•Un poco de historia•Estadística: concepto y clases. Estadística descriptiva.•Población•Muestra•Variables estadísticas

cuantitativasdiscretascontinuas

cualitativas

•Frecuencia. Clases

•Proceso estadístico

Elección de muestraseleccionar variablesrecolección de datosorganización de datoselaboración de tablaselaboración de gráficascálculo de parámetros

El origen de la estadística se encuentra en el término Estado, puesfueron los gobernantes los que primero se preocuparon de elaborar y clasificar las interminables listas de los recursos humanos y materiales que constituían el patrimonio estatal.La información más antigua sobre la elaboración de una estadística la proporciona el historiador griego Herodoto (484-420a.C.), al relatar que en el año 3050 a.C. el faraón de Egipto ordenó un recuento de los bienes que poseía el país para llevar a cabo una gran obra: la construcción de las pirámides.Desde hace tiempo las estadísticas no son patrimonio exclusivo del Estado. También las elaboran compañías de seguros, bancos, investi- gadores.....o simplemente personas interesadas en obtener y organizar determinada información para analizarla e interpretarla.

La Estadística es la parte de las Matemáticas que estudia métodos para

interpretar datos obtenidos de investigaciones o experimentos aleatorios

(aquellos en los que no se puede predecir el resultado aunque se realicen

siempre en las mismas condiciones), con el fin de extraer de ellos unas

conclusiones.

La Estadística puede ser:

a) Descriptiva.-Trata de obtener unas conclusiones a partir de ciertos datos

mediante el empleo de gráficos o la obtención de unos ciertos valores que

los representen a todos.

b) Inferencial.-Trata de determinar los valores que adoptarán una serie de

datos muy numerosos, que forman una población mediante el estudio de

unos cuantos de ellos extraídos de la población de una manera significativa

y que forman una muestra.

Es una parte de las matemáticas que nos enseña a:•Recoger datos de manera ordenada• Representar datos mediante gráficas o tablas comprensibles• Calcular valores numéricos representativos, que permitan sin- tetizar, analizar y comparar diferentes colecciones de datos

Población: es el conjunto de todos los elementos objeto denuestro estudio

Muestra: es un subconjunto, extraído de la población, cuyoestudio sirve para inferir características de toda la población

Individuo: es cada uno de los elementos de la población o dela muestra.

El tamaño de la población o de la muestra es el número deelementos que componen una u otra, y se suele designar con N

Se llama variable estadística a cada uno de los caracteres que se desean observar en los individuos de una población.Las variables estadísticas pueden ser:• cuantitativas: si sus valores son números• cualitativas: si sus valores no son números

Se denomina recorrido o rango de una variable cuantitativa a ladiferencia entre el mayor y el menor de sus valores posibles.Para las variables cualitativas no se define el recorrido

Las variables estadísticas cuantitativas pueden ser discretas ocontinuas

Clasificación de las variables Clasificación de las variables estadísticasestadísticas

variab le d isc re ta variab le con tin u a

variab le cu an tita tiva variab le cu a lita t iva

variab le es tad ís tica

• Variables discretas son las que toman valores que se pueden enumerar, fáciles de precisar porque están separados, es de- cir, las que solo pueden tomar valores aislados.

• Variables continuas son las que pueden tomar todos los va- lores de un intervalo

Los valores de la variable estadística se representan por x1, x2, x3,.........,xn

Se llama distribución estadística al conjunto de datos estadísticos.

Una profesora de educación física, rellena las fichas de sus alumnos y alumnas de 3º de E.S.O. Y pide, entre otros datos,la edad, la talla y los deportes favoritos de cada uno

Población: los alumnos-as de 3º de E.S.O.

Variables estadísticas: la edad, la talla, los deportes favoritos

La variable “deporte favorito” es cualitativaLas variables “edad y talla” son cuantitativas

La edad sería una variable cuantitativa discretaLa talla sería una variable cuantitativa continua.

