estudando volume de sólidos de revolução e área das superfícies de revolução no cálculo...
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1. Introdução
O ensino de Cálculo Diferencial e Integral, presente em vários cursos de
nível superior, segundo Barbosa (2004), é considerado um dos conhecimentos
básicos de diversas profissões que se enquadram nos cursos de Ciências Exatas,
“devido a grande aplicabilidade, desempenhando papel importante como linguagem
na representação de fenômenos e como instrumentos para resolução de problemas”
(Catapani apud Barbosa, 2004, p.8). Essa disciplina, de acordo com o mesmo autor,
tem sido responsável por um grande número de reprovações e evasões de
estudantes universitários nas faculdades e universidades de todo o país.
A aquisição dos conhecimentos relacionados à disciplina de Cálculo
Diferencial e Integral muita vezes não ocorre de maneira satisfatória, entre estes, a
aprendizagem dos conteúdos volume dos sólidos de revolução e área das
superfícies de revolução. Vários fatores podem estar relacionados para que tal fato
ocorra. Entre estes fatores podemos destacar a metodologia utilizada pelos
docentes que, de acordo com Neto (1992), em sua maioria continuam usando em
sala de aula o livro texto, exposições orais e resumo de matérias, complementadas
com exercícios passados no quadro.
Neto (1992) aponta que um dos caminhos que enseja a possibilidade de
gerar maior produtividade no processo ensino-aprendizagem pode estar na
diversificação das formas de abordagem de cada tema a ser apresentado, a partir do
qual se adapta ao nível de aprofundamento desejado. Uma das formas de
diversificar é através da utilização dos softwares matemáticos que permitem uma
melhor visualização e interação de diversas disciplinas em torno de um axioma em
comum, o que caracteriza a interdisciplinaridade. Segundo Carlos (2002), o PCN
assinala que a interdisciplinaridade constitui um eixo integrador, que pode ser objeto
de conhecimento, um projeto de investigação, um plano de intervenção. Nesse
sentido ela deve partir da necessidade sentida pelos professores e alunos de
explicar, compreender, intervir, mudar, prever algo que desafia uma disciplina
isolada e atrai a atenção de mais um olhar talvez de vários.
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Baseando-se em Balomenos et al (1994), certos conceitos do curso
tradicional de Cálculo, destacando volume dos sólidos de revolução e áreas das
superfícies de revolução, são introduzidos frequentemente através de
representações geométricas, o que mostra a importância da Geometria no Cálculo.
Deste modo, outra forma de diversificar está na elaboração de um estudo
interdisciplinar, interagindo estas duas áreas do conhecimento, utilizando como
suporte os recursos computacionais, dentre eles, os softwares educativos, como o
software Maple.
Mariani (2005?) coloca que o software Maple possui uma grande
potencialidade em relação ao ensino de tópicos do Cálculo, pois ele oferece vários
recursos como capacidade de computação algébrica, numérica e gráfica,
capacidade de manipulação de fórmulas e números e uma linguagem de
programação de alto nível. Utilizando o software Maple, os conceitos vistos em sala
de aula são apresentados de maneira computacional, tornando o processo de
aprendizagem mais prazeroso do que no ambiente que geralmente o professor
utiliza em sala de aula.
Mediante as dificuldades encontradas pelos discentes na aprendizagem
de Cálculo, enfatizando os conteúdos volume dos sólidos de revolução e área das
superfícies de revolução, surgiram indagações sobre o processo de ensino dos
assuntos abordados. Assim, esse estudo se orienta a partir da questão considerada
norteadora para o desenvolvimento do trabalho: Que fatores determinam as
dificuldades dos discentes no processo de aprendizagem dos conteúdos volume dos
sólidos de revolução e área das superfícies de revolução e quais os possíveis
caminhos para superá-las? Várias hipóteses podem ser levantadas, mas a presente
pesquisa considera que estas dificuldades podem está associada à metodologia
utilizada pelos docentes no ensino da disciplina de Cálculo.
Para tentar responder nosso questionamento, partimos para uma
investigação, no intuito de verificar as relações existentes entre os conhecimentos
geométricos, cálculo diferencial e integral e informática no estudo dos conteúdos e
analisar as metodologias utilizadas em sala de aula pelos docentes no ensino de
Cálculo. Além disso, propor aos docentes dessa área uma metodologia diferente a
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partir da utilização do software Maple como uma nova ferramenta de ensino que
possibilita a integração de áreas do conhecimento.
A importância desse trabalho está no fato de tentar fazer os docentes de
Cálculo refletirem sobre a metodologia que empregam nesta disciplina e perceberem
que através da utilização de softwares, como o Maple, eles podem está relacionando
os conhecimentos geométricos e do cálculo diferencial e integral na construção do
conhecimento dos assuntos abordados, tornando assim, a aprendizagem mais
eficaz.
Para concretizar este estudo organizou-se o trabalho em quatro partes.
Na primeira parte definiu-se a metodologia a ser utilizada. Na segunda parte
realizou-se uma revisão de literatura, para embasamento sobre as dificuldades na
aprendizagem de Cálculo Diferencial e Integral, as novas tecnologias no processo
educacional, a importância da Geometria e da Informática no Cálculo e a teoria
aliada aos assuntos, ressaltando logo após, o processo de aprendizagem dos
mesmos. Na terceira parte apresentamos, analisamos e discutimos os dados
coletados. Na última parte foram feitas as observações finais, apresentando as
conclusões.
1.1 Metodologia
Definida a problemática central deste projeto, buscou-se por meio de uma
pesquisa exploratória, compreender o processo de ensino dos assuntos volume dos
sólidos de revolução e área das superfícies de revolução, analisando a metodologia
utilizada pelos docentes na disciplina Cálculo Diferencial e Integral.
Segundo Gil (2002), a pesquisa exploratória tem como objetivo
proporcionar maior familiaridade com o problema com vista a torná-lo mais explícito
ou construir hipóteses, tendo como objetivo principal o aprimoramento de idéias ou a
descoberta de intuições. O delineamento adotado, de acordo com o autor,
caracteriza-se pela interrogação direta das pessoas cujo comportamento se deseja
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conhecer. Basicamente, procede-se a solicitação de informação a um grupo
significativo de pessoas acerca do problema estudado para, em seguida, mediante
análise qualitativa, obter-se as conclusões correspondentes aos dados coletados.
Os resultados obtidos com base na amostra são projetados para a totalidade do
universo. Assim, para caracterizar o presente estudo na abordagem exploratória
foram considerados os seguintes itens:
a) O objeto de estudo se concentra nos docentes de Cálculo Diferencial e
Integral do curso de Licenciatura em Matemática da Universidade do Estado da
Bahia (UNEB), Campus II. É interessante ressaltar, que inicialmente pretendíamos
que nosso objeto fosse constituído por todos os docentes de Cálculo dos Campi II,
VI, VII, VIII e IX, pois são os que, desta instituição, tem o curso de Licenciatura em
Matemática. Mas, em conseqüência das dificuldades de comunicação, acabamos
por optar em realizar nossa pesquisa apenas no Campus II, pois, devido a nossa
graduação, tínhamos uma maior facilidade de interação com os professores.
b) Os sujeitos da pesquisa foram os professores que ministram a
disciplina de Cálculo no curso de Licenciatura em Matemática, da instituição citada
anteriormente, sendo a população composta de 5 (cinco) docentes.
c) A pesquisa utilizou-se de um questionário semi-estruturado para
obtermos informações acerca da metodologia utilizada pelos docentes no ensino da
disciplina. O instrumento continha 6 (seis) questões, sendo 1 (uma) questão objetiva
e 5 (cinco) subjetivas. Este foi aplicado via e-mail com todos os professores que
compôs a população. Mas, apenas 3 (três) enviaram a resposta ao e-mail solicitado.
Também foram feitos questionamentos no instrumento acerca do nível de
dificuldade dos alunos na aprendizagem dos conteúdos trabalhados e como
repercuti entre os alunos a metodologia destes, no intuito de adquirir mais subsídios
para a pesquisa.
d) Além do questionário, também foi realizada uma oficina, onde foi
explicado os conteúdos abordados utilizando o software Maple como suporte, com
objetivo de propor aos docentes da área, uma metodologia diferente a partir da
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utilização do software como uma nova ferramenta de ensino que possibilita a
integração de áreas do conhecimento.
Os 5 (cinco) professores foram convidados via e-mail, confirmando a sua
presença enviando uma mensagem para o e-mail solicitado. Deste total apenas 4
(quatro) confirmaram a sua presença, dentre estes, os três que responderam o
questionário, constituindo a amostra.
A oficina foi realizada na própria instituição onde foi efetivado o estudo e
teve duração de duas horas. Para realização desta, foi necessário instalar o software
Maple em um dos laboratórios de informática, pois esta não disponibilizava o
mesmo.
Primeiramente, antes da realização, elaboramos um material didático
contendo alguns comandos e símbolos básicos para a utilização do Maple no
Cálculo Diferencial e Integral, enfatizando os métodos de integração e o cálculo do
volume dos sólidos de revolução e da área das superfícies de revolução. A oficina foi
ministrada baseada neste instrumento. Os docentes participaram ativamente
realizando todas as atividades propostas do material, que se encontrava nos
computadores utilizados.
Ao término, abrimos espaço para discussão, onde foram feitas perguntas
com a finalidade de adquirimos mais informações para alcançarmos nosso objetivo:
Através do que foi exposto, qual a opinião de vocês acerca do Maple como uma
nova ferramenta de ensino?; Para vocês, diante do que foi mostrado e de sua
experiência em sala de aula, é importante os alunos terem uma boa base na
geometria elementar para compreensão desses assuntos no Cálculo?;O software
Maple possibilita a integração de áreas do conhecimento, como a Informática, a
Geometria e o Cálculo?
Desse modo, o presente estudo procurou fazer uma análise
predominantemente qualitativa tendo em vista a compreensão do fenômeno
investigado.
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Capítulo 2
Dificuldades na aprendizagem do Cálculo Diferencial e Integral.
Ao procuramos compreender as dificuldades dos alunos no entendimento
dos assuntos volume dos sólidos de revolução e área das superfícies de revolução
no Cálculo Diferencial e Integral, tomamos como ponto de partida as prováveis
causas que levam ao fracasso destes nessa disciplina, na tentativa de está
identificando os obstáculos que geram tais dificuldades. Além disso, inicialmente,
iremos refletir sobre os avanços tecnológicos na sociedade para entender as
mudanças que deve ocorrer na educação, destacando o ensino do Cálculo.
