdeksaan osaan (piirrä kuva, tästä ei ota muuten selvää):

A1 =

[0,

12

]×[

0,12

]A5 =

[0,

12

]×[

1,32

]A2 =

[12

, 1]×[

0,12

]A6 =

[12

, 1]×[

1,32

]A3 =

[0,

12

]×[

12

, 1]

A7 =

[0,

12

]×[

32

, 2]

A4 =

[12

, 1]×[

12

, 1]

A8 =

[12

, 1]×[

32

, 2]

50

Näiden jokaisen osan ala on 1/4. Koska integroitava funktio on f (x, y) =x− y, niin kyseisen funktion pienin arvo jokaisessa näistä joukosta löytyyvalitsemalla mahdollisimman pieni x-arvo ja mahdollisimman suuri y-arvo. Täten alasummaksi saadaan

14(m(A1) + m(A2) + m(A3) + m(A4) + m(A5) + m(A6) + m(A7) + m(A8))

=14

(−1

2+ 0− 1− 1

2− 3

2− 1− 2− 3

2

)=− 9

4.

Vastaavasti yläsumma saadaan järkeiltyä siten, että valitaan osituksen jo-kaisessa joukossa mahdollisimman suuri x-arvo ja mahdollisimman pieniy-arvo. Täten tämä yläsumma on

14(M(A1) + M(A2) + M(A3) + M(A4) + M(A5) + M(A6) + MA7) + M(A8))

=14

(12+ 1 + 0 +

12− 1

2+ 0− 1− 1

2

)=0.

Jälleen siis ylä- ja alaintegraali tuottavat huomattavan erilaisia tuloksia.Todellisuudessa kyseinen integraali on −1.

17 Tasointegraalin laskeminen

Aiemmin tutkimme ylä- ja alasummien antamia arvioita tasointegraalille∫∫A

f (x, y)dxdy.

Tässä siis funktio f (x, y) integroidaan muuttujien x ja y suhteen jossaintason R2 osajoukossa A. Aikaisemmissa esimerkeissä tämä integrointi-joukko on ollut suorakulmio eli

A = [a, b]× [c, d].

Ala- ja yläsummien laskemisessa ideana oli osittaa tämä suorakulmio Aosiin ja laskea tämän avulla arvio tälle tasointegraalille. Kun tätä ositus-ta hienonnetaan, niin tämä arvio paranee ja on lähempänä integraalintodellista arvoa. Jos tasointegraali

∫∫A f (x, y)dxdy on olemassa, niin se

51

voidaan määritellä näiden ylä- ja alasummien raja-arvona.

Tasointegraalin∫∫

A f (x, y)dxdy geometrinen intuitio on, että se antaafunktion f (x, y) ja xy-tason välissä olevan alueen tilavuuden, kun x jay rajoitetaan joukkoon A.

Esimerkki 17.1. Jos integroinnin alue A on suorakulmio [0, 1]× [0, 2] ja in-tegroitavana on vakiofunktio f (x, y) = 10, niin integraali

∫∫A f (x, y)dxdy

antaa funktion f (x, y) ja xy-tason suorakulmion [0, 1]× [0, 2] välissä ole-van alueen tilavuuden, joka selvästi on 10 · 2 = 20.

Toinen intuitiivinen tulkinta tasointegraalille on, että se antaa funktion fkeskiarvon joukossa A kerrottuna tämän joukon pinta-alalla. Eli∫∫

Af (x, y)dxdy = (Funktion f keskiarvo joukossa A) · (joukon A pinta-ala).

Tästä seuraa suoraan, että funktion f keskiarvo joukossa A saadaan jaka-malla integraali

∫∫A f (x, y)dxdy joukon A alalla:

Funktion f keskiarvo joukossa A =

∫∫A f (x, y)dxdy

Joukon A pinta-ala

Esimerkiksi yllä olevassa esimerkissä joukon A = [0, 1]× [0, 2] pinta-alaoli 2, joten funktion keskiarvo tässä joukossa oli 20/2 = 10.

Nyt kun tasointegraalille on esitetty intuitiivinen tulkinta, käsittelem-me kuinka tämä tasointegraali käytännössä lasketaan. Tämä on yllättä-vän helppoa, kun integrointialue A on suorakulmio [a, b]× [c, d]. Tällöinfunktion f (x, y) integrointi joukossa A voidaan laskea integroimalla tä-mä funktion ensin x:n suhteen ja integroimalla tämän jälkeen syntynytlauseke y:n suhteen. Merkitään integraalia seuraavasti:∫∫

Axydxdy =

∫ d

c

∫ b

af (x, y)dxdy.

Nyt tämä integrointi sujuu laskemalla aluksi ”sisäintegraali”, jota merki-tään alla sulkujen sisässä olevana lausekkeena:∫ d

c

∫ b

af (x, y)dxdy =

∫ d

c

(∫ b

af (x, y)dx

)dy

Eli lasketaan aluksi sisäintegraali∫ b

a f (x, y)dx. Tämän jälkeen integroi-daan syntynyt lauseke y:n suhteen, kuten alla oleva esimerkki valaisee:

52

Esimerkki 17.2. Laske tasointegraali∫∫

A xydxdy, kun A on suorakulmio[0, 2]× [5, 6].

