Experiences in the development and Application of Mathematical Models in Hydrology and Water Resources in Latin America (Proceedings of the Tegucigalpa Hvdromath Symposium, September 1983). lÂHSPubl.No.152.

SIMULACION DE CAUDALES CON LARGA MEMORIA

Ricardo A. Smith

CENTROINTERAMERICANO YDESARROLLO INTEGRAL DE AGUAS Y TIERRAS Mérida, Venezuela

RESUMEN

Desde los afios 60 diferentes tëcnicas y' modelos de simulaciôn es-tocâstica han sido sugeridas en la literatura para el anâlisis de se­ries de tiempo hidrologicas y su aplicaciôn en la generaciôn de info£ maciôn que permita la planificaciôn, operaciôn y manejo de sistemas de recursos hidrâulicos de una manera mas racional. Estas técnicas de simulaciôn estocâstica podrîan dividirse o clasificarse, en forma gene rai, en dos grandes grupos de acuerdo a su capacidad para representar la persistencia présente en las series de tiempo hidrologicas. El pri mer grupo lo forman los modelos de memoria corta que tratan de repre­sentar la persistencia a corto plazo (autocorrelaciones de orden bajo) normalmente présente en las series hidrologicas. El otro grupo esta formado por los modelos de memoria larga los cuales tratan de repre -sentar la persistencia a largo plazo (en general representada por el coeficiente de Hurst), cuya presencia en las series hidrologicas no es tan aparente como la anterior.

El propôsito principal de este trabajo es hacer una revision de los modelos estocâsticos sugeridos en la literatura que preservan per_ sistencias a largo plazo. Inicialmente se présenta una introduccion a la simulaciôn estocâstica en hidrologîa, luego una secciôn en donde se discute el coeficiente de Hurst, considerado como el indicàdor de la presencia o ausencia de dependencias a largo plazo en series hidro­logicas. Luego se presentan una série de secciones en donde se descri_ ben brevemente los modelos de simulaciôn estocâstica que supuestamen_ te logran preservar, entre otras caracterîsticas, la persistencia a largo plazo. Finalmente, se présenta una secciôn de discusiôn, conclu_ siones y recomendaciones sobre los modelos presentados y su potencia-lidad en hidrologîa.

INTRODUCCION

La posibilidad de usar la teorïa de probabilidades y estadîstica en el anâlisis de las secuencias hidrologicas de caudales ya habïa si_ do sugerida desde hace casi 70 afios (Hazen, 1914; Sudler, 1927), pero

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solo hasta 1954 (Barnes, 19S4) se introdujo, de una manera muy preli­minary la generaciôn sintética de caudales de un rîo, usando tablas de numéros aleatorios normalmente distribuidos. Es solo hasta los a-nos 60 cuando se présenta un desarrollo formal del modelamiento esto_ câstico en hidrologîa oon la introduccion y aplicaciôn de modelos au-toregresivos en el modelamiento de series de caudales anuales y pericS dicos (Thomas y Fiering, 1962; Yevjevich, 1963). Desde entonces, en hidrologîa se ha realizado un gran esfuerzo para tratar de mejorar los modelos propuestos inicialmente, a fin de desarrollar nuevos modelos, para justificar fïsicamente algunos de ellos y para estudiar su impa£ to en el planeamiento, diseno y operacion de sistemas de recursos hi-drâulicos. En hidrologîa, la literatura en estos aspectos es rica y muy variada (Chiu, 1972; Klemes, 1974; Jackson, 1975; Lawrence y Ko-ttegoda, 1977; McLeod y Hipel, 1978). Supuestamente cada uno de los modelos introducidos para ser usados en hidrologîa tienen el proposi-to de reproducir las principales caracterîsticas estadîsticas de las secuencias histôricas, y aunque todos ellos tienen sus méritos han si_ do criticados por algunas de las siguientes razones (Salas et. al., 1980): por no reproducir persistencias de corto plazo, por no reprodu­cir persistencias de largo plazo, por là dificultad que se puede te-ner en la estimacion de parâmetros, por el numéro de parâmetros, por no poderse justificar fïsicamente, y por las dificultades en generar muestras sintëticas de gran tamano.

Un procedimiento sistemâtico para el modelamiento de series hidro logicas consta de seis pasos (Salas y Smith, 1980): 1. Identificacion de la estructura del modelo, 2. Identificacion del tipo de modelo. 3. Identificacion de la forma del modelo, 4. Estimacion de los parâ­metros del modelo, 5. Chequeo del modelo, y 6. Evaluaciôn de las in -certidumbres en el modelo. La identificacion de la estructura del mo_ delo consiste en determinar si se va a usar un modelo univariado o multivariado, o la combinaciân de un modelo univariado con uno de des_ agregaciôn, o una combinaciôn de un modelo multivariado con uno de desagregaciôn, etc. Esta etapa del modelamiento estocâstico dépende de las caracterîsticas del sistema de recursos hidrâulicos, de las ca racterîsticas de las series hidrologicas y de la experiencia y cono-cimiento de la persona encargàda del modelamiento. Una vez que la es_ tructura del modelo ha sido definida el siguiente paso es définir el tipo de modelo a ser usado, es decir, définir, entre los muchos mode­los alternatives disponibles en hidrologîa, cual es el que debe usar_ se para generar la informaciôn requerida. Muchos modelos han sido propuestos para su uso en hidrologîa y entre ellos se encuentran: los modelos Autoregresivos (Thomas y Fiering, 1962; Yevjevich, 1963; Mata las, 1967), los modelos de Ruido Normal Fraccionado (Mandelbrot y Wa-llis, 1958; Matalas y Wallis, 1971) los modelos autoregresivos con Promedio Movil (Carlson, et.al, 1970; O'Connell 1971), los modelos de la Lînea Partida (Mejîa, 1971), los modelos de Desagregaciôn (Va­lencia y Schaake, 1973), los modelos de Procesos Intermitentes (Yako_ witz, 1973; Kelman, 1977), y algunos otros. La decision de cuâl de estos modelos se debe usar dépende de las caracterîsticas fîsicas del proceso hidrologico, las caracterîsticas de las series hidrologi_ cas, y la experiencia, conocimiento, y preferencias de la persona en cargada del modelamiento.

