estadística bayesiana. parte i manuel mendoza ramírez instituto tecnológico autónomo de méxico...

Estadística Bayesiana. Parte IEstadística Bayesiana. Parte I

Manuel Mendoza RamírezManuel Mendoza RamírezInstituto Tecnológico Autónomo de MéxicoInstituto Tecnológico Autónomo de México

III Taller Mexicano de Estadística BayesianaIII Taller Mexicano de Estadística BayesianaVeracruz, México. Junio 26, 2011.Veracruz, México. Junio 26, 2011.

EstadísticaEstadística

Estadística BayesianaEstadística Bayesiana

Historia BayesianaHistoria Bayesiana

EjemploEjemplo

Contenido Contenido

Estadística:Estadística: Herramienta para describir fenómenos, a partir de Herramienta para describir fenómenos, a partir de conjuntos de observaciones que presentan variabilidad. conjuntos de observaciones que presentan variabilidad.

Estadística Estadística

Estadística:Estadística: Herramienta para Herramienta para describirdescribir fenómenos, a partir de fenómenos, a partir de conjuntos de observaciones que presentan conjuntos de observaciones que presentan variabilidadvariabilidad. .


Estadística:Estadística: Herramienta para Herramienta para describirdescribir fenómenos, a partir de fenómenos, a partir de conjuntos de observaciones que presentan conjuntos de observaciones que presentan variabilidadvariabilidad. .


La descripción se refiere a una caracterización que rebasa el ámbito de La descripción se refiere a una caracterización que rebasa el ámbito de la sola enumeración. la sola enumeración.

La descripción puede ser:La descripción puede ser: Exacta Exacta (deductiva)(deductiva) cuando dispone de toda la información sobre el cuando dispone de toda la información sobre el

fenómeno.fenómeno.

Aproximada Aproximada (inductiva)(inductiva) cuando sólo cuenta con parte de la información. cuando sólo cuenta con parte de la información.

(Análisis Exploratorio de Datos)(Análisis Exploratorio de Datos)

(Inferencia Estadística)(Inferencia Estadística)


La escuela de Inferencia Estadística predominante hasta pocos años lo fue, en La escuela de Inferencia Estadística predominante hasta pocos años lo fue, en solitario, por aproximadamente 80 años.solitario, por aproximadamente 80 años.

Surge a finales del Siglo XIX y, ahora, se conoce con el nombre de Surge a finales del Siglo XIX y, ahora, se conoce con el nombre de Estadística Estadística FrecuentistaFrecuentista..

Parte de una interpretación de la Probabilidad como Parte de una interpretación de la Probabilidad como límite de frecuenciaslímite de frecuencias relativas (verificable a través de la relativas (verificable a través de la experimentaciónexperimentación))

El colectivo de exponentes de esta escuela es muy vasto pero a ninguno se le El colectivo de exponentes de esta escuela es muy vasto pero a ninguno se le atribuye tanto el desarrollo y consolidación como a atribuye tanto el desarrollo y consolidación como a R. A. FisherR. A. Fisher (1890-1962). (1890-1962).

Ronald Aylmer Fisher

Fisher Fisher

Fisher fue muy productivo y se le deben ideas fundamentales de la Inferencia.Fisher fue muy productivo y se le deben ideas fundamentales de la Inferencia.


R. A. Fisher (1922).R. A. Fisher (1922). On the Mathematical Foundations of Theoretical StatisticsOn the Mathematical Foundations of Theoretical Statistics..

Fisher Fisher

Los conceptos técnicos que introdujo o que retomó de sus antecesores para Los conceptos técnicos que introdujo o que retomó de sus antecesores para relanzarlos en la literatura son abundantes; entre otros:relanzarlos en la literatura son abundantes; entre otros:


VerosimilitudVerosimilitud

SuficienciaSuficiencia

Análisis FiducialAnálisis Fiducial

ConsistenciaConsistencia

SignificanciaSignificancia

InformaciónInformación

Análisis de la VarianzaAnálisis de la Varianza

Máxima VerosimilitudMáxima Verosimilitud

Estadística Matemática Estadística Matemática

Propuso métodos que hasta la fecha se utilizan, cada uno de los cuales era Propuso métodos que hasta la fecha se utilizan, cada uno de los cuales era fruto de un examen matemático fruto de un examen matemático rigurosoriguroso..


R. A. Fisher (1922).R. A. Fisher (1922). On the Mathematical Foundations of Theoretical StatisticsOn the Mathematical Foundations of Theoretical Statistics..

