estatica meriam

x - - -?'-. ~ I'f-\ ~Pr61ogo ~~";''''''fi.....~-, .it ' .. ,.I.(ICl trr:1Uli.U'Ut'tO' I ~~P Jii.\ ';u

.....\...l.-.._ "Jor ultimo, quiero agradecer el continuo aliento, paciencia y ayuda de mi '8pOsa Julia, durante las muchisimas horas empleadas en La preparacion de ste manuscrito.

? , Indice analitico Durham, North Carolina rJ':~~

1. PRINCIPIOS DE ESTAncA I Mecanica............. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I 2 Conceptos fundamentales .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I 3 Escalares y vectores 3 4 Leyes de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 5 Ley de la gravitaci6n 9 6 Precision, limites y aproximaciones .. , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 7 Descripcion de los problemas de estatica II

2. SISTEMAS DE FUERZA 8 Introduccion IS 9 Fuerza 15

10 Monknto............................................................... 28 11 Par 38 12 Resultantes de sistemas de fuerzas 49

3. EQUILIBRIO

14 Aislamiento de un sistema mecanico 63 13 Introduccion 63

15 Condiciones de equilibrio .* 74 16 Adecuacion de las ligaduras js ......................................... 109

4. ESTRUCTURAS 17 Estructuras 119 18 Armaduras planas. .. . . . 119 19 Arrnadurae espaciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 20 Entramados y maquinas 148 21 Vigas con cargas concentradas " . . . . . . . . . . . .. . . .. . . .. . . . . . . . . 168

5. FUERZAS D1STRIBUIDAS 22 Introduccion 181 23 Centro de gravedad; Centro de masa.. . .. . .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. .. .. 181 24 Centroides de llneas, superficies y volumenes 185 25 Figuras y cuerpos compuestos; aproximaciones . .. 198 26 Teorema de Pappus-Guldin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 206 27 Cables flexibles " . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 211 28 Vigas con cargas distribuidas 223 29 Estatica de fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 232 30 Empuje................................................................. 251

* El simbolo indica que el apartado contiene conceptos un poco avanzados 0 especializados.

XI

r .XII Iodice 31 Equilibrio de esfuerzos interiores 258

6. ROZAMIENTO

32 Introducci6n . 269 33 Fen6menos de rozamiento . 270 34 Rozamiento seco . 273 35 Rozamiento en las maquinas . 295

7. TRABAJO VIRTUAL 36 Introducci6n . 319 37 Trabajo . 319 38 Equilibrio de un cuerpo rigido . 322 39 Sistemas de cuerpos rigidos . 324 40 Sistemas con miembros elasticos . 344 41 Sistemas con rozamiento; rendimiento mecanico . 356 42 Criterio energetico para el equilibrio .................................... 359 43 Estabilidad del equilibrio . . 364

8. MOMENTOS DE INERCIA DE UNA SUPERFICIE

44 Definiciones . 379 45 Superficies compuestas . 393 46 Productos de inercia y rotaci6n de los ejes . 398

APENDICE A Problemas de repaso . 409

Apendice B Analisis vectorial B 1 Notaci6n . 425 B 2 Adici6n . 426 B 3 Producto escalar . 427 B 4 Producto vectorial . 429 B 5 Otras relaciones . 431 B 6 Derivadas de vectores . 432 B 7 Integraci6n de vectores . 434 B 8 Gradiente . 434 B 9 Divergencia . 435 B 10 Rotacional . 435 B 11 Otras operaciones . 435

APENDICE C. TABLAS UTIUS Tabla Cl. Propiedades . 437 Tabla C2. Constantes del sistema solar . 438 Tabla C3. Relaciones matematicas . 438 Tabla C4. Propiedades de las figuras planas . 442 Tabla C5. Propiedades de solidos homogeneos . 443

fndice alfabetico . 447

1 1 Las ecuaciones principales se identifican mediante un triangulo rojo si

tuado a la izquierda y un mimero de ecuacion rojo situado a la derecha, tales como

~ ~F ::: 0 ~M::: 0 (13)

2 Los te11Ul8 superiores y especiaiizados que se incluyen en el texto como optativos estan precedidos por una fila de triangulos

,....

,. ,.T

y se Identiflean mediante una banda gris a 10 largo del margen exterior de la pagma.

3 Problemas tipo

CUla para la utilizaci6n de estatica

Se destacan del resto del texto identificandolos facilmente mediante rayas rojas horizontales y una raya roja vertical a 10 largo del margen exterior de la pagina.

4 Los problemas de los conjuntos de problemas estan numerados consecutivamente en cada capitulo, ordenados generalmente por orden creciente de dificultad, identificados mediante un triangulo negro y un numero rojo (~ 2/43

por ejemplo) cuando entrafien una dificultad 0 interes especiales.

5 Los vectores [uerza se representan en los diagramas por medio de flechas rojas de trazo grueso con el fin de distinguirlos de otros vectores 0 rectas.

Tambien se utiliza selectivamente el color para aclarar 0 resaltar otros eleDlentos geometricos de las figuras.

XIII

1 Principios de la estatica '. 1. Mecanica. La Mecanica es la ciencia Iisica que estudia el estado de re

o movimiento de los cuerpos bajo la accion de las fuerzas. En los estudios ingenierfa no existe ninguna materia que juegue un papel mas importante que

'

3 2 Principios de estatica

Espacio. EI espacio es la region geometrica en la cual tienen lugar los sucesos, En este libro utilizaremos la palabra espacio para hacer referenda a una region tridimensional. Sin embargo, no es raro hacer referenda a un movimiento a 10 largo deuna recta 0 en un plano, diciendo (lue tiene lugar en un espacio de una 0 dos dimensiones, respectivamente. El concepto de espacio de n di, mensiones constituye un ingenio abstracto para describir la dependencia de n cantidades.

~ Sistema de referencia. La posicion en el espacio se determina con relacion a un eierto sistema geometrico de referenda mediante medidas lineales y angulares. EI sistema de referenda basico para las leyes de la Mecanica de Newton es eI sistema inercial primario 0 sistema, astronomico de rejerencia, que es un sistema imaginario de ejes reetangulares que se supone no tienen traslacion ni rotacion en el espacio. Las mediciones ensefian que las leyes de la Mecanica de Newton son validas para este sistema de referenda mientras las velocidades que intervengan sean despreciables frente a la de la luz." Las mediciones realizadas respecto a este sistema de referenda, reciben el nombre de absolutes y a este sistema de referenda se Ie considera "fijo" en el espacio. Un sistema de referencia solidario a la superficie terrestre tiene un movimiento relativamente complicado en el sistema primario, y habra que apliear una correccion a las ecuaciones fundamentalcs de la Mecanica para las medidas realizadas respeeto al sistema de reo ferenda de la Tierra. En el calculo de trayectorias de cohetes y astronaves, por ejemplo, el movimiento absoluto de la Tierra eonstituye un parametro importanteo En la mayoria de los problemas tecnicos de maquinas y estructuras que permanecen sobre la superficie terrestre, las correcciones son pequefiisimas y pueden despreciarse. Para estos problemas se pueden aplicar direetamente las leyes de la Mecanica con las medidas realizadas relativas a la Tierra y, desde un punto de vista practice, pueden eonsiderarse absolutas dichas medidas. Tiempo. El tiempo es una medida de la sucesion de acontecimientos y en

la Mecanica de Newton se considera una cantidad absoluta. La unidad de tiernpo es el segundo, que es una fracci6n conveniente de las 24 horas del dia, Euerza. La fuerza es la accion de un cuerpo sobre otro. Una fuerza tiende

a desplazar un euerpo en la direccion de su accion sobre dieho cuerpo. En el capitulo 2 se discutiran detalladamente las propiedades de las fuerzas.

0' Materia. La materia es la sustancia que ocupa el espacio. Un cuerpo es materia limitada por una superficie cerrada. , Inercia. La inercia es una propiedad de la materia por la cual se resiste a

alterar su movimiento. D Masa. La masa es la medida cuantitativa de la inercia. La masa es, tambien,

una propiedad de todo cuerpo que va siempre acompanada por la atraccion mutua con los demas cuerpos.

Principios de esbltica

,;;1tJrl . Se llama particula a un ouerpo de dimensiones despreciablesieula "'Jl aspecto matematico, una partlcula es un cuerpo cuyas dimensionoes se

. an a cero, par 10 que puede analizarse como una mas a puntual. Freente se toma una particula como elemento diferencial de un cuerpo.

'ibien cuando las dimensiones de un cuerpo no mfluyen en la descripci6n ~ movimi puede tratarse el cuerpo como si fuera una particula. En ento,

"casos, una particula podra considerarse como un elemento diferencial de

~eipo iaid S "d 1 . d f . r, uerpo ng O. e conoce por cuerpo ngi 0 e que no tiene e ormaClOn tC"-'a entre sus partes. Es esta una condici6n ideal, ya que todos los cuerpos

caxnbian de forma hasta cierto punto cuando se les somete a fuerzas. dichos cambios de forma sean despreciables frente a las dimensiones

del cuerpo a frente a los cambios de posicion del cuerpo en su con junto, 'permis la hip6tesis de rigidez. Para un cuerpo rigido, pues, se despreible la diferencia de configuraci6n existente entre sus estados inicial y defor

. Como ejemplo de la hipotesis de rigidez daremos el de un avi6n en vuelo , (VeS de aire turbulento: La punta del ala sufre un movimiento de unos 'etros a causa de 1a flexion. Dicho movimiento no afecta a la distribu

media de las fuerzas aerodinamicas en sus alas ni a la especificaci6n del

ria ~vixniento del avion en su conjunto a 10 largo de su trayeeto de vuelo. .,' estas consideraciones, pues, el tratamiento del avion como cuerpo rigido j ..ofrece complicaeion alguna. . \Cuerpo deformable. Cuando haya que examinar los efeetos de las fuerzas

s,das exteriormente sobre las deformaciones Y esfuerzos interno habra considerar las caractedsticas de la deformaci6n. Para este fin se considera

. able el cuerpo. Las [nerzas internas inducidas por el movimiento de In de las alas del avion, por ejemplo, son de importancia critica para el

:ec estructural del avion e1 eual, para este fin, no podra tratarse como to

,Po rigido. ~:''1 Escalares Y vectores. Las cantidades de las que se oeupa la Mecanica .~~ dos tipos: escalares y vectoriales. Una cantidad escalar es la que tiene

,da solamente una mgnitud. Son eiemplos de escalares el nempo. el volu, la densidad, 1a celeridad (modulo de la velocidad), la energia y la masa. \'~tidad vectorial es la que tiene asociada, ademas de una magnitud, una ,.Clon y un sentido, y sigue la ley del paralelogramos de la adici6n. Son

jiplos de cantidades vectoriales el desplazamiento, la velocidad, 1a acelera~ la fuerza, el momento y la cantidad de movimiento.!\4fs c~ntidades Hsicas vectoriales pueden representarse por uno de los tres

~slgU1entes de vectores: libres, deslizantes 0 fijos. , !n vector libre es aquel cuya acci6n no est:l confinada a una recta {mica.

ernplo, si un cuerpo se mueve sin rotaci6n, el movimiento 0 desplazamien" Para velocidades del orden de la luz, 300 000 km/s, hay que aplicar la teoria un punto cualquiera del cuerpo puede representarse como un vector Y

de la Relatividad.


este describira igualmente bien el movimiento de todo punto del cuerpo. Por tanto, el desplazamiento de dicho cuerpo podra representarse con un vector libre.