As constantes mudanças que ocorrem na sociedade, devido à
globalização, como os avanços tecnológicos e científicos, exigem cada vez mais que
nos tornemos seres pensantes, críticos, interligados com o conhecimento, de
maneira que venhamos a nos adequar a essas transformações. Deste modo, o
indivíduo deve desenvolver ao longo de sua vida novas habilidades e competências
em adquirir o saber, assim, faz-se necessário, o surgimento de mudanças no
processo de educação.
Educar para esta sociedade significa dominar e transcender os recursos tecnológicos, desenvolver a capacidade de questionar, de analisar criticamente e tomar decisões, desenvolver competências para enfrentar situações inesperadas e desenvolver valores éticos e morais “permitindo ao cidadão harmonizar os conteúdos aprendidos na escola com a cultura de um mundo globalizado” (Brasil, apud Morelatti, 2000?, p.1).
Sendo assim, a educação é de grande importância na formação do
cidadão, destacando que uma das mudanças que deve ocorrer, está relacionada ao
processo de ensino, em que o aluno deve deixar de ser um ser passivo, receptor
apenas de informações e passar a ser um ser ativo, inovador e construidor do seu
próprio saber.
E, o que dizer da aprendizagem da matemática? A matemática é uma
ciência que, assim como as outras, está em constante transformação e sua
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compreensão é necessária para o sucesso do indivíduo nesta sociedade. Segundo
Barbosa (1994), cada vez menos o homem comum pode passar sem os
conhecimentos matemáticos, cada vez os técnicos precisam se infiltrar em
conteúdos matemáticos que só a especialistas interessam. Mas, apesar de sua
importância e de suas mudanças, a matemática é responsável, de acordo com o
autor, pelo elevado nível de fracasso nas instituições de ensino.
No ensino superior, a aprendizagem do Cálculo Diferencial e Integral tem
sido motivação para uma série de pesquisa e investigação, pois de acordo com
Barbosa (2004), esta disciplina tem sido responsável por um grande número de
reprovações e evasões de estudantes universitários nas faculdades e universidades
de todo país.
Através dos dados obtidos pela Secretária Acadêmica da Universidade do
Estado da Bahia (UNEB), Campus II, pode-se observar o insucesso dos discentes
na disciplina Cálculo Diferencial e Integral, do curso de Licenciatura em Matemática,
nos semestres 2008.1 e 2008.2, constatado pelo índice de insucesso, conforme
tabela abaixo:
Observando estes dados, referente ao semestre 2008.1 do total de quatro
turmas, 47,72% do número de alunos matriculados obtiveram aprovação, o restante,
52,28% não obtiveram êxito. Em relação ao semestre 2008.2, 27,5% dos alunos
obtiveram aprovação e 72,5% insucesso. Se levarmos em conta percentuais de
aprovação por turma, em determinados casos estes percentuais são baixíssimos,
2008.2
Componente Curricular
Alunos
matriculados
Alunos
aprovados
Cálculo I --- ----
Cálculo II 21 5
Cálculo III 11 2
Cálculo IV 8 4
Total 40 11
2008.1
Componente Curricular
Alunos
matriculados
Alunos
aprovados
Cálculo I 31 14
Cálculo II --- ---
Cálculo III 8 5
Cálculo IV 5 2
Total 44 21
Fonte: Secretária Acadêmica da Universidade do Estado da Bahia (UNEB), Campus II
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como ocorre com a turma de Cálculo III do segundo semestre, com 18,2% de
aprovação apenas. Vale ressaltar, que as turmas que não constam os dados foi
devido a Secretária Acadêmica não ter fornecido os mesmos.
Castro e Melo (2003?) apontam que é importante observar que o Cálculo
é uma das disciplinas mais tradicionais do Ensino Superior de Ciências Exatas e,
também, base referencial para a compreensão do desenvolvimento científico e
tecnológico. Observa-se então a importância que esta disciplina tem para o
desenvolvimento da sociedade, sendo assim, quais são os fatores que levam os
discentes a obterem o insucesso nesta disciplina?
2.1 As prováveis causas das dificuldades de aprendi zagem no Cálculo.
Vários fatores podem está relacionados ao fracasso dos alunos na
disciplina de Cálculo. Abordaremos apenas algumas dessas causas, a saber: falta
de relacionamento entre os níveis de ensino, dificuldades em visualização e a
metodologia utilizada pelos professores na sala de aula.
2.1.1 Falta de relacionamento entre os níveis de en sino
Barbosa (1994) coloca que, a falta do elo, de um relacionamento maior
entre os níveis de ensino, principalmente entre o nível secundário e o universitário,
tem trazido grandes dificuldades na relação ensino-aprendizagem dos alunos que
fazem à disciplina Cálculo Diferencial e Integral, trazendo como conseqüência altos
índices de reprovação e evasão na disciplina.
Os alunos ao ingressarem na maioria das universidades, o primeiro
contato que têm com a matemática do 3º grau, segundo Neto (1992), é com o
Cálculo juntamente com a Álgebra Linear e a Geometria Analítica e nesse momento
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deixam transparecer a fragilidade e a deficiência dos conhecimentos e habilidades
supostamente aprendidos na escola. Barbosa (1994), também aponta que os
assuntos tratados nas aulas de Cálculo parecem desconhecidos, chegando-se a
pensar que muitos alunos não tiveram ou não assimilaram o mínimo de
conhecimento dos conteúdos necessários. Sabe-se que, os conhecimentos
matemáticos estão interligados entre si, deste modo, a falha na compreensão de
alguns desses conteúdos acarretará dificuldades na construção da aprendizagem do
assunto que os sucedem.
2.1.2 Dificuldades em visualização
A matemática é uma disciplina que não só se utiliza da linguagem
simbólica, mas também, se utiliza da linguagem gráfica, sendo assim, a capacidade
de visualização é de fundamental importância para a compreensão de seus
conteúdos.
O pensamento matemático envolve diferentes processos de pensamento, sendo a visualização um processo importante no desenvolvimento do pensamento matemático (ARCAVI, apud Couy e Frota, 2007, p.4). “A visualização é um processo através do qual as representações mentais podem ganhar vida” (DREYFUS, apud Couy e Frota, 2007, p.4).
Em relação à aprendizagem do Cálculo, Couy e Frota (2007), colocam
que esta é altamente simbólica. Com isso, afirmam que, os estudantes se
especializam em manipular fórmulas e técnicas, não desenvolvendo um real
entendimento dos conceitos. Esse método de estudo quase sempre possibilita,
segundo Koirala apud Couy e Frota (2007), uma “compreensão processual”, mas
não uma “compreensão conceitual” dos tópicos de cálculo. A partir de tais idéias,
surgiu na década de 80, nos Estados Unidos, o Movimento de Reforma do Cálculo
que tinha como propósito discutir a forma de como o assunto era ensinado. Com
essas discussões, criaram a “Regra de Três” que, segundo Couy e Frota (2007),
estimula a interlocução das várias representações.
Um dos princípios que devem guiar o ensino de Cálculo é a “Regra de três”: quaisquer que sejam os possíveis tópicos, devem ser ensinados gráfica e numérica, como também analiticamente. A pontaria é produzir um curso
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onde os três pontos de vista são equilibrados, e onde os estudantes vêem uma idéia principal sob vários ângulos (HUGHES-HALLETT, apud Couy e Frota, 2007, p.5).
Atualmente o ensino do Cálculo estimula o uso de gráficos, dando ênfase
primeiramente às idéias intuitivas dos conceitos. Apesar desse estímulo, os alunos
apresentam dificuldades no desenho de gráficos. Para Couy e Frota (2007), estas
dificuldades podem esta impedindo que os alunos lancem mãos das estratégias
gráficas como forma de resolver problemas.
Os mesmos autores defendem que promover o estudo de Cálculo através
da visualização gráfica, numa perspectiva que permita a comunicação entre as
várias formas de representação matemática e a passagem de um tipo de linguagem
a outro pode, com efeito, elevar a qualidade da aprendizagem nos cursos de cálculo.
Os professores, muitas vezes, engessados pelas “grades” curriculares, apressam-se em introduzir o instrumental simbólico, não dedicando o tempo necessário às reflexões que podem suscitar das conexões entre as várias linguagens matemáticas e que certamente contribuiriam para um entendimento “relacional” dos conceitos de Cálculo (BERRY e NYMAN, apud Couy e Frota, 2007, p.14).
2.1.3 Metodologia utilizada pelos professores na sa la de aula
Aprender implica atribuição de significados. Os significados que o aluno
constrói são o “resultado de uma complexa série de interações nas quais intervêm,
no mínimo, três elementos: o próprio aluno, os conteúdos de aprendizagem e o
professor” (Salvador, apud Morelatti, 2000?, p.3).
O aluno é o maior responsável por sua aprendizagem, uma vez que constrói seu conhecimento, atribuindo sentido e significado ao que está aprendendo, mas é o professor o responsável em orientar a construção em uma determinada direção, compartilhando significados, sentidos e intenções (Morelatti, 2000?, p.3).
As evidências de insucesso na aprendizagem de Cálculo Diferencial e
Integral podem está associada à ineficiência pedagógica. A prática atual utilizada
pelos docentes nas salas de aulas, segundo Barbosa (1994), é calcada no modelo
Herbatiano, que trata o conhecimento como pronto e acabado. Os alunos são
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tratados como “depósito do saber”, sendo reduzidos a meros expectadores de aulas
expositivas, sujeitos a memorização de fórmulas e regras, como aponta Morelatti
(2000?):
Nas salas de aula de Cálculo Diferencial e Integral, a metodologia usada pela maioria dos professores prioriza exclusivamente a aula expositiva, centrada na fala do professor, com conteúdos apresentados como prontos e incontestáveis. Os alunos, após a aula, resolvem mecanicamente uma série de exercícios que enfatizam as técnicas de resolução em vez de conceitos e estratégias de resolução (Morelatti, 2000?, p.2).
O mesmo autor coloca que neste modelo, os alunos não são envolvidos
afetivamente com a disciplina e muitas vezes questionam a importância desta dentro
do curso por não entenderem seus objetivos e isto ocorre, na maioria das vezes,
pelo fato do conteúdo desta disciplina ser trabalhado de forma descontextualizada,
sem relação com situações reais. Além disso, assinala que:
Para poder contribuir no processo de construção do conhecimento, o professor deve compreender a idéia do aluno para poder intervir no momento certo, compreender o nível de desenvolvimento, ter um postura de mediador, de facilitador da aprendizagem, e para isto deve conhecer teorias educacionais que lhe dêem suporte para assumir esta mediação (Valente, apud Morelatti, 2000?, p.5). Deve ter saberes tanto sobre o conteúdo, como conhecimento didático destes conteúdos. Deve desafiar, desequilibrar, incentivar, acolher, ser parceiro e ousar (Morelatti, 2000?, p.5).
