estimacion de recursos mineros

5/28/2018 Estimacion de Recursos Mineros

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Estimacin de Recursos Mineros

por

Marco Antonio Alfaro Sironvalle

Doctor en Geoestadstica, Escuela de Minas de ParsProfesor de Evaluacin de Recursos Mineros, USACH

Profesor de Probabilidades y Procesos Estocsticos, U. de ChileProfesor de Estadstica Aplicada y Teora de Probabilidades, U. de Los Andes

Profesor de Evaluacin de Recursos Mineros, U. de Concepcin.Profesor Recursos Mineros, U. Catlica de Valparaso

Julio, 2007


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Algunas citas:

Se sabe que bajo la influencia de masas en la superficie de la tierra, de los que no se est todava bieninformado, el polo de la tierra sufre pequeas variaciones. Ocupmonos, por ejemplo de la coordenadax, su variacin en el curso del tiempo est representada, para las ltimas decenas de aos por la curvade la figura:

Que tiene irregularidades suficientes para pensar en un fenmeno de fluctuaciones. Sin embargo, aprimera vista, toda cuestin de probabilidad est excluda de este problema pues x(t) es conocida amedida que las observaciones se verifican en el curso del tiempo; y, naturalmente, no conocemos elfuturo de x(t), pero esta funcin es nica, puesto que no hay ms que una Tierra en el universo. Noobstante, nada nos impide imaginar una infinidad de sistemas macroscpicamente idnticos a la Tierra yque no difieren unos de otros ms que por las modificaciones de masas superficiales, las cualessupondremos estn sometidas a ciertos mecanismos aleatorios. Esto nos lleva a considerar que lafuncin observada x(t) no es ms que una realizacin posible de una funcin aleatoria X(t) definida conbase en una categora de experimentos que no tienen otra existencia que la que podramos llamarintelectual. Esta manera de operar no es lcita ms que en el caso de que tengamos razones parapensar que, partiendo de las propiedades estadsticas de la funcin aleatoria X(t), definida en base de laclase de experimentos que hemos imaginado, podemos deducir resultados vlidos para la evolucin deuna determinacin particular de X(t), y especialmente para x(t). Podremos ver entonces que si nuestrashiptesis conducen a resultados comprobados por la experiencia y, en los casos favorables, podremosprever, dentro de ciertos lmites, el valor futuro de x(t). Fundndose en consideraciones anlogas a lasque acabamos de estudiar, podr decirse que la velocidad del viento o la temperatura en un punto delGlobo son funciones aleatorias del tiempo.

A. Blanc-Lapierre, 1940

Cum deus calculat fit mundusSegn dios calcula se va creando el mundoG. Leibnitz, 1700

Entre dos modelos geoestadsticos, elegir el ms simpleG. Matheron, 1975


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Prefacio

Estimado lector: Este texto contiene mi experiencia como profesor de evaluacin derecursos mineros, desde 1972 a la fecha, realizado con didctica y con dialctica,

entendiendo por didctica el arte de ensear y por dialctica el arte de razonar

correctamente.

Quedar muy agradecido si me hace llegar sus consultas o sugerencias a

[email protected], de manera de mejorar futuras ediciones.

Todo lo malo que encuentre en este texto se debe a mi persona y todo lo bueno se

debe a mis dos maestros, profesores de la Escuela Nacional Superior de Minas de

Pars: Georges Matheron, creador de la geoestadstica, quin me ense esta

apasionante disciplina y Phillipe Formery quien me inculc el gusto por las

probabilidades.

Georges Matheron 1930-2000 Phillipe Formery 1928-2005


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Tabla de Materias

Prefacio 2

Tabla de materias 3

Captulo I: Los mtodos tradicionales de estimacin de recursos 4La media aritmtica 5Los polgonos 7El mtodo del inverso de la distancia 8Crtica general de los mtodos tradicionales de estimacin de leyes 11

Captulo II: Geoestadstica y Teora de las Variables Regionalizadas 17Notacin condensada 17Ejemplos de variables regionalizadas 18Campo y soporte 24Variables aditivas 28Objetivos de la teora 30El modelo matemtico de la geoestadstica: Las funciones aleatorias 32

Captulo III. El variograma 35Clculo del variograma para una lnea muestreada regularmente 36Comportamiento del variograma para distancias pequeas 38Comportamiento del variograma para grandes distancias 45Clculo del variograma para una malla regular bidimensional 52Clculo del variograma para mallas irregulares 68

Ajuste de un variograma a un modelo terico 73Los modelos de variograma 77

Ajuste en el espacio de dos o tres dimensiones 85Caso istropo 85Caso anistropo 86

Anisotropa geomtrica 87

Anisotropa zonal 89

Captulo IV. El error de estimacin 91Clculo de

2E 96

Significado de los trminos de la expresin de 2

E 98

Captulo V. El krigeado 105Inters del krigeado 105Las ecuaciones del krigeado 109Varianza del error 112Krigeado puntual 114Propiedades del krigeado 116Vecindad de estimacin 118Estrategia de bsqueda 120

VI. Bibliografa 124


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Captulo I

Los Mtodos Tradicionales de Estimacin de Recursos Mineros

La estimacin de recursos mineros se puede dividir en dos partes:

a) Estimacin global: interesa estimar la ley media y el tonelaje de todo el

yacimiento (o de una zona grande S dentro del depsito o yacimiento)

Figura I.1: Zona 3D a estimar e informacin disponible. Cul es la ley media y el tonelaje de S?

Se tiene un conjunto de leyes z1, z2, . . . , zNde mineral localizadas en los puntos x1,

x2, . . . , xN

b) Estimacin local: Interesa estimar la ley media de unidades o bloques dentro de

S, con el fin de localizar las zonas ricas y pobres dentro de esta zona S.


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Figura I.2: Estimacin local con bloque unitario o unidad bsica de clculo. Modelo de bloquesde15mx15mx15m.

La estimacin global y local estn relacionadas porque se pueden obtener valores

globales al componer los valores locales de los bloques vi.

A continuacin estudiaremos los mtodos tradicionales ms importantes, desde un

punto de vista crtico.

I.1 La media aritmtica

El mtodo de la media aritmtica se basa en lo siguiente: Para estimar la ley media de

un conjunto S se promedian las leyes de los datos que estn dentro de S.

Ejemplo: Consideremos el caso de un cuadrado con 7 muestras interiores:

Figura I.3: Ejemplo bidimensional. Existe una grupacin de datos.


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1 1 1 3 2 2 1 11 1.57

7 7Sz

+ + + + + += = =

La frmula general es:

1

1

N

S i

i

z zN =

=

Comentarios acerca del mtodo:

Todos los datos tienen el mismo peso 1/N

Muy simple. Fcil de calcular

Produce malos resultados cuando hay agrupaciones de datos. En el ejemplo de

la figura anterior existe una agrupacin de datos en la zona de alta ley: El valor

1.57 aparece como demasiado alto.

No funciona bien en estimaciones locales porque quedan bloques sin

informacin, tal como muestra la figura I.4:

Figura I.4: Un banco en el depsito de MMH. Bloques de 10mx10mx10m. En gris, zona mineralizada, enrojo la interseccin de los sondajes con el banco.


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I.2 Los polgonos.

El mtodo de los polgonos se basa en lo siguiente: Asignar a cada punto del espacio

la ley del dato ms prximo. Para estimar una zona S se ponderan las leyes de los

datos por el rea (o volumen) de influencia Si.

Figura I.5: Mtodo de los polgonos. Hay que calcular el rea de 7 polgonos.

Ejemplo: En el mismo caso anterior se tiene:

1 .36Sz =


1 21

1 ( ... )

N

S i i N

i

z S z S S S SS =

= = + + +

Comentarios:

Complicado, requiere comps, regla, planmetro.

El peso del dato Zi es Si / S.

Funciona mejor con agrupaciones de datos que la media aritmtica.

Difcil de implementar en tres dimensiones.


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En general no es adecuado en estimaciones locales porque asigna la misma ley

a todos los bloques que estn dentro de un mismo polgono. Produce problemas

con datos anmalos.

La figura 1.6 muestra la dificultad de aplicar el mtodo de los polgonos. En el espacio

de 3 dimensiones el mtodo (poliedros) es an ms complicado:

Figura I.6: Salar de Atacama (se trata de salmueras con contenidos de litio, boro, potasio, sulfatos).Puntos de muestreo y de bombeo. Observar la agrupacin (cluster) de los puntos en la zona central.

I.3 El mtodo del inverso de la distancia

El mtodo del inverso de la distancia se basa en lo siguiente: Asignar mayor peso a las

muestras cercanas y menor peso a las muestras alejadas a S. Esto se consigue al


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ponderar las leyes por 1/ id

, ( = 1, 2, . . . ; di= distancia entre la muestra i y el

centro de gravedad de S).

Si = 1 se tiene el inverso de la distancia (ID).

Si = 2 se tiene el inverso del cuadrado de la distancia (ID2).

Ejemplo: En el caso anterior se obtienen las estimaciones siguientes:

Figura I.7: Mtodo del inverso de la distancia a la potencia alfa. Hay que calcular las distancias entre losdatos y el centro del bloque

z1 = 1.78 (inverso de la distancia)

z2 = 2.06 (inverso del cuadrado de la distancia)


1

1

( 0)1

N

i

i i

S N

i i

zd

z

d

=

=

= >


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Comentarios:

Simple, fcil de calcular.

Se adapta mejor en estimaciones locales que globales.

No funciona bien con agrupaciones de datos.

Atribuye demasiado peso a las muestras cercanas al centro de gravedad. En

particular no est definido si di= 0 (muestra en el centroide de S)

No toma en cuenta la forma ni el tamao de S (en el ejemplo S' tiene la misma

ley que S porque su centroide coincide con el de S).

A veces, para evitar el problema de las agrupaciones de datos, se utiliza una bsqueda

octogonal: Dentro de cada octante (a veces cuadrante) slo se considera la muestra

ms cercana al centroide, tal como muestra la figura siguiente:

Figura I.8: Bsqueda octogonal. Se podran utilizar las k (cmo definir k?) muestras ms cercanas alcentro del bloque, dentro de cada octante.


