estadistica-i3

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERA

UNI- NORTE - SEDE REGIONAL Estel, Nicaragua

Estadstica Bsica para Ingenieros 15/07/2009

Luis Mara Dicovskiy Riobo

UNI Norte

Estadstica Bsica para Ingenieros Luis Mara Dicovskiy Riobo

2

ndice

Introduccin ............................................................................................................. 4

Unidad I. Estadstica Descriptiva ............................................................................. 5

1.1 Introduccin Unidad I ............................................................................................. 5

Objetivos ...................................................................................................................... 5

1.2 Anlisis de datos .................................................................................................... 7

Principios a utilizar al construir una Tabla de Distribucin de Frecuencias, TDF. . 13

Grficos .................................................................................................................. 16

Grficos Multivariados ............................................................................................ 20

1.3. Medidas de Tendencia Central ........................................................................... 22

Media Aritmtica..................................................................................................... 22

La Mediana ............................................................................................................ 24

La Moda ................................................................................................................. 25

Otras medidas de tendencia central. ...................................................................... 27

La Media Geomtrica. ............................................................................................ 27

La Media Cuadrtica. ............................................................................................. 27

Cuartiles, Deciles y Percentiles. ............................................................................. 27

1.4 Medidas de Dispersin o de Variabilidad ............................................................. 28

El Rango. ............................................................................................................... 29

El Desvo Estndar................................................................................................. 29

La Varianza. ........................................................................................................... 31

El Coeficiente de variacin ..................................................................................... 31

1.5 Otras medidas tiles en Estadstica Descriptiva. ................................................. 32

La Asimetra o Sesgo. ............................................................................................ 32

La Curtosis. ............................................................................................................ 33

1.6 Muestras y Poblacin. .......................................................................................... 34

Muestreo Aleatorio Simple ..................................................................................... 35

Muestreo Estratificado ............................................................................................ 37

Muestreo por Conglomerados ................................................................................ 38

Muestreo Sistemtico ............................................................................................. 39

Unidad 2. Teora Elemental de Probabilidades ..................................................... 41

2.1 Introduccin a las Probabilidades ........................................................................ 41

2.2 Trminos Bsicos. ............................................................................................... 41

Objetivos .................................................................................................................... 41

2.3 Propiedades de la Probabilidad ........................................................................... 42

Regla del producto. ................................................................................................ 42

Regla de la Suma. .................................................................................................. 43

2.4 Probabilidad condicionada ................................................................................... 44

2.3 Teorema de Bayes............................................................................................... 46

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Regla de la probabilidad total ................................................................................. 46

Planteo del Teorema de Bayes .............................................................................. 47

2.4 Tcnicas de conteo: Combinaciones y Permutaciones ....................................... 50

Unidad 3. Variables aleatorias y sus distribuciones. ............................................. 52

3.1 Distribuciones de Frecuencia, Introduccin. ....................................................... 52

Objetivos .................................................................................................................... 52

3.2 Variables aleatorias. ............................................................................................ 53

Funcin de densidad de probabilidad..................................................................... 54

Distribucin acumulativa o funcin de distribucin ................................................. 56

Parmetros caractersticos de una funcin de densidad de probabilidad. ............. 57

El Desvo Estndar y el Teorema de Chebyshev ................................................... 59

3.3 Distribucin Normal ............................................................................................. 60

3.4 Distribucin t de Student. .................................................................................. 64

3.5 La distribucin X2 de Pearson. ............................................................................ 65

3.6 La distribucin F de Fisher. ............................................................................... 66

3. 7 La distribucin Binomial. ..................................................................................... 68

3.8 Distribucin de Poisson ....................................................................................... 71

Unidad 4. Estimacin y prueba de hiptesis. ......................................................... 73

4.1 Estimacin por Intervalos de Confianza. .............................................................. 73

Objetivos .................................................................................................................... 73

4.2 Generalidades de las pruebas de Hiptesis ........................................................ 75

4.3 Prueba de hiptesis con pruebas t .................................................................... 77

La media de una muestra pertenece a poblacin con media conocido. ................. 77

Dos medias tomados en una misma muestra, en momentos diferentes, son

iguales. ................................................................................................................... 79

Las medias de dos muestras o grupos pertenecen a una misma poblacin. ......... 79

Bibliografa y Documentos Consultados ................................................................ 81

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Introduccin

Este texto bsico de estadstica est diseando y organizado en funcin del contenido

de la mayora de los temas que se aborda en las asignaturas de Estadstica I y

Estadstica II que se imparte en las carreras de Ingeniera en Sistemas, Civil, Industrial

y Agroindustrial de la Universidad Nacional de Ingeniera, UNI, de Nicaragua. Sin

embargo por su forma sencilla y asequible con que se trat de abordar los diferentes

temas, este texto puede ser til en cualquier otra carrera universitaria.

Este libro tiene un enfoque utilitario, prctico, respetando el principio que la Estadstica

debe ser una herramienta fundamental para describir procesos y tomar decisiones en el

trabajo cotidiano de un Ingeniero. En el mismo se trat de romper la dicotoma entre

teora y realidad, respondiendo permanentemente a la pregunta Cundo puedo usar

esta teora? Qu me permite conocer o responder la misma?

Es por lo anterior, respetando el principio de asequibilidad es que buena cantidad de

los ejercicios fueron generados en el aula con la informacin que tienen los estudiantes

mano. Creo que la estadstica no puede funcionar si primero no se sabe como generar

el dato, y como organizar la informacin en forma de matriz de datos y que estos luego

puedan ser analizados usando un programa estadstico computacional.

Para hacer los ejercicios de este texto y construir grficos digitales se sugiere utilizar el

programa estadstico INFOSTAT, el cual dispone de una versin de uso libre que se

puede descargar gratuitamente desde la pgina www.infostat.com.ar .

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Unidad I. Estadstica Descriptiva

Reflexin sobre el uso de la estadstica

Introduccin a la recoleccin de datos

Construccin de concepto bsicos

Explicar los diferentes tipos de medidas

Construir Distribuciones de Frecuencia.

Realizar los tipos de Grficos ms comunes

Construir medidas de tendencia central

Construir medidas de variabilidad

Utilizar las medidas en el anlisis de datos

Explicar principio bsicos de muestreo

1.1 Introduccin Unidad I

La estadstica, es una ciencia relativamente nueva pero con miles de aos de uso

emprico, Mara y Jos parten de Nazaret a Beln para ser censados por los romanos.

Hace 2000 aos ste imperio llevaba un control estadstico de lo que posean sus

colonias para luego cobrar impuestos En la actualidad los procedimientos estadsticos

son de particular importancia en las ciencias biolgicas y sociales para reducir y

abstraer datos. Una definicin que describe la estadstica de manera utilitaria es la que

dice que es: un conjunto de tcnicas para describir grupos de datos y para tomar

decisiones en ausencia de una informacin completa. La estadstica a diferencia de la

matemtica no genera resultados exactos, los resultados siempre tienen asociada un

grado de incertidumbre o error. La estadstica trata de lograr una aproximacin de la

realidad, la cual es siempre mucho ms compleja y rica que el modelo que podemos

abstraer. Si bien esta ciencia es ideal para describir procesos cuantitativos, tiene serios

problemas para explicar el porqu cualitativo de las cosas

Objetivos

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En general podemos hablar de dos tipos de estadsticas, las descriptivas que nos

permiten resumir las caractersticas de grandes grupos de individuos y las

inferenciales que nos permite dar respuestas a preguntas (hiptesis) sobre poblaciones

grandes a partir de datos de grupos pequeos o muestras.

Construccin de Variables a partir de informacin.

Para poder analizar datos, ya sea de forma manual o por computadora, hay que

entender que trataremos a partir del estudio de la realidad observable crear un

modelo numrico terico donde se estudian variables para describirlas y analizar sus

relaciones. Para hacer esto primero es necesario definir algunos trminos tericos.

Variable: es una caracterstica observable de un objeto y que vara. Las variables se

pueden clasificar de diferentes maneras, un enfoque es reconocer dos grandes grupos

de variables las Cualitativas y Cuantitativas.

Variables Cualitativas, son aquellas que se ordenan en categoras debido a su

carcter subjetivo y absoluto, pueden ser de dos tipos nominales, u ordinales. En las

variables nominales los valores no pueden ser sometidos a un criterio de orden o

importancia como por ejemplo el sexo de una persona o el pas de origen. Las

variables ordinales pueden tomar distintos valores ordenados siguiendo una escala

establecida, aunque no es necesario que el intervalo entre mediciones sea uniforme,

por ejemplo: leve, moderado, grave.

Variables Cuantitativas, son las que sus caractersticas estn expresadas en valores

numricos, stas asumen cualquier valor y pueden variar en cualquier cantidad, sobre

una escala aritmtica e infinita y pueden subdividirse en dos tipos continuas o

medibles y discretas o contables.

Las variables continuas pueden adquirir cualquier valor dentro de un intervalo

especificado de valores, permite siempre que se encuentre un valor nuevo entre dos

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valores previos. El rendimiento de un lote de frjol se mide en qq/mz es una variable

continua, se mide o pesa.

Las variables discretas presentan interrupciones en la escala de valores que puede

tomar. Estas separaciones o interrupciones indican la ausencia de valores entre los

distintos valores especficos que la variable pueda asumir por nmero de miembros de

una familia es una variable discreta, se cuenta y entre dos personas no hay un valor

intermedio, no existe 1.5 personas .