De acordo com Couy e Frota (2007), os professores contemporâneos não
estão condicionados à “camisa de força” do formalismo da Matemática Moderna,
mas têm como desafio diversificar estratégias de aprendizagem, possibilitando ao
estudante o estudo de um mesmo conceito sob várias perspectivas. Uma das formas
de diversificar é através do uso das novas tecnologias, que será abordada no
próximo capítulo.
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Capítulo 3
As novas tecnologias no processo educacional
Neste capítulo apresentaremos o uso das novas tecnologias na
educação, baseando-se na teoria construcionista, no qual tem como princípio básico
que o conhecimento se constrói a partir das ações dos sujeitos. Faremos uma breve
descrição acerca dos recursos computacionais destacando, entre eles, a internet e
os softwares educacionais, dando ênfase ao software Maple.
O processo de aprendizagem do Cálculo Diferencial e Integral exige
domínio de conceitos matemáticos abstratos, ou seja, estes não têm suporte
materializado. Deste modo, segundo Gravina e Santarosa (1998), entra em jogo a
“concretização mental” que nem sempre é simples, mesmo para o matemático
profissional. Assim, a inserção das novas tecnologias, dentre elas o uso do
computador, pode a vir facilitar este processo.
De acordo com Morelatti (2000?), no Brasil, a utilização de computadores
em Cálculo foi influenciada por artigos, livros e softwares produzidos no exterior, e
se iniciou com experiências isoladas de professores de algumas universidades
brasileiras. Além disso, vários grupos ligados a universidades estão utilizando
computadores para enfrentar a problemática da aprendizagem em Cálculo.
Por causa dos avanços tecnológicos da sociedade, o computador tornou-
se um instrumento necessário para realização de nossas atividades, devido a sua
agilidade e exatidão em processar informações. Faz-se necessário então educar
para uma sociedade informatizada, porém, as instituições de ensino utilizam o
computador para dizer que são adeptas da modernidade, mas apenas instrui os
alunos a operacionalizar a máquina não atribuindo significado ao seu uso.
A capacidade de armazenamento de informações, a velocidade de operação e a precisão, fazem do uso do computador uma ferramenta indispensável em todas as nossas atividades acadêmicas, profissionais e
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domésticas. Porém, ensinar o aluno somente a operar um computador não garante a melhoria da qualidade de ensino (Taneja, 1997, p.13).
Nessa abordagem de ensino, o uso do computador, segundo Morelatti
(2000?), reforça as práticas pedagógicas tradicionais, sendo utilizado para transmitir
informações e conteúdos, mantendo o aluno passivo no processo de aprendizagem.
Deste modo, de acordo com Valente (1993), nesta concepção, o computador acaba
sendo uma “máquina de ensinar”. Em contrapartida, o mesmo autor diz que o
computador, aliado a uma abordagem construcionista contextualizada, pode ser
usado como ferramenta educacional, não sendo mais um instrumento que ensina o
aprendiz, mas uma ferramenta com o qual este desenvolve algo. Percebe-se então
que o conhecimento é adquirido pelo aluno por está realizando uma atividade
mediada pelo computador.
3.1 A concepção construcionista
No fim da década de 60 o educador norte-americano Seymour Papert,
que foi discípulo de Jean Piaget no centro de Epistemologia Genética de Genebra,
começou a pesquisar o uso do computador como recurso pedagógico de acordo
com a concepção construcionista de educação, segundo Cazaux (1995). Nesta
percepção, que originalmente utiliza a linguagem de programação Logo, Castro e
Melo (2003?) colocam que, o aprendizado é um processo em que os alunos
constroem ativamente seu conhecimento, experimentando-o e participando do seu
processo de síntese.
Os estudos de Piaget demonstram que o desenvolvimento das funções cognitivas se dá numa contínua evolução das estruturas mentais; resultante de um processo de interação, no qual o sujeito procura compreender o mundo que o cerca, e busca resolver as interrogações que esse mundo provoca. Através de suas próprias ações, ele constrói suas categorias de pensamento ao mesmo tempo em que organiza seu mundo (Castro e Melo, 2003?, p.2).
O aluno ao desempenhar uma atividade do seu interesse se sente mais
estimulado, tornando a aprendizagem mais agradável e significativa.
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Conforme Morelatti (2000?), apesar do construcionismo estar relacionado,
originalmente, com a linguagem de programação Logo, este termo já está sendo
utilizado em ações com outros tipos de software, tais como planilhas eletrônicas,
software de autoria, editores de texto, etc. O termo se expandiu e hoje remete a uma
abordagem pedagógica de utilização de computadores na educação.
O processo de ensino e aprendizagem tradicional se difere do
construcionismo. No primeiro o professor assume um papel de transmissor de
conteúdos e o aluno receptor passivo de informações; já no construcionismo, como
afirma Morelatti (2000?), o professor age como facilitador, mediador da
aprendizagem do aluno, respeitando o ritmo e o estilo de cada um.
É necessário que o professor de matemática organize um trabalho estruturado através de atividades que propiciem o desenvolvimento de exploração informal e investigação reflexiva e que não privem os alunos nas suas iniciativas e controle da situação. O professor deve projetar desafios que estimulem o questionamento, a colocação de problemas e a busca de solução. Os alunos não se tornam ativos aprendizes por acaso, mais por desafios projetados e estruturados, que visem a exploração e a investigação (Richards, apud Santarosa e Gravina, 1998, p.6).
Aprender implica atribuição de significados, deste modo, como coloca
Morelatti (2000?), na abordagem construcionista, o aluno constrói o seu
conhecimento por meio de resoluções de um problema ou através do
desenvolvimento de um projeto significativo e contextualizado, em um trabalho
participativo e colaborativo. “Quando o aluno resolve um problema por meio do
computador, usando uma linguagem de programação, ele está metaforicamente
“ensinando o computador” a resolver este problema” (Morelatti, 2000?, p.5).
Para Valente apud Melo (2002), a utilização do computador na
aprendizagem descreve o seguinte ciclo: descrição-execução-reflexão-depuração. A
descrição significa utilizar toda a estrutura do conhecimento para representar e
explicitar os passos da resolução do problema no computador. O processo de
solução do problema por meio do computador é através da execução. Obtida a
resposta o aluno passa a refletir repensando aquilo que foi realizado, observando se
o resultado condiz com as suas hipóteses. Quando o resultado do problema é
diferente de sua intenção este realiza o processo de depuração, onde o mesmo irá
repensar, procurando os possíveis erros para construir novos conhecimentos.
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É importante salientar que “tanto a representação da solução do problema
como a sua depuração são muito difíceis de serem conseguidas através dos meios
tradicionais de ensino” (Valente, apud Morelatti, 2000?, p.5).
O computador serve como uma ferramenta que auxilia o processo de
aprendizagem, ou seja, o ciclo descrição-execução-reflexão-depuração não se dá de
forma a colocar o aprendiz diante do computador, pois a abstração do conhecimento
não está limitada ao software, mas, na relação docente-discente-software, como
afirma Valente apud Melo (2002):
O ciclo não acontece simplesmente colocando o individuo diante do computador. A interação computador-indivíduo precisa ser medida por um profissional-agente que tenha conhecimento do significado do processo de aprender por intermédio da construção do conhecimento (Valente apud Melo, 2002, p.19).
Assim, uma concepção educativa que emprega o computador como
instrumento de aprendizagem no ponto de vista construcionista conjectura a
resolução de problemas ou o desenvolvimento de projetos significativos vivenciados
pelos alunos.
3.2 Recursos computacionais de ensino e aprendizage m
Os recursos computacionais de ensino e aprendizagem surgiram,
segundo Castro e Melo (2000?), através de indagações sobre os subsídios e limites
dos ambientes tecnológicos no processo de interação entre os indivíduos. Com base
na abordagem sócio-construtivista de Vygotshy, em que o desenvolvimento cognitivo
é um processo contínuo que se dá ao longo da história social do homem, em sua
relação com o mundo, os mesmos autores colocam que, o desenvolvimento do ser
humano é um produto desta interação.
Flemming apud Castro e Melo (2003?) aborda três maneiras diferentes de
interação nos processos pedagógicos: interação social entre indivíduos face a face;
interação entre indivíduos, máquina e informação; interação entre indivíduos
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mediada pela tecnologia. A primeira interação constitui o contato professor-aluno
nas aulas presenciais. A segunda se edifica a partir das interconexões digitais,
como por exemplo, o software educativo. A última ocorre por meio do uso dos
espaços virtuais que são as salas de bate-papo, os fóruns e as listas de discussões.
Deste modo, os ambientes informatizados vêm a ser um instrumento que
auxilia os processos cognitivos e o ensino-aprendizagem dos conceitos matemáticos
apresenta-se como um espaço produtivo para o uso desses recursos, como por
exemplo, a internet e os softwares matemáticos.
3.2.1 A internet no processo educacional
Na contemporaneidade o uso da internet como espaço virtual transmissor
de informação, tem contribuído para melhoria das relações humanas na
aprendizagem. O aprendiz ao se utilizar desse recurso tem ao seu alcance uma
abundante fonte de informação e de possibilidade de interação.
Ela [a Internet] abriu as portas para o Mundo, tal como os nossos navegadores o fizeram há quinhentos anos quando venceram inúmeras barreiras e deram a conhecer novos mundos ao Mundo. A Internet tem hoje uma função semelhante – não só derruba barreiras de sexo, idade, cor, distância, tempo, cultura e educação, entre outras, como permanentemente disponibiliza novos mundos (de conhecimento) ao mundo. Falar de Internet é falar de uma sala de aula sem paredes, de uma gigantesca biblioteca, de uma gigantesca base de dados, de um gigantesco museu, de um incomensurável volume de informações, de uma interação sem precedentes de computadores e pessoas, acessível vinte e quatro horas por dia (D’ Eça, apud Castro e Melo, 2003?, p.4).
O aluno durante seus estudos ao surgir questionamentos a cerca do
conteúdo, utilizando-se da internet, pode interagir com algum grupo de estudo,
adquirindo, deste modo, respostas que venham a sanar suas dúvidas. Constrói-se,
portanto, segundo Castro e Melo (2003?), um processo cooperativo não
hierarquizado onde todos podem levantar dúvidas e também respondê-las,
democratizando, assim, o processo de ensino-aprendizagem.
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3.2.2 Softwares educativos
Segundo Lucena apud Frescki (2008), o software educacional, (S.E.), é
todo aquele software que possa ser usado com algum objetivo educacional,
pedagogicamente defensável, por professores e alunos, qualquer que seja o objetivo
para o qual ele foi criado. “O objetivo geral dos softwares educacionais é auxiliar no
processo ensino aprendizagem de uma dada disciplina” (Gamez, apud Frescki,
2008, p. 8). Para que isso ocorra, Frescki (2008) coloca que o software deve possuir
uma série de características, dentre elas, ser fácil de utilizar, de compreender,
favorecer a assimilação de conteúdos e possuir aspectos motivacionais.
