estadistica ii - 2010 libro virtual

8/10/2019 Estadistica II - 2010 Libro Virtual

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Estadstica II


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CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC


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E S T A D I S T I C A I I 3

CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES

ndice

Presentacin 05

Red de contenidos 06

Sesiones de aprendizaje

SEMANA 1 : Definiciones bsicas: Poblacin, marco muestral,muestra, censo y muestreo: Ventajas y desventajas

Diseo de la encuesta por muestreo. Tipos de muestreo Distribuciones muestrales

07

SEMANA 2 : Estimacin Puntual. Propiedades de un estimador.Estimacin de intervalos de confianza

Intervalos de confianza para la media con varianzaconocida, muestra grande

Tamao muestral para estimar una media Intervalo de confianza para la diferencia de medias de

dos distribuciones con ambas desviaciones estndarconocidas, muestras grandes

19

SEMANA 3 : Intervalo de confianza para la media con varianzadesconocida. Muestra pequea

Intervalo de confianza para la diferencia de medias convarianzas desconocidas pero iguales, muestraspequeas

35

SEMANA 4 : Intervalo de confianza para una proporcin. Muestrasgrandes

Tamao muestral para estimar una proporcin Tamao de muestra para poblaciones finitas Intervalo de confianza para la diferencia de proporciones

45

SEMANA 5 : Hiptesis estadstica. Tipos de errores I y II, Nivel designificacin, Regin crtica o regin de rechazo. Reginde aceptacin

Prueba de Hiptesis para medias, muestras grandes.Prueba bilateral de una hiptesis sobre la media

Prueba unilateral de una hiptesis sobre la media, caso I,caso II

Prueba de Hiptesis para la diferencia de medias.Desviacin estndar conocidas, muestras grandes

55

SEMANA 6 : Prueba de Hiptesis para medias, muestras pequeas Prueba bilateral de una hiptesis sobre la media Prueba unilateral de una hiptesis sobre la media, caso

I, caso II

Prueba de Hiptesis para la diferencia de medias Desviacin estndar desconocidas, Muestras pequeas

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SEMANA 7 : EXAMEN PARCIAL

SEMANA 8 : Prueba de Hiptesis para las proporciones, muestrasgrandes.

Prueba bilateral de una hiptesis sobre lasproporciones

Prueba unilateral de una hiptesis sobre la media, casoI, caso II

Prueba de Hiptesis para la diferencia entre dosproporciones

87

SEMANA 9 : Definicin del x (Chi cuadrado). Ensayos de significacin Prueba de homogeneidad, prueba de independencia Prueba de bondad de ajuste. Tablas de contingencia Prueba de Kolmogorov-Smirnov Correlacin de yates para la continuidad. Coeficientes de

contingencia

103

SEMANA 10 : Anlisis de Regresin lineal Simple. Variable independiente,variable dependiente

Diagrama de dispersin. Mtodo de mnimos cuadrados Recta de mnimos cuadrados en trminos de varianzas

muestrales Recta de regresin de mnimos cuadrados. Aplicacin e

interpretacin

123

SEMANA 11 : Anlisis de Regresin lineal mltiple Recta de regresin de mnimos cuadrados Aplicacin e interpretacin

135

SEMANA 12 : Anlisis de Regresin no lineal: Cuadrtica Anlisis de Regresin no lineal: Potencial Anlisis de Regresin no lineal: Exponencial Anlisis de Regresin no lineal Logartmica

149

SEMANA 13 : Correlacin entre dos variables, dependiente e independiente Coeficiente de correlacin lineal (frmula de Pearson)

163

SEMANA 14 : Coeficiente de correlacin generalizado (Coeficiente dedeterminacin)

Coeficiente de correlacin gradual (frmula de Spearman)

173

SEMANA 15 : Serie de tiempo. Introduccin a la serie de tiempo Representacin y Clasificacin de la serie de tiempo Anlisis de la serie de tiempo

185

SEMANA 16 : Modelos de estimacin. Mtodos de estimacin de la tendencia Prediccin mediante la serie de tiempo

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Presentacin

La globalizacin ha creado un campo muy extenso de desarrollo para losnuevos profesionales, ya sea en servicios o en produccin. Es por esto que

tienen que estar preparados para enfrentar cualquier reto en el campo

laboral. Las comunicaciones y el software han hecho que en la actualidad

todo profesional est en constante contacto con la informacin estadstica.

Ms an, muchas veces es necesario realizar alguna medicin estadstica

para tener una idea acerca de la produccin de una empresa, del mercado

burstil a nivel mundial, del precio de los metales en el mercado Europeo, el

control de epidemias en zonas determinadas, el control de los precios de la

canasta familiar, etc, de manera que se pueda tomar la decisin adecuada

para que dichos estudios sean siempre favorables.

El propsito de este manual es brindar conceptos claros de estadstica

inferencial y sus numerosas aplicaciones en el campo laboral. Por otra parte,

se pretende dar al futuro profesional las herramientas necesarias para

interpretar y evaluar informacin estadstica, para que adquiera destreza en

la interpretacin, y manejo de las definiciones y teoremas.

En una primera etapa se desarrollar el marco terico y prctico de la

Estadstica Inferencial. En la segunda etapa se desarrollar la aplicacin de

Mtodos regresivos para predecir situaciones experimentales basadas en

datos reales.

Finalmente es importante resaltar que este curso es netamente prctico. Por

ello en cada sesin se desarrollar la teora necesaria en forma concreta,

dndole mayor nfasis a la parte prctica y a la interpretacin de resultados.


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Red de contenidos

Muestreo

Intervalos de

confianza

Prueba dehi tesis

Regresiones

Correlaciones

Serie detiem o

conocida

desconocida

Proporciones

conocida

desconocida

Proporciones

Simple

Mltiple

Lineales

No Lineales


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TEORA DE MUESTREO

TEMAS

Definiciones bsicas: poblacin, marco muestral, muestra, censo ymuestreo. Ventajas y desventajas del muestreo

Diseo de la encuesta por muestreo. Tipos de muestreo. Determinacin deltamao de muestra

OBJETIVOS ESPECFICOS

Relacionar la poblacin y la muestra Estimar las diferencias entre poblacin y muestra Realizar, adecuadamente, un muestreo de una poblacin dada Aplicar distribuciones muestrales

CONTENIDOS

Definiciones bsicas: Poblacin, marco muestral, muestra, censo ymuestreo. Ventajas y desventajas del muestreo

Diseo de la encuesta por muestreo. Tipos de muestreo. Determinacin deltamao de la muestra

ACTIVIDADES

o Determinan, adecuadamente, una muestra de la poblacin.o Determinan el tamao de la muestra.

S ES ES ES E M A N AM A N AM A N AM A N A

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TEORA DE MUESTREO

La teora de muestreo es un estudio de las relaciones existentes entre unapoblacin y muestras extradas de la misma. Tiene gran inters en muchos

aspectos de la estadstica. Por ejemplo, permite estimar cantidadesdesconocidas de la poblacin (tales como la media poblacional, la varianza,etc.), frecuentemente llamadas parmetros poblacionales o brevementeparmetros, a partir del conocimiento de las correspondientes cantidadesmuestrales (tales como la media muestral, la varianza, etc.), a menudollamadas estadsticos muestrales o brevemente estadsticos.La teora de muestreo es tambin til para determinar si las diferencias que sepuedan observar entre dos muestras son debidas a la aleatoriedad de lasmismas o si por el contrario son realmente significativas. Tales preguntassurgen, por ejemplo, al ensayar un nuevo suero para el tratamiento de unaenfermedad, o al decidir si un proceso de produccin es mejor que otro. Estasdecisiones envuelven a los llamados ensayos e hiptesis de significacin, quetienen gran importancia en teora de la decisin.En general, un estudio de inferencias, realizado sobre una poblacin mediantemuestras extradas de la misma, junto con las indicaciones sobre la exactitudde tales inferencias aplicadas a la teora de la probabilidad, se conoce comoinferencia estadstica.

MUESTRAS AL AZAR. NMEROS ALEATORIOSPara que las conclusiones de la teora del muestreo e inferencia estadsticasean vlidas, las muestras deben elegirse de forma que sean representativasde la poblacin. Un estudio sobre mtodos de muestreo y los problemas quetales mtodos implican se conoce como diseo de experimentos.El proceso mediante el cual se extrae de una poblacin una muestrarepresentativa de la misma se conoce como muestreo al azar. De acuerdo conello cada miembro de la poblacin tiene la misma posibilidad de ser incluido enla muestra. Una tcnica para obtener una muestra al azar es asignar nmerosa cada miembro de la poblacin: escritos estos nmeros en pequeos papeles,se introducen en una urna y despus se extraen nmeros de la urna, teniendocuidado de mezclarlos bien antes de cada extraccin.

MUESTREO CON Y SIN REEMPLAZO

Si se extrae un nmero de una urna, se puede volver o no el nmero a la urnaantes de realizar una segunda extraccin. En el primer caso, un mismo nmeropuede salir varias veces, mientras que en el segundo un nmero determinadosolamente puede salir una vez. El muestreo, en el que cada miembro de lapoblacin puede elegirse ms de una vez, se llama muestreo con reemplazo,mientras que si cada miembro no puede ser elegido ms de una vez se tiene elmuestreo sin reemplazo.Las poblaciones pueden ser finitas o infinitas. Si, por ejemplo, se extraensucesivamente 10 bolas sin reemplazo de una urna que contiene 100, se esttomando una muestra de una poblacin finita, mientras que si se lanza al aireuna moneda 50 veces, anotndose el nmero de caras, se est muestreando

en una poblacin infinita.


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Una poblacin finita, en la que se realiza un muestreo con reemplazo, puedetericamente ser considerada como infinita, puesto que puede extraersecualquier nmero de muestras sin agotar la poblacin. En muchos casosprcticos, el muestreo de una poblacin finita que es muy grande, puedeconsiderarse como muestreo de una poblacin infinita.