Ratkaisu. Nyt tehtävän suorakulmiolla on rajat 0 ≤ x ≤ 2 ja 5 ≤ y ≤ 6.Täten tämä tasointegraali voidaan kirjoittaa muodossa∫∫

Axydxdy =

∫ 6

5

∫ 2

0xydxdy.

Tämä on helppo laskea: integroidaan ensin x:n suhteen ja tämän jälkeenintegroidaan syntynyt lauseke y:n suhteen:∫ 6

5

∫ 2

0xydxdy =

∫ 6

5

(∫ 2

0xydx

)dy

=∫ 6

5

(∣∣∣∣20

x2

2y

)dy

=∫ 6

5(2y)dy

=

∣∣∣∣65y2

= 62 − 52

= 36− 25 = 11.

Voit integroida tämän tasointegraalin myös toisessa järjestyksessä eli las-kea integraalin ∫ 2

0

(∫ 6

5xydy

)dx.

Tästä saatava tulos on sama.

Kun integrointialue on suorakulmio, lasketaan tasointegraali integroimal-la funktio f (x, y) ensin joko x:n tai y:n suhteen ja tämän jälkeen jäljelläolevan muuttujan suhteen.

Esimerkki 17.3. Laske tasointegraali∫∫

A y3dxdy integroimalla ensiksi y:nsuhteen, kun A on suorakulmio [0, 1]× [3, 4].

Nyt tätä tasointegraalia voidaan jälleen merkitä seuraavasti:∫∫A

y3dxdy =∫ 4

3

∫ 1

0y3dxdy.

53

Integroinnin järjestystä voi nyt vaihtaa vapaasti:∫ 4

3

(∫ 1

0y3dx

)dy =

∫ 1

0

(∫ 4

3y3dy

)dx

=∫ 1

0

(∣∣∣∣43

y4

4

)dx

=∫ 1

0

(44

4− 34

4

)dx

=∫ 1

0

(54− 27

4

)dx

=∫ 1

0

(1894

)dx

=

∣∣∣∣10

1894

x

=1894

.

Yllä olevissa esimerkeissä integrointi sujui yhtä helposti kummassakinjärjestyksessä: integrointi ensin x:n suhteen ja sen jälkeen y:n suhteen oliyhtä helppoa kuin integrointi ensin y:n suhteen ja tämän jälkeen x:n suh-teen. Käytännössä näin ei kuitenkaan aina ole, joten jos integrointi ei tun-nu sujuvan tietyssä järjestyksessä, kannattaa yrittää vaihtaa integrointi-järjestystä.

Yllä olevista esimerkeistä nähtiin, että tasointegraalin laskeminen on yleen-sä helppoa, jos integrointialue A on suorakulmio. Ikävä kyllä integrointimuuttuu huomattavasti vaikeammaksi heti, kun tämä integrointialue eienää ole yksinkertainen suorakulmio. Alla kappaleessa 18 käsittelemmetapausta, jossa integrointi yli monimutkaisempien alueiden onnistuu va-litsemalla sopiva integrointijärjestys. Kappaleessa 19 taas käsitellään ta-paus, jossa integrointi onnistuu muuttujanvaihdoksella.

18 Tasointegraalin laskeminen monimutkaisem-massa joukossa

Tasointegraalin∫∫

A f (x, y)dxdy laskeminen suorakulmiossa A = [a, b]×[c, d] ei ole sen vaikeampaa kuin yhden muuttujan funktion integroimi-nen. Tässä tapauksessa tämä yhden muuttujan integrointi pitää vain suo-

54

rittaa kaksi kertaa peräkkäin: ensin x:n ja sen jälkeen y:n suhteen tai toisinpäin. Jatkossa käsitellään vaikeampaa tapausta, jossa A ei ole suorakul-mio.

Käsitellään aluksi esimerkkitapaus, jossa integrointi tapahtuu kolmiossa,jonka kärkipisteinä ovat (0, 0), (0, 1) ja (1, 0). Tämä integrointialue näyt-tää nyt seuraavalta:

1

1

Huomataan aluksi, että kolmion kärjet (0, 1) ja (1, 0) yhdistää viiva, jokaon osa suoraa y = 1− x. Tämän jälkeen huomataan, että tämä kolmiovoidaan esittää alueena, jossa x on välillä [0, 1] ja y on välillä 0 ≤ y ≤1− x. Tämä huomio mahdollistaa integroinnin tässä kolmiossa.

Esimerkki 18.1. Integroidaan tässä kolmiossa funktio f (x, y) = xy. Kutenyllä mainittiin, tämä kolmio voidaan esittää alueena, jossa 0 ≤ x ≤ 1 ja0 ≤ y ≤ 1 − x. Täten haluttu integraali saadaan laskemalla seuraavaintegraali: ∫ 1

0

∫ 1−x

0xydydx.