Vector deslizante es aquel para el cual hay que conservar una sola recta en el espacio, a 10 largo de la cual actua la cantidad vectorial. Al considerar la accion exterior de una fuerza sobre un cuerpo rigido, la fuerza puede aplicarse en un punto cualquiera a 10 largo de su linea de accion sin que se altere el efecto que produce sobre el cuerpo (> y, por 10 tanto, puede considerarse como vector deslizante.

Vector fiio es aquel para el cual se especifica un punto unico de aplicacion y, por 10 tanto, el vector ocupa una posicion fija en el espacio. La accion de una fuerza sobre un cuerpo no rigido debe especificarse con un vector fijo situado enel punto de aplicaci6n de la fuerza. En este caso, las fuerzas y movimientos internos del cuerpo seran una fun cion del punto de aplicaci6n de la fuerza, asi como de su linea de aceion e intensidad.

Una cantidad vectorial V se representa por un segmento rectilineo, figura 1, que tenga la direcci6n y sentido de la cantidad vectorial, sefialando este ultimo con una punta de flecha. La longitud del segmento orientado representa, a una escala conveniente, la magnitud IVI del vector y se escribe en letra curs iva V. Las letras negritas se emplean para representar las cantidades vectoriales cuando el aspecto direccional del vector sea una parte de su representacion. Al escribir ecuaciones vectoriales es importante conservar la distincion matematica entre vectores y escalares. Se recomienda que en todo el trabajo manuscrito se emplee una marca distintiva para cada cantidad vectorial, por ejemplo, subrayando con una linea ondulada la letra representativa del vector, con el fin de que en ~ imprenta utilicen el tipo de letra negrita 0 con una flecha sobre el simoblo V para que haga las veces del tipo de letra negrita. La direccion del vector V puede medirse por un angulo () tornado a partir de una direccion conocida de referenda. EI opuesto de V es un vector - V dirigido en sentido opuesto al de V segun se indica.

Ademas de poseer las propiedades de magnitud, direccion y sentido, los vectores deben obedecer tambien a la ley de combinaeion del paralelogramo. Dicha ley exige que dos vectores VI y V2, tratados como vectores libres (fig. 2a), pueden sustituirse por su equivalente V que es la diagonal del paralelogramo que tiene por lados VI Y V2, tal como se indica en la figura 2b. Esta combinacion 0 suma vectorial se representa por la ecuacion vectorial

V=VI+V2

donde el signo mas, utilizado con las cantidades vectoriales (letras negritas), significa adici6n vectorial y no escalar. La suma escalar de los modules 0 mag

.. Este es el Hamada principia de tra118misibilidad que se estudia en el apartado 9 del capitulo 2.

Principios de estitica

es de los dos vectores se escribe de la manera usual V I + V ~ Y de la tria del paralelogramo resulta inmediato que V #-V I +V 2.

:JJ,.OS dos vectores VI Y V2, tratados de nuevo como vectores libres, pueden . se tambien colocando el origen de uno en el extremo del otro por la ley ,.triangulo, como se indica en la figura 2c, obtenit'mdose la misma suma Drial V. En el diagrama se ve que el orden de adicion de los vectores no ill la suma, por 10 que VI + V2 =V2 + VI. lLa diferencia VI - V2 entre los dos vectores se obtiene hlcilmente suman:~V2 a VI como se indica en la ligura 3, pudiendose utilizar indistinta e el merodc del paralelogramo 0 el del trhingulo. La diferencia V' entr

vectores se expresa mediante la ecuadon vectorial V'=VI-V2

menos denota sustracci6n vectorial.

Iv' tzj4'~

- "VIVI ~ ",'" (c)

-.Jt'''v. ", (a) (b) Figura 1 Figura 2

:;"!.~ Dos 0 mas vectores cualesquiera cuya suma sea igual a un cierto vector ,Jlke que son los componentes de dicho vector. Luego los vectores V 1 Y V 2 d 19ura 4a son los componentes de V en las direcciones 1 Y 2, respectivament '~entemente es preferible tratar con componentes que sean mutuamente pe

iculares, a los que se da e1 nombre de componentes rectangulares. Los ve V., Y V11 de la figura 4b son, respectivamente, los componentes x e y de

. ente, en la figura 40, V:c' y V11' son los componentes x', y' de V. ,~plear componentes rectangulares, la direccion del vector respecto al eje '- ejemplo, esta especificada c1aramente por J VY(} = tan-1 _ , Vc i.; 'En algunos problemas, especialmente en los tridimensionales, es convenie lIxoresar las componentes rectangulares de V en funci6n de los vectores ur

i, j, k, segun las direcciones x, y, z, respectivamente los cuales ben ".tud unidad. La suma (> vectorial de los componentes se escribe de la m \ siguiente:

v = iV:c + jVy + kVz ' Vease la figura Bl, Apendice B.

----


~ VI v~-v2-viS7 V'

Figura 3

y'

2 y

v V

/ Vyl I __!.__ xizt t2iVI 1 v, x'

(a) (b) (c) Figura 4

Si son t. m, n, los cosenos directores de V respecto a los ejes x, y, z, se ve (jue los componentes tienen las magnitudes

v'" = IV, Vy = m V, Vz = nV con

V2 = V",2 + Vl + Vz2.

Observese tambien que [2 + m~ + n2 = 1. 4. Leyes de Newton. SIR ISAAC NEWTON fue cI primero en enunciar

correctamente los principios fundamentales que rigen el movimiento de una partieula y en dcmostrar su validez." Modiflcando ligeramente su enunciado original, dichas leyes dicen:

Primera. Una particula sobre la cual no actue ninguna fuerza que no este equilibrada, 0 permanece en reposo 0 sigue un movimiento rectilineo uniforme.

Segunda. La aceleracion de una particula es proporcional a la fuerza resultante que actua sobre ella y tiene la direcci6n y sentido de dicha fuerza." 0

Tercero. Cuando un cuerpo ejerce una fuerza, Hamada accum, sobre otro, este a su vez, ejerce sobre el primero otra fuerza Hamada reaccion, de igual modulo y direccion, pero de sentido contrario.

La validez de estas leyes se ha comprobado experimentalmente de muchas y muy precisas maneras. La segunda ley de Newton constituye la base de la ma-

o Los enunciados originales de NEWTON pueden verse en la traduccion de sus Principia (1687), revisados par F. CAJORl, University of California Press, 1934.

Algunos prefieren interpretar la segunda ley de Newton como significando que la fuerza resultante que actua sobre una particula es proporcional a la variacion en unidad de tiempo de su cantidad de movimiento, y esta variacion tiene la direccion de la fuerza. Ambos enunciados son correctos,

Principios de estatica

de los analisis de la Dinamica. Aplicandola a una particula de masa m pueibirse en la forma

(I)F=ma,

'ide F es la fuerza resultante que actua sobre la particula y a es la aceleracion ~tante. Esta ecuaci6n es vectorial, ya que la direcci6n y sentido de F son los '*nos que los de a, ademas de ser iguales los modulos de F y rna. La primera 'de Newton eontiene el principio del equilibrio de las fuerzas, que es la cues

primordial de la Estatica. En realidad, esta ley es consecuencia de la seda, ya que no habra ace1eraci6n cuando la fuerza sea nula, y la particula de

estar en reposo moverse con velocidad constante. La primera Icy no aporta nuevo a la descripcion del movimiento, si bien se incluye debido a que

aba parte de los enunciados clasicos de Newton. ~; La tercera ley es fundamental para nuestro conocimiento de las Iuerzas. Es:.Ieee que las fuerzas aparecen siempre por parejas de fuerzas iguales y opues

,;So Asi, la fuerza ejercida hacia abajo por el lapiz sobre la mesa, esta acompafia~ de otra fuerza igual y hacia arriba, ejercida por la mesa sobre el lapiz. Este '. ICipio es valido para todas las fuerzas, constantes 0 variables, independiente

ate del sistema que la ejerza, y se cumple en todo instante durante el tiempo .> que esten aplicadas las fuerzas. La Ialta de cuidado en la aplicacion de esta ( origina frecuentes errores al principiante. Al estudiar cuerpos sometidos a

s es absolutamente necesario ver daramente cual de las dos fuerzas de la .:ja se esta considerando. Antes que nada es necesario aislar el cuerpo en

._. tion y luego considerar solamente la fuerza de la pareja que actua sabre el >'Ilerpo considerado. t., A traves de los afios se han venido empleando distintos sistemas de unida

para expresar los valores de ciertas cantidades que intervienen en mecanica l otros campos. Desde hace poco se ha adoptado pnicticamente en todo el

,ldo el Sistema Internacional de unidades, abreviadamente SI, para todos : . trabajos cientifieos y de ingenieria; prineipalmente Inglaterra Y aquellos

,s paises que no seguian el sistema metrico. En la tabla siguiente se resumen las unidades SI que forman la base para

lI,caIculos de mecanica. Sistema Internacional de Unidades

Modulo SI Y simbolo Simbolo dimensional Cantidad metro (m)LLongitud segundo (s)TTiempo kilograrno (kg) MMasa newton (N)FFuerza 00


Se toma el kilogramo (1000 g) y no el gramo (g) como unidad de masa, Las primeras tres cantidades son las unidades basicas del SI. y la cuarta, 0 sea la fuerza, es unidad deducida de las anteriores aplicando la segund ley de Newton. Por definicion, un newton es la fuerza que imprime a una masa de un kilogramo una aceleracion de un metro por segundo cuadrado. Asi pues, de F = ma, la equivalencia entre unidades es:

(1 N) = (1 kg) (1 m/s2 ) 0 N = kg m/s2 (a) Prefijos de las unidades, Los valores numericos deben conservarse

entre 0,1 y 1000. Los prefijos mas usados son: Cantidad Multiple Prefijo Simbolo

1000000000 1()9 giga G 1000000 1()6 mega M

1000 1()3 kilo k 0,001 10-3 mili m

0,000 001 10-6 micro p. 0,000 000 001 10-9 nano n

Por ejemplo, una longitud de 4245 m se expresa por 4,245 km, una masa de 0,0326 kg, por 32,6 g y una fuerza de 0,0068 N por 6,8 mN.

(b) Denominaci6n de las unidades. Para evitar confusiones, las unidades que S6 multiplican se enlazan por el punto de la multiplicacion 0 por un guion. Por ejemplo, la unidad del momento de una fuerza, metro-newton, se indica por m N para distinguir de mN que significa milinewton. Igualmente, cuando se forman unidades por eociente, como por ejemplo la aceleracion, se expresara por m/s2 0 por m :S-2 y no por la forma ambigua m/s/s.

(c) Grupos de mimeros. En lugar de la puntuaeion para marcar las unidades de millar, de millon, etc., se emplea ahora el espaciado. Por ejemplo, el numero 4607321,048 72. Observese que el espaciado se emplea 10 mismo en Ia parte entera como en la parte decimal. En los numeros de cuatro cifras solamente, no hace falta el espaciado, como por ejemplo 4296.

Nota: Ademas de las unidades del SI, por 10 mucho que se emplea en Fisica, se dara en muchos de los problemas y ejercicios el kilopond como unidad de fuerza en lugar del newton. Tomando como valor de la gravedad 9,81 m 'S-2, un kilopond equivale a 9,81 newton.

5. Ley de Ia gravitaeien, Ademas de formular las leyes del movimiento de una particula, tambien se debe a NEWTON el enunciado de la ley que rige la atraccion mutua entre cuerpos. Esta ley, conocida con el nombre de ley de la gravitaci6n, viene expresada por la ecuacion,

m1m2 F= K (2) r2 '

Principios de estatica

CF es la fuerza mutua ?e atraccion entre las dos particulas,. i" es una constante umversal llamada constante de la gravltacion, ,fn2 son las masas de las dos particulas, 0:' r es la distancia entre los centros de las particulas.

s mutuas F cumplen con la ley de la accion y la reaccion, ya que son y opuestas, y estan dirigidas a 10 largo de la recta que une los centros de .culas. Experimentalmente se ha obtenido para K el valor K = 6,673 X

l m 3/(kg' s 2). Entre todo par de cuerpos se ejercen fuerzas gravitatorias. IUperficie terrestre la unica fuerza gravitatoria de magnitud apreciable es la ,'debida a la atraccion de la Tierra. Asi, por ejemplo, dos esferas de hierro . mm de diametro son atraidos por la Tierra con una fuerza de 37,9 N

'luna. La fuerza de atraccion mutua entre ellas cuando esten tangentes es '000099. EVidentemente, esta fuerza es completamente despreciable frente ,ltraccion terrestre y, por tanto, la atraccion terrestre sera la unica fuerza . toria de cierta magnitud que habra que considerar en los experimentos

dos en la superficie terrestre.",1 peso de un cuerpo es la fuerza con que la Tierra atrae al cuerpo y de-

ode la posicion de este respecto a la Tierra. Si la Tierra se considera como 'era perfecta de igual volumen, un cuerpo con una masa de 1 kg exactaseria atraido por la Tierra con una fuerza de 9,824 N en la superficie,

a una altura de 1 km, 9,523 a una altura de 100 km, 7,340 a 1000 km y r: N a una altura igual al radio medio de la Tierra, de 6371 km. Se ve, .~~ en seguida, que habra que tener en cuenta la variacion de peso de los

y de las naves espaciales para grandes altitudes.

11 10 Principios de estatiea

La determinacion precisa de la aceleracion de la gravedad media respecto a la Tierra debe tener en cuenta el hecho de que la Tierra es un esferoide achata. do por los polos y que gira en torno a su eje, El valor de {!, en la superficie terrestre ha resultado ser igual a 9,78 m/s- en el Ecuador, 9,81 m/s2 a 45 de Iatitud y al nivel del mar, y 9,83 rn/s- en los poles. La proximidad de grandes mas as montaiiosas afectara tambien al valor local de g en una fraccion pequefia, pero detectable. En casi todos los calculos tecnicos para experimentos en la superficie terrestre 0 proximos a ella suele ser suficientemente preciso emplear el valor de 9,81 m/s" para g.

La masa m de un cuerpo se puede ca1cular a partir de los resultados del simple experimento gravitatorio. Si la fuerza gravitatoria 0 peso es P, entonces, como el cuerpo cae con una aceleracion g, la ecuacion 1 da

P~ P = mg 0 sea m=g' (3

viniendo P en newtons (N), si m = kg y g = m/s", 6. Precision, Iimites y aproximaciones. EI nurnero de cifras significa

tivas que se consignen en un resultado no debe ser mayor que el que corresponda al minimo numero de cifras significativas de los datos. Asi, el area de la seccion recta de un eje cuyo diametro de 25 mm se medio con la aproximacion de medio milimetro, debera escribirse igual a 490 mm- y no 490,87 mm" como resultaria al multipliear los numeros,

Cuando los calculos conduzcan a pequefias diferencias entre cantidades grandes, debera lograrse una precision 10 mayor posible. Asi, sera necesario conocer los numeros 4,2503 y 4,2391 con una precision de cinco cifras significativas a fin de poder dar su diferencia 0,0112 con una precision' de tres cifras significativas. En algunos calculos largos suele ser diHcil saber al principio el numero de cifras significativas que deben tener los datos originales para asegurar una cierta precision en la respuesta.

La precision de tres cifras significativas se considera satisfactoria para la mayoria de los calculos tecnicos. La coma decimal debe colocarse en todas las cifras obtenidas, 10 cual constituye una comprobaci6n del error cometido.

El orden de las cantidades infinitesimales suele oeasionar confusion a los estudiantes que apliean por primera vez el calculo diferencial. Los Infinitesimos de orden superior se pueden siempre despreciar frente a los de orden inferior. Por ejemplo, el elemento de volumen tlV de un cono recto de revolucion de altura h y base de radio r puede considerarse como una rebanada circular situada a una distancia x del vertice y de espesor tlx. Puede verificarse que la expresion completa del volumen del elemento se puede escribir en la forma

1rr2 AV = /i2[x2 Ax + x (Ax)2 + -t (AX)3].

, Principios de estatica ,

;(verse que, al pasar al limite yendo de tlV a dV y de ~x a dx, los termilos que figuran (~X)2 y (tlx):{ desaparecen, quedando simplemente

2dV = '1Tr x 2 dx h2 '

una expresion exacta. 1 emplear funciones trigonometricas de cantidades infinitesimales conviene la atencion acerca de las siguientes relaciones que son ciertas en el limite:

sen dO = tg dO = dO, (! cos dO = l. :~'igulo de se supone medido en radianes. Al tratar de angulos pequefios aun

itos suele ser conveniente sustituir el seno por la tangente 0 una de dichas ones por el propio angulo. Estas aproximaciones, sen e= ey tg e= e, equiIi a conservar solamente el primer termino del desarrollo en serie del seno )1a tangente. Si se desea una aproximacion mayor habra que conservar los

83/6pnmeros terminos, con 10 que se tendra sen e= 8 - y tg e=e+ 83/ 3. ejemplo de primera aproximacion para el angulo de 1,

sen 10 = 0,0174524 y 10 es 0,0174533 radianes . If (lEI error al sustituir el seno por el angulo, en el caso de 1, es solamente de s, Para 5 el error es del 0,13 %, y para 10 el error es solamente del 0,51 %. gamente, para angulos pequefios el coseno podra expresarse aproximada-

Ite pOl' los dos primeros terminos de su desarrollo en serie, 10 que da cos 9 -82/ 2. En la tabla C3 del apendice C pueden verse algunas relaciones matematititiles en Mecanica,

't~ Desc.ripci6n de los problemas de Estatica. El estudio de la Estati.~ dirigido hacia la descripcion cuantitativa de fuerzas que se ejercen sobre fb1ras de ingenierfa. Las matematicas estableeen las relaciones entre las

~ cantidades que intervienen y permiten predecir, a partir de estas relat los efectos que se producen. El estudiante debe reconocer la necesidad _proceso dual de pensamiento. Debe pensar con arreglo a la situacion Iisimbien de acuerdo con la descripcion matematica correspondiente. El estutodo problema requerira la transicion repetida del pensamiento del punto , fisico al punto de vista matematico. No hay duda de que las mayores

. \hades que encuentran los estudiantes en Mecanica, es la falta de capacidad i,tealizar esta transicion libremente, vinculando estos dos procesos mentales.

12

13Principios de estatica Principios de estatlea

EI estudiante debera realizar un gran esfuerzo para vincular cada concepto fisico con su correspondiente expresi6n matematica. Debera reconocer. que la for, mulacion matematica de un problema fisico representa un modelo 0 descripci6n limite ideal que se aproxima, pero nunea alcanza por completo, a la situaeion fisica real.

Al construir el modelo matematico idealizado para un problema tecnico dado, siempre se haran ciertas aproxirnaciones, Algunas de estas seran de indole matematica y otras de indole fisica. Por ejemplo, suele ser preciso despreciar distancias, angulos 0 fuerzas que sean pequefias, frente a otras distancias, angulos o fuerzas mucho mayores. Una fuerza que, en realidad, se halle distribuida sobre una pequeiia superficie del cuerpo sobre el que actua puede considerarse como Iuerza concentrada si las dimensiones de la superficie en cuestion son pequeiias frente a otras dimensiones pertinentes. EI peso de un cable de acero por metro de longitud puede despreciarse si la tension del cable es varias veces mayor que su peso total, mientras que el peso del cable no podra despreciarse si el problema pide la determinacion de la flecha del cable suspendido, debida a su peso. Asi pues, las hipotesis que se hagan dependen de que informacion se desee y de la precision exigida. EI estudiante debera estar constantemente atento a las diversas hipotesis que se hagan para la formulacion de los problemas reales, segun un modelo rnatematico. La habilidad de comprender y utilizar las hipotesis apropiadas en la formulacion y solucion de problemas tecnicos es, ciertamente, una de las caracteristicas mas importantes de un buen ingeniero. Uno de los principales fines de este libro es proporcionar un maximo de oportunidades para desarrollar esta habilidad mediante la presentaci6n de muchos problemas practices.

Las grMicas constituyen tambien un medio importante de descripcion en Mecanica y son utiles en tres aspectos. Primero, permiten la representacion de un sistema fisico sobre un papel mediante un esquema 0 diagrama. La representacion geometrica es vital para la interpretacion fisica y ayuda en gran manera a visualizar los aspectos tridimensionales de muchos problemas. Segundo, las graficas ofrecen a menudo un medio para resolver relaciones fisicas sin recurrir a una solucion algebraica. Las solueiones grMieas no solamente proporeionan medios practices para obtener los resultados, sino que tambien ayudan mucho a realizar la transicion del pensamiento entre la situacion fisiea y la expresion matematica, pues ambas estan representadas simultaneamente, Un tercer empleo de las graficas es la representacion de resultados sobre diagramas 0 curvas que constituyen una ayuda de valor incalculable para la interpretacion.

Como ocurre con todos los problemas tecnicos, es esencial un metodo de ataque eficaz para los problemas de Estatica, El desarrollo de la habilidad para formular problemas y representar sus solueiones constituira un haber valiosisimo. Cada solucion debera seguir un orden logico de pasos que llevaran de la hipotesis a la conclusion y su representacion debeni incluir una exposicion clara de las partes siguientes, identificando cada una de elIas de manera que no deje lugar a dudas:

Datos conocidos. Resultados buscados. Diagramas necesarios. Calculos. Respuestas Y conclusiones.

.emas oonvendra incorporar una serie de comprobaciones de los calculos s intermedios del proceso de soluci6n. Debe observarse si son 0 no razo

.Ias magnitudes numericas y comprobar frecuentemente la precisi6n y eidad dimensional de los terminos. Tambien es importante que la dis-

n del trabajo sea limpia y ordenada. Las soluciones descuidadas que no ser leidas facilmente por los demas, carecen de valor 0 tienen muy poco. iplina inherente a una buena presentaci6n sera en si misma una ayuda .able para el desarrollo de las eapacidades para formular y analizar. Mu. ,blemas que en un principio parecen dificiles y complicados se hacen y faciles una vez se han abordado con un metodo 16gico y disciplinado.

Estatice se basa en un numero sorprendentemente reducido de concep

damentales e implica, principalmente, la aplicaci6n de estas relaciones entales a una diversidad de situaciones. En esta aplicaci6n, e1 metoda de es de importancia primordial. Al resolver un problema es esencial que

es que se apliquen se retengan bien en la mente y que esos principios se en literal y exactamente. Al aplicar los principios que definen los requisitos

erzas que actuan sobre un cuerpo, es esencial que el cuerpo en cuesti6n lado de los demas cuerpos, con 10 que se podra hacer una relacion corn

y precisa de todas las fuerzas que actuan sobre el cuerpo. Este aislamiento a en nuestra mente Y sobre el papel, EI dibujo de dicho cuerpo aislado con .resentaci6n de todas las fuerzas exteriores que actuan sobre el recibe el e de diagrama del cuerpo libre. Desde hace tiempo se ha establecido que odo del diagrarna del cuerpo libre es la clave de la comprensi6n de la ica. Asi ocurre debido a que el aislamiento de un cuerpo es la herramien~ la que se separa claramente la causa del efecto Y con la que se fija, en precisa, la atenci6n sobre la aplicaci6n literal de un principio. En el ca3 se tratara de la tecnica de dibujar diagramas para solidos libres.

,AI aplicar leyes de la Estatica a la resoluci6n de un problema, se pueden ;lear directamente valores numericos de las cantidades al ir en busca de la i ion. Por otra parte, pueden utilizarse simbolos algebraicos para represen:las cantidades que intervienen Y dejar la respuesta en forma de f6rmula. En

.er procedimiento, en cada etapa del calculo queda en evidencia la magde todas las cantidades expresadas en sus unidades particulares. Esto suele

ventaja cuando se valore el significado practico de la magnitud de los 'so El segundo metodo, 0 soluci6n simb6lica, tiene varias ventajas sobre la

,n numerica. En primer lugar, Ia abreviatura lograda con la utilizaci6n de iIos ayuda a concentrar la atenci6n sobre la interconexi6n entre la situaci6n 'f la descripci6n matematica a ella relacionada. En segundo lugar, una

14 Principios de estatica

solucion simbolica permite una comprobacion dimensional que puede realizarse a cada paso, mientras que cuando se utilizan valores numerioos no puede COmprobarse la homogeneidad dimensional. Tercero, una solucion simbolica puede ser usada repetidamente para obtener respuestas al mismo problema cuando diferentes juegos y tamafios de unidades son usados. Facilidad en ambas formas de solucion es esencial, y mucha practiea con cada una de elIas debera ser conseguida en el trabajo de problemas.

EI alumno encontrara que las soluciones de los problemas de Estatica pueden hallarse de una de las tres maneras siguientes. Primera, puede utilizarse una solucion matematiea directa pOl' calculo a mana en la que los resultados apareceran 0 como simbolos algebraicos 0 como resultados nurnericos. La mayoria de los problemas caen en esta categoria. Segunda, ciertos problemas se tratan facilmente mediante soluciones graficas. Tercera, la moderna calculadora digital es de utilidad especial cuando intervienen en forma numerica un gran nurnero de ecuaciones 0 de datos repetidos. EI alumno que tenga acceso a una calculadora digital puede intentar resolver algunos de sus problemas por este metoda. No obstante, con el fin de reducir el tiempo de calculo en la elaboracion del problema, los datos de la mayoria de los problemas se dan pOl' numeros sencillos. La eleceion del metodo de solucion mas expeditivo constituye un aspecto importante de la experiencia a ganar con la resolucion de problemas.

2 Sistemas de fuerza

.Intreduecion. En este capitulo y en los siguientes exam ina rem os los . y propiedades de diversos tipos de fuerzas al ejercerse sobre estructuras nismos de ingenieria. La experiencia adquirida mediante este examen ser de utilizacion fundamental en el estudio de la Mecanica y en el

"s temas tales como el analisis de los esfuerzos, disefio de elementos de as y movimiento de fluidos. Dentro del tema de la Estatica en si, en este echamos los cimientos para el conocimiento basico del terna y se esti

I alumno para que domine pOl' completo dicha materia.

,'Fuerza. Antes de enfrentarnos con un grupo 0 sistema de fuerzas conexaminar las propiedades de una sola fuerza can cierto detalle. Se ha la fuerza como la accion que ejerce un cuerpo sabre otro. Es evidente

. fuerza es una cantidad vectorial, ya que su efecto depende de la direccion !o de la accion tanto como de su magnitud. Ademas, es necesario saber

'actua, La accion de la tension P del cable sobre el soporte de la figura 5a, )epresentado en la figura 5b mediante el vector fuerza P. El efecto de esta rsobre el soporte dependera de la magnitud de P, del angulo ay de la si.del punto de aplicacion A. Variando cualquiera de estos tres elementos

(a) (b) Tension del cable

p

Figura 5

15

17 Sistemas de fuerza 16

se alterara el efecto sobre el soporte, cosa que podria percibirse, por ejemplo mediante la fuerza que se ejerce sobre uno de los roblones que fijan el soport~ a la base 0 mediante la deformacion del material del soporte en un punto cua], quiera. Se ve, por tanto, que la especificacion completa de una fuerza exige el conocimiento de su 1J!agnitud, direccion y punto de aplicacion.

La fuerza se aplica por contacto mecanico .directo 0 por accion a distanc:ia. Las fuerzas electricas y gravitatorias son dos ejemplos de fuerzas aplicadas p;r accion a distancia. Las demas fuerzas se aplican por contacto Hsico directo.

La accion de una fuerza sobre un cuerpo puede descomponerse en dos efec. tos, exterior e interior. Para el soporte de la figura 5, los efectos exteriores de P al soporte son las reacciones 0 fuerzas ejercidas (no representadas) sobre el soporte por los oimientos y los pemos a consecuencia de la accion de P. Las fuerzas e_x!e!i2r~s,il un cuerpo son, pues, de dos clases: las fuerzas aplicadas 0 activa! y las fuerzas reactivas. Los efectos interiores de P al soporte son los movirnien, tos intemos resultantes y las fuerzas distribuidas por todo el material del soporte. La relacion entre las fuerzas intemas y los movimientos intemos exige tener en cuenta las propiedades materiales del cuerpo y se estudia en los tratados de resistencia de materiales, elasticidad y plasticidad.

Al estudiar la mecanica de los cuerpos rigidos, en donde solamente se tienen en cuenta los efectos exteriores de las fuerzas, la experiencia nos indica que no es necesario restringir a un punto dado la accion de una fuerza aplicada. Asi, la fuerza P que actua sobre el soporte rigido de la figura 6 puede considerarse aplicada en A 0 en B 0 en cualquier punto de su linea de accion, con 10 que no cambiara el efecto exterior total de P sobre el soporte. Los efectos exteriores son la fuerza ejercida sobre el soporte por el punto de sujecion 0 y la fuerza ejercida sobre el soporte por el rodillo de apoyo en C. Esta situaeion viene descrita por el T!.rincipio de la transmisibilidad, que se enuncia diciendo que una fuerza puede considerarse aplicada a un punto cualquiera de su linea de aeci6n sin que se alteren los efectos-erzeriores al cuerpo rigido de la fuerza que sobre el actua, Cuando se eonsideran solamente los efectos externos resultantes de una fuerza, esta se puede considerar como vector deslizante y es entonees necesario y sufieiente especificar el modulo, el sentido y la linea de accion de la fuerza. Como en este libro se estudia eseneialmente la mecanica de los cuerpoS rigidos, casi todas las fuerzas se consideraran vectores deslizantes respecto al cuerpo rigido sobre el cual actuan,

Las fuerzas pueden estar concentradas 0 distribuidas. En realidad, toda fuerza de contacto se halla aplicada a una superficie de area finita y, por tanto, esta distribuida. Cuando las dimensiones del area sean despreciables frente a las otras dimensiones del cuerpo, se podra considerar la fuerza como concentrada en un punto. La fuerza puede estar distribuida sobre una superficie, como en el caso del contacto mecanico, 0 puede estar distribuida por un volumen, comO cuando actua una fuerza gravitatoria 0 magnetica, El "peso" de un cuerpo es [a fuerza de la gravedad distribuida por su volumen y se puede tambien considerar como fuerza concentrada aplicada al centro de gravedad. La posicion del centr?

Sistemas de fuerza

p

Figura 6

ad puede determinarse, en ocasiones mediante consideraciones acerca etria del cuerpo. Si la posicion no queda clara, sera preciso realizar que se explicara en el capitulo 5, para localizar el centro de gravedad. fuerza se puede medir por comparaci6n con otras fuerzas conocidas, el equilibrio mecanico, 0 por deformacioo calibrada de un resorte

Todas estas comparaciones 0 calibraciones tienen como base un patron . La unidad patron de fuerza es el newton (N), definida ya en el apar

. Por la ecuaci6n 3 se ve que una masa de 1 kg suspendida de un resorte en reposo, ejerciendo en dicho resorte una tension de 1 (g). EI alar~ del resorte es, por tanto, una medida de g newtons de fuerza. Se

e, pues, que un newton viene dado por una deformacion 8/g. Por " si un muelle se alarga 123 mm al estar en reposo una mas a de 3 kg

. haya suspendido de el, en un lugar en el que el valor de g es de 9,81 m/s", la deformacion del resorte correspondiente a 1 N de fuerza resulta ser

,..9.81= 4,18 mm por newton. Por tanto, esta medicion permitiria caliresorte para tener un instrumento que midiera la fuerza en newtons.

be tenerse cuidado al observar la caracteristica de la fuerza que expresa 'a ley de Newton. La accion de una fuerza va siempre acompafiada de

., _non igual y opuesta. Es esencial ver claramente que fuerza de esta pa.que se considera. La respuesta queda siempre clara si se aisla el cuerpo

n y se representa la fuerza ejercida sabre el cuerpo (no la ejercida por muy facil equivocarse y considerar la fuerza de la pareja que no se debe menos que se establezca una distincion precisa entre toda accion y su

.. fuerzas coneurrentes FlY F 2 que actuan sobre un mismo plano se .~ .sumar mediante la regIa del paralelogramo para obtener su suma 0 te R segun se indica en la figura 7a. Si las dos fuerzas son coplanarias, .~ aplicadas ados puntos diferentes, como en la figura 7b, por el prin

,~misibilidad se pueden deslizar a 10 largo de sus lineas de accion rsu suma R en el punto de concurso. La resultante R podra sustituir I sin alterar los efectos exteriores ejercidos sobre el cuerpo. Tambien izarse la regia del triangulo para obtener R, pero ello exige el des

de la linea de acci6n de una de las fuerzas en la forma indioada . 7c. En la figura 7d se han sumado las mismas fuerzas, y aun cuando

'.el modulo y direccion correctos de R, se ha perdido su linea de ;to que R no pasa ya por A. Por tanto, se debe evitar este tipo de

19 18 Sistemas de fuerza

(c) Figura 7

construcci6n. La suma de las dos fuerzas puede escribirse matematicarnente mediante la ecuaci6n vectorial

R = F1 + Fz. Ademas de ser necesario combinar fuerzas para obtener su resultante,

a menudo es preciso sustituir una fuerza por sus componentes que actuen dos direcciones especificadas. ASI, la fuerza R de la figura 7a puede sustituirse o descomponerse en dos componentes FlY F 2 que tengan diehas direcciones especificadas sin mas que completar el paralelogramo en la forma que se dica para obtener las magnitudes de FlY F 2.

En la figura 8 se presenta el caso particular de adici6n de dos fuerzas paralelas F 1 y F 2 Pueden combinarse sumando primeramente dos fuerzas opuestas, de igual recta soporte, F y -F de magnitud conveniente (la misma ambas) que tomadas juntas no ocasionaran ningim efecto exterior sobre el cuerpo. Sumando F 1 y F y combinando con la suma de F 2 y -F, se tiene la resultante R correcta en magnitud, direcci6n, sentido y linea de acci6n. Este procedimiento tambien resulta Mil para obtener una combinaci6n grafica de dos fuerzas que sean casi paralelas y en consecuencia tengan un punto de concurso muy lejano.

Segun el apartado 3 del capitulo 1, un vector fuerza F que se ejerza sobre un punto 0, figura 9, puede descomponerse en componentes rectangulares Fill, r; r; donde

y

I I I

R'\J R

Figura 8

Sistemas de fuerza

x

Figura 9

x FII=FcosOIl' F=iFx+jFII+kFz, (4) F, = F cos Oz, F = F(i cos Ox + j cos Oy + k cos Oz).

vectores unitarios i, J. k estan dirigidos segun los sentidos positivos x, y, Z, Y la elecci6n de la orientaci6n del sistema de coordenadas es arbitraria, siendo la consideraci6n principal la de mayor convenienrepresentaci6n bidimensional se considera ausente una de las compo-ejemplo, la Z, y la descomposici6n da

Fx = Fcos Ox, Fy = FsenOx, tg Ox = Fy.

Fx '~ eliminar la ambiguedad entre la representaci6n de una tuerza Y sus

es, conviene representar las componentes mediante rectas de trazo s

te can trazo continuo (0 al reves). Con este convenio quedara siern-

en

in

para

F = F cos Olll' F = yrlllZ + Fl + Fzz,

(a) (b)


pre claro que se ha representado una sola fuerza y no varias parado.

Las componentes rectangulares de una fuerza F (0 de otro vector) tambie' pueclen escribirse con ayuda de la operaci6n vectorial calar (para una introduecion al Analisis Vectorial veanse los apartados Hl ,B'/ y B3 del Apendice B). Por definicion, el producto escalar P y Q (fig. lOa) es el proclucto de sus modules multiplicado por el angulo a que forman. Este produeto puede considerarse de multiplicar la proyecci6n (componente) P cos a de P en Q por Q, 0 bien el producto de la proyecci6n (componente) Q cos a. de Q so.. bre P por P. En uno y otro caso, el producto escalar de los dos vectores es una cantidad escalar y se escrihe en la forma P . Q = PQ cos a. Asi, la componente F",= F cose", de la fuerza F la forma F 3J = F . i donde i es el vector unitario 0 En terminos mas generales, si es s un vector unitario segun pecificada, la componente de F en la direccion s F. = F . 8. Si se quiere escribir el vector componente segun la direccion forma de cantidad vectorial, debora multiplicarse su modulo F sor s teniendose entonces F. = la forma F. = F . ss.

Si 8 tiene por cosenos directores a, ~, y y F tiene par res 1, m, n respecto a los ejes de referenda x-y-z, la componente de F la direccion de s sera

F. = F s = F(il + jm + kn) . (ia + jf3 + ky) =F(la + mf3 + ny)

ya que

ii=jj=kk=l y i j = J: i = i k = k i = J: k

\ F \ F.=F'88--/~ ~ ..::.-:'~--- \ --~\If-SC;:Sor)Q--- -'r---_ Fs--l

- r--F. (a) (b)

Figura 10

Resp.

Resp.

................ x'

: ";-:J

JA.

(d)

y I I )

FY'60

/y I

0,940r; =_100 = 108,5 N 0,866

0,766F lI

= 100 = 88,5 N 0,866

(c) ~ohlema-2/1-

(a)

y' /

0,/ F --x ;"~--'x' (b)


F.,. F--=-sen 7(1' sen 60

FII F --=sen 50 sen 60

:~TOB BlJGO raG

.y

,;.;7, ~20.F_ x ,:.,.~

, F"

F x

== F cos Ox == 100 cos 20 == 94,0 N F y == F cos Oy == 100 cos 70 == 34,2 N Resp.

.0 (2). Las componentes x' e y' de F son las proyecciones sobre estos ejes ca en la parte c de la figura y son

F r

== Feos Ox' == 100 cos 50 = 64,3 N

FlI == F cos Oy' == 100 cos 40 = 76,6 N .0 (3). Las componentes de F segun las direcciones x' e Y no son rectangu

obtienen completando el paralelogramo en la forma indicada en la parte d Pueden calcularse dichas componentes aplicando el teorema del seno, 10

= k j = O.

Hamada producto e8~: de dos vcctore~

cosena del como el resultado

la direcci6n de.

por ejernplo, de la Bgura 9 podra escribirse en

versor segun la direccion r, una direccion es

(fig. lOb) tiene por magnitud S en

. s por el ver(F . 8)8, que puede escribirse, simplemcnte, en

cosenos directosegun

Luego, Ia componente de F segun 0-8 resulta ser

23

x-

w -J-Joi Y

Problema 2/5

Problema 2/4

Problema 2/3

F = 15 kN

1 I I

[~ ~ \ \


Sistemas de fuerza 24

i--1,5 m--i Problema 2/6

F ~ 15 kN 2

Problema 2/7

A

Problema2/8

B

8 em

o

4em

c

4em

A8em

Problema 2/9

2/6. EI cilindro hidraulico una fuerza de 40 kN en la direc. cion de su vastago ,en contra de la carga que eleva. Determinar las Com. ponentes normal F" Ytangencial Ft a AB para la posicion de e = 30, Resp. F" = 22,5 kN, F t = 33,1 kN

2/7. lBajo que angulo ehabra que aplicar F1 para que el efecto comhinado de FlY F2 sea igual a 20 kN'?

Resp. e= 75 31'

2/8. Para hallar las fuerzas que se ejercen sobre los pasadares A y C, hay que descornponer la fuerza de 4000 N en dos componentes, una segun AB y otra segun BC. Deterrninar estas componentes.

2/9. La fuerza P = 100 Nesta dirigida segUn 1a diagonal AB del cuadrado de 8 em de lado. Determinar Ia magnitud P' de' la co~ponente p segun OC con el sentido positivo rornado de 0 a C.

Resp. pI = _31,6 N

B

'mbro rigido ABC esta e1 pasador A Y por la A

,da D, teniendo aplica F en C. Del principia

lilidad, lpuede sacarse la .~. de que la reaccion en el

~seria la misma si se apli"n 0 en E. en vez de en C?

Problema 2 10

cable que va de A a B A a una tension de

". Descomponer esta tension en el enganche A en

.T.. Y T t, respectivarnenat' puntal y dirigida se- B

1" D

Problema 2/ 11

. i I quiere sustituir una Iuer

,kp que forma un angulo .& eje horizontal x por dos

fuerza horizontal F y r lcp de magnitud. Deter':,\

"(gJ, F = 333 kp 0 1081 kp ,,~tesultante de Ia carga de .. y la tension T en cl 'asa por el punto A y ori

fuerza sabre el pasa,me punta soporta a la . Ie sustituye la carga de lfor una fuerza P aplica

i,tecta de trazos, determi

de P que ejerceria el

sobre el pasador en A problema 2/14 de 10 toneladas. Espe

ento correspondien:i6n del rniembro B.

,los intemos de la ar45 90.

10 T

26

z I I I Ii'OOo I I // I 1/I // I --

29

11.1

,

I'I


10 Momento. Una fuerza tiene, ademas deIa tendencia a mover en su d' reccion y sentido al cuerpo a que se aplica, otra tendencia a hacerlo girar air I dedor de todo eje que no corte a la recta soporte de la fuerza ni sea paralel a ella. A esta tendencia se le llama momenta M de la fuerza respectoal eje dado

En la figura lla puede verse un cuerpo al que se ha aplicado una fuerza en uno de sus puntas A. El eje 0-0 es una recta cualquiera en el cuerpo (]U no corta a la recta soporte de R. La fuerza R puede descomponerse en do componentes, una P, paralela a 0-0, que no tiene tendencia a hacer girar el cuer po alrededor de 0-0, y F contenida en un plano a normal al eje 0-0 Y que' tendra tendencia a hacer girar el cuerpo alrededor de 0-0. La magnitud de esta tendencia es proporcional tanto a la magnitud F como al brazo de momento,d perpendicular. La magnitud escalar del momento es, pues,

M=Fd.~ El sentido del momento depende del sentido en el cual tienda F a hacer girar el cuerpo. Para identificar aquel sentido puede emplearse la regia de la mana derecha (fig. llb) Y el momento de F respecto a 0-0 podra representarse por un vector dirigido en el sentido indicado pOl' el pulgar cuando se curvan los demas dedos en el sentido de la tcndencia a la rotacion, El momento M cumpie todas las reglas de composicion de vectores y puede eonsiderarse como vector deslizante euya recta soporte coincida con el eje de momentos. Las unidades de memento son m.kp 0 m.N y suelen escribirse en este orden para distinguir un momenta de una energfa que pudiera darse en kp.m 0 en N.m (J).

AI tratar de fuerzas coplanarias, se suele hablar de momenta respecto a un punto. En realidad, queda impHcito el momen to respecto a un eje normal al plano y que pasa por un punto. Asi, el momento de la fuerza F respecto al punto 0, en Ia figura 12, es Mo = Fd Y estaria dirigido en el sentido de avance de un tornillo que girase en sentido contrario a las agujas del reloj. La representacion vectorial de los momentos para fuerzas coplanarias no es conveniente, ya que los vectores saldrian del papel (sentido directo) 0 penetrarian en el (sentidO inverso). Como la adicion de vectores libres paralelos se puede efectuar escalarmente, se deberan tener en cuenta los sentidos de los momentos, asignando el si no mas + a los momentos COrTes ondientes a iros contrarios al de las agu2! e re o' e si no menos - a os e senti 0 0 uesto, 0 viceversa. Tan s610

hace falta mantener el convenio a 10 largo de todo el problema que se resuelva. Uno de los mas importantes principios de la Mecanica es el teorema de Bi

rignon, 0 principia de los momentos, que dice que el momenta de una fuerza respecto a un punto cualquiera es igual a la suma de los momentos de sus camponentes respecto a dicho punto. Para demostrar este teorema consideremos una fuerza R y dos componentes P y Q aplicadas a un punto A, figura 13. El punto 0 se toma arbitrariamente como centro de momentos. Construyamos la recta AD r proyectemos los tres vectores sobre la normal a esta recta. Construyanse tambiel1 los brazos p, q, r de los momentos de las tres fuerzas respecto al punto 0 y de-

Sistemas de fuerza

~

R (a) (b) I

3

(Sa)

r

(b)

Figura 14

Sistemas de fuerza

M1 + M2 = rxF1 + rxF2,

T" Ty r,

MA = IF" r; Fzl (Io + jfl + ky) 0: fl Y

(a)

'II:'r son los cosenos directores del vector unitario n. l8l'emos ahora dos fuerzas FlY F 2 concurrentes en un punto A (fig. 15)

~~posicion de A desde otro punto cualquiera 0 es r. Los dos momenrespecto al punta 0 debidos a las dos Fuerzas se pueden snmar )

t ,'B14 del Apendice B, el producto mixto puede escribirse en forma nte, con 10 que la ecuacion 8 podra expresarse tambien en la form

'~fig. 14a). Si es n un vector unitario en Ia direccion ).., utilizando I ~l producto escalar para Ia componente de un vector descrita en e :tendremos para la componente de Mo segun ).., simplemente, Mo . n 6dulo del momento Ml. de F respeeto a )... Para obtener Ia expre '1 del momento de F respecto a ).. habra que multiplicar eI modul n 10 euaI da , IM A = (r x F . n)n, (8)

sustituido Mo por r X F. La expresi6n r X F . n eonocida por e fWoducto mixto (v. B5, Ap. B), no es necesario escribirla en la for . n, puesto que la asociacion r X (F . n) no tendria sentido, ya qu formar un producto vectorial con un vector y un escalar. Segu

d

kj

Figura 13

M = rxF.

i

Sistemas de fuerza

Mo=1 Tx Ty Tz r, r, r,

A

~

~

30

Observese atentamente Ia simetria y orden de los terminos, Podemos ahara escribir el momenta Ml. de F respecto a cualquier eje ).. que

Es obligatorio mantener eI orden de los vectores en r X F, ya que F X r daria un vector opuesto a M o, es decir, F X r = -Mo.

La expresion del producto vectorial para M o puede ponerse en forma de determinante (v. ecs, B 12 Y B 12a en el Apendice B), 10 cual da

Vamos a desarrollar ahara una Formulacion alga mas general del conceptn de momenta, Ia cual es particularrnente Mil en eI analisis de sistemas triclimr-n. sionales de fuerzas. Consideremos una fuerza F con un soporte determinado (fig. 14a) y un punto cualquiera 0 exterior a este soporte, EI punto 0 y eI soporte de F determinan un plano a. EI momento Mo de F respecto a un eje normal al plano y que pase por 0 es u; = Fd, donde d es Ia distancia del punto 0 a la recta soporte de F. A este momenta tambien se Ie llama momento de F respecto al punta O. EI vector Mo es normal aI plano y esta soportado por el cje que pasa por O. Tanto Ia magnitud como Ia direccion y sentido de Mo pueden describirse mediante la operacion vectorial llamada producto vectorial (v. B4 del Apendice B). Se introduce un vector r que va de 0 a un punto cualquiera de Ia recta soporte de F. Por definicion, eI producto vectorial de r por F se escribe en Ia forma r X F Y tiene por modulo (r sen a)F, que es 10 rnismo que Fd, que es eI modulo de Mo. La direccion y sentido correctos del momento los estabIece Ia regIa de Ia mano derecha, descrita anteriormente en este npartado. Asi, tratando r y F como vectores libres (fig. 14b), eI puIgar sefialara eI senti do de Mo cuando los dedos de Ia mana derecha se curven indicando el sentido de rotacion de .r hacia F. Por tanto, eI momenta de F respecto aI eje que por 0 puede escribirse en Ia forma

32

1

i,1

III ill

Sistemas de fuerza

y su suma vectorial es

M = r x (F1 + F 2 ) . Esta expresion constituye el enunciado del teorema de Varignon para tres clio rnensiones, el cual dice que la suma M de los momentos respecto a un punt, cualquiera 0 de dos fuerzas que concurren en otro punto diferente es igual a momenta respecto al mismo punto 0 de su suma F] + F 2 Aun cuando s610 se ha representado dos fuerzas, el teorema es aplicable a un numero cualquiera d fuerzas concurrentes.

F2

Problemas tipo

2/25. Se aplica una tension T = 5000 N al cable amarrado al extremo superior A del mastil rigido y se fija a tierra en B. Determinar el momenta M z de T respecto al eje z que pasa por la base 0 del mastil,

Soluci6n (a). Se descampone la fuerza T en las componentes Tz y T"'II' esta ulti ma contenida en el plano x-y que sera, en consecuencia, normal al eje z del momento. Entonces, el momenta se debera solamente a T"'II y sera Mz = T"'II d, donde d es I distancia del punta 0 a T"'II' El coseno del angulo que forman T y TXII es

V 152 + 122Iv 152 +122 + 92 = 0,906 y por tanto

T"'II = 5000(0,906) = 4530 N El brazo de momenta d es igual a OA multiplicado por el seno del angulo que for' man T"'II Y OA, es decir,

12 d = 15 = 9,37m

V 122 + 152 Luego el momenta de T respecto al eje z es

u, = 4530(9,37) = 42446 m- N y tiene el sentido de giro de las agujas del reloj cuando se mira hacia el plano x-y

Soluci6n (b). Tambien se calcula facilmente el momento descomponiendo TJ,y elll

Sistemas de fuerza 33 r,~' ~. 'J" T" Y Til' Es evidente que Til no ejerce momenta alguno respecto al torta, por 10 que el momento buscado se debe solamente aT",. El coT respecto al eje x es 121 V 92 + 122 + 152 = 0,566 con 10 que

"::: 2830 N. Asi pues . "Af;. =2830(15) =42 450 m.N Resp. tit ' ,).El momento pedido puede obtenerse por metodos vectoriales a par'I)Mo de T respecto al punto O. El vector Mo es normal al plano ..., el punto 0 segun puede verse en la figura de la derecha. Utilizando fla hallar M , el vector r sera un vector cualquiera que vaya de 0 aode T. La elecci6n mas sencilla consiste en tomar el vector que va eual se escribe en la froma r = 15j m. La expresion vectorial de T

, nos directores, que son 12/AB = 0,566, -15/AB = - 0,707 Y

,:Por tanto T = 5000(0,566i - 0,707j + 0,424k) N.

M = 15j X 5000(0,566i- O,707j + 0,424k)o

= 75 000(- 0,566k + 0,424i) m.N ,.''til. del momento buscado es la componente de Mo en la direccion z,

f . k. Por tanto :~~.'it. = 75000(- 0,566k + 0,424i) . k = - 42 450 m.N Resp. " ., indica que el vector M esta dirigido en el sentido negative de las z.z .forma de vector, el momento es

M z =- 42 450k m.N

yy

IA --, A

I I I Mz I 115m /----;. Mo I I ~~ II o~\_/

-,

-.

\----X x

z "\ \ ~ B

3534 Sistemas de ruerza Sistemas de fuerza

1m

o

Problema 2/26 F= lookp

,0 kp

Problema 2/29

~12 ., Problema 2/30

Problemas

2/26. Calcular el momento M ola fuerza P de 100 kp respecto

punto 0 de dos maneras, utilizan el principio de transmisibiIidad p eliminar, primero, el momento de componente horizontal de P y se do, el de la componente vertical. placa sobre la que se ejerce Pesta d vidida en cuadrados de 1 m de lad

2/27. La placa rectangular est: constituida por cuadrados de 1 m d lado en la forma que se indica. E el punto A se aplica una fuerz. F = 100 kp en la direccion seiialada Calcular el memento M B de F respec. to al punto B. Resp. M = 277 m.kp, sentido horario

2/28. Determinar la expresion vectorial del momento MB de la fuerza de 100 kp del problema 2/27 respecto al punto B.

2/29. Si es nulo el momento resultante respecto al punto A del sistema de fuerzas compuesto por la de 50 kp Y la P, determinar grafica y algebraicamente la magnitud de P. La placa sobre la que se ejercen las fuerzas esta dividida en cuadrados.

2/30. Para elevar el mastil desde la posicion indicada, la tension T del cable debe proporcionar un momento respecto a 0 de 30000 m.N. Determinar T. Resp. T = 3602 N

ea una fuerza de de una llave inglesa

tornillo que fija la rueInar el momento M ~JeSPecto al centro 0 de . ]a posicion representa-

If una carga situada "'A se desarrolla una 'cable igual a 2100 kp.

.ento que origina uno de los ejes de pasan por la base

de la gnia.

del problema 2/33 ,en B en vez de en A 'jel cable una tension

kp, determinar el esta fuerza respecto

';~: 9240j -5550k m.kp

Problema 2/3\

B

Problema 2/32

z

~18m-----j I I

I I

Tfl I

I 130 m I I I I

--__ ~I / /'

-;>-- -..,k/' B.,4_ ,,,,/ - Y

X /'

,4 '''''~m 4,5 mY A

Problema 2/33

37

-- 0

100 N

01

02 1 I I z

r'roblema 2/43

Problema 2/42

6 em

0-__

Sistemas de fuerza

Problema 2 41

F ejerce cierto o al eje 0-0. De

las expresiones que COrrectamente a ~I. vector unitario di-y .el paralelepipedo

. ,(rlx F n)n >"(1' lC (rz + ra) n]n .Q>s/Jcos aI)

Ia expresion vectoM de la fuerza de al eje 0 1-02 cuyo va de 0 1 a O2 ,

2/37. EI roblon resiste el momen respecto a su eje 0-0 originado p la fuerza de 50 kp que se ejerce s bre el soporte doblado. Determin este momenta Mo

Resp. Mo = 45,94 cm.k

2/38. Una fuerza de 200 N cuy cosenos directores son proporcionale: ~ 2, 6, 9 pas a por un punto P cuy coordenadas x-y-z, expresadas en cen timetros, son 3, 2, -5. Calcular e momento M de la fuerza respeeto un punto cuyas coordenadas, en centimetros, sean 2, 2, -3. 2/39. Una fuerza de 100 N pas

por los puntos A y B en eI sentid de A a B. Las coordenadas x-y-z d A Y B, expresadas en metros, so -3, -1, 4 Y 3, 4, 5, respectivamenteo Calcular el momento M de I fuerza respecto al punto C cuya coordenadas, en metros, son 2, -2, 1 Resp.M =_~ (-14i + 23j -31k) rn.

v.62

2/40. La fuerza Festa aplicada , un cuerpo en el punto A cuya posi cion esta determinada por el vector cuyo origen esta en el de cOOl'denadas 0 de un sistema cartesiano. Desarrollar Ia. expresion r X F relativa al momento de F respect a e identificar cada termino observand el correspondiente momento de cada! una de las componentes de la fuerza

das'respecto a los ejes de coordena ' que pasan por O.

2/36. Calcular el momento M o

la fuerza de 1000 N respecto al e' 0-0.

1000 N

Problema 2 '36

Sistemas de fuerza

Problema 2/37

z Fzr-- I I I Ii I I I II II Y I r, I "''''AI ,,~~ .------ '" " 11\ r -;:r -

r z I y., ... /.c: ~r ~/

o .... __~ F" ';:;,X//

, ,

39

(c)

o bien

Par antihorario

(b)

Figul'a 16

Sistemas de fuerza

M = rA x F + rB x (-F) = (rA - rB) x F = r xF.

,.' i6n de r sobre la normal a F, se observa que la magnitud . "es M = Fd, que es el modulo del par. Se observa tambieu ,;~e M es normal al plano de r y F como se describio ante

,r X F no contiene referenda alguna al punto 0 1 , se deduce

M=Fd,

que presenta el par de ser un vector libre puede tambien ode otra manera algo mas general, combinando los momen

. respecto a un punta de referencia cualquiera 0 1 (fig. 16a). ; de vectores de posicion respectivos 'fA Y rB son dos puntos

las correspondientes rectas soporte de F y -F. Con esta notaresultante de las dos [uerzas respecto a 0 1 , utilizando la ecua

.el directo (contrario a las agujas del reloj). Esta expresion da el ~'Y es completamente independiente de la distancia a que situa a lctO al centro 0 del momento. Se deduce que el momento de un "para todos los centros de momentos. El momento de un par

e por un vector libre M, como se indica en la figura 16b, a normal al plano del par y el sentido del vector queda esta'la de la mano derecha.

normal a su plano que pase por un punto cualquiera tal como 'I1to del par M y su modulo es,

M =F(a + d) - Fa, .... 2/44. Una placa rectangular acero de 1,32 m de longitud y 08 de anchura se apoya par su Verti en un plano horizontal x-y y po vertice D sobre el pedestal qU; indica de manera que su borde forma un angulo de 19,9 can el no horizontal. Se inclina haci:l atr,' placa de manera que su plano fo un angulo de 52 con el plano ve cal que contiene CD. Para sapo la placa se precisa una tension 5000 N en el cable AB. Si el cal forma un angulo de 16,45 can plano de la placa en la posicion gular indicada, determinar el mom to M de la tension T respecto al de inferior CD.

Resp. M = 1162 m

.... 2/45. Se tiene una placa analog la del problema 2/44, pero ahara dan las coordenadas de las inters, ciones de CD y AB con los planos e y-z, expresadas en metros, en VI de los diversos angulos del proble 2/44. Determinar el momenta de tension de 5000 N del cable respe a CD. Discutir las ventajas y lirni ciones de las soluciones de uno y 0 problema.

11 Par. EI momento producido por dos fuerzas de igual modulo y dir cion, pero de sentidos opuestos, cuyas rectas soporte no coincidan, se dena. na par. Un par presenta ciertas propiedades unicas y tiene importantes aph ciones en Mecanica,

Cansideremos la accion de dos fuerzas tales F y -F separadas una ~i tancia d (fig. 16a). Estas dos fuerzas no se pueden combinar en una sola deb1d: a que su suma en cualquier direccion es nula. Su efecto es solamente el de pr' ducir una tendencia a la rotacion, EI momenta combinado de las dos fuerz

II

38

A z I I I I I I I I I /1.:::/

"

/'

41Sistemas de fuerza 40 Sistemas de fuerza

.introducen efectos externos sobre el cuerpo. Vemos ahora queque M sera el mismo para todos los puntos de referencia y, por tanto, pu ,en A y la igual y opuesta en 0 constituyen el par M = Fd, quetratarse como vector libre. El par permanece invariable mientras la magnit

titatado es antihorario, segun se indica en la parte derecha de la direccion y sentido de su vector se mantengan constantes. En consecuencia .erza original que estaba en A se ha sustituidopor la misrna fuerpar dado no se alterara al variar los valores de F y d mientras se mant~n en un punto distinto 0 y un par, sin alterar los efectos exteriores

constante su producto. Analogamente, el par no se vera afectado si las fuer s, ) de la fuerza original. Se deduce tambien que un par dado y unapasan a actuar en otro plano paralelo cualquiera. En la figura 17 pueden ve

halle en el plano del par (normal al vector momento) se puedencuatro configuraciones diferentes del mismo par M. En cada uno de estos c .dar una fuerza unica. Con la notacion vectorial, el momento deltro casos el par viene descrito por el vector libre identico que representa

:sentarse mediante la expresi6n M = r X F, donde r es un veetendencias identicas a torcer los cuerpos en la direccion y sentido que se indic 11 vaya del punto 0 a un punto de la recta soporte de F, segunEn el caso de pares debidos a fuerzas que actuen todas en el mismo pIa 00/Igura 140. La descomposicion de una fuerza en otra equivalenteo en planes paralelos, los vectores par senin perpendiculares al plano. En

IIituye un paso que halla repetida aplicacion en Mecanica y que,caso sera mas conveniente representar dicho par por uno cualquiera de los co venios representados en la figura 16c, en donde el par antihorario puede tom debe dominarse. se como positivo y el horario como negativo, 0 al reves,

Los pares que se ejerzan en planes no paralelos se pueden sumar median' las reglas ordinarias de la adicion vectorial. Asi, en la figura 180. el par M1 d bide a fuerzas FlY el par M 2 debido a fuerzas F 2, que se ejercen en los plan distintos que se indican, se podran sustituir por su suma vectorial M represe tada en la figura ISh. Puede verse esta suma formando el par M a partir de I fuerzas F, que representan la suma vectorial de FlY F 2.

El efecto de una fuerza que se ejerza sobre un cuerpo 10 hemos descri con arreglo a la tendencia a empujar el cuerpo, 0 tirar de el, en la direccion la fuerza y a la tendencia a hacer girar el cuerpo alrededor de un eje cualquie (b)(a)que no corte a la recta soporte de la fuerza. La representacion de este efec

l

I1

11

III III

I I II

1I

II Ill!I


Soluci6n. El par debido a las fuerzas de 30 N tiene por magnitud 1\11 == 30(6) ::::: 180 cm.N. La direccion de M1 es normal al plano definido por las dos fuerzas el sentido, indicado en la figura central, se establece mediante el convenio de' mano derecha. EI par debido a las fuerzas de 25 N tiene por magnitud M2 = 2.5(10) ::::: 250 cm.N con la direccion y sentido que se indican en la figura. Los dos veet, res momento se comb inan para dar las componentes

My ::::: 180 sen 60 ::::: 155,9 cm.N

M z ::::: - 250 + 180 cos 60 ::::: - 160 cm.N Luego

M ::::: V (155,9)2 + (- 160)2 ::::: 223 cm.N can

155,9e::::: arc tg --::::: arc tg 0,974::::: 44 15'

160

Las fuerzas F se hallan en un plano normal al par M, y su brazo segun se ve en la figura de la derecha es de 10 cm. As! pOl' magnitud

223 F:::::--:::::22,3N

10 y por direccion e ::::: 44 15'.

3U N

M2 = 25U cm.N

'" M

45


Sistemas de fuerza

I y

Problema 2/49

250 Nx-_

I y

4 T

Problema 2/50

75 em

Problema 2/51

2/49. La placa en L esta sometid , a las dos fuerzas de 250 N represen. tadas. Se quiere sustituir estas fuer. zas por un sistema consistente en la fuerza de 200 N aplicada en A y otra fuerza aplicada en B. Determinar la coordenada y de B.

Besp. y =43,30 ern

2/50. La armadura de Ia figura soporta una carga de 4 toneladas. La pared vertical ejerce una fuerza horizontal contra el rodillo de apoyo en A y la artlculacion en B ejerce r' sobre Ia armadura Ia fuerza adicional para mantener eI equilibrio. La carga de 4 toneladas y Ia componente vertical de Ia reaccion en B constituyen un par que es igual y opuesto al par debido a las dos fuerzas horizontaleg. Calcular la magnitud B de la fuerza que se ejerce sobre la articulacion en B.

2/51. La rueda trasera de un automovil acelerado esta sometida a una fuerza de rozamiento F =300 kp Y a un par sobre su eje de momenta M. Si fuerza y par pueden sustituirse par una fuerza equivalente que pase pOI un punto situ ado a 1,25 em directamente encima del centro de la rueda. hallar M.

Resp. M = 11600 cm.kp

'....11 palanca de mando esta 'a un par de sentido horario I),to 9 m.kp ejercido por su

;, foay que proyectaria para ~one con una traccion de , In forma indicada. Si la re-

I. par y Ia fuerza pasa por '~nar la dimension apropia

debe tener Ia palanca.

:1

.sustituir la fuerza y el par . por una fuerza {mica F (en un punto D. Localizar D

do la distancia b. Resp. b = 22,2 em

!:Los sentidos de rotacion del ltrada A y del de salida B

or de velocidades 10 : 1 por fin estan indicados por

las flechas curvadas. AI aplica un par de 9 m.kp

. coincidente con el de la .~ eje de salida B propor

de 36 m.kp a la maquiiona (no esta dibujada). El

i,maquina accionada ejerce ' .. reaccion igual y opuesto ., de salida del reductor.

Ia resuitante M de los ue se ejercen sobre [a un ira y calcular el coseno di

relative al eje x.

Problema 2/52

625 cm.kp

Problema 2/53

47

x /

//

1 m

y I I I

Problema 2/60

Problema 2/59

Problema 2;58

F


M

1 F

Problema 2/61

///y

Problema 2/62

750 N

Problema 2, 63

o

~ 2/61. Un sistema fuerza-par cons, ta de la fuerza F aplicada en ej punta A y un par M. Demostrar qUe este sistema puede reducirse a una: fuerza unica si se cumple que; FxMx + FlIMlI + FzMz = O.

~ 2/62. Utilizar el metodo de des. composicion 0 transformacion de una fuerza en una fuerza y un par y sus' tituir las dos fuerzas indicadas que se ejercen sobre las Haves inglesas por una fuerza unica F aplicada a un punto P del plano x-y. HaHar las coordenadas de P.

Resp. F = 10 kp, x = 22,5 ern, y = 100cm

.... 2/63. Se hace girar el arbol de Ja taladradora D llevandolo a su posicion y se Ie somete a un empuje de 750 N Y a un par de 75 m.N en la forma indicada. Al disefiar la seccion en T para resistir las fuerzas aplicadas es necesario caIcular Ia torsion eficaz respecto al eje O. Cal cular el momento eficaz M:r; respec' to a 0 en el sentido positivo de las r,

Resp. M:r; = 77,5 rn.N

Sistemas de fuerza y

esparrago B del soporte ;I':plica un par del sentido il y de momento 290 m.N. ~!as dos fuerzas indicadas. , 'an las dos fuerzas en A I en B, calcular el momen'lite 1\1 (incluido el par bado en B que compensa, Ite el traslado de las fuer'ue concieme a la respues

:e como cuerpo rigido. ;1l92i -281j -767k m.N

,ultantes de sistemas de fuerzas. En los tres apartados anteriol sarrollado las propiedades de la fuerza, el momenta y el par. .esta exposici6n podremos deseribir ahora la accion resultante de Wema de Iuerzas. La mayoria de problemas de la Mecanica tratan !~ fuerzas y sera necesario reducir el sistema a su forma mas sene [bir su accion. La resultante de un sistema de fuerzas es la comb'

as mas sencilla que pueda sustituir a las fuerzas originales sin a exterior del sistema sobre un cuerpo rigido al que se puedan apl

" EI equilibrio de un euerpo es la condici6n en la cual la result 's fuerzas que actuan sobre el es nula y la aceleracion de un cuer

ando la resultante de las 'fuerzas al producto de la masa por la .'''i, plies, la determinacion de las resultantes es fundamental tanto

como para la Dinamica. , apartado 11 se demostre, con ayuda de la figura 19, que una fu :Iustituirse or la misma fuerza des lazada a una osici6n aralela ,un punto arbitrario 0 y a un par de momento Fd, donde d~-;.;rb ; Ito desde 0 hasta la posicion original de F. 0 en notad6n veet "F, donde r es un vector que va de 0 a un punto cualquiera dl

e de la fuerza F. En el caso de un sistema de fuerzas F 1, F 2, F general en el espacio, se deduce que eada una de elias puede i alelamente a si misma a un mismo punto 0 con tal de afiadir un

una de las fuerzas asi trasladadas. Asi, pues, para el sistema es' en la figura 20a, las fuerzas pueden considerarse todas aplicad~

900 N

Problema 2/64

51

(b)

y

t t ~'I v I 'I x

Figura 22

Figura 21 (a)

Sistemas de fuerza

erZO s coplanarias. EI tipo mas comun de sistema de fuerzas

otodas elias estan contenidas en un mismo plano, par ejemse ilustra con el sistema de tres fuerzas F 1, F ~ y F:1 en la Bgu. resultante R se obtiene en magnitud, direccion Y sentido for

tle tuerzas en la parte b de la figura, donde se suman las .0 el origen de una en el extremo de otra en un orden cualquie-

R y := };Fy , R:= ~F"y + (:!Fy)Z,"i.F (11)

() := arc tg --y . "'2:..F",

," graficamente la recta soporte de R conservando las rectas soporI y sumandolas por la regIa del paralelogramo como se indica ~~ gura en donde la suma R, de F 2 Y Fa se suma Con F 1 para " ~te proceso se ha hecho uso del principio de transmisibilidad.

(c)fbI Figura 2(,

Sistemas de fuerza

F3

R =F 1 + F z + F3 + = };F, M =M 1 + Mz + M 3 + = };(r x F).

(a)

~

Los vectores momenta se han representado todos en 0, pero como son vector, libres, podran representarse paralelarnente en cualquier otra posicion. Las rna! nitudes de las resultantes y de sus componentes son

punto arbitrario 0, con la adici6n de los pares correspondientes (fig. 2Gb). fuerzas concurrentes se pueden entonces sumar vectorialmente, dando una f za resultante R y tambien pueden sumarse los pares dando un par result~ de momento M (fig. 20c). EI sistema general de fuerzas se reduce entonces

R", := "i.F"" R y = };Fy , Rz := "i.Fz, ~ R = V(};F:c)Z + (};Fy ) 2 + (};Fz )2,

M", = "i.(r x F)"" My = "i.(r x F)y, Mz = };(r)( F)z, M = yM",Z + M y2 + Mz2.

EI punto 0 seleccionado como punta de concurso de las fuerzas es arbitrari y la magnitud, direccion y sentido de M dependeran de cual sea el punto 0 s Ieccionado. En cambio, la magnitud, direcci6n y sentido de R son siempre I mismas independientemente de emil sea el punta elegtdo, En general, todo sist ma de fuerzas puede sustituirse par su fuerza resultante R y el par resultante d rnomento M. En Dinamica suele tomarse el centro de masa como punto de ref, rencia y se determina la variacion de eantidad de movimiento en unidad d tiempo por Ia fuerza resultante y la variacion de momento cinetico respecto centro de masa en unidad de tiempo se determina por el momenta resultant,

Establecidas las resultantes para sistemas de fuerzas cualesquiera, varnos describir ahora Ia determinacion de estas resultantes para distintos sistemas d, fuerzas.

50


Para determinar la resultante puede utilizarse tambien la construccion graRe: conocida con el nombre de poH~ono funicular cuya tecnica puede hallar el alum no en los tratados de estructuras elementales. La .fuerza resultante se puede ID.: calizar algebraicamente utilizando el principia de VarignQn seleccionando como centro de tnomentos un punto 0 conveniente (fig. 22). Asi, el brazo d desconoe:ido: se calcula a partir de .

I Rd = LFd = Fidi - F2d2 + F3d3. Si R es nula, la resultante del sistema sera 0 un par a nula. Las tres fuerzas_.

de la figura 23, por ejemplo, tienen una fuerza resultante nula, pero dan un par del sentido de las agujas del reloj euyo momento vale M = F3d. La fuerza resultante de un sistema coplanario puede aplicarse a un punta cualquiera que no este sobre su recta soporte {mica, afiadiendo el par correspondiente.

Sistema de fuerzas paralelas. La resultante de un sistema de fuerzas para. lelas (fig. 24) tiene una magnitud que es claramente igual a la suma escalar de las fuerzas del sistema. 1;a"'pogcion de la recta soporte de la resultante se halla mediante el teorema de Varignon, puesto que el momenta de la resultante a cualquier eje tiene que ser igual a la suma de los momentos de sus compo nentes respecto al rnismo eje. As! pues, para el caso iIustrado,

II III1IIIII

F2

IIIIIIIIUI I,

Fi~ul'a 23 1

I.

I

III

x _

Figura 24

53\Sistemas de fuerza R = Fi + F2 + F3 \

", xft-~= Flxl + F2x2 + F3x3, yR =FiYl + F2Y2 + F3Y3.

'2. (Fy)'2. (Fx) (12) Iy= R .R='2.F, x = R ' ._--------_ _-_..._..__ _.._----- .

Torsor negativoTorsor positivo

Figura 25

M

R R

r ,p'; ',7 ,,' I D" ? (b)(a)

R

OJ ()

-R

(d)(el Fi~lII'a 26

54

!})I~"rn\ 1"~B..M. '-1(; nUGO

........ ~-~ ... _., "-

Sistemas de fuerza

representando la parte a de la figura el sistema general de fuerzas mediante lal resultante R pasando par un cierto punta 0 y el par resultante correspondi--, te M. Aun cuando M sea un vector libre, par conveniencia se representa pasan. do par O. En la parte b de la figura, M se descompone en dos componentes: una M] de igual direccion que R y otra M2 normal a R. En la parte c de It figura se sustituye el par M 2 par su equivalente de dos fuerzas R y -R sep. radas una distancia d = M2/R can -R aplicada en 0 para anular la R original, Este paso deja la resultante R, que se ejerce a 10 largo de una nueva y unica recta wporte, y el par paralelo Ml, que es un vector libre, como se indica en Ia parte d de la figura. As! pues, las resultantes del sistema general de fuerzas del principia se han transformado en un torsor (positivo en este ejemplo) cuyo eje unieo esta definido par la nueva posicion de R. En la figura 26 se ve que el eje del torsor resultante se encuentra en el plano que pasa par 0, normal al plano definido par R y M. EI torsor es la forma mas sencilla de expresion de la resultante de un sistema de fuerzas general. Sin embargo, est a forma de resul, tante tiene una aplicacion limitada, ya que suele ser mas eonveniente utilizar como punta de referencia un cierto punta 0 tal como el centro de masa del cuerpo u otro origen de coordenadas conveniente que no se halle sabre el eje unico del tors or.

Problemas tipo

2/65. Determinar la resultante de las cuatro fuerzas y el par que se sobre la placa que se indica.

Solucion. Se selecciona arbitrariamente el punto 0 como origen conveniente de coordenadas y centro de momentos. Las componentes RJ! y Ry , la resultante RyeI' angulo e que forma R con el eje x seran

R; = 40 + 80 cos 30 - 60 cos 45 = 66,9 kp [Rz = ~Fz] R = 50 + 80sen 30 + 60sen45 = 132,4 kp [Ry = ~Fy] y

[R = yRz2 + R y2 ] R = Y(66,9)2 + (132,4)2 = 148,3 kp

[0 =arc tg Ry ] 0= arc tg 132,4 = 63 12' . Rz 66,9

Aun cuando el par no tiene influencia alguna sobre la magnitud, ni sobre la elirecci6n, de R, si influye sobre el momento resultante que vamos a determiner a continuacion. La posicion de la recta soporte de R se halla a partir del principio de los mementos (teorema de Varignon). Tomando 0 como centro de momentos y siew

odo d el brazo de memento de R, tomando arbitrariamente como positive el sentidde giro antihorario, dicho principio exige

55Sistemas de fuerza

148,3d = 140 - 50(5) + 60 cos 45(4) - 60 sen 45(7) d = -l.oom

\e ativo indica ue el momento resultante actua en sentido horario reslen vez de en sentido antihorario. POl' tanto, la resultante podra aplicarse

cualquiera de una recta que forme un angulo de 63 12' con el eje x te a una circunferencia de radio 1,60 m centrada en 0 como se indica de la derecha. El memento de senti do horario de R exige que la recta

R sea tangente en el punto A y no en el H, como seria en el caso en nto actuase en sentido antihorario.

y I

r-2 m-j--5 m---j , 50 kp \

Problema 2/65

'.~ ~ que la eleccion del punto 0 como centro de momentos alimina los .,~ bides a las dos fuerzas que pasan por O. La seleccion adecuada de un mentes conveniente que elimine el mayor nlimero de tt~rminos posible nes de momentos constituye una Importante simplificaci6n en los calcu

lea..8. dado de fuerzas tambien puede combinarse graficamente utilizando

:ralelog el principio de transmisibilidad Y el metodo para transforramo,

s una fuerza en una fuerza unica.

stituir las dos fuerzas y el torsor negative por una Iuerza {mica R apliel par correspondiente M.

. La fuerza resultante tiene las componerites

RJ! = 50 sen 40 + 70 sen 60" = 92,8 N

R = 60 + 50 cos 40 cos 45 = 87,1 N y

R = 70 cos 60 + 50 cos 400 sen 45 = 62,1 N z

R = 92,8i + 87,lj + 62,lk N Resp.

R = y'(92,8)2 + (87,1)2 + (62,1)2 = 141,6 N

r

57

4"

r

1 4.8 m

1 8000 N

-

Problema 2 67 300 kp

Problema 2170

r x/ Problema 2;69

-",--

600 kp 500 kp

Problema:'. 6K

7500 N ,II

!'3.6 m I 111

Sistemas de fuerza

fuerzas estan apli"Ite al plano de la

coordenadas del en el que actue

.soporta las dos tenlos horizontales que ~ que altura sabre la '.liCtUara la resultante

s?

Sistemas de fuerza

70 N

56

t

M 50 = 189,5i 55,9j 169,Ok cm.N

donde r es el vector que va de A a B. El desarrollo termino a termino, 0 par determinacion, da

10 em

Problema 2/66

El par que hay que afiadir a consecuencia del traslado de la fuerza de 50 N

[M = r)( F] M50 = (8i + l2j + 5k) )( 50(isen40 + J cos 40 cos 45 + k cos 40sen 450)

M i O = 105i 713,7j -181,9k cm.N

El momenta respecto de A de la fuerza de 60 N se escribe por inspecci6n de componentes :l; y z, dando

M 60 = 360i + 240k cm.N

El momenta respecto de A de la fuerza de 70 N se obtiene facilmenre los momentos de las componentes x y z de la fuerza. Resulta

y

Ademas, el par del torsor puede escribirse en la forma

M' = 250(- i sen 40 j cos 40" cos 45 k cos 40 sen 45) =-160,7i -135,4j -135,4k cm.N

Por tanto, el par resultante al sumar los terminas en i, j y k es M = 493,8i 905,Oj - 246,3k cm.N

M =y(493,8)2 + (905,0)2 + (246,3)2 = 1060 cm.N

59

---x

I~ 1500N

125 kp

25kp

Problema 2/76

1000 N

Problema 2/75

Problema 2/77

300 kp

750 N

ostrar que el sistema de general puede repredos fuerzas que no se

Sistemas de fuerza

terminar la resultante R .luerzas y los dos pares que HaIIar la coordenads x

el eje x por el que pasa R. !' R = -750i - 1000j N,

x =7,25cm

,

1,'lpresentar la resultante de , licadas y el par median

R que pase por A y un to M.

Resp. R =611,5 kp m.kp en sentido horario

I reductor de velocidades do esta sometido a los dos

peso de 25 kp Y a una ical aplicada a cada una lajes A y B. Si la resul

-', ,este sistema de dos pares rzas es cera, determinar las AyB.

2/71. Determinar la magnitud p de la fuerza aplicada a la empuiia. dura que haga que la resultante de las tres fuerzas pase por O.

2/72. En la posicion de equilibria indicada, la resultante de las tres fuerzas que se ejercen sobre la pa. lanca acodada pasa por el apoyo 0. Determinar la fuerza vertical P, dDepende este resultado de e?

Resp. P = 596,5 N

2/73. El cancamo soporta las cuatro fuerzas que se indican. Si la componente x de su resultante es de 425 N Y la magnitud de la resultante es de 500 N, determinar F y e. El ungulo e esta limit ado a tener valores positivos menores que 90".

2/74. La placa fija esta sometida a las tres fuerzas

estatica meriam

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