espacio afin rectas planos
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Presentación elaborada por la profesora Ana Mª Zapatero a
partir de los materiales utilizados en el centro (Editorial SM)
Espacio afín2º Bachillerato
Coordenadas en el espacio
Un punto O y una base B = {i ,
j ,
k } de los vectores libres del
espacio constituyen un sistema de referencia en el espacio.
Se escribe S = {O;i ,
j ,
k }.
En lo que sigue, por comodidad, trabajaremos en la base ortonormal.
[OP] = x .
i + y .
j + z .
k
(x, y, z) son las coordenadas de P respecto del sistema de referencia S.
Vector de posición de P
Origen de coordenadas
P’
Ejes coordenados. Planos coordenados
• Los tres vectores de la base B determinan con el origen O tres ejes de coordenadas OX, OY, y OZ.
• Los planos OXY, OYZ y OZX se denominan planos coordenados del sistema de referencia.
[OP] = x .
i + y .
j + z .
k
Coordenadas de un vector libre cualquiera
PQ =
OQ –
OP
[
PQ] =
OQ –
OP =
= (b – a, b' – a' , b" – a")
Los puntos P y Q determinan el
vector fijo PQ
OP +
PQ =
OQ
Las coordenadas de un vector libre u = [
PQ] respecto de la base B =
{i ,
j ,
k } se obtienen restando las coordenadas del punto P de las
correspondientes de Q en el sistema de referencia S = {O;i ,
j ,
k }.
Coordenadas del punto medio de un segmento
m =
a +
AM =
a +
12
AB =
= a +
12 (
b –
a ) =
12 (
a +
b )
Elementos geométricos
Los objetos o elementos geométricos elementales del espacio tridimensional son los puntos, las rectas, los planos, las curvas y las superficies.
Estos elementos geométricos pueden determinarse mediante ecuaciones paramétricas. La dimensión del elemento coincide con el número de parámetros.
Dimensión
Rectas y curvas(dimensión 1)
Planos y superficies(dimensión 2)
Rectas en el espacio: ecuación vectorial
Una recta viene determinada por un punto y una dirección. La dirección está
marcada por un vector libre u llamado
vector director.
Un punto X está en la recta si y sólo si PX
y u son proporcionales: [
PX] = t ·
u
Si p es el vector de posición de P, x es el vector de posición de X, quedará: x – p = t · u es decir: x = p + t · u
La expresión x =
p + t ·
u con t R es la ecuación vectorial de la recta que
pasa por P y tal que u es un vector director de la misma.
p
x
Rectas en el espacio: ecuaciones paramétricas
Las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por P(xo, yo, zo) y que tiene
por vector director v (v1, v2, v3) son
x = xo + t.v1
y = yo + t.v2 z = zo + t.v3
La recta que pasa por P de vector directorv (v1, v2, v3) se puede poner así:
(x, y, z)= (xo, yo, zo) + t (v1, v2, v3)
Al igualar las coordenadas queda:
(x, y, z) = ( x0+tv1, y0+tv2, z0+tv3)
por lo que
Rectas en el espacio: ecuación en forma continua
30
20
10
tvzztvyytvxx
Las ecuaciones en forma continua de la recta r que pasa por P(xo, yo, zo) y que tiene por vector director (v1, v2, v3) son:
Despejando t en cada una de ellas e igualando, obtenemos las ecuaciones de la recta que no dependen de ningún parámetro
Las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por el punto P (x0,y0,z0) y tienen por vector director =(v1,v2,v3) son: v
Rectas en el espacio: ecuación implícita
Como la tercera ecuación es combinación lineal de la otras dos, suprimiendo una ellas, la segunda por ejemplo, y operando obtenemos:
Este par de ecuaciones es la ecuación de la recta en forma implícita. En general :
0D'zC'yB'xA'0D Cz By Ax
3
0
1
0
vzz
vxx
2
0
1
0
vyy
vxx
De aquí obtenemos tres ecuaciones:
2
0
3
0
vyy
vzz
Las ecuaciones en forma cont ínua de la recta r que pasa por P(x o, yo, zo) y que
tiene por vector director v (v1, v2, v3) son
3
0
2
0
1
0
vzz
vyy
vxx
00
301013
201012
vxvzzvxvvxvyyvxv
Ecuaciones de los ejes coordenados
Vectorial Paramétrica Continua
Eje OXx = t
i
x = t
y = 0z = 0
x1 =
y0 =
z0
Eje OYx = t
j
x = 0
y = tz = 0
x0 =
y1 =
z0
Eje OZx = t
k
x = 0
y = 0z = t
x0 =
y0 =
z1
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
(a1, a2, a3)
(b1, b2, b3)
Por tanto la ecuación de la recta será:(x, y, z) = (a1, a2, a3) + t (b1–a1, b2–a2, b3–a3 )
La recta r queda determinada por la siguiente determinación lineal: r(A, ) o por(B, )AB
AB
)()(
)(
333
222
111
abtazabtayabtax
33
3
22
2
11
1
abaz
abay
abax
Planos: ecuación vectorial
Un plano queda determinado por un punto y dos vectores linealmente independientes. Se dice que a (A, v, w ) es una determinación lineal del plano .