Huomaa, että tässä sisäintegraalina on y:n suhteen integroitava lauseke∫ 1−x0 xydy. Tämä johtuu siitä, että y:n rajat ovat ”monimutkaiset” eli si-

55

sältävät x:n termejä. Nyt tämän integrointi sujuu suoraviivaisesti:∫ 1

0

∫ 1−x

0xydydx =

∫ 1

0

(∫ 1−x

0xydy

)dx

=∫ 1

0

(∣∣∣∣1−x

0x

y2

2

)dx

=∫ 1

0

(x(1− x2)

2

)dx

=12

∫ 1

0(x− x3)dx

=12

∣∣∣∣10(

x2

2− x4

4)

=12(

12− 1

4)

=18

.

Yllä olevassa esimerkissä siis integrointialue esitettiin muodossa, jossax oli kahden vakion välissä eli a ≤ x ≤ b samalla kun y oli kahdenx:ää sisältävän lausekkeen välissä eli g1(x) ≤ y ≤ g2(x). Yllä olevassaesimerkissä siis g1(x) = 0 ja g2(x) = 1 − x. Usein siis integrointialuevoidaan esittää nimenomaan tällaisessa muodossa eli alueena

a ≤ x ≤ bg1(x) ≤ y ≤ g2(x).

Tällaisen alueen yli integrointi suoritetaan laskemalla integraali∫ b

a

∫ g2(x)

g1(x)f (x, y)dydx.

Esimerkki 18.2. Tutkitaan nyt alla olevassa kuvassa näkyvää integroin-tialuetta, jossa x on välillä [0, 1] ja y on välillä x2 ≤ y ≤

√x:

56

1

1

Integroidaan tällä alueella funktio f (xy) = xy. Tämän integrointi sujuuyllä esitellyllä tavalla:

∫ b

a

∫ g2(x)

g1(x)(xy)dydx =

∫ 1

0

∫ √x

x2(xy)dydx

=∫ 1

0

∣∣∣∣√

x

x2

12(xy2)dx

=∫ 1

0

x2(x− x4)dx

=12

∫ 1

0(x2 − x5)dx

=12

∣∣∣∣10

(13

x3 − 16

x6)

=12

(13− 1

6

)=

112

Näissä kahdessa esimerkissä siis x oli yksinkertaisella välillä [a, b] ja y olix:n funktioiden välillä. Palataan nyt kolmioon, jossa 0 ≤ x ≤ 1 ja 0 ≤y ≤ 1− x. Huomataan, että täsmälleen saman kolmion voi esittää myösalueena 0 ≤ y ≤ 1 ja 0 ≤ x ≤ 1− y. Eli tässä y on tietyllä yksinkertaisellavälillä [a, b] ja x on kahden y:n funktion välissä eli g1(y) ≤ x ≤ g2(y). Nyt

57

tällä välillä voi integroida esimerkiksi funktion f (x, y) = x:∫ 1

0

∫ 1−y

0xdxdy =

∫ 1

0

∣∣∣∣1−y

0

12

x2dy

=12

∫ 1

0(1− y)2dy

=12

∫ 1

0(1− 2y + y2)dy

=12

∣∣∣∣10(y− y2 +

13

y3)

=12(1− 12 +

13

13)

=16

.

Monet alueet voi siis esittää kahdessa muodossa: joko muodossa jossa xon välillä [a, b] ja y välillä [g1(x), g2(x)] tai muodossa y on välillä [c, d] ja yvälillä [g3(x), g4(x)]. Näiden alueiden muodostaminen on usein vaikeaaellei niitä piirrä paperille.

Jos tehtävän integroimisalue voidaan esittää kahdessa eri muodossa (ku-ten yllä), niin usein integrointi on helpompaa toisella näistä alueista. Tä-ten jos integrointi ei onnistu tietyllä alueella helposti, kannattaa miettiäjosko tämän alueen voisi esittää eri muodossa.

19 Muuttujien vaihto: siirtyminen napakoordi-naatteihin

Yhden muuttujan funktioiden tapauksessa integraalit ratkesivat usein muut-tujanvaihdolla, jossa integraaliin

∫ ba f (x)dx tehtiin korvaus x = g(t). Tä-

män jälkeen korvattiin vielä termi dx termillä g′(t)dt ja laskettiin integ-raali ∫ g−1(b)

g−1(a)f (g(t))g′(t)dt,

jossa integroinnit rajat on myös muutettu, kuten aina muuttujaa vaihdet-taessa on muistettava tehdä.

Yhden muuttujan tapauksessa muuttujan vaihdossa ideana on siis laittaax:n paikalle t:tä sisältävä lauseke g(t), jonka avulla integraali on usein

58

helppo laskea. Yhden muuttujan muuttujanvaihdos sisältää siis kolmeelementtiä:

1. Jokainen integroitavan lausekkeen termi x korvataan termillä g(t)eli jollakin t:n lausekkeella.

2. Termi dx korvataan termillä g′(t)dt.

3. Integroinnin rajat ovat alun perin x = a ja x = b. Nyt kun tehdäänsijoitus x = g(t), niin myös nämä rajat muuttuvat. Kun alkuperäi-nen raja on x = a, niin sijoituksesta x = g(t) saadaan g(t) = a ⇐⇒t = g−1(a). Samoin rajasta x = b saadaan raja t = g−1(b). Tätenintegraali saadaan muotoon

∫ b

af (x)dx =

∫ g−1(b)

g−1(a)f (g(t))g′(t)dt.

