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Estabilidade não linear de
estruturas: estruturas “thin-
walled”, estruturas recticuladas,
análise 3D e aspectos
numéricos
Pedro D. Simão
Coimbra, 25 de Junho de 2009
Jornadas INESC-Coimbra
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Índice• Análise de estruturas “thin-walled” – a GBT
• Estratégias numéricas:
i) a aplicação do Método de Rayleigh-Ritz e a
discretização natural do funcional
ii) o problema bifurcacional, “path-switching”, estados
críticos secundários e fenómenos de instabilidade
localizada
• Análise de estruturas recticuladas: influência das “column
splices” na estabilidade do elemento e da estrutura:
iii) ligação entre corpos: o método dos multiplicadores
de Lagrange e o Método e Rayleigh-Ritz
• Desenvolvimentos futuros
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Estruturas enformadas a frio de
paredes finas (thin-walled cold-formed structures)
Os elementos estruturais são obtidos por dobragem de uma chapa
metálica
O sub-sector da construção “cold formed” é ,na Europa, o que
apresenta a maior taxa de crescimento em volume de negócios no
sector da construção metálica
As dobragens na chapa é que geram a rigidez do elemento
estrutural, num princípio semelhante ao “Origami”.
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Análise estrutural: devido à grande esbelteza (baixa espessura dos
elementos), são elementos muito sujeitos a vários
fenómenos de instabilidade: local, distorcional e
global
requerem métodos de análise avançados (GBT, FSM
ou FEM) capazes de modelar estes fenómenos
Estruturas enformadas a frio de
paredes finas
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GBT - Generalized Beam Theory:
é uma teoria de modelação do comportamento de estruturas prismáticas de
paredes finas (thin-walled)
é uma alternativa “meshless” muito eficaz aos métodos clássicos: faixas
finitas (FSM) e elementos finitos (FEM)
baseia-se no conceito de modo de deformação da secção transversal:
Alongamento
axial
Flexão eixo
forteFlexão eixo
fraco
torçãoModo de corte
(“shear lag”)
Modos
distorcionais:
45 mm
170 mm
15 mm
1.6 mm
15 mm
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GBT - Generalized Beam Theory:
Os deslocamentos num qualquer ponto do elemento são
descritos pela combinação linear, para todos os modos de
deformação, do produto do deslocamento que ocorre para
uma configuração unitária do modo de deformação (função
de y e z) por uma função de amplitude desse modo no
ponto (função de x)
Os modos de deformação estabelecidos inicialmente são
tornados ortogonais através de uma sequencia de
problemas de valores-vectores próprios generalizados
Adopta-se as relações da Teoria da Elasticidade para
grandes deslocamentos – formulação Lagrangeana.
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• o potencial do carregamento exterior:
• a energia potencial total (TPE):
L
n
1k
n
1r
k
r
k
r,x
L
n
1k
n
1r
k
r
k
r,zr
k
r,y
MD NTMD NT
xdAuxqxdAwxqvxq
33
MD
21 xx
33
xx
22n
2kxx
k
zr
k
yr
k
xx
1 AMAMAFwFvAP
• a energia de deformação interna (expressão longa):
dxdA2
1
2
1
2
1
2
1
2
1U
L
0 A
B
sx
B
sx
B
s
B
s
B
x
B
x
M
sx
M
sx
M
x
M
xi
iUVEsta formulação i) é consistente com as relevantes
relações de elasticidade para grandes deslocamentos, ii)
contém termos de 3ª ordem, possibilitando análise de pós-
encurvadura, e iii) trata todos os fenómenos relevantes da
Teoria da Estabilidade usando um procedimento unificado
GBT – a formulação energética:
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A aplicação do método de Rayleigh-Ritz:
Estratégias numéricas
Descrição: método para determinar as funções fi(xj) que
maximizam/minimizam um funcional, sujeito a um conjunto de
condições de fronteira.
Aplicação: os estados de equilíbrio de uma estrutura são os
estados que estacionarizam o funcional da TPE.
