estadistica bayesiana

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ESTADSTICA BAYESIANANotasndice1. INTRODUCCIN.............................................................................................................12. ESTADSTICA BAYESIANA............................................................................................23. QU ES LA INFERENCIA BAYESIANA?......................................................................34. CONCEPTOS BAYESIANOS BSICOS.........................................................................54.1. Teorema de Bayes ..................................................................................................................................... 54.2. Naturaleza secuencial del teorema de Bayes............................................................................................ 74.3. Distribucin a priori difusa o no informativa ............................................................................................... 74.4. Distribucin a priori conjugada ................................................................................................................. 105. INFERENCIA BAYESIANA............................................................................................125.1. Estimacin puntual ................................................................................................................................... 125.2. Intervalos de credibilidad o regiones veraces .......................................................................................... 165.3. Prueba de hiptesis para una muestra .................................................................................................... 175.4. Prueba de hiptesis para dos muestras................................................................................................... 186. CONCLUSIONES..........................................................................................................207. BIBLIOGRAFA..............................................................................................................201. IntroduccinComo anunciaba Lindley en el primer Congreso Internacional de Estadstica Bayesiana, falta menos para el2021aoenelqueeladjetivobayesianoparalaestadsticaserasuperfluoalserbayesianastodaslasaproximaciones a la estadstica.Elobjetivodelaestadstica,yenparticulardelaestadsticaBayesiana,esproporcionarunametodologaparaanalizaradecuadamentelainformacinconlaquesecuenta(anlisisdedatos)ydecidirdemanerarazonable sobre la mejor forma de actuar (teora de decisin).Figura 1. Diagrama de la EstadsticaTipos de inferencia: clsica y bayesianaLatomadedecisionesesunaspectoprimordialenlavidadeunprofesional,porejemplo,unmdicodebe de tomar decisiones.La metodologa estadstica clsica se puede ver como un conjunto de recetas que resultan apropiadasen determinados casos y bajo ciertas condiciones.Toma dedecisionesAnlisis dedatosInferencia MuestreoPoblacinMuestra2Sinembargo,existeunametodologaunificadaygeneralquesederivadeanalizarelprocesolgicoquedebedeseguirseparatomarunadecisin(teoradeladecisin),yqueincluyecomocasoparticular al conjunto de recetas clsicas.La estadstica esta basada en la teora de probabilidades. Formalmente la probabilidad es una funcinquecumpleconciertascondiciones,peroengeneralpuedeentendersecomounamedidaocuantificacin de la incertidumbre.Aunqueladefinicindefuncindeprobabilidadesuna,existenvariasinterpretacionesdelaprobabilidad:(a) clsica: Supone que el experimento aleatorio produce resultados igualmente verosmiles (posibles)y propone como medida de probabilidad el cociente entre los casos favorables y los casos totales,( ) PrAnAn=(b)frecuentista: Supone que un experimento aleatorio puede ser repetido un nmero infinito de vecesbajocondicionessimilaresyproponecomomedidadeprobabilidadlaproporcindevecesqueocurri el evento de inters,( ) Pr limAnnAn=

(c) subjetiva: Es simplemente una medida de la incertidumbre, asociada a un evento, asignada por undecisor. En otras palabras, es un juicio personal sobre la verosimilitud de que ocurra un resultado.( ) Pr A =Lametodologabayesianaestbasadaenlainterpretacinsubjetivadelaprobabilidadytienecomopunto central el Teorema de Bayes.Figura 2. Retrato del Reverendo Thomas Bayes (1702-1761)2. Estadstica bayesianaEl inters por el teorema de Bayes trasciende la aplicacin clsica, especialmente cuando se ampla a otrocontexto en el que la probabilidad no se entiende exclusivamente como la frecuencia relativa de un sucesoalargoplazo,sinocomoelgradodeconviccinpersonalacercadequeelsucesoocurraopuedaocurrir(definicinsubjetivadelaprobabilidad).Afirmacionesdeltipo"esmuyprobablequeelpartidoXganelasprximas elecciones", "es improbable que Juan haya sido quien llam por telfono" o "es probable que seencuentre un tratamiento eficaz para el sida en los prximos cinco aos", normales en el lenguaje comn,no pueden cuantificarse formalmente; resultan ajenas, por tanto, a una metodologa que se desenvuelva enun marco frecuentista. Una cuantificacin sobre base subjetiva