Estruturas AlgbricasMoiss Toledo12 de maio de 20121 Soluo de exerccios - Pgina 261Exerccio 1. Seja p um nmero primo e Gum grupo no-abeliano de ordemp3. Mostreque:a) [Z(G)[ = p.b) Z(G) = G

.c) G/Z(G) = Z/pZ Z/pZDemonstrao.a)Como Z(G) < G ento [Z(G)[ [ [G[. Agora vejamos os possveis casos:(i) [Z(G)[ , = p3pois G no abeliano (isto [Z(G)[ , = [G[).(ii) [Z(G)[ ,=p2poiscasocontrario

GZ(G)

=peassimGZ(G)cclicologoZ(G) = G o qual no possvel (ver pgina 140).(iii) [Z(G)[ ,=1 (isto Z(G) ,= e) pois o centro tem sempre pelo menospelementos para qualquer grupo de ordem potencia de um primo (ver pgina233).Por tanto temos [Z(G)[ = p.b)VejamosqueG

Z(G): Jvimosque

GZ(G)

=p2, assimGZ(G)umgrupoabeliano (ver pgina 234), isto Z(G)G tal queGZ(G) abeliano. Logo como G

o menor subgrupo normal tal queGG

abeliano (ver pgina 140) ento Z(G) G

.Agora como:(i)

GG

,=1 pois caso contrario G

=G logo Z(G)= e o qual no possvelpois [Z(G)[ = p.Universidade Federal da ParabaEstruturas Algbricas Pgina 2(ii)

GG

,= p pois caso contrarioGG

cclico (por tanto abeliano) logo G abeliano(de fato: sejaa G tal que =G/G

entoabG

=(aG

)(bG

)=(bG

)(aG

) = baG

assim ab = ba).(iii)

GG

,= p3pois caso contrario G

= e assimdado x, y Gtemos xyx1y1=e isto xy= yx logo G abeliano.ento [G

[ = p, e como G

Z(G) temos Z(G) = G

.c)Como [Z(G)[ = p ento cclico logo existe b Z(G) tal que < b >= Z(G). Sejax GZ(G) ento ,=Z(G), considerando y / ento = e. Tambm [ < x > [ = [ < y> [ = p, pois x GZ(G). Logo < x, y> um subgrupo de G/Z(G) com ordem p2assim < x, y>= G/Z(G).Por ultimo consideremos o homomorsmo: : G/Z(G) Z/pZ Z/pZxn ym (n, m)o qual claramente bijetivo, por tanto um isomorsmo.Exerccio 2. Mostre que seG um grupo nito com apenas duas classes de conju-gao, ento [G[ = 2.Demonstrao.Pela equao de classes de conjugao e o fato de G ter duas classes de conjugaotemos:[G[ = 1 +[(l(x)[Como [(l(x)[ divide a [G[ ento [G[ 1 divide [G[ logo [G[ = 2.Exerccio 3. Seja G um grupo de ordem 112 132. Mostre que G um grupo abeliano.Demonstrao.Iremos a usar o seguinte teorema (pgina 178):Teorema(Produtodiretodegrupos). SejamG, G1, . . . , Gngrupos. Entoogrupo G isomorfo ao grupo G1. . . Gn se e somente se G possui subgruposH1 G1, . . . , Hn Gn tais que:(i) G = H1. . . Hn.(ii) HiG, i = 1, . . . , n.(iii) Hi (H1. . . Hi1Hi+1. . . Hn) = e, i = 1, . . . , n.Pelo 3 teorema de Sylow temos n11= 1 e n13= 1.Estruturas Algbricas Pgina 3Sejam N11 e N13 os subgrupos de G de ordem 112e 132respectivamente, entoN11 e N13 so normais (pois pelo item anterior eles so nicos).Os subgrupos N11, N13 tem ordem p2(p = 11, 13) logo so abelianos.Como N11N13 um subgrupo de G (pois N11, N13 so normais), e N11 N13=e (pois se a N11 N13 ento [a[ divide 11 e 13 logo [a[ =1 assim a=e)ento [N11N13[ = [G[ logo N11N13= G.Claramente N11, N13 so isomorfos a eles mesmos (pelo homomorsmo identi-dade).Agora usando o teorema enunciado temos G N11N13.Seja o isomorsmo : N11N13 G(g, h) (g, h)assim dado a, b G temos que existem (g1, h1), (g2, h2) N11N13 tais que(g1, h1) = a, (g2, h2) = b logoab = (g1, h1)(g2, h2)= ((g1, h1)(g2, h2))= (g1 g2, h1 h2)= (g2 g1, h2 h1)= ((g2, h2)(g1, h1))= (g2, h2)(g1, h2)= balogo G abeliano.Exerccio 4. Sejap um nmero primo eG um grupo nito. SejamHum subgruponormal de G e S um p-subgrupo de Sylow de G.a)Mostre que H S um p-subgrupo de Sylow de H.b)Mostre que SH/H um p-subgrupo de Sylow de G/H.Demonstrao.a)Mostrar que H S um p-subgrupo de Sylow de H equivalente a mostrar que(H: H S) no um mltiplo de p (em particular no uma potencia de p).Dado que H S< S ento [H S[ = pk, para algum k N.Como HG ento HS um subgrupo de G tal que HHS< G.Estruturas Algbricas Pgina 4Sabemos que [HS[ = [H[[S[[H S[ento [HS[[H[=[S[[H S[ assim pelo teorema deLagrange (H: H S) = (HS: S).Como(G: S) =(G: HS)(HS: S),ento(HS: S) [ (G: S) logop(HS: S) (pois (G : S) no um mltiplo de p) por tanto p(H: H S)(pois (H: H S) = (HS: H)).b)Mostraremos que p(G/H: SH/H).Como

