estadistica un enfoque descriptivo

Roberto Behar Gutirrez Mario Yepes Arango

Estadstica Un Enfoque Descriptivo.

Tercera Edicin

Santiago de Cali, Colombia, Enero de 2007.

Estadstica,UnEnfoqueDescriptivoISBN9586700682RobertoBeharG.1996,2007MarioYepesA.Tel:57233349035723212167FAX5723398462emailrobehar@univalle.edu.corobehar@yahoo.comTalleresGrficosDeImpresoraFERIVAS.A.Cali,Colombia

Prlogo

Roberto Behar y Mario Yepes

El gran mrito de la Estadstica como disciplina, es proporcionar las herramientas

necesarias para obtener conclusiones sobre una poblacin, a partir de una observacin de tan slo

una muestra de la misma. La incertidumbre inherente al proceso de generalizacin es estudiada y

medida con base en la teora de la probabilidad la cual permite tener la informacin acerca de la

confianza asociada con las conclusiones resultantes de la inferencia realizada.

Existen varias maneras de adquirir el conocimiento de los instrumentos que proporciona la

inferencia estadstica y la habilidad para su aplicacin; una de ellas, la tradicional consiste en

estudiar en primer lugar, la teora de la probabilidad y enseguida estudiar la inferencia estadstica

propiamente dicha; este es el enfoque que involucran la casi totalidad de los libros que circulan

en nuestro mercado.

Una segunda manera de visualizar el proceso de aprendizaje, consiste en el desarrollo de una fase

exploratoria de los datos que constituyen una muestra o una poblacin si fuera el caso. En esta

fase se trata de definir algunos indicadores de rasgos del conjunto que constituye la muestra y

luego de procesar los datos, obtener ideas sobre sus propiedades y posiblemente establecer

algunas hiptesis sobre el comportamiento de estos rasgos, o sus relaciones en la poblacin.

En esta fase se produce la maduracin de muy buena parte de los conceptos bsicos que es

necesario estudiar con todo el rigor, no slo en la etapa de inferencia estadstica, sino

previamente en el estudio de la teora de la probabilidad; as por ejemplo se trabaja con la funcin

Estadstica. Un Enfoque Descriptivo


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emprica de densidad de frecuencia, haciendo clculos con base en datos; la generalizacin de

este concepto constituye la funcin de densidad de probabilidad de una variable aleatoria. Anlo-

gamente se tratan los conceptos de frecuencias condicionales, de funciones empricas de densidad

conjunta, de independencia estadstica, cuya prolongacin conceptual al hacer referencia a la

poblacin, concluye en lo que representan respectivamente, la probabilidad condicional, las

funciones de densidad conjunta de probabilidad y la independencia probabilistica entre variables

aleatorias.

Con lo anterior no se pretende desconocer que la teora de la probabilidad puede desarrollarse

exclusivamente con base a su estructura axiomtica y sin apoyo intuitivo alguno. No obstante, los

autores del presente texto, visualizan la teora de la probabilidad como un instrumento de apoyo

que permite el desarrollo de la Estadstica para su aplicacin; en este sentido, acompaar los tra-

tamientos rigurosos de la probabilidad y la inferencia estadstica con una visin intuitiva basada

en la manipulacin de datos obtenidos de procesos reales, cobra una gran importancia desde el

punto de vista de la aplicabilidad de las herramientas tericas que se estudien. Por tanto esta

primera fase-objeto de este texto constituye un enfoque descriptivo que enriquece los elementos

que permiten interpretaciones intuitivas, que no son un reemplazo del estudio riguroso de las

potentes herramientas estadsticas, pero si constituyen un frtil abono para su desarrollo y

motivado tratamiento.

Como esta primera fase exploratoria no involucra el tratamiento de la incertidumbre que se

genera al inferir, no se requiere del conocimiento de la teora de la probabilidad, lo cual trae la

ventaja adicional de que en caso de no terminar el proceso de estudio completo, la persona que ha

experimentado esta fase descriptiva, adquiere elementos importantes para la comunicacin de

situaciones y problemas en trminos estadsticos de tal forma que se le facilita expresar a quien

puede asesorarle lo que necesita resolver.

Este texto pretende orientar la primera fase mencionada, por tanto puede ser utilizada por algunos

investigadores que deseen hacer acopio de instrumentos de ayuda exploratoria .

Captulo 1 9


Por el contenido, por la metodologa y por el nivel de prerrequisitos puede ser usado por todos

aquellos estudiantes que vayan a introducirse en la disciplina estadstica. En algunos temas se

requiere el conocimiento de los rudimentos del clculo diferencial, aunque no son indispensables

para el entendimiento de los conceptos bsicos.

En lo que respecta a la metodologa para el logro de objetivos planteados, sta trata en lo posible

de mantener la siguiente estructura: en primer lugar el planteamiento de la situacin problema

que ser resuelta por la herramienta que se pretende presentar enseguida; luego se plantea un

ejemplo, el cual se utiliza para introducir elementos que permitirn definir la notacin simblica

y presentar para el caso concreto del ejemplo, la ilustracin de la solucin al problema general

planteado; por ltimo la presentacin general de la herramienta usando la notacin definida. Al

final de cada captulo se proponen ejercicios con el objeto de que el lector pueda evaluarse y

retomar algunos temas que no hayan quedado suficientemente entendidos.

El contenido del texto es el siguiente: el primer captulo es una introduccin, en la cual se

pretende precisar los alcances y la utilidad de la Estadstica y ubicar la temtica que trata este

trabajo, en el contexto de la metodologa estadstica.

En el segundo captulo se presenta el tratamiento de los datos provenientes de la observacin de

una caracterstica en los elementos de una muestra, definiendo algunos rasgos que pueden ser de

inters. En el tercer captulo se hace tratamiento de datos provenientes de la observacin de dos

caractersticas a cada uno de los elementos de una muestra, con el propsito de estudiar su

distribucin, indicadores de asociacin y se desarrolla el concepto de anlisis de la varianza. En

el cuarto captulo se trata el modelo de regresin simple, su construccin, su interpretacin y sus

limitaciones.

Con respecto al uso del texto en el desarrollo formal de un primer curso de Estadstica, el docente

segn los objetivos y de acuerdo con el grupo especfico de estudiantes, podr omitir o no los



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desarrollos que impliquen procedimientos matemticos que no estn al alcance de sus alumnos

o no los considere pertinentes, haciendo nfasis en la interpretacin de los resultados.

No obstante que este texto es el producto del desarrollo de nmerosos cursos, damos excusas por

los errores que pudiera presentar y agradecemos las sugerencias o rectificaciones que puedan

hacernos con el propsito de mejorarlo con base en la valiosa retroalimentacin que debe generar

su uso.

Captulo 1 11


Prlogo a la segunda edicin

Hoy despues de 10 aos de uso masivo de esta obra, que ha servido a

centenares de estudiantes de las mas variadas disciplinas que van desde los propios

estudiantes de la carrera de Estadstica de la Universidad del Valle, estudiantes de

Administracion de Empresas, Contaduria, Matemticas, Ciencias Sociales y

Econmicas y muchas ms, de casi todas las Universidades de la regin, estamos

entregando a usted, esta segunda edicion, en la que se incluyen algunas

modificaciones, resultado de las sugerencias de muchos colegas que han visto en el

texto un buen instrumento para el logro de sus objetivos.

Se han includo algunos temas nuevos, se ha profundizado y ampliado el tratamiento de otros, se

han aumentado el nmero de problemas de final de captulo y se han adicionado explicaciones a

algunos tpicos. Conscientes de la gran variedad de disciplinas que son usuarias del texto hemos

incluido una gran variedad de referencias bibliogrficas.

El gran valor del texto, continua siendo darle vida a los resultados, no quedarse en las frias cifras,

no conformarse con clculos con base en formulas. Se abunda en interpretacin, se enfatiza en

los conceptos, que es lo que garantiza en ultimas el desarrollo de criterios para enfrentar futuros

problemas y situaciones reales.



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Queremos agradecer las valiosas sugerencias de nuestros queridos colegas que durante todos

estos aos han sido usuarios de esta obra, honrando nuestro esfuerzo, sugerencias que en su

mayoria han quedado plasmadas en esta segunda edicin. Profesores como: Rafael A. Klinger A.,

Francisco A. Quiroga Z., Jorge E. Delgado, Javier Olaya, Jorge Payn, Robby Nelson Daz,

Hernando Solano H., Guillermo Valds, Libardo Farfn, Oscar Gamboa, Jaime E. Prez, Ana

Mara Sanabria, Jorge Rodrguez, Gustavo Vargas, Alexander Taborda, Marco Fidel Suarez,

Marco A. Triana, Clara Ines Perea, Antonio Escudero A., Omar Rada B., Huber Ramos, Olga

Arias, Viviana Vargas, Mercedes Andrade, William Snchez, Gabriel Conde, Edwin Rengifo,

Heberth Muriel, Reynaldo Carvajal, Hugo Hurtado, Rodrigo Izquierdo, Luis Eduardo Girn,

entre muchos otros.

Deseamos agradecer de manera muy particular al ingeniero Jaime Felipe Mnera quen puso todo

su profesionalismo y su cario en el diseo de la nueva edicin.

Expresamos nuestro reconocimiento a nuestra querida ex alumna Virginia Cabrera, por la labor

de transcripcin y edicin de este libro, la cual desarroll no solo con gran profesionalismo sino

tambin con mucha tesn y gran afecto.

Agradecemos a los cientos de alumnos nuestros, muchos de los cuales son ahora profesionales de

xito, quienes compartieron en forma directa la experiencia de ingresar al mundo de la

estadstica, teniendo en muchas de sus noches este texto como interlocutor y compaero, quienes

en su momento nos hicieron notar algunos errores tipogrficos, algunos clculos errados y en no

pocas veces sesudas sugerencias.