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En este ejemplo solo las muestras 1, 2, 3 intervienen en la estimacin del bloque S.

I.4 Crtica general de los mtodos tradicionales de estimacin de leyes

De la presentacin anterior podemos hacer los comentarios siguientes sobre los

mtodos estudiados:

Son empricos...

Demasiado geomtricos.

No consideran la estructura del fenmeno mineralizado.

Por estructura entenderemos lo siguiente:

i) La continuidad de las leyes: Existen casos desfavorables en los cuales las

leyes son errticas y otros ms favorables en los cuales las leyes son

regulares.

Figura I.9: Leyes de Fe. Arriba, sondaje vertical en mina de hierro La Japonesa. Abajo, sondaje verticalen mina de hierro Boquern Chaar. Ambos tienen la misma ley media, 32% Fe. Cul es ms

continuo?


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ii) la posible presencia de anisotropas, es decir direcciones en las cuales la

variacin de leyes es privilegiada (ver la figura I.10).

Figura I.10: Anisotropas de las leyes de cobre en una planta del depsito RT. dimensiones en metros.Valores interpolados.

Ejemplo: En el caso de la figura I.11, las leyes z1= 1.25 y z2= 1.75 son simtricas con

respecto al bloque (se observan cuatro isoleyes):

Figura I.11: Bloque a estimar e isoleyes anisotrpicas en una planta. En la mina Chuquicamata lasituacin es similar, las leyes decrecen sistemticamente de oeste a este, ver figura I.12.


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Figura I.12: Proyeccin horizontal de todos los sondajes de la mina Chuquicamata. Se observa ladegradacin de leyes en la zona central, de oeste a este.

Los polgonos y el inverso de la distancia asignan la misma ley al bloque S:

1 2 1.25 1.75 1.52 2

S

z zz

+ += = =

Sin embargo, la ley media de S es inferior a 1.5%!

Los mtodos tradicionales de estimacin no proporcionan el error asociado a la

estimacin; entregan un nico valor, por ejemplo 1.22%Sz Cu= .


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Sea zs la ley verdadera desconocida de S. Sera interesante poder escribir una

ecuacin del tipo:

S Sz z error=

La magnitud del error nos cuantificara la calidad de la estimacin y nos indicara

la necesidad eventual de hacer ms sondajes.

En general estos mtodos presentan un fenmeno conocido como sesgo

condicional, el cual se traduce en la prctica por una sobre-estimacin de las

leyes altas y una sub-estimacin de las leyes bajas.

Describiremos este fenmeno con un ejemplo extremo tomado de un caso real:

Un yacimiento todo o nada: O bien hay mineral con ley 1.0 o bien hay estril con

ley 0.0. El mineral se representa de color gris en la figura siguiente (el valor

numrico corresponde a la proporcin de mineral dentro de cada bloque; existen

sondajes positivos en rojo, con ley 1.0 y negativos en blanco, con ley 0.0):

Figura I.13: Oficina Ossa. Depsito de nitratos-yodo. Malla inicial de reconocimiento de 400mx400m.

Debido a que los sondajes caen en el centro del bloque, no se puede aplicar inverso de

la distancia. El mtodo de los polgonos se puede aplicar y estima la ley de un bloque


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por la ley del sondaje central. En este caso se puede calcular el porcentaje

mineralizado real del bloque, obtenido a partir de una malla de 25mx25m

(correspondiente al valor superior en cada bloque) que se realiz posteriormente.

Observamos que el promedio de las leyes verdaderas es 0.55 y que el promedio de las

leyes estimadas es 24 / 42 = 0.57. Se dice que no hay sesgo global.

Sin embargo, existe el sesgo condicional: Para leyes altas ocurre que siempre la ley

estimada es superior a la ley real, y para leyes bajas, la ley estimada es siempre infe-

rior a la ley real.

Al aplicar una ley de corte sobre las estimaciones, ocurre entonces que la ley mina es

siempre superior a la ley de la planta.

El sesgo condicional se puede comprobar en una mina a cielo abierto, al comparar las

leyes estimadas de los bloques (modelo de largo plazo) con el promedio de los pozos

de tronadura de los bloques (informacin de corto plazo). En algunas minas este

proceso de comparacin se llama reconciliacin de leyes.

Figura I.14: Pozos de tronadura en mina Lomas Bayas. Leyes de cobre. Dimensiones en metros. Seobserva un bloque de 25mx25mx15m. A la derecha, el diagrama de dispersin. Si se aplica una ley decorte w, es decir se decide abandonar los bloques cuya ley es menor que w, entonces existen bloques

de mineral que van a botadero y bloques de estril que van a planta.


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La figura I.15 muestra la informacin de largo plazo y de corto plazo en la mina Los

Bronces. Se observa la presencia de datos agrupados en las zonas de alta ley.

Figura I.15: Informacin de largo plazo (sondajes, en negro) y de corto plazo (pozos de tronadura, encolores). Los sondajes estn agrupados en las zonas de alta ley.


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Captulo II

Geoestadstica y Teora de las Variables Regionalizadas

En trminos mineros se define la geoestadstica como la aplicacin de la teora de las

variables regionalizadas a la estimacin de los recursos mineros.

Una variable regionalizada es una funcin que representa la variacin en el espacio de

una cierta magnitud asociada a un fenmeno natural.

Sea x un punto del espacio. Se designa la variable regionalizada por la notacin z(x).

II.1 Notacin condensada

Antes de estudiar ejemplos de variables regionalizadas, mencionemos que en

geoestadstica se utiliza la notacin condensada: Un punto del espacio se representa

por la letra x. Por ejemplo la ley en el punto x se representa por z(x). Por consiguiente,

z(x) puede significar:

z(x) si el problema es unidimensional (1-D)

z(x1, x2) si el problema es bidimensional (2-D)

z(x1, x2, x3) si el problema es tridimensional (3-D)

Se observa que existen problemas de notacin: Se acostumbra a designar una variable

regionalizada con la letra z, lo cual coincide con la notacin utilizada para la cota o

elevacin.


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II.2 Ejemplos de variables regionalizadas

Ejemplo 1: En el espacio de una dimensin, sea z(x) = Ley de Cu a lo largo de una

galera:

Figura II.1: Canaletas en una galera.

Figura II.2: Galera reconocida entre los puntos A y A

Las leyes de las canaletas se pueden graficar:


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Figura II.3: Leyes de canaletas entre A y A. Mina Carola.

Ejemplo 2: En la dimensin tiempo (una dimensin t), el precio de un metal p(t).

Fig. II.4: Precio del cobre (promedio mensual 1987-2005) en centavos de dlar / libra.

Ejemplo 3: En el espacio de dos dimensiones, sea z(x1, x2) = z(x) = potencia

mineralizada en un yacimiento de nitratos:


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Figura II.5 (a): Depsito de nitratos-yodo: La zona mineralizada, de color rojo en la figura, se llamacaliche.

Figura II.5 (b): Ispacas en Oficina Sur Lagunas (depsito de yodo). Las potencias estn en metros. Loslmites corresponden a propiedad minera. Valores interpolados.


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Ejemplo 4: En el espacio de tres dimensiones, sea z(x1, x2, x3) = z(x) = Ley de Cu en

el punto x dentro de un depsito masivo:

Figura II.6: Caso tpico de depsito de xidos-sulfuros. La capa superior corresponde a grava o coluvio.

Figura II.7. Planta en mina RT. Leyes de bloques de 25mx25mx15m. Zona de xidos.


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En un depsito de este tipo se puede comprobar que la ley de cobre se comporta de

manera diferente en la zona de xidos y en la zona de sulfuros. Esto nos conduce a

considerar para la ley de cobre, dos variables regionalizadas diferentes.

Ejemplo 5: En el espacio de dos dimensiones, sea z(x1, x2) = z(x) = nmero de

rboles por hectrea en la parcela localizada en el punto x.

Figura II.8: Reconocimiento forestal. La muestre corresponde a una parcela.

Se trata, en este caso, de una variable regionalizada no minera.

Ejemplo 6: En el espacio de tres dimensiones, sea z(x1, x2, x3) = z(x) = densidad de

la roca en un punto x dentro de un depsito minero:


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Figura II.9: Densidades superficiales en ton/m3en la mina Chuquicamata. La falla (llamada falla oeste) la

cual delimita mineral de estril queda representada por el cambio de densidades. Valores interpolados.

La densidad in situ, medida en toneladas / m3es una variable importante para cubicar

los recursos de un depsito minero.

Ejemplo 7: En el espacio de tres dimensiones sea z(x1, x2, x3) = z(x) = ley de

arsnico en un depsito de cobre. Esta variable regionalizada corresponde a una

impureza (figura II.10)


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Figura II.10: Leyes de arsnico en un banco de mina Los Pelambres. Los datos corresponden a pozosde tronadura en bancos de 15 metros. Se trata de una variable muy irregular, concentrada en vetas.

Observacin:

Los ejemplos anteriores nos muestran que una variable regionalizada es simplemente

una funcin z(x) del punto x. Sin embargo, esta funcin no se comporta como las

funciones que se estudian en Matemticas: En general z(x) es muy desordenada en su

variacin espacial y no se podr expresar, en particular, z(x) como un polinomio (ver

figuras II.3, II.4, II.5, II.7, II.9 y II.10).

II.3 Campo y soporte

Se llama campo a la zona en la cual se estudia la variable regionalizada. Para definir

bien el campo (por ejemplo los lmites) es necesario utilizar un modelo geolgico

adecuado, por ejemplo, en la figura II.6 se podran distinguir dos campos disjuntos, los

cuales se pueden tratar de manera independiente y corresponden a unidades

geolgicas: Unidad xidos y unidad sulfuros.


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Entonces en un mismo depsito minero D pueden haber varios campos o unidades D1,

D2, ..., Dk, en general disjuntos, cuya reunin es el conjunto D.

Figura II.11: Unidades D1, D2, D3, D4en una seccin del depsito de cobre porfdico de Inca de Oro. Lasunidades corresponden a una interpretacin geolgica a partir de los sondajes.