Por tanto x – a = s v + t w
Y de aquí se obtiene la ecuación vectorial del plano:
x = a + s v + t w, con s R y t R
Se observa además que X rango (AX, v, w) = 2 det (AX, v, w) = 0
X está en si y solo si AX es combinación lineal de v y w. Por tanto existirán dos números reales s y t tales que: AX = s v + t w
Planos: ecuaciones paramétricas y general
Partiendo de la ecuación vectorial del plano: (x, y, z) = (x1, y1, x1) + t (a, b, c) + s (a', b', c')
obtenemos las ecuaciones paramétricas utilizando las operaciones con ternas de números de R3 e igualando después. Por tanto las ecuaciones paramétricas del plano son las siguientes:
x – x1 y – y1 z – z1 a b c
a’ b’ c’ = 0
Como el rango (AX, v, w) = 2 det (AX, v, w) = 0 la ecuación general del plano se obtiene a partir del determinante
y operando queda Ax + By + Cz + D = 0
Vector normal a un plano
Observamos que: AB = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1)
Como A (x1,y1,z1) y B (x2,y2,z2) tenemos que:
ax1 + by1 + cz1 + d = 0 ax2 + by2 + cz2 + d = 0
Restando término a término obtenemos: a(x2 – x1) + b(y2 – y1) + c(z2 – z1) = 0
(a, b, c) . (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1) = 0n . [
AB] = 0
El vector n es perpendicular a cualquier vector contenido en el plano, es
decir está en una dirección perpendicular al plano. Recibe el nombre de vector normal al plano. Sus coordenadas son (a,b,c)
Planos: ecuación normal
Un punto X(x, y, z) está en el plano si y
sólo si n es perpendicular a
MX . Por tanto:
n ·
MX = 0
n · (
x –
m ) = 0
que es la ecuación normal del plano.
Sea M un punto cualquiera del plano , y sea (A, B, C) un vector normal al plano.
Desarrollando la expresión anterior obtenemos:(A, B, C) · (x – x1 , y – y1 , z – z1 ) = 0A( x – x1 ) + B(y – y1 ) + C(z – z1 ) = 0
o bienA x + B y + C z + D = 0
donde A, B, y C son las componentes del vector normal al plano.
Planos: ecuaciones de los planos coordenados
Vectorial Paramétrica Implícia
Plano OXY x = t
i + s
j
x = t
y = sz = 0
z = 0
Plano OXZ x = t
i + s
k
x = t
y = 0z = s
y = 0
Plano OYZ x = t
j + s
k
x = 0
y = tz = s
x = 0
Ecuación del plano que pasa por tres puntos
La determinación lineal de dicho plano será:
Como los tres vectores están en el mismo plano, son dependientes y por lo tanto su ecuación se obtendrá desarrollando el siguiente determinante:
Sean A, B y C tres puntos no alineados. Por tanto los vectores AB y AC no son paralelos.
(A, AB,
AC)
det(AX,
AB,
AC) = 0
(a, b, c)
(a", b", c")
(a', b', c')
X(x, y, z)
Sean el plano : ax + by + cz + d = 0 y la recta r Estudiar las posiciones relativas de recta y plano equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman las tres ecuaciones anteriores. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema.
Posiciones relativas: recta y plano
Sistema compatible determinado
Sistema compatibleindeterminado con 1 g.l. Sistema incompatible
rango(A) = rango (B) = 3 rango(A) = 2; rango (B) = 2 rango(A) = 2; rango (B) = 3
Recta y planosecantes
Recta contenidaen el plano
Recta y planoparalelos
1 2 3
0''''''''0''''
dzcybxadzcybxa
Los vectores normales sonparalelos y A está en π: Aπ es decir
Los vectores son ortogonalesy A no está en π: Aπ es decir
Posiciones de recta y plano dados por sus determinaciones lineal y normal
1
2
3
0·
nAB
0·
nAB
0· nu
0· nu
0· nu
nu · Condición PosiciónLos vectores no son
ortogonales La recta y el plano son secantes
yAπ
La recta y el plano son paralelos
y Aπ
La recta está conte-nida en el plano
Posiciones relativas: dos planosSean dos planos : ax + by + cz + d = 0 y ’ a'x + b'y + c'z + d' = 0. Estudiar las posiciones relativas de ambos planos equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman sus ecuaciones. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema.