Prlogo a la tercera edicin

Esta edicin, la tercera, resulta de la intencin de los autores de hacer pblico y disponible en la

web en forma gratuita, este libro. Por esta razn y para hacer ms agradable la lectura hemos

ampliado los espacios entre lneas.

Se ha eliminado la fe de erratas, corrigiendo los errores tipogrficos, o por lo menos

disminuyndolos.

Otro cambio de inters, Aprovechando las sugerencias de algunos colegas, entre ellos Eloina

Mesa y Vctor Gonzlez, hemos adaptado la notacin en lo relativo a la representacin de la

frecuencia relativa, cambiando la h por f , induciendo un cambio a la notacin de la

densidad de frecuencia de h* hacia f* y anlogamente la frecuencia relativa acumulada de H(x)

hacia F(x)..

Estos cambios estn ms acordes con la notacin de la mayora de los libros, haciendo a los

estudiantes ms fcil la consulta de otros libros y materiales relacionados as como tambin

empalma de manera ms natural con la notacin usada en la teora de la probabilidad para

conceptos equivalentes a los aqu desarrollados.

Tambin por sugerencia de algunos colegas que han usado el libro por muchos aos, hemos

incluido algn desarrollo que ligue el concepto de variable continua en estadstica descriptiva con

el de variable aleatoria en teora de la probabilidad, generando un puente intuitivo entre la

funcin de densidad de frecuencia relativa con la funcin de densidad de probabilidad,

relacionando tambin el rea de los rectngulos de un histograma con le rea bajo una curva y

por supuesto en su definicin operativa, las reas de rectngulos por la integral de la funcin de

14 Estadstica. Un Enfoque Descriptivo


densidad, haciendo natural el paso de la Funcin de Distribucin Emprica acumulada a su

homloga en probabilidad.

En el captulo 1, se ha adicionado el apartado Probabilidad, Estadstica y el Mtodo en

Ingeniera, que corresponde casi textualmente a un articulo que los profesores del rea de

estadstica de la Escuela de Ingeniera Industrial, publicamos en la revista Ingeniera y

Competitividad de la facultad de ingeniera de la Universidad del Valle.

Captulo 1


INTRODUCCION

1.1 HISTORIA DE LA PALABRA ESTADSTICA 1

En su sentido actual, las palabras estadstica y estadstico (esta ultima como sustantivo o como

adjetivo) tienen menos de un siglo de existencia, pero se emplean desde hace ms tiempo, siendo

interesante estudiar el proceso por el que han llegado a adquirir la significacin que hoy tienen.

1Yule-Kendall: "Introduccin a la Estadstica". Editorial Aguilar. Edicin 14. 1967. Pags. 6, 7 y 8.



Las palabras estadista, estadstica, estadstico, parece que derivan ms o menos indirectamente

del latn STATUS, en el sentido adquirido en el latn medioeval, de un estado poltico.

La primera de las tres palabras citadas es mucho ms antigua que las otras dos. La palabra

estadista se encuentra, por ejemplo en "Hamlet" (1602), en "Cimbelino" (1610 1611) y en "El

paraso recobrado" (1617).

Segn parece, la palabra estadstica se emple por primera vez en "Elementos de erudicin

universal" del barn J.F. Von Bielfeld, traducido al ingls por W. Hooper M.D. (vol.3, Londres

1770), uno de sus captulos se titula "estadstica" y en l se define sta como "La ciencia que nos

ensea la situacin poltica de los estados modernos del mundo conocido". La palabra

estadstica aparece de nuevo con una definicin quizs ms amplia, en el prefacio de "Una visin

poltica del estado actual de Europa" por E.A.W. Zimmermann publicada en 1787.

"Hace aproximadamente cuarenta aos -dice Zimmermann- que esta rama del conocimiento

poltico, que tiene por objeto estudiar la potencia real y relativa de los distintos estados

modernos, de la capacidad derivada de sus condiciones naturales, la industria y la civilizacin de

sus habitantes y la sabidura de sus gobernantes, se ha constituido, principalmente por parte de

los escritores alemanes, en una ciencia independiente... por la forma mas conveniente que ahora

ha tomado... esta ciencia conocida por el recin inventado nombre de estadstica, ha llegado a ser

un estudio favorito en Alemania" ; y el adjetivo aparece tambin: "A los diversos artculos

contenidos en esta obra, algunos acreditados escritores estadsticos han aadido un resumen de

las principales pocas de la historia de cada pas".

En pocos aos estos vocablos fueron aceptados por diversos escritores, especialmente por Sir

John Sinclair, el editor y organizador de la primera "Informacin estadstica de Escocia" al cual

se ha atribuido frecuentemente su introduccin. En la carta circular dirigida al clero de la iglesia

de Escocia en mayo de 1790, indica que en Alemania las llamadas "investigaciones estadsticas"

han alcanzado gran extensin, y aade una nota explicativa de la frase "investigaciones

Captulo 1 17


estadsticas" "investigaciones relativas a la poblacin, a las circunstancias polticas, a la

produccin de un pas y a otros asuntos de inters pblico". En la "Historia del origen y

progreso...", de la obra citada nos dice: "mucha gente se sorprendi al principio de que yo usara

las nuevas palabras estadstica y estadstico, porque suponan que nuestra propia lengua poda

expresar el mismo sentido, con algn otro trmino. Pero en el curso de un largo viaje a travs de

los pases del norte de Europa, que hice en 1786, encontr que en Alemania andaban ocupados en

una especie de investigacin poltica a la que haban dado el nombre de ESTADSTICA y

creyendo que una palabra nueva podra llamar ms la atencin pblica, resolv adoptarla y espero

que est ya completamente naturalizada e incorporada a nuestro idioma.

Esta esperanza estaba ciertamente justificada; pero la significacin de la palabra sufri un rpido

desarrollo durante el medio siglo siguiente a su introduccin.

"estadstica" (Statistik), en el sentido en que el trmino fue empleado por los escritores alemanes

del siglo XVIII, por Zimmermann y por Sir John Sinclair, significaba simplemente la exposicin

de las caractersticas ms notables de un Estado, siendo la forma de exposicin casi inevitable en

aquel tiempo predominantemente verbal. La condicin y el carcter definido de los datos

numricos haban sido reconocidos en poca algo anterior -especialmente por los escritores

ingleses-, pero las cifras fidedignas eran escasas. Sin embargo, despus de comenzar el siglo XIX

fueron aumentando los datos oficiales; y en consecuencia las antiguas descripciones verbales

fueron desplazadas poco a poco por las exposiciones numricas. La Estadstica adquiri casi

insensiblemente una significacin ms estrecha a saber: la exposicin de caractersticas de un

Estado por mtodos numricos. Difcil es fijar la poca en que tal palabra adquiri este

significado cuantitativo; pero segn parece la transicin se realiz slo a medias, an despus de

la fundacin de la Royal Statistical Society en 1834. Los artculos del primer volumen del journal

aparecidos en 1838-39 son en su mayor parte de carcter numrico, pero la declaracin oficial no

hace referencia alguna al mtodo. "Podemos decir, con palabras del programa de esta sociedad,

que Estadstica es la investigacin de los hechos objeto de clculos para poner de manifiesto las

condiciones y perspectivas de la sociedad". Se reconoce sin embargo, que "el estadista prefiere

utilizar cifras y datos numricos".



Una vez realizado este primer cambio de significacin, siguieron otros. La palabra Estadstica

utilizada primero como el nombre de una ciencia, fue aplicada despus para designar las series de

cifras sobre las que aquellas operaba y as se habl de estadsticas vitales, estadsticas de

beneficencia y otras. La misma palabra se aplic luego a datos numricos similares referentes a

otras ciencias, como la Antropologa y la Meteorologa. A fines del siglo XIX hallamos

"estadsticas de nios clasificados en listos, medianos y torpes", "estadsticas de caracteres

mentales en el hombre" y hasta "un examen estadstico de las caractersticas del hexmetro de

Virgilio.

La evolucin del significado del adjetivo "estadstico" (statistical) y del nombre "estadstico"

(statician) fue naturalmente anloga.

No hace falta multiplicar los ejemplos para hacer ver que la palabra estadstica no est hoy

vinculada en forma principal a las "cosas del estado".

1.2 DIMENSION ACTUAL DE LA ESTADSTICA

La estadstica ha tenido un desarrollo extraordinario, que ha hecho que muchos problemas que

antes no tenan una clara solucin, hoy la tengan.

Para que podamos hacernos a una idea de la diversidad de campos en los que la Estadstica juega

un papel importante, se presentan a continuacin algunas situaciones.

1. Prueba de una vacuna

Se quiere determinar la efectividad de una vacuna; para ello se disea un experimento en el cual

participa un gran conjunto de nios de cierta edad, los cuales son clasificados al azar en 2 grupos.

Al primer grupo se le aplica una vacuna y al segundo grupo no. Se les hace un seguimiento

durante un perodo adecuado de tiempo para comparar la incidencia de la enfermedad problema

en cada grupo. Cul debe ser la diferencia mnima en el nmero de afectados para aceptar que la

vacuna es efectiva?

Captulo 1 19


2. Determinacin de la etiologa de una enfermedad

Para que una enfermedad se produzca es preciso una combinacin adecuada de las condiciones

de tres elementos que son: el agente, el ambiente y el husped. Al proceso constituido por las

interrelaciones de estos tres elementos que caracteriza y explica la presencia de la enfermedad, se

conoce como "historia natural de la enfermedad". La Epidemiologa se dedica en gran parte a la

determinacin de la historia natural de las enfermedades, ya conociendo sta, es posible de-

terminar cul etapa del desarrollo de la enfermedad es ms factible de interrumpir para evitar la

misma.