En algunas situaciones, cada campo debera tener un tratamiento geoestadstico

diferente: Para estimar una zona V contenida en una cierta unidad, slo se utilizan

datos de la misma unidad: Se dice que se tienen fronteras duras.

Las fronteras duras entre las unidades Dr y Ds se justifican cuando existe

independencia entre las leyes de Dr y Ds (es decir existe una discontinuidad

geolgica). La independencia debe ser comprobada mediante un anlisis de las leyes

en las fronteras de las unidades Dr y Ds.

El soporte es el volumen de la muestra que define la variable regionalizada. A menudo

el soporte es un cilindro (figura II.12) llamado testigo:


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Figura II.12: Un testigo. Tiene un cierto largo l y un cierto dimetro d.

z(x) ser entonces la ley del volumen de muestra localizado en el punto x. En el

ejemplo 5 (forestal), el soporte de la variable regionalizada es un cuadrado de lado 100

metros, en el ejemplo 6, el soporte es una colpa (un boln) de 5 kilos tomada en la

superficie del pit, en el ejemplo 7 el soporte es un cilindro vertical de 15 metros de

largo.

En general, en el estudio de una variable regionalizada no es conveniente mezclar

soportes de tamaos diferentes.

En el caso en que los testigos que constituyen el sondaje son de tamao irregular, es

necesario hacer una operacin la cual consiste en regularizar o compositar el sondaje,

es decir disponer de datos (compsitos) de longitud constante (figura II.13).

Figura II.13: Regularizacin de un sondaje a un largo constante b. Esta operacin produce errores.


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La figura II.14 muestra una seccin transversal en un depsito de xidos de cobre. Las

lneas representan los sondajes de exploracin. El punto rojo se denomina collar del

sondaje. El collar est caracterizado por las coordenadas x0, y0, z0y por dos ngulos:

(, ) Azimuth e inclinacin.

Figura II.14: Seccin en el depsito de cobre de RT. Se observan las unidades grava ( estril), lixiviado,xidos y sulfuros. Un compsito est caracterizado por sus coordenadas x, y, z, las leyes de cobre total,

de cobre soluble, un cdigo que indica la unidad, adems del nombre del sondaje que contiene alcompsito.

Cada compsito est caracterizado por sus coordenadas x, y, z, sus leyes, un cdigo

que indica el dominio o unidad geolgica y la identificacin del sondaje, eventualmente

otra informacin. Se tiene as la base de datos de sondajes del depsito, la cual, en

formato de texto, puede ser incorporada en cualquier paquete computacional.

Para tratar las desviaciones de los sondajes, se divide el sondaje en tramos rectilneos

L1, L2, , Lr.


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Figura II.15: Azimuth (se mide en grados desde el norte) e inclinacin (se mide en grados desde la

horizontal) de un sondaje.

II.4. Variables adit ivas.

En general, en la estimacin de recursos mineros conviene utilizar variables aditivas.

Una variable regionalizada es aditiva cuando se cumple la condicin siguiente: Se

conoce la variable z en dos soportes V1y V2, con valores medios respectivos z1y z2,

entonces el valor medio de la variable z en el soporte homogeneizado V1 U V2es igual

al promedio ponderado de z1y z2, en particular si V1 = V2, entonces el valor medio de la

variable es (z1 + z2) / 2.

Por ejemplo, la variable ndice de trabajo WI(x) (parmetro de conminucin que

expresa la resistencia de la roca a ser molida, en Kwh/ton) no es aditivo. Sin embargo

es muy importante disponer de un modelo del WI en una mina.


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Figura II.16: Modelo del WI en una seccin de la Mina Carmen de Andacollo. Este modelo constituye unaparte del llamado modelo geometalrgico.

Otros casos de variables no aditivas son, la recuperacin metalrgica, y, en una mina

de xidos de cobre, la razn (llamada solubilidad) (ley de CuS) / (ley de CuT).

En el caso de una veta (figura II.17) el sondaje S determina una potencia aparente p (y

una potencia real p0) y una ley z. La ley z no es aditiva. En este caso hay que estudiar

dos variables aditivas: La potencia p0y la acumulacin en un punto x, definida como el

producto de la ley por la potencia.

Figura II.17: Veta y variables aditivas.


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II.5 Objetivos de la teora.

La teora de las variables regionalizadas se propone dos objetivos principales:

Expresar las caractersticas estructurales de una variable regionalizada mediante

una forma matemtica adecuada.

Resolver, de manera satisfactoria, el problema de la estimacin de una variable

regionalizada a partir de un conjunto de muestras, asignando errores a las

estimaciones.

Estos dos objetivos estn relacionados: El error de estimacin depende de las

caractersticas estructurales (continuidad, anisotropas) y se tendr un error mayor si la

variable regionalizada es ms irregular y discontinua en su variacin espacial.

Ejemplo: La figura II.18 siguiente representa el caso de una variable regionalizada z(x)

= ley de cobre definida en un soporte cuadrado de lado axa:

La ley de corte es w = 0.5.

Se definen otros soportes (tamao del bloque): (a)x(2a), (2a)x(a), (2a)x(2a), (3a)x(3a) y

(6a)x(6a).

T es el tonelaje sobre la ley de corte medido en nmero de bloques de tamao axa.

m es la ley media de los bloques cuya ley es superior a la ley de corte.

B es el beneficio convencional, definido por:

B = T ( m c )


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La importancia econmica de la anisotropa y del soporte es evidente.

Figura II.18: Importancia econmica del soporte y la anisotropa. A medida que aumenta el soporte, sediluyen las leyes. Observar que la ley de corte es mayor que la ley media. Repetir los clculos para una

ley de corte de 0.40


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II.5 El modelo matemtico de la geoestadstica: Las funciones aleatorias.

Para alcanzar los objetivos propuestos es necesario disponer de un modelo

matemtico. La geoestadstica utiliza una cierta interpretacin probabilstica de la

variable regionalizada, mediante el modelo de las funciones aleatorias.

Una funcin aleatoria es una funcin Z(x) que asigna a cada punto x del espacio un

valor que depende del azar (es decir un valor aleatorio).

Al hacer un experimento sobre la funcin aleatoria se obtiene una funcin ordinaria (no

aleatoria) z(x) llamada realizacin de la funcin aleatoria Z(x).

La hiptesis constitutiva de la geoestadstica consiste en afirmar que la variable

regionalizada en estudio es la realizacin de una cierta funcin aleatoria. Lo anterior

equivale a decir que las leyes de nuestro yacimiento se generaron a partir de un

proceso o experimento muy complejo.

Figura II.19: Funcin aleatoria y variable regionalizada. Los colores indican rangos de la variable.


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Un ejemplo de funcin aleatoria es la siguiente:

Z(x) = Z(x,y) = ley de litio en el Salar de Atacama.

Figura II.20: Leyes de litio en el Salar de Atacama para dos campaas de reconocimiento en el tiempo.Se observan los puntos de bombeo y el decrecimiento de las leyes en el tiempo. No se indican las

escalas de las leyes.

Como se trata de salmueras las cuales estn en movimiento debido a corrientes

subterrneas y a la explotacin, el valor de Z(x) en un punto x es aleatorio y es variable

en el tiempo. Una realizacin de esta funcin aleatoria corresponde a la variable

regionalizada z(x) = ley de Li en un mes dado.

Observaciones:

a) No se puede afirmar que una variable regionalizada es una funcin aleatoria.

Esto tendra el mismo sentido que decir el nmero 6 es una variable aleatoria.


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El enunciado correcto de la hiptesis probabilstica de la geoestadstica es: z(x)

es la realizacin de una funcin aleatoria Z(x).

b) Para que esta hiptesis probabilstica tenga un sentido real, es necesario poder

reconstituir, al menos en parte, la ley de probabilidad de la funcin aleatoria, lo

cual supone que la inferencia estadstica (es decir el clculo de parmetros que

caracterizan la funcin aleatoria) es posible. Es necesario introducir una

hiptesis suplementaria a la funcin aleatoria Z(x). Esta hiptesis es conocida

como hiptesis de estacionaridad y expresa que la variacin espacial de las

realizaciones de Z(x) deben ser homogneas. Esta hiptesis se puede debilitar

al suponer que las diferencias Z(x) Z(y) son estacionarias localmente (lo cual

se conoce como hiptesis intrnseca).

La estacionaridad es una propiedad del modelo (funcin aleatoria) y quedar

ms clara cuando se estudie el clculo de variogramas.

c) Para entender mejor estos conceptos, es recomendable, ver M. Alfaro,

Introduccin a la Teora de las Funciones Aleatorias, USACH, 2005.


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35

Captulo III

El variograma

El variograma es una funcin que constituye la herramienta fundamental de la

geoestadstica.

Sean x y x + h dos puntos en el espacio:

Figura III.1: Dos puntos a la distancia vectorial h.

La definicin terica de la funcin variograma ( )h es la esperanza matemtica

siguiente:

( )21

( ) ( ) ( )2

h E Z x h Z x = +

Sin embargo, en la prctica siempre se utiliza el algoritmo siguiente:

2( )1( )

2

diferencias de leyes en puntosh Promedio

que estn a la distancia h

=


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36

Esta ecuacin es la que hay que adaptar en cada situacin prctica (mallas regulares e

irregulares en el espacio de n dimensiones, n = 1, 2, 3).

Las propiedades de (h), que se deducen fcilmente de la definicin son:(0) 0

( ) 0

( ) ( )

h

h h

=

=

La ltima relacin proviene del hecho que si dos leyes z1y z2estn a la distancia h,

entonces (z1- z2)2 = (z2- z1)

2

Figura III.2: La funcin gama de h es par.

a) Clculo del variograma para una lnea muestreada regularmente

Sean N datos z1, z2, . . . , zN y sea b la equidistancia entre ellos:


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37

Figura III.3: Lnea recta con muestras regulares.

i) Sea h = b: Segn el algoritmo de clculo se tiene:

2 2 22 1 3 2 1( ) ( ) ... ( )( )

2( 1)N Nz z z z z zb

N

+ + + =

ii) Sea h = 2b:

2 2 23 1 4 2 2( ) ( ) ... ( )(2 )

2( 2)N N

z z z z z zb

N

+ + + =

iii) Sea h = 3b:

2 2 24 1 5 2 3( ) ( ) ... ( )(3 )

2( 3)

N Nz z z z z z

b

N

+ + +

=

iv) Sea en general h = kb (k = 0, 1, 2, . . . , N-1):


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38

2

1

1( ) ( )

2( )

N k

i k i

i

kb z zN k

+=

=

Posteriormente los valores (0), ( ), (2 ), (3 ), ...b b b se llevan a un grfico:

Figura III.4: Un variograma experimental.