Su preocupación era la aplicación de métodos con una fundamentos teóricos. Su preocupación era la aplicación de métodos con una fundamentos teóricos. No desarrolló, sin embargo, una No desarrolló, sin embargo, una Teoría Estadística Teoría Estadística (un sistema lógico de (un sistema lógico de observaciones, axiomas y postulados).observaciones, axiomas y postulados).

Estadística Matemática Estadística Matemática

La Inferencia Estadística que Fisher contribuyó a desarrollar tiene métodos y La Inferencia Estadística que Fisher contribuyó a desarrollar tiene métodos y procedimientos rigurosamente validados en términos matemáticos, es de procedimientos rigurosamente validados en términos matemáticos, es de aplicación muy general en la práctica y cuenta con herramientas de cómputo, aplicación muy general en la práctica y cuenta con herramientas de cómputo, pero no forma un conjunto armonioso de piezas de conocimiento.pero no forma un conjunto armonioso de piezas de conocimiento.

La Teoría de la Probabilidad, en su versión formal, axiomática, sólo apareció La Teoría de la Probabilidad, en su versión formal, axiomática, sólo apareció hasta 1933, gracias al trabajo de A.N. Kolmogorov.hasta 1933, gracias al trabajo de A.N. Kolmogorov.

Andréi Nikoláyevich Kolmogórov (1903-1987)

Aproximaciones alternativas Aproximaciones alternativas

En paralelo, otros personajes intentaron formalizar una interpretación En paralelo, otros personajes intentaron formalizar una interpretación subjetivasubjetiva de la Probabilidad.de la Probabilidad.

Foresight: its Logical Laws, Its Subjective SourcesForesight: its Logical Laws, Its Subjective Sources (1937) de Bruno de Finetti, (1937) de Bruno de Finetti, establece que la única definición posible de la Probabilidad es como un establece que la única definición posible de la Probabilidad es como un concepto concepto subjetivosubjetivo e introduce el concepto de e introduce el concepto de intercambiabilidadintercambiabilidad. .

Truth and ProbabilityTruth and Probability (1926/1931) de Frank Ramsey, plantea la (1926/1931) de Frank Ramsey, plantea la Probabilidad Probabilidad subjetivasubjetiva como una rama de la como una rama de la LógicaLógica..

Frank P. Ramsey (1903-1930)

Bruno de Finneti(1906-1985)

Con diferentes enfoques, ambos autores exploran la Con diferentes enfoques, ambos autores exploran la asignaciónasignación subjetiva de subjetiva de probabilidades y su relación con probabilidades y su relación con problemas de decisiónproblemas de decisión..

La La Estadística Bayesiana,Estadística Bayesiana, como se conoce actualmente, se inicia con la como se conoce actualmente, se inicia con la segunda mitad del siglo XX.segunda mitad del siglo XX.

Estadística Bayesiana Estadística Bayesiana

Surge con la idea de organizar y sistematizar los conceptos, métodos y Surge con la idea de organizar y sistematizar los conceptos, métodos y técnicas técnicas existentesexistentes de la Inferencia ( de la Inferencia (FrecuentistaFrecuentista) en una ) en una TeoríaTeoría Estadística. Estadística.

Desde entonces, el énfasis se ha desplazado, de los Desde entonces, el énfasis se ha desplazado, de los FundamentosFundamentos primero, a los primero, a los Métodos de Inferencia Métodos de Inferencia específicos después y, más recientemente, al específicos después y, más recientemente, al Cómputo Cómputo BayesianoBayesiano y la producción de software para el análisis Bayesiano.y la producción de software para el análisis Bayesiano.


Para los Fundamentos, las ideas de Para los Fundamentos, las ideas de Probabilidad subjetivaProbabilidad subjetiva y y Teoría deTeoría de decisionesdecisiones han jugado un papel central han jugado un papel central..

Fundamentos de la Teoría Fundamentos de la Teoría de Inferenciade Inferencia


Métodos BayesianosMétodos BayesianosMétodos BayesianosMétodos Bayesianos

Cómputo BayesianoCómputo BayesianoCómputo BayesianoCómputo Bayesiano

Por su parte, el Cómputo Bayesiano ha hecho posible la aplicación de la Por su parte, el Cómputo Bayesiano ha hecho posible la aplicación de la Inferencia Bayesiana a problemas reales, complejos.Inferencia Bayesiana a problemas reales, complejos.