GH

=[G[[H[= [SH[[H[ (G/H: SH/H) e[G[[SH[=(G: SH) ento(G/H: SH/H) = (G : SH).Assim tambm como (G: S)=(G: SH)(SH: S), e (G: S) no ummltiplo de p ento p(G : SH) por tanto p(G/H: SH/H).Exerccio 5. Seja G um grupo abeliano nito. Mostre que G isomorfo ao produtodireto de seus subgrupos de Sylow.Demonstrao.SejaG um grupo abeliano de ordem nitom, ento descompondom em seusfatores primos temos [G[ = p11. . . pkk, onde pi ,= pj para i ,= j.Sejam Nij (i = 1, . . . , k e j= 1, . . . , npi) os pi-subgrupos de Sylow de G.Como G abeliano ento para cada i existe um nico pi-subgrupo de Sylow (isto npi= 1).Para cada i seja Ni o nico pi-subgrupo de Sylow, ento Ni normal em G.ComoN1N2. . . Ni um subgrupo deG (para todoi =1, . . . , k) ento sex Nj (N1. . . Nj1Nj+1. . . Nk)temosque [x[[ pje [x[[ piparaalgumi =1, . . . , j 1, j + 1, . . . , k. Assim [x[ = 1 (pois pi ,= pj para i ,= j) isto x = e.Logo Nj (N1. . . Nj1Nj+1. . . Nk) = e.Usando o teorema do produto direto de grupos, temos que G N1. . .Nk.Exerccio 6. SejaGumgrupoabelianonito. Sejamuminteiroquedivide [G[.Mostre que existe um subgrupo K de G tal que [K[ = m (i.e., a recproca de teoremade Lagrange vale para os grupos abelianos nitos).Demonstrao.Seja m um inteiro que divide [G[, ento descompondo m em seus fatores primostemos m = p11. . . pll.Pelo 1 teorema de Sylow existem subgrupos Ni de G com ordem pii, onde i=1, . . . , l.Estruturas Algbricas Pgina 5Como G abeliano ento Ni normal em G para cada i.Dado queN1N2. . . Ni um subgrupo deG (para todoi =1, . . . , l) ento sex Nj (N1. . . Nj1Nj+1. . . Nl) temos que [x[[ pje [x[[ pipara algumi =1, . . . , j 1, j+ 1, . . . , l. Assim [x[ =1 (poispi ,=pjparai ,=j) isto x = e. Logo Nj (N1. . . Nj1Nj+1. . . Nl) = e.Por tanto K= N1N2. . . Nl um subgrupo de G com ordem m.Exerccio 7.a)Seja G um grupo abeliano nito. Mostre que existe uma serie de subgrupos G=H0H1. . . Hn= e tal queHi/Hi+1 cclico de ordem prima, i =0, . . . , n 1.b)SejamG um grupo eKum subgrupo normal deG tais queG/Kseja abelianonito. Mostre que existe uma srie de subgrupos G = H0H1. . .Hn= Ktal que Hi/Hi+1 cclico de ordem prima, i = 0, . . . , n 1.Demonstrao. Em ambos item fazemos uso da seguinte proposio:Proposio. Seja G um grupo de ordem pme seja H um subgrupo de G de ordem prcom r < m. Ento(i)Existe um subgrupo K de G de ordem pr+1contendo H.(ii)Todo subgrupo L de G de ordem pr+1contendo H tal que HL. Em particu-lar, temos HNG(H).a)Sabemos queG isomorfo ao produto direto de seus subgrupos de Sylow, assimG N1. . .Nr, onde [Ni[ =pii. Agora pela proposio enunciada temosque, paracadaNiexistemsubgruposKijdeordempji(paraj =0, . . . , i)eKijKij+1. Seja n = 1 + r, assim considerandoHl=K11 . . . Krr= G , l = 0K11 . . . Kr(r1), l = 1...K11 . . . Kr0= K11 . . . K(r1)r1, l = r, pois Kr0= eK11 . . . K(r1)(r11), l = r + 1...K11 . . . K(r1)0= K11 . . . K(r2)r2, l = r + r1, pois K(r1)0= e...K11 . . . K(ri)(ri1), l = r + (r1) + + (ri) + 1...K10= e , l = nEstruturas Algbricas Pgina 6onde [Hi/Hi+1[ = pi, assim Hi/Hi+1 de ordem prima, por tanto cclico.b)Como G/K um grupo abeliano nito, ento pelo item anterior existe uma seriede subgrupos G/K=H0 H1 . . . Hn= e tal que Hi/Hi+1 cclico deordem prima, i = 0, . . . , n 1. Logo pelo teorema de isomorsmo (pgina 150),sabemos que existe uma correspondncia entre os subgrupos normais deG/Keos subgrupos normais de G que contm K, assim existem Hi (com i=1, . . . , n)subgrupos de G tais que G=H0 H1 . . . Hn=K e Hi/Hi+1 cclico deordem prima pois Hi/Hi+1= (Hi/K)/(Hi+1/K) = Hi/Hi+1.Exerccio 8. Sejam p < q dois nmeros primos e G um grupo de ordem pq.a)Mostre que G abeliano se e somente se ele possui um s p-subgrupo de Sylow.b)SeG no abeliano, mostre queG isomorfo a um subgrupo deSq, mas no isomorfo a um subgrupo de Sq1.c)SeGabeliano, mostrequeGisomorfoaumsubgrupodeSp+q, masnoisomorfo a um subgrupo de Sp+q1.Demonstrao. Primeiro notemos que pelo 3 teorema de Sylownq= 1 e np=1ouq p [ (q 1)Denotamos porNp, Nqump-subgrupo e umq-subgrupo de Sylow (quaisquer) deGrespectivamente.a) () Se G abeliano ento todo subgrupo de G normal, assim np=1. Logo Gpossui um s p-subgrupo de Sylow.() Se np=1 ento Np, Nq so os nicos p-subgrupo e q-subgrupo de Sylow deG respectivamente, alm disso eles so abelianos (pois tem ordem prima). LogoG NpNq (pelo teorema do produto direto de grupos), por tanto G abeliano.b)Pendente.c)Pendente.Exerccio 9. Sejar um inteiro, G um grupo innito eHum subgrupo tal que(G:H) = r. Mostre que existe um subgrupo K H, normal em G, tal que (G : K) r!.Demonstrao.Seja C= gH; g G ento #C= r, e a representao de G tal queT: G T(C)x Tx: C CgH xgHEstruturas Algbricas Pgina 7Como T(G) GKer(T)< T(C), ento

