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Estadística: E. Letón
PROBABILIDAD
Emilio LetónDpto. Estadística, UC3M
CONCEPTOS BÁSICOS DE PROB. PROBABILIDAD CONDICIONADA
Estadística: E. Letón
¿Dónde estamos?
1988
CÁLC. P. INFERENCIADESCR.
Probabilidad1981
Estadística: E. Letón
YT: EOF
Let me sail, let me sail, let theorinoco flow,
Let me reach, let me beach on theshores of tripoli.
Carry me on the waves to the landsI’ve never been,
We can sail, we can sail...
Estadística: E. Letón
Frentes abiertos
Llegar a las poblaciones
Estadística: E. Letón
Experimento y espacio muestralSucesos
Probabilidad de un suceso
CONCEPTOS BÁSICOS DE PROB.
PROBABILIDAD CONDICIONADA
Estadística: E. Letón
CONCEPTOS BÁSICOS DE PROB.
?xi
x
Estadística: E. Letón
Experimento y espacio muestral
Experimento Espacio muestral
Obtener un dato bajo condiciones (población): determ., aleat.
E=Ω=resultados elementales
Estadística: E. Letón
Ejemplo E 1
SSFSFF Se observa una pieza si F o S
F=fallo, defectuoso; S=correctoSi el dígito se ha transmitido F o SE1=F,SDiscreto finito de 2 elementos
Estadística: E. Letón
Ejemplo E 2
FFFFSSFSSFSFSFFFFF Se observa una pieza de 3 comp.
con cada componente F o SE2=FFF,FFS,FSF,FSS,SSS,
SSF,SFS,SFFDiscreto finito de 8 elementos
Estadística: E. Letón
Ejemplo E 3
FSFSS
FFSFSS Se observa nº de veces hasta
transmitir un bit correctamenteE3=S,FS,FFS,FFFS, FFFFS,…Discreto inf. (infinito numerable)
Estadística: E. Letón
Ejemplo E 4
1174531215 Se observa el tiempo hasta
transmitir un bit correctamenteTiempo de acceso a una webE4=R+
Continuo inf. (inf. no numerable)
Estadística: E. Letón
Resumen: exp. y espacio muestral
Estadística: E. Letón
Sucesos
Cualquier subconjunto “de interés” en ELetras mayúsculas: A, B, C, D, F, …Suceso elementalSuceso complementario Suceso vacío Ø; suceso seguroOperaciones con sucesos ∩ (y), U (o)
Estadística: E. Letón
Ejemplo E 1
4
F
S
Estadística: E. Letón
Ejemplo E 2
256
F,F
,F
F,F
,S
F,S
,F
F,S
,S
S,S
,S
S,S
,F
S,F
,S
S,F
,F
Al menos dos S
Estadística: E. Letón
Ejemplo E 3
dinf
Al menos tres F
S
F,S
F,F
,S
Estadística: E. Letón
Ejemplo E 4
infnn
Estadística: E. Letón
Euler-Venn (1/2)
Leonhard Euler
(1707-1763)
A
Estadística: E. Letón
Euler-Venn (2/2)
E1, E2, E3: suceso es todo subcjto de E
E4: suceso (a,b], [a,b), [a,b], (a,b)
Estadística: E. Letón
Resumen: sucesos
Estadística: E. Letón
Operaciones de sucesos
IntersecciónUniónComplementarioDiferencia
Estadística: E. Letón
Intersección (1/3)
BA
Estadística: E. Letón
Intersección (2/3)
BA
Estadística: E. Letón
Intersección (3/3)
B
A
Estadística: E. Letón
Unión (1/3)
BA
Estadística: E. Letón
Unión (2/3)
BA
Estadística: E. Letón
Unión (3/3)
B
A
Estadística: E. Letón
Complementario
A
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Diferencia (1/4)
BA
Estadística: E. Letón
Diferencia (2/4)
BA
Estadística: E. Letón
Diferencia (3/4)
B
A
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Diferencia (4/4)
A
B
Estadística: E. Letón
Resumen: ope. de sucesos
Estadística: E. Letón
Propiedades ope. de sucesos
BásicasDistributivaLeyes de Morgan
Estadística: E. Letón
Básicas (1/2)
Estadística: E. Letón
Básicas (2/2)
Estadística: E. Letón
Distributiva (1/3)
( ) ( ) ( )CABACBA ∪∩∪=∩∪
C
BA
Estadística: E. Letón
Distributiva (2/3)
( ) ( ) ( )CABACBA ∪∩∪=∩∪
C
BA
Estadística: E. Letón
Distributiva (3/3)
( ) ( ) ( )CABACBA ∪∩∪=∩∪
Estadística: E. Letón
Leyes de Morgan (1/3)
BA
BABA ∩=∪
Estadística: E. Letón
Leyes de Morgan (2/3)
BA
BABA ∩=∪
Estadística: E. Letón
Leyes de Morgan (3/3)
BABA ∩=∪
Estadística: E. Letón
Resumen: prop. ope. de sucesos
Estadística: E. Letón
Probabilidad de un suceso
E2=FFF,FFS,FSF,FSS,SSS,SSF,SFS,SFF
FFF n1 n1/nFFS n2 n2/nFSF n3 n3/nFSS n4 n4/nSSS n5 n5/nSSF n6 n6/nSFS n7 n7/nSFF n8 n8/n
Estadística: E. Letón
Fermat
Fermat
(1601-1665)
Fermat Pascal Probability
Estadística: E. Letón
Laplace
Laplace
(1749-1827)
Estadística: E. Letón
Kolmogorov
Kolmogorov
(1903-1987)
Estadística: E. Letón
Resumen: prob. de un suceso
Estadística: E. Letón
Prop. probabilidad
( ) 10 ≤≤ AP
Estadística: E. Letón
( ) ?=AP
Complementario
Estadística: E. Letón
( ) ?=∅P
Vacío
Estadística: E. Letón
( ) ?=− BAP
Diferencia
Estadística: E. Letón
¿Unión / Intersección?
