espacio muestral y operaciones con sucesos · 2020-04-12 · 1 probabilidad espacio muestral y...
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Probabilidad
Espacio muestral y Operaciones con sucesos
1) Di cuál es el espacio muestral correspondiente a las siguientes experiencias
aleatorias. Si es finito y tiene pocos elementos, dilos todos, y si tiene muchos,
descríbelos y di el número total.
a) Extraemos una carta de una baraja española y anotamos el número
b) Extraemos una carta de una baraja española y anotamos el palo
c) Extraemos dos cartas de una baraja española y anotamos el palo de
cada una
d) Lanzamos seis monedas distintas y anotamos el resultado
e) Lanzamos seis monedas distintas y anotamos el número de caras
2) Lanzamos un dado y una moneda. Los posibles resultados son
a) Describe el espacio muestral con los doce elementos de los que consta.
Sean los sucesos:
b) Describe los sucesos y mediante todos los elementos
c) Halla , ,
3) , y son tres sucesos de un mismo espacio muestral. Expresa en función de
ellos los sucesos:
a) Se realiza alguno de los tres
b) No se realiza ninguno de los tres
c) Se realizan los tres
d) Se realizan dos de los tres
e) Se realizan, al menos, dos de los tres
4) Considera la experiencia “lanzar un dado”. A partir de los conjuntos
, , a) Obtén los conjuntos , , y . b) Obtén los conjuntos , , , , y comprueba
que se cumplen las leyes de Morgan (propiedades de las operaciones con
sucesos).
c) Calcula y , y razona los resultados.
Propiedades de la probabilidad
5) Para ganar una mano de cartas debemos conseguir o bien AS o bien OROS.
¿Qué probabilidad tenemos de ganar?
6) Conocemos las siguientes probabilidades:
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Calcula:
7) De dos sucesos conocemos:
Calcula y
Cálculo de probabilidades
Ley de Laplace
8) En la lotería primitiva se extraen bolas numeradas del 1 al 49. Calcula la
probabilidad de que la primera bola extraída:
a) Sea un número de una sola cifra
b) Sea un número múltiplo de 7
c) Sea un número mayor que 25
9) Una urna contiene 5 bolas blancas, 3 rojas y 2 verdes. Hacemos 2 extracciones
con reemplazamiento. Calcula la probabilidad de obtener:
a) Dos verdes
b) Ninguna verde
c) Una verde
Repite el problema con extracciones sin reemplazamiento.
10) Se extrae una carta de una baraja española. Calcula la probabilidad de que
sea:
a) REY o AS
b) FIGURA y OROS
c) NO SEA ESPADAS
11) Lanzamos dos dados y anotamos la puntuación del mayor (si coinciden, la
de unos de ellos).
a) Completa la tabla y di las
probabilidades de los seis
sucesos elementales 1, 2, 3,
4, 5 y 6
b) Halla la probabilidad de
los sucesos ,
,
12) ¿Cuál es la probabilidad de obtener 12 al multiplicar los resultados de dos
dados correctos?
13) ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos dados correctos la diferencia
de sus puntuaciones sea 2?
14) Lanzamos un dado “chapucero” mil veces. Obtenemos ,
, , , y . Estima las
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probabilidades de las distintas caras. ¿Cuáles son las probabilidades de los
sucesos PAR, MENOR QUE 6, ?
Probabilidad condicionada
15) Extraemos dos cartas de una baraja española. Halla la probabilidad de que
ambas sean copas
16) Tenemos dos barajas españolas y extraemos un naipe de cada una. ¿Cuál es
la probabilidad de obtener dos copas?
17) Extraemos tres cartas de una baraja española. Halla la probabilidad de que
las tres sean figuras (S, C, R).
18) Extraemos dos cartas de una baraja española. ¿Cuál es la probabilidad de
que alguna de ellas sea AS? ¿Cuál es la probabilidad de que solo una de las dos
sea AS?
Tablas de contingencia
19) En un centro escolar hay 1000 alumnos y alumnas repartidos así:
Llamamos , , ,
Calcula:
a) , , y b) Describe los siguientes sucesos y calcula sus probabilidades: A y G, O y
no G, A/G, G/A, G/O
20) En una empresa hay 200 empleados, 100 hombres y 100 mujeres. Los
fumadores son 40 hombres y 35 mujeres.
a) Haz con los datos una tabla de contingencia
b) Si elegimos un empleado al azar, calcula la probabilidad de que sea
hombre y no fume: c) Calcula también , ,
21) En una cierta ciudad, el 40% de la población tiene cabellos castaños, el 25%
tiene los ojos castaños y el 15% tiene cabellos y ojos castaños. Se escoge una
persona al azar:
a) Si tiene cabellos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que también tenga
ojos castaños?
b) Si tiene ojos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que tenga cabellos
castaños?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos ni ojos castaños?
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22) Una clase de compone de veinte alumnos y diez alumnas. La mitad de las
alumnas y la mitad de los alumnos aprueban las matemáticas. Calcula la
probabilidad de que, al elegir una persona al azar, resulte ser:
a) Alumna o que aprueba las matemáticas
b) Alumno que suspende las matemáticas
c) Sabiendo que es alumno, ¿cuál es la probabilidad de que apruebe las
matemáticas?
d) ¿Son independientes los sucesos ALUMNO y APRUEBA
MATEMÁTICAS?