La distancia b se llama paso del variograma.

Para interpretar el grfico del variograma distinguiremos el comportamiento para las

distancias hpequeas y las distancias hgrandes.

III.1 Comportamiento del variograma para distancias pequeas

Estudiaremos el comportamiento de la funcin ( )h para | |h

pequeo, para lo cual

analizaremos cuatro casos hipotticos.


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39

Caso 1: Leyes muy regulares y continuas.

Figura III.5: Leyes muy regulares (la variable es derivable).

Para una distancia b pequea, las dos leyes de la figura son casi iguales, lo que implica

que para h pequeo, (h) es prximo a cero; luego el grfico de (h) en una

vecindad del origen ser como en la figura:

Figura III.6: Variograma parablico en el origen.

Se dice que (h) tiene un comportamiento parablico en el origen.


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40

Caso 2: Continuidad y regularidad promedio

Figura III.7: Leyes con continuidad promedio. La variable es continua pero no es derivable.

En este caso, para una distancia pequea, la diferencia de leyes es significativa; luego

el grfico de (h) en una vecindad del origen ser:

Figura III.8: Variograma lineal en el origen.

Se dice que (h) tiene un comportamiento lineal en el origen.


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41

Caso 3: Existencia de micro variaciones:

Figura III.9: Presencia de una estructura a menor escala. La variable es ms discontinua.

Si la equidistancia entre datos b es menor que la escala de variacin d de las micro-

estructuras, el variograma en una vecindad del origen ser:

Figura III.10: Efecto de pepita en el origen.

Existe un crecimiento rpido hasta h= d (debido a la micro regionalizacin) y luego

un crecimiento ms moderado (debido a la variacin a gran escala): se dice que existe

efecto de pepita. Cose llama constante de pepita.


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42

En la prctica la equidistancia o paso b es mayor que d y se tendr un grfico del tipo:

Figura III.11: Extrapolacin al origen del variograma experimental.

Es decir existe una discontinuidad aparente en el origen.

El nombre efecto de pepita proviene del estudio de los depsitos de oro. Consideremos

por ejemplo un testigo en un depsito de oro:


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43

Figura III.12: Efecto de pepita en un testigo de una mina de oro.

En general, el efecto de pepita se produce debido a microvariaciones y/o a errores en

el muestreo, la manipulacin, preparacin o anlisis qumico.

Caso 4: Caso lmite en el cual la irregularidad de las leyes es total:

Figura III.13. Irregularidad mxima. La variable es catica.


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44

Por muy pequea que sea la distancia b, las leyes de dos puntos a esta distancia son

prcticamente independientes. El grfico de (h) ser:

Figura III.14. Efecto de pepita puro: El variograma no depende de la distancia h.

Se dice que (h) presenta un efecto de pepita puro:

(0) = 0, (h) = C si h 0.

Este caso se presenta si en un campo S, se ponen pepitas al azar, como en la figura

III.15:

Figura III.15: Pepitas al azar.


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45

III.2 Comportamiento del variograma para grandes distancias.

Estudiaremos ahora el comportamiento de la funcin (h) para |h|grande, para lo cual

analizaremos tres casos hipotticos:

Caso 1: Leyes con crecimiento (decrecimiento) progresivo:

Figura III.16: Leyes con tendencia o deriva.

Se dice que existe una deriva o tendencia. Al hacer el clculo se observar que (h)

siempre crece:

Figura III.17: Variograma con crecimiento sistemtico.


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46

Caso 2: Leyes con pseudo-periodicidades:

El fenmeno tiende a repetirse de manera estacionaria (es decir, vara de manera

homognea y sin deriva):

Figura III.18: Fenmeno estacionario con periodicidades.

Si se calcula la funcin (h) se observar la presencia de mximos y mnimos:

Figura III.19: Variograma con efecto de hoyo.


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Se dice que el variograma presenta efecto de hoyo o de agujero. En la figura, d = 9

unidades proporciona una medida del pseudo-perodo ; es una medida de la

intensidad del efecto (si el fenmeno es perfectamente peridico, entonces = 0).

Caso 3: Fenmeno estacionario sin pseudo-periodicidades (o fenmeno de transicin):

El fenmeno es homogneo en su variacin espacial, con cambios bruscos.

Figura III.20: Fenmeno estacionario sin periodicidades.

Este caso debera corresponder al anterior, en el cual la magnitud crece. Si se

calcula la funcin (h), se tiene:

Figura III.21: Variograma de un fenmeno estacionario sin periodicidades, con alcance y meseta.


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48

Se observa que a partir de una cierta distancia, del orden a = 6 unidades, la funcin

(h) permanece aproximadamente constante:

(6) = (7) = (8) = . . . = constante = C

Esto quiere decir que da lo mismo que la distancia que separa los puntos sea 6, 7, 8 o

ms unidades; en otras palabras, dos puntos cuya distancia sea superior a a = 6

unidades son prcticamente independientes en ley.

La magnitud a se llama alcance y la constante C se llama meseta.

Figura III.22: Variograma con alcance a y meseta C.

El alcance proporciona una medida de la zona de influencia de una muestra porque dos

muestras cuya distancia es mayor que el alcance son prcticamente independientes:


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49

Figura III.23: Zona de influencia de una muestra localizada en el punto x0.

Dos muestras cuya distancia sea inferior al alcance a estn correlacionadas entre s.

En el caso de un fenmeno de transicin, la meseta C tiene una significacin

estadstica si consideramos el resultado siguiente, el cual se puede demostrar

utilizando el modelo matemtico de las funciones aleatorias:

2C =

en que 2 es la varianza estadstica de los datos utilizados en el clculo de (h). En la

prctica, esta relacin terica es slo aproximada.

Ejemplo: La figura III.24 muestra un sondaje en el depsito de carbn de Puentes de

Garca Rodrguez (Espaa). Se trata de un sondaje vertical con N = 80 muestras. La

equidistancia entre las muestras es b = 5 metros. El carbn se representa en rojo y el

estril (la tosca) se representa en amarillo:


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50

Figura III.24: Sondaje vertical en una mina de carbn. Los nmeros superiores representan la potenciareal de los mantos.

Se define la variable regionalizada siguiente (llamada indicador):

1( )

0

si x carbnz x

si x carbn

=

i) Clculo de la media:

1

1 40 0.580

N

i

i

m zN =

= = =

Este resultado nos indica que la mitad del sondaje es carbn y la otra mitad estril.

ii) Clculo de la varianza:

2 22 2

1

1 40(1 0.5) 40(0 0.5)( ) 0.25

80

N

i

i

z mN

=

+ = = =


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iii) Clculo de (h):

Se obtiene fcilmente:

(5) = 0.12

(10) = 0.20

(15) = 0.24

(20) = 0.25

(25) = 0.25

iv) Grfico de (h):

Figura III.25: Variograma sondaje de carbn.

Se observa un alcance a del orden de 20 m. y una meseta C = 0.25, la cual coincide

con la varianza estadstica de las muestras.


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52

El alcance tiene una significacin geolgica en este caso: corresponde al espesor

promedio de los mantos de carbn (ver figura III.24):

p = (31.6 + 24.8 + . . . + 10.2) / 10 = 19.8 m.

b) Clculo del variograma para una malla regular bidimensional

Supongamos la situacin de la figura III.26 (correspondiente a leyes de cobre):

Figura III.26: Leyes de cobre en un banco de una mina a cielo abierto.

En este caso h es un vector (con coordenadas cartesianas o polares):


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Figura III.27: componentes del vector h. En este dibujo no es el azimuth sino el ngulo de coordenadaspolares

h = (hx, hy) coord. cartesianas

h = (h, ) coord. polares

i) Fijemos la direccin del vector h; que sea por ejemplo = 90, es decir, ladireccin NS. El vector h slo puede ser:

Figura III.28: Vectores orientados segn direccin NS


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54

Calculemos (h1) = NS(10). Al aplicar el algoritmo hay que considerar las

(diferencias)2posibles: (zi- zj)2cuando ambos datos ziy zjestn definidos. La figura

muestra las diferencias que hay que calcular:

Figura III.29: Parejas posibles para calcular gama de 10 metros en la direccin NS (hay 36 vectores).

Luego:

(h1) = [ (1.6 1.4)2+ (1.4- 0.9)2+ (0.9- 0.7)2+ (0.7- 0.8)2+ (0.8 1.0)2+ (0.9- 1.0)2- (1.0- 0.7)2+ (0.7- 0.9)2

+ (1.2 1.5)2+ (1.5- 0.9)2+ (0.8- 0.7)2+ (1.4- 1.4)2

+ (1.4 0.7)2+ (0.7- 0.7)2+ (0.7- 0.7)2+ (1.2- 1.1)2

+ (1.1 1.0)2+ (1.0- 0.9)2+ (0.9- 0.6)2 + (0.6- 0.2)2

+ (1.1 1.1)2+ (1.1- 0.9)2+ (0.9- 0.8)2+ (0.8- 0.5)2

+ (0.9 1.3)2+ (1.3- 0.9)2+ (0.9- 0.8)2+ (0.8- 0.4)2

+ (0.4 0.1)2+ (0.8- 1.2)2+ (1.2- 0.5)2+ (0.5- 0.7)2

+ (0.7 0.1)2+ (0.1- 0.2)2+ (1.0- 0.6)2

+ (0.0 0.4)2 ] / (2*36) = 0.0535 (36 parejas)

De manera anloga se obtiene:

(h2) = 0.0987 (27 parejas)

(h3) = 0.1888 (21 parejas)


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ii) Sea ahora la direccin = 0, es decir la direccin EW. El vector h slo puedeser:

Figura III.30: Vectores orientados segn direccin EW.