En el departamento de control de calidad de una fábrica debombillas, se desea hacer un estudio sobre el número de horasde duración; sería imposible hacer el estudio sobre todas las bombillas fabricadas, de ahí la necesidad de tomar una muestraCuanto mayor sea la muestra, más representativa es de lapoblación.

Frecuencia absoluta de cada valor, es el nº de veces que éste se repite, y se representa por Fi (F1 es la frecuencia absoluta delprimer valor, F2 es la frecuencia absoluta del segundo valor, y así sucesivamente). La suma de las frecuencias absolutas debe coinci-dir con el tamaño de la población o, en su caso, de la muestraFrecuencia absoluta acumulada Fai es la suma de la frecuen-cia absoluta de un valor con las de los que le preceden.Frecuencia relativa, fi, es el cociente entre la frecuencia abso-luta y el nº total de individuos que componen la población o lamuestra observada.Frecuencia porcentual, %, es el tanto por ciento con el que aparece cada valor de la variable respecto del tamaño de la mues-tra. Se obtiene multiplicando por 100 cada frecuencia relativa

La información estadística nos llega mediante gráficas o tablasmuy bien construidas, con las que resulta muy sencillo entenderla información que se nos da. Sin embargo, esas tablas y gráfi-cas son el resultado de un largo proceso. Veamos sus principa-les pasos:1) Elegir una muestra representativa de la población (si es quela población es muy grande), de manera que los resultados que obtengamos para la muestra los podremos suponer válidos parala población2) Seleccionar las variables que se van a analizar. Debe quedarmuy claro cuál es la variable y cuáles sus posibles valores.3) Recolección de datos4) Organización de datos

5) Elaboración de tablas6) Elaboración de gráficas7) Cálculo de parámetros

A estos tres últimos pasos es a lo que a continuación nos vamosa dedicar.

Una vez recogidos los datos, hay que tabularlos; es decir, hay queconfeccionar una tabla en la que aparezcan bien organizados losvalores de la variable que se está estudiando y el número deindividuos que toma cada valor o cada intervalo de valores. Es lo que se llama una tabla de frecuencias.En esta tablas deben aparecer - los valores de la variable. Si se encuentran agrupadas en cla- ses, deben aparecer los extremos superior e inferior, así como la marca de clase (que son los puntos medios de cada clase). Es aconsejable escoger los extremos inferior y superior de cada intervalo de modo que se sitúen en números “redondos”; por ejemplo, múltiplos de 5, de 10, etc. Las clases deben tener la misma amplitud.

El nº de clases que debemos formar es de libre elección,pero existe un criterio muy general en el que se aconsejaformar, aproximadamente, tantas clases como la raíz cua-drada del número total de datos.

- las frecuencias absolutas- las frecuencias relativas y a veces es conveniente incluir - las frecuencias absolutas y relativas acumuladas, y las porcentuales

recuento tabla de frecuencias

1 II xi fi

9, 4, 8, 5, 5, 4, 1 2 IIII 1 27, 2, 2, 3, 9, 6, 4 3 III 2 410, 8, 2, 1, 6, 7, 6 4 IIII 3 310, 10, 8, 8, 4, 6, 5 5 I++I II 4 45, 10, 6, 7, 2, 5, 5 6 I++I I 5 73, 5, 3, 6, 8 7 III 6 6

8 I++I 7 3 9 II 8 5 10 IIII 9 2 10 4

Notas obtenidas por ungrupo de alumnas

Tallas de 40 alumnos-asde una clase

168, 160, 168, 175, 175168, 168, 158, 149, 160178, 169, 158, 163, 171162, 165, 163, 156, 174160, 165, 154, 163, 165161, 162, 166, 163, 159170, 165, 150, 167, 164165, 173, 172, 168, 168

Tabla resumen intervalo frecuencia

[148,5-153,5) 2(153,5-158,5) 4(158,5-163,5) 11(163,5-168,5) 14(168,5-173,5) 5(173,5-178,5) 4

Una profesora de educación física, rellena las fichas de sus alumnos y alumnas de 3º de E.S.O. Y pide, entre otros datos,la edad, la talla y los deportes favoritos de cada uno

Supongamos que la profesora del ejemplo anota en una tablalas siguientes observaciones sobre los 24 alumnos-as que tieneen clase. Las siglas del deporte son: A=fútbol, B=baloncesto,C=balonmano, D=voleibol.