DISTRIBUCIONES MUESTRALESConsidrense todas las posibles muestras de tamao nque pueden extraersede una poblacin dada (con o sin reemplazo). Para cada muestra se puedecalcular un estadstico, tal como la media, la desviacin estndar, etc., quevariar de una muestra a otra. De esta forma, se obtiene una distribucin delestadstico que se conoce como distribucin muestral.Si, por ejemplo, el estadstico de que se trata es la media muestral, ladistribucin se conoce como distribucin muestral de medias Anlogamente seobtendran las distribuciones mustrales de las desviaciones estndar,varianzas, medianas, proporciones, etc.

DISTRIBUCIN MUESTRAL DE MEDIASSupngase que son extradas de una poblacin finita todas las posiblesmuestras sin reemplazo de tamao n, siendo el tamao de la poblacin N. Si sedenota la media y la desviacin estndar de la distribucin muestral de mediaspor

x y

x ,y la media y la desviacin estndar de la poblacin por y ,

respectivamente, se tiene =

x

1

=

N

nN

n

x

Si la poblacin es infinita, los resultados anteriores se convierten en =

x

nx

=

Para valores grandes de n ( 30n ) la distribucin muestral de medias seaproxima a una distribucin normal con media

x y desviacin estndar

x

independiente de la poblacin de que se trate (siempre que la media y lavarianza poblacional sean finitas y el tamao de la poblacin sea al menos dosveces el tamao de la muestra). Este resultado en una poblacin infinita es uncaso especial del teorema central del lmite de teora de probabilidad superior,que demuestra que la aproximacin es tanto mejor conforme n se hace mayor.Esto se indica diciendo que la distribucin muestral es normal.En caso de que la poblacin se distribuya normalmente, la distribucin muestralde medias se distribuye tambin normalmente, incluso para pequeos valoresde n(es decir, n< 30).


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DISTRIBUCIN MUESTRAL DE PROPORCIONESSupngase una poblacin infinita y que la probabilidad de ocurrencia de unsuceso (conocido como su xito) es p, mientras que la probabilidad de noocurrencia del suceso es q = 1 p (conocido como su fracaso).Se consideran todas las posibles muestras de tamao n extrada de esta

poblacin y para cada muestra se determina la proporcin pde xito. Entoncesse obtiene una distribucin muestral de proporciones cuya p y desviacin

estndar p vienen dadas por

pp =

n

ppp

)1( =

Si la poblacin es infinita, los resultados anteriores se convierten enp=

)1( pp = Para grandes valores de n( 30n ) la distribucin muestral se aproxima muchoa una distribucin normal. Ntese que la poblacin se distribuye binomialmente.

DISTRIBUCIN MUESTRAL DE DIFERENCIAS Y SUMASSupngase que se tienen dos poblaciones. Para cada muestra de tamao n1extrada de la primera poblacin se calcula un estadstico s1.Esto proporcionauna distribucin muestral del estadstico s1 con media

1x y desviacin

estndar1x

. Anlogamente, para cada muestra de tamao n2, extrada de la

segunda poblacin, se calcula un estadstico s2. Esto Igualmente proporcionauna distribucin muestral del estadstico s2, con media2x

y desviacin

estndar2x

. De todas las posibles combinaciones de estas muestras de las

dos poblaciones, se puede obtener una distribucin de las diferencias (s1-s2)que se conoce como distribucin muestral de diferencias de los estadsticos.Si s1 y s2son las medias muestrales de las dos poblaciones, las cuales vienendadas por 1x y 2x , entonces la distribucin muestral de las diferencias demedias para poblaciones infinitas con medias y desviaciones estndar 1 , 1 y

2 , 2 , respectivamente, tiene por media y desviacin estndar:

212121 == xxxx

2

2

2

1

2

122

2121 nnxxxx

+=+=

El resultado se mantiene vlido para poblaciones finitas.Resultados correspondientes pueden deducirse para las distribucionesmuestrales de diferencias de proporciones de dos poblaciones distribuidasbinomialmente con parmetros p1, q1y p2, q2, respectivamente. En este caso s1y s2corresponden a las proporciones de xito, p1y p2

212121 pppppp ==


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E S T A D I S T I C A I I 1 1


2

22

1

1122 )1()1(2121 n

pp

n

pppppp

+

=+=

Si n1 y n2 son grandes ( 301n y 302 n ), las distribuciones muestrales de

diferencias de medias o proporciones se distribuyen muy aproximadamentecomo una normal.A veces, es til hablar de la distribucin muestral de la suma de estadsticos.La media y la desviacin estndar de esta distribucin vienen dadas por

2121 ssss =

22

2121 ssss +=

suponiendo que las muestras son independientes.

ERRORES TPICOSLa desviacin estndar de la distribucin muestral de un estadstico se conocetambin como su error estndar. En la tabla se han anotado los errores tpicosde distribuciones muestrales para diversos estadsticos bajo las condiciones demuestreo aleatorio sin reemplazo para una poblacin infinita (o muy grande) ocon reemplazo para una poblacin finita. Tambin, se apuntan notas especia-les que indican las condiciones para las que los resultados son vlidos, ascomo otras notas de inters.

Las cantidades rp ,,, y rxpsx ,,,

denotan, respectivamente, las medias,desviaciones estndar, proporciones y momentos de orden r respecto de lamedia en la poblacin y en la muestra.Es de notar que si el tamao de la muestra n es bastante grande, lasdistribuciones muestrales son normales o casi normales. Por esta razn, losmtodos se conocen como mtodos para grandes muestras. La teora depequeas muestras, o teora de muestreo exacto, como a veces se llama, seusa cuando n


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ACTIVIDADES1. Una poblacin se compone de los cinco nmeros 2, 3, 6, 8, 11. Considere

todas las muestras posibles de tamaos que puedan extraerse conremplazamiento de esta poblacin. Halle lo siguiente:

1.1 La media de la poblacin1.2 La desviacin estndar de la poblacin1.3 La media de la distribucin muestral de medias1.4 El error estndar de medias

2. Supngase que las alturas de 3 000 estudiantes de una universidad sedistribuyen normalmente con media 68,0 pulgadas y desviacin estndar 3,0pulgadas. Si se toman 80 muestras de 25 estudiantes cada una, cul serla media y la desviacin estndar esperada de la distribucin muestral demedias resultante si el muestreo se hizo sin reemplazo?

3. Quinientos cojinetes de bolas tienen un peso medio de 5,02 onzas y unadesviacin estndar de 0,30 onzas. Halle la probabilidad de que unamuestra al azar de 100 cojinetes elegidos entre este grupo tenga un pesototal (a) comprendido entre 496 y 500 onzas, (b) de ms de 510 onzas.


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4. Las bombillas elctricas de un fabricante A tienen una duracin media de1400 horas con una desviacin estndar de 200 horas, mientras que las deotro fabricante B tienen una duracin media de 1200 horas con unadesviacin estndar de 100 horas. Si se toman muestras al azar de 125

bombillas de cada fabricante, cul es la probabilidad de que las bombillasde A tengan una duracin media que sea al menos (a) 160 horas, (b) 250horas ms que las bombillas de B?

5. Los cojinetes de bolas de una determinada casa pesan 0,50 onzas con unadesviacin estndar de 0,02 onzas. Cul es la probabilidad de que doslotes de 1000 cojinetes cada uno difieran en un peso superior a 2 onzas?


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6. Los pesos de 1500 cojinetes de bolas se distribuyen normalmente con media22,40 onzas y desviacin estndar 0,048 onzas. Si se extraen 300 muestrasde tamao 36 de esta poblacin, determinar la media esperada y ladesviacin estndar de la distribucin muestral de medias, si el muestreo sehace con reemplazo.

7. Se pesan tres cantidades dando 20,48; 35,97 y 62,34 libras con desviacionesestndar de 0,21; 0,46 y 0,54 libras respectivamente. Halle la media y ladesviacin estndar de la suma de las cantidades.

8. El voltaje medio de una batera es de 15,0 voltios y la desviacin estndar0,2 voltios. Cul es la probabilidad de que cuatro de estas baterasconectadas en serie tengan un voltaje conjunto de 60,8 o ms voltios?


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9. Una poblacin de 7 nmeros tiene una media de 40 y una desviacinestndar de 3. Si se extraen muestras de tamao 5 de esta poblacin y secalcula la varianza de cada muestra, halle la media de la distribucinmuestral de varianzas si el muestreo es sin reemplazo.

Autoevaluacin

1. Quinientos cojinetes de bolas tienen un peso medio de 5,02 onzas y unadesviacin estndar de 0,30 onzas. Halle la probabilidad de que unamuestra al azar de 100 cojinetes elegidos entre este grupo tenga un pesototal (a) comprendido entre 496 y 500 onzas, (b) de ms de 510 onzas.

2. Un fabricante despacha 1000 lotes de 100 bombillas cada uno. Sinormalmente el 5% de las bombillas es defectuoso, en cuntos lotes cabeesperar menos de 90 bombillas buenas?

3. Ciertos tubos fabricados por una compaa tienen una duracin media de800 horas y una desviacin estndar de 60 horas. Halle la probabilidad deque una muestra al azar de 16 tubos, tomada entre ellos tenga una duracinmedia entre 790 y 810 horas.

4. Se ha encontrado que el 2 % de las piezas producidas por cierta mquina

son defectuosas. Cul es la probabilidad de que en una partida de 400piezas sean defectuosas 3 % o ms?

5. Los resultados de una eleccin demostraron que un cierto candidato obtuvoel 46% de los votos. Determine la probabilidad de que de 1000 individuoselegidos al azar de la poblacin votante se hubiese obtenido una mayorade votos para dicho candidato.

6. A yBjuegan a cara y cruz, lanzando cada uno 50 monedas. A ganar eljuego si consigue 5 o ms caras que B, de otro modo gana B. Determine laproporcin contra A de que gane un juego determinado.


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7. Dos distancias se miden y se obtiene 27,3 pulgadas y 15,6 pulgadas, condesviaciones estndar de 0,16 pulgadas y 0,08 pulgadas, respectivamente.Determine la media y la desviacin estndar de la diferencia de lasdistancias.