Las diferencias que hay que calcular son:

Figura III.31: Parejas posibles para calcular gama de 10 metros en la direccin EW (hay 36 vectores).

Se obtiene entonces:


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(h1) = 0.0146 (36 parejas)

(h2) = 0.0330 (33 parejas)

(h3) = 0.0431 (27 parejas)

iii) La prctica demuestra que, para estudiar las estructuras basta con calcular (h)

en dos direcciones adicionales: = 45 y = 135

Figura III.32: Clculo de gama de h en la direccin de 45. La distancia entre parejas es ahora 14.41metros.

Figura III.33: Clculo de gama de h en la direccin de 135. La distancia entre parejas contiguas (el

paso) es 14.41 metros.

En estas direcciones hay que tener presente que el mdulo de h es un mltiplo de

102.


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57

Grfico de (h):

Figura III.34: Variograma anistropo. La variacin de las leyes es ms regular en la direccin EW que enla NS.

Se observa una clara anisotropa que nos indica que el fenmeno es ms regular en la

direccin EW que en la NS. (Esto se puede comprobar al mirar como varan las leyes

en esas direcciones: ver la figura III.26)

Ejemplo: Los datos que se proporcionan a continuacin provienen de un banco en una

mina de fierro:


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Figura III. 35: Datos de leyes de fierro.

Al aplicar el algoritmo general se obtienen los grficos siguientes:

Figura III.36: Variograma NS


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Figura III.37: Variograma EW

Figura III.38: Variograma direccin 45 (paso = 14.41 metros)

Figura III.39: Variograma direccin 135 (paso = 14.41 metros)


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Observamos que (h) es casi el mismo segn las direcciones: podemos concluir que el

fenmeno es istropo.

En este caso se justifica calcular el variograma promedio, llamado variograma

omnidireccional, el cual se puede obtener, en este caso, mediante un promedio

ponderado de los valores del variograma (ponderacin por el nmero de parejas N'):

h (h)

10.00 4.17

14.41 5.7320.00 8.31

28.28 11.60

30.00 11.94

Grfico del variograma:

Figura III.40: Variograma omnidireccional. Su clculo se justifica en el caso istropo.


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Ejemplo: La figura III.41 muestra la fotografa area de un bosque de conferas. La

variable regionalizada es z(x) = nmero de rboles / hectrea. La malla de

reconocimiento es de 300 x 100 m2:

Figura III.41: Malla de reconocimiento forestal (300m x 100m)

Figura III.42: Foto area de un bosque. Cada punto representa un rbol.

El variograma correspondiente es:


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Figura III.43: Variogramas bosque de conferas.

Se puede observar la presencia de anisotropas y efecto de hoyo (debido a

periodicidades).

Ejemplo: Variogramas en cortes pulidos de minerales. La variable regionalizada z(x)

(indicador) se define como:

1( ) 0

si x granos (negro)z x si x granos (blanco)

=

En los grficos, el variograma EW es de color rojo y el NS de color azul. Interpretar los

variogramas!

En este caso de dos estados (negro y blanco), si se considera que z(x) es la realizacin

de una funcin aleatoria Z(x), entonces se dice que Z(x) es un conjunto aleatorio.


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63

Figura III.44: Aproximadamente istropo. En el variograma, la distancia est en pixeles.

Figura III.45: Aproximadamente istropo, con fronteras difusas. Presencia de efecto de pepita

Figura III.46: Anistropo con periodicidades.


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Figura III.47: Presencia de dos estructuras, a pequea escala y a gran escala.

Figura III.48: Fallas. La figura se obtuvo dibujando rectas al azar, se obtienen as polgonos. Cadapolgono se pinta de negro si al tirar una moneda sale cara, en caso contrario se deja igual..

En vez de utilizar una variable regionalizada con valores 0 o 1 (realizacin de un

conjunto aleatorio), se puede tomar una imagen y asignar a cada pixel el cdigo

computacional de su color (normalizado). La figura III.49 ilustra esta situacin:


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Figura III.49: Variograma de una imagen (agua). Observar que la variable regionalizada es estacionariaen la direccin este-oeste, mientras que en la norte-sur tiene una deriva, la cual se manifiesta solo para

grandes distancias: Se dice que la realizacin es localmente estacionaria en la direccin NS.

Observacin importante acerca del clculo de variogramas: El variograma (h) es un

promedio; este promedio es bueno cuando el nmero N' de parejas es grande. Sin

embargo, a medida que h crece, N' decrece; la prctica justifica entonces la regla

siguiente:

"Un variograma (h) es significativo hasta una distancia dM igual a la mitad de la

dimensin del campo en la direccin de h".

Ejemplo: En el caso de la figura, el variograma en la direccin EW debe calcularse en

esta direccin hasta una distancia mxima del orden de 200 metros:


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Figura III.50: Compsitos proyectados en una planta de la Extensin Norte de Mina Sur. El ancho delcuerpo es del orden de 400 metros en la direccin EW.

Ejercicio:

Los datos de la figura corresponden a una zona dentro del yacimiento de nitratos-yodo

de Lagunas. Encontrar la funcin (h) hasta h = 250 m. segn las direcciones:

= 0, 45, 90, 135.


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Figura III.51: Leyes de NaNO3Oficina Lagunas. Profundidad del sondaje = 2 metros.

En el caso de existir un alcance, determinar su orden de magnitud.

Si la regionalizacin es istropa, encontrar el variograma omnidireccional, es decir el

variograma promedio para cada direccin.


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c) Clculo del variograma para mallas irregulares.

En el caso bidimensional, la situacin es la siguiente:

Figura III.52: Leyes de alcalinos en un banco de la mina de hierro de Marquesado (Espaa).

En la figura III.52 se observa la localizacin de pozos de tiro en un banco de la mina de

hierro de Marquesado, Espaa. Supongamos que queremos calcular (h1) utilizando

el algoritmo general, siendo h1el vector siguiente:

Figura III.53: Vector para clculo del variograma.


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Lo ms probable es que no encontremos ningn o muy pocos pares de datos que estn

exactamente a la distancia h1. Es necesario entonces introducir aproximaciones para

el clculo de (h).

Aproximacin : Mtodo de los sectores. Se basa en la aproximacin siguiente:

Dos puntos estn aproximadamente a la distancia h si una vez fijado el primero, el

segundo cae en la zona de la figura:

Figura III.54: Mtodo de los sectores.

Si el punto P2 cae en la zona amarilla, entonces se dice que P1 y P2 estn

aproximadamente a la distancia h.

se llama tolerancia angular, se llama tolerancia en distancia.

La eleccin de y depende de la distribucin espacial de los datos y de la prctica.

En algunos casos la prctica recomienda utilizar = 22.5 y = 0.5b, en que b es la

distancia mnima, llamada paso, para el clculo de (h).


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El paso en una direccin dada se puede determinar como la distancia entre datos

aproximadamente contiguos en esa direccin.

El mtodo de aproximacin presenta problemas:

Puede caer ms de un punto en la zona. En este caso se consideran las

diferencias en el clculo.

si hes grande, como el ngulo se abre, la aproximacin tiende a ser grosera:

Figura III.55: La aproximacin no es buena para h grande.

Algunos paquetes computacionales definen otro tipo de zona para evitar este problema

(mtodo del lpiz):

Figura III.56: Aproximacin para h grande.


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En este caso hay que definir tres parmetros: , y d (d se llama a veces anchode

banda).

Hay que tener presente que es necesario conocer bien el variograma en una vecindad

de h=0 (los puntos ms cercanos al origen), luego, en algunas situaciones no se

justifica este mtodo del lpiz.

El mtodo de los sectores se puede generalizar al espacio de tres dimensiones:

Figura III.57: Compsitos en el espacio de tres dimensiones, con leyes de cobre en mina Chuquicamata.Comparar con la figuras I.11 y II.9.

Figura III.58a: Aproximacin en el espacio de 3 dimensiones: Una especie de cono.


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Figura III.58b: Aproximacin en el espacio de 3 dimensiones: Mtodo del lpiz.

La nube variogrfica.

Dada una cierta direccin, la nube variogrfica consiste en graficar, para una direccin

dada, el valor de todas las diferencias21

( ) ( )2

i jz x z x en funcin de la distancia entre

los puntos xi y xj.

En la figura III.59 se ha representado la nube variogrfica correspondiente a leyes de

alcalinos en una mina de hierro, en la direccin de azimuth 45, con tolerancia angular

de 22.5. Se ha representado tambin el variograma experimental para un paso de 10

metros, con una tolerancia en distancia de 10 metros.

Esta herramienta permite detectar la influencia de algunos datos anmalos en el

clculo del variograma. Estos datos podran ser filtrados en la variografa.


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Figura III.59: Nube variogrfica. El dato anmalo 1.51 es el responsable de las diferencias que estn enla elipse de la derecha.

III.1 Ajuste de un variograma a un modelo terico

El objetivo de ajustar un modelo terico es disponer de una ecuacin, la cual se

utilizar en los clculos posteriores. En general, los paquetes computacionales

trabajan exclusivamente con el modelo terico.

Distinguiremos dos variogramas.

i) El variograma experimental, calculado a partir de los datos.

ii) el variograma terico, que corresponde a una ecuacin que se ajusta al

variograma experimental:


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Figura III.60: Variograma experimental y variograma terico.

Es evidente que el variograma terico debe respetar al variograma experimental, sobre

todo en los primeros puntos, que son ms confiables.

El ajuste de variogramas constituye un punto crucial en un estudio geoestadstico

porque todos los clculos posteriores se harn utilizando exclusivamente el modelo

terico.

Para tener un buen ajuste, hay que considerar que uno de los objetivos finales es la

estimacin de leyes de bloques (modelo de bloques), dentro de una cierta vecindad

restringida de manera de no considerar demasiadas muestras para estimar la ley de

cada bloque:

Figura II.61a: El modelo de bloques es fundamental para la planificacin minera.


