estructuras algebraicas - congruencia en z

Universidad Catolica del Maule

Facultad de Ciencas Basicas

Estructuras algebraicas

1. Congruencias en Z

Definicion 1.1. Sea n N, a, b Z. Se dice que a es congruente con b modulo n si n | (a b).Notacion. a b (mod n)

Es inmediato verificar que la relacion congruencia modulo n es una relacion de equivalencia, es decir

1. Refleja. a a (mod n) para todo a Z.2. Simetrica. Si a b (mod n) entonces b a (mod n).3. Transitiva. Si a b (mod n) y b c (mod n) entonces a c (mod n).

Luego Z se particiona en clases de equivalencia, llamadas clases residuales modulo n y que de-

notaremos por [a]. El entero a se llama representante de la clase residual [a]. Explicitamente la clase

residual [a] es

[a] ={b Z b a ( mod n)}

= {a + nt | t Z}(1)

Propiedades de las clases residuales

1. Las clases residuales o son iguales o son disjuntas.

2. [a] = [b] a b (mod n)

Denotemos por

Z/nZ ={

[a] a Z}

el conjunto de todas las clases residuales modulo n.

Ejemplo 1.1.

1. Si n = 1. Sean a, b Z. Como a = 0 + a = 0 + 1 a, entonces para todo a Z se tiene que a 0 (mod 1), es decir, [a] = [0]. Luego existe una sola clase residual modulo 1

[0] = {0 + 1 t | t Z} = Z y Z/1Z = {Z}Jorge Gonzalez-Lorca

LATEX 2.

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2 ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

2. Si n = 2. Por el algoritmo de la division, para cualquier a Z existen unicos q, r Z tales que

a = 2q + r con 0 r < 2,

es decir,

a = 2q Y a = 2q + 1,

es decir,

[a] = [0] Y [a] = [1].

Luego existen dos clases residuales modulo 2

Z/2Z ={

[0], [1]}

con [0] = {2t | t Z} numeros enteros pares, y[1] = {1 + 2t | t Z} numeros enteros impares, y

Z = [0] [1] (union disjunta)

(3) Analogamente si n = 3, para cualquier a Z existen unicos q, r Z (por el teorema algoritmo de ladivision) tales que

a = 3q + r con 0 r < 3,es decir,

a = 3q Y a = 3q + 1 Y a = 3q + 2,

es decir,

[a] = [0] Y [a] = [1] Y [a] = [2].

Luego existen tres clases residuales modulo 3

Z/3Z ={

[0], [1], [2]}

con [0] = {3t | t Z},[1] = {1 + 3t | t Z},[2] = {2 + 3t | t Z},

Z = [0] [1] [2] (union disjunta)

1.1. Clases residuales y representantes distinguidos modulo n.

Determinemos las distintas clases residuales modulo n. Para ello, sea a Z cualquiera, luego por elalgoritmo de la division en Z, existen unicos qa, ra Z tales que

a = nqa + ra con 0 ra < n

La relacion anterior equivale a a ra (mod n) o equivalentemente [a] = [ra]. Luego, para cualquier enteroa Z, el algoritmo de la division permite cambiar el representante de la clase residual [a] por el entero ra

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS 3

tal que 0 ra < n. Denotemos por Zn = {0, 1, 2, . . . , n 1} los distintos restos de la division euclidianapor n. Lo anterior, nos permite definir la correspondencia

:Z/nZ Zn[a] 7 ra

Lema 1.1. es una biyeccion

Demostracion. Realizada en clases

La biyeccion establece las propiedades:

1. Existen exactamente n clases residuales distintas.

2. Los elementos de Zn representan univocamente las clases residuales modulo n.

3. Para todo a, b Z se tiene que[a] = [b] ra = rb

Los elementos de Zn se llaman representantes residuales distinguidos modulo n.

1.2. Propiedades de congruencias.

Las principales propiedades de congruencias son:

Teorema 1.1.

1. Si a b (mod n) y c d (mod n), entoncesa) a + c b + d (mod n)b) ac bd (mod n)c) ra rb (mod n) (r Z)d) ak bk (mod n) (k N)

2. Propiedad de cancelacion. Si n = rm, entonces

ra rb ( mod n) a b ( mod m)Demostracion. Ejercicio !