Tasointegraalin muuttujanvaihdoksessa on myös mukana nämä kolmeelementtiä. Tarkastellaan nyt tasointegraalia∫∫

A(xy)dxdy.

Ensimmäinen muuttujanvaihdoksen elementti on sijoitus. Tässä siis x jay korvataan joillakin muilla termeillä. Nyt x korvataan termillä jota mer-kitään x(u, v) eli x korvataan kahden muuttujan funktiolla x(u, v). Sa-moin y korvataan kahden muuttujan funktiolla y(u, v). Otetaan esimer-kiksi muunnos, jossa x(u, v) = u + v ja y(u, v) = u− v Tällöin integroita-va lauseke xy saadaan muotoon (u + v)(u− v) = u2 − v2.

Toinen muuttujanvaihdoksen elementti on, että termi dxdy korvataanjollakin toisella termillä. Tämä termi on monimutkaisempi kuin yhdenmuuttujan tapauksessa, koska sijoitetut funktiot ovat nyt kahden muut-tujan funktioita. Tarkastellaan yleistä sijoitusta

x = x(u, v)y = y(u, v).

Nyt termi dxdy korvataan termillä |J|dudv. Tässä termi J on Jakobindeterminantti, joka on yhtä kuin

J =∂x(u, v)

∂u· ∂y(u, v)

∂v− ∂x(u, v)

∂v· ∂y(u, v)

∂u.

59

Jos esimerkiksi

x(u, v) = u + vy(u, v) = u− v,

niin ∂x(u,v)∂u = 1, ∂x(u,v)

∂v = 1, ∂y(u,v)∂u = 1 ja ∂y(u,v)

∂v = −1. Tällöin Jakobin de-terminantti on 1 · (−1)− 1 · (1) = −2. Täten tämän muuttujanvaihdoksentapauksessa termi dxdy korvataan termillä | − 2|dudv eli termillä 2dudv.

Esimerkki 19.1. Tarkastellaan edelleen muuttujanvaihdosta x(u, v) = u+v, y(u, v) = u− v. Lasketaan integraali∫∫

A(x + y)dxdy

tällä muuttujanvaihdoksella. Olkoon integrointialue suorakulmio A =[−1, 1]× [0, 2]. Ensin pitää katsoa miten tämä alue muuntuu tässä muut-tujanvaihdoksessa. Ratkaistaan ensin yhtälöt x = u+ v ja y = u− v muut-tujien u ja v suhteen. Tästä saadaan ratkaistua

u =x + y

2

v =x− y

2.

Täten, kun x on välillä −1 ≤ x ≤ 1 ja y on välillä 0 ≤ y ≤ 2, niin ylläolevista yhtälöistä nähdään, että u on välillä (−1/2, 3/2) ja v on välillä[−3/2, 1/2].

60

Lisäksi pitää muistaa sijoittaa termin dxdy paikalle termi |J|dudv = 2dudv:∫∫A(x + y)dxdy =

∫ 1/2

−3/2

∫ 3/2

−1/2((u + v) + (u− v))2dudv

=∫ 1/2

−3/2

∫ 3/2

−1/2(2u)2dudv

=∫ 1/2

−3/2

∫ 3/2

−1/2(4u)dudv

=∫ 1/2

−3/2

∣∣∣∣3/2

−1/2(2u2)dv

=∫ 1/2

−3/2(9/2− 1/2)dv

=∫ 1/2

−3/2(4)dv

=

∣∣∣∣1/2

−3/2(4v)dv

= 2− (−3)= 5.

Tässä siis tehtiin kohtalaisen yksinkertainen muuttujanvaihto: siinä siir-ryttiin muuttujista x ja y muuttujiin u ja v. Usein tehdään kuitenkin kun-nianhimoisempia muuttujanvaihtoja. Tasointegraalin tapauksessa tyypil-lisin lienee siirtyminen napakoordinaatteihin. Tässä ideana on vaihtaamuuttujat x ja y muuttujiin r ja θ tekemällä muuttujanvaihto

x(r, θ) = r cos θ

y(r, θ) = r sin θ.

Tämä muuttujanvaihto voi vaikuttaa nopeasti katsottuna hieman eksoot-tiselta, mutta tässä on ideana se että kun summataan näiden neliöt elix2 + y2, niin saadaan

(x(r, θ))2 + (y(r, θ))2 = r2 cos2 θ + r2 sin2 θ

= r2(cos2 θ + sin2 θ)

= r2

koska cos2 θ + sin2 θ = 1. Täten jos integroitavassa lausekkeessa on termix2 + y2, niin napakoordinaattimuunnoksella

x(r, θ) = r cos θ

y(r, θ) = r sin θ

61

tämä termi x2 + y2 voidaan korvata termillä r2. Tämä mahdollistaa mo-nien integraalien laskemisen.