Simulacios de Caudales con 269 Larga Memoria

Una vez que se ha escogido el tipo de modelo es necesario iden-tificar su forma. Esto incluye entre otras cosas définir el orden del modelo si' es del caso, définir si la série hidrologica a ser mo-delada es asimêtrica o no, y si lo es, définir si esta asimetrïa va incluïda de alguna forma en el modelo, usando una distribucion asime_ trica para este, définir para las series periodicas si la correla-crôn de perîodo a perîodo es importante o no, si las caracterîsticas periodicas- pueden ser ajustadas por funciones como series de Fourier, etc, El proceso de identificaciôn de la forma del modelo dépende de las caracterîsticas de las series hidrolôgicas y de la experiencia y conocimiento de la persona encargada del modelamiento. Una vez défi nida la forma del modelo, el siguiente paso es estimar los parâmetros del modelo por alguno de los mêtodos disponibles. Este modelo iden-tificado y estimado debe verificarse para probar si cumple con las suposicîones iniciales que se hicieron para su desarrollo y para ver

que tan bien représenta la série hidrologica historica. Las suposi-ciones iniciales que generalmente se verifican son las de normalidad e independencia de los residuos del modelo, cuando ëstos pueden ser ob tenidos-, Otra prueba consiste en comparar el correlograma del modelo con el de la série historica. Por medio de la generacion se puede ha-cer un anâlisis estadîstico que permita définir si el modelo identifi-cado y estimado reproduce las caracterîsticas estadïsticas historicas que se supone debe reproducir. Si el modelo identificado y estimado no pasa las pruebas anteriores entonces el tipo y forma del modelo, y a lo mejor hasta su estructura deben ser cambiados y el procedimiento anterior debe ser repetido hasta que se encuentre un modelo adecuado.

-Una vez que el modelo identificado y estimado se acepta como ade cuado se deben evaluar las incertidumbres inhérentes al modelamiento estocâstico que son de dos formas: incertidumbre en el modelo e in-certidumbre en los parâmetros. La incertidumbre en el modelo es el resultado del desconocimiento del verdadero modelo,y puede ser evalua_ da si hay alguna diferencia en los estadïsticos generados con modelos alternatives. La incertidumbre en los parâmetros se deben a que estos son estimados con un numéro limitado de observaciones, y puede ser de-terminada encontrando una distribucion para los parâmetros y usar el modelo con parâmetros muestreados de esta distribucion.

Se ha presentado en esta introduccion una sïntesis del modelamieri to estocâstico en hidrologïa. Como se anotô anteriormènte el esfuerzo se concentrarâ ahora en aquellos modelos que logran preservar persis-tencias de largo plazo, especîficamente, los modelos de Ruido Normal Fraccionado, los modelos Autoregresivos con Promedio Movil, y los mo­delos de la Lïnea Partida. El criterio utilizado en la literatura pa_ ra evaluar las persistencias a largo plazo es el conocido con el nom­bre del coeficiente o fenômeno de Hurst, nombrado en honor a Hurst despues de las investigaciones que este hizo con series de gran longi_ tud (Hurst, 1951) las cuales afios mas tarde impactarïan de una forma tremenda los aspectos prâcticos y teôricos del anâlisis de series de tiempo de fenômenos no solo hidrologicos sino tambiën geofîsicos. Se présenta ahora une seeciôn en donde se discute brevemente el coeficieri

270 R. Smith

te o fenomeno de Hurst y luego se presentan una série de secciones so bre los modelos antes mencionados.

EL FENOMENO DE HURST

En su estudio sobre la capacidad de almacenamiento de embalses a largo plazo Hurst (1951, 1956) empleo un estadîstico conocido con el nombre del rango de las desviaciones acumuladas el cual se define a continuaciôn. Si Xi, X2, ..., Xn représenta una secuencia de flujos de entrada anuales a un embalse durante n afios con media n, varianza <j2( i a i-ava suma parcial si se define como,

S J = j - i ( x l - ^ (D

y si Pn représenta el mâximo valor de S;, i = 1,,..,n y 0 n el menor

valor de S;, i = 1,...,n, el rango de las desviaciones acujruladas con

respecto a la media se define como,

•Rn = ^n - Qn (2)

Se tratarâ de presentar ahora una definicion con mayor sentido fisico de este estadîstico. La cantidad total de agua que entra al embalse durante los n afios esta dada como,

Dn = .S x, (3)

y para mantener en el embalse una descarga constante igual a la media de los flujos de entrada al mismo, se necesita remover cada ano una cantidad igual a la medida de los flujos de entrada al embalse, con una tasa de remocion tal que la cantidad

n 2

n i = i k

xi (4)

k

.2 x-, -i = i '

- k

n

n

S i = i

x î = Dk - k n

es la removida los primeros k afios. Entonces el exceso o deficiencia relativa a la cantidad removida durante los primeros k afios estarïa dada como,

* D k " | = i "•" " _!L_ S "l = uk - _k_ D n (5)

Si se define P n como el mâximo valor de D £ , k=1,...,n y Q n como el me

nor valor de Dv k=l n PS orir P „ n , "~ K , i,.,.,n, eb aecir, rn y yn representan el mayor

exceso y la mayor deficiencia, respectivamente, con relacion a la en-trega constante durante los-n afios. El rango de las desviaciones acu muladas con respecto a la media se define nuevamente usando la ecua-ciôn (2). Normalmente cuando se ha usado el valor estimado de la me­dia para définir el rango, este recibe el nombre del rango ajustado de

Simulation de Caudales 271 con Larga Memoria.

las desviaciones con respecto a la media, o simplemente rango ajusta-do.

En sus investigaciones Hurst (1956) calculé el valor de Rn para multiples series de los mas diversos tamanos y cada valor de Rn lo dividiô por la desviaciôn tïpica Sn de la série de n observaciones, ob_ teniendo el estadïstico Rn/Sn conocido con el nombre del rango ajuste do reescalado. Hurst encontro que este estadîstico variaba con el ta-mano de la muestra n como,

Rn ~ n ,k Sn 2 (6j

en donde K" podrîa tomar un valor entre 0 y 1 , encontrando que para to-dos los fenomenos estudiados el valor promedio de k fue de 0.73 con una desviaciôn tipica de 0.08. Hurst (1956) y Feller (1951) encontra_ ron independientemente que el valor esperado del rango ajustado para un proceso normal puramente aleatorio con n grande estaba dado como,

E fn] - (nJE ) V2 6 (7)

en donde o es la desviaciôn tipica de la poblacion del proceso. El he cho de que el exponente k en la ecuacion (6) no sea igual al exponente 0.5 de la ecuacion (7) es lo que se conoce con el nombre del fenomeno de Hurst, La ecuacion(6) podrîa escribirse en forma mas general (Man­delbrot y Wallis, 1968) como,

Rn = C nh

Sn (8)

en donde h ha recibido el nombre genérico de coeficiente de Hurst y C es otra constante. En hidrologia, el estimado de h para pequenas mues_ tras se dénota en general como H.