Teorema 1.2 (Lema de Gauss). Si ab ac (mod n) y mcd(a, n) = 1. Entonces b c (mod n).Demostracion. La congruencia ab ac(mod n) es equivalente a la relacion abac = nt para algun t Z.Por otra parte, por teorema de Bezout, existen u, v Z tales que 1 = au + nv. Luego

b c = 1 (b c) = (au + nv) (b c)= a(b c)u + n(b c)v= ntu + n(b c)v (pues ab bc = nt)= n(tu + (b c)v)


es decir, b c (mod n).

1.3. Congruencias Lineales.

Una congruencia lineal es una conguencia de la forma ax b (mod n) con a, b Z, n N y x unaindeterminada o incognita. Una solucion de esta congruencia lineal es un entero x0 tal que ax0 b (mod n). Una congruencia lineal se dice soluble si tiene al menos una solucion. Dos soluciones x0 y x1

se dicen congruentes si x0 x1 (mod n) . En caso contrario se dicen incongruentes.Teorema 1.3. Sean a, b Z, a 6= 0, n N y d = mcd(a, n). Entonces

1. La congruencia lineal ax b (mod n) es soluble si y solo si d | b.2. Si d | b, entonces la congruencia ax b (mod n) tiene d soluciones incongruentes. Mas explicita-

mente, si x0 es una solucion entonces

x0, x0 +n

d, x0 + 2

n

d, . . . , x0 + (d 1)n

d

es el conjunto completo de soluciones incongruentes.

Demostracion. Este teorema resulta de una aplicacion del teorema de Bezout.

Ejemplo 1.2. Por ejemplo la congruencia lineal 24x 42 (mod n) es soluble si y solo si n es multiplode 6, pues mcd(24, 42) = 6 y por el teorema anterior para que la congruencia tenga solucion se debetener que 6 | n.En particular para n = 30, la resolucion de la congruencia lineal 24x 42 (mod 30) es:

24x 42 ( mod 30)4x 7 ( mod 5) (propiedad de cancelacion) x 7 ( mod 5) (pues 4 1 ( mod 5)) x 2 ( mod 5) (pues 7 2 ( mod 5))

Luego x0 = 2 es una solucion particular, pues 24 2 42 (mod 30) ya que 24 2 = 42 + 30 (3).Las mcd(24, 42) = 6 soluciones incongruentes son:

x0 = 2

x0 +30

6= 7

x0 + 2 306

= 12

x0 + 3 306

= 17

x0 + 4 306

= 22

x0 + 5 306

= 27


Teorema 1.4 (Teorema Chino de los restos).

Sean m,n N coprimos y a, b Z. Entonces existe x0 Z tal que

x0 a (mod m)x0 b (mod n)

Ademas x0 es unico modulo mn, es decir si x1 Z es tal que x1 a (mod m) y x1 b (mod n) entoncesx0 x1 (mod n).

Demostracion. Dado que m y n son coprimos, entonces por el teorema de Bezout existen u, v Z talesque

1 = mu + nv

Multiplicando esta relacion por a y b se tiene respectivamente

a = mua + nva

b = mub + nvb

Consideremos x0 = nva + mub Z. Luego

x0 nva a (mod m)x0 mub b (mod n)

Por lo tanto x0 es solucion del sistema de congruencias.

Por otro lado, si x1 es otra solucion del sistema de congruencias lineales, entonces

x0 a x1 (mod m)x0 b x1 (mod n)

Entonces m | (x0 x1) y n | (x0 x1), de donde mcm(m,n) | (x0 x1), es decir, mn | (x0 x1) puesmcd(m,n) = 1, luego x0 x1 (mod mn).

