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  • Estadstica Bayesiana y Riesgos

    Manuel Mendoza RamrezInstituto Tecnolgico Autnomo de Mxico

    Seminario Aleatorio. Contribuciones Recientes de la Estadstica a la Actuara en Mxico.ITAM. Mxico, D.F. Noviembre 23, 2007.

  • Estadstica Bayesiana y Solvencia

    Manuel Mendoza RamrezInstituto Tecnolgico Autnomo de Mxico

    Seminario Aleatorio. Contribuciones Recientes de la Estadstica a la Actuara en Mxico.ITAM. Mxico, D.F. Noviembre 23, 2007.

  • Introduccin

    Condicin de solvencia

    Formulacin estadstica

    Alternativa Bayesiana

    Ejemplos

    Consideraciones finales

    Contenido

  • La incertidumbre est implcita y es inevitable en el origen de las CienciasActuariales

    Una parte de la Actuara se ocupa del estudio de los fenmenos (aleatorios)que pueden producir las llamadas prdidas contingentes

    La informacin disponible se utiliza para pronosticar el comportamiento futurode las prdidas

    Introduccin

    Actuara y Riesgos Financieros

  • Una componente fundamental es la distribucin de prdidas

    0-4 -2 0 2 4

    0-4 -2 0 2 4

    Prdida Esperada

    Introduccin

    Modelos

  • Una componente fundamental es la distribucin de prdidas

    0-4 -2 0 2 4

    0-4 -2 0 2 4

    Prdida Esperada

    Introduccin

    Modelos

  • En forma natural se incorporan supuestos en el proceso de modelado. Porejemplo, la hiptesis de independencia entre frecuencia y severidad de lasprdidas

    0.0-3

    0.0-3

    Frecuencia Severidad

    Introduccin

    Supuestos

  • En forma natural se incorporan supuestos en el proceso de modelado. Porejemplo, la hiptesis de independencia entre frecuencia y severidad de lasprdidas

    L = S F E(L ) = E(S) E(F)

    Introduccin

    Supuestos

  • Un anlisis estadstico debe incluir una descripcin completa de la distribucinde inters. En Actuara, en particular, es conveniente describir las prdidasextremas

    0-4 -2 0 2 4

    0-4 -2 0 2 4

    Siniestralidad Extrema

    Solvencia

    Prdidas Extremas

  • Para las agencias reguladoras es importante establecer un margen desolvencia.

    0-4 -2 0 2 4

    0-4 -2 0 2 4

    Margen de

    Solvencia

    Solvencia

    Prdidas Extremas

  • Para las agencias reguladoras es importante establecer un margen desolvencia.

    0-4 -2 0 2 4

    0-4 -2 0 2 4

    E(L)

    Cuantil (1-

    Solvencia

    Prdidas Extremas

  • Un sistema de seguros es solvente si cuenta con recursos suficientes parahacer frente a sus obligaciones.

    0-4 -2 0 2 4

    0-4 -2 0 2 4

    E(L)

    Un sistema es (1 )-solvente si cuenta con recursos para hacer frente a susobligaciones con probabilidad 1 - .

    Solvencia

    Condicin de Solvencia

  • Dos series histricas:

    X1, X2, ... , XT (primas)

    Y1, Y2, ... , YT (reclamaciones)

    Objetivo:

    11,TYq Determinar el valor

    )(

    11,1 TYT qYPtal que

    Formulacin Estadstica

  • La serie de siniestralidad relativa

    W1, W2, ... , WT dondei

    ii X

    YW ( i = 1,...,T )

    W1, W2, ... , WT se suelen considerar i.i.d. (estabilidad)

    El inters se concentra en el valor 1Wq tal que

    )( 1WqWP

    Formulacin Estadstica

  • Entonces, para la siguiente observacin,

    )(1

    1 WT qWP

    )( 11

    1W

    T

    T qXYP

    De manera que

    )))((( 11

    1 TWT XqYP ))(( 111 1, TWTY Xqq

    Formulacin Estadstica

  • Datos histricos

    0%

    30%

    60%

    90%

    120%

    150%

    180%

    1980 1985 1990 1995 2000

    Accidentes y enfermedades

    0%

    30%

    60%

    90%

    120%

    150%

    180%

    1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000

    Agrcola y animales

    Formulacin Estadstica

  • 0%

    30%

    60%

    90%

    120%

    150%

    180%

    1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000

    Automviles

    0%

    30%

    60%

    90%

    120%

    150%

    180%

    1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000

    Responsabilidad Civil

    Datos histricos

    Formulacin Estadstica

  • 0%

    30%

    60%

    90%

    120%

    150%

    180%

    1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000

    Martimo y transportes

    0%

    30%

    60%

    90%

    120%

    150%

    180%

    1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000

    Incendio

    Datos histricos

    Formulacin Estadstica

  • Problema estadstico Estimar los cuantiles de la distribucin de W

    Normalidad como primera aproximacin

    Los datos histricos no son compatibles con el supuesto

    )( )1(1 zq WWW El clculo es extremadamente simple

    Distribucin para W

    Formulacin Estadstica

  • Aproximar la densidad de W con mezclas de normales

    T

    iiT wwNwf

    1

    21 ),|()(

    w1,...,wT valores observados; 2 se determina con un criterio de ajuste.