Las variables generan datos, con ellos se hace la estadstica y cada uno de stos

ocupa una celda de una matriz o base de datos. La Matriz de datos es un

ordenamiento de datos en fila y columnas donde cada fila es un individuo, una parcela,

una muestra, una unidad experimental o una encuesta determinada y cada columna:

una variable. Los programas Access, Excel, Infostat y SPSS ordenan los datos en

forma de matriz. Por ejemplo en una encuesta (cuestionario) cada pregunta que se

tiene, genera al menos, una variable generalmente discreta. Hay casos donde una

pregunta puede generar muchas variables de tipo dicotmico, SI- NO, que se suele

codificar como 1= SI y 0= NO.

Ejercicio 1.1: Construya variables relacionadas con su carrera, 5 nominales, 5

ordinales, 5 continuas y 5 ordinales.

Ejercicio 1.2 Clasifique las siguientes variables.

Peso de un estudiante.

Dimetro de una casa.

Color de ojos.

Tipo de techo.

# de ladrillos de una pared.

Belleza de una flor.

Temperatura semanal.

Largo de peces de un estanque.

1.2 Anlisis de datos

A partir de la realidad observable se debe crear un modelo

numrico terico para intentar estudiar sta realidad

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Una vez que los datos se han codificado, transferidos a una matriz y guardado en una

computadora podemos proceder a analizarlos, proceso que se hace con un programa

estadstico como SPSS o INFOSTAT, de forma manual solo se pueden manejar pocos

datos y variables es por ello que el nfasis de este libro est ms en la interpretacin

de resultados que en los procedimientos de clculo.

El procedimiento de anlisis sugerido se esquematiza en la figura siguiente:

En general el investigador debe buscar de primero cmo describir sus datos y

posteriormente efectuar el anlisis estadstico para relacionar las variables generadas.

Los tipos de anlisis son variados y cada mtodo tiene su razn de ser un propsito

especfico, la estadstica no es un fin en s misma, sino una herramienta para analizar

datos.

Los principales anlisis que pueden efectuarse son:

Estadstica descriptiva de las

variables.

Pruebas de hiptesis para la toma de

decisiones.

Una primera tarea luego de construir una tabla o matriz de datos, es explorarlos

buscando informacin atpica o anormal y corregir los casos que la informacin atpica

se deba a una mala digitacin o error en la recoleccin de datos.

Creacin de la matriz de datos

Definicin de anlisis a realizar

Ejecucin de anlisis en

computadora

Interpretacin de resultados

la estadstica est ligada a la toma,

organizacin, presentacin y anlisis de

un grupo de datos.

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Lo siguiente para observar el comportamiento de los datos es realizar una distribucin

frecuencias en forma de tabla y grficos. Para esto, los datos se agrupan en clases o

categoras y para grupo se calcula las frecuencias absolutas y relativas.

En este momento es importante poder definir el tipo de escala de medicin usada,

sucesin de medidas que permite organizar datos o para agrupar los datos, en este

sentido se pueden reconocer diferentes escalas:

Las Escalas Nominales, son discontinuas y se usan cuando describimos algo

dndole un nombre a cada categora o clase y estas son mutuamente excluyentes.

A cada categora se le adjudica un valor numrico. Por ejemplo la variable sexo

donde varn = 1 y mujer = 2.

Las Escalas Ordinales, son discontinuas y se usan donde hay un orden jerrquico

de un conjunto de objetos o eventos con respecto a algn atributo especfico, por

ejemplo ordenar los ingresos en tres niveles: alto =1, medio = 2 y bajo = 3. Las Escalas de Intervalos Iguales, estas pueden ser sumadas, restadas

multiplicadas y divididas sin afectar las distancias relativas entre las calificaciones.

Por ejemplo las medidas de temperatura en Grados C0, las calificaciones de un

examen en una escala de 1 a 100. En esta escala el 0 es arbitrario y no

necesariamente representa ausencia, tambin nos dice que un valor de 30 puntos

de un examen de espaol no necesariamente representa la mitad de conocimiento

de un valor de 60 puntos.

Las Escala de Razn Constante, tienen todas las propiedades de las Escalas de

intervalos ms un cero absoluto, por ejemplo las medidas de tiempo, peso y

distancia, el valor 0 representa ausencia del valor.

Un caso especial de escala ordinal es la escala de Likert, esta escala es muy usada en

las ciencias sociales y se usa para medir actitudes, Una actitud es una predisposicin

aprendida par responder consistentemente de una manera favorable o desfavorable

ante un objeto de sus smbolos. As las personas tenemos actitudes hacia muy

diversos objetos o smbolos, por ejemplo: actitudes hacia la poltica econmica, un

profesor, la ley, nosotros, etc. Las actitudes estn relacionadas con el comportamiento

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que mantenemos. Estas mediciones de actitudes deben interpretarse como sntomas

y no como hechos. Esta escala es bipolar porque mide tanto el grado positivo como

negativo de cada enunciado y consiste en un conjunto de tem presentado en forma de

afirmaciones o juicios ante los cuales se pide reaccin a los sujetos en estudio en una

escala de 5 puntos, cada punto tiene un valor numrico. Un ejemplo de cmo calificar

con afirmaciones positivas es Le gusta cmo se imparte la clase de estadstica?:

1- Muy en desacuerdo, 2- En desacuerdo, 3- Ni de acuerdo, ni en desacuerdo,

4- De acuerdo, 5-Muy de acuerdo.

Estar de acuerdo con la idea presentada significa un puntaje mayor.

Ejercicio 1.3: entre los participantes de la clases tomar datos de 15 variables al

menos por ejemplo: Edad, Sexo, Procedencia, etc. Y luego ordnelos en forma de

matriz de datos, recodifique la informacin cualitativa en numrica.

Organizacin de una matriz de informacin a partir de un cuestionario.

Una encuesta impersonal con preguntas cerradas es una manera de recolectar mucha

informacin rpidamente que luego se puede codificarla fcilmente, la debilidad de este

instrumento es que no siempre la gente responde adecuadamente y que las

respuestas generadas se limitan a las opciones previamente definidas y la experiencia

nos dice que la realidad es mucho ms rica que lo que creemos ocurre a priori. Para

los que trabajan con entrevistas hay que saber que tambin la informacin que se

genera de las entrevistas puede luego tabularse numricamente de la misma manera

que una encuesta.

Encuestas o Cuestionarios: Al disear una encuesta esta debe ayudar a responder a

las preguntas que genera la hiptesis del trabajo, un error comn es hacer una

encuesta primero y luego que se han recolectado los datos, se solicita a un estadstico

que no ayude a analizar la informacin, la lgica es al revs se debe pensar como se

analizar la informacin desde el mismo momento que se disea la encuesta. Se

sugiera que las variables cualitativas (ej. nombres) se deben recodificar al momento

del llenado de la base de datos creando variables numricas discretas, por ej. Si

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quiero clasificar la becas que otorga una Universidad puedo codificar a estas de la

siguiente manera: Beca interna =1, Beca externa =2 y No beca =0.

Si las opciones que genera una variable discreta permite hacer combinaciones de las

respuestas se sugiere crear muchas variables dicotmicas del tipo Si o No (1,0).

Veamos un ejemplo: Si se pregunta: que prcticas de en los cultivos realiza un

campesino, estas pueden ser varias y combinadas como: Insecticidas Botnicos,

Trampas amarillas, Barreras vivas, Semilla resistente etc. En este caso lo que se hace

es generar un variable del tipo 0-1 para cada opcin de prctica de cultivo, generando

muchas variables en una sola pregunta.

Para crear una base de datos hay que recordar que se est obteniendo una matriz de

datos donde en la primera fila se tiene el nombre abreviado de la variable y en el resto

de las filas los datos para cada encuesta o individuo en estudio. Las variables

cualitativas se deben recodificar, veamos el siguiente ejemplo hipottico de 8

encuestas:

Encuesta Sexo Edad Ingresos

semanales C$

Comunidad Labor

realizada

1 1 31 1,394 2 3

2 1 35 1,311 4 2

3 1 43 1,300 2 3

4 1 28 1,304 3 1

5 2 45 1,310 1 3

6 2 36 1,443 2 2

7 2 21 1,536 2 3

8 2 32 1,823 1 3

Esta matriz se codifica as: la variable Sexo: 1= varn, 2 = mujer. Para la variable

comunidad hay 4 tipos diferentes donde: 1= Estel, 2= Condega, 3= Pueblo Nuevo y

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4= Limay y para Labor realizado: 1= en otra finca, 2= en la cuidad y 3= en la propia

finca.

De esta manera se transforma en datos numricos una informacin descriptiva, estos

nmeros permiten luego hacer estadstica.

Ejercicio 1.4: Intente codificar numricamente las respuestas que se generan a partir

de la encuesta de caracterizacin socioeconmica, que a continuacin se detalla,

discuta las posibles respuestas, diga si las preguntas estn bien formuladas, sugiera si

alguna de ellas est de ms y que preguntas propone para completar la informacin.