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Figura III.61b: Modelo tridimensional de bloques. Existen tres unidades geolgicas (a bloque completo)

Figura III.62: Vecindad de estimacin. Para estimar el bloque de la figura solo se utilizan los compsitosque estn dentro del crculo de radio R.

Si la vecindad de bsqueda es circular o esfrica, slo se utilizar la funcin (h) hasta

una distancia mxima de h= 2R; luego conviene ajustar (h) hasta h= 2R.

En el caso de la figura siguiente, si se usa una vecindad restringida, ambos modelos

darn los mismos resultados; pero el modelo 2 es ms simple y ms fcil de ajustar:


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Figura III.63: Modelos de variograma.

La utilizacin de modelos es comn en otras reas; por ejemplo en Estadstica se

ajusta un modelo a un histograma de datos (existen tests de bondad del ajuste que

son chi-cuadrado, Kolmogorov-Smirnov). La figura III.64 muestra un ejemplo de un

histograma de leyes de cobre en la mina Chuquicamata, junto al modelo lognormal

ajustado.

Figura III.64: Histograma experimental y modelo lognormal ajustado.


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III.1.1 Los modelos de variograma

As como en estadstica existen modelos (ley de Gauss, Lognormal, ...) en

Geoestadstica tambin existen modelos de variograma.

El modelo debe cumplir con las propiedades siguientes:

(0) 0

( ) 0

( ) ( )

h

h h

=

=

Sin embargo, la teora demuestra que estas condiciones no son suficientes: En efecto,

se puede probar que (h) pertenece a una familia de funciones (llamadas funciones

de tipo negativo condicional) y la eleccin del modelo debe quedar restringida a esta

familia . Elegir un modelo en la familia garantiza la coherencia de los clculos (no se

obtienen, por ejemplo, varianzas negativas).

Por consiguiente, slo hay que utilizar los modelos que describiremos a continuacin (o

bien combinaciones de ellos, las cuales consisten en sumar dos o ms modelos). No

es conveniente crear nuevos modelos, salvo el caso en que se demuestre

matemticamente que el modelo pertenece a . La condicin para que una funcin

g(h) pertenezca a la familia requiere conceptos avanzados de Matemticas y queda

fuera del alcance de este curso.

a) El modelo potencia

La ecuacin de (h) es:


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(h) = h

en que > 0, 0 < < 2. Un grfico sera:

Figura III.65: Modelo potencia.

Esta familia de variogramas no presenta meseta. Un caso particular importante es

cuando = 1: (h) es una recta, se llama variograma lineal.

b) El modelo esfrico: Es uno de los modelos ms importantes. A menudo, el

variograma de las leyes de cobre en un depsito de cobre porfdico corresponde a este

modelo. Su ecuacin es:

C(1.5 h/a - 0.5 (h/a)3) si h a(h) =

C si h > a


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79

(h = h)

El alcance es a y la meseta es C.

Figura III.66: Modelo esfrico o modelo de Matheron.

La figura III.67 muestra el variograma en la direccin NS calculado con pozos de

tronadura en la mina Lomas Bayas (cobre porfdico):


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Figura III.67: A la izquierda la base de datos en una planta (75000 pozos de tronadura), a la derecha elvariograma esfrico (en azul) y el experimental (puntos rojos). El alcance es del orden de 100 metros.

c) El modelo cuadrtico: Similar al esfrico pero ms simple:

C(2(h/a) - (h/a)2) si h a(h) =

C si h > a

Figura III.68: Modelo cuadrtico.


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81

d) El modelo exponencial: Crece ms lentamente que el esfrico o cuadrtico y

tiene por ecuacin:

(h) = C (1 - exp(- h / ) )

La meseta es C; el alcance en teora es infinito pero en la prctica: si h>3, entonces

(h) C: el alcance prctico es 3.

Figura III.69: Modelo exponencial o modelo de Formery. Este modelo se presenta a veces en leyes queestn asociadas a fallas (ver la figura III.48, ver tambin la figura III.25). El alcance prctico es

aproximadamente iguala 3.

La figura III.70 muestra el variograma en la direccin NS calculado con sondajes

realizados en material quebrado en la mina Salvador (cobre porfdico):


83/125

82

Figura III.70: Variograma vertical para el cobre, material quebrado remanente de la explotacin porblock-caving en mina Salvador. En azul el modelo exponencial, en rojo, los puntos experimentales.

e) El modelo sinusoidal: Sirve para representar el efecto de hoyo; su ecuacin es:

(h) = C(1 - sen(h) / (h) )

Figura III.71: Modelo sinusoidal (ver figura III.46).


84/125

83

f) El modelo gaussiano: Tiene un comportamiento parablico en el origen; su

ecuacin es:

(h) = C(1 - exp(- (h / )2) )

Figura III.72: Modelo gaussiano. Es derivable en el origen.

g) El modelo cbico: Tiene un comportamiento parablico en el origen pero su

alcance es finito e igual a a; su ecuacin es:

C(7(h / a)2- 8.75(h / a)3+ 3.5 (h / a)5- 0.75(h / a)7) si ha(h) =

C si h>a


85/125

84

Figura III.73: Modelo cbico. Es derivable en el origen.

En algunas ocasiones se puede ajustar un modelo correspondiente a la suma de dos (o

ms) modelos, llamados modelos anidados. La suma de dos modelos de variograma

constituye un modelo autorizado. En la figura III.74 se ha representado el modelo:

1 2( ) ( ) ( )h h h = +

En que 1 y 2 son modelos esfricos, de alcances respectivos de 10m y de 40m y de

mesetas respectivas de 0.5 y 0.5. Se dice que se tienen dos estructuras:

Figura III.74: Variogramas anidados.


86/125

85

III.2 Ajuste en el espacio de dos o tres dimensiones

Acabamos de estudiar el ajuste de variogramas en el espacio de una dimensin. Sin

embargo, en la prctica se dispone de un conjunto de variogramas 1(h), 2(h), . . . ,k(h) correspondientes a las direcciones 1, 2, . . . , k.

Figura III.75: Direcciones en las cuales se ha calculado el variograma.

a) Caso istropo:

Es el caso ms simple. Se cumple que:

1(h) 2(h) . . . k(h)

Se utiliza entonces como modelo general el variograma ajustado al variograma

omnidireccional:


87/125

86

(h) = omni(h)

En esta notacin:

2 2 2 2 2

( , ) ( , , )

| |

x y x y z

x y x y z

h h h h h h h

h h h h h h h

= =

= + = + +

Ejemplo: En el caso estudiado en las figura III.34, el modelo istropo ajustado es:

( ) 0.417 | |h h =

o bien, con otra notacin:

2 2

( , ) 0.417x y x yh h h h = +

b) Caso anistropo:

En este caso los variogramas direccionales son en general diferentes:

1 2( ) ( ) ... ( )kh h h

En la prctica se distinguen dos tipos de comportamiento anistropos del variograma:


88/125

87

Anisotropa geomtrica:

Se produce cuando los diversos variogramas pueden reducirse a un variograma

istropo mediante una transformacin lineal de las coordenadas. El caso ms comn

en la prctica es cuando los variogramas presentan un mismo valor de meseta pero

diferentes alcances:

Figura III.76: Elipse de anisotropa geomtrica (rosa de alcances)

En la figura se ha representado una anisotropa geomtrica (en el caso istropo lo

anterior sera un crculo).

Sea k = a1/a2 > 1 la razn entre el alcance mayor y menor. Las frmulas de

transformacin de coordenadas nos muestran que:

1( ) (| ' |)h h =

en que2 2 2| ' | ( cos ) ( cos )

x y y xh h h sen k h h sen = + +


89/125

88

es el ngulo formado entre el eje x y el eje x' de la elipse. 1es el variograma de la

direccin 1. k = a1/a2.

En el caso de un variograma lineal con diferentes pendientes:

( ) ( ) | |h h =

se procede de manera anloga, utilizando la elipse de pendientes o de inversos de

pendientes.

Ejemplo: En el caso de la figura III.26, se puede suponer, en primera aproximacin,

que el eje de la elipse coincide con los ejes de coordenadas:

EW: 1(h) = 0.0015|h| = h/ 666.67

NS: 2(h) = 0.0054|h| = h/ 185.19

Aplicando la frmula anterior, con = 0,

2 2 21 1

2 2

( ) ( ') ( )

( ) 0.0015 12.96

x y

x y

h h h k h

h h h

= = +

= +


90/125

89

Anisotropa zonal

En este caso la anisotropa no puede ser reducida por una transformacin lineal simple

de las coordenadas.

Figura III.77: Anisotropa zonal.

Se define entonces el modelo de anisotropa zonal como un modelo anidado (o

imbricado), es decir:

1 1 2 2( ) ( ) ( ) ...h h h = + +

En que cada constituyente puede representar su propia anisotropa.

Por ejemplo, en un yacimiento sedimentario el variograma vertical puede ser muy

diferente al variograma horizontal:


91/125

90

Figura III.78: Un ejemplo de anisotropa zonal.

Se puede utilizar en este caso un modelo del tipo:

1 2( , , ) (| |) (| |)x y z zh h h h h = +

En que:

2 2 2| |x y z

h h h h= + +

y hz corresponde a la direccin vertical.


92/125

91

Captulo IV

El error de estimacin

Enunciado del problema:

Sea un bloque o zona V y un conjunto de datos z(x1), z(x2), . . . , z(xN), en que:

xi = coordenada del dato z(xi)

z(xi) = ley en el punto xi

Figura IV.1: Volumen a estimar. Localizacin de las muestras.

N = N de datos

No se conoce la ley media de V: zV

En la prctica, se estima la ley media desconocida por una frmula lineal del tipo:


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92

1 1 2 2 ( ) ( ) ... ( )V N N

z z x z x z x = + + +

En que los iverifican la condicin de insesgado:

1 2 ... 1N + + + =

Los pesos idependen del mtodo de estimacin utilizado:

1iN

= media aritmtica

ii

S

S = polgonos

1

1

1

k

ii N

ki i

d

d

=

=

inverso distancia

Se supone, entonces, que los ison conocidos.