Edad: 13,13,14,13,14,15,14,13,13,14,13,13,14,14,15,13,13,14,15,13,14,14,14,13

Talla:156,174,182,184,171,163,185,174,183,182,175,157,188,173,175,161,158,154,189,172,175,178,189,174

Deporte: A,A,B,C,A,B,B,C,D,D,C,B,A,A,A,C,C,D,A,D,C,B,B,B

Veamos las tablas de frecuencias para cada variable:

Edad Fi Fai fi %

Deporte Fi Fai fi %

Talla Fi Fai fi %

13 11 11 0,46 46

14 10 21 0,42 42

15 3 24 0,12 12

Suma 24 1 100 100

A 7 7 0,29 29

B 7 14 0,29 29

C 6 20 0,25 25

D 4 24 0,17 17

Suma 24 1 100

(150,160) 4 4 0,17 17

(160;170) 2 6 0,08 8

(170;180) 10 16 0,42 42

(180;190) 8 24 0,33 33

Suma 24 1 100

La elaboración de gráficos estadísticos es un arte. En los medios de comunicación encontramos espléndidas repre-sentaciones que nos permiten, con un solo golpe de vista,entender de qué se nos habla y asimilar la información quese nos da.Sin pretender llegar a tan alto nivel, vamos a ver algunasclaves para utilizar con corrección los tipos de gráficos deuso más frecuente.

El diagrama de barras se utiliza para representar tablas de frecuencias correspondientes a variables cuantitativas discretas. Por eso las barras son estrechas y se sitúan sobrelos valores puntuales de la variable.A veces se utiliza para representar distribuciones de variablescualitativas.

EJEMPLO DE DIAGRAMA DE BARRAS

0 1 2 3 4 5 6

Nº de accidentes sufridos por 200 conductoresal año

OTRO EJEMPLO DE DIAGRAMA DE BARRAS

0

20

40

60

80

100

120Carreras que piensan hacerlos estudiantesde un centro deenseñanza secun-daria.

Histograma viene del griego histos, que significa barra y tam-bién mástil de barco.Se utiliza fundamentalmente, para distribuciones de variablecontinua. Por eso se usan rectángulos tan anchos como los intervalos.

Aunque los datos no vengan dados por intervalos, si se trata de una variable continua, debemos usar el histograma y no el diagrama de barras.

También recurriremos al histograma para representar distribu-ciones de una variable discreta con valores agrupados en intervalos.

El polígono de frecuencias se utiliza en los mismos casos queel histograma. Se construye uniendo los puntos medios de losrectángulos y prolongando, al principio y al final, hasta llegaral eje.Su sentido es suavizar los escalones que se producen en elhistograma

En un diagrama de sectores, el ángulo de cada sector esproporcional a la frecuencia correspondiente.

Se puede utilizar para todo tipo de variables, pero se usanmuy frecuentemente para las variables cualitativas.

Este tipo de diagrama es especialmente adecuado pararepresentar, en varios de ellos, diversas situaciones similaresy poder establecer comparaciones.

En este otro ejemplo, comparemos el reparto de la poblaciónlaboral española, según el tipo de trabajo, con las de Grecia yGran Bretaña, en 1993.

Se construyen estos gráficos mediante histogramas horizonta-les superpuestos. Se utilizan para comparar las característicasmás relevantes de la población de un Estado, Provincia, etc...,y sus variaciones en un determinado período de tiempo.

Son representaciones gráficas de unidades geográficas, diferenciadaspor colores, rayas o puntos

Los pictogramas representan la variable mediante un dibujo cuyo tamaño debe ser proporcional a la frecuencia. Estos grá-ficos son poco fiables, ya que es muy difícil representar datosporcentuales exactos a través de un dibujo.