Inferencia Bayesiana No Inferencia Bayesiana No ParamétricaParamétrica

Inferencia Bayesiana No Inferencia Bayesiana No ParamétricaParamétrica

La idea de la probabilidad subjetiva fue (y aún es) motivo de controversia que La idea de la probabilidad subjetiva fue (y aún es) motivo de controversia que ha dado lugar a un debate permanente con los no Bayesianos.ha dado lugar a un debate permanente con los no Bayesianos.

Teoría Estadística Bayesiana Teoría Estadística Bayesiana

Sin embargo, la primera formulación completa, exhaustiva y Sin embargo, la primera formulación completa, exhaustiva y axiomáticaaxiomática de los de los Fundamentos de la Estadística (Bayesiana) se debe a Savage: Fundamentos de la Estadística (Bayesiana) se debe a Savage:

Entre los promotores de esta alternativa destaca D.V. Lindley que en 1953 Entre los promotores de esta alternativa destaca D.V. Lindley que en 1953 publica publica Statistical InferenceStatistical Inference. Ahí aborda los problemas de inferencia como . Ahí aborda los problemas de inferencia como problemas de decisiónproblemas de decisión y los resuelve con un argumento de y los resuelve con un argumento de Probabilidad Probabilidad InversaInversa y el criterio de y el criterio de pérdida esperada mínimapérdida esperada mínima..

Leonard Jimmie Savage(1917-1971)

Dennis Victor Lindley(1923 - )

Savage reproduce, generaliza e integra, diversas contribuciones de otros Savage reproduce, generaliza e integra, diversas contribuciones de otros autores, por ejemplo:autores, por ejemplo:

de Finetti de Finetti Probabilidad SubjetivaProbabilidad Subjetiva

von Neumann & Morgenstern von Neumann & Morgenstern Teorías de Utilidad, Decisión y Teorías de Utilidad, Decisión y JuegosJuegos

Wald Wald Teoría Estadística de la DecisiónTeoría Estadística de la Decisión

Teoría Estadística Bayesiana Teoría Estadística Bayesiana

A partir de un conjunto de axiomas para la A partir de un conjunto de axiomas para la toma de decisionestoma de decisiones, ,

ComparabilidadComparabilidad

TransitividadTransitividad

SustituibilidadSustituibilidad

MediciónMedición

Deriva un Deriva un criteriocriterio que, prueba, es el que, prueba, es el únicoúnico compatible con estos axiomas. compatible con estos axiomas.

Teoría de Decisión Teoría de Decisión

El criterio establece que para seleccionar de forma óptima una opción de entre El criterio establece que para seleccionar de forma óptima una opción de entre una variedad de alternativas se debe (una variedad de alternativas se debe (y se puedey se puede):):


Describir toda fuente de incertidumbre a través de la Describir toda fuente de incertidumbre a través de la asignación de asignación de probabilidadesprobabilidades..

Describir las preferencias a través de una función de Describir las preferencias a través de una función de utilidadutilidad..

Elegir la opción de Elegir la opción de Utilidad Esperada MáximaUtilidad Esperada Máxima..

El criterio establece que para seleccionar de forma óptima una opción de entre El criterio establece que para seleccionar de forma óptima una opción de entre una variedad de alternativas se debe (una variedad de alternativas se debe (y se puedey se puede):):


Describir Describir todatoda fuente de incertidumbre a través de la fuente de incertidumbre a través de la asignación de probabilidades.asignación de probabilidades.

Describir las preferencias a través de una función de Describir las preferencias a través de una función de utilidad.utilidad.

Elegir la opción de Utilidad Esperada Máxima.Elegir la opción de Utilidad Esperada Máxima.

Inferencia Bayesiana Inferencia Bayesiana

Una inferencia se interpreta como una descripción posible del fenómeno Una inferencia se interpreta como una descripción posible del fenómeno incierto bajo estudio.incierto bajo estudio.

En un estado de conocimiento específico, existen distintas inferencias En un estado de conocimiento específico, existen distintas inferencias alternativas que se pueden formular.alternativas que se pueden formular.


Una inferencia se interpreta como una Una inferencia se interpreta como una descripción posibledescripción posible del fenómeno del fenómeno incierto bajo estudio. incierto bajo estudio.

En un estado de conocimiento específico, existen distintas En un estado de conocimiento específico, existen distintas inferencias inferencias alternativasalternativas que se pueden formular. que se pueden formular.