El error de estimacin es:

V Vz z=

en que Vz es la ley estimada (conocida) y zv es la ley real (desconocida).

Mencionemos que es equivalente definir el error como:


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93

V V

z z=

Debido a que zves desconocido, entonces es desconocido. Renunciamos entonces

a conocer el error en signo y magnitud. Sin embargo, se puede caracterizar

probabilsticamente el error , al utilizar el modelo matemtico.

Asumimos entonces que es una magnitud aleatoria; es decir, una variable aleatoria.

Esta magnitud aleatoria tiene una cierta ley de probabilidad caracterizada por una

esperanza matemtica mEy una varianza E2. Respecto de la ley de probabilidad del

error, asumimos que:

La ley de probabilidad del error es la ley normal o de Gauss . En Geoestadstica esta

aproximacin es razonable, pero se pueden utilizar otras aproximaciones tales como la

desigualdad de Chebichev.

Figura IV.2: Densidad de probabilidad de la ley normal o de Gauss.

Conviene recordar las siguientes reas de la ley de Gauss:


95/125

94

Figura IV.3: Ley normal. es la desviacin estndar.

Figura IV.4: Ley normal, regla de los dos sigma. Es el caso ms utilizado en la prctica.

Figura IV.5: Ley normal, regla de los tres sigma.


96/125

95

En otras palabras, utilizando probabilidades:

P(m - m + ) = 0.68

P(m - 2m + 2) = 0.95

P(m - 3m + ) = 0.997

Estudio de mE:

En trminos tericos:

mE = E()

Este valor es nulo porque los errores se compensan (siempre que el mtodo de

estimacin verifique la condicin de insesgado = 1).

Luego:

0Em =

Estudio de E2

En trminos tericos:

2 2 2

2 2

( )E E

E

E m E

E

= = =

La Geoestadstica demuestra que se puede calcular numricamente el valor de 2E .

Luego, el problema est resuelto. Segn las propiedades de la Ley de Gauss,

podemos afirmar que:

P[ - EE] = 0.68 (i)


97/125

96

P[ - 2E2E] = 0.95 (ii)

P[ - 3E3E] = 0.997 (iii)

En la prctica se utiliza frecuentemente la ecuacin (ii); es decir, se admite un riesgo de

equivocacin del 5%. En otras palabras:

- 2E 2E con 95% de confianza

o bien, se puede afirmar, con 95% de confianza que la ley verdadera es igual a la ley

estimada dos sigma (regla de las dos sigmas):

2V V Ez z = (con 95% de confianza)

Si usted no cree en esta aproximacin gaussiana utilice la desigualdad de Chebychev,

la cual establece que, cualquiera que sea la variable aleatoria :

[ ] [ ]21

1 2 2 0.75P k k Pk

Existe una desigualdad an mejor, llamada desigualdad de Gauss, la cual establece, en

nuestras condiciones que (ver Cramer, 1955):

[ ] [ ]24

1 2 2 0.899

P k k Pk

En resumen el problema radica en el clculo numrico de2

E o de la desviacin

estndar2

E E = .


98/125

97

Clculo de E2 :

Sabemos que:

2 2 2( ) ( )E V VE E z z = =

Por otra parte:

1

( )

1

( )

N

V i i

i

V

V

z z x

z z x dxV

=

=

=

(La ley real desconocida se calcula, en el caso de ser posible, por el promedio de las

leyes de todos los puntos x dentro de V). La integral anterior puede ser simple, doble o

triple. Luego el error es la diferencia entre una sumatoria y una integral:

1

1( ) ( )

N

i i

i V

z x z x dxV

=

=

Al desarrollar 2 y tomar luego la esperanza matemtica, se demuestra la frmula

siguiente:

2

21 1 1

1 12 ( , ) ( , ) ( , )

N N N

E i i i j i j

i i iV V V

x x dx x y dxdy x xV V

= = =

=


99/125

98

Que constituye la frmula fundamental para el clculo de E2.

Por ejemplo, si se calculan con esta formula las varianzas del error para los tres casos

de la figura IV.6, se tendrn las desigualdades:

Figura IV.6. Varianza del error en tres casos.

En la expresin de E2(en notacin condensada) (p, q) significa el valor numrico de

(h) (modelo o ecuacin), siendo h el vector que une los puntos p y q:

Figura IV.7: Vector que une los puntos p y q.

Antes de explicar cmo se calculan los trminos en forma numrica, observamos que

E2depende de:


100/125

99

N es decir, el nmero de datos

xi es decir, las coordenadas de los datos

V es decir, la geometra y el tamao del bloque o zona V

(h) es decir, de la regularidad o irregularidad de las leyes

i es decir, del mtodo de estimacin

Significado de los trminos en la expresin de E2:

En la expresin anterior xirepresenta las coordenadas de los datos; x ( y) representa

un punto variable dentro del bloque (o zona) V. En el clculo de la frmula fundamental

se supone que se conoce el modelo de variograma.

i) Trmino (xi, xj): Representa el valor de (h) siendo h el vector que une los

puntos xiy x

j:

Figura IV.8: Vector que une el dato en xicon el dato en xj.


101/125

100

i) Trmino

1( , )

i

V

x x dxV

: Representa el valor medio de la funcin (h) (h es el

vector que une xicon x), siendo x un punto variable dentro de V:

Figura IV.9: El punto xi es fijo, el otro punto es variable dentro de V.

En la prctica la integral anterior se calcula por discretizacin de V en k puntos.

Entonces, la aproximacin es:

1

1 1( , ) ( )

k

i j

jV

x x dx hV k

=

Esta aproximacin es mejor cuando el nmero k de puntos dentro de V es ms grande.

La prctica recomienda un nmero mnimo de puntos dentro de V de manera de

obtener una precisin aceptable:


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101

i) Si V es bidimensional: k 36 ptos.

ii) Si V es tridimensional: k 64 ptos.

Se puede tomar un valor de k superior a los recomendados, pero los procesos

computacionales sern ms lentos.

iii) Trmino 2

1( , )

V V

x y dxdyV

: Representa el valor medio de la funcin (h)

(h es el vector que une x con y) siendo x e y dos puntos variables dentro de V:

Figura IV.10: El punto x y el punto y describen independientemente l conjunto V.

Esta integral tambin se calcula por discretizacin de V en k puntos.

Entonces, la aproximacin es:

2 21 1

1 1( , ) ( )

k k

ij

i jV V

x y dxdy hV k

= =


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102

El clculo numrico de E2 es entonces posible. Se puede utilizar un programa

computacional para calcular E2 o bien 2E.

Ejemplo: En el yacimiento istropo de la figura III.35 , se tiene que:

2 2( , ) 0.417x y x y

h h h h = +

Individualizamos el bloque siguiente:

Figura IV.11: Bloque con N=2 muestras.

a) Si se estima zV por zV= 0.5 Z(x1) + 0.5 Z(x2) = 38, un calculo computacional

proporciona: 2 E= 3.02

Luego:

zV = 38 3.02

(con 95% de confianza)


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103

b) Si se estima zVpor zV= 1 z(x1) = 35, se obtiene: 2 E= 2.84

Luego:

zV = 35 2.84

En este caso se utiliz un solo dato (contra 2 del caso anterior) y sin embargo se

obtuvo un error menor. La razn de esta aparente paradoja es que en el caso a) se

utiliz mal la informacin de los sondajes, atribuyndoles a ambos el mismo peso 0.5.

Es evidente que el dato z(x1) debe tener mayor peso que el dato z(x2).

c) Si se estima zV por zV= 0.75 z(x1) + 0.25z(x2) = 36.5, se obtiene 2E= 2.38.

Luego:

zV = 36.5 2.38

Como este error (con confianza del 95%) es menor que los dos anteriores, se elimina la

paradoja. Este ejemplo nos lleva a la conclusin que no basta con tener datos sino que

hay que utilizarlos bien (es decir, ponderarlos en forma adecuada). Sin embargo, nos

queda una inquietud (que responderemos en el captulo siguiente): Existe otra

ponderacin de los datos que nos proporcione un error menor?....


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104

Observaciones:

1. La frmula para el clculo de la varianza de estimacin o varianza del error2

E :

2

21 1 1

1 12 ( , ) ( , ) ( , )

N N N

E i i i j i j

i i iV V V

x x dx x y dxdy x xV V

= = =

=

No depende de las leyes z(x1), z(x2), . . . , z(xN) utilizadas en el estimador

ZV= iz(xi) (en estricto rigor s depende porque estas leyes se utilizaron en el

clculo de (h) ). Por consiguiente, se puede calcular la varianza del error en el

caso de agregar uno o ms sondajes adicionales. Se puede entonces cuantificar

la ganancia de precisin que aportara un reconocimiento suplementario.

2. Nos podramos plantear el problema inverso: Suponer que en el estimador ZV=

iz(xi) los pesos i son desconocidos y definir un criterio para calcularlos.

Intuitivamente vemos que el criterio debera ser: "encontrar los pesos i de

manera de minimizar E2". Esta es la idea del mtodo del krigeado.


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105

Captulo V

El Krigeado

V.1. Introduccin

En trminos mineros, el krigeado consiste en encontrar la mejor estimacin lineal

insesgada de un bloque o zona V considerando la informacin disponible; es decir, las

muestras interiores y exteriores a V.

Figura V.1: Volumen a estimar.

El krigeado atribuye un peso i a la muestra z(xi). Estos pesos i se calculan de

manera de minimizar la varianza del error cometido.

Inters del Krigeado

El inters del krigeado proviene de su misma definicin: al minimizar E2 estamos

seguros de obtener la estimacin ms precisa posible de V o equivalentemente, de

sacar el mejor provecho posible de la informacin disponible.


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106

El nombre krigeado proviene de los trabajos de Daniel Krige en las minas de oro

sudafricanas de Rand, en los aos 50. La teora fue formalizada una dcada ms tarde

por el geomatemtico francs Georges Matheron.

