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ESTATÍSTICA AULA 4
Modelos probabilísticos mais comuns – Unidade 2
Para variáveis aleatórias contínuas – 2ª parte
Professor Marcelo Menezes Reis
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Aulas prévias Variável aleatória:
Conceito, variáveis discretas e contínuas,valor esperado e variância.
Modelos probabilísticos para variáveisaleatórias discretas: Binomial, Poisson.
Modelos probabilísticos para variáveisaleatórias contínuas – 1ª parte:
Uniforme, normal.
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3
Conteúdo desta aula
Principais modelos probabilísticos paravariáveis aleatórias contínuas:
Modelo normal como aproximação dobinomial
t de Student;
Quiquadrado
Como usá-los no cálculo de probabilidades.
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Modelos para variáveis contínuas
Variáveis aleatórias contínuas:
contradomínio infinito.
Modelo uniforme.
Modelo normal.
Modelo t
Modelo qui-quadrado.
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Aproximações pela normal
5
Binomial: n = 10 p = 0,5 Binomial: n = 100 p = 0,5
Poisson: m = 10 Poisson: m = 30
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Aproximação - princípios
Binomial (modelo discreto) com
parâmetros n e p pode ser aproximada
por uma normal (modelo contínuo) com
parâmetros m e s.
6
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Aproximação - princípios
Aproximação pela Normal - se p constante
quando n aumenta e n p 5 E n (1-p) 5,
deve-se usar uma Normal com:
7
pnm )p1(pn s
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Correção de continuidade
Usando a distribuição normal (contínua)
para aproximar uma binomial (discreta) é
necessária uma correção de continuidade:
associar um intervalo (na distribuição
contínua) ao valor discreto.
Usualmente a variável discreta tem um
incremento igual a 1 entre seus valores (0, 1,
etc.).8
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Correção de continuidade
9
Binomial
X = k
Normal
k – 0,5 X k + 0,5
X k X k + 0,5
X k X k – 0,5
X < k X k – 0,5
X > k X k + 0,5
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Exemplo 1
Exemplo 7 da Unidade 2. Um município tem
40000 eleitores. Para uma pesquisa de
opinião eleitoral uma amostra aleatória de
1500 pessoas foi selecionada. Qual é a
probabilidade de que pelo menos 500 dos
eleitores sejam menores de 25 anos se 35%
dos 40000 são menores do que 25 anos?
10
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Exemplo 1
Binomial: n = 1500, p = 0,35 (35%)
P (X 500) = P(X = 500) + P(X = 501) +
.....+ P(X = 1500)
Aproximação pela normal:
n p = 1500 0,35 = 525 > 5 E
n (1 - p) = 1500 0,65 = 975 > 5
Aproximação possível!11
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Exemplo 8.16
12
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Exemplo 1
13
52535,01500pn m
47,1865,035,01500)p1(pn s
Binomial: P(X 500) => Normal: P(X 499,5)
P (X 499,5) = P (Z > z1) z1 = (499,5 - 525)/18,47 = -1,38
P (X 500) P(X 499,5) = P (Z > -1,38) = 1 – P(Z > 1,38)
P (X 500) P(X 499,5) = 1 – 0,0838 = 0,9162
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14
Modelo t de Student
Derivação do modelo normal,
desenvolvido por William Gosset
(Student).
Mais apropriado para o processo de
estimação de parâmetros usando
pequenas amostras (Unidade 5).
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15
Modelo t de Student
O modelo tem média igual a zero (como a
normal padrão).
Mas sua variância é: n/(n-2).
Onde n é o tamanho da amostra que foi
retirada para o processo de Estimação.
O modelo t tem n – 1 graus de liberdade.
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Para cada valor de n temos uma curva t.
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Exemplo 2
Veja o Exemplo 10 da Unidade 2.
Imagine a situação do Exemplo 1, obter os
valores de t simétricos em relação à
média que contêm 95% dos dados,
supondo uma amostra de 10 elementos.
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18
Exemplo 2
Encontrar os valores de t1 e t2, simétricos
em relação à média, que contém 95% dos
dados.
t1 = - t2 P(t > t2) = 0,025
n = 10, então t terá 9 graus de liberdade.
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19
t2 = 2,262 t1 = - t2 = -2,262
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Exemplo 2
No Excel:
=INVT(probabilidade; graus de liberdade)
=INVT(0,05;9) = 2,262
20
0,025 + 0,025 10 – 1
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Distribuição Quiquadrado 2
Derivada da distribuição normal, sempre +.
Definida pelo número de graus de liberdade
Média = graus de liberdade
Variância = 2 × graus de liberdade
Uso em inferência estatística relacionada à
variância, e associação entre variáveis
qualitativas (Unidade 6).21
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22
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0,16
0,18
0,2
0,22
0,24
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
f(x)
2
Quiquadrado com gl = 3 Quiquadrado com gl = 8
𝑃 23 < 5 = 𝐷𝐼𝑆𝑇. 𝑄𝑈𝐼𝑄𝑈𝐴 5; 3; 𝑉𝐸𝑅𝐷𝐴𝐷𝐸𝐼𝑅𝑂 = 0,8282
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23
0
0,005
0,01
0,015
0,02
0,025
0,03
0,035
0,04
0,045
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110
f(x)
2
Quiquadrado com gl = 50
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Exemplo 3
Exemplo 9 da Unidade 2. Imagine que
queremos encontrar o valor da estatística
quiquadrado, para 3 graus de liberdade,
deixando uma área na cauda superior de
5%.
24
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Exemplo 3
25
No Excel: = INV.QUI(0,05;3) = 7,815
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26
Tô afim de saber..
Sobre modelos probabilísticos paravariáveis aleatórias contínuas:
BARBETTA, P.A., REIS, M.M.,BORNIA, A.C. Estatística para Cursosde Engenharia e Informática. 3ª ed. SãoPaulo: Atlas, 2010, capítulo 6.
STEVENSON, Willian J. EstatísticaAplicada à Administração. São Paulo:Ed. Harbra, 2001, capítulo 5.
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27
Próxima aula
Inferência estatística
Conceito, tipos, parâmetros e
estatísticas.
Distribuições amostrais das principais
estatísticas: média e proporção.