Experiencias compuestas
23) Extraemos dos cartas de una baraja española. Calcula la probabilidad de
obtener:
a) 2 ases
b) Ningún as
c) Algún as
24) Se lanzan tres monedas y se cuenta el número de caras que salen. Calcula la
probabilidad de obtener:
a) Una cara
b) Más de una cara
25) En un examen hay que contestar a 2 temas elegidos al azar entre 30. Un
alumno ha estudiado solo 12 de los 30 temas. Halla la probabilidad de que:
a) El alumno haya estudiado los dos temas elegidos
b) Solo haya estudiado uno de los dos temas elegidos
c) No haya estudiado ninguno de los dos temas elegidos
26) Lanzamos cuatro monedas. Calcula la probabilidad de obtener:
a) Ninguna cara
b) Alguna cara
27) Lanzamos dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de que obtenga algún 5?
¿Cuál es la probabilidad de que solo uno de los dos sea 5?
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Probabilidad total
28) En una urna A hay 5 bolas numeradas del 1 al 5 y en otra urna B hay 4
bolas numeradas del 6 al 9. Se lanza una moneda: si sale cara, se extrae una
bola de la urna A, y si sale cruz, se extrae una bola de la urna B. Calcula la
probabilidad de que la bola extraída sea:
a) La que lleva el número 5
b) La que lleva el número 8
c) Una que lleve un número par
Nota: Ayúdate con un diagrama de árbol
29) Una fábrica tiene tres máquinas que fabrican tornillos. La máquina A
produce el 50% del total de tornillos; la máquina B, el 30%, y la C, el 20%. De
la máquina A salen un 5% de los tornillos defectuosos; de la B, un 4%, y de la
C, un 2%:
Calcula la probabilidad de que un tornillo elegido al azar sea defectuoso.
30) Tenemos dos bolsas con bolas y un dado:
Lanzamos el dado. Si se obtiene 1 ó 2, extraemos una bola de I. Si sale 3, 4, 5
ó 6, extraemos una bola de II. Halla las siguientes probabilidades:
31) Tomamos dos cajas. .
Sacamos una bola de alguna de ellas
a) Calcula la probabilidad de que la bola sea roja
b) Sacamos la bola y vemos que es roja. Calcula la probabilidad de haberla
sacado de I
32) En una caja hay seis bolas numeradas, tres de ellas con número positivos y
las otras tres con números negativos. Se extrae una bola y después otra, sin
reemplazamiento.
a) Calcula la probabilidad de que el producto de los números obtenidos sea
positivo
b) Calcula la probabilidad de que el producto de los números obtenidos sea
negativo
6
33) Lanzamos las dos monedas. Si salen 2 caras, extraemos una bola de la caja
A, y si no, la extraemos de B.
Calcula:
Distribución de probabilidad de variable discreta
34) Completa la siguiente tabla de probabilidades y calcula sus parámetros:
35) Sacamos dos cartas de una baraja y apuntamos el número de ases (0, 1 ó 2).
a) ¿Cuál es la distribución de probabilidad?
b) Calcula la media y la desviación típica.
36) Describe, mediante una tabla , , la distribución del “número de caras”
al lanzar 3 monedas. Halla los parámetros y .
37) En una lotería de 1000 números se reparten los premios siguientes:
A un número elegido al azar, 5000 €
Al anterior y al posterior, 1000 €
A los 99 que terminan en la misma cifra que el ganador, 10 €
Al resto de números, nada
a) Haz la tabla con los valores 0, 10, 1000 y 5000 con sus correspondientes
probabilidades
b) Calcula los parámetros y
38) Calcula la media y la desviación típica de la distribución de probabilidad
correspondiente a la puntuación obtenida en el lanzamiento de un dado.
39) En una bolsa tenemos un cierto número de bolas numeradas: 9 bolas con un
uno, 5 con un dos y 6 con un tres. Sacamos una bola al azar y vemos qué
número tiene.
a) ¿Cuál es la distribución de probabilidad?
b) Calcula la media y la desviación típica
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Distribución binomial
40) En una distribución binomial , halla , ,
, y el valor de cada uno de los parámetros .
41) En una distribución binomial calcula:
42) En una distribución binomial calcula:
43) Lanzamos 7 monedas. Calcula las probabilidades de 3 caras, 5 caras y 6
caras. Halla los valores de .
44) Reconoce en cada uno de los siguientes ejercicios una distribución binomial
y di los valores de , , y .
a) Un examen tipo test consta de 50 preguntas, cada una con tres
respuestas, de las que solo una es correcta. Se responde al azar. ¿Cuál es
el número de preguntas acertadas?
b) En el examen descrito en el apartado anterior, un alumno conoce las
respuestas de 20 preguntas y responde las restantes al azar. Nos
preguntamos cuántas de ellas acertará
c) Una moneda se lanza 400 veces. Número de caras
d) El 11% de los billetes de lotería reciben algún tipo de premio, aunque
sea el reintegro. En una familia juegan a 46 números.
e) El 1% de ciertas soldaduras son defectuosas y revisamos mil de ellas.
