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Estatística: Aplicação ao Sensoriamento RemotoEstatística: Aplicação ao Sensoriamento Remoto
SER 203 - ANO 2014SER 203 - ANO 2014
Inferência EstatísticaInferência Estatística
Camilo Daleles Rennó[email protected]://www.dpi.inpe.br/~camilo/
estatistica/
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Inferência EstatísticaInferência Estatística
DISTRIBUIÇÃO CONHECIDAPARÂMETRO(S) DESCONHECIDO(S)
Considere o experimento: retiram-se 3 bolas de uma urna (com reposição). Define-se uma v.a. X cujo valor representa o número total de bolas vermelhas dentre as 3 escolhidas. Qual a média e variância de X?
Quais os valores possíveis de X?X: {0, 1, 2, 3}
Qual a distribuição de probabilidade de X?Binomial
Quais os parâmetros que definem uma Binomial?n e p
n = 3p = ?
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Inferência EstatísticaInferência Estatística
Numa imagem, um pixel é selecionado ao acaso. Define-se uma v.a. X cujo valor representa seu valor digital. Qual a probabilidade deste pixel possuir valor entre 100 e 150?
Quais os valores possíveis de X?X: {0, 1, ..., 255} (considerando uma imagem 8 bits)
Qual a distribuição de probabilidade de X?Desconhecida (discreta)
Que parâmetros são necessários para definir esta distribuição????????
DISTRIBUIÇÃO DESCONHECIDA
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Inferência EstatísticaInferência Estatística
S
amostra
inferir certas características da população
distribuição desconhecidae/ou
parâmetros desconhecidos
n indivíduos (ou objetos) da população
ex: sortear n pixels de uma imagem(com ou sem reposição)
n realizações da v.a.ex: medir a reflectância de um
objeto n vezes
a amostra constitui um conjunto de n v.a.X1, X2, ..., Xn com mesma distribuição (desconhecida)
Amostra Aleatória
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Estimação de ParâmetrosEstimação de Parâmetros
População Amostra
Distribuição de Probabilidade (ou FDP)
Parâmetros
Distribuição Amostral (Frequências)
Estatísticas(valor fixo)
estimar
(variável aleatória)
pontual (estatísticas)
por intervalo (intervalos de confiança)Estimação
OBS: estatística:é a v.a. que estima (pontualmente) um parâmetro (populacional) as vezes é chamada simplesmente de estimadorestimativa: é o valor do estimador obtido para uma amostra específica
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método dos momentosmétodo da máxima verossimilhança
Estimação PontualEstimação Pontual
• média populacional
De que maneira os valores da amostra podem ser combinados a fim de se produzir uma “boa” estimativa de ?
Seja X uma v.a. normalmente distribuída com a média () e a variância (2) desconhecidas. Retira-se uma amostra de tamanho n com a finalidade de se estimar e 2.
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Estimação PontualEstimação Pontual
• média populacional
De que maneira os valores da amostra podem ser combinados a fim de se produzir uma “boa” estimativa de ?
ˆk é o k-ésimo estimador de
Mas qual é o melhor estimador pontual?
• não tendencioso
ˆ( )kE • variância mínima
ˆ ˆ( ) ( )k jVar Var k j
Seja X uma v.a. normalmente distribuída com a média () e a variância (2) desconhecidas. Retira-se uma amostra de tamanho n com a finalidade de se estimar e 2.
ExatoImprecis
o
InexatoPreciso
Tiro ao alvo
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Estimação PontualEstimação Pontual
• média populacional
De que maneira os valores da amostra podem ser combinados a fim de se produzir uma “boa” estimativa de ?
1
n
ii
x
n
ˆ X 1
( )N
j jj
x FR X x
dados agrupados
Seja X uma v.a. normalmente distribuída com a média () e a variância (2) desconhecidas. Retira-se uma amostra de tamanho n com a finalidade de se estimar e 2.
média amostral
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Estimação PontualEstimação Pontual
Seja X uma v.a. normalmente distribuída com a média () e a variância (2) desconhecidas. Retira-se uma amostra de tamanho n com a finalidade de se estimar e 2.
• média populacional
De que maneira os valores da amostra podem ser combinados a fim de se produzir uma “boa” estimativa de ?
ˆ( ) ( )E E X
• verificando a tendenciosidade de
1 2 nX X XE
n
1 2
1nE X X X
n
n
n
estimador
não tendencioso
X
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Estimação PontualEstimação Pontual
Seja X uma v.a. normalmente distribuída com a média () e a variância (2) desconhecidas. Retira-se uma amostra de tamanho n com a finalidade de se estimar e 2.
• média populacional
De que maneira os valores da amostra podem ser combinados a fim de se produzir uma “boa” estimativa de ?
ˆ( ) ( )Var Var X 1 2 nX X XVar
n
1 22
1nVar X X X
n
2
2
n
n
2
n
• calculando a variância deX
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Estimação PontualEstimação Pontual
Seja X uma v.a. normalmente distribuída com a média () e a variância (2) desconhecidas. Retira-se uma amostra de tamanho n com a finalidade de se estimar e 2.
• média populacional
De que maneira os valores da amostra podem ser combinados a fim de se produzir uma “boa” estimativa de ?
ˆ( )E 2
ˆ( )Varn
1
n
ii
x
n
ˆ X
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Estimação PontualEstimação Pontual
Seja X uma v.a. normalmente distribuída com a média () e a variância (2) desconhecidas. Retira-se uma amostra de tamanho n com a finalidade de se estimar e 2.