8. Un cierto tipo de bombilla elctrica tiene una duracin media de 1500 horasy una desviacin estndar de 150 horas. Se conectan tres bombillas deforma que cuando una se funde, otra sigue alumbrando. Suponiendo quelas duraciones se distribuyen normalmente. Cul es la probabilidad de quese tenga luz8.1 al menos 5000 horas?8.2 como mucho 4200 horas?

9. La desviacin estndar de los pesos de una poblacin muy grande deestudiantes es 10,0 libras. Se extraen muestras de 200 estudiantes cadauna de la poblacin y se calculan las desviaciones estndares de las alturas

de cada muestra. Halle la media y la desviacin estndar de la distribucinmuestral de las desviaciones tpicas.

10. Una poblacin est formada por los cuatro nmeros 3, 7, 11, 15. Consideretodas las posibles muestras de tamao dos que pueden extraerse de estapoblacin con reemplazo. Halle lo siguiente:10.1 la media poblacional10.2 la desviacin estndar poblacional10.3 la media de la distribucin muestral de medias10.4 la desviacin estndar de la distribucin muestral de medias

11. Ciertos tubos fabricados por una compaa tienen una duracin media de800 horas y una desviacin estndar de 60 horas. Halle la probabilidad deque una muestra al azar de 16 tubos, tomada de ellos tenga una duracinmedia de:11.1 entre 790 y 810 horas11.2 menor de 785 horas

12. Los pesos de los paquetes recibidos en un departamento dealmacenamiento tienen una media de 300 libras y una desviacin estndarde 50 libras. Cul es la probabilidad de que el peso de 25 paquetes

recibidos al azar y cargados en un ascensor supere el lmite de seguridaddel ascensor, que es de 8 200 libras?

13. Halle la probabilidad de que en los prximos 200 nios nacidos14.1 menos del 40 % sean nios.14.2 entre el 43 % y el 57 % sean nias.Supnganse iguales las probabilidades de nacimiento de nio y nia.

14. De un total de 1 000 muestras de 200 nios cada una, en cuntas cabeesperar que entre el 40 % y el 60 % sean nias?


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15. Una urna contiene 80 bolas de las que 60 % son rojas y 40 % blancas. Deun total de 50 muestras de 20 bolas cada una, sacadas de la urna conreemplazo, en cuntas cabe esperar 12 bolas rojas y 8 blancas?

16.A y B fabrican dos tipos de cables, que tienen unas resistencias medias a la

rotura de 4000 y 4500 libras con desviaciones estndar de 300 y 200 libras,respectivamente. Si se comprueban 100 cables de A y 50 cables de B,cul es la probabilidad de que la media de resistencia a la rotura de B sea(a) al menos 600 libras ms que A, (b) al menos 450 libras ms que A?

17. En una prueba de aptitud la puntuacin media de los estudiantes es de 72puntos y la desviacin tpica de 8 puntos. Cul es la probabilidad de quedos grupos de estudiantes, formados de 28 y 36 estudiantes, respecti-vamente, difieran en su puntuacin media en (a) 3 o ms puntos, (b) entre 2y 5 puntos?

18. Los resultados de una eleccin mostraron que un cierto candidato recibi el65 % de los votos. Halle la probabilidad de que en dos muestras al azarcompuesto cada una de 200 votantes, haya una diferencia superior al 10 %en las proporciones que votaron a dicho candidato.

Para recordarPara recordarPara recordarPara recordar

En el uso de Distribuciones muestrales se debe tener en cuenta que las

n variables aleatorias independientes a estudiar deben ser continuas.

Para un proceso Normal se debe tener en cuenta la media promedio yla desviacin estndar comn y finitas.


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INTERVALOS DE CONFIANZA

TEMAS

Estimacin Puntual. Propiedades de un estimador. Estimacin de intervalosde confianza Intervalos de confianza para la media con varianza conocida, muestra

grande Tamao muestral para estimar una media Intervalo de confianza para la diferencia de medias de dos distribuciones

con ambas desviaciones estndar conocidas, muestras grandes


Construir intervalos de confianza para la media de varianza conocida y

muestra grande Encontrar el tamao muestral para estimar una media Construir intervalos de confianza para diferencias de medias, con varianzas

conocidas y muestras grandes

CONTENIDOS

Estimacin Puntual. Propiedades de un estimador. Estimacin de intervalosde confianza

Intervalos de confianza para la media con varianza conocida, muestra

grande Tamao muestral para estimar una media Intervalo de confianza para la diferencia de medias de dos distribuciones

con ambas desviaciones estndar conocidas, muestras grandes

ACTIVIDADES

Utilizan el concepto de estimacin puntual. Interpretan el concepto de estimacin por intervalo. Realizan estimaciones de la media poblacional mediante intervalos de

confianza utilizando la distribucin normal.


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INTERVALO DE CONFIANZA

ESTIMACIN DE PARMETROS

Una vez que se obtiene algn estadstico (media, desviacin estndar o

proporcin muestral, entre otros) es importante determinar si dichosresultados pueden ser asociados a la poblacin de donde se extrajo lamuestra. La estimacin de parmetros se encarga de aproximar los valoresde estos a partir de los resultados obtenidos de un conjunto deobservaciones muestrales y sobre la base de ciertos procedimientos ycriterios previamente establecidos. Por esto nos permitir estimar conprecisin la porcin de la poblacin (la fraccin de la poblacin que poseeciertas caractersticas) y la media de la poblacin.

TIPOS DE ESTIMACIN

a) Estimacin Puntual

Una estimacin puntual es un solo nmero que se utiliza para estimar unparmetro de poblacin desconocido. Se puede decir que es la estimacindel valor de un parmetro por medio de un valor concreto (nico valor) y quese obtiene a partir del clculo del estimador correspondiente proveniente deuna muestra determinada. La desventaja de utilizar este tipo de estimacinradica en que no es posible determinar el grado de certeza que se tiene alhacer la estimacin.

Por ejemplo, si de una muestra de 36 cajeros automticos se obtuvo que eltiempo promedio de atencin al cliente es de 1.5 minutos con una desviacinestndar de 0.5 minutos, estos valores son los estimadores puntuales delverdadero tiempo promedio de atencin y de la verdadera desviacinestndar del tiempo de atencin a los clientes.

b) Estimacin por Intervalos

Una estimacin de intervalo es un intervalo de valores que se utiliza paraestimar un parmetro de poblacin. Esta estimacin indica el error de dosmaneras: por extensin del intervalo y por la probabilidad de obtener un

verdadero parmetro de la poblacin que se encuentra dentro del intervalobajo un cierto nivel de confianza o certidumbre previamente establecida. Esmejor la estimacin cuando este intervalo tiene longitud pequea y que laprobabilidad (nivel de confianza) de que el parmetro se encuentre entre loslmites de dicho intervalo (lmites de confianza) sea cercano a uno.

Estimador:Cualquier estadstica de muestra que se utilice para estimar unparmetro de poblacin se conoce como estimador, es decir, un estimador esuna estadstica de muestra utilizada para estimar un parmetro de lapoblacin. La media de la muestra x puede ser un estimador de la media dela poblacin , y la porcin de la muestra se puede utilizar como estimador

de la porcin de la poblacin.En general, se puede establecer lo siguiente:


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Estimacin: Cuando se ha observado un valor numrico especifico denuestro estimador, se refiere a ese valor como estimacin. En otraspalabras, una estimacin, es el valor especfico de una estadstica. Porejemplo, al tomar una muestra se calcula el valor que toma el estimador

en esa muestra, entonces se realiza una estimacin.

Criterios para seleccionar un buen estimadorImparcialidad: Esta se refiere al hecho que la media de muestra es unestimador no sesgado de una media poblacional, porque la media dedistribucin de muestreo de las medias de muestra tomadas de la mismapoblacin es igual a la media de la poblacin misma.Eficiencia. Se refiere al tamao de error estndar de la estadstica. Si alcomparar dos estadsticas de una muestra del mismo tamao, se escoge laestadstica que tuviera el menor error estndar o menor desviacin estndarde la distribucin de muestreo.

Coherencia. Una estadstica es un estimador coherente de un parmetropoblacional si al aumentar el tamao de la muestra, se tiene casi la certezade que el valor de la estadstica se aproxima bastante al valor del parmetrode la poblacin.Suficiencia. Un estimador es suficiente si se utiliza una cantidad de lainformacin contenida en la muestra que ningn otro estimador podraextraer informacin adicional de la muestra sobre el parmetro de lapoblacin que se est estimando.

LIC LCS

[ ] =+ 1ELELp

Donde: L: Estadstico correspondienteE: Error estndar de estimacin

1 - : Nivel de confianza: Parmetro por estimar

El error estndar de estimacin se establece en funcin al nivel de confianza y

al parmetro por estimar. El intervalo [L E, L + E] se denomina intervalo de


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Desviacin estndar poblacional () desconocida

Si n 30, el error de estimacin se calcula segn la frmula:

xtabZE

= *

n

Sx =

Donde:S: desviacin estndar de la muestra

x

: Error estndar de la media para la poblacinn: tamao de muestra.

Ztab: se obtiene a partir del nivel de confianza.

Observacin: Si se conoce el tamao de la poblacin (N) y el muestreo es sinreemplazo, se usa el factor de correccin para poblacin finita (fc) que afecta ymultiplica al error estndar de estimacin.

1NnN

fc

=

Tamao mnimo de muestra para estimar la media poblacionalEl tamao mnimo de muestra se puede calcular a partir de la siguiente

expresin:

2

22

E

Zn

tab =

Para tener el tamao mnimo de la muestra de una poblacin finita, se aplica elfactor de correccin para poblacin finita

1

2

=

N

nN

n

ZE tab

Luego: 2

22

)

1

( E

Z

N

nNn tab =

INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS DE DOSDISTRIBUCIONES CON AMBAS DESVIACIONES ESTNDAR CONOCIDASY MUESTRAS GRANDESSea X una variable aleatoria distribuida con media x y varianza

2

x conocida.

Sea Y una variable aleatoria distribuida con media x y varianza2

x conocida.