Início: o funcional da TPE, na forma
vai transformar-se numa função gradiente de potencial:
através da aproximação de cada função de amplitude modal kA
pela combinação linear de um conjunto de funções coordenadas
pré-estabelecidas kφi que respeitam as condições de fronteira
relevantes:
L
0
kkk xdP,xA,xA,xAFV
P,aVV i
xaxaxaxAkk n
k
n
k
2
k
2
k
1
k
1
kk
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Forma das condições de fronteira:
sem grande utilidade matemática, pois formam um sistema
homogéneo
0Axx
ik
No entanto, adicionando ao sistema das condições de fronteira
condições de normalidade e de ortogonalidade, da forma
pode obter-se um método que gera sequencialmente um conjunto
infinito de funções coordenadas polinomiais, ortogonais entre si,
permitindo i) aproximar uma função de forma tão rigorosa quanto
desejado, e ii) escolher as condições de fronteira a adoptar no problema
L
j
k
i
k
ji0
ji0cdx
if
if
A aplicação do método de Rayleigh-Ritz: o
método de discretização natural
Estratégias numéricas
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Os 3 primeiros polinómios considerando as seguintes condições de
fronteira:
A aplicação do método de Rayleigh-Ritz:
0
0
0
0
Lx
i
0x
i
Lx
i
0x
i
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Objectivo: para o sistema de equilibrio do problemadiscretizado
Ci
n1
i n,,1i,0a
VP,a,,aV C
pretende-se:
i) Calcular os conjuntos de valores ia e P que satisfazem osistema de equilíbrio, partindo de uma soluçãoconhecida – pesquisa das trajectórias de equilíbrio
ii) Em cada ponto do espaço ia-P que é solução do sistemade equilíbrio, analisar a estabilidade desse estado deequilíbrio
O formalismo bifurcacional (Thompson & Hunt 1973)
Estratégias numéricas
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Os estados de pós-encurvadura são determinados
resolvendo o sistema de equilíbrio transformado na
vizinhança do estado crítico:
A’
B’
jq=c
jq=-c
P
ja
ia
jq>0
jq<0 B
A jq=c’>c
C’
C
FP
PBP
critical state
O
controljn,,1j
,n,,1i,0P,qWq,PPaV
c
c
j
i
i
FP
i
As coordenadas deslizantesiq são obtidas da
transformação W:
qPaa iFP
ii
O formalismo bifurcacional (Thompson & Hunt 1973)
Estratégias numéricas
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Exemplo ilustrativo: secção HFB submetida amomento uniforme, para L=1600mm
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Análise de estruturas recticuladas:
Influência das “column splices” na estabilidade de
um elemento comprimido
(Ana M. Girão Coelho, Pedro D. Simão, Franz Bijlaard)
NEd
Kb
Kb
x, u
NEd
Ka
Ka
z, w
Kc C
I
II
Trabalho encomendado pela indústria
holandesa e feito em colaboração com a TU Delft
caracterizou-se o comportamento de uma
coluna com uma ligação intermédia viga-viga
(splice) e estabeleceu-se um critério para o valor
mínimo da rigidez dessa ligação por forma a
poder considerar-se a coluna como contínua
Influência das “column splices” na estabilidade de
um elemento comprimido
NEd
Kb
Kb
x, u
NEd
Ka
Ka
z, w
Kc C
I
II
Neste caso desenvolveu-se também uma formulação energética,
criando a energia potencial total (TPE) do sistema:
Para obrigar que os deslocamentos segundo xx e zz no ponto C,
para os elementos I e II, foram impostas duas condições
adicionais, que foram introduzidas no problema global através do
Método dos Multiplicadores de Lagrange
Desta forma o MRR pode lidar com a análise de sistemas
formados por vários corpos, tornando-se num método “meshless”
alternativo ao MEF, exibindo várias vantagens
C,,iB,,iB,,iA,,iA,,iII,iI,i UUUUUUUV
iii) ligação entre corpos: o método dos multiplicadores de Lagrange e o
Método de Rayleigh-Ritz
Desenvolvimentos futurosAlguns tópicos de desenvolvimentos
futuros:
análise de fenómenos de bifurcação
secundária e localização
generalização da GBT para secções de
forma qualquerGraves-Smith & Sridharan
estudo da interacção entre os fenómenos de instabilidade do elemento
e de instabilidade da estrutura em estruturas “thin-walled”
análise do comportamento de elementos prismáticos submetidos a
esforços de flexão composta desviada e torção
análise de estabilidade de estruturas tri-dimensionais, envolvendo
todos os fenómenos relevantes, como sendo o comportamento dos
elementos, das ligações, etc. Fim