• variância populacional 2
De que maneira os valores da amostra podem ser combinados a fim de se produzir uma “boa” estimativa de 2?
2
2 1ˆ
n
ii
x X
n
Mas será um estimador tendencioso?
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2 2 2
1 1
2n n
i i ii i
X X X XX X
Estimação PontualEstimação Pontual
Seja X uma v.a. normalmente distribuída com a média () e a variância (2) desconhecidas. Retira-se uma amostra de tamanho n com a finalidade de se estimar e 2.
• variância populacional 2
De que maneira os valores da amostra podem ser combinados a fim de se produzir uma “boa” estimativa de 2?
2
2 1ˆ
n
ii
x X
n
2 2
1 1
2n n
i ii i
X X X nX
1
1
n
i ni
ii
XX X nX
n
2 2
1
n
ii
X nX
2 2 2
1
2n
ii
X nX nX
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Estimação PontualEstimação Pontual
Seja X uma v.a. normalmente distribuída com a média () e a variância (2) desconhecidas. Retira-se uma amostra de tamanho n com a finalidade de se estimar e 2.
• variância populacional 2
De que maneira os valores da amostra podem ser combinados a fim de se produzir uma “boa” estimativa de 2?
2
2 1ˆ
n
ii
x X
n
2 2
2 1ˆ
n
ii
X nXE E
n
2 2
1
1 n
ii
E X E Xn
2 2
1
1 n
ii
E X E Xn
2( )iVar X 22i iE X E X 2 2
iE X 2 2 2iE X
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Estimação PontualEstimação Pontual
Seja X uma v.a. normalmente distribuída com a média () e a variância (2) desconhecidas. Retira-se uma amostra de tamanho n com a finalidade de se estimar e 2.
• variância populacional 2
De que maneira os valores da amostra podem ser combinados a fim de se produzir uma “boa” estimativa de 2?
2
2 1ˆ
n
ii
x X
n
2 2
2 1ˆ
n
ii
X nXE E
n
2 2
1
1 n
ii
E X E Xn
2 2
1
1 n
ii
E X E Xn
2
( )Var Xn
22E X E X 2 2E X
22 2E X
n
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Estimação PontualEstimação Pontual
Seja X uma v.a. normalmente distribuída com a média () e a variância (2) desconhecidas. Retira-se uma amostra de tamanho n com a finalidade de se estimar e 2.
• variância populacional 2
De que maneira os valores da amostra podem ser combinados a fim de se produzir uma “boa” estimativa de 2?
2
2 1ˆ
n
ii
x X
n
2 2
2 1ˆ
n
ii
X nXE E
n
2 2
1
1 n
ii
E X E Xn
2 2
1
1 n
ii
E X E Xn
2
2 2 2
n
2 2 2iE X
2
2 2E Xn
2 2n
n
21n
n
estimadortendencioso!
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2
2 1ˆ1
n
ii
x Xn
n n
Estimação PontualEstimação Pontual
Seja X uma v.a. normalmente distribuída com a média () e a variância (2) desconhecidas. Retira-se uma amostra de tamanho n com a finalidade de se estimar e 2.
• variância populacional 2
De que maneira os valores da amostra podem ser combinados a fim de se produzir uma “boa” estimativa de 2?
2
2 1
1
n
ii
x Xs
n
2 2E s estimador
não tendencioso
(ver Estimadores.xls)
variância amostral
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1
1
( )
( )
N
j j Nj
j jj
x FA X x
X x FR X xn
1
n
ii
xX
n
Estimação Pontual de Estimação Pontual de e e 22
X• média amostralValor
Freq. Absolut
a
Freq. Relativa
0 1 1/121 2 1/62 4 1/33 3 1/44 1 1/125 1 1/12
Total 12 1
Exemplo: uma amostra (n = 12) é retirada de uma população e os seguintes valores são observados: 0, 2, 3, 5, 2, 1, 2, 1, 3, 3, 4, 2. Calcule a média e variância amostrais.
distribuição amostral
0 2 3 ... 2 7
12 3X
0*1 1*2 2*4 3*3 4*1 5*1 7
12 3X
1 1 1 1 1 1 70* 1* 2* 3* 4* 5*
12 6 3 4 12 12 3X
(usando FA)
(usando FR)
(dados brutos)
(dados agrupados)
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2 2 2
1 12
( ) ( )
1 1
N N
j j j jj j
x X FA X x x FA X x nX
sn n
(dados
agrupados)
2 2
1
1
n
ii
x nX
n
2
2 1
1
n
ii
x Xs
n
Estimação Pontual de Estimação Pontual de e e 22
• variância amostral s2
Exemplo: uma amostra (n = 12) é retirada de uma população e os seguintes valores são observados: 0, 2, 3, 5, 2, 1, 2, 1, 3, 3, 4, 2. Calcule a média e variância amostrais.
22 2 22 2 2 77 7 732 3 3 3
(0 2 ... 2 ) 12*(0 ) (2 ) ... (2 )1,88
11 11s
ValorFreq.
Absoluta
Freq. Relativa
0 1 1/121 2 1/62 4 1/33 3 1/44 1 1/125 1 1/12
Total 12 1
22 2 22 2 2 77 7 732 3 3 3
(0 *1 1 *2 ... 5 *1) 12*(0 ) *1 (1 ) *2 ... (5 ) *11,88
11 11s
distribuição amostral
(dados brutos)
7
3X