No es fcil en la mayora de los casos, determinar la historia natural de una enfermedad, y en ello

la Estadstica juega un papel muy importante al proporcionar herramientas para comparar la

distribucin de la enfermedad en grupos con diversas caractersticas socioeconmicas (sexo,

edad, condiciones geogrficas, raza, hbitos, etc.), con el nimo de ir acotando las condiciones

ambientales y del husped que conduzcan a la explicacin de la historia natural de la enfermedad.

3. Determinacin de la dosis de una droga

Para lanzar una nueva droga al mercado, es necesario superar una serie de etapas y pruebas que

son mas o menos rigurosas dependiendo de las leyes del pas en cuestin. Generalmente el

consumo de una droga puede producir efectos colaterales que pueden ser ms o menos graves.

Por tal razn es necesario disear experimentos para determinar niveles de sensibilidad y la dosis

adecuada que permita atacar la enfermedad y no producir molestias. (Ntese que estos aspectos

varan de persona a persona).

4. Caracterizacin de la demanda por el servicio de urgencia hospitalaria

La demanda por el servicio de urgencia hospitalaria es variable de mes a mes, de semana a

semana, de da a da, e inclusive en horas de un mismo de da.



El conocimiento de dicha distribucin es de mucho inters para la determinacin de recursos

humanos y materiales y para su programacin. Un acercamiento a la distribucin de la demanda

puede conseguirse recolectando informacin y realizando algunos anlisis estadsticos.

5. Fase de planeacin

La planeacin es en cierta forma "mirar hacia el futuro con los ojos del pasado". En el proceso de

planeacin se requiere disponer la informacin cuantitativa y cualitativamente adecuadas para

tomar decisiones ahora, que tendrn implicaciones en el futuro. Una empresa debe hacer

proyecciones de demanda del artculo que se produce, pues con base en ella, se har la

programacin de la produccin y todo lo que ella trae consigo.

Dicha demanda puede ser estimada a travs de modelos estadsticos de series de tiempo.

6. Control de calidad

La calidad con que se produce un artculo es importante para cada industria. Esta constituye un

factor bsico de competencia en el peor de los casos, por ejemplo en el caso de drogas o

alimentos se trata de la integridad e incluso de la vida de las personas. En la prctica es muy

costoso y a veces imposible inspeccionar el 100% de la produccin o de la materia prima, se

puede en estos casos disear un plan estadstico de muestreo, y unos instrumentos que permitan

tomar decisiones muy confiables sobre la calidad de un lote de produccin a partir de la

observacin de unos pocos artculos, economizando de esta manera dinero y tiempo.

7. Comparacin de la eficiencia de dos procesos

Se desea decidir sobre cul de 2 procedimientos utilizar para la realizacin de una actividad

intermedia en la produccin de un artculo, tomando como criterio de eficiencia. Se disea el

experimento y se realizan observaciones durante corto tiempo con base en las cuales se deber

decidir con cierta confiabilidad cul procedimiento es mejor.

Captulo 1 21


8. Produccin agrcola

Se van a sembrar grandes reas de terreno con papa china, se requiere por tanto disear un

experimento para determinar entre otras cosas: cul debe ser la distancia entre plntulas?,

cules deben ser los niveles de agua y de nutrientes a usar?, hay o no interaccin entre la

distancia entre las plantas y los niveles de nutrientes? todo ello para conseguir ptima

produccin.

9. Econometra

Determinacin de las principales caractersticas socioeconmicas que generan la inflacin y

cmo influye cada una de ellas, presentado esto a travs de un modelo de regresin.

10. Anlisis actuarial

Una empresa de seguros de vida, desea determinar cuanto debe cobrar al ao por una pliza,

segn la edad. Para ello, debe realizar un estudio estadstico sobre los riesgos y las frecuencias de

muertes por grupos de edad.

El papel de la Probabilidad en Ingeniera.

Cuando hablamos de ingeniera, casi siempre se piensa en matemticas, y ms generalmente en

mtodos para la modelacin, para el anlisis y evaluacin de situaciones en las que se planea

actuar sobre la naturaleza, para transformarla con algn fin, en armona con el medio ambiente y

considerando la optimizacin de los recursos.

En la formacin de ingenieros, la pertinencia de la probabilidad y de la estadstica es bastante

evidente. Si tomamos como referencia a Koen (1985), en su libro El mtodo en Ingeniera,

nos percataremos que inherente a su esencia, la estrategia del ingeniero, est envuelta en una

nube de variabilidad e incertidumbre, en medio de la cual, debe tomar decisiones que lo acerquen

a su objetivo, de una manera heurstica. Veamos algunas expresiones textuales del mencionado

libro, que refuerzan estos planteamientos:



...Por el mtodo de Ingeniera quiero decir la estrategia para causar el mejor cambio posible, con los recursos disponibles, en una situacin incierta o pobremente estudiada

Aqu queda implcito que el ingeniero debe tomar decisiones con informacin incompleta, en

ambiente de incertidumbre, asumiendo riesgos, pero no de manera aventurera o irresponsable: lo

har con criterio y guindose por heursticas, muchas de las cuales tienen como propsito hacerse

buenas ideas sobre la magnitud de los riesgos que asume y saber cual es el lado que lo pone

conservadoramente cerca de la seguridad.

El mismo autor, dedica el captulo 3 de su libro a definir algunos heurismos usados por el mtodo

de Ingeniera y los divide en 5 categoras, una de las cuales es:

Algunos heurismos que usan los ingenieros para mantener el riesgo dentro de los lmites permitidos.

Otras expresiones como:

...nunca ser posible desarrollar del todo algunos problemas complicados, debido a la incertidumbre inherente al Mtodo de Ingeniera.

Dado que el ingeniero tratar de encontrar la mejor respuesta, an en situaciones relativamente viables para tomar una decisin, es inevitable que exista algn riesgo.

Esto desde luego no significa que todos los niveles de riesgo sean aceptables. Como

podra esperarse a esta altura de la discusin, lo que es razonable est determinado por

heurismos adicionales que controlan el tamao del riesgo que el ingeniero est

dispuesto a tomar.

Si el sistema que desea cambiar es complejo y poco entendido; si el cambio deseado es el mejor disponible y si est limitado por la disponibilidad de recursos, entonces usted

Captulo 1 23


est ante un problema de Ingeniera. Si usted logra el cambio usando el Mtodo de

Ingeniera, entonces usted es un ingeniero..

Basados en Koen (1985), queda claro que el mtodo de ingeniera y la profesin de ingeniero,

estarn limitados en su eficiencia y eficacia, si en un sitio privilegiado de su maletn de

heursticas, no tienen algunas que le permitan resolver y decidir en ambientes de riesgo e

incertidumbre, que constituyen su condicin natural de operacin.

En no pocas ocasiones, el ingeniero deber inferir informacin de otros situaciones que a su

parecer se han producido en circunstancias similares a la de su inters, generndose as posibles

errores, cuyo magnitud deber ser considerada por l, en la toma de decisiones. Por otro lado

muchos problemas en ingeniera involucran procesos y fenmenos naturales que presentan

variabilidad y aleatoriedad inherentes, haciendo que ellos no puedan ser descritos o

caracterizados de manera exacta. Por estas razones los procesos de planeacin y de diseo en

ingeniera deben tomar en consideracin, casi obligatoriamente, estas consideraciones de

aleatoriedad y de incertidumbre.

Cuando Koen se refiere a que no todos los niveles de riesgo son aceptables, est sugiriendo que

el ingeniero en su responsabilidad, deber cuantificar el riesgo para decidir con base en un juicio

sobre la magnitud de incertidumbre razonable. De esta manera la formulacin de decisiones

relacionadas con procesos inciertos, requerirn valoraciones del tipo riesgo-beneficio.

Cul es la naturaleza de aquellas heursticas que le permiten al ingeniero cuantificar el tamao

del riesgo?

Cmo obtener una estimacin de la magnitud de un efecto de particular importancia en un

proyecto, que garantice al ingeniero que acta hacia el lado de la seguridad en cuanto al riesgo,

pero sin perder de vista la racionalidad econmica o prctica?



La Probabilidad, la Estadstica y el Mtodo de Ingeniera.

La respuesta a los anteriores interrogantes, la tiene la teora de la probabilidad y la estadstica.

En una situacin experimental por ejemplo, en la que se pretende valorar la fatiga de cierto

material, es casi seguro, que experimentos repetidos bajo condiciones similares no generarn el

mismo resultado. Cual debe ser entonces el valor de la fatiga que debe reportarse, asociado a

dicho material, en un proceso de diseo?.

Si el ingeniero se enfrenta al problema del diseo de un canal para aguas de lluvia, cuales deben

ser sus parmetros de diseo si el quisiera que el canal fuera suficiente, para lluvias tan intensas

como aquellas que se presentan en promedio una vez cada diez aos?.

Conociendo la imposibilidad de predecir con certeza de que magnitud sern las mximas lluvias

que ocurrirn en el futuro. Cmo responder la pregunta?

El ingeniero debe cuantificar el riesgo y las heursticas que le permitirn hacerlo, son

competencia de la probabilidad y la Estadstica.

En electrnica, es posible conocer la fiabilidad de cada una de los elementos de un circuito,

como poder, a partir de estas probabilidades individuales, conocer el riesgo de falla del circuito

completo como un sistema?.