Sistema compatible indeterminado con 1 g.l. Sistema incompatible Sistema compatible
indeterminado con 2 g.l.
rango(A) = rango(B) = 2 rango(A) = 1; rango(B) = 2 rango(A) = rango(B) = 1
a a'
b b' ó
a a'
c c' ó
b b'
c c'
a a' =
b b' =
c c'
d d'
a a' =
b b' =
c c' =
d d'
1 2 3
Los vectores normales son
paralelos y A está en π’: Aπ’ ó
Posiciones de dos planos dados por sus determinaciones normales
1
2
3n
n
Rango 2 Los vectores normales no son paralelos
Planos secantes
Rango 1
Los vectores normales son paralelos y A no está en π’:
Aπ’ Planos paralelos
Rango 1 Planos coincidentes
Condición Posición
Posiciones relativas: tres planos (I)
Sean : ax + by + cz + d = 0 y ': a'x + b'y + c'z + d' = 0 y ": a"x + b"y + c"z + d" = 0. Estudiar las posiciones relativas de estos planos equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman sus ecuaciones. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema.
Los tres planos tienenun punto en común
Sistema compatibledeterminado
rango(A) = rango(B) = 3
Triedro
1 2a
2b
Prisma
Los tres planos no tienenpuntos en común
Sistema incompatibleTodos los menores de orden 2
son no nulos
rango(A) = 2; rango(B) = 3
Dos planos paralelosy un tercero secante a ellos
Los tres planos no tienenpuntos en común
Sistema incompatible
rango(A) = 2; rango(B) = 3
'''' dd
cc
bb
aa
Sean p: ax + by + cz + d = 0 y p': a'x + b'y + c'z + d' = 0 y p": a"x + b"y + c"z + d" = 0. Estudiar las posiciones relativas de ambos planos equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman sus ecuaciones. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema.
Posiciones relativas: tres planos (II)
Los tres planos tieneninfinitos puntos
en común
Sistema comp. Ind.Todos los menores de orden dos son nulos
rango(A) = rango(B) = 1
Tres planos coincidentes
3a 43b
Tres planos distintos
Los tres planos tienenuna recta en común
Sistema compatibleindeterminado
con 1 g.l.
rango(A) = rango(B) = 2
Dos planos coincidentesy un tercero secante a ellos
Los tres planos tienenuna recta en común
Sistema comp. ind.
rango(A) = rango(B) = 2
'''' dd
cc
bb
aa
Los tres planos no tienenpuntos en común
Sistema incompatibleTodos los menores de orden 2
de A son nulos
rango(A) = 1; rango(B) = 2
Los tres planos no tienenpuntos en común
Sistema incompatibleHay dos planos con ecuacionesde coeficientes proporcionales
rango(A) = 1; rango(B) = 2
Tres planos paralelosDos planos coincidentes
y un tercero paralelo a ellos
5a
Sean p: ax + by + cz + d = 0 y p': a'x + b'y + c'z + d' = 0 y p": a"x + b"y + c"z + d" = 0.Estudiar las posiciones relativas de ambos planos equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman sus ecuaciones. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema.
5b
Posiciones relativas: tres planos (III)
Posiciones relativas: dos rectas (I)
Sea la recta r Sea la recta s
Estudiar las posiciones relativas de ambas rectas equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman las cuatro ecuaciones anteriores. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema.
Las rectas tienen todossus puntos comunes
Sistema compatibleindeterminado con 1 g.l.
rango(A) = rango(B) = 2
Rectas coincidentes
1 2
Rectas paralelas
Las rectas no tienenpuntos en común
Sistema incompatible
rango(A) = 2; rango(B) = 3
0""""""""0"'"'"'"'
dzcybxadzcybxa
0''''''''0''''
dzcybxadzcybxa
Sea la recta r Sea la recta s
Estudiar las posiciones relativas de ambas rectas equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman las cuatro ecuaciones anteriores. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema.
rango(A) = 3; rango(B) = 4
43
Rectas que se cruzan
Sistema incompatibleTodos los menores de orden 3 son
no nulos
Las rectas no tienenpuntos en común
Posiciones relativas: dos rectas (II)
Rectas secantes
Las dos rectas tienenun punto en común
Sistema compatibledeterminado
rango(A) = rango(B) = 3
0''''''''0''''
dzcybxadzcybxa
0""""""""0"'"'"'"'
dzcybxadzcybxa
Posiciones de dos rectas dados por sus determinaciones lineales
2
3
n
n
1
4
Posición
Rango 2 Rango 3 Se cruzan
Rango 2 Rango 2 Rectas secantes
Rango 1
Rango 1 Rango 1
Rango 2 Rectas paralelas
Rectas coincidentes
Haces de planos
Dado ≡Ax+By+Cz+D=0 todos los planos paralelos tienen el mismo vector normalpor eso los coeficientes de x, y, z, son
todos proporcionales
1 Haz de planos paralelos 2 Haz de planos secantes
Los haces de planos se pueden expresar como Ax+By+Cz+=0 con є R.
Dados ≡Ax+By+Cz+D=0 ≡ Ax+By+Cz+D =0
cualquier combinación lineal de ellos Pertenece al haz
Los haces de planos se pueden expresar como Ax+By+Cz+D+ (Ax+By+Cz+D )=0 Para que el haz quede completo hay que añadir el 2ºplano :A’x+B’y+C’z+D’ = 0