Taylor apud Valente (1993) classifica os softwares educativos em tutor (o
software que instrue o aluno), tutorado (software que permite o aluno instruir o
computador) e ferramenta (software com o qual o aluno manipula a informação). O
tutor equivale aos programas onde o computador ensina o aluno. Os softwares do
tipo tutorado e ferramenta equivalem aos programas onde o aluno "ensina" o
computador.
É interessante ressaltar, como apontam Batista et al (2000), que os
softwares educacionais necessitam de uma avaliação quanto a sua qualidade, pois
nem sempre possuem características adequadas, no que se refere aos aspectos
técnicos e pedagógicos. Colocam que para avaliar um software educacional é
preciso levar em consideração a sua documentação, características pedagógicas e
da interface, facilidade de uso, adaptabilidade, portabilidade e retorno de
investimento.
Os obstáculos que venham ocorrer na aprendizagem da matemática,
devido ao seu caráter abstrato, podem ser atenuados através dos softwares
matemáticos, dando um caráter dinâmico aos conteúdos, auxiliando, deste modo, as
construções mentais dos objetos abstratos. De acordo Hebenstreint apud Gravina e
Santarosa (1998, p.7): “O computador permite criar um novo tipo de objeto – os
objetos ‘concreto-abstratos’. Concretos porque existem na tela do computador;
abstratos por se tratarem de realizações feitas a partir de construções mentais”.
27
Segundo Cazaux (1995), os softwares educacionais, destinados as
ciências exatas, facilita a construção de conceitos geométricos e matemáticos e
desenvolve o raciocínio lógico matemático, aprendendo a matemática como uma
“língua viva”. Atendendo as características citadas anteriormente, podemos destacar
o software Maple que será abordado no tópico a seguir.
3.2.2.1 Software Maple
O Maple, desenvolvido por Waterloo Inc (Ontário, Canadá), é um “sistema
de computação algébrica”, pois este permite aos seus usuários fazer cálculos não
somente com números, mas também com símbolos, fórmulas, expressões,
equações e assim por diante, ou seja, é uma poderosa ferramenta para todos
aqueles que necessitam de respostas rápidas e precisas para determinados
problemas matemáticos. Convém destacar, segundo Mariani (2005?), que esse
sistema não é desenhado especialmente para atingir objetivos pedagógicos, mas é
projetado para atender às necessidades do profissional na resolução de problemas.
Uma vez iniciado o Maple, tem-se então a tela inicial, worksheet, no qual
podemos por em ação as funções do aplicativo, produzir textos, cálculos, obter
gráficos e animações. Na parte superior tem-se três barras de menu, e na parte
inferior uma barra contendo informações sobre o estado atual do sistema. Os
procedimentos de abrir um novo documento ou um já existente, salvar um
documento, imprimir, recortar, copiar e colar são análogos à maioria dos programas
do Windows e podem ser acionados através dos ícones que se encontram na barra
superior do menu, ou ainda, através dos menus File e Edit , selecionando os
comandos new, open, save, print, cut, copy e paste, respectivamente. Cada um
desses comandos também possuem uma combinação de teclas de atalho que
também podem ser utilizadas.
28
Figura 1 - Tela inicial do Maple versão 8
Para executar um comando basta digitá-lo, e então pressionar a tecla
“ENTER”. Neste momento, o texto digitado é considerado como uma entrada, e será
então dada uma saída, que aparecerá imediatamente abaixo da entrada. Caso
ocorra algum erro de execução ou de sintaxe, uma mensagem apropriada será dada
como saída. Deve-se tomar muito cuidado na hora de digitar um comando, pois são
consideradas as diferenças entre letras maiúsculas e minúsculas, sendo que muitas
vezes, este é o motivo de vários erros na hora de sua execução.
Após a digitação de qualquer comando no Maple é obrigatória a
colocação de “; (sinal de ponto e vírgula)” no final da expressão escrita, para que o
comando seja executado. Nas versões mais recentes, como por exemplo, a versão
11, este sinal é optativo. Em alguns casos é utilizado o “: (sinal de dois pontos)” para
reconhecimento do comando, porém não é apresentado uma saída.
Este software é altamente indicado para o estudo nos tópicos do Cálculo.
Como ilustração utilizaremos o Maple no cálculo da integral definida π
0cosxdx∫ .
29
O comando “Int” nos dá como saída à expressão da integral. Por outro
lado, o comando “int” (observe que o “i” é minúsculo) nos dá o valor da integral,
como podemos ver na figura abaixo:
Figura 2 - Cálculo da integral definida 0
cos xdxπ
∫ no Maple.
É importante ressaltar, como coloca Kaiber e Renz (2008), que o Maple
utilizado como uma ferramenta deve ser enfocado não só na verificação da teoria
que geralmente foi apresentada a prioiri em sala de aula, mas como um instrumento
capaz de viabilizar a construção de novas conjecturas e o estabelecimento de
estratégias de resolução de problemas e entendimento, além da construção de
conceitos pelo próprio educando.
30
Capítulo 4
Uma abordagem interdisciplinar no Cálculo: a import ância da Geometria e da
Informática nesta disciplina
Para verificar as relações existentes entre os conhecimentos geométricos,
cálculo e informática no estudo do volume dos sólidos de revolução e da área das
superfícies de revolução, que será abordada no próximo capítulo, faz-se necessário,
compreender a importância do estudo interdisciplinar na disciplina de Cálculo. Deste
modo, inicialmente exploraremos o que vêm a ser interdisciplinaridade.
Segundo Ivani Fazenda apud Carlos (2002), a interdisciplinaridade surgiu
na França e na Itália em meados da década de 60, num período marcado pelos
movimentos estudantis que, dentre outras coisas, reivindicavam um ensino mais
sintonizado com as grandes questões de ordem social, política e econômica da
época. A interdisciplinaridade teria sido uma resposta a tal reivindicação, na medida
em que os grandes problemas da época não poderiam ser resolvidos por uma única
disciplina ou área do saber.
No final da década de 60, a interdisciplinaridade chegou ao Brasil e logo
exerceu influência na elaboração da Lei de Diretrizes e Bases Nº 5.692/71. Desde
então, sua presença no cenário educacional brasileiro tem se intensificado e,
recentemente, mais ainda, com os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN). Além
de sua forte influência na legislação e nas propostas curriculares, a
interdisciplinaridade ganhou força nas escolas, principalmente no discurso e na
prática de professores dos diversos níveis de ensino. Apesar disso, estudos têm
revelado que a interdisciplinaridade ainda é pouco conhecida.
A interdisciplinaridade ocorre quando as disciplinas se integram e
colaboram entre si e, como afirma Fazenda (2001): “para que haja
interdisciplinaridade é necessário, intercâmbio entre os saberes, em que cada um
traz para o grupo seu conhecimento interagindo com os demais”.
31
De acordo com Ferreira apud Silva (2003?):
A apreensão da atitude interdisciplinar garante para aqueles que a praticam um grau elevado de maturidade. Isso ocorre devido ao exercício de uma certa forma de encarar e pensar os acontecimentos. Aprende-se com a interdisciplinaridade que um fato ou solução nunca é isolado, mas sim conseqüência da relação entre muitos (Ferreira apud Silva, 2003?, p.5).
Silva (2003?) considera que a prática interdisciplinar nos envolve no
processo de aprender a aprender. Pretendendo-se abolir os reducionismos que
estão arraigados nas práticas fragmentadas do ensino disciplinarizado.
Uma postura interdisciplinar redimensiona o pensamento pedagógico em direção ao enfrentamento de problemas que se criam durante o seu processo de aplicação, o que possibilita a superação de dicotomias tradicionais da visão de mundo mecanicista do ensino aprendizagem (Silva, 2003?, p.11).
A partir desse momento, abordaremos a importância da geometria e da
informática no Cálculo para adentrar na necessidade de um estudo interdisciplinar
nessa disciplina.
Segundo Balomenos et al (1994), certos conceitos do curso tradicional de
Cálculo na Universidade são introduzidos frequentemente através de
representações geométricas. Além disso, afirmam que, muitas das idéias
necessárias para a compreensão do Cálculo na Universidade baseiam-se no curso
tradicional de geometria do segundo grau, mas os alunos ás vezes se surpreendem
quando, no meio de um problema difícil ou de uma explicação de um conceito, se
faz referência a triângulos semelhantes, ao teorema de Pitágoras ou ao volume de
um cilindro. Destacam que na resolução de muitos dos problemas de aplicação
tradicionalmente incluídos no cálculo, é essencial a habilidade para construir uma
representação pictórica de uma configuração geométrica com base numa descrição
verbal complicada.
A utilização da informática no Cálculo pode promover o estudo dessa
disciplina através da visualização gráfica, como foi abordado no Capítulo 2, numa
perspectiva, que permite a comunicação entre várias formas de representação
matemática . Além disso, esta possibilita a interação de diversas disciplinas em torno
de um axioma em comum, que pode ser um objeto de conhecimento do Cálculo, o
que caracteriza a interdisciplinaridade.
32
Deste modo, a estruturação de um estudo interdisciplinar, integrando
estas três áreas do conhecimento pode possibilitar, baseando-se em Pires (2000), o
enriquecimento do ensino de Cálculo por meio de novos enfoques e perspectivas
diferentes, buscando assim, caminhos alternativos que venham facilitar o processo
de ensino e aprendizagem.
33
Capítulo 5
Sólidos e Superfícies de Revolução
Neste capítulo iremos apresentar a definição de sólidos de revolução e
superfícies de revolução, em seguida, mostraremos o cálculo do volume e da área
destes respectivamente. Por fim, abordaremos o processo de aprendizagem dos
conteúdos, mostrando as relações existentes entre os conhecimentos geométricos,
cálculo e informática.
Definição (Sólido de Revolução): Fazendo uma região plana girar em torno de
uma reta no plano, obtemos um sólido, que é chamado sólido de revolução. A reta
ao redor da qual a região gira é chamada eixo de revolução.
Por exemplo, fazendo a região limitada pelas retas 0y = , y x= e 4x =
girar em torno do eixo-x, o sólido de revolução obtido é um cone.
Figura 3 - Região limitada pelas retas 0y = , y x= e 4x = e sólido de revolução, cone, obtido pela
rotação dessa região em torno do eixo-x.
Definição (Superfície de Revolução): Uma superfície gerada pela rotação de uma
curva plana (geratriz) em torno de uma linha reta fixa dada (eixo de revolução) é
chamada de Superfície de Revolução.