La elección de lo que se puede afirmar sobre lo que no se conoce del La elección de lo que se puede afirmar sobre lo que no se conoce del fenómeno, dado lo que sí se conoce, es un problema de decisión en fenómeno, dado lo que sí se conoce, es un problema de decisión en ambiente de incertidumbre.ambiente de incertidumbre.

En un estado de conocimiento específico, existen distintas En un estado de conocimiento específico, existen distintas inferencias inferencias alternativasalternativas que se pueden formular. que se pueden formular.



La elección de lo que se puede afirmar sobre lo que no se conoce del La elección de lo que se puede afirmar sobre lo que no se conoce del fenómeno, dado lo que sí se conoce, es un fenómeno, dado lo que sí se conoce, es un problema de decisión en problema de decisión en ambiente de incertidumbreambiente de incertidumbre..

Debe elegirse la inferencia de Utilidad Esperada Máxima.Debe elegirse la inferencia de Utilidad Esperada Máxima.


Existe un único procedimiento para producir las inferencias óptimas.Existe un único procedimiento para producir las inferencias óptimas.

La Probabilidad describe el estado de incertidumbre particular del La Probabilidad describe el estado de incertidumbre particular del Investigador sobre el fenómeno de interés.Investigador sobre el fenómeno de interés.

La Utilidad describe las consecuencias (para el Investigador) de las La Utilidad describe las consecuencias (para el Investigador) de las inferencias.inferencias.

Los datos (muestra) son relevantes en tanto modifican el estado de Los datos (muestra) son relevantes en tanto modifican el estado de incertidumbre del Investigador.incertidumbre del Investigador.

Debe elegirse la Debe elegirse la inferencia de Utilidad Esperada Máximainferencia de Utilidad Esperada Máxima..


Existe un Existe un único procedimientoúnico procedimiento para producir las inferencias óptimas. para producir las inferencias óptimas.

La Probabilidad describe el estado de La Probabilidad describe el estado de incertidumbre particular del incertidumbre particular del InvestigadorInvestigador sobre el fenómeno de interés. sobre el fenómeno de interés.

La Utilidad describe La Utilidad describe las consecuencias (para el Investigador)las consecuencias (para el Investigador) de las de las inferencias.inferencias.

Los datos (muestra) son relevantes en tanto Los datos (muestra) son relevantes en tanto modifican el estado de modifican el estado de incertidumbreincertidumbre del Investigador. del Investigador.

Le da carácter Le da carácter normativonormativo a la asignación subjetiva de probabilidades. a la asignación subjetiva de probabilidades.


Fija condiciones bajo las cuales la Hipótesis de Utilidad Esperada Máxima Fija condiciones bajo las cuales la Hipótesis de Utilidad Esperada Máxima deja de ser una deja de ser una hipótesis hipótesis para la para la únicaúnica consecuencia consecuencia compatible con los compatible con los axiomas (axiomas (de coherenciade coherencia).).

Establece como mecanismo básico de aprendizaje la fórmula de Establece como mecanismo básico de aprendizaje la fórmula de BayesBayes y y el concepto de el concepto de Probabilidad InversaProbabilidad Inversa..

Aprendizaje Bayesiano Aprendizaje Bayesiano

Savage no emplea el término Savage no emplea el término BayesianaBayesiana para su teoría. Esta denominación para su teoría. Esta denominación surge, al parecer en Economía.surge, al parecer en Economía.

Thomas Bayes (1702-1761)


Así, podría afirmarse que, Así, podría afirmarse que, en 1954en 1954, se establece formalmente la Teoría , se establece formalmente la Teoría Bayesiana de la Inferencia Estadística.Bayesiana de la Inferencia Estadística.

En 2011, estaría cumpliendo 57 años … evidentemente, En 2011, estaría cumpliendo 57 años … evidentemente, es jovenes joven!!

Sin embargo, sus raíces se pueden rastrear bastante más atrás. Sin embargo, sus raíces se pueden rastrear bastante más atrás.

S.S. Fienberg Fienberg (2006). (2006). When Did Bayesian Inference Become Bayesian"?When Did Bayesian Inference Become Bayesian"?..

Más Historia Bayesiana Más Historia Bayesiana

Bayes no vio publicado su trabajo. Apareció hasta 1763.Bayes no vio publicado su trabajo. Apareció hasta 1763.

Lo más relevante no era la fórmula, sino el empleo que hizo de ella.Lo más relevante no era la fórmula, sino el empleo que hizo de ella.


Inferencia sobre la probabilidad de éxito en ensayos Inferencia sobre la probabilidad de éxito en ensayos BernoulliBernoulli. Utiliza el . Utiliza el modelo Beta.modelo Beta.