Napakoordinaattimuunnoksessa termi dxdy pitää luonnollisesti korvatatermillä |J|drdθ. Lasketaan siis nyt Jakobin determinantti:

J =∂x(r, θ)

∂r· ∂y(r, θ)

∂θ− ∂x(r, θ)

∂θ· ∂y(r, θ)

∂r= cos θ(r cos θ)− (−r sin θ)(sin θ)

= r cos2 θ + r sin2 θ

= r(cos2 θ + sin2 θ)

= r.

Täten Jakobin determinantti on napakoordinaattimuunnoksen tapaukses-sa r.

Esimerkki 19.2. Integroi ∫∫A

√x2 + y2dxdy,

kun A on yksikköympyrä eli A = {(x, y) : x2 + y2 ≤ 1}.

Ratkaisu. Siirrytään napakoordinaatteihin, mikä tässä tapauksessa onnis-tuu sijoituksella x2 + y2 = r2. Tällöin integroitava lauseke

√x2 + y2 saa-

daan muotoon√

r2 = r.

Nyt integroinnin rajat pitää myös muuttaa. Koska alueena on x2 + y2 ≤ 1,niin r2 ≤ 1. Täten laitetaan r väille [0, 1]. Vastaavasti napakoordinaat-timuunnoksessa θ tulkitaan kulmana. Koska integrointialueena on ko-ko yksikköympyrä, annetaan tämän kulman θ kulkea koko matkansa eli

62

0 ≤ θ ≤ 2π. Täten integrointi suoritetaan seuraavasti:∫∫A

√x2 + y2dxdy =

∫ 2π

0

∫ 1

0(r)rdrdθ

=∫ 2π

0

∫ 1

0r2drdθ

=∫ 2π

0

∣∣∣∣10

13

r3dθ

=∫ 2π

0

13

dθ

=

∣∣∣∣2π

0

13

θ

=2π

3.

Esimerkki 19.3. Olkoon A joukko {(x, y) : x2 + y2 ≤ 1} eli yksikköympy-rä. Lasketaan nyt integraali ∫∫

Aex2+y2

dxdy.

Tätä on vaikeaa integroida ilman muuttujanvaihtoa. Koska integroitavalauseke sisältää termin x2 + y2, on napakoordinaattimuunnos luonnolli-nen tapa edetä. Eli tehdään korvaus

x = r cos θ, y = r sin θ,

jolloin termi x2 + y2 voidaan korvata termillä r2. Jakobin determinantti Jlaskettiinkin jo yllä: se on r. Lopuksi muunnetaan vielä integrointirajat:kun x2 + y2 ≤ 1 niin luonnollisesti r2 ≤ 1. Täten saadaan raja 0 ≤ r ≤ 1.

63

Vastaavasti 0 ≤ θ ≤ 2π. Täten integrointi sujuu seuraavasti:∫∫A

ex2+y2dxdy =

∫ 2π

0

∫ 1

0er2 |J|drdθ

=∫ 2π

0

(∫ 1

0er2

rdr)

dθ

=∫ 2π

0

(∣∣∣∣10

12

er2

)dθ

=∫ 2π

0

12(e− 1)dθ

=

∣∣∣∣2π

0

12(e− 1) θ

=12(e− 1) 2π

= π (e− 1)

Näissä esimerkeissä integrointialue oli siis koko yksikköympyrä. Käsitel-lään seuraavaksi tapaus, jossa integroitavana on kahden ympyrän välissäoleva alue.

Esimerkki 19.4. Integroi ∫∫A

√x2 + y2dxdy,

kun A on alue A = {(x, y) : 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4}.

Ratkaisu. Nyt integrointialue on 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4 eli 1 ≤ r2 ≤ 4 eli

64

1 ≤ r ≤ 2. Lisäksi kulman θ annetaan jälleen olla välillä [0, 2π]:∫∫A

√x2 + y2dxdy =

∫ 2π

0

∫ 2

1

√r2rdrdθ

=∫ 2π

0

∫ 2

1(r)rdrdθ

=∫ 2π

0

∫ 2

1r2drdθ

=∫ 2π

0

∣∣∣∣21

13

r3dθ

=∫ 2π

0(

83− 1

3)dθ

=

∣∣∣∣2π

0(

73)θ

=14π

3.

Toinen tapa, jolla integroinnin rajat voivat erota aiemmasta, on että meil-lä ei ole integrointialueena enää täysi ympyrä, vaan ainoastaan tietty ym-pyrän osa. Tällöin kulma θ ei enää mene täyttä kierrosta [0, 2π], vaanainoastaan osan tästä.

Esimerkki 19.5. Integroi ∫∫A

√x2 + y2dxdy,

kun A on nyt alue A = {(x, y) : 0 ≤ x2 + y2 ≤ 9, y ≥ 0}.