Figura V.2: Dos bloques contiguos en la oficina Ossa (ver figura I.13). El color amarillo representamineral (con ley 1) y el blanco estril (con ley 0). Los crculos representan los datos. Se observa que, en

general, es necesario utilizar datos externos al bloque.

El inters prctico ms importante del krigeado, proviene, no del hecho que asegura la

mejor precisin posible, sino ms bien porque permite evitar un error sistemtico. En la

mayora de los depsitos mineros, se deben seleccionar, para la explotacin, un cierto

nmero de bloques, considerados como rentables y se deben abandonar otros bloques

considerados no-explotables. Daniel Krige demostr que, si esta seleccin se realizara

considerando exclusivamente las muestras interiores a cada bloque, resultara

necesariamente (en promedio) una sobre-estimacin de los bloques seleccionados. La

razn de este problema es que el histograma de las leyes reales de los bloques tiene

menos leyes extremas, ricas o pobres, luego tiene ms leyes intermedias que el

histograma calculado con las muestras interiores, y, si se calcula el efecto de una

seleccin sobre este ltimo histograma, los paneles eliminados sern en realidadmenos pobres que lo que se haba previsto, y los paneles conservados menos ricos

(figura V.2).


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107

Figura V.3: Histograma de bloques y de muestras.

De acuerdo a lo expresado anteriormente, el krigeado define el estimador lineal:

1 1 2 2 ( ) ( ) ... ( )K N Nz z x z x z x = + + +

con la condicin de insesgado (llamada tambin condicin de universalidad):

1 2 . .. 1N + + + =

Los pesos i se calculan de manera de minimizar la varianza

E2 del error

= ZK - ZV, en que ZVes la ley media desconocida de V.

Como es natural, el krigeado atribuye pesos altos a las muestras cercanas a V y pesos

dbiles a las alejadas. Sin embargo, esta regla intuitiva puede fallar en ciertas


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108

situaciones en las cuales se habla de efecto de pantalla o de transferencia de

influencia.

Estudiaremos estos conceptos con un ejemplo: La figura siguiente muestra un bloque

que debe ser estimado a partir de 8 muestras S1, S2, . . . , S8.

Figura V.4: Transferencia de influencia y efecto de pantalla.

El krigeado encontrar en este caso, suponiendo isotropa espacial:

i) 1i (i = 2, 3, . . . , 8)

La muestra S1es la de mayor peso.

ii) 2,3i (i = 4, 5, . . . , 8)

Las muestras S2y S3tienen mayor peso que las muestras S4,S5, . . . , S8

iii) 60

Se dice que la muestra S5hace pantalla a la muestra S6.

iv) 45+ 6+ 7+ 8


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109

Se dice que hay una transferencia de influencia; es decir, la influencia de la

muestra S4se reparte entre las muestras S5, S6, S7y S8. Se puede afirmar que

el krigeado desagrupa la informacin.

La menor o mayor intensidad de los efectos anteriores depende, evidentemente,

del variograma (efecto de pepita, meseta, alcance).

Por ejemplo, si se tiene un variograma lineal istropo, (h)=|h| , se tienen los

pesos siguientes para estimar el bloque B:

Figura V.5: Variograma lineal y pesos del krigeado. Se tienen 3 muestras. Se produce undesagrupamiento

V.2. Las ecuaciones del krigeado

Para obtener las ecuaciones de krigeado hay que minimizar la expresin de E2

2

2

1 1 1

1 12 ( , ) ( , ) ( , )

N N N

E i i i j i j

i i iV V V

x x dx x y dxdy x x

V V

= = =

=

pero los ideben verificar la condicin:


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110

1

1N

i

i

=

=

El mtodo clsico para minimizar la expresin de E2 (igualar a cero las derivadas

parciales de E2respecto de 1, 2, . . . , N) no asegura que la suma de los isea 1.

En este caso hay que utilizar el mtodo de Lagrange, el cual explicaremos con un

ejemplo matemtico:

Ejemplo:

Minimizar la funcin A = x2+ y2 si x + y = 1. El mtodo de Lagrange define la funcin

A' siguiente:

A' = x2+ y2- 2(x + y - 1)

es una incgnita auxiliar llamada parmetro de Lagrange. Observamos que A' es

una funcin de tres variables: x, y, . Por otra parte, si se verifica la condicin x + y =1, entonces A' = A.

El mtodo de Lagrange consiste en igualar a cero las derivadas parciales de A':

A' / x = 2x - 2= 0

A' / y = 2y - 2= 0

A' / = -2(x + y - 1) = 0

Es fcil de ver que la solucin de este sistema es:

x = 0.5


112/125

111

y = 0.5

= 0.5

Luego el mnimo de A' de A es:

Ao= (0.5)2+ (0.5)2= 0.5

Por lo general el parmetro carece de significacin fsica.

En el caso del krigeado hay que considerar la expresin:

A' = E2 + 2(1+ 2+ . . . + N- 1)

Se demuestra que al realizar N + 1 derivaciones se obtiene el sistema de ecuaciones

siguiente:

1(x1, x1) + 2(x1, x2) + . . . + N(x1, xN) + = (1/V)v(x1, x)dx

1(x2, x1)+ 2(x2, x2)+ . . . + N(x2, xN) + = (1/V)v(x2, x)dx

1(xN, x1)+ 2(xN,x2) + . . . + N(xN, xN) + = (1/V)v(xN, x)dx1 + 2 + . . . + N = 1

que es un sistema lineal de N+1 ecuaciones con N+1 incgnitas (1, 2, . . . , N, )

Se demuestra que el sistema siempre tiene solucin (se supone que el modelo de (h)

es autorizado), salvo el caso en el cual existen dos (o ms) muestras diferentes con las


113/125

112

mismas coordenadas: Este caso no debera presentarse en la prctica pero a veces

ocurre, lo cual hace necesario una revisin previa de la base de datos.

El mtodo que hemos presentado se conoce como krigeado ordinario y se puede

aplicar siempre que la variable regionalizada no presente una deriva en la vecindad de

estimacin.

Varianza del error.

Se demuestra que la expresin de E2se simplifica, obtenindose:

2

21

1 1( , ) ( , )

N

E i i

i V V V

x x dx x y dxdyV V

=

= +

Ejemplo 1:

En el caso del yacimiento istropo de la figura IV.10, estudiado anteriormente:

Figura: V.6: Bloque a krigear, en negro la ley de la muestra, en azul el nmero de la muestra.


114/125

113

1 1 2 2 ( ) ( )Vz z x z x = +

se obtiene, con la ayuda de un programa computacional:

1 = 0.77

2 = 0.23

ZV= 0.77 x 35 + 0.23 x 41 = 36.38

2 E= 2.37

ZV= 36.38 2.37 (con 95% de confianza)

Ejemplo 2:

En el caso del yacimiento anistropo estudiado anteriormente en la figura III.26, se

tiene el bloque siguiente :

Figura V.7: En negro leyes de cobre, en rojo nmero de la muestra.


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114

1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Vz z x z x z x z x z x = + + + +

Al usar un programa computacional, se obtienen los ponderadores siguientes:

1 = 0.47

2 = 0.20

3 = 0.20

5 = 0.08

4 = 0.08

2E= 0.12

0.61 0.61 0.12V Vz z = =

Vemos que el krigeado ha considerado la anisotropa, asignando mayor peso a los

datos 2 y 3 que a 4 y 5.

Krigeado Puntual

En algunas ocasiones, en vez de estimar la ley media de un bloque V, interesa estimar

la ley en un punto x0(problema de interpolacin).

Corresponde al caso particular en que el volumen V tiende a cero. Se obtiene el

sistema siguiente:


116/125

115

1(x1, x1) + 2(x1, x2) + . . . + N(x1, xN) + = (x1, x0)

1(x2, x1) + 2(x2, x2) + . . . + N(x2, xN) + = (x2, x0)

1(xN, x1)+ 2(xN,x2) + . . . + N(xN, xN) + = (xN, x0)

1 + 2 + + N = 1

con la varianza:

20

1

( , )N

E i i

i

x x =

= +

Figura V.8: Krigeado del punto x0. Se puede generar una grilla de valores interpolados al hacer variar x0.Esta tcnica tiene aplicacin en la cartografa automtica y en la simulacin de leyes.


117/125

116

El krigeado puntual tiene la propiedad de ser un interpolador exacto en el sentido de

que si se desea estimar la ley en un punto conocido (por ejemplo el punto A de la figura

V.7), el krigeado proporciona la ley del dato con una varianza E2= 0. Se dice que el

krigeado puntual "pasa por los puntos":

Figura V.9: Krigeado puntual en una dimensin versus interpolador de mnimos cuadrados.

Esta propiedad no la tienen otros interpoladores tales como los mnimos cuadrados.

V.3. Propiedades del Krigeado

Las propiedades ms importantes del mtodo de krigeado son:

a. Propiedad de simetra

Si (h) es istropo, entonces datos que son simtricos respecto de V y con respecto a

los otros datos tienen pesos iguales.


118/125

117

Figura V.10: Propiedad de simetra del krigeado.

En el ejemplo de la figura V.10:

1 = 1

2 = 4 = 6 = 8

3 = 5 = 7 = 9

Esta propiedad era til cuando se resolvan los sistemas de krigeado a mano

b. Composicin de krigeados

Sean dos volmenes disjuntos V1 y V2; sean z1 y z2 los estimadores de krigeado

respectivos:

Figura V.11. Composicin de krigeados.


119/125

118

Entonces el krigeado z de V1V2es:

1 1 2 2

1 2

V z V z

zV V

+=

+

Es decir una ponderacin por volmenes o por tonelajes.

Esta relacin no es vlida para las varianzas: si se desea conocer la varianza es

necesario krigear el bloque V1V2 o bien utilizar una aproximacin.

V.4. Vecindad de Estimacin.

Figura V.12: Vecindad de estimacin. Para el krigeado no importa la agrupacin de datos al ladoizquierdo del bloque (el krigeado desagrupa la informacin). Cul radio tomar?


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119

En estricto rigor, el krigeado de un bloque V debera realizarse considerando todos los

datos disponibles (krigeado completo). Si

estimacion de recursos mineros

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