Historia Bayesiana Historia Bayesiana

Introduce la idea de la Introduce la idea de la Probabilidad InversaProbabilidad Inversa..

Una versión probabilística de lo que sus contemporáneos denominaban Una versión probabilística de lo que sus contemporáneos denominaban El Problema InversoEl Problema Inverso. .

“… “… which shows that we may hope to determine the … unknown which shows that we may hope to determine the … unknown Causes, by sufficient observation of their Effects.” Causes, by sufficient observation of their Effects.”

D. D. HartleyHartley (1749). (1749). Observations on Man, his Frame, his Duty and his ExpectationsObservations on Man, his Frame, his Duty and his Expectations..



Quien formula, en general, el llamado Teorema de Bayes y, más Quien formula, en general, el llamado Teorema de Bayes y, más importante, utiliza sistemáticamente la importante, utiliza sistemáticamente la Probabilidad InversaProbabilidad Inversa para la para la producción de inferencias, es Laplace.producción de inferencias, es Laplace.

Pierre Simon de Laplace (1749-1827)

““If an event can be produced by a number n of different causes, the If an event can be produced by a number n of different causes, the probabilities of these causes given the event are to each other as the probabilities of these causes given the event are to each other as the probabilities of the event given the causes” probabilities of the event given the causes”

P.S. Laplace (1774).P.S. Laplace (1774). Mémoire sur la probabilité des causes por les évènements.Mémoire sur la probabilité des causes por les évènements.

““An urn is supposed to contain a given number of white and black tickets in An urn is supposed to contain a given number of white and black tickets in an unknown ratio; if one draws a ticket and it turns out to be white, an unknown ratio; if one draws a ticket and it turns out to be white, determine the probability that the ratio of white to black tickets is that of p to determine the probability that the ratio of white to black tickets is that of p to q; the event is known and the cause is unknown. ” q; the event is known and the cause is unknown. ”


Laplace también retoma de Bayes, y discute con extensión, el llamado Laplace también retoma de Bayes, y discute con extensión, el llamado Principio de la Razón InsuficientePrincipio de la Razón Insuficiente, origen del concepto de distribuciones , origen del concepto de distribuciones iniciales iniciales no-informativasno-informativas..

Pierre Simon de Laplace (1749-1827)

Otro resultado que sigue siendo ejemplo de libro de texto hasta la fecha es Otro resultado que sigue siendo ejemplo de libro de texto hasta la fecha es La Regla de SucesiónLa Regla de Sucesión..

Durante mas de treinta años Laplace continuó generalizando y, sobre todo, Durante mas de treinta años Laplace continuó generalizando y, sobre todo, aplicando estas ideas a una variedad de problemas.aplicando estas ideas a una variedad de problemas.


A lo largo de cien años, hasta el último tercio del siglo XIX, los A lo largo de cien años, hasta el último tercio del siglo XIX, los procedimientos que se desarrollan para la producción de inferencias están procedimientos que se desarrollan para la producción de inferencias están basados en la Probabilidad Inversa en gran parte como efecto de la basados en la Probabilidad Inversa en gran parte como efecto de la publicación en 1812 de publicación en 1812 de Théorie Analytique des ProbabilitésThéorie Analytique des Probabilités, también de , también de Laplace.Laplace.

Otro autor sumamente relevante es Daniel Otro autor sumamente relevante es Daniel BernoulliBernoulli. En 1738 publica . En 1738 publica Specimen Theoriae Novae de Mensura SortisSpecimen Theoriae Novae de Mensura Sortis (Presentación de una Nueva (Presentación de una Nueva Teoría de Medida del RiesgoTeoría de Medida del Riesgo).).

En ese trabajo introduce el concepto de En ese trabajo introduce el concepto de función de utilidadfunción de utilidad y la idea de y la idea de maximizar la Utilidad Esperadamaximizar la Utilidad Esperada..

Daniel Bernoulli (1700-1782)


La influencia de Bayes, Laplace y sus contemporáneos a través de la idea La influencia de Bayes, Laplace y sus contemporáneos a través de la idea de de Probabilidad InversaProbabilidad Inversa llega hasta los científicos que habrían de llega hasta los científicos que habrían de desarrollar la Estadística Frecuentista.desarrollar la Estadística Frecuentista.

S. Fienberg (2006). When Did Bayesian Inference Become Bayesian"?.S. Fienberg (2006). When Did Bayesian Inference Become Bayesian"?.