Muchas explicaciones se han tratado de dar a la ocurrencia del fe_ nômeno de Hurst, taies como la asimetrïa, transicion, no estacionarei-dad, y la autocorrelacion. La asimetrïa définitivamente no es causa de la ocurrencia de este fenomeno ya que se ha demostrado que el com-portamiento del rango ajustado reescalado correspondiente a diferentes procesos estocâsticos no dépende de la distribucion marginal del proœ so. La autocorrelacion, cuando se usan modelos de tipo autoregresivo, tampoco debe ser la causa de este fenomeno ya que la memoria de estos procesos es extremadamente corta. La transicion establece que si se tuvieran registros suficientemente largos el coeficiente de Hurst h tenderâ a 0.5. Esta causa no puede ser probada pues este tipo de re­gistros no existe. La ultima de las posibles explicaciones del fenome no de Hurst es la no estacionareidad en la media (Hurst, 1957; Klemes, 1974), pero esta es una causa que pareciera no deseable pues aquellos modelos usados en generacion de series sintéticas, que inclusive repro_

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ducen el coeficiente de Hurst, son modelos de procesos estocasticos e_s tacionarios. Como se puede ver no existe entonces una causa obvia o directa que explique claramente la ocurrencia del fenômeno de Hurst.

El coeficiente de Hurst puede ser visto como la pendiente de la relacion lineal entre 1n(Rn/ Sn) y 1n(n), . Varias formas de estimaciôn de esta pendiente han sido sugeridas en la literatura. Hurst (1951) sugiere estimar el exponente K para cada punto como,

K n = log [Rn/Sn] / log ["n/2J (9)

y luego estima como exponente K al promedio de estos coeficientes, Hurst (1951 ) tamb/ién sugiere estimar este exponente calculando prirae-ro el rango ajustado reescalado R£ = Rn/Sn promedio y luego estimar el exponente K como,

K = log jRn*j / log [n/2] QQ-l

Gtra forma de esizimaciôn sugiere dividir la série de n obseryaciones en subseries de tamafio m, y para cada subserie de longitud m se estima Kmfi, en donde el subîndice i se refiere a Tas diferentes subseries de tamafio m. La pendiente de la lînea log [ R ^ Î] contra log [nj es un es-timado del exponente H (Mandelbrot y Wallis, 1969), También se puede estimar H como la pendiente de la lînea (Mandelbrot y Wallis, 1969),

log [RmJ = a + H log [m] para nQ m < n

estimada usando el método de mînimos cuadrados, Otras formas de esti­maciôn de K y H pueden s.er encontradas, en la literatura como el estima dor local de la pendiente H sugerido por Salas y Boes 0 974;.

Los modelos presentados en la literatura, capaces de preservar el fenômeno de Hurst, son el modelo de Ruido Normal Fraccionado, el mode-lo de la Lînea Partida, y -el modelo Autoregresivo de Promedio Movil. Cada uno de estos modelos se présenta ahora con algûn detalle.

EL MODELO DE RUIDO NORMAL FRACCIONADO

El modelo del Ruido Normal Fraccionado RNF) esta basado en el pro_ ceso estocâstico del movimiento Browniano, el cual es un proceso esto-câstico B(t) definido en el campo contînuo tal que los incrementos de-finidos como Bft+ti) son normalmente distribuîdos con media cero, va-rianza u e independientes para intervalos de tiempo no superpuestos. El movimiento Browniano fraccional (MBF) se define como el promedio mo vil de un proceso incremental en el campo contînuo dB (t) = B(t + dt) -B(t) en donde los incrementos anteriores a B(.t) son pesados por el fac tor (t - s)H-0.5. En este factor el exponente H représenta el coefi­ciente de Hurst y sôlo.tiene significado si 0.5 < H < 1. Heurïstica-mente el MBF puede entonces definirse como,

t - B H (t) =T (t-S)H-°-5 dB(s), - o o < t < o o (11)

J~ oo

Simulation de Caudales 273 cou Larga Mcmoria.

El movimiento Browniano fraccional en el campo discreto (MBFCD) se de-fine tomando incrementos unitarios de BH(.t) hasta el tiempo t y se pue de escribir como, ~

bfefel = BH(t] - BH(t-1)

o sea, t

b-t(H) = f K(t-S; H) dB(S), t = 0, -f 1 , + 2, . . . (12)

en donde KCt-S;H) es la funcion Kernel de variacion continua definida por la ecuaciôn (11).

Una de las caracterîsticas mas importantes del movimiento Brownia no es la autosimilaridad, es decir, la invarianza estadîstica con res­pecte a cambios en la escala de tiempo. En general se pudiera decir que aiato-similaridad significa que las variables aleatorias B(t+u) ••--.Bft) y{(B(t+ur) - B(t)}/ r0-5 tienen la misma distribuciôn, es decir, las propiedades de la distribuciôn no cambian cuando se cambia la esca la de tiempo.

El ruido normal fraccionado en el campq discreto esta dado por la discretizaciôn de una realizaciôn del MBFCD, lo cual significa que ca-da intervalo de tiempo debe subdividirse en un conjunto de m subinter-valos igualmente espaciados y para ca^a u .o d= esuos Subintervalos se yenera un numéro aleatorio normalmente distribuïdo con media cero y va rianza m . La integral dada en la ecuaciôn (12) es entonces aproxi-mada por una sumatoria en donde M indicarâ la memoria del proceso, y puede escribirse como,

mt-1 Xt = n=mU-M)

Kft~ ^ H> Gn(m-1), t = 0, + 1,+ 2,...(13)

en donde Gn(m- e s ^a secuencia de variables aleatorias independien-tes y distribuïdas N(0; m"""1). Esta ecuaciôn anterior fue bastante usa_ da en el desarrollo y uso inicial del RNF en hidrologîa. En la prime­ra aproximacion conocida como tipo I el Kernel esta definido como en la ecuaciôn (11) y con m = 10, y en la segunda aproximacion conocida como tipo II el Kernel esta definido como (H-0.5)uH_1-5 y m=1. Estas aproximaciones han sido discutidas en detalle por Matalas y Wallis (1971) y Wallis y Matalas (1970) pero se ha mostrado que ambas no solo requieren de excesivo tiempo de computaciôn sino que pudieran llegar a dar resultados insatisfactorios (Mandelbrot, 1971).

Tratando de superar estas limitaciones Mandelbrot (1971) sugirio el uso del modelo del Ruido Normal Rapidamente Fraccionado (RNRF) en el cual las propiedades de baja frecuencia de la funcion de covarianzs del MBFCD dadas como,

C(S,H) = {(S+1)2H _ 2S2H + (S_1)2H } ^ s = 0 / 1 f _ (14)

274 R. Smith

son reproducidas. Esta funcion de autocovarianza puede ser aproximada para rezagos grandes, que es lo que interesa en este caso, por la ex-presiôn,

2H— 2 C(S,H) = H(2H - 1)S S»0 (15)

la cual para todos los efectos prâcticos, produce resultados prâctica-mente indistinguibles de los producidos por la ecuaciôn (14). De esta manera, las autocorrelaciones son positivas para todo valor de S y para 0.5 < H < 1, y la integracion de la funciôn de covarianza entre cero e infinito es infinito, pero C(S, 0.5) = 0 para todo S.