34
Geratriz
Figura 4 - Superfície de Revolução
5.1 Volume de um sólido de revolução
Consideremos o problema de definir o volume de um sólido T , gerado
pela rotação em torno do eixo-x, da região R vista na figura abaixo:
Figura 5 - Região R e sólido gerado pela revolução de R em torno do eixo-x. Fonte: Flemming (2007).
Suponhamos que f(x) é contínua e não negativa em [ ],a b . Consideremos
uma partição P de [ ],a b , dada por 0 1 1... ..i i na x x x x x b−= < < < < < = . Seja
1i i ix x x −∆ = − o comprimento do intervalo [ 1,i ix x− ]. Em cada intervalo [ 1,i ix x− ],
escolhemos um ponto ic . Para cada i, 1,..,i n= , construímos um retângulo iR de
base ix∆ e altura ( )if c . Fazendo cada retângulo iR girar em torno do eixo-x, o
35
sólido de revolução obtido é um cilindro, cujo volume é dado por [ ]2( )i if c xπ ∆ . A
soma dos volumes dos n cilindros, que é representado por nV , é dada por
[ ] [ ] [ ] [ ]2 2 2 2
1 1 2 21
( ) ( ) ... ( ) ( )n
n n n i ii
V f c x f c x f c x f c xπ π π π=
= ∆ + ∆ + + ∆ = ∆∑ , e nos dá uma
aproximação do volume do sólido T .
Figura 6 - Retângulo Ri e sólido de revolução, cilindro, obtido girando o retângulo em torno do eixo-x. Fonte: Flemming (2007).
Podemos observar que à medida que n cresce muito e cada ix∆ ,
1,..,i n= , torna-se muito pequeno, a soma dos n cilindros aproxima-se do que
intuitivamente entendemos como volume do sólido T .
Figura 7 - Fonte: Flemming (2007).
Definição : Seja ( )y f x= uma função contínua e não negativa em [ ],a b . Seja R a
região sob o gráfico de f de a até b. O volume do sólidoT , gerado pela revolução de
R em torno do eixo-x, é definido por
36
[ ]2
max 01
lim ( )i
n
i ixi
V f c xπ∆ → =
= ∆∑ (1)
A soma que aparece em (1) é a soma de Riemann da função [ ]2( )if c .
Como f é contínua, o limite em (1) existe, e então, pela definição da integral
definida, temos
( )( )2b
a
V f x dxπ= ∫
Do mesmo modo, temos o volume de um sólido obtido por revolução da
região R em torno do eixo-y.
Figura 8 - Sólido obtido pela revolução da região R em torno do eixo-y. Fonte: Flemming (2007).
Neste caso, temos
( )( )2d
c
V g y dyπ= ∫
Exemplo : Encontrar o volume do sólido gerado pela rotação em torno do
eixo-x, da região limitada pela curva 2 3y x x= + − , o eixo-x e as retas 3x = e
3x = − .
37
Figura 9 - Gráfico de ( ) 2 3f x x x= + − e da sua revolução em torno do eixo-x.
( )3
22
3
3063
5V x x dx
ππ−
= + − =∫
5.2 Área de uma superfície de revolução
Vamos considerar o problema de determinar a área da superfície de
revolução S, obtida quando uma curva C, de equação ( )y f x= , [ ],x a b∈ , gira em
torno do eixo-x.
Figura 10 – Curva C e superfície gerada pela revolução de C em torno do eixo-x. Fonte: Flemming (2007).
Vamos supor que ( )f x ≥ 0, para todo [ ],x a b∈ e que f é uma função
derivável em [ ],a b . Como fizemos para o cálculo do volume de um sólido de
revolução, dividimos o intervalo [ ],a b em n subintervalos através dos pontos
0 1 1... ..i i na x x x x x b−= < < < < < = . Sejam 0, 1,..., nQ Q Q os correspondentes pontos
38
sobre a curva C. Unindo os pontos 0, 1,..., nQ Q Q , obtemos uma linha poligonal que
aproxima a curva C.
A figura abaixo ilustra esta poligonal para n=7.
Figura 11 - Poligonal para n=7. Fonte: Flemming (2007).
Fazendo cada segmento de reta desta linha poligonal girar em torno do
eixo-x, a superfície de revolução obtida é um tronco de cone, como mostra a figura
abaixo.
Figura 12 – Tronco de cone obtido pela rotação de um segmento de reta da linha poligonal em torno do eixo-x. Fonte: Flemming (2007).
Da geometria elementar, sabemos que a área lateral do tronco de cone é
dada por 1 2( )A r r Lπ= + , onde r1 é o raio da base menor, r2 é o raio da base maior e
L é o comprimento da geratriz do tronco de cone.
39
Figura 13 – Tronco de cone. Fonte: Flemming (2007).
Portanto, a área lateral do tronco de cone que visualizamos na figura 12,
é dada por
[ ] 11
( ) ( )( ) ( ) 2 2 ( )
2i i
i i i i i i if x f x
A f x f x s s f c sπ π π−−
+ = + ∆ = ∆ = ∆ (1)
onde is∆ é o comprimento do segmento 1i iQ Q− e ic é um ponto no
intervalo [ 1,i ix x− ] tal que 1( ) ( )( )
2i i
if x f x
f c − += (*).
Podemos garantir a existência de ic [ ]1,i ix x−∈ que satisfaz (*), pelo
Teorema do Valor Intermediário, já que f é contínua em [ ],a b .
Analisando o triângulo retângulo 1i iQ AQ− da figura 12, vemos que
( ) ( ) ( )( )221 1i i i i is x x f x f x− −∆ = − + − (2).
Como f é derivável no intervalo [ ],a b , podemos aplicar o Teorema do
Valor Médio em cada [ ]1,i ix x− , 1,...,i n= . Então, para cada 1,2,...,i n= , existe um
ponto id ( )1,i ix x−∈ tal que 1 1( ) ( ) '( )( ) '( )i i i i i i if x f x f d x x f d x− −− = − = ∆ onde
1i i ix x x −∆ = − .
Substituindo em (2), vem
40
( ) ( ) ( ) [ ]2 22 2' 1 '( )i i i i i is x f d x f d x ∆ = ∆ + ∆ = + ∆
Substituindo agora, este resultado em (1), obtemos
[ ]22 ( ) 1 '( )i i i iA f c f d xπ= + ∆ .
Esta expressão nos dá a área lateral do tronco de cone gerado pela
rotação em torno do eixo-x, do segmento de reta 1i iQ Q− .
Somando as áreas laterais de todos os troncos de cone gerados pela
rotação dos segmentos que compõem a linha poligonal, obtemos uma aproximação
da área da superfície S, dada por [ ]2
1 1
2 ( ) 1 '( )n n
i i i i
i i
A f c f d xπ= =
= + ∆∑ ∑ .
Podemos observar que quando n cresce muito e cada ix∆ torna-se muito
pequeno, a soma das áreas laterais dos n troncos de cone, aproxima-se do que
intuitivamente entendemos como a área da superfície S.
Definição : Seja C uma curva de equação ( )y f x= , onde f e 'f são funções
contínuas em [ ],a b e ( ) 0f x ≥ , [ ],x a b∀ ∈ . A área da superfície de revolução S ,
gerada pela rotação da curva C ao redor do eixo-x, é definida por
[ ]2
01
lim 2 ( ) 1 '( )i
n
i i imax x
i
A f c f d xπ∆ →
=
= + ∆∑ (3)
A soma que aprece em (3) não é exatamente uma soma de Riemann da
função [ ]2( ) 1 '( )f x f x+ , pois aparecem dos pontos distintos ic e id . No entanto, é
possível mostrar que o limite em (3) é a integral desta função. Temos, então
( )22 ( ) 1 '( )
b
a
A f x f x dxπ= +∫
41
Observamos que, se ao invés de considerarmos uma curva ( )y f x=
girando em torno do eixo-x, considerarmos uma curva ( ), [ , ]x g y y c d= ∈ girando em
torno do eixo-y, a área será dada por
( )22 ( ) 1 '( )
d
c
A g y g y dyπ= +∫
Exemplo : Encontrar a área da superfície gerada pela rotação do arco da
curva 216y x= − , com 3 3x− ≤ ≤ em torno do eixo-x.
Figura 4 - Gráfico de 2( ) 16 -=f x x e da sua revolução em torno do eixo-x.
Sabendo que a derivada de y é igual a 216 x
x
−−
temos:
3 22
23
2 16 1 4816
xA x dx
xπ π
−
= − + = −
∫
5.3 O processo de aprendizagem dos conteúdos: volum e dos sólidos de
revolução e área das superfícies de revolução.
Segundo Balomenos et al (1994), os alunos de Cálculo costumam ter
muita dificuldade com os problemas sobre volume dos sólidos de revolução, o
mesmo acontece com os problemas envolvendo área das superfícies de revolução.
Diante da análise de uma pesquisa, apontou alguns erros cometidos por calouros:
42
girar a região em torno de um eixo que não era o correto e tentar um esboço do
sólido de revolução usando uma reflexão incorreta da região através do eixo.
No Brasil, segundo Kaiber e Renz (2008), o ensino do Cálculo Diferencial
e Integral, historicamente, caracteriza-se pela prevalência de processos algébricos
seguidos de exercícios, via de regra, de caráter repetitivo e com pouca, ou quase
nenhuma interdisciplinaridade.
Balomenos et al (1994) mencionam que para compreender como se
chega às técnicas de volume de sólido de revolução e resolver problemas pela
aplicação dessas regras mobiliza várias habilidades geométricas espaciais, o
mesmo se aplica à compreensão das técnicas da área das superfícies de revolução.
Os autores consideram a título de exemplo um problema típico que se
encontra nos livros de Cálculo fazendo em seguida uma análise dos conhecimentos
necessários para o aluno resolver a questão:
Esboce a região R limitada pelos gráficos das equações dadas e
determine o volume do sólido gerado ao se girar R em torno do eixo indicado:
3x y= , 2 0x y+ = ; em torno do eixo x.
Para conseguir resolver este problema, o aluno deve:
• representar graficamente a informação fornecida e determinar a região a ser
girada;
• esboçar ou visualizar o sólido de revolução e escolher o método apropriado.
• esboçar ou visualizar a secção transversal do sólido, girar uma “fatia
representativa” para formar uma seção transversal.
• expressar o volume representativo em termos das relações dadas e
finalmente desenvolver a integral para calcular o volume.
Assinalam que os passos que envolvem questões de Cálculo neste
conteúdo requerem visualização e representação gráfica que são provenientes do
curso de geometria.
43
O estudo destes conteúdos pode ser introduzido no contexto
interdisciplinar, interagindo a Geometria, o Cálculo e também a Informática. A última
entra como um suporte na visualização do sólido à medida que vai sendo gerado e
na verificação da validade do resultado de um problema proposto.