De esta forma resulta que la Estadística Bayesiana es una TeoríaDe esta forma resulta que la Estadística Bayesiana es una Teoría joven joven pero con raíces que vienen del siglo XVIII.pero con raíces que vienen del siglo XVIII.

Stephen Fienberg denomina a la escuela que surge en torno al trabajo de Stephen Fienberg denomina a la escuela que surge en torno al trabajo de Savage como Savage como Neo-BayesianoNeo-Bayesiano..

Un ejemplo Un ejemplo

Para la elección Presidencial de 2006 se instalaron alrededor de 130,500 Para la elección Presidencial de 2006 se instalaron alrededor de 130,500 casillas, en 300 distritos.casillas, en 300 distritos.

En cada distrito las casillas se organizan en secciones rurales, urbanas o En cada distrito las casillas se organizan en secciones rurales, urbanas o mixtas.mixtas.

La votación inicia a las 8 a.m. y cierra (en principio) a las 6 p.m.La votación inicia a las 8 a.m. y cierra (en principio) a las 6 p.m.

Existen dos husos horarios con retraso respecto al horario Existen dos husos horarios con retraso respecto al horario central (una y dos horas respectivamente)central (una y dos horas respectivamente)

Conteo Rápido Bayesiano Conteo Rápido Bayesiano


Para capturar las diferencias regionales, se diseñó un muestreo Para capturar las diferencias regionales, se diseñó un muestreo estratificado con 300 estratos (uno por distrito).estratificado con 300 estratos (uno por distrito).

Para reflejar las preferencias de los medios rural y urbano, los 300 Para reflejar las preferencias de los medios rural y urbano, los 300 estratos originales se subdividieron en rurales y no ruralesestratos originales se subdividieron en rurales y no rurales

El resultado fue un diseño con El resultado fue un diseño con 481 estratos.481 estratos.


El tamaño de muestra inicial fue de 7,500 casillas y se distribuyó en los 481 El tamaño de muestra inicial fue de 7,500 casillas y se distribuyó en los 481 estratos en forma proporcional al número de casillas en cada estrato.estratos en forma proporcional al número de casillas en cada estrato.

Se analizó el retraso, por diferencia de husos, en el arribo de los datos de Se analizó el retraso, por diferencia de husos, en el arribo de los datos de las regiones mas occidentales y se determinó que solo afectaría Sonora y las regiones mas occidentales y se determinó que solo afectaría Sonora y Baja California. Baja California.

El efecto se compensó con una muestra adicional de 136 casillas El efecto se compensó con una muestra adicional de 136 casillas adicionales en esos estados.adicionales en esos estados.


Los datos se transmitieron por teléfono (público, residencial o celular), por el Los datos se transmitieron por teléfono (público, residencial o celular), por el servicio de telefonía rural, por radio o por teléfono satelital a la servicio de telefonía rural, por radio o por teléfono satelital a la

unidad de unidad de captura distrital.captura distrital.

El sistema operó con claves de transmisión y filtros de comprobación de El sistema operó con claves de transmisión y filtros de comprobación de datos.datos.

Desde las 300 unidades de captura distrital se concentró la información en Desde las 300 unidades de captura distrital se concentró la información en un servidor para su análisis estadístico cada un servidor para su análisis estadístico cada cinco minutos.cinco minutos.


Interesa estimar la proporción de votos a favor de los candidatos. Interesa estimar la proporción de votos a favor de los candidatos.

Se utilizan distribuciones iniciales no informativas.Se utilizan distribuciones iniciales no informativas.

Los resultados se obtienen por simulación.Los resultados se obtienen por simulación.

El análisis se realizó para cada actualización de información.El análisis se realizó para cada actualización de información.

En cada caso, las gráficas implican la simulación de muestras de En cada caso, las gráficas implican la simulación de muestras de tamaño 10,000.tamaño 10,000.

Cada cinco minutos se obtuvieron los resultados, por simulación.Cada cinco minutos se obtuvieron los resultados, por simulación.

Para facilitar la comunicación de los resultados, se diseñó un Para facilitar la comunicación de los resultados, se diseñó un diagrama que permite analizar los resultados por pares.diagrama que permite analizar los resultados por pares.

Resultados Resultados

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Muestra:Muestra:92.12%92.12%

Muestra:Muestra:92.12%92.12%

Resultados Resultados

Intervalos de Máxima Densidad Posterior (0.95 de probabilidad).Intervalos de Máxima Densidad Posterior (0.95 de probabilidad).

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