El modelo del RNRF esta definido por la suma de dos componentes. La primera de ellas représenta las bajas frecuencias, o los efectos a largo plazo, y la segunda tiene que ver en la correccion de los efectos de las frecuencias altas. La primera componente Xt(L) es definida me-diante la suma de N procesos Markovianos-normales tipificados, cada uno de ellos afectados por un peso, y podrîa escribirse como,

N Xt(L) = S W°- 5

at(n,D) (16)

en dondeat(n,B) es el proceso Markoviano-normal tipificado con una auto_ correlaciôn de rezago uno igual a exp(-D~n), D es un parâmetro que toma valores en el rango de 2 a 4, y Wn son los pesos definidos como,

Wn = H(2H-1) (D1~H-DH~1) D2(H-1)n/r(3-2H) (17)

el cual se obtiene de la relacion entre las ecuaciones (15) y (16) (Lawrence y Kottegoda, 1977). Se han encontrado valores de N entre 15 y 20 que dan resultados aceptables (Chi et. al.,, 1973; Kottegoda, (1974)

La segunda componente Xt(H) esta definida como un proceso normal Markoviano con media igual a cero, varianza definida como,

1 - DH~1 H(2H-1)/r(3 - 2H)

y su autocorrelacion de rezago uno dada como,

N

22H-1-1 + J^ W0.5 (1-exp(-D-n))_B(H-1)H{2H-l)/K3-2H)

El modelo de (RNRF) esta entonces definido como,

Xt = Xt(L) + Kt(H) (18)

Los principales problemas con este modelo son la estimaciôn del coeficiente de Hurst de datos historicos y la suposicion de que los re

Simulation de Caudales 275 con Larga Memoria.

gistros histôricos son normalmente distribuîdos. Se han efectuado al-gunos intentos de usar distribuciones diferentes a la normal con este modelo (Matalas y Wallis, 1971) pero esta es un area que necesita ma­yor investigacion, sobre todo en el efecto que esto pudiera tener en la propiedad de auto-similaridad del movimiento Browniano. El modelo presentado de RNRF es un modelo estacionario y por lo tanto no puede usarse para representar el comportamiento de series hidrolôgicas periô dicas, pero esta dificultad puede obyiarse usando este modelo en combi nacion con el modelo de desagregaciôn de Valencia y Schaake, o con al-gûn otro de este tipo, tal como ha sido sugerido en la literatura (Gar cîa et. al., 1972) . ~

EL MODELO DE LA LINEA PARTIDA

El modelo de la Lînea Partida (LP) ha sido presentado como un mo­delo alternativo al modelo del Ruido Normal Fraccionado, que préserva persistencia a largo plazo (Mejïa, 1971; Mejia et. ai, 1972). El mo­delo de la Lînea Partida puede verse como una aproximaciôn al RNF en el mismo sentido del RNRF pero en donde las componentes son procesos de lînea partida en lugar de procesos Markovianos normales.

Aunque se han presentado algunas aplicaciones del modelo (Garcia et. al, 1972; Curry y Bras, 1979) este modelo pareceria mas complica-do de desarrollar que el modelo RNRF. En este trabajo se présenta en forma general el modelo LP, siguiendo las sugerencias hechas por Cu­rry y Bras (1979) las cuales, a pensamiento del autor, le dieron posi-bilidades operacionales al modelo.

Si Xt es una secuencia hidrologica anual, el modelo LP, que puede ser ajustado a esta secuencia, podrîa escribirse como,

K = ^ x + °x (•>"-) 1/2 Yt '20 a (19)

en donde ^x Y °x son la media y la desviacion tïpica de la secuencia hidrologica, a2 e s ia varianza de la componente aleatoria, y Yt esta definido como,

(20) 't = JIT 9i ei(t)

en donde gi son pesos y ei(t) es un proceso simple de lînea partida (PLP) definido como,

, « r (a; + i " a.)(t-jC,) (21)

en donde It( ) es un indicador definido como,

276 R. Smith

l t ( j C j , ( j + l ) C r ) 1 , para j C j j f t ^ ( j + l ) C ;

0 , para t en o t r o ran go

(22)

Ci es el parâmetro temporal del PLP, u es el desplazamiento aleatorio, y aj es la componente aleatoria.

Los parâmetros de este modelo son la media y la varianza de la sé­rie hidrologica, la varianza de la componente aleatoria, el numéro T de PLP a ser adicionado para définir Yt, los pesos gi de los diferentes PLP, los parâmetros temporales Ci del PLP, el desplazamiento aleatorio u, y otros parâmetros que se irân definiendo mâs adelante. La estima-cion de médias y varianzas se asumen conocidas por el lector.

El numéro T de PLP que deben ser sumados para définir el modelo LP puede ser estimadq usando la ecuaciôn

log (gN) log (B)

+ 2 [23)

en donde N es el numéro de observaciones en la série hidrologica, y Q y B son parâmetros cualitativos definidos por el analista y pueden ser cambiados por este de tal manera que se asegure un buen ajuste. Valo-res tîpicos de Q y B son de 5 y 4 6 de 6 y 3 respectivamente. Se selec ciona como T el mayor valor entero cercano al resultado obtenido con la ecuaciôn (23).

Los pesos gî pueden ser estimados como,

2(H-1)

= f4 r _ b ( B H - 1 _ B 1 - H , R2(H-l)(î-l),1/2 . . . X2(H-1) t>l» B J B } i-l,2,

.T (24)

T

<1 - ,£i 9? > 1 / 2 (25)

en donde b es un parâmetro dado como,

H(2H-1) (2H-2) (2H-3) (2H-4) (2H-5)

6 (23~2H 1) (26)

H es el coeficiente de Hurst que se puede estimar a partir de los re­gistres histôricos, usando alguno de los procedimientos descritos en la segunda seccion del présente trabajo, y C1 es el parâmetro temporal del PLP. Este parâmetro es estimado mediante un proceso iterativo me diante el cual se asume inicialmente un valor para C-\ y se calcula el~ coeficiente de autocorrelaciôn de rezago uno como,

Simulation de Caudales 111 con Larga Memoria.