44
Capítulo 6
Apresentação, análise e discussão dos dados
Com o objetivo de investigar o processo de ensino dos conteúdos volume
dos sólidos de revolução e área das superfícies de revolução na disciplina de
Cálculo Diferencial e Integral, buscou-se por meio de uma pesquisa exploratória
levantar dados para compreensão da metodologia utilizada pelos docentes nesta
disciplina. A coleta de dados ocorreu na Universidade do Estado da Bahia-UNEB,
Campus II, com os professores que ensinam esta disciplina no curso de Licenciatura
em Matemática. Segundo Gil (2002), na investigação exploratória o levantamento é
obtido através da interrogação direta das pessoas cujo comportamento se deseja
conhecer. Nesse sentido, na coleta dos dados, foi aplicado um questionário com os
professores que ministram a disciplina Cálculo Diferencial e Integral, na instituição e
no curso citado e, além disso, foi realizada uma oficina, com os mesmos, utilizando o
software Maple com a finalidade já descrita anteriormente.
6.1 Análise do questionário
Para conhecer a metodologia dos professores foi aplicado um
questionário, que continha 6 perguntas, sendo 1 objetiva e 5 subjetivas. Aplicação
deste ocorreu via e-mail, sendo este enviado aos professores de Cálculo da
instituição citada e do curso selecionado, abordado anteriormente. O universo dos
sujeitos selecionados correspondeu a uma população de 5 componentes, mas,
apenas 3 enviaram a resposta ao e-mail solicitado. Na análise estes docentes foram
designados de professores A, B e C.
Os dados coletados e a respectiva análise das respostas revelam, não
somente, a metodologia de ensino desses docentes, sobretudo se estes conheciam
45
o software Maple, o nível de dificuldade dos alunos na compreensão dos conteúdos
abordados e como repercuti entre os discentes a sua metodologia.
O professor A, mestre em matemática desde 2003, relatou a metodologia
utilizada do seguinte modo: “Basicamente, as aulas são expositivas onde procuro
abordar aspectos da teoria evidenciando a importância do formalismo matemático e
aplicando através de exercícios que envolvam os conceitos de forma mais abstrata.
Procuro no curso de Matemática trabalhar detalhes da teoria, o que possibilita o
entendimento da essência do conteúdo. Até o presente momento, nos cursos
ministrados na UNEB, apliquei uma única vez o WinPlot para visualização de
gráficos de funções de duas variáveis”. Observa-se que sua metodologia de ensino
segue uma abordagem tradicional. Este conhece os softwares educativos Maple e
Geogebra, mas nunca utilizou estes em sala de aula nessa instituição. Para o
docente “os alunos são pragmáticos, objetivam os exercícios e avaliações, o que é
natural, isso dificulta a compreensão de um curso mais teórico, devido à resistência
ao estudo da teoria”. Este possui certa dificuldade em aplicar sua metodologia, que
enfatiza essencialmente a teoria, pois seus discentes priorizam a prática de
exercícios preocupados com a avaliação. Na escala de 0 à 10 considerou o nível de
dificuldade dos alunos na aprendizagem dos conteúdos abordados 6 (seis), um valor
considerado significativo.
O professor B, mestre em matemática desde 2004, descreveu a sua
metodologia da seguinte forma: ”Geralmente minhas aulas são expositivas, com
aplicações práticas de cada conteúdo trabalhado, usando quando possível recurso
computacional para uma melhor visualização, de principalmente, elementos
tridimensionais.(...). Para um melhor aprendizado, costumo indicar listas de
exercícios, que são resolvidas pelos alunos e as possíveis dúvidas são tiradas
individualmente, em momentos anteriores e posteriores as aulas, e em aulas
específicas para este fim”. Percebe-se que o docente já incorpora em sua
metodologia novas práticas de ensino, como o uso dos recursos computacionais,
para auxiliar na visualização gráfica. O mesmo ressalta que “(...) o aluno deve saber
identificar elementos gráficos através de suas equações e descrições sem
necessariamente ter que recorrer aos recursos computacionais”. O recurso
computacional que utiliza em sala de aula é o software Winplot, apesar de conhecer
46
outro software educativo, o Maple. Em relação como repercuti a sua metodologia
entre os alunos o mestre relatou que: “Inicialmente não é muito aceita, pois não
costumo ficar resolvendo exercícios em quadro, nas vésperas de provas. Argumento
que a melhor forma de aprendizado é a prática, e com o tempo eles vão percebendo
que realmente isto funciona!”. Observa-se que o mesmo encontra obstáculo ao
aplicar a sua metodologia de ensino no momento das avaliações e, além disso, há
uma valorização na prática de exercícios. Em relação à escala proposta, referente
ao nível de dificuldade dos alunos na aprendizagem dos conteúdos abordados na
pesquisa, considerou o valor 4 (quatro), uma estimativa aceitável.
O professor C tem o título de mestre em matemática adquirido no ano de
1998. Trabalha em sala de aula com “lista de atividade direcionada para que os
discentes construam o conhecimento”. É um docente adepto dos recursos
computacionais no processo de ensino, trabalha, por exemplo, com o software
Maple nas superfícies e animações de curvas. Aponta que “O uso do software é
bastante estimulante para os discentes”. Acerca da dificuldade da aprendizagem dos
conteúdos não quantificou, mas ressalta que na disciplina Cálculo II nunca utilizou o
software Maple.
Na análise do questionário pode-se perceber que esses professores
tentam ou já tentaram aliar os métodos tradicionais as novas tendências de ensino,
como a utilização de softwares educativos.
6.2 Análise da oficina
Outra decisão metodológica da pesquisa foi à realização de uma oficina,
onde foi explicado os conteúdos abordados utilizando o software Maple como
suporte, com os professores que ministram a disciplina de Cálculo no curso
apontado anteriormente. A amostra foi composta de 4 docentes. É interessante
mencionar que todos os participantes conheciam o software. A oficina foi realizada
na própria instituição onde os docentes trabalham, com duração de duas horas. A
análise da oficina foi configurada a partir dos pontos considerados relevantes para o
47
atendimento do objetivo proposto: qual a opinião dos professores acerca do software
Maple como uma nova ferramenta de ensino; a visão dos mesmos acerca da
importância dos alunos terem uma boa base na geometria elementar para
compreensão dos conteúdos explanados; a concepção acerca do software Maple
como uma ferramenta que possibilita a integração de áreas do conhecimento.
Iniciamos a oficina explicando alguns comandos básicos utilizados no
Maple. Em seguida, passamos a explicar como calcular integrais indefinidas e
definidas utilizando o software. Nesse momento, um professor mencionou que este
instrumento era interessante para os alunos verificarem o resultado encontrado na
resolução de uma questão acerca do assunto.
Logo após, passamos a explanar o conteúdo volume de um sólido de
revolução. O material continha uma sequência didática de como abordar o conteúdo
utilizando o software Maple como ferramenta. Em vários momentos, os professores
discutiam entre si, colocando principalmente que este recurso facilitaria a
visualização gráfica, que é de fundamental importância na compreensão da teoria do
conteúdo. No momento das atividades solicitadas os professores participavam
entusiasmados, adaptando, até mesmo, outras situações nas questões propostas.
Em seguida, explicamos como calcular a área de uma superfície de
revolução utilizando o software, lançando um desafio para que os docentes
elaborassem uma sequência didática utilizando o software como uma ferramenta, da
mesma forma que foi feito com a teoria do outro conteúdo. É interessante ressaltar,
que os professores, antes mesmo do término da oficina, solicitaram o material
didático com os conteúdos abordados para futura utilização deste em sala de aula.
Ao término da oficina, foi aberto um espaço para discussão, onde foram
feitos questionamentos no intuito de adquirir subsídios para alcançarmos nosso
objetivo. A seguir, transcrevemos as questões tratadas e as discussões dos
docentes.
Através do que foi exposto, qual a opinião de vocês acerca do Maple
como uma nova ferramenta de ensino?
48
Opinaram que este software é excelente não somente na disciplina de
Cálculo, como também na Álgebra, pois este possibilita uma melhor visualização da
teoria. Mas, apontaram alguns fatores que dificultam a sua utilização: esse software
não é gratuito; a carga horária destinada às disciplinas de Cálculo não é suficiente
para explicar o conteúdo e, além disso, ensinar o aluno a manusear o software.
Apontaram que seria interessante se os alunos tivessem uma disciplina que
ensinasse o uso de softwares matemáticos.
Para vocês, diante do que foi mostrado e de sua experiência em sala de
aula, é importante os alunos terem uma boa base na geometria elementar para
compreensão desses assuntos no Cálculo?
Os professores foram bem objetivos e unânimes, responderam que com
certeza os alunos precisam ter esse conhecimento.
O software Maple possibilita a integração de áreas do conhecimento,
como a Informática, a Geometria e o Cálculo?
Disseram apenas que possibilita.
A análise da oficina nos permite apontar que os professores perceberam
que software Maple é uma ferramenta eficaz no processo de ensino da disciplina
Cálculo Diferencial e Integral, além disso, é um instrumento que permite trabalhar a
disciplina de forma mais contextualizada propiciando a integração de áreas do
conhecimento.
6.3 Discussão dos resultados
A análise desse estudo possibilitou mostrar como está ocorrendo o
processo de ensino, por parte de alguns professores, da disciplina de Cálculo na
universidade citada e, deste modo, podemos compreender o mesmo processo em
relação aos conteúdos volume dos sólidos de revolução e área das superfícies de
revolução, pois estes são assuntos ensinados nesta disciplina.
49
Em relação à metodologia utilizada em sala de aula pode-se perceber que
os professores que responderam o questionário tentam incorporar o uso das novas
tecnologias em suas práticas de ensino, apesar suas estratégias de ensino se
desenvolverem a partir da exposição formal e discursiva dos conteúdos. Os mesmos
quando se utilizaram dos softwares como recurso, foi apenas para facilitar o
processo de visualização gráfica. De acordo com as Orientações para o Ensino
Médio apud Kaiber e Renz (2008), há softwares que provocam o processo que
caracteriza o “pensar matematicamente”, ou seja, os alunos podem fazer
experimentos, testar hipóteses, esboçar conjecturas, criar estratégias para resolução
de problemas, além de possibilitar a construção do conceito pelo próprio educando.
Ao analisarmos a oficina evidenciamos que os professores perceberam a
eficácia do uso de um software educativo no ensino dos conteúdos referentes à
disciplina de Cálculo. Isso foi constatado através do entusiasmo apresentado por
eles no momento da explanação, na realização das atividades e quando foram
questionados acerca da utilização do Maple como ferramenta de ensino, apontando
que este era excelente. Como afirma Mariani (2005, p.1) “o software Maple possui
uma grande potencialidade em relação ao ensino de tópicos de Cálculo, e quando
utilizado torna o processo de aprendizagem mais prazeroso”.