Hoja de Encuesta

Nmero de ficha___________

Fecha: ______________________________________________________

Primer Apellido_______________________________________________

Segundo Apellido______________________________________________

Nombres:_____________________________________________________

Ao____________

Direccin: _____________________________________________________

Estado Civil: ____________

Nmero de personas que habitan la vivienda__________________________

Nivel de estudio de ellos__________________________________________

Edad de cada una de ellos_________________________________________

Profesin: _____________________________________________________

Ejercicio 1.5:

Defina variables para caracterizar a los estudiantes del curso con el objetivo de

determinar posibles causas que tengan influencia en el rendimiento acadmico

del grupo.

Cree una base de datos de al menos 25 individuos. Ver ejemplo.

Ejemplo de una matriz de datos generados con datos de estudiantes.

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Cdigos: Estado Civil: 1 Soltero, 2 Casado; Origen: 1 Estel, 2 No Estel; Sexo: 1

Varn, 2 Mujer; Becas: 1 Si 2 No; Opinin: 1 Negativa 5 Positiva

GENERACION DE DATOS

NOMBRE NOTAS Prom.

EST ADO CIVIL

EDAD ALTU RA

SEXO PESO origen INGRESO FAMI LIAR

BE CAS

Opinin

Abel 74 2 25 1.75 1 140 2 1 0 3

Adely 70 2 18 1.55 2 110 1 1 0 3

Alexis 80 2 24 1.85 1 150 1 1 1 2

Aracely 70 2 20 1.54 2 117 1 1 1 4

Candelario 78 1 24 1.65 1 150 2 1 0 5

Carlos 85 2 19 1.8 1 150 1 2 0 5

Cesar 70 2 19 1.7 1 140 2 1 0 5

Cleotilde 75 1 20 1.5 2 112 1 1 1 1

Danny T 70 2 18 1.7 1 160 1 1 0 4

Danny 85 2 18 1.67 1 120 2 1 0 4

David N 77 2 18 1.63 1 135 1 1 0 2

Deice 75 2 20 1.52 2 110 1 1 1 3

Edwin 80 1 18 1.75 1 110 1 1 0 3

Ronal 80 2 21 1.73 1 160 2 1 0 3

Sara 80 2 17 1.6 2 114 2 1 0 2

Sayda 78 2 18 1.5 2 128 2 1 0 5

Seyla 75 2 20 1.7 2 120 1 1 1 5

Tania 90 2 19 1.65 2 130 2 1 0 4

Uriel 70 2 22 1.65 1 140 2 1 0 2

Yilmar 78 2 18 1.8 1 174 2 2 0 4

Principios a utilizar al construir una Tabla de Distribucin de Frecuencias, TDF.

Aunque esta tabla sirve para resumir informacin de variables discretas continuas, de

manera particular la TDF permite transformar una variable continua, a una variable

discreta definida por el nmero de intervalos y su frecuencia. Esta transformacin

permite construir grficos de histogramas o polgonos. Con Variables continuas como

(peso, altura, produccin / superficie, etc.) el recorrido de la variable se parte en

intervalos semiabiertos, las clases.

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14

Lo primero para construir una TDF es definir el nmero de clases intervalos a crear

y el intervalo o ancho de cada intervalo. Para que los grficos permitan visualizar

tendencias de la variable en estudios, el nmero de clases se recomienda que no sean

menor de 5 ni mayor de 20. Al ancho de clase se calcula dividiendo el Rango (valor

mayor valor menor), con un valor que debe variar entre 5 y 20. Hay que utilizar ms

clases cuando se tiene ms datos disponibles, si el nmero de clases es muy grande

es posible tener muchas clases vacas, si es demasiado pequeo podran quedar

ocultas caractersticas importantes de los datos al agruparlos. Se tendra que

determinar el nmero de clases a partir de la cantidad de datos presente y de su

uniformidad, en general con menos de treinta datos se usa una TDF con 5 clases.

El valor central de una clase se llama marca de clase, este valor se usa para construir

los grficos de polgonos de frecuencia. Veamos un ejemplo de cmo se construye una

Tabla de Distribucin de Frecuencias. Es importante resaltar que con las variables

nominales no se construyen intervalos, lmites marcas de clase, esto no tiene sentido

con este tipo de variable.

Ejemplo con Datos de ingresos de 24 familias. Variable: Ingresos semanales en C$

por familia, n = 24 datos.

1,450 1,443 1,536 1,394 1,623 1,650

1,480 1,355 1,350 1,430 1,520 1,550

1,425 1,360 1,430 1,450 1,680 1,540

1,304 1,260 1,328 1,304 1,360 1,600

Secuencia de actividades

Se calcula el Rango de los datos, valor mayor menos valor menor: 1680- 1,260 =

420 C$.

Ancho de clase: El rango se divide en cuatro, 420/4= 105 C$, se ajusta a 100 C$ y

de esta manera el nmero de clases queda en cinco.

Se construye los lmites inferiores y superiores de cada clase como intervalos

semiabiertos,

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15

Luego se cuentan las frecuencias por clase, esto es la Frecuencia Absoluta

Se calcula la Frecuencia Relativa (Frecuencia Absoluta / n)

Se hace Frecuencia Acumulada. que es la suma de las frecuencias absolutas.

Tambin se pueden hacer las frecuencias expresadas en porcentajes.

Tabla de Distribucin de frecuencias, TDF.

Clase Lmite Inferior

Igual a

Lim. Superior

Menor a

Marca de

clase

Frecuencia

Absoluta

Frecuencia

Relativa

Frecuencia

Acumulada

1 1,200

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16

1. Por medio de un grfico de Barras con variables nominales.

2. Con un Histograma con variables continuas.

3. Un polgono de Frecuencias cuando se quieren mostrar las frecuencias absolutas.

4. Con un grfico de Pastel cuando se tienen porcentajes o proporciones.

Ejercicio 1.6 Realizar una tabla de frecuencias con una variable discreta (contable) y

una variable continua (medible) de la matriz generada con los datos obtenidos en clase.

Ejercicio 1.7. Realizar un grfico de barras y un grfico de Pastel a partir de los datos

recolectados.

Grficos

Los grficos nos permiten presentar la informacin que san los datos de manera

resumida y grfica, fcil de entender. Los grficos pueden ser univariados, bivariados y

multivariados, segn el nmero de variables involucradas.

Grficos univariados, Ejemplo de edad de una muestra de personas, datos presentados

en forma de Histograma de frecuencias. En este grfico las barras se encuentran

unidas, no habiendo espacio entre las barras. Para su construccin primero se tiene

que hacer una tabla de distribucin de frecuencias, TDF, donde se precisen los lmites

reales de frecuencia, que se usan para construir las barras. El centro de cada barra es

la marca de clase, esta medida se usa para construir polgonos.

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17

Histograma de Frecuencias absolutas, de la edad, de una muestra de personas

de una comunidad rural del Departamento de Estel. 2008.

Este grfico univariado se acompaa de estadstica descriptiva como medias,

medianas, desvos estndares e intervalos de confianza.

Grfico de Pastel o Sectores Ejemplo del nivel de educacin, de una muestra de

598 personas de origen rural, obtenido como salida de un anlisis con SPSS. Este

Grfico es creado con frecuencias y porcentajes, permite resaltar segmentos de clases

determinadas.

Edad

908580757065605550454035302520151050

Fre

cu

enc

ia d

e p

ers

onas

40

30

20

10

0

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18

Grfico de pastel o sectores.

Grfico de Barras bivariado. Ejemplo de las notas de tres asignaturas presentadas

en forma de barras. Este resume la media de notas obtenido por asignatura. Entre

barra y barra hay un espacio. El grfico observado a continuacin se construy con

una variable nominal, asignatura y una variable continua, nota.

19%

15%

21%

45%

otros

ninguno

secundaria

primaria

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19

Asignatura

AlgebraProgramacinContabilidadMatematica

No

ta P

rom

ed

io

75.5

75.0

74.5

74.0

73.5

73.0

72.5

72.0

72.5

75.2

73.0

73.5

Polgono de Frecuencias Ejemplo de un donde se grafica en el tiempo el desarrollo

de una enfermedad, tizn temprano, en el follaje de las platas de tomate. Este polgono

se construye con los valores medio de cada clase, Marca de clase y las frecuencias por

clase.

El Polgono es una lnea quebrada que se construye uniendo los puntos

medios en la parte superior de cada barra, marca de clase de un

histograma

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20

Das despues del trasplante

76696255484134272013

% D

esa

rro

llo d

e T

iz

n

en

To

ma

te

30

20

10

0

Polgono de frecuencias acumuladas, en porcentaje del desarrollo de una

enfermedad fungosa, en plantas de tomate.

Grficos Multivariados

Grfico de Barras que incorpora 4 variables dicotmicas (sino)

Este tipo de grfico permite

resumir de manera muy

eficiente la informacin de

hasta 6 o 7 variables. Es

ideal para usar con

escalas de opinin como la

escala Likert o variables

dicotmica, SI y NO.

Telfono

Asistencia Mdica

Agua Potable

Electricidad

Escuela Cercana

Po

rce

ntje

de

re

sp

ue

sta

afirm

ati

va

120

100

80

60

40

20

0

19

30

43

98

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Grfico De Barras, Bivariado en Cluster o Agrupamientos

Grfico bivariado, que se puede acompaar de una tabla cruzada de frecuencias y

porcentajes con una prueba estadstica X2 de independencia.

Grfico Bivariado De Barras Apiladas

Grfico bivariado

que reduce el

nmero de barras y

por lo tanto se

simplifica el diseo.