Pi = 2(H-1) *-° i4E2

(2 " T-Q 1, »)

+ | ( 2 - I ) 3 IE(0.5,1)} B

en donde E = C-jBi y,

2(H-l)i (27)

led,») = { 1 si CaB1 > 1

0 para otro rango

I (0.5,1) = { ] P a r a °-5 <CiB' <1

0 otro rango

Con este valor de P* y el valor estimado del coeficiente de autocorrela cion de regazo uno pj usando las observaciones de la secuencia .hidrolo-gica un nuevo valor de C-j , llamado C 2, puede estimarse de la expresiôn dada como,

Pi + 4 Î ^ M B H - W - » ) ^ B2(H-D(.-IÎ

Pl 2(H-1) b l 3 ~B } i^i (28)

si el valor calculado de c 2 es menor que 1/2, el término de alta fre-cuencia dehe incluirse en la estimaciôn de C5. En este caso el coefi_ ciente Pj es.tarîa dado.por la ecuacion (27) mas el término de alta frecuencia dado como,

b C l 2 ( H - D B 1 - H - T

2(1-H) {(1

<*C (2 — - ) i (1 »)

Ci > 'Ci V ' ;

¥ (2 -J-)3 i r (0.5,1)} (29)

en donde los indicadores tienen el mismo significado expuesto anterior; mente. En este caso el nuevo valor de C-j denominado C 2, se obtiene de la relaciôn,

c22 (Pi - 1) = c* (p* -1) (30)

278 R. Smith

El valor de C2 obtenido usando la ecuacion (28) o la ecuacion (30) se compara con el valor asumido de C-| . Si son iguales el proceso iterati­ve se detiene y el valor estimado de C1 sera el valor calculado de C2

Si son diferentes se asume como nuevo valor de Ci el valor calculado de C2 Y se repite el proceso.

Sin pérdida de generalidad se puede asumir que la varianza de Y^ en la - 2

ecuacion (20) es 2/3 en cuyo caso la varianza o& de la componente alea-toria es 1. Si se asume que la componente aleatoria es normalmente dis_ tribuxda el coeficiente de asimetrîa de esta variable es igual a cero, pero si la asimetrîa de la muestra es significativa y desea preservar-se, el coeficiente de asimetrîa de la componente aleatoria puede ser es_ timado mediante la expresion.

ha - - ^ ( | ) 3 / 2 h x

* '-'

en donde hx es el coeficiente de asimetrîa de la muestra.

El modelo LP habîa sido prâcticamente descartado para su uso en hi_ drologîa debido no solo a la complejidad del mismo, sino también al gran numéro de parâmetros que tiene y que para cuya estimaciôn es nece-sario, en algunos casos, hacer ciertas suposiciones (Mejîa et.al., 1972); Garcîa et. al, 1972; Mejîa et. al, 1974; Lawrance y Kottegoda, 1977). Sin embargo, desde el trabajo de Curry y Bras (1979) en donde no solo se présenta una teprîa mas generalizada y mas sistemâtica del modelo, sino también se pres.enta su aplicacion en forma multivariada en la ge neracion de caudales para el rîo Ni la, la operatibilidad de este mode lo ha aumentado sustancialmente hasta hacerlo un modelo alternativo para procesos de larga memoria. Este modelo puede también ser usado en combinacion con algûn modelo de desagregaciôn para la generacion de series hidrologicas periodicas.

MODELOSTIPOARIMA

Desde la introducciôn de los modelos ARIMA, (Box y Jenkins, 1970) su uso en hidrologîa se ha expandido râpidamente no solo porque repre senta una forma sistemâtica de modelamiento estocâstico, sino también porque tiene un gran sentido fîsico con respecto a la representacion del proceso precipitaciôn-escorrentîa (Salas y Smith, 1980a, 1980b). Para hacer una concisa descripciôn del modelo se definen inicialmente los operadores B y V como,

t-1 BXt = X.

o sea,

BmX = X t t- (.32)

Simulation de Caudales 279 con I.arga Memoria.

y' VXt = Xt - Xt_1 = (1-B) Xt (33)

el operador V tiene como inverso el operador de sumatoria, es decir,

- 1 <° V X t = ,S0 xt_. - 0+B+3

2+...) X|.

= (l-B)-^ t (34)

El modelo autoregresivo de promedio môvil (ARMA) puede ser escri-to como,

Xt = •,Xt.1 + <M t_ 2 + + *pXt_p + at - 0 , 8 ^

- H - 2 " ' eq Vq (35)

en donde p y q representan el orden del modelo, 9- > l=>>•••>? r ep r e

senta los coeficientes autoregresivos del modelo, 8., i=1,...,q son los coeficientes de promedio môvil del modelo, y at es la componente aleatoria asumida normalmente distribuîda con media cero, varianza a2 a y no correlacionada en el tiempo. Los paramètres de este modelo son la media y la varianza de la série hidrologica, la varianza de la corn ponente aleatoria 6 , los p coeficientes autoregresivos, y los q coe­ficientes de promedxo môvil, es decir, un total de p+q+2 parâmetros.

Usando los operadores descritos anteriormente al modelo ARMA de la ecuaciôn (35) denotado ARMA (p,q) puede ser escrito como,

(1-4)1 B - foB2- -*pBP)Xt = ( 1 _ G I B " 02B2-....-eqB

q)at (36)

o sea,

(J)(B)Xt = B(B)at (37)

en donde (J)(B) y 6(B) son polinomios de B de orden p y. q respectivamen_ te. Este modelo debe cumplir con las condiciones de estacionareidad e invertibilidad. La condiciôn de estacionareidad establece que las raî ces del polinomio (J)(B)=0 caigan fuera del cîrculo unitario, mientras que la condiciôn de invertibilidad establece la misma condiciôn pero para el polinomio 8(B)=0.

Si Xt es no estacionario, pero las condiciones anteriores se man-tienen, el proceso podrîa escribirse como,

•(B) VdXt = 9(B)at (38)

en donde V représenta la d-ava diferenciaciôn del proceso Xt- El mo-

280 R. Smith

delo estocâstico de la ecuaciôn (38) recibe el nombre de modelo ARIMA (p, d,q). Aunque modelos ARIMA con d>0 podrîan usarse para predic-ciôn, estos modelos no son adecuados para la generaciôn sintética de caudales dada la no-estacionareidad del modelo. Se ha encontrado sin embargo que ciertos modelos ARMA (p,q), que en realidad son modelos ARIMA con d=0, poseen funciones de autocorrelaciôn que decaen muy lenta_ mente y que por lo tanto podrîan usarse para representar persistencias de largo término.

Uno de los modelos sugeridos para preservar persistencias de lar­go término es el modelo ARMA (1,1) (O'Connell, 1971, 1974) el cual pue_ de ser escrito como,

Xt = *iXt_1 + at - 6iat-1

o, escrito usando los operadores anteriores,

0-<friB)Xt = (1- 6iB) at

observe que este modelo podrîa tambiên escribirse como,

Y - 0 - 6iB) x - a

(1 - <hb)

que es una sumatoria infinita en at. vislumbrando la potencialidad del rao delo en preservar persistencias a largo plazo.

Las condiciones de estacionareidad e invertibilidad de este modelo estân dadas por -1 < d)i < 1 y -1 <r A <1 respectivamente. La fun-cion de autocorrelaciôn del proceso esta definida como,

p = ( f a - e Q Q - 4»i6i) 1 î + ef - 2 <hej

(42)

y Pk = *i Pk_! , k > 2 ( 4 3 )

que decae exponencialmente después de pi de acuerdo al valor de 01. Es_ tudiando el modelo ARMA (1,1) se ha encontrado que la region de parâme tros definida por 0<91<1, ' 0<<j>i<1, y <J)i>6i es de particular inte_ rés para los casos de preservaciôn de persistencia a largo plazo (0'Con_ nell, 1971, 1974).

Aunque teôricamente el coeficiente de Hurst de un proceso ARMA (1,1) es igual a 0.5, O'Connell (1971,1974) mostro que series sintéti-cas generadas con este modelo con (Jn cercano a uno son similares a las generadas con modelos RNF, y que por lo tanto este modelo puede llegar a representar el fenomeno de Hurst. La gran ventaja del uso de este

(39)

(40)

Simulation de Caudales 281 con Larga Memoria.

modelo es su sencillez y facilidad de uso con respecto a los dos ante-riores. Este modelo es de nuevo un modelo estacionario y puede usarse en combinaciôn con modelos de desagregaciôn para representar series hi drolôgicas periôdicas. Otra posibilidad es el uso de modelos ARMA con parâmetros periôdicos (Salas et. al., 1982).

COMENTARIOS FINALES

El uso de modelos con memoria larga en hidrologîa ha sido no so­lo controversial, sino tan apasionado que al hidrôlogo que esta en me­dio de esta guerra entre los "cortos" y los "largos" le es muy difîcil tomar partido. El argumento contra los modelos de memoria corta es que las series generadas muy a menudo no reproducen adecuadamente la distribuciôn de los déficits y la duraciôn de eventos extremos encon-tradas en la série histôrica. El argumento mas fuerte contra los mo­delos de memoria larga es que suposiciones taies como auto-similaridad no estân de acuerdo con la realidad y no pueden constituir una base pa_ ra la extrapolaciôn de los registros. Se pudiera decir que ninguno de los dos tipos de modelamiento modelan adecuadamente los efectos de Jo­sé y de Noê. El efecto de José es la apariciôn de secuencias signifi-cativamente largas bastante por encima del promedio, y el efecto de Noé es la apariciôn en la secuencia de algunas observaciones extremada mente altas de vez en cuando.

Observe que la decision sobre que tipo de modelo usar es équiva­lente a la decision sobre que propiedades estadîsticas histôricas de-ben preservarse en la generaciôn. Los hidrologos han estado de acuer­do en que propiedades como la media, la yarïanza, el coeficiente de asimetrîa (en algunos casos}, y el coeficiente de autocorrelaciôn de rezago uno deben ser reproducidas por los modelos. La discrepancia ha estado con respecto a la preseryaciôn de aquellos estadisticos que su-puestamente representan la persistencia a largo plazo, y aquellos que representan valores extremos. Se pudiera pensar que el coeficiente de autocorrelaciôn représenta la persistencia a corto plazo, que el coe­ficiente de Hurst représenta.la persistencia a largo plazo, y que los estadisticos relacionados con las corridas (longitud y suma). represen_ tan la frecuencia y magnitud de valores altos o bajos. Dado que la persistencia y las caracterîsticas de las corridas estân relacionadas con el fenômeno de Hurst, la discusiôn se ha centrado en la interpre-taciôn de este fenômeno, en los estadisticos que debeh reproducirse, en el modelo que debe usarse para reproducir esos estadisticos, y en el impacto que todo esto tiene en el diseno y operaciôn de sistemas de Recursos Hidrâulicos. Desafortunadamente la solucion a esta discusiôn esta sujeta a mas de un criterio subjetivo y fuera de los limites de una discusiôn cientîfica. Podrîa entonces decirse que ella dépende de la filosofîa del modelamiento, de la experiencia prâctica que se ten-ga en el uso de modelamiento estocâstico en hidrologîa, de las prefe-rencias del analista, y de otros factores similares. Sin embargo, ba sados en prâcticamente 30 afios de experiencia de modelamiento estocâs_ tico, del fenômeno de Hurst, y del diseno y operaciôn de sistemas de Recursos Hidrâulicos parecerîa que algunas conclusiones se podrian ha cer que arrojarian alguna luz sobre la discusiôn anterior. Por ejem-

282 R. Smith

plo, se ha demostrado que el fenômeno de Hurst puede ser el resultado de transicion del rango ajustado reescalado (Salas et. al. , 1979-), en cuyo caso los modelos mas sencillos tipo ARMA podrîan ser usados en la mayorîa de los casos ya que ellos reproducen este tipo de comporta miento en los registros histôricos. Esta experiencia desafortunada-mente no ha sido sistemâtica y generalizada pues los proponentes de uno u otro modelo se limitan a defender las caracterîsticas de su mo_ delo y no a ganar experiencia sobre su uso bajo multiples circunstan_ cias y como se compara con modelos alternatives.

Como se puede ver la discusion sobre el uso de modelos de memo-ria corta y de memoria larga podrïa continuar y continuarâ por mucho tiempo. La gran ventaja de los modelos de memoria corta no es solo lo sencillo de su estructura, sino también que estân tan generalize! dos que es posible encontrar codigos de computacion de uso general. Otra caracterîstica muy llamativa es que este tipo de modelo ha sido usado con aparente ëxito y bajo muchas diferentes circunstancias en la operaciôn y disefio de sistemas de Recursos Hidrâulicos. Estas ca racterîsticas los hacen ser unos modelos muy atractivos para su uso por el hidrologo prâctico que ha permanecido alejado de toda esta discusion teorica sobre el fenomeno de Hurst. Debe de todas maneras recordarse que este tipo de modelo ni siquiera intenta tener bajo con sideracion los efectos de José y Noê, tan importantes en cualquier es_ tudio hidrologico. Los modelos de memoria larga ademâs de sus desveii tajas de tipo teorico se le podrîan agregar como desventajas su com-plejidad matemâtica, y el hecho de que su uso no esta generalizado en hidrologîa y por lo tanto no se tiene una gran experiencia sobre su uso bajo diferentes, circunstancias. Sin embargo, este tipo de modelos de-ben recihir mayor atencion por parte de los hidrologos pues es el ûni_ co intento serio de mantener efecto como el de José.