Quando os professores responderam que com certeza os alunos
precisam ter uma boa base na geometria elementar para compreensão dos
conteúdos, podemos afirmar a importância desta disciplina na aprendizagem de
Cálculo. “O estudo da geometria propícia a prontidão para o Cálculo (...)”
(Balomenos et al ,1994, p.257).
Baseando-se no que os professores mencionaram sobre a importância da
Geometria para o Cálculo e da utilização do Maple como um instrumento que
possibilita a integração de áreas do conhecimento, pode-se mostrar que é possível a
elaboração de um projeto interdisciplinar para o ensino desta disciplina.
O que fizemos, aqui, foi introduzir uma discussão que acerca do
processo de ensino da disciplina Cálculo Diferencial e Integral, destacando o uso do
software como uma ferramenta.
50
Conclusão
Baseado na revisão de literatura podemos enfatizar que a dificuldade de
aprendizagem no Cálculo, destacando a compreensão dos conteúdos volume dos
sólidos de revolução e área das superfícies de revolução, pode está associada à
metodologia utilizada pelos professores em sala de aula. Os conhecimentos que
compõe essa disciplina exigem certo nível de abstração. O uso dos softwares
possibilita o aluno a desenvolver a capacidade de criatividade, observação,
questionamentos e reflexão. Afinal, conforme afirma Valente apud Frescki (2008), os
indivíduos têm sua aprendizagem acentuada em ambientes ricos, desafiadores e
estimuladores, o uso de softwares educacionais possibilita a construção desses
espaços. Os professores que participaram da pesquisa demonstraram o interesse na
utilização desses recursos, o que pode vir a melhorar o processo de aprendizagem.
Os softwares educacionais também possibilitam a integração de áreas do
conhecimento. A aprendizagem de certos conceitos de Cálculo dependem de
informações provenientes de outras disciplinas, como por exemplo, a Geometria.
Isso foi perceptível através da revisão de literatura e nos dados coletados na
investigação, onde os professores confirmaram a importância dessa disciplina para o
Cálculo. Deste modo, a elaboração de um estudo interdisciplinar interagindo essas
duas áreas do conhecimento, utilizando softwares como ferramentas, dentre eles o
Maple, pode vir a facilitar a aprendizagem nesta disciplina, salientando o
entendimento dos conteúdos volume dos sólidos de revolução e área das superfícies
de revolução.
Nunca ousaremos afirmar que as dificuldades apresentadas pelos alunos
na aprendizagem dos conteúdos estão relacionadas apenas a metodologia utilizada
pelos docentes no ensino da disciplina de Cálculo. Nem afirmaríamos que é
suficiente a utilização dos softwares educacionais para melhoria da aprendizagem.
Nossa expectativa é que a busca de novos meios de ensino possa vir a facilitar a
construção do conhecimento. Cabe ressaltar que a continuidade dessa pesquisa é
de grande importância, pois se constitui um estudo necessário para que a
aprendizagem dessa disciplina se torne mais eficaz.
51
REFERÊNCIAS
BALOMENOS, Richard H. et al. Geometria: prontidão para o cálculo. In: LINDQUIST, Mary Montgomery; SHULTE, Alberto P, organizadores. Aprendendo e ensinando geometria . Tradução de Hygino H. Domingues. São Paulo: Atual, 1994.
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52
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53
APÊNDICE A
UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA – UNEB DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA – DECT CAMPUS II DISCENTE(S): EDPAULA MOITINHO E LAISE LIMA ORIENTADOR: ADRIANO CATTAI
QUESTIONÁRIO
Este questionário visa fornecer subsídios para o desenvolvimento de uma pesquisa
na área de Cálculo, cuja discussão resultará em um trabalho monográfico.
1. Dados:
1.1 Formação: 1.2 Ano de Formação:
2. Você tem alguma experiência na utilização do software Maple em sala de aula?
Não Sim Não conheço
3. Se a questão anterior for afirmativa, em qual (quais) conteúdo(s) foi utilizado o
software? Se negativo você utiliza algum outro recurso didático além do quadro?
4. Faça uma síntese da metodologia utilizada por você em sala de aula (Não se
esquecer de colocar os recursos e procedimentos utilizados)
5. Numa escala de 0 a 10, qual o nível de dificuldade dos discentes na
aprendizagem dos conteúdos volume e área de sólidos de revolução?
6. Como repercuti, entre os alunos, sua metodologia utilizada, seja ela com
software ou não?
54
APÊNDICE B
Material didático
Apresentação
Neste material vamos apresentar alguns comandos e símbolos básicos
para a utilização do Maple no Cálculo Diferencial e integral, enfatizando os métodos
de integração, o cálculo do volume dos sólidos de revolução e da área de uma
superfície de revolução.
È importante colocar que para executar um comando no software Maple
basta digita-lo, e então pressionar a tecla “ENTER” . Ressaltando que após a
digitação do comando é obrigatório a colocação de “; (sinal de ponto e vírgula)” ou o
“: (sinal de dois pontos)” no final da expressão escrita, para que o comando seja
executado.
Capítulo 1: Integral
1.1 Integral indefinida
Iniciamos esta seção com a computação de integrais indefinidas. O
comando “int” calcula a integral indefinida d⌠⌡
( )f x x , para tanto, digite no Maple
int(f(x),x).
55
No caso em que o comando “int” não consegui produzir o resultado
exato ou desejado da expressão, numa forma adequada, usamos “evalf” . O
comando “Int” escreve a expressão na forma da integral.
Exemplo 1: A integral 3 25 3 5x x x dx+ + −∫ é resolvida, com o Maple,
utilizando os seguintes comandos:
> Int(x^3+5*x^2+3*x-5,x);
d⌠⌡ + + − x3 5x2 3x 5 x
> int(x^3+5*x^2+3*x-5,x);
+ + − 14
x4 53
x3 32
x2 5x
Obs: Pode-se digitar apenas em uma entrada, da seguinte forma:
> Int(x^3+5*x^2+3*x-5,x) = int(x^3+5*x^2+3*x-5,x);
Exemplo 2: Para a integral ∫ senxdxe x , temos:
> Int(exp(x)*sin(x),x) = int(exp(x)*sin(x),x);
1 1sin( ) cos( ) sin( )
2 2x x xe x dx e x e x= − +∫
Exercício 1 : Resolva as seguintes integrais utilizando o Maple.
(a) ( )( )22 31 5 3x x x dx+ + +∫
(b) 2
29x
dxx+∫
(c) ( )8 33 cosx x dx∫
1.2 Integral definida
56
Apresentaremos alguns exemplos de cálculo de integrais definidas. A
integral definida ( )b
a
f x dx∫ é calculada com o comando “int” , fazendo uso da sintaxe
int(f(x),x=a..b) .
Exemplo 3: A integral ∫π
0cos xdx é calculada assim:
> Int(cos(x),x=0..Pi)= int(cos(x),x=0..Pi);
0
cos( ) 0x dxπ
=∫
Exemplo 4: Para a integral1
20 1x
dxx +∫ , digitamos:
> Int(x/(x^2+1),x=0..1) = int(x/(x^2+1),x=0..1);
1
20
1ln(2)
1 2x
dxx
=+∫
> evalf(int(x/(x^2+1),x=0..1));
0.3465735903
Observação : O comando “evalf” é utilizado para obter valores em
aproximação decimal. Por exemplo, evalf(Pi,20) nos dá uma aproximação para π
em vinte casas decimais.
Exercício 2 : Resolva a integral 7
4( 3)x dx− +∫ utilizando o Maple.
1.3 Integração por substituição
Nesta subseção apresentaremos alguns exemplos de cálculo de integrais
pelo método da substituição. Resolveremos, como exemplo, a seguinte integral pelo
método da substituição:
57
( )( )5
sen
cos
xdx
x∫
Inicialmente, necessitamos carregar o pacote student :
> with(student);
Em seguida, denotaremos esta integral por I1, veja:
> I1:=Int(sin(x)/cos(x)^5,x);
:= I1 d⌠
⌡
( )sin x
( )cos x 5 x
> I1a:=changevar(cos(x)=u,I1);
:= I1a d⌠
⌡
−
1
u5 u
> I1b:=value(I1a);
:= I1b1
4u4
> subs(u=cos(x),I1b);
14
1
( )cos x 4
Assim concluímos que ( )( )5 4
sen 1cos 4cos( )
xdx
x x=∫ .
Agora tente resolver a integral 1
2
xedx
x
−
∫ , pelo método da substituição,
utilizando o Maple.
1.4 Integração por partes
58
A fórmula geral de integração por partes é dada por ∫ ∫−= vduuvudv
em que u e v são funções da mesma variável x.
Utilizamos o comando, do pacote student, “intparts” para calcular
integrais por partes. A sintaxe deste comando é intparts(f, u) , em que f é a
expressão da forma Int(u*dv, x) e u o fator do integrando que será diferenciado.
Vejamos, como exemplo, a utilização deste comando com a integral ( )lnx x dx∫ .
Inicialmente, adotaremos ( )lnu x= .
> with(student);
> I1:=Int(sqrt(x)*log(x),x);
:= I1 d⌠⌡ x ( )ln x x
> I2:= intparts(I1,log(x));
− 23
( )ln x x( )/32
d⌠
⌡
2 x3
x
> simplify(value(I2)); 322(3ln( ) 2)
9x x −
Agora, fazendo “u x= ” temos:
> I3:=intparts(I1,sqrt(x));
− x ( ) − x ( )ln x x d⌠
⌡
12
− x ( )ln x x
xx
> simplify(value(I3)); 29
x( )/32
( ) − 3 ( )ln x 2
Observação (Cálculo direto): Podemos calcular diretamente o valor da integral
dando o seguinte comando:
> simplify(value(I1));
59
29
x( )/32
( ) − 3 ( )ln x 2
Exercício 3 : Resolva, por partes, a integral ( )senx x dx⋅∫ . Considere primeiro “u =
sen(x)” e depois “u = x”. Logo após discuta o resultado. Em seguida use o cálculo
direto para achar o valor da integral.
Capítulo 2
Volume de um sólido de revolução
Um sólido de revolução é obtido fazendo uma região plana girar em torno
de uma reta no plano que contém a curva. A reta ao redor da qual a região gira é
chamado de eixo de revolução. Nesta seção vamos abordar como calcular volume
de tais sólidos.
Vamos considerar sólidos de revolução obtidos girando-se, em torno do
eixo x, a região limitada por uma função f contínua, positiva e definida em um
intervalo fechado [a, b]. Por exemplo, vamos considerar a região limitada pela curva 3( ) (2 ) 2f x x= − + pelo eixo-x e pelas retas 1x = e 3x = , como é mostrado na figura
abaixo:
60
Segue os comandos para construção no Maple.