resulta, sin embargo, familiar y fecunda parael enfoque bayesiano. Al admitir un manejo subjetivo de la probabilidad, el analista bayesiano podr emitirjuiciosdeprobabilidadsobreunahiptesisHyexpresarporesavasugradodeconviccinalrespecto,tanto antes como despus de haber observado los datos. En su versin ms elemental y en este contexto,el teorema de Bayes asume la forma siguiente:( )( )( )( )Pr |Pr | PrPrdatos HH datos Hdatos=3Laprobabilidadapriorideunahiptesis,( ) Pr H ,sevetransformadaenunaprobabilidadaposteriori,( ) Pr | H datos ,unavezincorporadalaevidenciaqueaportanlosdatos.Elcasoconsideradosecircunscribe a la situacin ms simple, aquella en que( ) Pr Hrepresenta un nmero nico; sin embargo, siseconsiguieraexpresarlaconviccininicial(ylaincertidumbre)medianteunadistribucindeprobabilidades.Entonces una vez observados los datos, el teorema "devuelve" una nueva distribucin, que no es otra cosaque la percepcin probabilstica original actualizada por los datos.Estamaneraderazonardelainferenciabayesiana,radicalmentediferentealainferenciaclsicaofrecuentista (que desdea en lo formal toda informacin previa de la realidad que examina), es sin embargomuycercanaalmododeprocedercotidiano,einductivo.Debesubrayarsequeestametodologa,adiferencia del enfoque frecuentista, no tiene como finalidad producir una conclusin dicotmica (significacinonosignificacin,rechazooaceptacin,etc.)sinoquecualquierinformacinemprica,combinadaconelconocimientoqueyasetengadelproblemaqueseestudia,"actualiza"dichoconocimiento,ylatrascendencia de dicha visin actualizada no depende de una regla mecnica.Losmtodosbayesianoshansidocuestionadosargumentandoque,alincorporarlascreenciasoexpectativaspersonalesdelinvestigador,puedensercaldodecultivoparacualquierarbitrariedadomanipulacin.Sepodraargir,porunaparte,queelenfoquefrecuentistanoestexentodedecisionessubjetivas (nivel de significacin, usar una o dos colas, importancia que se concede a las diferencias, etc.);dehecho,lasubjetividad (algobiendiferentedelaarbitrariedadoelcapricho)esunfenmenoinevitable,especialmente en un marco de incertidumbre como en el que operan las ciencias biolgicas y sociales. Porotraparte,las"manipulaciones"sonactosdedeshonestidad,quepuedenproducirseencualquiercaso(incluyendo la posibilidad de que se inventen datos) y que no dependendelametodologaempleada sinode la honradez de los investigadores.Aunquelasbasesdelaestadsticabayesianadatandehacemsdedossiglos,noeshastafechasrecientes cuando empieza a asistirse a un uso creciente de este enfoque en el mbito de la investigacin.Una de las razones que explican esta realidad y que a la vez anuncian un impetuoso desarrollo futuro es laabsolutanecesidaddeclculocomputarizadoparalaresolucindealgunosproblemasdemedianacomplejidad. Hoy ya existe software disponible (BUGS, macros para MINITAB, prxima versin de EPIDATy First Bayes, entre otros) que hace posible operar con estas tcnicas y augura el "advenimiento de una eraBayesiana".Elprocesointelectualasociadoalainferenciabayesianaesmuchomscoherenteconelpensamientousual del cientfico que el que ofrece el paradigma frecuentista. Los procedimientos bayesianos constituyenunatecnologaemergentedeprocesamientoyanlisisdeinformacinparalaquecabeesperarunapresencia cadavezmsintensaenel campodelaaplicacindelaestadsticaalainvestigacinclnicayepidemiolgica.3. Qu es la inferencia bayesiana?Elmarcotericoenqueseaplicalainferenciabayesianaessimilaralaclsica:hayunparmetropoblacionalrespectoalcualsedesearealizarinferenciasysetieneunmodeloquedeterminalaprobabilidad de observar diferentes valores de X, bajo diferentes valores de los parmetros. Sin embargo, ladiferencia fundamental es que la inferencia bayesiana considera al parmetro como una variable aleatoria.Estopareceraquenotienedemasiadaimportancia,perorealmentesilotienepuesconduceaunaaproximacin diferente para realizar el modelamiento del problema y la inferencia propiamente dicha.Algunosejemplosquejustificanloanteriorson:laverdaderaproporcindeartculosdefectuososqueproduceunprocesodemanufacturapuedefluctuarligeramentepuesdependedenumerososfactores,laverdaderaproporcindecasasquesepierdenporconceptodehipotecavariadependiendodelascondicioneseconmicas,lademandapromediosemanaldeautomvilestambinfluctuarcomounafuncin de varios factores incluyendo la temporada.En esencia, la inferencia bayesianaestabasadaenladistribucin deprobabilidaddelparmetrodadolosdatos(distribucinaposteriorideprobabilidad ( )Pry,enlugardeladistribucindelosdatosdadoelparmetro.Estadiferenciaconduceainferenciasmuchomsnaturales,lonicoqueserequiereparaelprocesodeinferenciabayesianaeslaespecificacinpreviadeunadistribucinapriorideprobabilidad4() Pr ,lacualrepresentaelconocimientoacercadelparmetroantesdeobtenercualquierinformacinrespecto a los datos.La nocin de la distribucin a priori para el parmetro es el corazn del pensamiento bayesiano. El anlisisbayesianohaceusoexplcitodelasprobabilidadesparacantidadesinciertas(parmetros)eninferenciasbasadas en anlisis estadsticos de datos.El anlisis bayesiano lo podemos dividir en las siguientes etapas: