estatística amintas paiva afonso. quando trabalhamos com grandes conjuntos de dados, muitas vezes...

Estatísticaamintas paiva

afonso

Quando trabalhamos com grandes conjuntos de dados, muitas vezes é útil organizar e resumir os dados para fornecer informações úteis e facilitar a sua visualização e seu entendimento

DISTRIBUIÇÕES DE FREQÜÊNCIA (EM CLASSE)

Introdução

168 172 170 181 169 173 164 175 182 177

176 173 170 186 183 170 168 166 169 180

175 164 181 179 172 169 174 171 178 166

183 159 168 176 188 165 172 170 166 189

172 185 168 163 188 195 182 176 174 182

Altura (em centímetros) dos atletas de um clube

É um grupamento de dados em classes, exibindo o número ou porcentagem de observações em cada classe. Uma distribuição pode ser apresentada em forma gráfica ou tabular.

ClasseIntervalo de

classeFrequência

(f i)Frequência

(f r)%1 0 |------- 2 1 2,77%2 2 |------- 4 2 5,55,%3 4 |------- 6 10 27,78%4 6 |------- 8 6 17%5 8 |------- 10 17 47,22%

36 100%

Tabela de frequência para as notas de estatística

Total

40

Número de carros

Fre

quên

cia

de r

even

dedo

res

5 10 15 20 25 30

2

4

68

1012

35

Histograma do número de carros vendido para as

revendedoras

Distribuições de frequências (em classe)

Tabelas de Frequência

“Resumo de dados em Tabelas de frequência”

O número de elementos distintos é grande, o que dificulta a análise.

Exemplo: Análise da altura da turma.

Notas (X i) Frequência (f i)0 11 02 13 14 15 96 37 38 69 7

10 4


ClasseIntervalo de

classeFrequência

(fi)Frequência percentual

1 0 |------- 2 1 2,77%2 2 |------- 4 2 5,55,%3 4 |------- 6 10 27,78%4 6 |------- 8 6 17%5 8 |------- 10 17 47,22%

36 100%


Total

A finalidade é agrupar dados!

Um engenheiro da área de vendas de uma montadora selecionou ao acaso, uma amostra de 40 revendedores autorizados em todo Brasil e anotou o número de unidades adquiridas por estes revendedores no mês de maio. Com estes dados, ele deseja construir um quadro de frequência.

10 15 25 21 6 23 15 21 26 329 14 19 20 32 18 16 26 24 207 18 17 28 35 22 19 39 18 21

15 18 22 20 25 28 30 16 12 20

Unidades adquiridas no mês de maio

1º PASSO: Identifique o valor máximo e o valor mínimo para calcular a amplitude.

R(intervalo total) = Max - Min = 39 - 6 = 33

Passos para a construção de uma Tabela de Frequência

2º PASSO: Escolha do número de classes ou intervalos (k).

- não existe uma regra única para a determinação do tamanho e quantidade de classes. Alguns autores afirmam que ela deve variar entre 5 e 25.

- Adotaremos o seguinte cálculo:32,640 nk

Importante: o valor de k deve ser um valor inteiro. Assim, neste caso pode ser: 6 ou 7.

3º PASSO: Determinação da amplitude do intervalo (h)

kk

Rh

33

Obs.: Como os dados coletados são números inteiros, a amplitude também deve ser um número inteiro.


Assim, o valor da amplitude (R) deve ser acrescido de duas unidades para que sua divisão pelo número de classes (k =7) seja um número inteiro.

57

3533

kk

Rh

4º PASSO: Rever os limites de classe preliminares. Aqui, o arredondamento deve ser distribuído igualmente para o limite inferior da primeira classe e o limite superior para a última classe.

ClassesIntervalo de classe

ou número de carros

Número de revendedores ou frequência

Frequência percentual

1 5 |----------- 234567 |-------- 40

Total

Tabela de frequência

10 3 7,5%

40

10 |---------- 15 3 7,5%

15 |---------- 20 11 27,5%

20 |----------25 11 27,5%

25 |----------30 6 15%

30 |----------35 4 10%

35 2 5%

100%

5º PASSO: Montagem da tabela de frequência


1 - Dados brutos

10 13 19 17 24 15 18 14 15 18 21 19 16 19 17 14 17 12 18 22

20 23 11 16

3 Proceder a contagem

10 a 13 - /// 13 a 16 - //// 16 a 19 - //// /// 19 a 22 - //// 22 a 25 - ///

4 - Fazer uma tabela de

freqüência

classe nº %

10 a 13 3 12,5 13 a 16 5 20,8 16 a 19 8 33,4 19 a 22 5 20,8 22 a 25 3 12,5

ou

5 - traçar um histograma

Fre

qüên

cia

classes

2 - Fixar intervalos de classe

1 - intervalo total= máx-min

2 -3 - k

totalervalo Amplitude

knk

int

255

Distribuições de Frequência

Exercício:

Montar uma tabela de frequência para o peso dos homens da turma de estatística.

60 58 71 62 85 65 83 6868 66 60 78 80 60 85 6975 69 60 90 68 73 59 7090 73 63 77 68 74 62 80

Tabela de pesos de uma amostra da turma de estatística

1º PASSO: Encontrar o valor máximo e o valor mínimo para calcular a amplitude.

R = Max - Min = 90 - 58 = 32

Tabela de Frequência - Exercício

2º PASSO: Escolha do número de classes ou intervalos (k).

66

3632

kk

Rh

66,532 nk Lembrando que: k deve ter um valor inteiro, este pode ser: 5 ou 6.

3º PASSO: Determinação da amplitude do intervalo (h)

Como os dados são números inteiros valor de h deve ser um valor inteiro. Iremos admitir k = 6 e somaremos 4 unidades na amplitude.

4º PASSO: Rever os limites de classe preliminares. Aqui, o arredondamento deve ser distribuído igualmente para o limite inferior da primeira classe (5856) e para o limite superior da última classe (9092).


5º PASSO: Montagem da tabela de frequência:

Classes IntervalosNúmero de pessoas ou frequência

frequência percentual

(%)1 56 |------ 62 6 18,752 62 |------ 68 5 15,6253 68 |------ 74 10 31,254 74 |------ 80 4 12,55 80 |------ 86 5 15,6256 86 |------ 92 2 6,25

32 100%

Tabela de Frequência

Total

Obs.: Atenção para o cálculo da frequência.

60 58 71 62 85 65 83 6868 66 60 78 80 60 85 6975 69 60 90 68 73 59 7090 73 63 77 68 74 62 80

Tabela de pesos de uma amostra da Turma de estatística


Um engenheiro de produção que atuava numa empresa de manutenção de motores de aviões, observou nos registros da empresa, que o tempo de mão-de-obra gastos na revisão completa de um motor apresentava-se na seguinte tabela de frequência:

ClassesTempo de mão de obra (horas)

Número de motores

1 0 |------ 4 12 4 |------ 8 53 8 |------ 12 104 12 |------ 16 125 16 |------ 20 4

32

Tabela de Frequência da manutenção de motores

Total

Para planejar o orçamento e a data de entrega de 5 motores, ele deseja saber o número médio de horas de mão-de-obra necessário para a revisão de cada motor.

i

ii

f

fxX

Calculando a média pela Tabela de Frequência

1º PASSO: Calcular o ponto médio de cada classe:


Número de motores

1 0 |------ 4 12 4 |------ 8 53 8 |------ 12 104 12 |------ 16 125 16 |------ 20 4

32


Total

2

6

10

14

18

iX

22

041

X

182

16205

X

2º PASSO: Realizar o somatório da multiplicação de cada ponto médio pela frequência:


Número de motores

1 0 |------ 4 12 4 |------ 8 53 8 |------ 12 104 12 |------ 16 125 16 |------ 20 4

32


2

6

10

14

18

iX ii fX

2 X1 =2

6 X5 =30

10X10 =100

14 X12 =168

18x4=72372 ii fX


horasf

fxX

i

ii 625,1132

372

3º PASSO: Realizar o cálculo final do valor médio pela fórmula:

Interpretação do resultado: sabendo que o tempo médio de mão-de-obra para a manutenção de cada motor é 11,625 horas, o engenheiro pode realizar os cálculos do orçamento e do prazo de entrega do serviço.

Exercício:

Uma empresa fez um levantamento da venda de seu produto em vários supermercados da região sudeste obtendo em determinado mês a tabela:

ClassesNúmero de unidades

consumidas

Nº de supermercados

(f i)1 0 |------ 1000 102 1000 |------ 2000 503 2000 |------ 3000 2004 3000 |------ 4000 3205 4000 |------ 5000 1506 5000 |------ 6000 30

Tabela de Frequência de consumo

Determine o consumo médio do produto por supermercado pesquisado.

R: 3.342,1 unidades por supermercado


• As tabelas de frequência serão bem utilizadas quando tivermos uma grande quantidade de dados, bastante distintos.Ex.: Diferentes medidas de eixos num lote de fabricação.

• As tabelas de frequência têm a função de condensar um conjunto de dados e servem como base para a construção de histogramas.

• Pelas tabelas de frequência também é possível calcular as medidas de tendência central e medidas de dispersão.

Conclusões sobre as Tabelas de Frequência

1- HISTOGRAMA - equivalente de uma tabela de frequência

- Gráfico que possui na sua escala horizontal os valores de dados a serem apresentados e na escala vertical, as suas freqüências;

- Utilizado para dados contínuos;

Construindo histogramas a partir de uma tabela de frequência

1º Passo: Construímos os eixos da frequência e intervalos de classe. Obs.: atenção para as escalas.

ClasseIntervalo de

classeFrequência


1 0 |------- 2 1 2,27%2 2 |------- 4 2 5,55,%3 4 |------- 6 10 27,78%4 6 |------- 8 6 17%5 8 |------- 10 17 47,22%

36 100%


Total

Formas gráficas de apresentação de dados

Fre

quên

cia

2

4

68

10

17

Notas0 2 4 6 8 10

2º Passo: Dispomos os valores da frequência de cada classe no gráfico.

3º Passo: Dá-se um nome para o histograma

Histograma das notas de estatística

ClasseIntervalo de

classeFrequência


1 0 |------- 2 1 2,27%2 2 |------- 4 2 5,55,%3 4 |------- 6 10 27,78%4 6 |------- 8 6 17%5 8 |------- 10 17 47,22%

36 100%


Total


Exercício: Monte o histograma para a tabela de frequência abaixo.

Número de carrosFre

quên

cia

de r

even

dedo

res

5 10 15 20 25 30

2

4

68

1012

35 40

Histograma do número de carros vendido para as

revendedoras

ClasseIntervalo de classe

ou número de carros

Número de revendedores ou frequência

Frequência percentual

1 5 |----------- 234567 |-------- 40

Total

Tabela de frequência

10 3 7,5%

40

10 |---------- 15 3 7,5%

15 |---------- 20 11 27,5%

20 |----------25 11 27,5%

25 |----------30 6 15%

30 |----------35 4 10%

35 2 5%

100%


Moda - MO

MEDIDAS DA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA

Determinação da moda num gráfico

freq

üênc

ia

classe modal


freqüência

classes

POLÍGONO DE FREQÜÊNCIA

Alternativa ao histograma polígono de freqüência

0,30

0,20

0,10

0,00 3 8 13 18 23 28 33


É um gráfico que se obtém unindo por uma poligonal os pontos correspondentes às frequências das diversas classes, centradas nos respectivos pontos médios. Para obter as interseções do polígono com o eixo, cria-se em cada extremo do histograma uma classe com frequência nula.

Moda - MO

Às vezes há dois ou mais picos de freqüência. Os dados provêm de duas ou mais populações.

Distribuição bimodal

classes modais classes modais

MEDIDAS DA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA


2 – DIAGRAMA DE PONTOS

O conjunto de dados relativos à resistência de uma argamassa modificada em uma indústria de cimento:16,85 ; 16,4 ; 17,21 ; 16,35 ; 16,52 ; 17,04 ; 16,96 ; 17,15 ; 16,59 e 16,57 .

Veja que o meio dos dados (mediana) é muito próximo de 16,8 e que os valores de resistência caem no intervalo de 16,3 a 17,2 kgf/cm2

argamassa modificada

16,0 16,5 17,0 17,5 18,0 resistência – kgf/cm2

Este diagrama é muito útil para apresentar um pequeno conjunto de dados (até aproximadamente 20 dados)

Este gráfico nos permite rapidamente e facilmente ver a localização ou a tendência central nos dados e a variabilidade


2 – DIAGRAMA DE PONTOS

É utilizado freqüentemente para comparar dois ou mais conjuntos de dados

Considere o segundo conjunto de dados de resistência de argamassa: 17,50 ; 17,63 ; 18,25 ; 18,00 ; 17,86 ; 17,75 ; 18,22 ; 17,90 ; 17,96 e 18,15 .

argamassa modificadaargamassa não modificada

16,0 16,5 17,0 17,5 18,0 18,5 resistência – kgf/cm2

Imediatamente verifica-se que a argamassa modificada apresenta resultados com valores menores de resistência

A variabilidade dentro (within) dos grupos é praticamente a mesma

Também é possível ver a freqüência dos dados


3 – DIAGRAMA DE RAMOS E FOLHAS

A tabela de freqüência e o histograma nos dá informações valiosas sobre a natureza da distribuição dos dados, mas geralmente perdemos informações sobre os mesmos

O diagrama de ramos e folhas é uma boa maneira de ter uma informação da natureza da distribuição do conjunto de dados sem perda de informação

Os dados devem conter pelo menos dois dígitos

Exemplo: O dado 257 é dividido em duas partes: a primeira parte 25 chamada de ramo (stem) é constituída pelo primeiro ou primeiro e segundo dígitos e a segunda parte 7 chamada de folha (leaf) é constituído pelo dígito restante.

É usual escolher o número de ramos entre 5 a 20

Formas gráficas apresentação de dados

Considere o conjunto de dados relativos à resistência a compressão de uma liga de alumínio

105 221 183 186 121 181 180 143 97 154 153 174 120 168 167 141 245 228 174 199 181 158 176 110 163 131 154 115 160 208 158 133 207 180 190 193 194 133 156 123 134 178 76 167 184 135 229 146 218 157 101 171 165 172

ramos folhas freqüência7 6 1

10 1 5 2

12 1 0 3 3

9 7 1

11 0 5 2

13 1 3 3 4 5 5 14 1 3 6 3

16 0 3 7 7 8 8 6

18 0 0 1 1 3 4 6 7

22 1 8 9 3

20 8 7 2

15 3 4 4 6 7 8 8 7

17 1 2 4 4 6 8 5

19 0 3 4 9 4

21 8 1

23 024 5 1

Formas gráficas apresentação de dados

4- GRÁFICO DE BARRAS / COLUNAS

• Tipo de gráfico mais utilizado quando os dados consistem em uma contagem e não em mensurações em uma escala contínua;

• São mais usados para mostrar diferenças entre categorias, regiões e etc. Os gráficos de barra também podem mostrar de que forma duas variáveis se relacionam;

Número de Empresas entrevistadas por Estado

0

10

20

30

40

SP SC RJ PE MG RS BA ES AMEstados Brasileiros

Núm

ero d

e em

pre

sas


4.1- DIAGRAMA OU GRÁFICO DE PARETO

• É um gráfico de barras para dados qualitativos, com as barras ordenadas de acordo com a frequência. A barra mais alta fica à esquerda e as barras menores na extrema direita.

50

100

Qua

ntid

ade

de

defe

itos

Per

cent

agem

A

cum

ulad

a

Revestimento inadequado

Trinca ArranhãoFina ou Grossa

Não acabada Outros

Quantidade 55 41 12 11 5 3

Percentagem 43,3 32,3 9,4 8,7 3,9 2,4Percentagem acumulada

43,3 75,6 85 93,7 97,6 100

20

40

60

80

100Gráfico de Pareto para os defeitos de lentes


5- GRÁFICO DE SETORES / TORTA OU PIZZA.

• É uma outra alternativa para o gráfico de barras, quando se pretende mostrar a composição de um total;

• O gráfico é construído dividindo os 360º graus de um círculo pela contribuição relativa de cada categoria;

Fonte: Site da Abinee - 2003.


Uma imagem vale mais do que mil palavras!

Entretanto, ao se construir qualquer tipo de gráfico, é importante:

1) que o gráfico receba um título adequado;

2) que cada um dos eixos seja rotulado e contenha uma escala sensata;

• Histogramas são utilizados para identificar o padrão de variação ao longo de um tempo ou ao longo de um fluxo;

Conclusões

Safra anual de 40 pessegueiros

11,1 12,5 32,4 7,8 21,0 16,4 11,2 22,3

4,4 6,1 27,5 32,8 18,5 16,4 15,1 6,0

10,7 15,8 25,0 18,2 12,2 12,6 4,7 23,5

14,8 22,6 16,0 19,1 7,4 9,2 10,0 26,2

3,5 16,2 14,5 3,2 8,1 12,9 19,1 13,7

O conjunto de dados abaixo, embora pequeno, não permite uma visão global da safra de pêssegos).