> with(plots): > f:=x->((2-x)^3+2); >regiao := plot( {f(x), [[1,0],[1,f(1)]], [[3,0], [3 ,f(3)]]},
x=1..3, color=red):
> display(regiao,view = [0..4,-0.5..4]);
Girando-se esta região em torno do eixo-x, obtemos o sólido mostrado na
figura abaixo:
Abaixo, comandos do Maple capaz da animação da curva.
> var_teta:=[seq(0.01+i*2*Pi/10,i=0..10)]: > curva:=teta->plot3d([f(x)*sin(u),x,f(x)*cos(u)],x=1..3,u=0..teta,style=hidden,grid=[35,35],color=red): > d:=teta->plot3d([r*sin(v),3,r*cos(v)],r=0..f(3),v=0..teta,color=blue): > env:=seq(display([curva(teta),d(teta)]),teta=var_te ta): > display(env,insequence=true,axes=normal,orientation =[20,60]);
O problema que se coloca é: como calcular o volume desse sólido? Se a
curva ( )y f x= fosse uma reta, teríamos um cilindro do qual conhecemos o volume
através da geometria elementar.
> f:=x->3; := f 3
> curva:=teta->plot3d([f(x)*sin(u),x,f(x)*cos(u)],x=1..3,u=0..2*teta,style=hidden,grid=[35,35],color=red): > d:=teta->plot3d([r*sin(v),3,r*cos(v)],r=0..f(3),v=0..2*teta,color=blue): > env:=seq(display([curva(teta),d(teta)]),teta=var_te ta): > display(env,insequence=true,axes=normal,orientation =[20,60]);
61
Para visualizar copie os comandos a seguir e cole no Maple.
A idéia é então dividir o sólido de revolução em pequenas fatias por
planos perpendiculares ao eixo dos x. Para isso, consideremos uma partição de [a,
b], dada por a=x0<x1<...<xi-1<xi<...<xn=b. Seja ∆xi= xi - xi-1 o comprimento do intervalo
[xi-1, xi].
> a:=1: b:=3: > n:=10: > f:=x->((2-x)^3+2): > curva:=teta->plot3d([f(x)*sin(u),x,f(x)*cos(u)],x=1..3,u=0..teta,style=hidden,grid=[35,35],color=red): > fatia:=seq(spacecurve([f(1+i*(b-a)/n)*sin(v),1+i*(b-a)/n,f(1+i*(b-a)/n)*cos(v)],v=0..2*Pi,color=black,thickness=3),i=0..n-1): > display([curva(2*Pi),fatia],axes=normal,orientation =[20,60]);
Em cada intervalo [xi-1, xi], escolhemos um ponto ci qualquer. Para cada i,
i=1...n, construímos um retângulo, de base ∆xi e altura f(ci). Fazendo girar em torno
do eixo dos x, o sólido de revolução obtido é um cilindro, cujo volume é dado por
( ) 2
i if c xπ ∆ . A soma dos volumes dos n cilindros que representamos por Vn, é
dada por [ ]2
1
( )n
n i ii
V f c xπ=
= ∆∑ , e nos dá uma aproximação do volume do sólido.
Para visualizar copie e cole os comandos a seguir no Maple.
> f:=x->((2-x)^3+2): > curva:=teta->plot3d([f(x)*sin(u),x,f(x)*cos(u)],x=1..3,u=0..teta,style=hidden,grid=[35,35],color=red): > cilindro:=teta->plot3d([f(2.5)*sin(u),x,f(2.5)*cos(u)],x=2.5..2.8,u=0..teta,style=wireframe,color=black): > d:=teta->plot3d([r*sin(v),2.8,r*cos(v)],r=0..f(2.5),v=0..teta,color=green): > env:=seq(display([curva(teta),cilindro(teta),d(teta)]),teta=var_teta): > display(env,insequence=true,axes=normal,orientation =[20,60]);
62
Podemos observar que a medida que n cresce muito e cada ∆xi, i=1,..,n,
torna-se muito pequeno, a soma dos n cilindros aproxima-se do que intuitivamente
entendemos como volume do sólido.
> ###WARNING:semantics of type 'string' have changed > cilin:=n->seq(plot3d([f(1+j*(b-a)/n)*cos(u),x,f(1+j*(b-a)/n)*sin(u)],u=0..2*Pi,x=1+j*(b-a)/n..1+(j+1)* (b-a)/n,style=PATCHCONTOUR,grid=[35,35],title=convert(evalf(sum(Pi*(f(a+k*(b-a)/n))^2*(b-a)/n,k=0..n-1)),string)),j=0..n-1): > cilindros:=seq(display([curva(2*Pi),cilin(m)]),m=1. 5): > display(cilindros,insequence=true,axes=normal,orientation=[20,60]);
Assim, temos que o volume do sólido é ∑=→∆
∆=n
iiix
xcfvi 1
2
0)]([limπ .Observa-
se que a soma que aparece em V é uma soma de Riemann da função [f(x)]2 . Como
f é continua temos que o volume do sólido é:
7
58)2)2(()]([
3
1
232 πππ ∫ ∫ =+−==b
a
dxxdxxfv
Generalizando o resultado
O volume de um sólido de revolução obtido por revolução da região
limitada pelo gráfico de ( )y f x= , x a= , x b= , e o eixo- x em torno do eixo-x é dado
por:
63
= V π d⌠⌡
a
b
( )f x 2 x
A fórmula para o cálculo de volume de um sólido de revolução em torno
do eixo-x utilizando o Maple é dada por:
> V=Pi*Int(f(x)^2,x=a..b);
O volume de um sólido de revolução obtido por revolução da região
limitada pelo gráfico de ( )x g y= , y c= , y d= , e o eixo-y em torno do eixo-y é dado
por:
= V π d⌠⌡
c
d
( )g y 2 y
A fórmula para o cálculo de volume de um sólido de revolução em torno
do eixo-y utilizando o Maple é dada por:
> V=Pi*Int(g(y)^2,y=c..d);
Podemos obter a figura tridimensional de um sólido de revolução da
função ( )y f x= , a ≤ x ≤ b em torno do eixo-x utilizando o comando “plot3d”.
> plot3d([x,f(x)*cos(theta),f(x)*sin(theta)],x=a..b,t heta=0..2*Pi);
Quando a revolução é em torno do eixo-y da função ( )y f x= , a ≤ x ≤ b, o
comando utilizado é o seguinte:
> plot3d([x*cos(theta),x*sin(theta), f(x)],x=a..b,the ta=0..2*Pi);
Exemplo 5: Encontrar o volume do sólido gerado pela rotação em torno
do eixo dos x, da região limitada pela curva y= 32 −+ xx , o eixo-x e as retas x=-3 e
x=3.
Resolução;
> f:=(x)->x^2+x-3;
64
:= f → x + − x2 x 3
> plot(f(x),x=-3..3);
A seguir construímos o gráfico de revolução em torno do eixo-x dando o
seguinte comando:
> plot3d([x,f(x)*cos(theta),f(x)*sin(theta)],x=-3..3, theta=0..2*Pi);
A seguir, calculamos o volume do gráfico obtido acima dando o seguinte
comando:
> Pi*Int((x^2+x-3)^2,x=-3..3)=Pi*int((x^2+x-3)^2,x=-3 ..3);
= π d⌠
⌡
-3
3
( ) + − x2 x 32
x306π
5
Exercício 4 : Encontre o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo-x da
região entre o gráfico da função y=sen(x) e o eixo-x, de 0 a 2π .
65
Capítulo 3
Área de uma superfície de revolução
Quando uma curva plana gira em torno de uma reta no plano, obtemos
uma superfície de revolução. Nesta seção abordaremos como calcular a área desta
superfície.
A área de uma superfície de revolução obtida por revolução da região
limitada pelo gráfico de ( )y f x= , x a= , x b= , e o eixo-x em torno do eixo-x é dada
por:
= A 2π d⌠
⌡
a
b
( )f x + 1
d
dx
( )f x2
x
A fórmula para o cálculo de área de uma superfície de revolução em torno
do eixo x utilizando o software Maple é dada por
> A=2*Pi*Int(f(x)*sqrt(1+(Diff(f(x),x))^2),x=a..b);
A fórmula para o cálculo de área de uma superfície de revolução obtida
por revolução da região limitada pelo gráfico de ( )x g y= , y c= , y d= , e o eixo-y em
torno do eixo-y é dada por:
= A 2π d⌠
⌡
c
d
( )g y + 1
d
dy
( )g y2
y
A fórmula para o cálculo de área de uma superfície de revolução em torno
do eixo-y utilizando o software Maple é dada por
> A=2*Pi*Int(g(y)*sqrt(1+(Diff(g(y),y))^2),y=c..d);
66
Exemplo 6: Encontrar a área da superfície gerada pela rotação do arco
da curva y= 216 x− , com -3 ≤ x ≤ 3 em torno do eixo-x.
Resolução:
Inicialmente definimos a função y= 216 x− , depois traçamos seu gráfico
e a superfície de revolução, e finalmente calculamos sua área. Veja os comandos a
seguir:
> f:=(x)->sqrt (16-x^2); := f → x − 16 x2
> plot(f(x),x=-3..3);
O comando a seguir constrói o gráfico da função fazendo a revolução em
torno do eixo-x.
> plot3d([x,f(x)*cos(theta),f(x)*sin(theta)],x=-3..3, theta=0..2*Pi);
Os comandos a seguir dão o cálculo da área superfície.
> D(f)(x);
−x
− 16 x2
67
Obs: O comando D serve para calcular o valor da derivada da função
> 2*Pi*Int(sqrt(16-x^2)*sqrt(1+(D(f)(x))^2),x=-3..3);
2π d⌠
⌡
-3
3
− 16 x2 + 1x2
− 16 x2 x
> evalf(2*Pi*Int(sqrt(16-x^2)*sqrt(1+(D(f)(x))^2),x=- 3..3));
150.7964474
Exercício 5 : Encontre a área da superfície gerada pela rotação do arco da curva
x y= , com 1 ≤ y ≤ 4 em torno do eixo-y.
Referências
FLEMMING, Diva Marília; GONÇALVES, Mirian Buss. Cálculo A: funções, limites, derivação, integração . 6 ed. reve anpl. São Paulo: Peasson Prentice Hall, 2007.
TANEJA, Inder Jeet. Maple V: Uma abordagem computacional no ensino de cálculo . Florianópolis: Ed. Da UFSC, 1997.
BIANCHINI, Waldecir; SANTOS, Angela Rocha dos. Aplicações da Integral Definida: Volume dos Sólidos de Revolução. In: Aprendendo Cálculo com o Maple . Disponível em: wwww.dmm.im.ufr.br/projeto/calculo1/cap3-51.html. Acesso em: 27 abr. 2009.
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