En este camino, conocer los elementos bsicos de la teora de la probabilidad, de tal manera que

a partir de la estimacin de la probabilidad de ocurrencia eventos simples, pueda obtenerse

informacin sobre el riesgo de ocurrencia de eventos compuestos y complejos, es una necesidad

para el ingeniero.

Si con un determinado sistema, es posible resolver el problema con un riesgo r, cul sera el

riesgo si se colocaran n sistemas en paralelo? O combinaciones de serie y paralelo?

Captulo 1 25


En una situacin pobremente estudiada, cmo hacer predicciones del riesgo, usando

informacin incompleta?

Si la magnitud de un factor F, es un insumo clave para la solucin de un problema de ingeniera,

pero solo dispongo de algunos datos sobre F, Cmo puedo estimar la magnitud de F, asumiendo

un riesgo de equivocarme en la estimacin, definido a priori por el ingeniero?

En esta situacin la probabilidad y la estadstica pueden apoyar la formacin del ingeniero

proporcionndole las herramientas adecuadas para la construccin de heursticas, a travs de la

llamada estimacin de cantidades, por medio de intervalos de confianza.

Koen (1985) en su intento por caracterizar el trabajo del ingeniero, expresa cmo el ingeniero

inicia su trabajo saliendo de un punto de partida que corresponde a una situacin de

incertidumbre o pobremente estudiada y que su punto de llegada es incierto. En el camino,

deber ir resolviendo las dificultades y obstculos y tomando decisiones cuando existan varios

caminos alternativos.

Cmo poder hacer comparaciones y tomar decisiones ante diversos cursos alternativos de

decisin, en un ambiente de incertidumbre?

En esta problemtica, la probabilidad y la estadstica se constituyen en una verdadera mina, de la

cual el ingeniero puede dotarse de las heursticas apropiadas para enfrentar con muy buenas

posibilidades de xito la situacin de comparar alternativas, con informacin parcial,

cuantificando el riesgo de tomar una mala decisin. Este yacimiento de heursticas, se conoce en

estadstica como Contraste de hiptesis. Cmo decidir entre varios posibles cursos de accin

en ambiente de incertidumbre?

Koen plantea de manera muy pedaggica la diferencia entre los dominios de la Ciencia y de la

Ingeniera. Uno de los elementos conceptuales que marca esta diferencia, es la restriccin en los



recursos disponibles. A diferencia de la ciencia, en la ingeniera no se hace referencia a la

solucin, sino a una solucin.

En ingeniera una buena solucin no se puede juzgar, sin el conocimiento de la restriccin

generada por la disponibilidad de recursos.

En ingeniera puede preferirse una solucin que no es la ptima absoluta (utilizando algn

criterio de optimalidad), pero que se aproxima bastante bien a los requerimientos, si sta es

mucho ms rpida y/o barata que la ptima.

Si la recopilacin de la informacin completa requiere de un periodo de tiempo exagerado o

exige una cantidad de recursos muy grande, el ingeniero deber disponer de heursticas que le

permitan saber cul es el punto de equilibrio entre la cantidad de recursos a invertir en obtener

informacin y la magnitud del riesgo de equivocarse y sus consecuencias al tomar decisiones con

dicha cantidad limitada de informacin.

La probabilidad y la estadstica ofrecen un excelente men, para que el ingeniero disponga de

heursticas que le permitan cuantificar el monto de recursos que debe asignar a la inversin en

informacin y la manera de decidir con dicha informacin. Esta carta de navegacin, se conoce

en Estadstica como estimacin del tamao de muestra y puede relacionar un tamao de muestra

a seleccionar con el riesgo de equivocarse al decidir con ella en algn sentido.

Por otro lado ante la incertidumbre o el pobre conocimiento de la situacin, el ingeniero debe

disponer de heursticas que le permitan en algunas ocasiones hacer ensayos en pequea escala,

para predecir el comportamiento de un sistema, anticiparlo tomando las medidas adecuadas,

llenndose de argumentos para favorecer un curso determinado de accin. Este es el caso por

ejemplo, de los cilindros de prueba, que son construidos con la mezcla de concreto que el

ingeniero piensa usar en una obra y que debe someter al laboratorio para verificar su resistencia.

De nuevo, casi con seguridad, los cilindros construidos con la misma mezcla, presentarn

variabilidad en los resultados de resistencia medidos en el laboratorio. Con esta informacin,

Captulo 1 27


deber tomarse una decisin que ser aplicada a las mezclas que con las mismas especificaciones

se realicen para construir la obra en cuestin. Conociendo la existencia de la mencionada

variabilidad cmo estar seguros de que las mezclas que se produzcan se comportarn de la

misma manera que la muestra estudiada?.

Cmo realizar estos ensayos? Cmo concluir con base en la informacin obtenida en los

ensayos, si se sabe que esa informacin parcial, no es reproducible en forma exacta si se

repitieran los ensayos?.

Cmo puede comparar la resistencia de varios diseos de mezclas?.

En esta situacin, un excelente socavn, rico en las mejores fuentes para producir heursticas, lo

constituye el diseo estadstico de experimentos, el cual no solo plantea muy buenas guas para la

ejecucin de los ensayos, para garantizar la validez de las conclusiones que se obtengan, sino

que permite controlar el riesgo, definiendo a priori, la magnitud de los riesgos que el ingeniero

est dispuesto asumir, en el sentido de tomar decisiones equivocadas. Adems incluye relaciones

esenciales que conectan los recursos a invertir con la calidad de las decisiones. En todo anlisis

de un diseo estadstico de experimentos, arrojar informacin de tipo probabilstico.

Cuando se trata de la valoracin del impacto de alguna medida o poltica gubernamental sobre el

medio ambiente, generalmente se compara la situacin antes y despus de la intervencin.

Cmo saber si las diferencias observadas no se deben tan slo al azar, sino que pueden atribuirse

a la intervencin estudiada?.

Ya se dijo que una condicin inherente al trabajo de un ingeniero, y que por tanto caracteriza el

Mtodo de Ingeniera, es la restriccin en la disponibilidad de recursos. Entre varias heursticas

comparables en su eficiencia, el ingeniero podra escoger aquella que exija menos insumos de

informacin y en general que implique menos recursos.

Proteger los recursos, es una de sus misiones permanentes. En este sentido poder predecir el

estado final resultante de un curso de accin tomando en consideracin caractersticas de su



punto de partida, le permitir disminuir los riesgos de invertir recursos en rectificaciones por

deficientes predicciones.

Un indicador importante de contaminacin de las aguas con materia orgnica, es la llamada

demanda bioqumica de oxgeno, DBO, cuyo proceso de medicin en el laboratorio, puede tardar

20 das. Para agilizar este proceso de medicin, sera de mucha utilidad asociar medidas ms

tempranas de este mismo parmetro, con las que resultaran al final del proceso, midiendo por

supuesto el riesgo de cometer errores de cierta magnitud. De hecho, este es el sentido del

parmetro DBO5, que representa la medicin de la demanda bioqumica de oxgeno a los cinco

das.

Algo similar ocurre con la resistencia del concreto, que puede alcanzar su valor mximo a los 28

das.

Estos ejemplos de aplicacin, podran generalizarse a situaciones problema donde se requiere el

conocimiento de magnitud de F, para tomar una decisin, pero en lugar de conocer F, se

conocen X, Y, Z y W, que son mucho ms baratas y prcticas de medir que la propia F, surge la

pregunta: Cules heursticas permiten al ingeniero tomar decisiones equivalentes con stas

ltimas en lugar de F? Entre las caractersticas disponibles (X, Y, Z y W), Cul es el

subconjunto mnimo que se requiere y cual es la calidad de las decisiones que se tomen con base

en dicho subconjunto? Cmo predecir el valor F correspondiente a un conjunto de valores

especfico de las caractersticas (X, Y, Z y W)?

En esta problemtica, la Estadstica vuelve a salir a la palestra, poniendo a disposicin del

ingeniero, los modelos para predecir la magnitud de una caracterstica mediante el conocimiento

de otras, a travs de los llamados modelos de regresin, midiendo en todo caso, en trminos de

probabilidad los riesgos de equivocarse en las predicciones o estimaciones.

Captulo 1 29


Si una de las condiciones del punto de partida del ingeniero es la disponibilidad de informacin

sobre un conjunto de caractersticas relacionadas con la situacin problema, Cmo explorar esta

informacin, para plantear a partir de ella algunas hiptesis que permitan orientar el prximo

curso de accin?

En esta fase la Estadstica entrega en las manos del ingeniero, algunas estrategias para hacer

tiles sus datos, dndoles sentido en el contexto de su problema a travs del llamado Anlisis

Exploratorio de Datos.

En la planeacin de la produccin, por ejemplo, se requiere estimar la demanda por cierto

producto. Si se conoce, el comportamiento aleatorio de la demanda en el pasado, de qu manera

puede usarse esta informacin, para predecir el comportamiento de la demanda del futuro?.

Cmo valorar que tan fiable es esta prediccin?.Cul es el riesgo de que la demanda real que se

presente, sea inferior a un cierto valor crtico D0?

Cuando el comportamiento futuro de una caracterstica, es un parmetro de diseo para un

proyecto, se requiere disponer de Heursticas que permitan sacar provecho del conocimiento

sobre cmo se ha comportado dicha variable en el pasado, para hacer pronsticos y estimar su

fiabilidad. En este campo, la probabilidad y la estadstica proveen los elementos necesarios a

travs del llamado anlisis de series de tiempo y pronsticos.