Son pocos los intentos que se han hecho de usar modelos de memo­ria larga en el anâlisis de casos prâcticos en hidrologîa. Dentro de estas aplicaciones sobresale la efectuada por Curry y Bras (1978) en la cuenca del rîo Nilo para la generacion multivariada de caudales. En este estudio los. autores compararon diferentes esquemas de generacion en donde incluyeron el modelo multivariado de la LÎnea Partida. Este modelo no solo es presentado en detalle sino que también lo presentan en una forma mâs general y mucho mas operacional que lo ençontrado en la literatura cientîfica. Las conclusiones del estudio tienden a fa-vorecer el esquema de generacion que incluye el modelo de la LÎnea Par_ tida. Aunque la aplicacion del modelo fue en un paîs en vias de desa-rrollo (Egipto), las caracterlsticas tan especiales de la cuenca del rîo Nilo hacen que esta sea mas una aplicacion particular que general. En America Latina prâcticamente el uso de los modelos de generacion se ha limitado a los modelos de memoria corta, a pesar de que algunos la-tinoamericanos han participado en la formulaciôn y discusion de algu­nos de los modelos de memoria larga tales como J.M. Mejîa (Colombia), I. Rodriguez - Iturbe (Venezuela), L.E. Garcia (Guatemala), J.D. Salas (Peru) y R. Bras (Puerto Rico).

Teniendo en cuenta los comentarios anteriores se podrîan entonces

Simulation de Caudales 283 con Larga Memoria.

hacer las siguientes conclusiones sobre la posibilidad del uso de los modelos de memoria larga en hidrologîa:

1. Los modelos de memoria larga requieren de mayor atencion por par te de los hidrôlogos ya que es una alternativa que permite tener en cuenta el efecto de José.

2. Es necesario dedicar un gran esfuerzo a la divulgacion de estos modelos. Para esto es necesario sacarlos del contexto cientîfi-co y presentarlos de una manera mas operacional que garanticen su uso generalizado.

3. Se requière acumular mas experiencia "imparcial" sobre el uso de estos modelos bajo diferentes circunstancias de operaciôn y dise fio de sistemas de Recursos Hidrâulicos. Esta experiencia ayuda-râ a proponer estos modelos como una alternativa real y concreta a los modelos de memoria corta.

4. Existen algunas suposiciones teôricas en el desarrollo de estos modelos que requieren mayor investigacion como la suposicion de normalidad de los registros histôricos que algunos de ellos ha-cen.

5. A pesar de que el coeficiente de Hurst se ha mostrado como una herramienta adecuada para preservar dependencias a largo plazo y hacer que las secuencias generadas muestren el efecto de José, existe toda una discusiôn sobre este coeficiente, aun acerca de su existencia, sobre la cual el hidrologo debe estar alerta.

BIBLIOGRAFIA

Boes DC y Salas J.D, 1973. "On the expected Range and expected Ad­justed Range of Partial Sums of exchangeable Rondom Variables", /. Appl. Prob. 10, 671-677.

Boes D.C y Salas J. D. 1978. "Nonstationarity of the Mean and the Hurst Phenomenon", Water Res. Research, Vol. 14, pp. 135-143.

Chi M. Neal E. y Young G.K, 1973. "Practical Application of Fraction­al Brownian Motion and Noise to Synthetic Hydrology", Water Resour-Res. Vol 9, pp. 1523-3 533,

Garcia L. E. Dawdy, D. R. y Mejîa J. M. 1972. "Long Memory Monthly Streamflow Simulation by Broken Line Model", Water Resour. Res. Vol. 8, pp. 1100-1105.

Hipel K. W. y McLeod A.I. 1978. "Preservation of the Rescaled Adjust­ed Range, Part One - A Reassessment of the Hurst Phenomenon", Water Resour. Res, Vol 14, pp. 491-508.

Hurst H. E. 195.1. "Long Term Storage Capacity of Reservoirs" Trans. Am. Soc. Civ. Eng., Vol. 116, paper 2447, pp': 770-808.

284 R. Smith

Hurst H. E. 1957. "A Suggested Statistical Model for some Time Series Which Occurs in Nature", Nature (London), Vol. 180,, pp. 494.

Klemes V. 1974. "The Hurst Phenomenon - A Puzzle" WaterResour. Res. Vol. 10, pp. 675-688.

Kottegoda N. T. 1974. "Effect of Skewness in Three Stochastic River-flow Models on Crossing. Properties of Synthesized Data", Water Resour. Res, vol. 10, pp. 446-456.

Lawrance A. J. y Kottegoda N.T. 1977. "Stochastic Modelling of River-flow. Time Series (with discussion)", J. R. Statis. Soc. A, Vol. 140, pp. 1-47.

Mandelbrot B. B. 1971. "A Fast Fractional Gaussian Noise Generator", Water Resour - Res. Vol. 7, pp. 543-553.

Mandelbrot B. B. 1972. "Broken Line Process derived as an Approxi­mation to Fractional Noise", Water Resour, Res. Vol. 8, pp.1354-1356.

Mandelbrot B. B. y Wallis J. R. 1968. "Noah, Joseph and Operational Hydrology", Water Resour. Res., Vol. 4, pp. 909-920.

Mandelbrot B. B. y Wallis J. R. 1969. "Computer Experiments with Frac­tional Gaussian Noises", Parts 1,2, and 3, Water Resour. Res. Vol. 5, pp. 1164.

Mandelbrot B. B. y Wallis J. R. 1969. "Some Long-run Properties of Geophysical Records", Water Resour. Res. Vol. 5, pp. 321-340.

Mandelbrot B. B. y Wallis J. R. 1969. "Rooustness of the rescaled Range R/S in Measurement of Noncyclic long run statistical Depend­ence", Water Resour. Res. .Vol. 5. pp. 967-988.

Matalas N. C. y Wallis J. R. 1971. "Statistical Properties of Multi­variate Fractional Noise Processes", Water Resour. Res. Vol.7. pp. 1460-1468.

Mejîa J.M, Dawdy D. R. y Nordin CF. 1974. "Streamflow Simulation, 3, the B,roken Line Process and Operational Hydrology", Water Resour. Res. Vol. 10, pp. 242-245.

Mejîa, J.M. Rodriguez Iturbe I. y Dawdy D.R.. 1972. "Streamflow Simu­lation, 2, the Broken Line Process as a Potential Model for Hy-droloqic Simulation", Water Resour. Res' Vol. 8, pp. 931-941.

O'Connell P. E. 1971. "A Simple Stochastic Modelling of Hurst's Law", Procedings 1971 WarsawSymp. on Math Models in Hydrology. Vol. 1, Inter. Ass. of Sci. Hydrol. Paris, pp. 169-187.

Potter K.W. 1976.' "Evidence for Non-Stationarity as a Physical Expia-

Simulation de Caudales 285 con Larga Memoria.

nation of the Hurst Phenomenon", WaterResour. Res. Vol. 12 pp. 1Q47-1052.

Rodrîguez-Iturbe I., 1969. "Applications of the Theory of Runs to Hy­drology", Water Resour. Res. Vol. 5, pp. 1422-1.426.

Salas J. D. 3 972. '"Range Analysis for Storage Problems of Periodic-Stochastic Processes". C.S.U., Hydrol. Paper 57, Fort Collins.