La prob. de lluvia el sábado es del 50%La prob. de lluvia el domingo es del 50%Entonces la probabilidad de que llueva el fin de semana es del …
Estadística: E. Letón
( ) ?=∪BAP
Unión (1/2)
Estadística: E. Letón
( ) ?=∪∪ CBAP
Unión (2/2)
Estadística: E. Letón
( ) ?=∩BAP
Intersección
Estadística: E. Letón
Sucesos elementales
( ) ?=AP
( ) ( )∑=⇒=i
ii
i aPAPaASi U
Estadística: E. Letón
Espacios equiprobables
( )ni
n
ii ePeE 1
1
=⇒==U
( ) ( ) ( )( )Ecard
AcardAcard
nAP == 1
Estadística: E. Letón
Resumen: propiedades
Estadística: E. Letón
Combinatoria
Si una elección tiene M alternativas y otra elección N → La realización de ambas
admite MN alternativas.
Regla del producto
Estadística: E. Letón
Ejemplo 1
5 camisetas y 4 pantalones
Estadística: E. Letón
Ejemplo 2
Ordenaciones distintas con 1, 2, …n
Estadística: E. Letón
Ejemplo 3
De un conjunto de n elementos, subconjuntos de m elementos
Estadística: E. Letón
Resumen: combinatoria
Estadística: E. Letón
Binomio de Newton
Estadística: E. Letón
n=3
Estadística: E. Letón
n cualquiera
Estadística: E. Letón
Ejemplo
¿Cuántos subcjtos se pueden formar de un conjunto de n elementos
Estadística: E. Letón
Resumen: binomio de Newton
Estadística: E. Letón
IndependenciaTeorema de la probabilidad total
Teorema de Bayes
PROBABILIDAD CONDICIONADA
CONCEPTOS BÁSICOS DE PROB.
Estadística: E. Letón
PROBABILIDAD CONDICIONADA
Manejando información extra
Sabiendo que …
( ) ( )( ) ( ) 0: >= BPsiBP
BAPBAP I
Estadística: E. Letón
Independencia
A y B son independientes siiP(A|B)=P(A) y P(B|A)=P(B)
Estadística: E. Letón
Caracterización
A y B son independientes si y solo si P(A∩B)=P(A)P(B)
Estadística: E. Letón
Intuición
Estadística: E. Letón
Ejemplo
La probabilidad de cometer un error en un “movimiento” es del 0,01.
Si se hacen 100 movimientos, ¿cuál es la probabilidad de cometer al menos un error?
Estadística: E. Letón
Ejemplo (cont)
Estadística: E. Letón
Resumen: independencia
Estadística: E. Letón
Teorema de la probabilidad total
( ) ?=AP
( )jBAP ( )jBP
Estadística: E. Letón
Enunciado
dosadosdisjtosBESiJ
jjU
1==
( ) ( ) ( )∑=
=⇒J
jjj BPBAPAP
1
Estadística: E. Letón
Demostración (1/2)
( ) =AP
disjtosBBE 21 ∪=
Estadística: E. Letón
Demostración (2/2)
Estadística: E. Letón
Resumen: teorema de la Prob. Tot.
Estadística: E. Letón
Teorema de Bayes
( )rBP
( ) ?=ABP r
( )rBAP
Bayes
(1702-1761)
BAYES BIOGRAPHY
Estadística: E. Letón
Enunciado
( )ABPadtosBE r
J
jj |22
1
⇒==U
( ) ( )( ) ( )∑
=
=J
jjj
rr
BPBAP
BPBAP
1
Estadística: E. Letón
Demostración (1/2)
( ) =ABP r |
Estadística: E. Letón
Demostración (2/2)
( ) =ABP r |
Estadística: E. Letón
Resumen: teorema de Bayes
Estadística: E. Letón
Webgrafía: web de la asignatura
Software; Prácticas; ABP; Autoevaluación; Ejercicios; Mini-Vídeos; CPC; Tutorías; Webgrafía