Ratkaisu. Nyt integrointialueella pätee 0 ≤ x2 + y2 ≤ 9 eli 0 ≤ r ≤ 3.Nyt on kuitenkin voimassa lisärajoitus y ≥ 0. Tällöin integrointialueenaon puoliympyrä eli kuvassa näkyvä alue:

65

Tällöin kulma θ kulkee puoliympyrän verran, jolloin 0 ≤ θ ≤ π. Laske-taan nyt tämä integraali näillä rajoilla:∫∫

A

√x2 + y2dxdy =

∫ π

0

∫ 3

0(r)rdrdθ

=∫ π

0

∫ 3

0r2drdθ

=∫ π

0|30

13

r3dθ

=∫ π

0(9)dθ

=

∣∣∣∣π0

9θ

= 9π.

20 Avaruusintegraali

Aiemmin laskimme yksiulotteisia integraaleja∫ b

a f (x)dx, jossa integroin-tialue on x-akselin väli [a, b]. Lisäksi laskimme kaksiulotteisia integraa-leja

∫∫A g(x, y)dxdy, jossa integrointialue A puolestaan löytyi tasosta eli

A ∈ R2.

Nyt siirrymme kolmanteen ulottuvuuteen ja laskemme integraaleja, joissaintegrointialue A on kolmiulotteisessa avaruudessa eli R3:ssa. Tällaistaavaruusintegraalia merkitään∫∫∫

Af (x, y, z)dxdydz.

Tässä siis kolmen muuttujan funktio f (x, y, z) integroidaan kaikkien kol-men muuttujansa x:n, y:n ja z:n suhteen.

Integrointialueen A muoto ratkaisee jälleen, kuinka helppoa integrointikäytännössä on. Helppoa tämä integrointi on silloin, jos A on suorakul-mainen särmiö eli

A = [a, b]× [c, d]× [p, q].

Eli toisin sanottuna A on tässä joukko, jossa x ∈ [a, b], y ∈ [c, d] jaz ∈ [p, q] eli kaikki muuttujat rajoitetaan vakioväleille. Tällöin integrointisujuu suoraviivaisesti integroimalla funktio jokaisen muuttujansa suhteen

66

vuoron perään:

∫∫∫A

f (x, y, z)dxdydz =∫ q

p

∫ d

c

∫ b

af (x, y, z)dxdydz.

Esimerkki 20.1. Integroidaan funktio f (x, y, z) = xyz joukossa A = [1, 2]×[3, 4]× [0, 2]. Tässä siis integroinnin rajat ovat nyt x ∈ [1, 2], y ∈ [3, 4] jaz ∈ [0, 2]. Käytetään integrointiin yllä olevaa kaavaa:∫∫∫

Af (x, y, z)dxdydz =

∫ q

p

∫ d

c

∫ b

af (x, y, z)dxdydz

=∫ 2

0

∫ 4

3

∫ 2

1(xyz)dxdydz.

Nyt tämän integraalin voi laskea missä järjestyksessä haluaa. Integroi-daan tämä alla ensin x, sitten y:n ja lopulta z:n suhteen:

∫ 2

0

∫ 4

3

∫ 2

1(xyz)dxdydz =

∫ 2

0

∫ 4

3

∣∣∣∣21

12(x2yz)dydz

=12

∫ 2

0

∫ 4

3yz∣∣∣∣21(x2)dydz

=12

∫ 2

0

∫ 4

3yz(3)dydz

=12

∫ 2

0

∣∣∣∣43

32(y2z)dz

=34

∫ 2

0z∣∣∣∣43y2dz

=34

∫ 2

0z(7)dz

=34

∣∣∣∣20

72

z2

=34

(72· 4)

=212

.

Tämä lasku siis on kohtalaisen pitkä, mutta suoraviivainen.

67

Esimerkki 20.2. Edellisessä esimerkissä integraali laskettiin integroimallaensin x:n, sitten y:n ja lopuksi z:n suhteen. Tämän integroinnin voi suo-rittaa tällaisen suorakulmaisen särmiön tapauksessa myös muussa jär-jestyksessä. Tulos on sama. Lasketaan tämä integraali alla integroimallaensin y:n, sitten z:n ja lopuksi x:n suhteen:∫ 2

0

∫ 4

3

∫ 2

1(xyz)dxdydz =

∫ 2

0

∫ 2

1

∫ 4

3(xyz)dydzdx

=12

∫ 2

0

∫ 2

1

∣∣∣∣43(xy2z)dzdx

=12

∫ 2

0

∫ 2

1xz∣∣∣∣43(y2)dzdx

=12

∫ 2

0

∫ 2

1xz(7)dzdx

=74

∫ 2

0

∣∣∣∣21xz2dx

=74

∫ 2

03xdx

=218

∣∣∣∣20x2dx

=212

.

Tulos on siis sama. Huomaa, että termien dx, dy ja dz järjestys kertoo in-tegrointijärjestyksen. Täten esimerkiksi dzdxdy tarkoittaa, että integrointisuoritetaan ensin z:n, sitten x:n ja lopuksi y:n suhteen.

21 Avaruusintegraali yli monimutkaisempien aluei-den

Yllä todettiin, että avaruusintegraalien laskeminen suorakulmaisissa sär-miöissä on kohtalaisen suoraviivaista. Integrointialueena on kuitenkinusein jokin avaruuden R3 monimutkaisempi osajoukko. Integrointirajo-jen muodostaminen on tällöin usein vaikeaa.