Salas J. D. Boes D.C. Yevjevich V. y Pegram G.G.S. 1977. "On the Hurst Phenomenon", Procceed. 3erd. Int. Hydrol. Symp. Fort Collins.

Wallis J. R. y Matalas N. C., 1970". Small Sample Properties of H and K Estimators of the Hurst Coefficient h", Water Resour. Res, Vol. 6. pp. 1583-1594.

Kottegoda N.T. 1980. "Stochastic Water Resources Technology", John Wiley and Sons, New York.

Pegram G.G.3., Salas J.D. Boes D.C, y Yevjevich V. 1980. "Stochastic Properties of Water Storage", C.S.U. Hydrol. Paper 100, Fort Co­llins.

Beard L. R. 1965. "Use of Interrelated Records to Simulate Streamflow", Jour. Hydr. Div. ASCE, Vol. 1 (HY5) , pp. 13-22.

Carlson R.F. McCormich J. A. y Watts P.G. 1970. "Application of Linear Models to Four Annual Streamflow Series", Water Resour. Res, Vol. 6.. pp. 1070-3 078.

Feller W. 1951. "The Asymptotic Distribution of the Range of Sums of Independent Random Variables", Ann. Math. Stat. Vol. 22, pp.427-432.

O'Connell P.E. 1974. "Stochastic Modelling of Long-Term Persistence in Streamflow Sequences", Ph.D. Thesis, Imperial College, London.

Salas J. D. y Boes D.C. 1974. "Expected Range and Adjusted Range of Hydrologie Sequences", Water Resour. Res., Vol. 10, pp.457-463.

Salas J. D. Boes D.C. Yevjevich V, y Pegram G.G.S. 1979, "Hurst Phenom enon as a pre-asymptotic Behavior", Jour, of Hydrol, Vol. 44, pp. 1-15.

Scheidegger A.E. 1970. "Stochastic Models in Hydrology", Water Resour. Res. Vol. 6. pp. 750-755.

Rodriguez Iturbe I, Mejîa J.M, y Dawdy D.R. 1972. "Streamflow Simula­tion, 1, A new look at Markovian Models, Fractional Gaussian Noise., and Crossing Theory", Water Resour. Res. Vol. 8, pp. 921-930.

Valencia D. y Schaake.J.C. 1972. "Disaggregation Processes in Stochas­tic Hydrology", Water Resour. Res. Vol. 9, pp. 580-585-.

286 R. Smith

Jackson, B.B. 1975. "The use of Streamflow Models in P lanning" , Water Resour. Res. Vol. 11 , pp. 54-63.

Barnes, F.B. 1954. "Storage Required for a City Water Supply", Jour. Inst. Eng. Australia, Vol. 26, pp. 198-203.

Box G.E.P. y Jenkins G. 1970. "Time Series Analysis, Forecasting and Control", 1 s t . ed. , Holden-Day, San F ranc i s co .

Hazen A. 1914. "Storage t o be Provided in Improving Reservoi rs for Municipal Supply", Transac. ASCE, Vol. 77, pp. 1539-1640.

Sudler C. E. 1927. "Storage Required for the Regulat ion of Streamflowi, Transac. ASCE, Vol. 9 1 , pp. 622-660.

Thomas H. A. y F i e r i n g . M.B. 1962. "Mathematical Synthes i s of Stream-flow Sequences for the Analysis of River Basin By S imula t ion" , en_ Design of Water Resources Systems, A Maas E d i t o r , Harvard Univer­s i t y P r e s s , Massachuse t t s .

Yevjevich V. M. 1963. "Fluctuation of Wet and Dry Rears. Part 1, Re­search Data Assembly and Mathematical Models", CSU Hydrol. Paper 1, For t C o l l i n s .

Chiu C. L. 1972. "S tochas t i c Methods in Hydraul ics and Hydrology of Streamflow", Geophysical Surveys, Vol. 1, pp. 61-84.

Jackson B.B. 1975. "Markov Mixture Models for Drought Lengths" , Water Resour. Res., Vol. 1 1 . pp. 64-74.

Mejîa J . M. 1971. "On the generation of Multivariate Sequences exhibit­ing the Hurst Phenomenon and Some Flood Frequency analysis". p h -D. D i s s e r t a t i o n , Colo. S t a t e Univer. Fo r t C o l l i n s .

Matalas N.C. 1967. "Mathematical Assessment of Syn the t i c Hydrology", Water Resour. Res., Vol. 3 , pp. 937-945.

Weiss G. 1973. "Filtered Poisson Processes as Models for Streamflow Data", Ph. D. T h e s i s , Imper ia l Col lege , London.

Yakowitz S .J . 1973. "A S t o c h a s t i c Model for Daily Riverflow in an Arid Region", Water Resour. Res., Vol. 9 , pp . 1271-1285.

Kelman J . 1977. "Stochastic Modelling of Hydrologie Intermittent Daily Process" CSU Hydrol. Paper 89, For t C o l l i n s .

Let tenmaier D.P. y Burges S .J . 1977. "Operat ional Assessment of Hy­d ro log ie Models of long-term P e r s i s t e n c e " , Water Resour. Res. Vol. 13, pp. 113-124.

Sa las J .D. y Smith R.A. 1980. "Physical Basis of S t o c h a s t i c Models of Annual Flows", Water Resour. Res., Vol. 17, pp. 428-430.

Simulation de Caudales 287 con Larga Memoria.

Salas J . D. y Smith R.A. 1980. "Uncertainties in Hydrologie Time Se­ries Analysis" ASCE Spring Meeting, P o r t l a n d , P r e p r i n t 80-158.

O'Connell P. E. 1977. "ARIMA Models in Syn the t i c Hydrology", en "Math­ematical Models for Surface Water Hydrology" C i r i a n i TA, Maione U, y Wall is J . R. e d i t o r e s , John Wiley e h i j o s , New York.

Sa las J .D. Boes D.C, y Smith R.A. 1982. "Est imation of ARMA Models with Seasonal Parameters" , Water Resour. Res., Vol. 19, pp. 1006-1010.

Sa las J .D. Obeysekera J . T . B , Smith R.A. 1981. " I d e n t i f i c a t i o n of Streamflow S t o c h a s t i c Models", /. Hydraul. Div. ASCE, Vol. 107, N° HY7.

Curry L . , y Bras R. 1979. "A Multivariate Generation Model for the Nile River Basin", Informe de Estudio presentado a l a s Naciones Unidas.

'Salas J .D . Del leur J.W. , Yevjevich V, y Lane W.L. 1980. "Applied Model­ing of Hydrologie Time Series", Water Resources P u b l i c a t i o n s , Fo r t C o l l i n s .

Hurst H. E. 1956. "Methods of Using Long-Term Storage i n R e s e r v o i r s " , Proc. Inst. Civ. Eng. Vol. 1, pp. 519-543.