En campos especficos de la ingeniera, en los cuales una caracterstica inherente a la calidad de

un producto es el tiempo que trascurre hasta que el producto falla o la duracin del tiempo entre

fallas, se requiere conocer algunos parmetros que garanticen a priori, la confiabilidad del

producto o servicio o para la definicin de polticas de mantenimiento de equipos, para la

definicin de tiempo de garanta, es muy conveniente disponer de heursticas para la prediccin

de la fiabilidad, campo frtil de la Estadstica a travs de la Teora de la Fiabilidad, que no es

otra cosa, que la aplicacin de la teora de la probabilidad a esta situacin especfica.



Si se trata de controlar y mejorar la calidad de productos o procesos en ambientes de

incertidumbre y variabilidad, como es la situacin normal en la industria manufacturera y en las

empresas de servicios, las heursticas universalmente usadas corresponden al rea de Mtodos

estadsticos para el control y el mejoramiento de la calidad.

Si se quiere abordar la calidad desde el propio diseo del producto, intentando conocer la

interaccin entre los parmetros de diseo del producto o de la operacin de un proceso, con

caractersticas de preferencias o del ambiente del usuario final, se requiere usar la Estadstica a

travs de los llamados Mtodos estadsticos para el logro de la calidad por diseo.

Citando una vez ms a Koen (1985), al empezar su captulo 1, dice:

El uso del Mtodo de ingeniera, en vez del uso de la razn, es la herencia de la humanidad ms equitativamente distribuida. Por Mtodo de Ingeniera quiero decir la

estrategia para causar, con los recursos disponibles, el mejor cambio posible en una

situacin incierta o pobremente estudiada. Por Razn, quiero dar a entender la habilidad

para distinguir lo verdadero de lo falso.

Esta distincin, indica que la lgica formal, no ser el instrumento, que usar el ingeniero para

definir sus cursos de accin y para tomar sus decisiones sobre lo que funciona o no funciona,

pues como lo explica el propio Koen en su caracterizacin de heurismos, no se garantiza que la

aplicacin de un heurismo sea siempre vlida. Adems heurismos diferentes disponibles en el

maletn del ingeniero pueden conducir a resultados contradictorios.

En este estado de cosas Cmo decidir sobre la plausibilidad de una heurstica o de alguna

estrategia, en ambiente de incertidumbre, si no es la lgica formal la que nos rige?

Esta situacin se identifica extraordinariamente con lo que se conoce como Pensamiento

Estadstico, el cual da pautas y guas para valorar un conjunto de datos, con base en la naturaleza

Captulo 1 31


del proceso que los gener, sin comprometerse con la validez categrica de los mismos. Es decir,

que unos datos sern tan buenos como el proceso que les dio origen.

Igualmente cuando se requiere comparar cursos de accin, la Estadstica proporciona unas guas,

que han de seguirse, y hacen plausibles la conclusiones que se obtengan al aplicar unos

procedimientos consistentes con dichas guas, aunque no las garantiza al cien por ciento, siempre

ofrece informacin sobre el riesgo de equivocarse en la magnitud establecida.

El pensamiento estadstico, es una dimensin transversal a toda heurstica que intente obtener

informacin o tomar decisiones en ambientes de variabilidad e incertidumbre.

Para finalizar, podemos plantear la pregunta Cmo comparar la eficiencia de varias heursticas

en ambientes de incertidumbre o en situaciones pobremente estudiadas?

Una posible estrategia para lograr este propsito, como ya lo discutimos anteriormente, puede

darse con base en la simulacin, la cual permite a costos relativamente bajos predecir el

comportamiento de una heurstica, en diferentes ambientes y condiciones de partida. Conociendo

comportamientos aproximados de las componentes de un sistema y de sus complejas relaciones,

puede hacerse uso de las herramientas que proporciona la simulacin para obtener resultados

empricos del comportamiento del sistema completo, pudindose evaluar la sensibilidad o

robustez a ciertas condiciones y ambientes.

La gran conclusin, es que es prcticamente imposible, ignorar el impacto de la variabilidad y de

la incertidumbre, que son rasgos omnipresentes, en el contexto del trabajo de un ingeniero. Es

necesario entonces, conocer los fundamentos de la teora de la probabilidad que nos permita

involucrar en los anlisis la medicin del riesgo.

1.3 VALIDEZ DE UNA INVESTIGACIN

Cuando se hace referencia a investigacin en este contexto, se entiende de la manera ms general,

como un proceso de bsqueda de conocimiento, sin cualificar la naturaleza del conocimiento



producido, ni su valor en trminos de la trascendencia, puede referirse a un complicado estudio

astronmico, a la exploracin celular en busqueda de la explicacin de algunos procesos

qumicos que tienen lugar en el ncleo de la celula, como tambien a cosas de menos generalidad

y trascendencia, como la investigacin sobre si vale la pena o no aumentar la dosis de abono a un

cierto cultivo, de acuerdo con el incremento en el rendimiento que se observe. Un estudio para

conocer la opinin politica en una zona y en un tiempo determinados.

Notese que en esta parte, no se pretende asociar investigacin con Estadstica. No obstante

cuando se quiere juzgar la validez de un proceso generador de conocimiento, en cualquier campo,

no necesariamente usando la Estadstica, aparecen en forma natural dos elementos a considerar y

a juzgar:

1.3.1 El mecanismo de observacin y la validez externa.

El mecanismo de generacin de los datos bsicos, que han de servir de cimientos o de materia

prima para la elaboracin de informacin. En este primer elemento, la atencin se centra en

valorar si el mecanismo o instrumento usado registra confiablemente los rasgos que se pretenden

observar o medir en el objeto de estudio. Asi pues en el caso del astrnomo, quien pretende

registrar sus datos, usando un sofisticado telescopio, para estimar algunas distancias entre

cuerpos celestes, la pregunta clave es si las distancias registradas por su aparato corresponden a

las verdaderas distancias en la realidad, debera estar razonablemente seguro que atraves de su

instrumento, no se producen desviaciones significativas2 pues de no ser asi, el astrnomo deber

estimar la magnitud de estas desviaciones o deformaciones, con el propsito de construir ajustes

que corrijan las deficiencias de su instrumento. Es razonable pensar que si lo que mide el

astrnomo no se corresponde con la realidad, sus elaboraciones conceptuales, aunque plausibles,

2 Significativo, en el contexto de la astronoma y de la problematica especfica que se aborda. Esto deber ser

materia de nuevas consideraciones.

Captulo 1 33


no necesariamente conducirn a afirmaciones confiables. El instrumento de observacin adopta

las variadas formas, desde un aparato fisico, como en el caso del astrnomo, hasta una sofisticada

encuesta que contiene preguntas sesudamente elaboradas con la pretension de obtener la materia

prima para construir categoras sobre complicados conceptos sociolgicos o psicolgicos. En

esta situacin la cuestion seria entre otras3 : en realidad los items que contiene el formulario y la

manera de relacionarlos para construir las categorias, detectan lo que se quiere detectar?, miden

lo que se quiere medir?, pues de no ser asi, aun cuando los razonamientos que se realicen sean

vlidos, sus conclusiones no son confiables. Cuando una investigacin satisface esta dimensin,

se dice que tiene validez externa.

1.3.2 La lgica del pensamiento y la validez interna.

Una vez se dispone de las observaciones, obtenidas con un proceso o instrumento que posee

validez externa, puede decirse que tenemos materia prima con calidad adecuada, que se tiene un

punto de partida, unas condiciones iniciales, a partir de las cuales se elaborara un nuevo

producto, se generaran afirmaciones simples o muy complejas sobre el objeto de observacin,

que constituyen nuevos hallazgos.

La valoracin de ese nuevo producto, de ese cuerpo de afirmaciones, tiene varias aristas. Una de

ellas es la compatibilidad con el conjunto de proposiciones aceptadas como validas, en el campo

que se trata. Si se encuentran contradicciones, se esta frente a un nuevo problema a resolver: o se

rechazan las nuevas afirmaciones y se buscan razones que justifiquen su invalidez o se replantean

las proposiciones aceptadas y dadas como vlidas hasta ese momento, buscando una explicacin

plausible para ese nuevo comportamiento registrado. La otra arista, no excluyente con la primera,

es juzgar el producto, es decir el nuevo conjunto de afirmaciones generadas, con base en un

3 Entre otras, que mas tarde abordaremos en forma especfica, como lo es la representatividad de la muestra objeto

de la aplicacin del instrumento.



juicio sobre el proceso de elaboracin, es decir haciendo una valoracin crtica de la logica4

utilizada, partiendo de las observaciones vlidas, y usando el universo de proposiciones

aceptadas como vlidas.

Cuando el resultado de esta valoracin crtica del proceso de construccin de las conclusiones, es

positivo se dice que el estudio tiene validez interna.

Los conceptos de validez externa y validez interna, adoptan formas muy especiales, cuando la

naturaleza de la investigacin, hace que la observacin se realice con base en muestras de

individuos de una poblacin que tiene variabilidad en cuanto a las caractersticas objeto de la

investigacin y por tal razn las conclusiones son obtenidas mediante un proceso inductivo, en el

cual estn presentes ingredientes como el azar y la incertidumbre.

1.4 LA VALIDEZ EN INVESTIGACIONES QUE USAN

MTODOS ESTADSTICOS

1.4.1 Validez externa y representatividad.

La caracterstica esencial de los estudios que usan mtodos estadsticos, radica en la observacin

con base en muestras probabilsticas5 y las inferencias de naturaleza probabilstica, que permiten

asociar a sus conclusiones o hallazgos niveles de confianza, como resultado de la componente de

aleatoriedad o azar que involucra.

4 Entiendase en el mas amplio sentido.

5 Muestra probabilstica, para diferenciarla del muestreo intencional, en el que es el juicio del investigador el que

decide sobre los elementos a estudiar y por lo tanto las inferencias no son de naturaleza estadstica. En adelante

siempre que se haga referencia a muestra o a muestreo, entenderemos muestreo probabilstico.