Se puede construir

con frecuencias o

porcentajes

Nivel educativo

solo leeunivers itariosecundariaprimaria

Po

rce

nta

je

50

40

30

20

10

0

Sexo

varn

mujer

13

23

41

89

19

46

Sexo

mujervarn

Ca

ntid

ad

de

en

tre

vis

tad

os

140

120

100

80

60

40

20

0

Rol en la familia

hijo/a

madre

padre

jefe de familia

62

79

2822

1015

UNI Norte


22

1.3. Medidas de Tendencia Central

Al forjarnos una imagen mental de la distribucin de frecuencias de un conjunto de

mediciones, una de las primeras apreciaciones descriptivas de inters es una medida

de tendencia central, es decir, una que localiza el centro de la distribucin.

Una de las medidas de tendencia central ms comn y til es la media comn o media

aritmtica, pero tambin son de importancia, segn las circunstancias y el tipo de

variables la moda y la mediana. Otras medidas de tendencia central menos usadas

son la media geomtrica y la media cuadrtica.

La sumatoria, un concepto bsico introductorio:

En matemtica, el smbolo Griego en mayscula se utiliza para indicar sumatoria de

datos donde:

Siendo x un valor de una medicin de la variable en estudio e i un ndice que vara

de 1 a n .El nmero de datos de la muestra se identifica con la letra n.

Media Aritmtica

La media aritmtica o simplemente media de un conjunto de mediciones es la medida

de tendencia central ms usada y conocida. Esta medida se simboliza como x (x con

raya) cuando representa la media muestral y como (letra griega minscula) para

Un Grfico permite ver rpidamente lo que nos dicen los

datos

1 = x1 +x2 +x3 +x4 +.......+ xn

UNI Norte


23

representar la media poblacional. x o es la suma de todos los valores de la

muestra o poblacin divididos por el nmero de casos. En el caso de la media muestral

esta es igual a: x (x1 + x2 + x3 ++ xn)/ n donde n es el nmero de datos de la

muestra y x el valor numrico del dato. La frmula simplificada de la media es:

x = (n

x1

i / n), donde representa la letra griega sigma que en matemticas es el

smbolo de sumatoria de datos, el subndice i es un valor que vara desde 1 a n.

Cuando se tienen datos agrupados en una distribucin de frecuencias se obtiene el

punto medio de cada intervalo y se determina media de la siguiente manera:

= 1

Donde f es la frecuencia de la clase y x el punto medio de cada intervalo.

Una debilidad de la media aritmtica es que es sensible a valores extremos de la

distribucin y que carece de sentido para variables medidas con un nivel nominal u

ordinal.

Ejemplo de clculo de una media.

Si tengo la nota de un examen de matemticas de 10 estudiantes en una escala de 1 a

100 donde:

Estudiante Variable Nota = xi Valor de xi Luis X1 62

Alberto X2 68

Juan X3 92

Pedro X4 88

Roberto X5 55

Mara X6 79

=

Media Aritmtica

UNI Norte


24

Raquel X7 89

Luisa X8 92

Rosa X9 67

Diana X10 69

i

x10

1= 761.

En este caso i varia de 1 a 10.

Media de notas de los estudiantes = i

x10

1/10 = 761/10 = 76.1

La Mediana

La segunda medida de tendencia central es la mediana. La mediana m de un conjunto

de mediciones x1, x2, x3,...., xn es el valor de x que se encuentra en el punto medio o

centro cuando se ordenan los valores de menor a mayor.

Si las mediciones de un conjunto de datos se ordenan de menor a mayor valor y n es

impar, la mediana corresponder a la medicin con el orden (n + 1) / 2. Si el nmero

de mediciones es par, n = par, la mediana se escoge como el valor de x a la mitad de

las dos mediciones centrales, es decir como el valor central entre la medicin con

rango n/2 y la que tiene rango (n/2) + 1.

Ejemplo de clculo de una mediana.

En el ejemplo de las notas de matemticas la mediana se construye ordenando los

datos de menor a mayor:

Estudiante Datos ordenados Valor de xi Roberto 1 55

Luis 2 62

Rosa 3 67

Alberto 4 68

Diana 5 69

Mara 6 79

Pedro 7 88

Reglas para calcular la mediana

Ordenar las mediciones de menor a mayor

Si n es impar, la mediana m es la medicin con rango (n + 1) / 2

Si n es par, la mediana m es el valor de x que se encuentra a la mitad

entre la medicin con rango n / 2 y la medicin con rango (n /2)+1.

UNI Norte


25

Raquel 8 89

Juan 9 92

Luisa 10 92

Como n es par, la mediana es igual a la mitad entre la medicin con rango n / 2 y la

medicin con rango (n/2) +1, donde n / 2 = 5 y (n /2) +1)= 6.

El dato 5 vale 69 y el dato 6=79, entonces la mediana es igual a 69 + 79 / 2= 74

En este ejemplo la mediana es semejante a la media.

La Moda

La moda es la medida de tendencia central ms fcil de calcular y tambin es la ms

sujeta a fluctuaciones cuando cambian unos pocos valores de la distribucin. Por esta

razn la moda se suele usar para una evaluacin rpida de la tendencia central. La

moda se define como el valor ms frecuente de una distribucin. En una tabla de

frecuencias, la frecuencia mayor es la que contiene a la moda. Esta medida se usa ms

y tiene ms sentido cuando se describen datos nominales, de hecho es la nica medida

de tendencia central que funciona con este tipo de escala.

Comparaciones entre las diferentes medidas.

Las tres medidas de tendencia central, la media, mediana y moda, no son igualmente

tiles para obtener una medida de tendencia central. Por el contrario, cada una de

estas medidas tiene caractersticas que hacen que su empleo sea una ventaja en

ciertas condiciones y en otras no.

La media es la medida de tendencia central, generalmente ms usada y tiene la

caracterstica que incorpora todos los datos de la variable en su clculo por lo tanto su

La moda es el valor ms frecuente y funciona bien con escalas nominales

UNI Norte


26

valor suele ser ms estable. Adems se suele preferir en la construccin de pruebas de

hiptesis, en la estadstica inferencial. Se usa normalmente con datos de intervalo y de

razn constante y cuando las distribuciones tiene forma simtrica.

La mediana suele ser la medida preferida cuando se emplea una escala ordinal, estas

son las situaciones donde el valor asignado a cada caso no tiene otro significado ms

que el indicar el orden entre los casos. Por ejemplo saber en una clase cuales alumnos

estn dentro del 50% con mejores notas y cuales dentro del 50% con peores notas.

Tambin se suele preferir la mediana cuando unos pocos valores extremos

distorsionan el valor de la media. Por ejemplo si tengo 9 personas con 0 ingresos y uno

sola que tiene ingresos de 10 unidades, la media me puede dar a entender que la

mayora recibe 1 unidad, cuando esto no es real.

La moda en ciertas condiciones puede ser la ms apropiada, por ejemplo cuando se

quiere informacin rpida y cuando la precisin no sea un factor especialmente

importante. En ciertos casos solo esta medida tiene sentido por ejemplo en un equipo

de ftbol llevo la estadstica por jugador (escala ordinal) de la cantidad de pases que

realiza por juego, esto para detectar quien es el que mejor distribuyendo la pelota, en

este caso la media y la mediana no tendran significado, solo la moda.

No necesariamente una escala de medida nos debe decir qu tipo de medida de

tendencia central debemos usar, pero si nos ayuda a determinar cul es la ms

apropiada.

Un aspecto interesante entre las tres medidas es su comportamiento referente a la

simetra que toma una distribucin. Cuando las distribuciones son simtricas, sin

sesgo, caso de la distribucin Normal que tiene forma de campana, la media, la

mediana y la moda coinciden. Si la distribucin es asimtrica con sesgo positivo, hay

ms datos hacia la izquierda de la media, entonces la media es mayor que la mediana

y esta mayor que la moda. Si ocurre lo contrario, el sesgo es negativo, entonces la

media es menor que la mediana y esta menor que la moda.

UNI Norte


27

Otras medidas de tendencia central.

La Media Geomtrica.

La media geomtrica se define comon

ng xxxxx ..321 , por ejemplo la media

geomtrica de los valores 4, 5, 4, 6 es 68.4)6)(4)(5)(4(4 gx

Una ventaja de su uso es que considera todos los valores de la distribucin y es menos

sensible que la media aritmtica a los valores extremos, sin embargo es de clculo

complicado y si un valor vale 0 se anula.

La Media Cuadrtica.

Se construye a partir de suma de los cuadrados de un conjunto de valores. Su forma de

clculo es 2

22

3

2

2

2

1 ...

n

xxxxx nc

, si tomamos los valores anteriores la

media cuadrtica tiene el siguiente valor 81.44

64542

2222

cx

Se utiliza cuando se quiere evitar los efectos de los signos. sta media solo puede

tomar valores positivos.

Cuartiles, Deciles y Percentiles.

Cuartiles: si a un conjunto de datos se ordena de mayor a menor, el valor central es la

mediana, este valor divide el grupo, en dos subgrupos cada uno con el 50 % de los

datos. Si a cada subgrupo ordenado se le marca el valor central, tenemos as tres

valores seleccionados que llamaremos Cuartiles, Q1, Q2 y Q3. Estos valores dividen al

conjunto de datos en cuatro grupos con igual nmero de trminos, cada cuartil contiene

el 25% de los datos. La mediana es el cuartil dos, Q2. Con los Cuartiles se construye un

grfico especial, el diagrama de caja, este permite visualizar la variabilidad de los

datos por Cuartil.