Evolución del paro en España desde 1982 a 1986

Se usan para mostrar las variaciones de uno o varios caracteresestadísticos con el paso del tiempo.

Los parámetros estadísticos sirven para sintetizar la informa-ción dada por una tabla o por una gráfica, y permiten apreciarcon rapidez y eficacia las características más relevantes de ladistribución.Los hay de dos tipos: de centralización que nos indican entorno a qué valor se distribuyen los datos, y de dispersión quenos informan sobre cuánto se alejan del centro los valores dela distribución.

CLASIFICACIÓN DE LOS PARÁMETROS CLASIFICACIÓN DE LOS PARÁMETROS ESTADÍSTICOSESTADÍSTICOS

m oda m edia ari tm ética m edian a

de cen tral i zación

desviación m edia desviación típi ca

de dispersión

M edidas estadísti cas

Las tablas estadísticas y las representaciones gráficas dan una ideadel comportamiento de una distribución. Sin embargo, se hace necesario simplificar ese conjunto de datos mediante unos valoresnuméricos. La palabra parámetro se emplea como un valor numéricoque sirve para caracterizar una distribución.Los parámetros más utilizados son:•LA MEDIA ARITMÉTICA•LA MODA•LA MEDIANA

Es el cociente entre la suma de todos los valores de la variabley el número de éstos.Se representa por y viene dada por la expresión:

x

N

f.x......f.xf.xx nn2211

La media aritmética es el parámetro de centralización más utilizado, y en su cálculo intervienen todos los datos de ladistribución.

Cuando la variable es de tipo continuo expresada en intervalos,xi es el punto medio de cada intervalo, es decir, la marca de clase.

En una clase de 40 alumnos, las notas de matemáticas son:

Notas Nº alumnos xi.fi

1 2 2 2 2 4 3 4 12 4 5 20 5 8 40 6 9 54 7 3 21 8 4 32 9 3 27

N=40 Suma xi.fi=212

La media sería = 212/40 = 5,3x

Halla la media aritmética del peso de los 40 alumnos de una clase:

Peso fi xi fi.xi

50-55 4 52,5 210

55-60 8 57,5 460

60-65 14 62,5 875

65-70 12 67,5 810

70-75 2 72,5 145

40 2500Media = = 62,5 kg402500

x

La mediana ,Me,de una distribución es un valor tal que la mitadal menos de los valores es menor o igual a Me y la mitad al menos de los valores es mayor o igual a Me

Cuando son pocos los valores se ordenan crecientemente.Si el nº es par, se toma como mediana la media aritmética de los dos datos centrales, y si es impar, el valor central.Cuando tenemos muchos valores, para ordenarlos crecientemente se toma en la tabla una columna denominada de frecuenciasabsolutas acumuladas (Fi).La mediana se puede calcular en distribuciones de tipo cuantitativoy en las de tipo cualitativo en las que puedan ordenarse lasmodalidades.

Calcula la mediana del cuadro siguiente correspondiente a las notasde los 40 alumnos de una clase:

Notas fi Fi

suspenso 8 8=8aprobado 15 8+15=23notable 10 23+10=33sobresaliente 7 33+7=40

La mediana es el primer valor de la variable (notas) correspondiente a lafrecuencia acumulada (Fi) inmediatamente superior a la mitad del nº dedatos. N/2 =20 Me = aprobado

ya que el valor de Fi inmediatamente superior a 20 es 23.

La moda Mo de una distribución, es la variable de mayor frecuencia.

En los ejemplos anteriores del peso y notas de los 40 alumnos de unaclase, la moda es, en el primer caso, el intervalo (60,65), y en el 2ºcaso la calificación de aprobado.

Una distribución puede no tener moda o tener 2 o más modas (distr.bimodal, trimodal, .....)