Número de soldaduras defectuosas que habrá
45) Un examen tipo test consta de diez preguntas, cada una con cuatro
respuestas, de las cuales solo una es correcta. Si un alumno contesta al azar:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que conteste correctamente a 4 preguntas?
b) ¿Y la de que conteste bien a más de 2 preguntas?
c) Calcula la probabilidad de que conteste mal a todas las preguntas
46) La probabilidad de que un aparato de televisión, antes de revisarlo, sea
defectuoso, es . Si se revisan 5 aparatos, calcula:
a) b)
47) Una urna contiene3 bolas rojas y 7 verdes. Se saca una al azar, se anota su
color y se devuelve a la urna. Si esta experiencia se repite 5 veces, calcula la
probabilidad de obtener:
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48) En un proceso de fabricación de tornillos, se sabe que el 2% son defectuosos.
Los empaquetamos en cajas de 50 tornillos. Calcula la probabilidad de que en
una caja haya este número de tornillos defectuosos:
¿Cuántos tornillos habrá, por término medio, en cada caja?
Distribución de probabilidad de variable continua
Funciones de densidad
49) Calcula para que
sea una función de densidad.
Halla las probabilidades:
Nota: recuerda que para que sea función de probabilidad o densidad el área
bajo la curva ha de ser 1
50) Calcula m para que
sea una función de densidad.
Halla las probabilidades:
Distribución normal
51) En una distribución , calcula:
52) En una distribución , calcula las siguientes probabilidades:
Nota: Utiliza la tabla para la distribución
53) En una distribución , calcula:
54) En una distribución , calcula las siguientes probabilidades:
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55) Halla las siguientes probabilidades:
Nota: Utiliza la tabla para la distribución
56) Di el valor de en cada caso:
Nota: Utiliza la tabla para la distribución
57) Halla:
58) Halla, a partir de la tabla, las siguientes probabilidades:
59) En una distribución , halla las siguientes probabilidades:
Nota: Tipifica la variable y resuelve utilizando la tabla para la
distribución
60) En una distribución , calcula las siguientes probabilidades:
61) En una distribución , calcula:
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62) La talla media de los 200 alumnos de un centro escolar es de , y la
desviación típica de .
Si las tallas se distribuyen normalmente, calcula la probabilidad de que un
alumno elegido al azar mida más de .
¿Cuánto alumnos puede esperarse que midan más de ?
63) Los pesos de 200 soldados presentan una distribución normal de media
y desviación típica . Calcula la probabilidad de que un soldado
elegido al azar pese:
64) Para aprobar un examen de ingreso en una escuela, se necesita obtener 5
puntos o más. Por experiencia de otros años, sabemos que la distribución de
puntos obtenidos por los alumnos es normal, con media 55 puntos y desviación
típica 10.
65) En una ciudad, las temperaturas máximas diarias durante el mes de julio se
distribuyen normalmente con una media de y una desviación típica de
. ¿Cuántos días se puede esperar que tengan una temperatura máxima
comprendida entre y ?
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SOLUCIONES
1) Ejercicio 1
2) Ejercicio 2
3) Ejercicio 3
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4) Ejercicio 4
5) Ejercicio 5
6) Ejercicio 6
7) Ejercicio 7
8) Ejercicio 8
9) Ejercicio 9
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10) Ejercicio 10
11) Ejercicio 11
12) Ejercicio 12
13) Ejercicio 13
14
14) Ejercicio 14
15) Ejercicio 15
16) Ejercicio 16
17) Ejercicio 17
18) Ejercicio 18
19) Ejercicio 19
15
20) Ejercicio 20
21) Ejercicio 21
16
22) Ejercicio 22
23) Ejercicio 23
24) Ejercicio 24
17
25) Ejercicio 25
26) Ejercicio 26
27) Ejercicio 27
28) Ejercicio 28
18
29) Ejercicio 29
30) Ejercicio 30
31) Ejercicio 31
19
32) Ejercicio 32
33) Ejercicio 33
20
34) Ejercicio 34
35) Ejercicio 35
36) Ejercicio 36
37) Ejercicio 37
21
38) Ejercicio 38
39) Ejercicio 39
40) Ejercicio 40
41) Ejercicio 41
22
42) Ejercicio 42
43) Ejercicio 43
44) Ejercicio 44
45) Ejercicio 45
23
46) Ejercicio 46
47) Ejercicio 47
48) Ejercicio 48
49) Ejercicio 49
24
50) Ejercicio 50
51) Ejercicio 51
25
52) Ejercicio 52
53) Ejercicio 53
54) Ejercicio 54
26
55) Ejercicio 55
56) Ejercicio 56
57) Ejercicio 57
58) Ejercicio 58
59) Ejercicio 59
27
60) Ejercicio 60
61) Ejercicio 61
62) Ejercicio 62
63) Ejercicio 63
64) Ejercicio 64
65) Ejercicio 65