En el diagrama de caja, el centro de la caja es el Q2, la mediana, los bordes de la caja

son el Q1 y el Q3. En los extremos del diagrama se trazan dos rayas horizontales que

UNI Norte


28

representan los valores mximo y mnimo de la distribucin y que no se consideran

anmalos. Para hallar los valores de las rayas se multiplica la amplitud inter cuartil (Q3 -

Q1) por 1,5 y el resultado se suma a Q3 y se resta a Q1.Por ltimo, por encima y por

debajo de las rayas se representan de forma individual los valores extremos y

anmalos de la distribucin.

Diagrama de caja, variable: cantidad de carne consumida por ao.

Deciles, si el conjunto de valores, ordenados de de mayor a menor, se dividen en diez

partes iguales, los valores que dividen los datos se llaman deciles y son nueve, D1,

D2,..D9.

Percentiles, si se tiene un conjunto de datos muy numerosos y a este se lo divide en

100 partes iguales, cada valor que divide los datos se llama percentil, P1, P2, P3P99.

1.4 Medidas de Dispersin o de Variabilidad Las medidas de variabilidad indican la dispersin de los datos en la escala de medicin

y son tan importantes como las medidas de tendencia central y as como stas son

valores puntuales en una distribucin, las medidas de dispersin son intervalos,

3.7

7.5

11.2

14.9

18.7

Kg

Mediana

Carne consumida por ao

UNI Norte


29

distancias o un nmero de unidades en la escala de medicin. Este tipo de medida se

complementa con las medidas de centralidad y ambas permiten describir a la mayora

de las distribuciones. Los tipos de medidas de Dispersin ms comunes son: el

Rango, el Desvo Estndar y la Varianza.

El Rango.

El Rango, Recorrido o Amplitud de un conjunto de mediciones, es la diferencia entre el

valor mayor y el valor menor, indica el nmero necesario y mnimo de unidades, en la

escala de medicin, para incluir los valores mnimo y mximo. Es la medida de

dispersin ms fcil de calcular, pero tambin es la menos estable al estar fuertemente

influenciada por valores extremos atpicos.

Cuanto ms grande es el rango, mayor ser la dispersin de los datos de una

distribucin. Es adecuada para medir la variacin de pequeos conjuntos de datos.

El Desvo Estndar.

El Desvo Estndar es la medida de dispersin ms ampliamente usada y es la ms

estable ya que depende de todos los valores de la distribucin. Es la media de

desviacin de los valores con respecto a la media, aunque una definicin completa

sera: la raz cuadrada de la suma de las desviaciones alrededor de la media, elevadas

al cuadrado y divididas entre el nmero de casos menos uno en el caso de S.

Desvo Estndar S: la raz cuadrada de la suma de las desviaciones alrededor de la

media, elevadas al cuadrado y divididas entre el nmero de

casos menos uno.

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30

Cuando se trabaja con muestras el desvo estndar se simboliza con una S y con la

letra sigma minscula cuando se usan datos de una poblacin. Su frmula de

clculo tradicional es:

Donde i es cualquier valor de uno a n o N, y n es el nmero total de datos de la

muestra y N de la poblacin.

El desvo estndar, S o , se interpreta como cuanto se desva de la media un

conjunto de valores. Este valor se grafico como un intervalo. Esta medida solo se utiliza

con variables continuas u ordinales.

Clculo de S por suma de cuadrados

El desvi estndar se puede expresa tambin de la siguiente manera:

=

21

1 2

1

Esta forma de resolucin es equivalente a la forma de clculo tradicional, pero esta

descomposicin es la ms usada en estadstica inferencial, por ejemplo en la

construccin de tablas de Anlisis de Variancia, ANDEVA.

Ejemplo de clculo de Desvo Estndar S

Con el ejemplo de las notas de matemticas haremos clculo de S

S=

= 13.6

= 2

1

1

= 2

1

9/))1.7692()1.7692()1.7689()1.7688(

)1.7679()1.7669()1.7668()1.7667()1.7662()1.7655((

2222

222222

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31

Se sugiere hacer estos clculos usando una calculadora cientfica en funcin

estadstica.

La Varianza.

La varianza es el desvo estndar elevado al cuadrado y se simboliza con S2 cuando

es muestral, o 2 cuando es poblacional. Este es una medida que se usa en muchas

pruebas de Hiptesis estadsticas, por ejemplo el Anlisis de Varianza, ANDEVA que

se basa en la descomposicin y relacin de las varianzas de las causas de variacin de

los datos. Pero para fines descriptivos se prefiere usar el desvo estndar en vez de la

varianza, que suele ser un valor mayor y difcil de interpretar.

El Coeficiente de variacin

El coeficiente de variacin, CV, es un cociente entre el desvo estndar y la media de

los datos, expresado en porcentaje, CV = 100 . Este coeficiente permite

comparar la variabilidad de diferentes muestras de una poblacin la variabilidad entre

variables diferentes. En general en investigacin experimental un CV menor al 10 %,

muestra que los datos tienen poca variabilidad, es decir que los valores observados

son en general cercanos al valor medio, sin embargo en procesos productivos se

puede exigir valores muy pequeos de variabilidad.

Interpretacin de las medidas de tendencia central y de la variabilidad. Cabe destacar que al describir nuestros datos, debemos interpretar nuestros datos de

tendencia central y de variabilidad en conjunto y no de manera separada. Con la media

y el desvo estndar se pueden construir intervalos donde supongo estn la mayora de

los datos en el caso que la distribucin sea normal. La moda, mediana y el rango

pueden completar la informacin sobre la distribucin y as tener una buena idea de lo

que sucede con la variable en estudio.

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32

1.5 Otras medidas tiles en Estadstica Descriptiva.

Cuando los polgonos de frecuencia de una variable se presentan en forma de curva

hay dos medidas esenciales para describir estas curvas: La Asimetra y la Curtosis.

La Asimetra o Sesgo.

La Asimetra es una medida necesaria para conocer cunto se parece nuestra

distribucin a la distribucin terica de una curva normal, curva con forma de

campana, y constituye un indicador del lado de la curva donde se agrupan las

frecuencias. Esta medida se construye con el valor medio, la mediana y el desvi

estndar. Si el valor del sesgo es cero (asimetra = 0), la curva de distribucin es

simtrica, en este caso coinciden los valores de la media, la mediana y la moda.

Cuando el sesgo es positivo, la media es mayor que la mediana, quiere decir que hay

valores agrupados hacia la izquierda de la curva y la cola de la distribucin es ms

larga a la derecha. Cuando el sesgo es negativo, la media es menor a la mediana,

significa que los valores tienden a agruparse hacia la derecha de la curva, por encima

de la media y la cola de la distribucin es ms larga a la izquierda.

Su forma de clculo original es: =( )

pero como aproximadamente se

cumple que Media Moda = 3 (Media - Mediana), se usa la siguiente forma de

clculo prctico del sesgo:

=( )

En una variable continua:

La media, la mediana y la moda son puntos en una recta.

El desvo estndar y el rango son intervalos.

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33

Histograma de consumo de cereal en Kg/ ao por habitante de diferentes pases. En

este grfico se observa una asimetra o sesgo positivo de 0.93, hay un agrupamiento

de datos a la izquierda de la curva de distribucin normal, curva en color negro.

Histograma de consumo de cereal en Kg/ ao por habitante de diferentes pases. En

este grfico se observa una asimetra o sesgo positivo de 0.93, hay un agrupamiento

de datos a la izquierda de la curva de distribucin normal, curva en color negro.

Sesgo estandarizado, es una medida que se calcula de la siguiente manera:

=

Para datos que siguen una distribucin normal (ver unidad 3) el sesgo estandarizado

debe caer dentro de un intervalo (-2,+2).

La Curtosis.

La curtosis es una medida que indica o mide lo plano o puntiaguda que es una curva de

distribucin. Cuando esta es cero, curtosis = 0, significa que se trata de una curva

Normal. Si es positiva, quiere decir que la curva o distribucin o polgono es ms

puntiaguda o levantada que la curva normal (curva leptocrtica). Si es negativa quiere

decir que es ms plana (curva mesocrtica).

15 22 28 34 41 47 54 60

Cereal

0.00

0.08

0.17

0.25

0.34

frecuencia

rela

tiva Asimetria 0.93

Consumo Kg/ ao de cereal por pas

UNI Norte


34

Curtosis =

( )

=

Curtosis estandarizada, es una medida que se se calcula de la siguiente manera:

=

. Para datos que siguen una distribucin normal (ver

unidad 3) la curtosis estandarizada debe caer dentro de un intervalo (-2,+2).

Ejercicio 1.8:

Tomando como fuente de datos las variables continuas recolectadas a partir de los

datos que generen los estudiantes en clase debe construir

Medidas de tendencia central: medias, modas, medianas,

Medidas de dispersin: desviacin estndar y rango

distribucin de frecuencias

espacios: x 2 S y determinar cuantos datos entran en este intervalo. Grficos de barras, histogramas y grficos de pastel

1.6 Muestras y Poblacin.

Llamaremos poblacin a un conjunto homogneo de elementos en el que se estudia

una caracterstica dada. El censo es la forma de estudio de todos los elementos de una

poblacin. Frecuentemente no es posible estudiar toda la poblacin ya que suele ser

econmicamente inviable o llevar tanto tiempo que es impracticable.