Para hallar el intervalo de confianza para la diferencia de las medias yx ,

se debe encontrar dos estadsticos

[ ] = 121 LSCLICp


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24


1. Se elige un nivel de confianza (1 )2. Considrese una muestra aleatoria de tamao n 30 de X, y una muestra

aleatoria de tamao m 30 de Y.3. Se sabe que la estadstica adecuada para estimar )( yx es )( YX ,

entonces se asume una distribucin muestral de )( YX para establecer unintervalo de confianza para )( yx .

4. Para n y m suficientemente grande (n 30 y m 30); la variable aleatoria Ztiene una distribucin aproximadamente normal estndar.

mn

YXZ

yx

yx

22

)()(

+

=

Luego:

=

+++ 1)()(

22

21

22

mnZYX

mnZYXp yxo

yxo

Se obtiene el intervalo aleatorio

+++

mnZYX

mnZYX yxo

yxo

2222

)(,)(

ACTIVIDADES

1. Se toma una muestra de 60 individuos de una poblacin que se sabe tieneuna desviacin estndar de 1,4. Se encuentra que la media de esta muestraes de 6,2.Construya una estimacin de intervalo alrededor de la media de la muestra,utilizando un error estndar de la media.


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2. La Universidad de Ciencias Aplicadas est realizando un estudio sobre elpeso promedio de los ladrillos que comprenden los pasillos de launiversidad. Se enviaron trabajadores que recolecten y pesen una muestrade 421 ladrillos; el peso promedio de esta muestra fue de 6,4 kg. Se sabecon toda certeza que la desviacin estndar del peso de los ladrillos es de

3,6 kilogramos. Cul es el intervalo alrededor de la media de la muestraque incluir a la media de la poblacin 95,5% de las veces?

3. Para una poblacin con una varianza conocida de 185, una muestra de 64individuos conduce al valor de 217 como estimacin de la media. Construyauna estimacin de intervalo que incluya a la media de la poblacin 68,3% delas veces.

5 El administrador del Emape est preocupado acerca de la cantidad deautomviles que pasan por las casetas de cobro sin pagar, y estconsiderando cambiar la manera de hacer los cobros si tal cambio resultaefectivo en cuanto a costos. Se muestre al azar 75 horas para determinarla tasa de violacin. El nmero promedio de violaciones por hora fue de 7. Sise sabe que la desviacin estndar de la poblacin es de 0,9, estime un

intervalo que tenga 95,5% de probabilidad de contener a la media real.


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6. La desviacin estndar de la duracin de los focos de una determinadafbrica es de 100 horas. Para un embarque de 2000 focos, el gerente decontrol de calidad desea determinar el tamao de la muestra necesaria, para

estimar la duracin promedio con error de estimacin de 20 horas y un 95%de confianza.

7. Para su produccin total de bombillas, la gerencia de una firma electrnicaest segura que los limites superior e inferior de vida no difieren en ms de600 horas. Para un nivel de confianza del 90%. Qu tan grande debetomarse la muestra para encontrar la vida promedio de una bombilla dentrode ms y menos 30 horas?


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8. La media y la desviacin estndar de las cargas mximas soportadas por100 cables producidos por la compaa DURAMAS son 20 toneladas y 1,1toneladas. La media y la desviacin estndar de las cargas mximassoportadas por 60 cables producidos por la compaa CABLECOM son 16

toneladas y 0,8 toneladas. Determine el intervalo de confianza al 95% parala diferencia de cargas mximas medias.

9. Una muestra de 150 bombillas del fabricante A dieron una vida media de1400 horas y una desviacin estndar de 120 horas. Una muestra de 100bombillas del fabricante B dieron una vida media de 1200 horas y unadesviacin estndar de 80 horas. Halle el intervalo de confianza al 99% parala diferencia de las vidas medias de las poblaciones A y B.

Autoevaluacin

1. La panificadora Gabino est interesada en adquirir una camioneta usada.Selecciona al azar 125 ofertas de venta y encuentra que el precio promediode una camioneta en esta muestra es de $3250. La empresa sabe que ladesviacin estndar de los precios de las camionetas usadas en la ciudad

es de $615. Construya una estimacin de intervalo para el precio promedio


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de una camioneta de modo que se pueda tener un 95,5% de certeza deque la media de la poblacin se encuentra en dicho intervalo.

2. La junta directiva de los colegios PAMER considera como su tarea msimportante el mantener la cantidad promedio de los alumnos por aula, por

debajo del tamao promedio de las aulas de los colegios TRILCE. El seorCrdova, coordinador de los colegios PAMER, acaba de recibir informacinconfiable que indica que el tamao de clase promedio de TRILCE en elpresente ao es de 30,3 estudiantes. Todava no tiene los datoscorrespondientes de las 1 621 aulas que se tienen en su propio sistemaescolarizado, de modo que Crdova se ve forzado a apoyarse en las 76aulas que han informado acerca de su tamao, lo cual le produce unpromedio de 29,8 estudiantes. De saber que el tamao de grupo de suscolegios tiene una distribucin cuya media se desconoce y una desviacinestndar de 8,3 estudiantes y suponiendo que la muestra de 76 aulas quetiene el seor Crdova es una muestra aleatoria de la poblacin de las

aulas del colegio PAMER:2.1 Encuentre un intervalo en el cual Crdova pueda tener 9,5% de

certeza de que contendr a la medida real.2.2 Usted cree que el seor Crdova ha conseguido su objetivo?

3. Tula, duea del saln de belleza Stylos, se ha formado de una buenareputacin entre los residentes del cono este. Cuando un cliente entra a suestablecimiento, Tula grita los minutos que el cliente deber esperar antesde que se le atienda. El nico estadstico del lugar, despus de ver elfracaso de las poco precisas estimaciones puntuales de Tula, hadeterminado que el tiempo de espera real de cualquier cliente estdistribuido normalmente con una media igual a la estimacin de Tula enminutos y una desviacin estndar igual a cinco minutos divididos entre laposicin del cliente en la fila de espera. Ayude a los clientes de Tula aconstruir intervalos de 95% de probabilidad para las situaciones siguientes:3.1 El cliente es el segundo en la fila de espera, y la estimacin de

Tula es de 25 minutos.3.2 El cliente es el tercero de la fila, y la estimacin de Tula es de 15

minutos.

4. El gerente de la divisin de focos ahorradores de Jossfel Electric debe

determinar el nmero promedio de horas que durarn los focos fabricadospor cada una de las mquinas. Fue elegida una muestra de 40 focos deuna mquina A y el tiempo promedio de funcionamiento fue de 1,416horas. Se sabe que la desviacin estndar del tiempo te duracin es de 30horas.4.1 Calcule el error estndar de la media4.2 Construya un intervalo de confianza de 90% para la media de la

poblacin.

5. Javier Lpez acaba de terminar el primer borrador de su tesis, la cual tiene700 pginas. Javier escribi a mquina el borrador y est interesado en

saber el nmero promedio de errores tipogrficos contenidos por pgina,pero no quiere leer todo el borrador. Como sabe un poco de estadstica


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30


duraznos que posee la compaa. Con el fin de determinar el grado dedao ocasionado a los rboles, se ha escogido una muestra de 42duraznos y se encontr que la produccin promedio fue de 525 duraznospor rbol, con una desviacin estndar de 30 duraznos por rbol.11.1 Construya un intervalo de confianza de 98% para la produccin

media por rbol del total de 2500 rboles.11.2 Si la produccin media de duraznos por rbol fue de 600 frutashace cinco aos, qu puede decir el gerente acerca de la posibleexistencia de daos en el presente?

12. El jefe de las fuerzas policiales recientemente estableci medidasenrgicas para contrarrestar a los traficantes de droga de su ciudad. Desdeque se pusieron en funcionamiento dichas medidas, han sido capturados750 de los 12368 traficantes de droga de la ciudad. El valor promedio, endlares, de las drogas decomisadas a estos 750 traficantes es de $250000.La desviacin estndar del valor en dlares de la droga de estos 750

traficantes es de $41000. Construya, para el jefe, un intervalo de confianzade 90% para el valor medio de los estupefacientes que estn en manos delos narcotraficantes de la ciudad.

13. Una compaa tiene 500 cables. Un ensayo con 40 cables elegidos al azardieron una media de resistencia a la rotura de 2400 libras y una desviacintpica de 150 libras. Con qu grado de confianza cabe decir que la mediade resistencia a la rotura de los 460 cables restantes sea 2400 35 libras?

14. En una granja de 1000 pollos se va a experimentar con una nueva dieta deengorde. Si se sabe que la desviacin tpica del aumento de peso en unperiodo de un mes es igual a dos onzas. Qu tamao debe tomarse unamuestra que conduzca a una estimacin del aumento de peso de latotalidad de la parvada, si se quiere que esta estimacin no contenga unerror mayor que 40 lb. (una 1b = 16 oz.) con probabilidad de 0.95?

15. De una orden especial de 1500 taladros recibidos de la compaa Andinade mquinas y herramientas, se prob una muestra de 36 taladros. Lamuestra tuvo una vida de 1800 horas y una desviacin estndar de 150horas. Construya un intervalo de confianza de un 98% para la vida mediade los taladros.

16. De qu tamao debe ser la muestra para poder tener 95% de confianza enque el error de estimacin es de 5 o menos. Suponga que la desviacinestndar poblacional es de 25.

17. La revista Unidos por Siempre dio a conocer el costo promedio de unaboda, que es de s/. 19000 soles. Suponga que la desviacin estndarpoblacional es de s/. 9400 con una confiabilidad del 95%. Qu tamaodebe tener la muestra si el error de estimacin deseado es de s/. 1000soles?

18. Se cree que los sueldos anuales iniciales de egresados de licenciatura enadministracin pueden tener una desviacin estndar aproximada de $


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2000. Suponga que desea una estimacin por intervalo de 95% de nivel deconfianza para la media del sueldo anual inicial. De qu tamao debetomarse la muestra, si el error de estimacin deseado es de $ 200.

19. La empresa de bienes y races Fortaleza proporciona costos promedios

mensuales de renta de departamentos en el departamento de Arequipa.Suponga que la desviacin estndar poblacional es de s/. 220 soles y queel error de estimacin es de s/. 50. Cul es el tamao de la muestrarecomendada para una estimacin del intervalo de confianza de 90% delcosto de renta promedio poblacional?