    Distribucin para W

    Formulacin Estadstica

  • 40 60 80 100

    0.00

    0.02

    0.04

    0.06

    0.08

    Accidentes y enfermedades

    Distribucin para W

    Formulacin Estadstica

  • 40 60 80 100 120 140 160

    0.00

    0.01

    0.02

    0.03

    0.04

    0.05 Automviles

    Distribucin para W

    Formulacin Estadstica

  • La mezcla captura el patrn de asimetra

    No incorpora el efecto de estimacin de los parmetros

    Distribucin para W

    Formulacin Estadstica

  • En cada periodo de tiempo: ( i = 1,.... )

    Xi = primas emitidas

    Wi = tasa de siniestralidad relativa

    Yi = siniestralidad

    Modelo Condicional

    Formulacin Estadstica

  • { X1, X2, .... } una serie de observaciones correlacionadas

    { W1, W2, .... } realizaciones i.i.d. de un modelo P(W | )

    { Y1, Y2, .... } debe su aleatoriedad a { Xi }, { Wi } y soncorrelacionadas como resultado de la correlacin en { Xi }

    Distribucin para W

    Formulacin Estadstica

  • La distribucin de YT+1, dado XT+1 = x, est totalmentedeterminada por la de WT+1.

    Basta entonces Asignar una distribucin P( WT+1 | )

    Estimar el cuantil de inters para W

    Estimar del cuantil condicional de YT+1

    Distribucin para W

    Formulacin Estadstica

  • Fundado sobre una base axiomtica

    Inferencia problema de decisin

    Proceso de aprendizaje basado en la frmula de Bayes

    Final Verosimilitud Inicial

    Caractersticas Generales

    Alternativa Bayesiana

  • Mecanismo general para la produccin de pronsticos

    Distribucin Predictiva

    Frmula de Bayes

    p( | datos ) p( datos | ) p( )

    p( X | datos ) = p( X | ) p( | datos ) d

    Alternativa Bayesiana

    Caractersticas Generales

  • Dado XT+1 = x, el comportamiento de YT+1, est determinadopor WT+1 :

    Algoritmo, si se adopta un modelo P( WT+1 | )

    Asignar una inicial para y combinarla con la informacinhistrica para obtener la final para ,

    Determinar la distribucin predictiva para WT+1 Calcular el cuantil predictivo condicional para YT+1, dado XT+1

    Anlisis Predictivo

    Alternativa Bayesiana

  • La seleccin del modelo P( W | ) constituye un reto

    interesante.

    La Normal no es, en general, una buena eleccin.

    (Asimetra, valores positivos)

    Una mezcla de Normales tambin presenta inconvenientes.

    Alternativa Bayesiana

    Distribucin para W

  • Una posibilidad es suponer que una transformacin de Wes Normal.

    (Transformacin de Box-Cox)

    La introduccin de da lugar a otro problema de decisin(la seleccin de un valor concreto para ).

    Alternativa Bayesiana

    Distribucin para W

  • Con propsitos de ilustracin

    iii XWY )()()( iii XlnWlnYln

    iii cUV

    )( ii YlnV )( ii WlnU )( ii Xlnc , ,

    Alternativa Bayesiana

    Distribucin para W

  • En particular, 111 TTT cUV

    Dado un valor fijo de XT+1 (cT+1 constante),

    predictiva para UT+1 predictiva para VT+1

    predictiva para YT+1

    Alternativa Bayesiana

    Distribucin para W

  • El problema en estos trminos es muy simple

    Datos: D = { U1, U2, ..., UT } i.i.d. N(,) (-1 = 2 )

    = (, ); Distribucin inicial de referencia: P(, ) -1

    Distribucin Final: P( | D ) = Normal - Gamma

    Distribucin Predictiva Final: P( UT+1 | D ) = Student

    Alternativa Bayesiana

  • Predictiva Final: P( UT+1 | D ) = Student , UT+1 = ln(WT+1)

    VT+1 = UT+1 + cT+1, cT+1 = ln(XT+1)

    Predictiva Final: P( VT+1 | D ) = Student , VT+1 = ln(YT+1)

    Predictiva Final: P( YT+1 | D ) = log - Student

    (dado XT+1)

    Anlisis Predictivo

    Alternativa Bayesiana

  • )] S T) / 1 [(1 t exp( w X Y 2 / 1 2U) - (1

    1-T

    T

    1 i

    T / 1 i 1T

    ) - (11T

    ~

    El cuantil de orden (1-) de la distribucin predictiva de YT+1, dado XT+1,resulta:

    donde

    2

    i1T12

    U )u(uS~) - (1

    1-Tt es el cuantil de una Student con T-1 g. de l. y

    Anlisis Predictivo

    Alternativa Bayesiana

  • ),( N ~ U1

    Una alternativa al supuesto de independencia es un modelo auto regresivoestacionario de primer orden:

    mientras que para i = 2,..., T+1:

    ))1(/),(( 2 U N ~ U | U 1-i1-ii

    Para i = 1:

    Alternativa Bayesiana

    El supuesto de independencia

  • El modelo es estacionario

    ),( N ~ U i para i = 1, 2,..., T+1

    La distribucin conjunta de U1, U2, ..., UT+1 est determinada por losparmetros , y . El modelo de independencia se recupera con = 0.

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