Definicin:

Las medidas calculadas a partir de la poblacin, Ej. y se llaman PARMETROS

Las medidas calculadas a partir de las muestras, Ej. x S se llaman

ESTADSTICOS

UNI Norte


35

Como generalmente no se puede estudiar la poblacin, se selecciona un conjunto

representativo de elementos de esta, que llamaremos muestra. Cuando la muestra

est bien escogida podemos obtener informacin de la poblacin similar a la de un

censo, pero con mayor rapidez y menor costo.

La clave de un procedimiento de muestreo es garantizar que la muestra sea

representativa de la poblacin. Por lo tanto cualquier informacin al respecto de las

diferencias entre sus elementos debe tenerse en cuenta para seleccionar la muestra,

esto origina diferentes tipos de muestreo, los cuales se describen a continuacin.

Muestreo Aleatorio Simple

Es la manera ms sencilla de hacer muestreo. Decimos que una muestra es aleatoria

cuando:

Cada elemento de la poblacin tiene la misma probabilidad de ser elegido.

La poblacin es idntica en todas las extracciones de muestreo. Esta

caracterstica es irrelevante si el tamao de la poblacin (N) es grande en

relacin al tamao de la muestra (n).

Tenemos varias formas de calcular el n, nmero de de elementos de la muestra.

Clculo de n por ecuacin: Cuando la fraccin n / N a priori se determina que ser

mayor que 0.1, un mtodo para determinar n de manera aproximada es el siguiente:

q*pD*1)(N

q*p*Nn

Donde:

Los valores p y q cumplen que p + q = 1 y generalmente se acepta que p =

q = 0.5.

D es un valor que se vincula al error de estimacin prefijado donde D = B2 /4

B es el error de estimacin que se debe fijar y generalmente flucta entre 0.01

y 0.10

p x q es la variancia de una distribucin binomial de una pregunta dicotmica,

con tiene 2 posibles respuestas.

UNI Norte


36 p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 p8 p9 p10 p11 p12 p13 p14 p15

promedio

70

72

75

77

79

no

ta

Grfico de Estabilidad de Promedios

Si bien este modelo es bastante terico es un mtodo muy usado para aproximar un

valor de n entrevistados, cuando se realiza investigacin social.

Clculo de n Grficamente: Se sabe que a ms grande la muestra mejor sta

estima la media de la poblacin, sin embargo hay un momento que la media que se

calcula a partir de la muestra casi no cambia, aunque sta aumente de tamao, en ese

momento el tamao de la muestra comienza a ser ptimo.

Esta estabilidad de medias se puede observar grficamente con un grfico de medias.

La primera media de este grfico se hace con un dato de la poblacin, el segundo con

dos datos, el tercero con tres datos y as sucesivamente, hasta que en el grfico las

medias casi no flucten entre muestra y muestra. A continuacin se muestra un

ejemplo de 15 datos de notas que obtuvieron 15 estudiantes en la asignatura de Fsica.

En la fila tercera se calcularon las medias consecutivos, con un dato, dos datos, tres

datos hasta 15 datos. Se observa que a partir de 10 datos, la media se estabiliza en

el valor 75, el valor de n, tamao de muestra para esta variable estara entre 11 y 12

datos.

72 68 82 88 65 79 89 92 67 69 75 79 71 78 75

x1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 x 11 x 12 x 13 x 14 x 15

72 70 74 77 75 76 78 79 78 77 77 77 77 77 77

UNI Norte


37

Grfico de Estabilidad de Medias

Clculo emprico por lotes. Cuando en un proceso industrial se tienen lotes, volumen

de produccin por tiempo por cantidad de materia prima. Para realizar un control de

calidad del proceso productivo se puede seguir el siguiente criterio de muestreo

desarrollado por el ejrcito de EEUU (Military Estndar 414):

Tamao del Lote % de piezas de la

muestra

60-300 10

301-1000 5

1001-5000 2

+ 5000 1

Muestreo Estratificado

El muestreo aleatorio simple debe utilizarse cuando los elementos de la poblacin son

homogneo respecto a las caractersticas a estudiar, es decir a priori no conocemos

que elementos de la poblacin tendrn valores altos de ella. Cuando dispongamos de

informacin sobre la poblacin conviene tenerla en cuenta al seleccionar la muestra.

Un ejemplo clsico son las encuestas de opinin, donde los elementos (personas) son

heterogneas en algunas variables como: sexo, edad, profesin, etc. Interesa en estos

casos que la muestra tenga una composicin anloga a la poblacin, lo que se

consigue mediante una muestra estratificada.

Se denomina muestra estratificada aqul en que los elementos de la poblacin se

dividen en clases o estratos. La muestra se toma asignando un nmero o cuota de

UNI Norte


38

miembros a cada estrato y escogiendo los elementos por muestreo aleatorio simple

dentro del estrato.

En concreto si existen k estratos de tamao N1...Nk y tales que N = N1 + N2 +....+ Nk

se tomar una muestra n que garantice una presencia adecuada de cada estrato n i.

Una forma sencilla para dividir el tamao total de la muestra n entre los estratos de

ni es por el Mtodo Proporcional, el cual toma en cuenta el tamao relativo del estrato

de la poblacin, por ejemplo si en la poblacin hay un 55 % de mujeres y un 45 % de

hombres, mantendremos esta proporcin de la muestra. En general se har de la

manera ni= *Ni/N.

Muestreo por Conglomerados

Existen situaciones donde ni el muestreo aleatorio simple ni el estratificado son

aplicables, ya que no disponemos de una lista con el nmero de elementos de la

poblacin ni en los posibles estratos. En estos casos tpicamente los elementos de la

poblacin se encuentran de manera natural agrupados en conglomerados, cuyo

nmero es conocido, por ejemplo la poblacin rural se distribuye en comunidades y los

habitantes de un barrio en manzanas. Si suponemos que cada uno de estos habitantes

es parte de un conglomerado que pertenece a una poblacin total de conglomerados

semejantes para una variable dada, podemos seleccionar algunos conglomerados al

azar y dentro de ellos analizar a todos sus elementos o una muestra aleatoria simple.

Este mtodo se conoce como muestreo por conglomerados y tiene la ventaja de

simplificar la recogida de la informacin muestral, no es necesario visitar todos los

conglomerados para recolectar una muestra. El inconveniente obvio es que si los

conglomerados son heterogneos entre s, cmo se analizan solo algunos de ellos la

muestra final puede ser no representativa de la poblacin, algo as sucede si estudio a

fondo una comunidad en lo referente a un opinin dada y supongo que los resultados

son representativos de un conjunto de comunidades, pero si esta comunidad estudiada

tiene opiniones distintas del resto, los resultados no sern representativos de la

UNI Norte


39

poblacin, por ejemplo las comunidades ms ricas suelen tener opinin diferente a las

ms pobres respecto a la ayuda social que da el estado

En resumen las ideas de estratificacin y de conglomerados son opuestas, la

estratificacin funciona tanto mejor cuanto mayor sean las diferencias entre los estratos

y ms homogneas sean estos internamente. Los conglomerados funcionan si hay

poca diferencia entre ellos y son muy heterogneos internamente, que incluyan toda la

variabilidad de la poblacin en el conglomerado.

Muestreo Sistemtico

Cuando los elementos de la poblacin estn en una lista o un censo, se puede utilizar

el muestreo sistemtico. Supongamos que tenemos una poblacin de tamao N y se

desea una muestra de tamao n y sea K un valor entero ms prximo a la relacin

n/N. La muestra sistemtica se toma eligiendo al azar, con nmeros aleatorios, un

elemento entre los primeros K elementos y se denomina n1. El muestreo se realiza

seleccionando los elementos (n1 + K); (n1 + 2 K), etc. a intervalos fijos de K hasta

completar la muestra. Si el orden de los elementos en la lista es al azar, este

procedimiento es equivalente al muestreo aleatorio simple, aunque resulta ms fcil de

llevar a cabo sin errores.

Si el orden de los elementos es tal que los ms prximos tienden a ser ms semejantes

que los alejados, el muestreo sistemtico tiende a ser ms preciso que el aleatorio

simple al cubrir ms homogneamente toda la poblacin.

El muestreo sistemtico puede utilizarse conjuntamente con el estratificado para

seleccionar le muestra dentro de cada estrato.

La regla general que se aplica a los procedimientos de muestreo es

que: cualquier informacin previa debe utilizarse para subdividir la

poblacin y asegurar mayor representatividad de la muestra.

UNI Norte


40

Ejercicio 1.9:

Suponga que quiere conocer la opinin de una comunidad donde hay 50

personas adultas, N = 50. Cul es la es tamao de n mnimo a calcular?

Cul sera el valor de n con una ciudad de 50,000 habitantes?

Discuta que mtodo de muestreo usara si quiere estudiar la opinin de la gente

de 12 comunidades semejantes en cuanto a su nivel de vida y forma de producir

la tierra.