20. El tiempo de traslado al trabajo, para residentes en los conos de la ciudadde Lima, tiene una distribucin normal con desviacin estndar de 6,25minutos. Si el error de estimacin es de 2 minutos. Qu tamao debetener la muestra, a una confiabilidad del 90%?

21. Determine el tamao mnimo de muestra que se debe tomar para estimaral 85% de confianza el porcentaje de limeos que actualmente utilizaInternet diariamente. El ao pasado se realiz una investigacin que indicque el 18% de los limeos utilizaba Internet diariamente. Se desea que elerror al hacer la estimacin no sea mayor que 5%.

22. Un ingeniero industrial est interesado en estimar el tiempo mediorequerido para ensamblar una tarjeta de circuito impreso. Qu tan grandedebe ser la muestra si el ingeniero desea tener una confianza del 95% deque el error de estimacin de la media es menor que 0.25 minutos? Ladesviacin estndar del tiempo de ensamble es 0.45 minutos.

23. Una tienda de departamentos desea estimar, con un nivel de confianza de0.98 y un error mximo de 0,5, el verdadero valor medio de dlares de lascompras a crdito por mes realizadas por sus clientes. Dado que ladesviacin tpica es $ 15, determine el tamao de la muestra.

24. De dos anlogos grupos de enfermos A y B formados de 50 y 100individuos respectivamente, al primero le fue dado un nuevo tipo desomnfero y al segundo el tipo convencional. Para los pacientes del primergrupo el nmero medio de horas de sueo fue de 7,82 horas con una

desviacin estndar de 0,24 horas. Para el segundo grupo el nmeromedio de horas de sueo fue de 6,75 horas con una desviacin estndarde 0,30 horas. Halle el intervalo de confianza al 99% para la diferencia delnmero de horas de sueo inducidas por los dos tipos de somnfero.

25. Una muestra al azar de 200 pilas de la marca A para calculadoras tieneuna vida media de 140 horas y una desviacin estndar de 10 horas. Unamuestra al azar de 120 pilas de la marca B para calculadoras tiene unavida media de 125 horas y una desviacin estndar de 9 horas. Determineel intervalo de confianza al 99% para la diferencia de medias de las dosmarcas de pilas para calculadoras


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26. Dos grupos al azar de 50 alumnas de una escuela para secretariasejecutivas aprende taquigrafa por dos sistemas diferentes y luego sesometen a una prueba de dictado. Se encuentra que en un minuto el primergrupo obtiene en promedio de 120 palabras con una desviacin estndarde 11 palabras, mientras que en un minuto el segundo grupo promedia 110

palabras con una desviacin estndar de 10 palabras. Determine elintervalo de confianza al 90% para la diferencia de las medias de los dosmtodos.

27. Un investigador desea comparar la efectividad de dos mtodos deentrenamiento industrial para obreros que trabajan en plantasensambladoras de autos. A un primer grupo de 50 trabajadoresseleccionados al azar, se les entrena en un nuevo mtodo de ensambladodenominado mtodo I, mientras que al segundo grupo de 60 trabajadoresse les capacita con el mtodo II. Despus, se observa la efectividad de losdos mtodos aprendidos. El primer grupo disminuye el tiempo de

ensamblado con un promedio de 48 minutos y una desviacin estndar de9 minutos, mientras que el segundo grupo lo hace con un promedio de 53minutos y desviacin estndar de 12 minutos. Determine el intervalo deconfianza al 95% para la diferencia de las medias de los dos mtodosaprendidos.


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Para recordarPara recordarPara recordarPara recordar

La precisin de una estimacin puntual puede evaluarse en la muestra,por estimacin de un intervalo junto con una medida de la seguridadque tal intervalo contenga la parmetro desconocido de la poblacin.

El intervalo aleatorio es un intervalo en el cual por lo menos uno de susextremos es una variable aleatoria.


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INTERVALO DE CONFIANZAINTERVALO DE CONFIANZAINTERVALO DE CONFIANZAINTERVALO DE CONFIANZAPARA MUESTRASPARA MUESTRASPARA MUESTRASPARA MUESTRAS PEQUEASPEQUEASPEQUEASPEQUEAS

TEMAS

Intervalo de confianza para la media con varianza desconocida. Muestrapequea.

Intervalo de confianza para la diferencia de medias con varianzasdesconocidas pero iguales. Muestras pequeas.


Construir intervalos de confianza para muestras pequeas Construir intervalos de confianza para diferencias de medias, con varianzas

desconocidas pero iguales, muestras pequeas

CONTENIDOS

Intervalo de confianza para la media con varianza desconocida, Muestrapequea

Intervalo de confianza para la diferencia de medias con varianzasdesconocidas pero iguales. Muestras pequeas

ACTIVIDADES

Utilizan el concepto de estimacin puntual. Interpretan el concepto de estimacin por intervalo. Realizan estimaciones de la media poblacional mediante intervalos de

confianza para muestras pequeas utilizando la distribucin t student.


3


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INTERVALO DE CONFIANZA MEDIANTE LA DISTRIBUCIN T

Los primeros trabajos tericos sobre la distribucin t fueron hechos por W. S.Gossett, durante los primeros aos del siglo XX en Dubln, Irlanda, y adopt elseudnimo de Student, conocida como la distribucin t de student.

La distribucin t de student se utiliza cuando el tamao de la muestra es menorde 30 datos y la desviacin estndar de la poblacin no se conoce. Adems, alutilizar la distribucin t de student, se supone que la poblacin es normal oaproximadamente normal.Los grados de libertad se definen como el nmero de valores que se puedenSe escoge libremente.Cuando se elije una distribucin t de student para estimar una media de lapoblacin se utilizar (n 1) grados de libertad, tomando como n al tamao dela muestra.

Sea X una variable aleatoria con distribucin aproximadamente normal, con

media y varianza 2 (desconocida). Adems, cuando 2 es desconocida se

usa el estimador puntual 2S .

Considrese una muestra aleatoria de tamao n (n


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L: Estadstico correspondienteE: Error estndar de estimacin

1 - : Nivel de confianza: Parmetro por estimar

= xtabTE *

n

Sx =

Donde:S : desviacin estndar de la muestra

x

: Error estndar de la media para una poblacinTtab : Valor obtenido de la tabla de T - Student para "n - 1" grados de

libertad

Observacin: Si se conoce el tamao de la poblacin (N) y el muestreo es sinreemplazo, se usa el factor de correccin para poblacin finita (fc) que afecta ymultiplica al error estndar de estimacin (E).

1NnN

fc

=

INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS DE DOSDISTRIBUCIONES CON VARIANZAS DESCONOCIDAS PERO IGUALES YMUESTRAS PEQUEAS

Sea X una variable aleatoria distribuida con media x y varianza 2x desconocida. Sea Y una variable aleatoria distribuida con media x y varianza

2

x desconocida. Sea Xla media muestral de una muestra aleatoria de n (n

=

:

:

1

Donde o es el valor de la media poblacional.2. Se escoge el nivel de significancia .

3. Una estadstica para la media de la poblacin es la media muestral x . Si lapoblacin es normal (o si la muestra es grande 30n , aun cuando lapoblacin no es normal).

La distribucin de x es ),(2

nN

.

La variable aleatoria

n

xZ o

= tiene una distribucin normal estndar

N(0,1)4. La regin critica (R.C.) es + Z , donde oZ es tal que [ ] => 1ZZP

5. Se calcula x de los datos, luego se obtiene Z

n

xZ o

=

6. Se compara Zcon Zo.Si Z> Z 1- + 1ZZ , se rechaza la hiptesis nula Ho

Si Z< Z 1- 1,ZZ , se acepta la hiptesis nula Ho


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Regin de Aceptacin Regin de Rechazo

0 1Z

PRUEBA BILATERAL DE UNA HIPTESIS SOBRE LA MEDIA

Prueba de significancia de dos colas

1. Se Se formula la hiptesis nula y la hiptesis alternativa

o

oo

H

H

=

:

:

1


3. Una estadstica para la media de la poblacin es la media muestral x . Si lapoblacin es normal (o si la muestra es grande 30n , aun cuando lapoblacin no es normal).

La distribucin de x es ),(2

nN

.

La variable aleatoria

n

xZ o

= tiene una distribucin normal estndar

N(0,1)4. La regin Aceptacin (R.A.) es ba, , donde a y b son tal que

=


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+

nZ

nZ oo

2/2/ ,

5. Se calcula x a partir de la muestra observada,(tambin S si no se conoce lavarianza 2 y la muestra n es grande)

6. Se compara Zcon Z /2.Si 2/, ZZ 0 ++ ,2/ZZ , se rechaza la hiptesis nula Ho

Si + 2/2/ , ZZZ , se acepta la hiptesis nula Ho

Regin de Rechazo Regin de Aceptacin Regin de Rechazo

2/Z 0 2/Z

PRUEBA DE HIPTESIS PARA DIFERENCIA DE MEDIAS

En muchos ensayos de prueba de hiptesis se quiere determinar si existe o nouna diferencia significativa entre las medias x y y de dos poblaciones o

variables aleatorias X e Y. La prueba de hiptesis que comprenden dosmedias son las mismas que la de una sola media, salvo que se necesitan dosmuestras, una en cada poblacin.La hiptesis nula yxoH =: o 0: = yxoH

Hiptesis alternativa:a) yxH :1 0:1 yxH

b yxH :1 0:1 yxH

c) yxH :1 0:1 yxH Si H1toma la forma (a) se utiliza una prueba bilateral, en otros casos se empleauna prueba unilateral.

Desviaciones Estndar Conocidas, Muestras GrandesPrueba Unilateral

Caso I:1. Considrese la siguiente hiptesis:

yxoH =: o 0: = yxoH

yxH :1 0:1 yxH


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2. Se escoge el nivel de significancia .3. La estadstica para la diferencia de medias poblacionales )( yx , es la

diferencia de medias muestrales )( yx . Si la poblacin tiene una

distribucin normal con desviaciones estndar conocidas x y y conocidas (o si las muestras son grandes 30n , 30, m an cuando lapoblacin no es normal).La distribucin de )( yx es normal con media )( yx y varianza

)(

22

mnyx

+ .