Captulo 1 35


Se puede ver que en esta situacin una componente adicional al instrumento de observacin

propiamente dicho, es la representatividad de la muestra.

Sobre la representatividad de una muestra, se ha especulado mucho y es motivo de serias

controversias, algunas de las cuales aun tienen vigencia.

Aqui, el criterio para valorar la representatividad de una muestra, tiene dos dimensiones

esenciales: el mecanismo mediante el cual se seleccionan las unidades a incluir en la muestra y

el nmero de elementos a incluir en la misma. En resumen: la forma y la cantidad.

La forma de muestrear, es decir el mecanismo para seleccionar la muestra, debe ser tal que se

procure plausiblemente conservar la estructura de las caractersticas y las relaciones que se

quieren observar, que los alejamientos se deban solamente a la accin del azar. Esta afirmacin, a

veces se operacionaliza con afirmaciones como: ..Todos las unidades de la poblacin deben

tener la misma probabilidad de ser seleccionadas en la muestra algo asi como la democracia en

la seleccin de la muestra. aunque podra funcionar algo mas flexible, como: ..El mecanismo de

seleccin6 debe ser tal que se conozca la probabilidad que tiene cada unidad de la poblacin de

ser incluida en la muestra.., esta segunda afirmacin, mas general que la primera, exge conocer

los ponderadores o pesos que mas tarde, en el anlisis deber darse a cada una de las unidades de

la muestra para conservar la mencionada estructura de la poblacin.

De hecho cada uno de los llamados modelos de muestreo7, tiene asociado el conocimiento de la

probabilidad que cada unidad de la poblacin tiene de ser seleccionada, as por ejemplo en

6 Ntese que la representatividad de una muestra, se juzga ms que por si misma, por el mecanismo que le di

orgen.

7 En las llamadas poblacines finitas, es decir que la poblacin esta conformada por un nmero conocido N de

unidades.



muestreo aleatorio simple8, la probabilidad es igual para todos (1/N). En muestreo

estratificado, es decir cuando la poblacin se ha clasificado en estratos de tamao conocido, por

ejemplo por estratos socioeconmicos, conformando la muestra con las unidades que se

seleccionan al azar de cada uno de los estratos, aqui la ponderacin de una unidad depende del

estrato a que pertenece y esta dada por la proporcin que representa la muestra en ese estrato con

respecto al tamao del estrato. Analogamente en modelos como el muestreo por conglomerados,

por ejemplo, la poblacin puede estar agrupada en barrios o colonias o comunas. Aqui se escogen

algunos barrios al azar. En los barrios seleccionados, se sacan manzanas al azar y luego de las

manzana escogidas se extraen viviendas (muestreo por conglomerados trietapico). Aqui las

ponderaciones se definen de acuerdo al nmero de barrios (unidades primarias), nmero de

manzanas (unidades secundarias) y al nmero de viviendas en cada manzana (unidades

terciarias). Existe otros modelos como el muestreo sistemtico de intensidad K, en el cual se da

un ordenamieno a las unidades de la poblacin, se selecciona la primera al azar y a partir de ese,

se toma una cada K unidades.

Pueden existir mezclas de estos modelos bsicos y adems otros tipos de muestreo que surgen

como resultado de consideraciones de eficiencia o de dificultades prcticas.

En resumen, puede decirse entonces, que el establecimiento de un modelo de muestreo, que tenga

asociadas probabilidades conocidas de seleccin de cada una de la unidades de la poblacin, es

garanta de que la muestra es representativa (por su forma).

La otra dimensin de la representatividad est relacionada con el tamao de la muestra, sobre

el cual existen un gran nmero de mitos y falsas creencias que se van transmitiendo por

generaciones.

8 Todos en un costal y se saca al azar del costal una muestra.

Captulo 1 37


Existe la falsa creencia de que para que la muestra sea representativa debe contener el 10% de las

unidades de una poblacin, lo cual se contradice con un sencillo ejemplo: para saber el tipo de

sangre de una persona, no es necesario extraerle el 10% de la sangre, basta con una sola gota,

puesto que se sabe que todas las gotas de sangre de su cuerpo son del mismo tipo. Aqui se nota

como el grado de homogeneidad de las unidades toma un papel importante en la definicin del

tamao de la muestra. Podra traerse tambin el caso de la sabia ama de casa que solo prueba una

sola cucharadilla de su rica sopa, para tomar con base en ella la decisin de ponerle o no mas sal,

eso si, asegurndose de antemano en garantizar la homogeneidad al menear con maestria por

todos los rincones de la olla. El tamao de la muestra si se relaciona con el tamao de la

poblacin a muestrear, pero la heterogeneidad, es decir la variabilidad de la caracterstica de

inters, pesa mucho ms en su determinacin, a tal punto que en poblaciones muy grandes9, el

tamao de la poblacin no tiene ninguna importancia, es decir que las frmulas para el clculo

del tamao de la muestra no toman en cuenta el tamao de la poblacin,

En todo caso el criterio que define si una muestra de un tamao determinado, puede considerarse

representativa, tiene relacin con el nivel de precisin requerido. Puede intuirse que entre mas

precisin se exija, ms grande se requerir la muestra.

La precisin de una estimacin puede expresarse generalmente a travs de dos elementos: el

error tolerable () y la confianza () o confiabilidad. El error tolerable es la diferencia que estamos dispuestos a aceptar entre el verdadero valor poblacional ()10 y el calculado con la

9 En la teora se conocen como poblaciones infinitas.

10 Al verdadero valor poblacional, el cual es una constante se le llama parmetro.



muestra ( n )11 y la confianza es justamente, la probabilidad12 de que el error tolerable no sea sobrepasado. De esta manera la ecuacin de donde se despeja el tamao de muestra es :

[ ]P n La relacin entre el tamao n de la muestra y el tamao N de la poblacin, para

una precisin constante especificada, se muestra en la figura 1.1.

Ntese que el tamao de muestra crece muy lento an con grandes incrementos del tamao de la

poblacin, asi por ejemplo para N = 300 resulta una muestra de

n=120. Sin embargo si el tamao de la poblacin se duplicar a 600, la muestra sera de 150.

Notese que no se duplica. Es ms, si N = 900, el tamao de muestra ser de n = 164. Si la

poblacin fuese muy grande, digamos N = 1000000, el tamao de muestra sera n = 200, el cual

es el valor lmite (tope), como se percibe en la figura, manteniendo en todos los casos el mismo

nivel de precisin requerido.

11 A la expresion para calcular este valor con base en la muestra se le conoce como estadstico y cuando se usa

como instrumento para conocer la magnitud del parametro, se le llama estimador

12 La probabilidad expresada generalmente en porcentaje

Captulo 1 39


Fig. 1.1. Relacin entre el tamao de la poblacin y el

tamao de una muestra

1.4.2 La validez interna y la comparabilidad.

Cuando en investigaciones que usan la metodologa Estadstica, se hace referencia a la validez

interna, se le esta pidiendo a la lgica de la inferencia estadstica, que garantice la

comparabilidad. Para entender mejor lo esto significa, se presenta una situacin donde se viola

la comparabilidad: se desea comparar el efecto de la edad de corte de la caa de azcar, en el

rendimiento en toneladas por hectrea, para ello se registra para un buen nmero de suertes13 la

edad de corte (X) y su rendimiento en Ton/Ha (Y), posteriormente se aplican medidas estadsticas

de asociacin, para detectar la fuerza de la relacin entre estas dos caractersticas y resulta una

muy pobre asociacin, se encuentra posteriormente que las suertes tenan diferente nmero de

13 Una suerte es un lote de terreno, que se maneja como una unidad, para la siembra, el arreglo, el corte, etc.



cortes14, lo cual afectaba la comparacin, es decir no podra distinguirse si un efecto se debia a la

edad o al nmero de cortes. Un caso extremo podra presentarse si las caas mas jvenes eran las

de mayor nmero de cortes, pues los dos efectos podrian neutralizarse y hacer aparecer pobre la

asociacin. En este ejemplo la variable nmero de cortes, que aparece afectando diferencialmente

a las unidades observadas se le conoce como factor de confusin.

Podra decirse entonces que la validez interna, la comparabilidad se logra atravs del control de

los factores de confusin. En esta situacin podra encontarse la asociacin de las variables edad

de corte y rendimiento, en cada grupo de suertes que tengan el mismo nmero de cortes, de esta

manera, dentro de cada grupo el nmero de cortes permanece constante y puede lograrse la

comparacin deseada, siempre y cuando no existan otros posibles factores de confusin, como

podran ser la aplicacin de madurantes en forma diferencial en las suertes observadas.

A esta solucin, para lograr validez interna, se le llama construccin de bloques15. No obstante

existen otras soluciones para este mismo problema de falta de comparabilidad, como por

ejemplo, la aleatorizacin o involucrar en el modelo de anlisis al factor de confusin como una

variable, que permite hacer las comparaciones para cada nivel del factor, cuando se da este caso,

al factor de confusin en el modelo se le conoce como covariable.

Notese que la identificacin de potenciales factores de confusin, no es tarea de un estadstico,

sino del investigador que conoce el campo de su disciplina especfica.

14 Normalmente el terreno se va empobreciendo con el nmero de siembras (cortes) hasta el punto de que se hace

necesario arreglar (Remover y abonar) el terreno despues de un cierto nmero de cortes, generalmente

cuatro(4).

15 De alli el famoso nombre de diseo de bloques al azar

Captulo 1 41


1.5 ESTADSTICA Y MEDICION

La materia prima de la Estadstica son los datos, los cuales son el resultado de la "observacin"

de alguna(s) caracterstica(s) de los elementos de inters en cierto estudio. La naturaleza de la

caracterstica y el instrumento que dispone para registrar la misma, definir el tipo de escala de

medicin que se ajuste a la situacin dada.