UNI Norte


41

Unidad 2. Teora Elemental de Probabilidades Definir conceptos bsicos de probabilidad

Explicar las Reglas de Adicin y Multiplicacin

Valorar la importancia de la probabilidad para la seleccin de una muestra

Introducir la probabilidad condicional y Bayesiana

2.1 Introduccin a las Probabilidades

Con esta teora se estudia fenmenos naturales con

el fin de descubrir regularidades en la ocurrencia de

los mismos. Sus fundamentos aunque parezca

extrao se bas en un inicio en el estudio de los

juegos al azar (dados, cartas, ruletas, etc.), as

comenz esta ciencia en la Francia Monrquica.

Sus aplicaciones hoy da abundan, por ejemplo en

diseo de modelos de mejoramiento gentico,

anlisis de experimentos, predicciones del tiempo,

prediccin de vida til de un equipo, etc. En nuestra vida diaria aplicamos

inconscientemente probabilidades cuando compramos un billete de lotera o llevamos

un paraguas cuando vemos el cielo nublado.

2.2 Trminos Bsicos.

Experimento: Es el proceso que permite obtener una o varias observaciones.

Espacio Muestral S : Todos los posibles resultados de un experimento.

Evento A: Algn resultado del experimento que nos interesa.

Ejemplo: Experimento: tirar un dado.

Espacio muestral = (1, 2, 3, 4, 5, 6)

Evento A = sale 3.

Objetivos

UNI Norte


42

Probabilidades: La probabilidad de un evento A se define

como la frecuencia relativa de A en el espacio muestral

y se denota como P(A).

Por ejemplo si en una comunidad hay 64 campesinos que

siembran frijol de forma manual y 16 con bueyes. En este

caso hay 2 eventos: Siembra manual y Siembra con bueyes

y existe la P(bu) y la P(ma) asociados a la frecuencia de

ocurrencia de cada evento. La probabilidad que al elegir una parcela al azar esta fue

sembrada de forma manual P(ma) es de 16/80 = 0.20 20 %.

Se debe considerar que la P(A) se hace ms real en la medida el nmero de

elementos de se hace ms grande

2.3 Propiedades de la Probabilidad

0 P(A) 1

El evento A es ms probable que B P(A) P(B)

Un Evento cierto, que seguramente ocurre, tiene probabilidad 1.

Un Evento imposible, que nunca ocurrir, tiene probabilidad 0.

Tiene dos reglas bsicas que la estructuran: la regla del producto y la regla de la

suma.

Regla del producto.

Si dos evento A y B son independientes si A no influye de ninguna manera en B y

viceversa. La probabilidad que los eventos independientes A y B ocurran al mismo

tiempo es P(A y B) = P (AB) = P(A) x P (B)

P(A) = # casos favorables / # casos Totales de = #A / # elementos de

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43

Por ejemplo si la Probabilidad de un nacimiento de un nio es 0.5, P (nio) = 0.5, la

probabilidad que dos mujeres su primer parto tengan hijos varones es un evento

independientes, uno no influye sobre otro, la P (nio, nio) es de 0.52 = 0.25

Una paradoja es que una persona que compra todas las semanas la lotera, para un

sorteo dado, tiene la misma probabilidad de sacar el premio mayor que una persona

que compr un nmero por primera vez.

Ejercicio 2.1: estimar la probabilidad que al elegir por sorteo dos estudiantes del grupo,

ambos sean varones. Determinar tambin cuales eventos forman es este caso.

Si los sucesos son independientes: P(A) x P (B) es igual p(A B), A interseccin B.

Regla de la Suma.

Para que dos eventos A y B se puedan sumar directamente, estos deben ser

incompatibles, es decir ellos no pueden ocurrir al mismo tiempo. P(AB) = 0

La probabilidad que ocurra A B para eventos incompatibles A y B es P(A B) =

P (A) + P (B) = P(AB)

Si los eventos no son incompatibles P(AB) = P (A) + P (B) - P(AB). Esta sera la

regla general de la suma de probabilidades.

En el ejemplo de arrojar dos veces una moneda al aire, la probabilidad que salga una

vez cara y el otro sol sin importar el orden, es la probabilidad de los eventos cara, sol

y sol, cara. Debido a que son cuatro los eventos posibles = cara cara, sol cara,

cara sol y sol-sol y cada uno con igual probabilidad, cada uno de esto eventos tiene

una P = 0.25, de ocurrencia. Por lo tanto la ocurrencia de cara-sol ms sol cara

es de P (c, s) + P (s, c)), que en valore de probabilidades es de P (0.25) + P (0.25) =

0.5

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44

Ejercicio 2.2. En la matricula de primer ao de la universidad, 150 estudiantes son

originarios del departamento de Estel, 60 estudiantes del departamento de Nueva

Segovia y 100 estudiantes del resto del pas. Cul es la probabilidad que un

estudiante tomado al azar no sea del departamento de Estel?

2.4 Probabilidad condicionada

Como la probabilidad est ligada a nuestra ignorancia sobre los resultados de la

experiencia, el hecho de que ocurra un suceso, puede cambiar la probabilidad de los

dems que ocurran luego. El proceso de realizar la historia de un caso, explorar y

realizar pruebas complementarias ilustra este principio, cuando ms se conoce de lo

que ocurri, mejor puedo predecir el futuro, la probabilidad condicionada se nutre de

este principio.

La probabilidad de que ocurra el suceso A si ha ocurrido el suceso B, P (A\B), se

denomina probabilidad condicionada y se define.

\ =()

() Si p (B) 0

La condicin que P (B) > 0, esto es necesario para una buena definicin de

probabilidad condicional. Es de notar que si A y B son sucesos independientes, la P

(A\B) es igual a la P(A), es otro enfoque de mirar independencia. Cmo regla general

se enuncia que:

De lo anterior se deduce que: = \ .()

Ejemplo:

Dos eventos A y B son independientes si y slo si: P (A\B) = P(A) y P (B\A) = P(B)

que es lo mismo: P(AB) = P(A) x P(B)

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45

Se conoce que a los estudiantes de la UNI tienen las siguientes preferencias en el

consumo de gaseosas:

Consumo de Gaseosas

por semana

Varones Mujeres Total

No consume 30 10 40

1-5 veces 50 25 75

Ms de 5 veces 20 15 35

Total 100 50 150

Si de un grupo de jvenes del bar de la universidad, se selecciona al azar un

estudiante varn Cul es la probabilidad que ese que ese joven halla consumido ms

de 5 gaseosas por semana? En este problema ya no es necesarios conocer el nmero

total de estudiantes, porque al seleccionar a un individuo del sexo masculino, los

individuos del sexo femenino no son tomados en cuenta. Entonces se puede definir la

probabilidad deseada como Qu probabilidad existe de que un individuo beba ms de

5 gaseosas a la semana dado que el individuo seleccionado sea varn? Esta es una

probabilidad condicional y se resuelve de la siguiente manera:

P(C+5\Sv) = (+5)

() = (20/150) / (100/150) = 20/100= 0.2, donde C es por

consumo y S por sexo.

Ejercicio 2.3

Si se tiene una escuela de 200 alumnos distribuidos en tres aulas: A, B y C. Por sexo:

mujer, y varn; como sigue:

Aula/ Sexo Varn Mujer

A 20 20

B 30 30

C 56 44

Total 106 94

Cul es la probabilidad que un estudiante, sin importar el sexo, sea del aula B?

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46

Cul es la probabilidad que un estudiante sea del aula A, si el estudiante es mujer?

Ejercicio 2.4

En un aula hay 6 estudiantes realizando un examen, dos son mujeres y cuatro son

varones. Cul es la probabilidad que finalice una mujer de segunda dado que el

primero en finalizar fue un hombre?

Si la solucin es:

\ =( )

()=

8/30

4/6=

2

5

Explicar cmo se construyeron los valores 8/30 y 4/6?

2.3 Teorema de Bayes

Regla de la probabilidad total

Se llama particin a un conjunto de sucesos Ai tales que.

Es decir, son un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes y que cubren todo el

espacio muestral.

Regla de la probabilidad total: Si un conjunto de sucesos Ai forman una particin del

espacio muestral y p (Ai) 0 Ai, para cualquier otro suceso B se cumple

A1 A2 ... An = y Ai Aj = i j

A1 A2

An

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47

= + +. . +

= \ + \ +. . + \ = \ ()

=

Siendo P (B) la probabilidad total, la cual se puede interpretar como una media

ponderado de los diferentes \ ()

Planteo del Teorema de Bayes

El teorema de Bayes, enunciado por Thomas Bayes y publicada por primera vez en

1763, parte de una situacin en la que ocurran una serie de sucesos Ai que son una

particin completa de un espacio muestral y donde P (Ai) 0. Pero tambin existe un

suceso B, tal que P (B) 0, y que las probabilidades de ocurrencia de B son distintas

segn el suceso Ai que haya ocurrido, tal como se explica en la regla de la probabilidad

total. Conociendo que ha ocurrido el suceso B, la frmula del teorema de Bayes nos

indica como modifica esta informacin las probabilidades de los sucesos Ai . Se resalta

que al disponer informacin de B se cambian las probabilidades de Ai. El teorema se

presenta de la siguiente manera:

\ =P B\Ai P(Ai)

P B\Ai P(Ai)ni=1

Ejercicio resuelto:

A1 A2

An

B

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48

Tres mquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de

las piezas producidas en una fbrica. Los porcentajes de produccin defectuosa de

estas mquinas son del 3%, 4% y 5%.

a. Seleccionamos una pieza al azar; calcula la probabilidad de que sea defectuosa.