Por tanto, la variable aleatoria:

mn

yxZ

yx

yx

22

)()(

+

=

Tiene una distribucin normal estndar.

4. En el supuesto de que Ho es verdadero, es decir, que 0)( = yx . La

regin crtica (R.C.) es + ,cx , tal que = cxyxP )(

=

+

+

mn

x

mn

yxP

yx

c

yx

2222

)(

=

+

mn

xZP

yx

c

22

Luego:mn

Zx yxc

22

1

+=

5. Se calcula la diferencia de las medias muestrales )( yx y yxS si no se

conoce 22 , yx . Para muestras grandes se utiliza yxS .

6. Conclusin: si )( yx se encuentra en la regin crtica + ,cx , se rechazaHo, en caso contrario se acepta.


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64


=

+

mn

xZP

yx

c

22

Luegomn

Zx yxc

22 +=

5. Se calcula la diferencia de las medias muestrales )( yx yyx

S

si no se

conoce 22 , yx . Para muestras grandes se utiliza yxS .

6. Conclusin: si )( yx se encuentra en la regin crtica cx, , se rechazaHo, en caso contrario se acepta.

Regin de Rechazo Regin de Aceptacin

Z 0Prueba Bilateral

1. Considrese la siguiente hiptesis:

yxoH =: o 0: = yxoH

yxH :1 0:1 yxH

2. Se escoge el nivel de significancia .3. La estadstica para la diferencia de medias poblacionales )( yx es la

diferencia de medias muestrales )( yx . Si la poblacin tiene unadistribucin normal con desviaciones estndar conocidas x y y

conocidas (o si las muestras son grandes 30n , 30, m aun cuando lapoblacin no es normal).La distribucin de )( yx es normal con media )( yx y varianza

)(

22

mn

yx + .


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Por tanto, la variable aleatoria:

mn

yxZ

yx

yx

22

)()(

+

=

Tiene una distribucin normal estndar.

4. En el supuesto de que Ho es verdadero, es decir que 0)( = yx . Laregin de aceptacin (R.A.) es ba, , tal que = 1)( byxaP

=

+

+

+

1)(

222222

mn

b

mn

yx

mn

aP

yxyxyx

=

+

+

12222

mn

bZ

mn

aP

yxyx

Luego,mn

Za yx22

2/

+=

mnZb yx

22

2/

++=

5. Calclese la diferencia de las medias muestrales )( yx . Tambin 22 , yx SS si

no se conoce 22 , yx y las muestras son grandes.

6. Conclusin: si )( yx se encuentra en la regin de aceptacin ba, , seacepta Ho, en caso contrario se rechaza.


2/Z 0 2/Z


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ACTIVIDADES

1. El fabricante de cierta marca de cigarrillos sostiene que sus cigarrilloscontienen en promedio 18 miligramos de nicotina por cigarrillo. Unorganismo de control examina una muestra de 100 cigarrillos. Utilizando un

nivel de significacin 0,01; puede el organismo concluir que el fabricantesubestima el contenido medio de nicotina de sus cigarrillos, si el contenidomedio de la muestra es de 19,2 miligramos con una desviacin estndar de2 miligramos?

2. El organismo de control de cierto Concejo Municipal analiza una muestra de36 paquetes de carne molida que produce la fbrica de embutidos LANICA. El rtulo en cada paquete dice que contiene no ms de 25% degrasa. Puede el organismo de control concluir que la carne que producedicha fbrica tiene ms de 25% de grasa, si la muestra da un contenidomedio de grasa de 0,265 y una desviacin estndar de 0,030? Use =0,05.

3. Un fabricante de pilas afirma que la vida media de su producto exceder las30 horas. Una compaa desea comprar un lote grande de pilas si la

afirmacin es cierta. Se toma al azar una muestra de 36 pilas y se encuentraque la media de la muestra es 34 horas. Si la poblacin de pilas tiene una


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desviacin estndar de 5 horas, si Ho es < 30, para qu valores de se adquirirn las pilas?

4. Diariamente, el servicio de aduanas ha interceptado a lo largo de su historiaalrededor de $28 millones de bienes de contrabando introducidos al pas,con una desviacin estndar de 416 millones al da.

En 64 das de 1992, elegidos aleatoriamente, el Servicio de Aduanasintercept un promedio de $30,3 millones de bienes de contrabando. Indica

esta muestra (a un nivel de significancia del 5%) que el jefe de Aduanasdebera preocuparse por el incremento de contrabando por encima de sunivel histrico?

5. Se investigaron aleatoriamente 75 grifos de la cadena Repsol, y sedetermin que el precio promedio de la gasolina regular sin plomo fue de$1059, con una desviacin estndar de 3,9 centavos. Tres mesesdespus, en otra investigacin aleatoria de 50 grifos, se encontr un

precio promedio para el mismo tipo de combustible de $1089, con unadesviacin estndar de 6,8 centavos. A un nivel significancia de 0,02


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Cambi significativamente el precio de la gasolina regular sin plomodurante el periodo de tres meses considerado?

6. A pesar de la ley de sueldos de 1993, en el 2007, todava parece que loshombres ganan ms que las mujeres en trabajos parecidos. En unamuestra de 38 operadores varones de mquinas-herramientas seencontr que el salario medio por da fue de s/. 45,20 con unadesviacin estndar de de s/. 4,50. En otra muestra de 45 mujeresoperadoras de mquinas-herramientas se encontr que el salario mediopor da fue de s/. 40,50 con una desviacin estndar de de s/. 3,85.Basndose en estas dos muestras, Es razonable llegar a la conclusin(a un nivel = 0,01) de que los operadores ganan ms de s/.5,00 por daque las operadoras?


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Autoevaluacin

1. La comisin promedio que cargan las compaas de corretaje de tiempocompleto en una venta de valores comunes es de $144 con una desviacin

estndar de $52. Se tom una muestra aleatoria de 121 compras y sedetermin que haban pagado una comisin promedio de $151. A un nivelde significancia de 0,10, puede concluirse que las comisiones son mayoresque el promedio de la industria?

2. Alfano ha puesto en marcha una promocin comercial especial para suestufa de propano y siente que la promocin debe provocar un cambio en elprecio al consumidor. Alfano sabe que antes de que comenzara lapromocin, el precio promedio al menudeo de la estufa era de $44,95 conuna desviacin estndar de $5,75. Alfano muestrea a 30 de sus minoristasdespus de iniciada la promocin y encuentra que el precio medio de las

estufas es ahora de $42,95. A un nivel de significancia de 0,02, tieneAlfano razones para creer que el precio promedio al menudeo para elconsumidor ha disminuido?

3. Del 2000 al 2006, la tasa promedio de precios/utilidades (p/u) de losaproximadamente 1899 valores inscritos en la Bolsa de Valores de Lima fuede 14,35 con una desviacin estndar de 9,73. En una muestra de 30valores de la Bolsa, aleatoriamente escogidos, la tasa p/u promedio en el2006 fue de 11,77. Esta muestra presenta evidencia suficiente para concluir(al nivel de significancia de 0,05) que en el 2007 la tasa promedio para losvalores de la Bolsa se habra modificado de su anterior valor.

4. Editorial Navarrete supone que la vida de su prensa ms grande es de14500 horas, con una desviacin estndar conocida de 2 00 horas. De unamuestra de 30 prensas, la compaa encuentra una media de muestra de 13000 horas. A un nivel de significancia de 0,01 debera concluir la compaaque la vida promedio de las prensas es menor que las hipotticas 14500horas?

5. UBK sabe que una cierta pelcula de xito se exhibi un promedio de 84das en cada ciudad, y la desviacin estndar correspondiente fue de 10das. El administrador del distrito de Los Olivos estaba interesado encomparar la popularidad de la pelcula. Eligi aleatoriamente 75 cines deldistrito y encontr que proyectaron la pelcula un promedio de 81,5 das.Establezca hiptesis apropiadas para probar si hubo una diferenciasignificativa en la duracin de la exhibicin de la pelcula entre los cines deldistrito de Los Olivos y los dems de la UBK. Use un nivel de significanciadel 1% y pruebe estas hiptesis.

6. Un fabricante de automviles afirma que un modelo en particular rinde 28millas por galn. La Agencia de Proteccin al consumidor, usando unamuestra de 49 automviles de este modelo, encuentra que la media de

muestra es 26,8 millas por galn. De estudios previos, la desviacinestndar de la poblacin se sabe que es de 5 millas por galn. Sera


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razonable esperar (en 2 errores estndar) que se pudiera seleccionar unamuestra semejante si realmente la media de poblacin fuera 28 millas porgaln?

7. Los estatutos ambientales aplicables a una cierta planta nuclear especifican

que el agua recibida no debe, en promedio, exceder los 28,9C antes depueda ser lanzada al ro que corre junto a la planta. De 70 muestras, seencontr que el promedio de temperatura del agua reciclada era de 30,2C.Si la desviacin estndar de la poblacin es de 7,5C, debera la planta sermultada por exceder las limitaciones del estatuto? Formule y pruebe lashiptesis apropiadas con = 0,05.

8. Inspectores de salubridad, al investigar los cargos levantados contra unaembotelladora de bebidas no alcohlicas, de Ancn, que no llenabanadecuadamente sus productos, han muestreado 200 botellas y encontraronque el promedio de llenado es de 930 ml. Se anuncia que las botellas

contienen 946,33 ml. Se sabe que la desviacin estndar de la poblacin esde 44,36 ml. Deberan concluir los inspectores, al nivel de significancia de2%, que las botellas estn siendo llenadas con menos contenido?

9. En 2002, la tarifa area promedio con dos semanas de anticipacin en elvuelo entre Lima Aruba era de $235. La desviacin estndar de la poblacinera de $68. En una encuesta hecha en 2003 a 90 viajeros elegidosaleatoriamente entre estas dos ciudades se encontr que haban pagado epromedio $218,77 por sus boletos. Cambi significativamente la tarifapromedio en esta ruta entre 2002 y 2003? Cul es el mayor nivel designificancia en el que podra concluir que la tarifa promedio observada noes significativamente diferente de $235?