GKer(T)

[T(C)[ = r! < [G[ assimKer(T) ,=e. Alm disso Ker(T) H pois:PeloteoremadeisomorsmoexisteumacorrespondnciaentresubgruposdeT(G) e subgrupos de G que contm ao Ker(T).SejaU = Tx; Tx(gH) =gH, gHC T(G) T(C)oqualumsubgrupo de T(G) (de fato: para Tx, Ty U temos TxTy(gH) = Tx(gH) = gHe Tx (Ty)1(gH) = Tx(gH) = gH) logo existe um subgrupo T1(U) de G talque contm ao Ker(T).Notemos que T1(U) = x G; Tx(gH) = gH = x G; xgH= gH.Agora T1(U) = H de fato:Seh HentoTh(gH) =hgH=gHlogoh T1(H). AssimH T1(H).Se x T1(U) ento Tx(gH) = xgH= gH assim xg gH para qualquerg G logo para g= e se tem x H. Por tanto T1(H) H.Agora considerando K= Ker(T) temos (G : K) =

GKer(T)

= [T(G)[ < r!.Exerccio 10. Sejam p, q dois nmeros primos tais que p < q< 2p, n um inteiro 1e G um grupo de ordem pnq. Mostre que:a)Se p, q , = 2, 3, ento G possui um subgrupo normal de ordem pn.b)Se p = 2 e q= 3, mostre que existe um subgrupo normal de ordem 2nou 2n1.Demonstrao.a)Pelo 3 teorema de Sylow temosnp=1ouq p [ (q 1)Armao: p (q 1). De fato: suponhamos quep [ (q 1), ento dado quep 1 < q 1 < 2p 1 temos p = q 1 logo p = 2, q= 3 (pois eles so os nicosprimos consecutivos) o qual uma contradio ao fato que p, q , = 2, 3.Por tanto np= 1, isto existe um subgrupo normal de ordem pn.b)Sejam p = 2, q= 3 ento [G[ = 2n 3, n 1. Temos que:(i)Sen=1 ento [G[ =23, logo pelo exerccio 8 temos queG possui umsubgrupo normal de ordem 2.Estruturas Algbricas Pgina 8(ii)Sen>1 ento pelo 1 teorema de Sylow existeH1, ento pelo 1 teorema de Sylow existe H