(probabilidad Total)

b. Tomamos, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad de

haber sido producida por la mquina B.

c. Qu mquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la citada pieza

defectuosa?

Sea D= "la pieza es defectuosa" y N= "la pieza no es defectuosa". La informacin del

problema puede expresarse en el diagrama de rbol adjunto.

a. Para calcular la probabilidad de que la pieza elegida sea defectuosa, P(D), por la

propiedad de la probabilidad total,

P (Total) =P(D) = P(A) P(D\A) + P(B) P(D\B) + P(C) P(D\C) =

= 0.45 x 0.03 + 0.30 x 0.04 + 0.25 x 0.05 = 0.038

Resolucin por diagrama de rbol. Un diagrama de rbol es una representacin

grfica de un experimento que consta de pasos, donde cada uno de los pasos tiene un

nmero finito de maneras de ser llevado a cabo.

Prob. Mquina Prob. Tipo de

produccin

0.45 A 0.03 D

0.97 N

0.30 B 0.04 D

0.96 N

0.25 C 0.05 D

0.095 N

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49

b. Debemos calcular P(B\D). Por el teorema de Bayes,

CDPCPBDPBPADPAPBDPBP

DBP/././.

/./

316.038

12

05.025.004.03.003.045.0

04.030.0

c. Calculamos P(A\D) y P(C\D), comparndolas con el valor de P(B\D) ya

calculado. Aplicando el teorema de Bayes, obtenemos:

355.0380

135

05.025.004.03.003.045.0

03.045.0/

DAP

329.0

380

125

05.025.004.03.003.045.0

05.025.0/

DCP

La mquina con mayor probabilidad de haber producido la pieza defectuosa es A

Ejercicio 2.5 El reporte meteorolgico ha anunciado tres posibilidades para el da de

maana: que llueva: probabilidad del 50%, que salga el sol: probabilidad del 30% y

que est nublado: probabilidad del 20%.

Segn estos posibles estados meteorolgicos y datos histricos de comportamiento

vehicular, la posibilidad de que ocurra un accidente es la siguiente: si llueve:

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50

probabilidad de accidente del 20%, si sale el sol: probabilidad de accidente del 10% y si

est nublado: probabilidad de accidente del 5%.

Si se sabe que ocurri un accidente,

Cul es la probabilidad de que haya llovido?

Cul es la probabilidad de que haya salido el sol?

Cul es la probabilidad de que haya estado nublado?

2.4 Tcnicas de conteo: Combinaciones y Permutaciones

Las tcnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difciles

de cuantificar de forma directa. Estas tcnicas sirven para construir probabilidades.

Combinaciones:

La expresin "Cm,n" representa las combinaciones de "m" elementos, formando

subgrupos de "n" elementos. Para calcular el nmero de combinaciones se aplica la

siguiente frmula:

)!(!

!.

nmn

mC nm

El trmino " n! " se denomina "factorial de n" y es la multiplicacin de todos los

nmeros que van desde "n" hasta 1.

Por ejemplo: 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24

Ejemplo: C10,4 son las combinaciones de 10 elementos agrupndolos en subgrupos de

4 elementos sin importar el orden:

210)1.2.3.4.5.6)(1.2.3.4(

1.2.3.4.5.6.7.8.9.10

)!410(!4

!104,10

C

Es decir, podramos formar 210 subgrupos diferentes de 4 elementos, a partir de los 10

elementos.

Por ejemplo: Si tomamos el conjunto A= {a, b, c, d}, cuntos subconjuntos de 2

elementos cada uno se pueden obtener?

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51

Hacindolos se obtienen: {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d}, {c, d}. Son seis los

subconjuntos.

Permutaciones:

La expresin "Pm,n" representa las variaciones de "m" elementos, formando subgrupos

de "n" elementos. En este caso, un subgrupo se diferenciar del resto, bien por los

elementos que lo forman, o bien por el orden de dichos elementos. Para calcular el

nmero de permutaciones se aplica la siguiente frmula:

)!(

!.

nm

mP nm

Ejemplo: P(10,4) son las permutaciones de 10 elementos agrupndolos en subgrupos de

4 elementos:

040,51.2.3.4.5.6

1.2.3.4.5.6.7.8.9.10

)!410(

!104,10

P

Podramos formar 5.040 subgrupos diferentes de 4 elementos, a partir de los 10

elementos.

Ejemplo: Sea A= letras {a, b, c, d}, cuntos "conjuntos" de dos letras se pueden

obtener?

Ejemplo: Sea A= letras {a, b, c, d}, cuntos subgrupos de dos letras se pueden

obtener?

Lo que se pide es formar permutaciones u ordenaciones de 2 letras, cuando el total de

letras es 4. En este caso n=2 y m =4. Las "palabras" de 2 letras formadas son: ab, ac,

ad, ba, bc, bd, ca, cb, cd, da, db, dc. En total son 12.

UNI Norte


52

Unidad 3. Variables aleatorias y sus distribuciones. Aplicar el concepto de variable aleatoria

Explicar las distribuciones ms usadas en la ingeniera

Identificar que modelos se usan con variables discretas y continuas

3.1 Distribuciones de Frecuencia, Introduccin.

Hasta esta unidad nos hemos ocupado de descripciones de muestras usando tablas,

grficos y medidas como la media y la varianza. Pero generalmente nuestro inters va

ms all que una simple descripcin, suele haber inters en tratar de generalizar los

resultados de la muestra hacia el grupo total, es decir la Poblacin. Para generalizar

podemos usar modelos estadsticos tericos diseados por estadsticos famosos como

Gauss, Fisher, Gosset y otros.

Hoy en da los modelos estadsticos tericos son frecuentemente utilizados para

observar y comprender fenmenos naturales que implican el estudio de variables o

caractersticas de poblaciones naturales. El instrumento conceptual que permitir esta

generalizacin es un modelo de la poblacin, es decir una representacin simblica de

su comportamiento. Los modelos estadsticos van a actuar de puente entre lo

observado, la muestra y lo desconocido, la poblacin.

Las distribuciones de probabilidad estn relacionadas con las distribuciones de

frecuencias. Una distribucin de frecuencias terica es una distribucin de

probabilidades que describe la forma en que se espera que varen los resultados.

Los modelos estadsticos son un puente entre la muestra observada y la

poblacin desconocida.

Objetivos

UNI Norte


53

Debido a que estas distribuciones tratan sobre expectativas de que algo suceda,

resultan ser modelos tiles para hacer inferencias y para tomar decisiones en

condiciones de incertidumbre.

Las distribuciones de probabilidad son idealizaciones de los polgonos de frecuencias.

En el caso de una variable estadstica continua consideramos el histograma de

frecuencias relativas, y se puede comprobar que al aumentar el nmero de datos y el

nmero de clases el histograma tiende a estabilizarse llegando a convertirse su perfil

en la grfica de una funcin.

Una distribucin de frecuencias son las frecuencias observadas de todos los resultados

de un experimento que se presentaron cuando ya se efectu el experimento, es

emprica. Mientras que una distribucin de probabilidad es un listado de las

probabilidades de todos los posibles resultados que podran obtenerse si el

experimento se va a llevar a cabo, es terica.

Las distribuciones de probabilidad pueden basarse en consideraciones tericas o en

una estimacin subjetiva de la posibilidad. Se pueden basar tambin en la experiencia.

Las distribuciones de probabilidad se clasifican como continuas y discretas. En la

distribucin de probabilidad discreta la variable aleatoria, la que toma los posibles

resultados del experimento, slo toma un nmero limitado de valores, por ejemplo que

un ladrillo tomado sea defectuoso o no. En una distribucin de probabilidad

continua, la variable que se est considerando puede tomar cualquier valor dentro de

un intervalo dado, por ejemplo los ladrillos de una poblacin que pesen entre 1,5-1,6

Kg. Las distribuciones discretas se asemejan a las distribuciones continuas, cuando

stas tienen muchos resultados posibles, todos muy cercanos entre s.

3.2 Variables aleatorias.

Una variable es aleatoria si toma los valores de los resultados de un experimento

aleatorio. Esta variable puede ser discreta o continua. De manera general se puede

decir que si el experimento toma un nmero finito de valores o un nmero infinito pero

UNI Norte


54

numerable, que se puede contar, tenemos una variable aleatoria discreta. En el otro

extremo, si el experimento puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo dado,

entonces se trata de una variable aleatoria continua, generalmente son aquellas

variables que se miden se pesan. Las variables aleatorias definidas sobre espacios

muestrales discretos se llaman variables aleatorias discretas y las definidas sobre

espacios muestrales continuos se llaman continuas.

Se puede pensar en una variable aleatoria como un valor o una magnitud que cambia

de una presentacin a otra, sin seguir una secuencia predecible. Los valores de una

variable aleatoria son los valores numricos correspondientes a cada posible resultado

de un experimento aleatorio.

Una variable aleatoria asocia un nmero o ms generalmente una caracterstica a todo

resultado posible del experimento. Por ejemplo, si consideramos el experimento que

consiste en realizar mediciones de la concentracin de un producto en una solucin,

nos interesa la variable aleatoria X= valor medido de la concentracin de azcar en

una salsa. Otro ejemplo de variable aleatoria asociada a un proceso de fabricacin, al

experimento de escoger un elemento producido, y considerar la variable aleatoria X=

duracin de vida de un monito

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