10. Una cadena regional de tiendas de abarrotes ha instalado cajascomputarizadas para reducir la espera del usuario y los costos de trabajo,as como para ayudar en el control de inventarios. Los 36 empleadosentrenados en las nuevas mquinas promediaron 12,4 intentos antes delograr una transaccin libre de errores. La larga experiencia de los cajerospara manejar las antiguas cajas registradoras mostraba un promedio de11,6 intentos antes de lograr una operacin perfecta, con una desviacinestndar de 2,7 intentos. Con un nivel = 0,01, debera la cadena concluir

que las nuevas registradoras computarizadas son ms difciles de aprendera operar?

11. En Julio del 2007, el Ministerio de Trabajo consider una propuesta paraexigir a las compaas que informaran del efecto potencial de la existenciade opciones para los empleados sobre las ganancias por accin (GPA). Unamuestra de 41 empresas de alta tecnologa revel que la nueva propuestareducira las GPA en un monto del 13,8 con una desviacin estndar de18,9%. Otra muestra aleatoria de 35 productores de bienes de consumomostr que la propuesta reducira las GPA en 9,1% en promedio, con unadesviacin estndar del 8.7%. Con base en estas muestras, Es razonable

llegar a la conclusin (a un nivel = 0,01) de que la propuesta del Ministerio


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de Trabajo ocasionar una mayor reduccin en las GPA para las empresasde alta tecnologa o para los productores de bienes de consumo?

12. Dos laboratorios de investigacin han producido, independientemente,medicamentos que alivian las molestias de la artritis. El primer medicamento

fue probado en un grupo de 90 personas que sufren de artritis y produjo unpromedio de 8,5 horas de alivio, con una desviacin estndar de 1,8 horas.El segundo medicamento fue probado en 80 artrticos y produjo una mediade 7,9 horas de alivio, con una desviacin estndar de 2,1 horas. A un nivel0,05 de significancia, el segundo medicamento proporciona un periodo dealivio significativamente ms corto?

Para recordar

Para una prueba de hiptesis se debe formular adecuadamente lahiptesis nula con un nivel de significancia de acuerdo con la realidaddel proceso.


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HIPTESIS ESTADSTICAHIPTESIS ESTADSTICAHIPTESIS ESTADSTICAHIPTESIS ESTADSTICA

MUESTRAS PEQUEASMUESTRAS PEQUEASMUESTRAS PEQUEASMUESTRAS PEQUEAS

TEMAS Prueba de Hiptesis para medias. Muestras pequeas Prueba bilateral de una hiptesis sobre la media Prueba unilateral de una hiptesis sobre la media, caso I, caso II Prueba de Hiptesis para diferencia de media Desviacin estndar desconocidas. Muestras pequeas


Describir la hiptesis nula y la hiptesis alternativa de un problema Determinar una estadstica de prueba lgica y una regla de decisin para

probar las hiptesis para muestras pequeas.CONTENIDOS

Prueba de Hiptesis para medias. Muestras pequeas Prueba bilateral de una hiptesis sobre la media Prueba unilateral de una hiptesis sobre la media, caso I, caso II Prueba de Hiptesis para diferencia de media

Desviacin estndar desconocidas. Muestras pequeas.ACTIVIDADES

Utilizan e interpretan el concepto de prueba de hiptesis Toman decisiones de aceptacin o rechazo de una hiptesis bajo

consideraciones estudiadas.


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PRUEBA DE HIPTESIS PARA MEDIAS, MUESTRAS PEQUEAS.

Para muestras pequeas de poblaciones con distribucin aproximadamente

normal, se recurre a la distribucin t para prueba de hiptesis sobre la mediaPrueba de significancia de una cola

Caso I1. Se formula la hiptesis nula y la hiptesis alternativa

o

oo

H

H

t + ,tt , se acepta la hiptesis nula Ho


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t 0

Caso II1. Se formula la hiptesis nula y la hiptesis alternativa

o

oo

H

H

>

=

:

:

1


3. Una estadstica de prueba es x , para muestras pequeas se usa la variablealeatoria.

n

S

x

t o

=

Tiene una distribucin t con (n-1) grados de libertad.4. La regin crtica (R.C.) es + ,cx , donde cx es tal que = cxxP

=

n

sx

n

sx

p co

=

n

sx

tp c

[ ] = cttp

5. Se calcula x de los datos, luego se obtiene 1t


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76


n

sx

t o

=1

6. Se compara t con 1t

Si t > 1t + ,1 tt , se rechaza la hiptesis nula Ho

Si t < 1t 1, tt , se acepta la hiptesis nula Ho


0 1Z



1. Se formula la hiptesis nula y la hiptesis alternativa

o

oo

H

H

=

:

:

1

Donde o es el valor de la media poblacional.2. Se escoge el nivel de significancia .3. Una estadstica de prueba es x , para muestras pequeas se usa la variable

aleatoria.

n

Sxt o=

Tiene una distribucin t con (n-1) grados de libertad.4. La regin Aceptacin (R.A.) es ba, , donde a y b son tal que

=


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=

1

n

sb

n

sx

n

sa

p oo

Luego, la regin de aceptacin:

+

n

st

n

st oo 2/2/ ,

7. Se calcula x a partir de la muestra observada,(tambin S si no se conoce lavarianza 2 y la muestra n es grande).

8. Se compara t con t/2.Si 2/, tt 0 ++ ,2/tt , se rechaza la hiptesis nula Ho

Si + 2/2/ , ttt , se acepta la hiptesis nula Ho


2/t 0 2/t+

PRUEBA DE HIPTESIS PARA DIFERENCIA DE MEDIAS

Para probar hiptesis sobre la diferencia de medias, bajo el supuesto que Hoes verdadero, es decir 0= yx , cuando los tamaos de muestras son

pequeos y las poblaciones tienen distribuciones normales, con desviacionesestndar iguales se utiliza la variable aleatoria t que tiene una distribucin t con(n + m + 2) grados de libertad.

mn

mnnm

smsn

yxt

yx +

++

+

=

)2(

)1()1(

)(

22

Desviaciones Estndar desconocidas, Muestras PequeasPrueba Unilateral

Caso I:1. Considrese la siguiente hiptesis:


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yxoH =: o 0: = yxoH

yxH :1 0:1 yxH

2. En el supuesto de que Ho es verdadero, es decir, que 0)( = yx . Se

calcula 1t , de tal manera que [ ] = 11ttP . La regin crtica (R.C.) es+ ,1 t ,

3. Conclusin: si t se encuentra en la regin crtica + ,1t , se rechaza Ho,en caso contrario se acepta.


0 1t

Caso II:1. Considrese la siguiente hiptesis:

yxoH =: o 0: = yxoH

yxH :1 0:1 yxH

2. En el supuesto de que Ho es verdadero, es decir que 0)( = yx . Se

calcula 1t , de tal manera que [ ] =ttP . La regin crtica (R.C.) es

t, ,

3. Conclusin: si t se encuentra en la regin crtica t, , se rechaza Ho, encaso contrario se acepta.


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t 0

Prueba Bilateral1. Considrese la siguiente hiptesis:

yxoH =: o 0: = yxoH

yxH :1 0:1 yxH

2. En el supuesto de que Ho es verdadero, es decir que 0)( = yx . Se

calcula 2/t y 2/t+ , de tal manera que [ ] = 12/2/ tttP . La regin

crtica (R.C.) es 2/, t U ++ ,2/t

3. Conclusin: si t se encuentra en la regin crtica 2/, t U ++ ,2/t , serechaza Ho, en caso contrario se acepta.


2/t 0 2/t+


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3. Una compaa inmobiliaria tom como muestra aleatoria de 12 hogares deuna prestigiada urbanizacin de Surco y encontr que el valor de mercadopromedio estimado era de $780000, con una desviacin estndar de $49000.Pruebe la hiptesis de que para todas las casas del rea, el valor estimado

medio es de $825000, frente a la otra opcin de que es menos de $825000.Utilice el nivel de significanca de 0,05.

4. En el taller mecnico de Jerry utilizan una sierra a motor para cortar el tubode metal que se utiliza en la manufactura de dispositivos de medicin depresin. La longitud de los segmentos de tubo est distribuida normalmente.Se cortaron 25 piezas de tubo con la sierra calibrada para cortar seccionesde 5,00 pulgadas de longitud. Cuando se midieron estas piezas, se encontrque su longitud media era de 4,7 pulgadas y con una desviacin estndarde 0,06 pulgadas. Utilice valores probables para determinar si la mquinadebe ser recalibrada, debido a que la longitud media es significativamentediferente a 5,00 pulgadas.

5. El decano de la facultad de Ingeniera Ambiental de la Universidad Nacional

de Ingeniera, se pregunta acerca de las distribuciones de calificacin en elnivel universitario. Ha escuchado rumores de que las notas de la facultad de


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Ingeniera Industrial est aproximadamente 0,25 por debajo de las notas dela facultad de Ingeniera metalrgica. Un rpido muestreo aleatorio arrojlas siguientes calificaciones:

Ing.

Ambiental 2,86 2,77 3,18 2,80 3,14 2,87 3,19 3,24 2,91 3,00 2,83

Ing.Industri

al3,35 3,32 3,36 3,63 3,41 3,37 3,45 3,43 3,44 3,17 3,26

Estos datos indican que existe una base fundada para los rumores?Establezca y pruebe hiptesis apropiadas a un nivel =0,02.

6. La compaa Natural acaba de concluir una nueva campaa publicitariapara su producto Kivi punch, el cereal natural para el desayuno quecontiene pecanas, camu camu, kiwicha atmica y frutas secas. Para probarla efectividad de la campaa, el gerente de la marca encuest a onceclientes antes de la campaa y a otros once despus de esta. Acontinuacin, se da el consumo semanal (en onzas) de Kivi punch porparte de los consumidores:

Antes 14 15 18 18 30 10 8 26 13 29 24Despus 23 14 13 29 33 11 12 25 21 26 24

6.1 Al nivel = 0,05, puede, el gerente, concluir que la campaa ha tenidoxito en aumentar la demanda del producto?

6.2 Dada la investigacin del gerente antes de la campaa, puede ustedsugerirle un mejor procedimiento de muestreo para despus de lacampaa?