Ejemplo 1.3. Resolver el sistema de congruencias lineales

5x 15 ( mod 24)2x 7 ( mod 35)

Como mcd(24, 35) = 1, entonces por el teorema chino de los restos, el sistema de congruencias tiene

solucion. Primero reduzcamos ambas congruencias

5x 15 ( mod 24) x 3 ( mod 24) (por lema de Gauss)2x 7 ( mod 35) 2x 42 ( mod 35) (pues 7 42 ( mod 35))

x 21 ( mod 35) (por lema de Gauss)


Luego el sistema de congruencias dado es equivalente a

x 3 ( mod 24)x 21 ( mod 35)

Como mcd(24, 35) = 1, entonces, por el teorema de Bezout, existen u, v Z tales que1 = 24u + 35v

El algoritmo de la division, permite obtener la relacion (ejercicio !)

1 = 24 (16) + 35 11Multiplicando esta ultima relacion por 3 y 21 respectivamente, se obtiene

3 = 24 (16) 3 + 35 11 321 = 24 (16) 21 + 35 11 21

Entonces

x0 = 35 11 3 + 24 (16) 21 = 6909es una solucion del sistema de congruencias. Reduciendo esta solucion, modulo 24 35 = 840, se tiene que6909 651 (mod 840), de donde x0 651 (mod 840) es solucion del sistema de congruencias inicial. Enefecto

5 651 15 ( mod 24) pues 5 651 = 15 + 24 1352 651 7 ( mod 35) pues 2 651 = 7 + 35 37

2. Algebra modular. Estructura algebraica de Zn

A partir de la biyeccion (lema 1.1) se definen dos operaciones binarias sobre Z : suma modulo n

(+n) y producto modulo n (n).

Suma modulo n (+n). Se define la suma modulo n de a, b Z como

a +n b = ra+b

es decir, a +n b es el resto de la division euclidiana de la suma (en Z) de a + b por n.

Producto modulo n (n). Se define el producto modulo n de a, b Z como

an b = rab

es decir, an b es el resto de la division euclidiana del producto (en Z) de ab por n.


2.1. Propiedades de la suma y producto modulo n sobre Zn.

Teorema 2.1.

1. (Zn,+n) es un grupo abeliano, es decir

a) Cerrada. Para todo a, b Zn se tiene que a +n b Znb) Asociatividad. Para todo a, b, c Zn se tiene que

(a +n b) +n c = a +n (b +n c)

c) Neutro aditivo. Para todo a Zn se tiene quea +n 0 = a = 0 +n a

d) Inverso aditiivo. Para cada a Zn existe un unico a Zn tal quea +n a

= 0 = a +n a

a se llama inverso aditivo de a. Explicitamente a viene dado por

a =

0 si a = 0n a si 0 < a < ne) Conmutatividad. Para todo a, b Zn se tiene que

a +n b = b +n a

2. Respecto del producto modulo n, se tienen las siguientes propiedades

a) Asociatividad. Para todo a, b, c Zn se tiene que(an b)n c = an (bn c)

b) Neutro multiplicativo. Para todo a Zn se tiene quean 1 = a = 1n a

c) Conmutatividad. Para todo a, b Zn se tiene quean b = bn a

d) Producto por cero. Para todo a Zn se tiene quean 0 = 0 = 0n a

3. Distributividad. Para todo a, b, c Zn se tiene quean (b +n c) = an b +n an c

Demostracion. Ejercicio !

Ejercicio 1. Investigar la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones. Justifique adecuadamente:


1. (a, b Zn)(an b = 0 = a = 0 b = 0)2. (a, b, c Zn, a 6= 0)(an b = an c = b = c)

Se dice que u Zn es una unidad si existe v Zn tal que un v = 1 = vn u. En ese caso v se llamael inverso multiplicativo de u y se denota por v = u1.

Ejercicio 2.

1. Determine las unidades de Z3,Z5,Z11,Z17, Z19 y Z23. En cada caso, cuantas unidades se tienen?

Que regularidades se pueden establecer?

2. Para p numero primo, determine la unidades de Zp y Zp2 . Cuantas unidades existen en cada

caso?

3. Determine las unidades de Z8,Z12,Z26,Z36. En cada caso, cuantas unidades se tienen? Que

regularidades se pueden establecer?

4. Caracterize las unidades de Zn para n N en general.

Jorge Gonzalez-Lorca

LATEX 2

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