Tarkastellaan nyt integrointia yleisessä avaruuden joukossa A ⊂ R3. Ha-

68

luamme siis laskea integraalin∫∫∫A

f (x, y, z)dxdydz.

Tämän laskeminen onnistuu samalla tekniikalla kuin aikaisemmin esi-merkiksi silloin, kun pystymme esittämään alueen A seuraavanlaisenajoukkona:

a ≤ x ≤ b,φ1(x) ≤ y ≤ φ2(x),

v1(x, y) ≤ z ≤ b ≤ v2(x, y).

Tässä siis x on vakiovälillä [a, b]. Muuttujan y puolestaan sallitaan olevankahden x:n funktion välissä. Muuttujan z taas sallitaan olla funktioidenv1(x, y) ja v2(x, y) välissä. Tässä on siis kolme ehtoa:

1. Muuttujan x rajat eivät saa riippua muista muuttujista: x on vakio-välillä.

2. Muuttujan y rajat saavat riippua x:stä: y on funktioiden φ1(x) jaφ1(x) välissä.

3. Muuttujan z rajat saavat riippua x:stä ja y:stä. Muuttuja z on funk-tioiden v1(x, y) ja v2(x, y) välissä.

Jos alue A pystytään esittämään tässä muodossa, niin haluttu integraalisaadaan laskettua seuraavalla kaavalla:∫∫∫

Af (x, y, z)dxdydz =

∫ b

a

∫ φ2(x)

φ1(x)

∫ v2(x,y)

v1(x,y)f (x, y, x)dzdydx.

Eli: Integroidaan funktio f (x, y, z) ensin z suhteen integrointirajoilla v1(x, y)ja v2(x, y). Seuraavaksi integroidaan syntynyt lauseke y:n suhteen in-tegrointirajoilla φ1(x) ja φ2(x). Lopuksi integroidaan tästä syntynyt lause-ke x:n suhteen välillä [a, b].

Esimerkki 21.1. Lasketaan avaruusintegraali∫∫∫A(1)dxdydz,

kun A on joukko jota rajaa taso 2x + y + 3z = 12 ja koordinaattitasot x =0, y = 0 ja z = 0. Nyt tämä alue pitäisi kirjoittaa yllä esitellyssä muodossa.Ratkaistaan aluksi yhtälö 2x + y + 3z = 12 muuttujan z suhteen:

z =13(12− 2x− y) .

69

Tämä on nyt z:n yläraja. Sen alaraja saadaan ehdosta z = 0, joten

0 ≤ z ≤ 13(12− 2x− y) .

Muuttujan y rajat puolestaan saadaan ratkaisemalla lauseke 2x+ y+ 3z =12 muuttujan y suhteen:

2x + y + 3z = 12y = 12− 2x− 3z.

Tässä y on suurimmillaan, kun z on pienimmillään: kun z = 0. Yllä ole-vasta yhtälöstä nähdään että tällöin y = 12 − 2x. Tämä on y:n yläraja.Muuttujan y alaraja on 0. Täten y on välillä [0, 12− 2x].

Muuttujan x rajat nähdään myös katsomalla yhtälöä 2x + y + 3z = 12.Tästä nähdään, että x on integrointialueella suurimmillaan silloin kun yja z ovat minimissään, eli silloin kun y = 0 ja z = 0. Tällöin x = 6. Täten0 ≤ x ≤ 6.

Nyt kun rajat on ratkaistu, tämän funktion integrointi voidaan suorittaasuoraviivaisesti:∫∫∫

A(1)dxdydz =

∫ b

a

∫ φ2(x)

φ1(x)

∫ v2(x,y)

v1(x,y)(1)dzdydx

=∫ 3

0

∫ 12−2x

0

∫ 13 (12−2x−y)

0(1)dzdydx

Tässä oli integroinnin vaikea osuus: kun rajat on muodostettu, etenee in-tegrointi suoraviivaisesti: ensin integroidaan funktio f (x, y, x) = 1 muut-

70

tujan z suhteen, sitten y:n suhteen ja lopuksi x:n suhteen:∫ 3

0

∫ 12−2x

0

∫ 13 (12−2x−y)

0(1)dzdydx

=∫ 3

0

∫ 12−2x

0

∣∣∣∣ 13 (12−2x−y)

0(z)dydx

=∫ 3

0

∫ 12−2x

0

13(12− 2x− y)dydx

=∫ 3

0

∣∣∣∣12−2x

0

13

(12y− 2xy− 1

2y2)

dydx

=∫ 3

0

∣∣∣∣12−2x

0

(4y− 2

3xy− 1

6y2)

dx

=∫ 3

0

(4 (12− 2x)− 2

3x (12− 2x)− 1

6(12− 2x)2

)dx

=∫ 3

0

(23

x2 − 8x + 24)

dx

=

∣∣∣∣30

(29

x3 − 4x2 + 24x)

= 6− 4 · 32 + 24 · 3= 42.