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6. Los mdem son dispositivos que transmiten informacin mediante lneas

telefnicas de una computadora a otra. La velocidad de transmisin se mideen baudios, que se definen como el nmero de bits por segundo quepueden transmitir. Debido a la intervencin de varios factores tcnicos, larapidez de transmisin real vara de un archivo a otro. Anne Evans est enproceso de adquirir un mdem nuevo de 14400 baudios. Al probar dos delos dispositivos, con el fin de decidir cul comprar, transmiti siete archivoselegidos al azar utilizando ambos mdem y registr las siguientesvelocidades de transmisin (en miles de baudios)

En un artculo aparecido en la revista PC reports se afirma que en pruebashechas por la misma revista se ha encontrado que el mdem PerFAXtion essignificativamente ms rpido que el Haymes Ultima. A un nivel = 0,01; losresultados obtenidos por Anne confirman la conclusin de la revista?

Archivo 1 2 3 4 5 6 7

UIltima 14,4 Haynes 9,52 10,17 10,33 10,02 10,72 9,62 9,17PerFAXtion 14,4 Extel 10,92 11,46 11,18 12,21 10,42 11,36 10,47


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Autoevaluacin

1. Un documental de televisin acerca de la alimentacin excesiva afirmaba

que los estadounidenses tienen un sobrepeso aproximado de 10 lb enpromedio. Para probar esta afirmacin, se examin a 18 individuos elegidosaleatoriamente, y se encontr que su sobrepeso promedio era de 12,4 lb,con una desviacin estndar de muestra de 2,7 lb. A un nivel designificancia de 0,01; hay alguna razn para dudar de la validez del valorafirmado de 10 lb?

2. Microsoft, proveedor de software de sistemas operativos para computadoraspersonales, estaba planeando la oferta pblica inicial de sus existenciaspara sacar el suficiente capital de trabajo para financiar el desarrollo de unsistema integrado de sptima generacin, radicalmente nuevo. Con

utilidades actuales de $ 1,61 por accin, Microsoft y sus suscriptoresestaban considerando un precio oferta de $21 aproximadamente 13 veceslas utilidades. Para verificar lo adecuado de este precio, eligieronaleatoriamente siete compaas de software comercial pblico y encontraronque su tasa promedio precio/utilidades era de 11,6 con una desviacinestndar de muestra de 1,3 a un nivel =0,02. Puede Microsoft concluirque las existencias en compaas de software comercial pblico tienen unatasa promedio precio/utilidades significativamente diferente de 13?

3. Un bibliotecario universitario sospecha que el nmero promedio de librossacados a prstamo por cada estudiante por visita ha cambiado

ltimamente. Anteriormente, se sacaba un promedio de 3,4 libros. Sinembargo, una muestra reciente de 23 estudiantes promedi 4,3 libros porvisita, con una desviacin estndar de 1,5 libros. Al nivel de significancia de0,01; ha cambiado el promedio de prstamos?

4. Una compaa, recientemente criticada por no pagar lo mismo a hombresque a mujeres que trabajan en los mismos puestos, declara que el sueldopromedio pagado a todos los empleados es de $23500. De una muestraaleatoria de 29 mujeres que laboran en la compaa, se calcul que elsalario promedio era de $23000. Si se sabe que la desviacin estndar de lapoblacin es de $1250 por estos empleos, determine si puede ser razonableesperar (con dos errores estndar) que la media de la muestra sea $23000si, en efecto, es cierto lo declarado por la compaa.

5. Se us gasolina de marca A en 9 automviles semejantes bajo idnticascondiciones. La muestra correspondiente de 9 valores (kilmetros por litro)tienen una media 8,565 y una desviacin estndar 0,212. Bajo las mismascondiciones, la gasolina de alta potencia de marca B da una muestra de 10valores con media 9,245 y desviacin estndar 0,254. Pruebe la hiptesis,que A y B son de igual calidad con respecto al kilometraje, contra de que Bes mejor. Use = 0,05.


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6. Una organizacin de consumo selecciona de manera rutinaria variosmodelos de automvil cada ao y evala su eficiencia con respecto alcombustible. En el estudio del presente ao, de dos modelos compactosfabricados por dos marcas distintas, el consumo promedio para doceautomviles de la marca A fue de 27,2 millas por galn (mpg), con una

desviacin estndar de 3,8 mpg. Los nueve automviles de la marca B quefueron probados tuvieron un nmero promedio de 32,1 mpg, con unadesviacin estndar de 4,3 mpg. A un nivel = 0,01, se deber concluirque los automviles de la marca B tienen un nmero promedio de millas porunidad de combustible mayor que los automviles de la marca A?

7. Una empresa grande de corretaje de acciones desea determinar qu tantoxito han tenido sus nuevos ejecutivos de cuenta en la consecucin declientes. Despus de haber terminado su entrenamiento, los nuevosejecutivos pasan varias semanas haciendo llamadas a posibles clientes,tratando de conseguir prospectos para abrir cuentas con la empresa. Los

datos siguientes dan el nmero de cuentas nuevas que fueron abiertasdurante las primeras semanas por diez ejecutivas y ocho ejecutivos decuenta escogidos aleatoriamente. A un nivel de = 0,05, parece que lasmujeres son ms efectivas que los hombres para conseguir nuevascuentas?

Nmero de cuentas nuevas

Ejecutivas de cuenta 12 11 14 13 13 14 13 12 14 12

Ejecutivos de cuenta 13 10 11 12 13 12 10 12 - -

8. Para celebrar su primer aniversario, J. J. Prez decidi comprar un par dearetes de diamante para su esposa. Le ensearon nueve pares de aretescon gemas que pesaban aproximadamente dos quilates por par. Debido alas diferencias a la calidad y el color de las piedras, los precios variaban deuna joya a otra. El precio promedio fue de $2990, con una desviacinestndar de muestra de $370. Tambin, le ensearon seis pares de aretesen forma de gota, con un peso aproximado de dos quilates por cada par.Estos aretes tenan un precio promedio de $ 3065, con una desviacinestndar de $805. Con base en esta evidencia, puede J. J. Prez llegar a

la conclusin (a un nivel de significancia de 0,05) de que los diamantes conforma de gota cuestan ms, en promedio, que el otro tipo de diamante?

9. Los datos que se presentan a continuacin constituyen una muestraaleatoria de nueve empresas tomadas de la seccin (Resumen de Informesde Ingresos) en La Bolsa de Valores de Lima, del 6 de febrero de 2003.Fueron diferentes los ingresos por aportacin promedio en 2002 y 2003?Pruebe con un nivel de significancia =0,02

Empresa 1 2 3 4 5 6 7 8 92002 1,38 1,26 3,64 3,50 2,47 3,21 1,05 1,98 2,72

2003 2,45 1,50 4,59 3,06 2,11 2,80 1,59 0,92 0,47


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10. A nueve comercializadores de componentes para computadoras queoperan en las principales reas metropolitanas se les pidi los precios dedos impresoras lser parecidas, con anchos estndar. Los resultados de lainvestigacin estn dados en la siguiente tabla. A un nivel de = 0,05, esrazonable afirmar que, en promedio, la impresora Apple es ms barata que

la impresora Akita?

Comerciante 1 2 3 4 5 6 7 8 9Precio Apple $350 419 385 360 405 395 389 409 375Precio Akita $370 425 369 375 389 385 395 425 400

Para recordar

Para una prueba de hiptesis se deber tener en cuenta en los datos,que tienen que ser de muestra, como la media muestral y la desviacinestndar muestral.


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PRUEBA DE HIPTESISPRUEBA DE HIPTESISPRUEBA DE HIPTESISPRUEBA DE HIPTESIS

PARA LAS PROPORCIONESPARA LAS PROPORCIONESPARA LAS PROPORCIONESPARA LAS PROPORCIONES

TEMAS

Prueba de Hiptesis para las proporciones, muestras grandes Prueba bilateral de una hiptesis sobre las proporciones Prueba unilateral de una hiptesis sobre la media, caso I, caso II Prueba de Hiptesis para la diferencia entre dos proporciones


Describir la hiptesis nula y la hiptesis alternativa de un problema Determinar una estadstica de prueba lgica y una regla de decisin para

probar las hiptesis para las proporciones

.CONTENIDOS Prueba de Hiptesis para las proporciones, muestras grandes Prueba bilateral de una hiptesis sobre las proporciones Prueba unilateral de una hiptesis sobre la media, caso I, caso II Prueba de Hiptesis para la diferencia entre dos proporciones.ACTIVIDADES

Utilizan e interpretan el concepto de prueba de hiptesis Toman decisiones de aceptacin o rechazo de una hiptesis bajo ciertas

consideraciones tratadas


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PRUEBA DE HIPTESIS PARA LAS PROPORCIONES

Las pruebas de hiptesis con relacin a las proporciones son bsicamenteiguales a las medias relativas. Se ha de probar la hiptesis de la proporcin dexitos en un proceso de Bernoulli

Los pasos para la prueba de hiptesis

1. Se formula la hiptesis nula y lahiptesis alternativa de acuerdo con elproblema.

a)o

oo

H

H

=

:

:

1

b)o

oo

H

H

1ZZP 5. Se calcula x de la muestra de tamao n, luego se obtiene Z

)1( oo

o

pnp

npxZ

=

n

pZ

oo

o

)1(

=

6. Se compara Zcon ZoSi Z> Z 1- + 1ZZ , se rechaza la hiptesis nula Ho

Si Z< Z 1- 1,ZZ , se acepta la hiptesis nula Ho


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0 1Z



1. Se formula la hiptesis nula y la hiptesis alternativa

o

oo

H

H

=

:

:

1

2. Se escoge el nivel de significancia 3. Una estadstica de prueba es una variable aleatoria binomial X que tiene

una distribucin binomial, cuando n es pequeo se utiliza esta distribucin.

4. La regin Aceptacin (R.A.) es ba, , donde a y b son tal que[ ] =


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CARRERAS PROFESIO

estadistica ii - 2010 libro virtual

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