A distribuição de freqüência facilitará a visualização e entendimento.

Fazer a tabela de freqüência e o histograma para o conjunto de dados abaixo, onde estão relacionados os dados da safra de 40 pessegueiros.

Exercício Resolvido

Etapas para construção

1 - Determinar o intervalo total dos dados;

2 - Determinar o número K de classes;

3 - Calcular a amplitude da classe;

4 - Estabelecer limites de classes preliminares. Rever os limites, que devem tocar-se mas não intercepta-se;

5 - Relacionar os intervalos e fazer a contagem dos pontos por classe (a contagem total dever ser igual a n);

6 - Construir uma tabela de freqüências e um histograma de freqüências ou um polígono de freqüências.


1 - Determinar o intervalo dos dados

Maior safra é 32,8 e a menor é 3,2

2 - Determinar o número K de classes

40No caso dos pessegueiros n = 40, logo = 6,32 que pode ser arredondado para 6 ou 7

É aconselhável tomar entre 5 a 25 classes

Regra prática: K = Ajustá-la se for necessárion

adotar k = 6

intervalo é 29,632,8 – 3,2 =


3 - Calcular a amplitude da classe

Amplitude = intervalo / nº de classes (k)

Amplitude = 29,6 / 6 = 30/6 = 5 Amplitude = 5

Certifique-se que k vezes a amplitude é maior que o intervalo, pois, de outra forma, os valores extremos não serão incluídos;

Houve a necessidade de acrescentar 0,4 ao intervalo para que o valor desse um número inteiro. Esse valor deve ser distribuído para os limites inferiores (- 0,2) e superiores (+ 0,2).

6 * 5 = 3030 > 29,6 - ok



4 - Estabelecer limites de classes preliminares. Rever os limites, que devem tocar-se mas não interceptar-se

1ª classe ----------- limite inferior 3 limite superior = 3 + 5 = 8

Começando com o primeiro inteiro logo abaixo do menor valor do conjunto de dados.






É importante que não ocorra lacunas na fixação das classes (deve haver uma classe para cada valor)

Considerar os intervalos como:

3 a < 8 ou 3 8 8 a < 13 ou 8 13

13 a < 18 ou 13 1 8

23 a < 28 ou 23 28

18 a < 23 ou 18 23

28 a < 33 ou 28 33

Comentários adicionais

As classes não devem interceptar-se (um valor deve pertencer a só uma classe

A amplitude é igual para todas as classes


conjunto de dados ordenados

Intervalo = 29,6min max3,2 32,8

intervalo de classe ou amplitude de classe

5

K classes de dados

K = 6

6*5 = 30

A diferença entre 29,6 e 30 = 0,4 deve ser distribuída entre a extremidades

3,0 8,0 13,0 18,0 23,0 28,0 33,0

DISTRIBUIÇÕES DE FREQÜÊNCIA


5 – Relacionar os intervalos e fazer a contagem dos pontos por classe (a contagem total deve ser igual a n)

classe contagem

3 a 8

8 a 13

13 a 18

18 a 23

23 a 28

28 a 33

//// ///

//// ////

//// ////

//// //

////

//

8

10

9

7

4

2

Total n = 40

freqüência


6 – Construir uma tabela de freqüência ou histograma de freqüência

Tabela de freqüência

Número de alqueires Número de árvoresPercentagem de árvores

3 a < 8

8 a < 13

13 a < 18

18 a < 23

23 a < 28

22 a < 33

8

10

9

7

4

2 2/40 = 0,050

7/40 = 0,175

9/40 = 0,225

10/40 = 0,250

8/40 = 0,200

4/40 = 0,100

totais n = 40 1,000


Distribuição de freqüência relativa (%) para a safra de pêssego.

Poderia ser freqüência absoluta (nº de árvores).

Histograma

freq

üên

cia

classes

0,30

0,20

0,10

0,003 8 13 18 23 28 33

safras

Per

cent

agem

de

árvo

res


freqüência relativa ou absoluta

classes

Deve-se apenas unir os pontos médios das classes do histograma por segmentos de reta

POLÍGONO DE FREQÜÊNCIA

Alternativa ao histograma polígono de freqüência

0,30

0,20

0,10

0,003 8 13 18 23 28 33


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afonso

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