Escalas de medicin. Cuando se hace referencia a las escalas se trata de asociar nmeros a las

caractersticas con el propsito de manipularlas y obtener nuevo conocimiento sobre las

caractersticas del estudio.

Se consideran generalmente cuatro escalas de medicin: escala nominal, escala ordinal, escala de

intervalo y escala de razn.

La escala nominal, hace uso de los nmeros para dar nombre a los elementos que han sido

clasificados en distintos grupos, clases o categoras de acuerdo con alguna propiedad cualitativa.

El nmero asignado a una clase slo acta como un rtulo o cdigo para diferenciar los

elementos de esa clase con los de otra. Por ejemplo si se clasifica un conjunto de objetos por su

color, las categoras pueden ser: azul, amarillo, rojo, verde, a las cuales podemos asociar res-

pectivamente los nmeros 1,2,3,4 y se hablar de la categora 1 para hacer referencia al grupo de

objetos de color azl o 4 para el verde, pero los nmeros aqu, slo son cdigos para nombrar los

elementos de una clase.

La escala ordinal, hace uso de los nmeros para clasificar los elementos de un conjunto en

categoras en los cuales los nmeros no slo sirven para nombrar sino que son base para

comparaciones de la forma: "mas grande", "igual", "menor", es decir, que el valor numrico de la

medida se usa para indicar el orden que ocupa un elemento al comparar el tamao relativo de sus

medidas, del ms grande al ms pequeo, de all el nombre de escala. Un ejemplo, cuando a una

persona se le pide ordenar de la ms importante a la menos importante, asignando nmeros de 1 a

4, a las siguientes necesidades: empleo, salud, vivienda, servicios pblicos. Aqu el nmero se

usa para representar la prioridad de las necesidades; de esta manera si un individuo asigna el



nmero 1 a la vivienda y el 4 al empleo, indicar que para l es "ms importante" la vivienda que

el empleo.

La escala de intervalo, considera pertinente informacin no slo sobre el orden relativo de las

necesidades, como en la escala ordinal, sino tambin del tamao del intervalo entre mediciones,

esto es, el tamao de la diferencia (resta) entre dos medidas. La escala de intervalo involucra el

concepto de una unidad de distancia. Por ejemplo la escala con la cual casualmente

representamos la temperatura; un incremento en una unidad (grado) de la temperatura est defi-

nido por cambio particular en el volumen de mercurio en el interior del termmetro, de esta

manera, la diferencia entre dos temperaturas puede ser medida en unidades (grados). El valor

numrico de una temperatura es meramente una comparacin con un punto arbitrario llamado

"cero grados". La escala de intervalo requiere un punto cero, como tambin, una unidad de

distancia, pero no importa cual punto se define como cero ni cual unidad es la unidad de dis-

tancia. La temperatura ha sido medida adecuadamente por mucho tiempo en las escalas

Fahrenheit y centgrada, las cuales tienen diferente temperatura cero y diferentes definiciones de

1 grado o unidad. El principio de la medida de intervalo no es violado por cambios en la escala o

en la localizacin.

La escala de razn, es usada cuando no solamente el orden y el tamao del intervalo ente

medidas son importantes, sino tambin la razn (o cociente) entre dos medidas. Si es razonable

hablar de que una cantidad es "dos veces" otra cantidad, entonces la escala de razn es apropiada

para la medicin, como cuando medimos distancias, pesos, alturas, etc. Realmente la nica

diferencia entre la escala de razn y la escala de intervalo, es que la escala de razn tiene un

punto cero natural, mientras que en la escala de intervalo ste es arbitrario. En ambas escalas la

unidad de distancia es arbitrariamente definida.

Es muy importante tener presente la escala de medicin cuando se realiza un estudio, puesto que

las pruebas estadsticas varan dependiendo de la escala de medicin de la caractersticas en

referencia.

Captulo 1 43


En general puede decirse que la escala de razn es la que tiene a su disposicin una mayor

cantidad de herramientas estadsticas para su tratamiento.

1.5.1 Variables discretas y variables continuas.

En las escalas de intervalo y de razn algunas veces es necesario establecer la diferenciacin de

las variables por su naturaleza, entonces se habla de variables discretas y variables continuas.

Variable discreta, es aquella cuya naturaleza hace que el conjunto de valores que puede tomar la

variable sea finito o infinito numerable.

Por ejemplo, la variable: nmero de personas por hogar, el conjunto de valores que puede asumir

sta son:

{1, 2, 3, 4, ... , M} donde M es finito

Otros ejemplos son los siguientes: nmero de consultas al mdico durante un ao, nmero de

clientes que llegan a un banco durante una hora, nmero de ensayos realizados hasta obtener el

primer xito.

Variable continua, es aquella, cuya naturaleza hace que exista un intervalo de puntos, los cuales

son valores que puede tomar la variable. Por ejemplo, la estatura de una persona, esta variable

puede tomar cualquier valor en el intervalo (1.50 m, 1.60m). El tiempo entre dos llegadas

consecutivas al servicio de urgencias de un hospital. El rea cultivada de trigo en las fincas del

valle del Ro Cauca .

Esta clasificacin no tiene en cuenta la poblacin en la cual va a ser observada la variable, es

decir, no interesa en la clasificacin, si la poblacin es finita o infinita, puesto que de acuerdo con

la definicin una variable es discreta o continua por si misma. Tampoco juega papel alguno el

instrumento de medicin que se use.

Las definiciones como son presentadas son de utilidad en el tratamiento descriptivo de los datos,

como se ver ms adelante.



1.6 ALGUNOS TERMINOS USADOS EN ESTADSTICA

Se definen a continuacin algunos trminos que se usarn con frecuencia en el presente escrito.

1.6.1 Poblacin

Se identificar con este nombre al conjunto de elementos de inters en un estudio, sobre los

cuales se desea informacin y hacia los cuales se extendern las conclusiones. El trmino

poblacin no debe asociarse exclusivamente con poblacin humana; tiene sentido hablar de la

poblacin de tornillos que se producen durante un da en una determinada fbrica, o de la

poblacin constituida por todas las fincas de un pas o una regin.

En todo estudio, la poblacin debe estar definida en forma muy precisa, de tal manera que pueda

determinarse en algn momento si un elemento dado pertenece o no a la poblacin. Por ejemplo

supngase que se va a realizar un estudio para determinar el porcentaje de desempleo en Cali a

abril 4 de 1995; algunas reflexiones tendientes a caracterizar a la poblacin que concierne a dicho

estudio son las siguientes:

El estudio hace referencia a los caleos o a los residentes en Cali?.

Que significa ser residente en Cali? una persona que lleg a Cali en abril 3 de 1995, pertenece

a la poblacin? o una persona que se fue de Cali en la misma fecha?

Por la naturaleza del estudio los elementos de inters son las personas que "deberan estar

empleadas" (de la observacin de estas se definir quienes lo estn y quienes no, para determinar

el porcentaje de desempleo), entonces cabe la pregunta: cmo se caracterizan los que "deberan

estar empleados" ? (edad, condiciones de salud, incapacidad, etc.).

Estas reflexiones sugieren definiciones precisas que conducen a una determinacin adecuada de

la poblacin.

Captulo 1 45


1.6.2 Muestra

En muchas ocasiones se requiere conocer una caracterstica medible de la poblacin, para ello se

puede observar, uno a uno, todos los elementos de la poblacin (Censo), lo cual casi siempre es

impracticable o muy costoso; en estos casos puede "hacerse una idea" sobre la caracterstica

poblacional, observando slo algunos elementos de la poblacin, stos constituyen una muestra

de esa poblacin.

1.6.3 Parmetro

Se llamar parmetro a una caracterstica medible de la poblacin. Por ejemplo, la edad

promedio de los estudiantes de una escuela, el porcentaje de varones; el dimetro promedio de

los tornillos que se producen en una fbrica, la tasa de crecimiento promedio de la tilapia roja, el

tiempo promedio entre fallas de una maquina etc. Un parmetro es una constante para la

poblacin.

1.6.4 Estadstica

Se denominar estadstica a una caracterstica medible en la muestra por ejemplo la edad

promedio de una muestra de estudiantes de una escuela, o el porcentaje de varones en la muestra;

el dimetro promedio de los tornillos de una muestra de la poblacin de una fbrica, etc. En

general una estadstica es una funcin de los datos de una muestra; como puede intuirse el valor

que asume una estadstica depende de la muestra que se haya tomado. Generalmente se usan las

estadsticas para hacerse una idea de los parmetros, cuando esto sucede se llaman estimadores.

Notese que una estadstica en general varia de una muestra a otra, en este sentido puede mirarse

como una variable y drsele el tratamiento que expondremos para las variables.

1.7 ETAPAS DE LA METODOLOGIA ESTADSTICA

A continuacin se presentan las principales actividades que es necesario realizar cuando se hace

un estudio estadstico.



1.7.1. Definicin del problema

Consiste en la justificacin del estudio, la determinacin de los objetivos del estudio, revisin

bibliogrfica, planteamiento de las hiptesis que se desea probar o rechazar o definicin de los

parmetros que se desea estimar, incluyendo la precisin que se requiere en la estimacin.

1.7.2. Definicin de la poblacin

Definir en forma precisa cul es la poblacin de inters en el estudio, en el sentido presentado en

1.4.

1.7.3. Definicin de la estrategia de Anlisis

En esta etapa se realiza el plan de anlisis, se define una ruta preliminar de ataque al problema.