Tanto la media, como la mediana y la moda, son parámetros que informan de los valores centrales de una serie estadística, pero......¿cuál es más representativo?. Observemos los ejemplos siguientes.

Se ha seleccionado una muestra de 10 alumnos de un Instituto y se hanestudiado algunas de sus características:

talla(cm) 162 165 167 169 170 170 170 176 182 185paga semanal 1500 1700 1750 1500 4000 3500 1200 1500 1700 1600nº calzado 40 40 40 40 40 42 42 42 44 44

Para la talla es media=171 Me=170 Mo=170Para la paga semanal media=1995 Me=1650 Mo=1500Para el nº de calzado media=41,4 Me=41 Mo=40

Para la talla, el valor central a considerar puede ser la media ya que losotros parámetros toman valores muy parecidos. Para la paga, la medianarefleja mejor la realidad. Para el calzado, la moda es el valor más representativo.

A veces, la media, la moda y la mediana de una distribución no nosdice casi nada sobre ella. Es necesario conocer si los datos están o noagrupados alrededor de los valores centrales, es decir, su dispersión.Las medidas de dispersión son:•LA DESVIACIÓN MEDIA•LA DESVIACIÓN TÍPICAPero antes de definir estas medidas, veamos

-Rango o recorrido-Desviación respecto a la media

Llamamos recorrido o rango de una distribución a la diferencia entreel mayor valor y el menor valor de la variable estadística Cuanto menor es el rango o recorrido de una distribución, mayor es el grado de representatividad de los valores centrales

Ejemplo: Mercedes y Paco miden 169 y 171 respectivamente. Ana yLuís es otra pareja que miden 145 y 195 respectivamente.Ambas distribuciones tienen la misma media: 170, pero evidentementenadie los confundirían por la calle.El rango de la pareja Mercedes y Paco: 171-169=2El rango de la pareja Ana y Luís:195-145=50Diremos por tanto que la 2ª pareja está más dispersa que la 1ª

Las diferencias entre cada valor de la variable xi y la media aritméticase llaman desviaciones respecto a la media (di).Cada diferencia di nos da una idea de cómo se aproximan los valores xi

a la media aritmética. Estas diferencias pueden ser positivas, negativaso nulas.Veamos con un ejemplo la siguiente propiedad:“ la suma de las desviaciones respecto a la media es igual a cero”

Tallas Desviaciones respecto (cm) a la media

169 169-170= -1 171 171-170 = 1

=170 suma= 0

Mercedes Paco

Tallas Desviaciones respecto (cm) a la media

145 145-170= -1 195 195-170 = 1

=170 suma= 0

AnaLuís

x x

Es la media aritmética de los valores absolutos de las desviacionesrespecto a la media. Se representa por Dx

Es la media aritmética de los cuadrados de las desviaciones respectode la media. Se representa por s2, y viene dada por la expresión:

n21

2nn

222

2112

f.......ff)xxf)xxf)xxf

s

(........((

Es la raíz cuadrada positiva de la varianza. Se representa por s.

Se ha anotado el peso de 88 personas, obteniéndose los siguientesresultados:

Peso (Kg) [38,44) [44,50) [50,56) [56,52) [62,68) [68,74) [74,80)Nº personas 7 8 15 25 18 9 6

Calcula el rango, la desviación media, la varianza y la desviacióntípica.

RESOLUCIÓN

Calculemos primeramente la media aritmética: = 5204/88 = 59,14x

Rango: rango=80 - 38 = 42 Kg

Desviación media: D = 639,08/88 = 7,26 Kg

Varianza: s2= 7846,23/88 = 89,16 Kg2

Desviación típica: s = 9,44 Kg

x

Un inspector de autobuses toma nota de los minutos de retraso con que llegan los autobuses a una parada. Su trabajo queda reflejado en el siguiente diagrama de barras:

Halla la varianza y el rango.

Formemos la siguiente tabla:

x=445/42=10,6min

Rango= 30-0=30min

S2=1910,12/42=45,47 min2