Yllä olevassa esimerkissä siis meillä oli neljä tasoa: x = 0, y = 0, z = 0ja 2x + y + 3z = 24. Nämä tasot rajoittivat integrointialueen A. Tehtävänhaaste oli löytää sopivat integroinnin rajat. Yhtälöistä z = 0 ja 2x + y +3z = 24 oli kohtalaisen suoraviivaista ratkaista z:n rajat. Muuttujan y rajatpuolestaan saatiin ratkaistua valitsemalla z = 0 yhtälössä 2x + y + 3z =24.

22 Muuttujan vaihto: sylinterikoordinaatit

Myös kolmen muuttujan funktiota f (x, y, z) integroitaessa voidaan tehdämuuttujanvaihdos. Nyt muuttujat x, y ja z korvataan lausekkeilla, jotkasisältävät muuttujia u, v ja w:

x = x(u, v, w)

y = y(u, v, w)

z = z(u, v, w).

71

Nyt siis x korvataan funktiolla x(u, v, w), y korvataan funktiolla y(u, v, w)ja z korvataan funktiolla z(u, v, w). Esimerkki tällaisesta muuttujanvaih-doksesta on

x = u + vy = u− vz = z,

jossa siis z pysyy omana itsenään, mutta muuttujat x ja y muuntuvat. Tä-mä on kuitenkin hyvin yksinkertainen muuttujanvaihdos. Käytännössäkaksi käytetyintä muuttujanvaihdosta avaruusintegraaleille ovat siirtymi-nen sylinterikoordinaatteihin ja siirtyminen pallokoordinaatteihin.

Seuraavassa oletamme, että determinantin laskukaava on tuttu. Jos näinei ole, kannattaa hyväksyä tulokset sellaisinaan.

Sylinterikoordinaattimuunnos on melkein sama kuin aiemmin käsiteltysiirtyminen napakoordinaatteihin. Se on seuraava muunnos:

x = r cos θ

y = r sin θ

z = z.

Tässä siis muuttujat x ja y korvataan täsmälleen samoilla muuttujilla kuinnapakoordinaattimuunnoksen tapauksessa. Muuttuja z ei tässä muun-noksessa muunnu. Tämän muunnoksen Jakobin determinantti on samakuin napakoordinaattimuunnoksella:

∂(x, y, z)∂(r, θ, z)

=

∣∣∣∣∣∣∣∂x∂r

∂x∂θ

∂x∂z

∂y∂r

∂y∂θ

∂y∂z

∂z∂r

∂z∂θ

∂z∂z

∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣cos θ −r sin θ 0sin θ r cos θ 0

0 0 1

∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣cos θ −r sin θsin θ r cos θ

∣∣∣∣ · 1= cos θ (r cos θ)− (−r sin θ(sin θ))

= r(

cos2 θ + sin2 θ)

= r.

72

Täten sylinterikoordinaatteihin siirryttäessä integraali muuttuu seuraa-vasti: ∫∫∫

Af (x, y, z)dxdydz =

∫∫∫D

f (r cos θ, r sin θ, z) rdrdθdz,

jossa alkuperäinen integrointialue A muuntuu sylinterikoordinaatteihinsiirryttäessä alueeksi D.

Sylinterikoordinaatteihin siirryttäessä on sama etu kuin napakoordinaat-teihin siirryttäessä: termi x2 + y2 voidaan korvata yksinkertaisella termil-lä r2. Tätä muunnosta kannattaa käyttää muun muassa silloin, kun in-tegrointialue A on muotoa x2 + y2 ≤ a ja c ≤ z ≤ d, eli jos integrointialueon sylinterin muotoinen.

Esimerkki 22.1. Lasketaan integraali∫∫∫A(xy)dxdydz,

jossa alue A on sylinteri x2 + y2 ≤ 1 ja 0 ≤ z ≤ 1. Koska x2 + y2 = r2,niin muuttujan r rajat ovat 0 ≤ r ≤ 1. Puolestaan muuttuja θ on tuttuuntapaan välillä [0, 2π], koska integrointialueena on koko sylinteri eikä esi-merkiksi sylinterinpuolikas. Koska muuttuja z ei muunnu sylinterimuun-noksessa mihinkään, sen rajat eivät muutu eli 0 ≤ z ≤ 1. Täten integrointisujuu tällä kertaa seuraavasti:∫∫∫

A(xy)dxdydz =

∫ 1

0

∫ 2π

0

∫ 1

0(r cos θ) (r sin θ) rdrdθdz

=∫ 1

0

∫ 2π

0

∫ 1

0

(r3 cos θ sin θ

)drdθdz

=∫ 1

0

∫ 2π

0

∣∣∣∣10

(14

r4 cos θ sin θ

)dθdz

=14

∫ 1

0

∫ 2π

0(cos θ sin θ) dθdz

=14

∫ 1

0

∣∣∣∣2π

0

12(sin θ)2 dz

= 0.

Tässä integrointi suoritettiin siis koko sylinterissä, koska kulma θ olitäydellä välillään [0, 2π]. Huomaa lisäksi, että tulos kertoo että funktio

73