Se seleccionan, si es del caso, algunas tcnicas estadsticas que podran ayudar a esclarecer

preliminarmente la situacin. Es razonable, que el plan preliminar sufra modificaciones, en la,

medida en que se van valorando los hallazgos. Sin embargo tener un plan permite definir un

camino de accin, una valiosa guia de accin.

1.7.4. Determinacin de las variables de inters

Consiste en la definicin de las caractersticas de la poblacin que proporcionan la informacin

necesaria para el logro de los objetivos del estudio.

1.7.5. Diseo del estudio

Algunos llaman a esta etapa "diseo del experimento" ( o diseo de la muestra) y consiste en

definir si se observar la poblacin completa (censo) o slo parte de ella (muestreo). En este

ltimo caso deber determinarse el tipo de muestreo a utilizar y el tamao de la muestra para

unas especificaciones de precisin deseadas (error tolerable y nivel de confianza), igualmente

debe definirse la logstica de la recoleccin de la informacin.

Captulo 1 47


1.7.6. Recoleccin de la informacin

Esta es una etapa muy importante, pues de ella depende la calidad de la informacin. Los errores

en este sentido no los miden las herramientas estadsticas, por esta razn la recoleccin de la

informacin requiere mucho control sobre los instrumentos como tambin sobre el proceso de

medicin.

La dificultad para disear un control eficiente sobre la calidad de los datos recogidos, en algunas

ocasiones, hace ms confiable una muestra que un censo, puesto que se requiere controlar un

menor volumen de recursos, garantizando de esta manera una mejor calidad de los datos.

1.7.7. Procesamiento descriptivo de los datos

Esta etapa la constituye la aplicacin de las tcnicas que proporciona la estadstica descriptiva y

que consiste en la organizacin de la informacin en forma til y comprensible, mediante la

elaboracin de cuadros, tablas, grficos y reduciendo los datos recolectados por medio de algunos

indicadores que faciliten su interpretacin; esta etapa es una fase exploratoria, no obstante

constituye un medio para hacerse una idea de los rasgos poblacionales. El anlisis de la muestra,

pocas veces tiene inters en s mismo, siempre se usa la muestra como un instrumento para

conocer la poblacin. Por esa razon la caracterstica de Representatividad de la muestra debe

garantizarse siempre, independientemente de que se realice anlisis exploratorio (descriptivo) o

se utilicen herramientas probabilsticas para hacer inferencia estadstica.

1.7.8. Inferencia estadstica

Se denomina as, al proceso inductivo que permite inferir a toda la poblacin proposiciones,

basadas en las observaciones y resultados proporcionados por una muestra. Como puede intuirse

en este proceso de inferencia, aparece un factor de incertidumbre, y de error, puesto que muestras

distintas pueden arrojar resultados distintos; es precisamente esto lo que hace que la teora de la

probabilidad sea la herramienta bsica de la inferencia estadstica, sta no evita los errores que

por azar se cometen, pero si los cuantifica y les asocia una medida que indica el nivel de

confianza de los resultados obtenidos, lo cual constituye su principal mrito.



1.7.9. Conclusiones y planteamientos de nuevas hiptesis

En esta ltima etapa se plantean las conclusiones en forma clara, indicando sus alcances y

limitaciones, igualmente se plantean nuevas hiptesis que pudieran surgir en la propia

exploracin de los datos.

1.8 ESTADSTICA DESCRIPTIVA

Cuando se habla de estadstica descriptiva, da la impresin que es una de las varias "estadsticas"

que existen. En realidad es una etapa de la metodologa estadstica, en la que no se involucra la

teora de la probabilidad como herramienta para realizar inferencias a toda la poblacin, sin

embargo se construyen indicadores, se hacen grficos, se realizan comparaciones, siempre con el

inters de conocer sobre la poblacin de donde fue tomada la muestra.

La estadstica descriptiva permite procesar los datos de una muestra y obtener informacin que

puede ser usada con fines exploratorios, para plantear hiptesis o como materia prima de la etapa

de inferencia estadstica.

La complejidad de las herramientas y el volumen de informacin que se obtenga de una muestra,

depende entre otros factores, del nmero de caractersticas que se observen.

En el prximo captulo se tratar la situacin correspondiente a la observacin de slo una

variable y se har referencia a ella como unidimensional.

En los captulos 3 y 4 se desarrolla la situacin en que se observan en la muestra dos variables y

se hace mencin a ella como bidimensional.

Captulo 2


DISTRIBUCIONES UNIDIMENSIONALES DE FRECUENCIA

2.1 CASO DE UNA VARIABLE DISCRETA

Para considerar este caso, se introduce el siguiente ejemplo:

Ejemplo 2.1

Se toma informacin sobre el nmero de clientes que llegan a un banco en una hora pico, ob-

servando una muestra de 25 perodos de un minuto se obtuvieron los siguientes resultados: 8, 6,

7, 9, 8, 7, 8, 10, 4, 10, 8, 7, 9, 8, 7, 6, 5, 10, 7, 8, 5, 6, 8, 10, 11.

A esta informacin, que no ha tenido ningn tipo de tratamiento se le llama muestra bruta y se

representa por x1, x2,...., xn donde n es el nmero total de datos.



Se puede comenzar a organizar la informacin escribiendo los datos distintos de que consta la

muestra y haciendo un conteo para determinar el nmero de veces que aparece cada dato; valor

ste que se denominar frecuencia absoluta. El cuadro 2.1 muestra la situacin del ejemplo.

Como puede observarse, la suma de las frecuencias absolutas de todos los datos, debe

coincidir con el nmero total de datos (tamao de la muestra).

No obstante que la muestra consta de 25 datos, slo hay 8 datos distintos: 4, 5, 6, 7,

8, 9, 10, 11 que es posible representarlos, sin prdida de generalidad, como x1, x2,...,

xm. En nuestro caso n = 25 y m = 8, de esta manera la frecuencia absoluta del dato xi ,

se denotar por ni, as por ejemplo el dato x3 = 6 aparece 3 veces en la muestra, por tanto

n3 = 3.

Se puede tambin expresar la frecuencia absoluta como una fraccin o porcentaje del n-

mero de datos y surge as lo que se conoce como frecuencia relativa del dato xi que se

denota por fi, as pues:

nn

f ii = ; en el ejemplo 12.0253

3 ==f

Captulo 2 49


que indica que el dato x3 = 6 representa el 12% de toda la muestra, es decir que de

acuerdo con la muestra, en la hora pico, el 12% de las veces llegan al banco 6 clientes por

minuto.

Tamben se podra calcular el nmero de datos que son menores o iguales que xi, que se

denomina frecuencia absoluta acumulada hasta xi , y se denota por Ni; si x1, x2, ... ,

xm estn ordenadas en forma creciente, entonces:

Ni = n1 + n2 + ... + ni

En nuestro ejemplo N4 es el nmero de datos que son menores o iguales que x4 = 7, es

decir, N4 = 11.

Si la frecuencia absoluta acumulada se expresa como una fraccin o porcentaje de toda la

muestra, aparece lo que se conoce como frecuencia relativa acumulada que se

representa por Fi, de esta manera:

ii

i fffnN

F +++== ...21

Los conceptos, para nuestro ejemplo se sintetizan en el siguiente cuadro de frecuencias.

CUADRO 2.2

CUADRO DE FRECUENCIAS DEL NUMERO DE CLIENTES QUE LLEGAN A

UN BANCO EN UN MINUTO DE LA HORA PICO



Un resumen de las principales propiedades de las frecuencias se presenta a continuacin.

Propiedades y relaciones

Si se toma una muestra de n datos, de los cuales hay m distintos, que ordenados en forma

creciente son x1, x2, ... , xm, entonces:

0 n ni ; i = 1, 2, 3, ..., m

n n n nm1 2+ + + =... ; es decir n nii

m

= =

1

; 0 1ii inf fn=

1...21 =+++ mfff ; es decir 11

==

m

iif

N n n nj j= + + +1 2 ... ; es decir N nj ii

j

==

1

N nm =

n N N N nm1 1 2= =...

jj fffF +++= ...21 ; es decir =

=j

iij fF

1

1...211 == mFFFf

En realidad las frecuencias acumuladas pueden definirse como funciones sobre todos los

nmeros reales, as:

Captulo 2 51


N(x) = nmero de datos que son menores o iguales que x

F(x) = fraccin (o porcentaje) de los datos que son menores o iguales que x.

As pues :

F(4.32) = la fraccin del total de datos que son menores o iguales que 4.28.

= 0.04

N(4.32) = 1

Para el ejemplo planteado, la distribucin N(x), es:

La funcin F(x) es conocida como funcin emprica de distribucin acumulativa, para

sealar que ha sido obtenida con base en una muestra de la poblacin, pretendiendo con

ella lograr un conocimiento aproximado de la distribucin acumulativa que tendra la

poblacin (funcin de distribucin acumulativa de probabilidad). A continuacin se

presenta F(x) para el ejemplo.



En general las funciones N(x) y F(x) pueden definirse de esta manera:

Anlogamente la funcin emprica de distribucin acumulativa

Las funciones N(x) , F(x) son monotnicas no decrecientes, es decir que

si x1 < x2 N(x1) N(x2) y F(x1) F(x2).

REPRESENTACIN GRFICA

Cuando se trate de frecuencias absolutas o de frecuencias relativas, se realizar la

representacin por medio del llamado diagrama de frecuencia, que consiste en colocar

en el eje horizontal los valores xi, que toma la variable y levantando en cada punto un

segmento vertical de longitud igual a la frecuencia correspondiente.

Captulo 2 53


Fig. 2.1. Diagrama de frecuencias del nmero de clientes que llegan a un banco en

estadistica un enfoque descriptivo

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