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“ESTUDIO DE LA APLICACIÓN DE LA HERRAMIENTA COMPUTACIONAL EES PARA LA TRANSFERENCIA DE CALOR O DE MASA EN ESTADO
TRANSITORIO”
“STUDY OF THE APPLICATION OF THE EES COMPUTATIONAL TOOL TO HEAT OR MASS TANSFER IN TRANSIENT STATE”
RAMIRO BETANCOURT GRAJALES
Ing. Químico
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MANIZALES
FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA QUÍMICA
2016
“ESTUDIO DE LA APLICACIÓN DE LA HERRAMIENTA COMPUTACIONAL EES PARA LA TRANSFERENCIA DE CALOR O DE MASA EN ESTADO
TRANSITORIO”
“STUDY OF THE APPLICATION OF THE EES COMPUTATIONAL TOOL TO HEAT OR MASS TANSFER IN TRANSIENT STATE”
RAMIRO BETANCOURT GRAJALES
Ing. Químico
Tesis de Maestría elaborada como requisito parcial para optar al título de: Magister en Ingeniería Química
Supervisión: Ingeniero Químico, MSc, PhD.
CARLOS ARIEL CARDONA ALZATE
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MANIZALES
FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA QUÍMICA
2016
RESUMEN
En este trabajo se estudian de forma didáctica a nivel analítico, numérico y computacional
varios casos de transferencia de calor y/o masa en estado transitorio. A tal efecto se usa el
método de separación de variables y el método de transformada de Laplace para el estudio
analítico, el método de diferencias finitas usando las técnicas explícitas o de Euler, la
totalmente implícita, la de Crank Nicolson y/o la de líneas para el estudio numérico y el
software Engineering Equation Solver (EES) para los cálculos surgidos de los pasos
anteriores. Se espera que este trabajo sirva de guía para que el software sea utilizado por
estudiantes de pre y posgrado en la solución de problemas de ingeniería.
PALABRAS CLAVE: Fenómenos de transporte, transferencia de calor, transferencia de
masa, diferencias finitas, problema de Sturm Liouville, series de Fourier, valores propios,
ecuaciones diferenciales parciales (PDE), estado transitorio.
ABSTRACT
This paper presents in a didactical way, the analytical, numerical and computational analysis
of a several cases of mass and/or heat transfer in transient state. The variable separation
method and Laplace transform method are used for the analytical study, and the finite
difference method using the Euler´sexplicit, the fully implicit, the Crank Nicolson and /or the
linea's technics, for the numerical study. All the calculations arising from the previous steps
are performed with the Engineering Equation Solver (EES), fchart software.
This work is expected to serve as a guide for the software to be used by undergraduate and
graduate students in solving engineering problems.
Keywords: Transport phenomena, Heat transport, Mass Transport, Finite difference
equations, Stourm Louiville problem, Fourier series, eigenvalues, Partial differential
equations.
AGRADECIMIENTOS A mi tutor Carlos Ariel Cardona por su respaldo irrestricto. A cada uno de los compañeros
de la maestría por su acogida y colaboración.
A la Universidad Nacional y el Instituto de Biotecnología y Agroindustria, a la Dirección de
Investigación Manizales (DIMA) y a la Dirección de Investigación y Extensión de la FIA de la
Universidad Nacional de Colombia Sede Manizales por su apoyo en mis viajes con
ponencias.
PRODUCCIÓN
Artículo: CARLOS ANDRES GARCIA VELASQUEZ, RAMIRO BETANCOURT GRAJALES,
CARLOS ARIEL CARDONA ALZATE, "Stand-alone and biorefinery pathways to produce
hydrogen through gasification and dark fermentation using Pinus Patula" . En: Estados
Unidos, Journal Of Environmental Management ISSN: 0301-4797 ed: ,v.N/A fasc. p.1 – 9,
2016.
Capítulo de Libro: JONATHAN MONCADA BOTERO, VALENTINA HERNANDEZ
PIEDRAHITA, YESSICA CHACON PEREZ, RAMIRO BETANCOURT GRAJALES,
CARLOS ARIEL CARDONA ALZATE, "Citrus Based Biorefineries" Citrus Fruits: Production,
Consumption and Health Benefits . En: Estados Unidos ISBN: 978-1-63484-078-1 ed:
NOVA Publications , v. ,2016.
Participación en eventos
4th International Conference on Sustainable Solid Waste CYPRUS 2016. Tipo de evento:
Congreso. Ámbito: Internacional. Realizado del: 2016-06-23, 2016-06-25 en Chipre,
Limassol:
Ponencia: C. Andrés García, Á. Gómez Peña, R. Betancourt G., C. Ariel Cardona Alzate.
Environmental comparison of thermochemical and biochemical ways for producing energy
from agricultural solid residues: The cut coffee stems case.
10th European Congress of Chemical Engineering. Tipo de evento: Congreso. Ámbito:
Internacional. Realizado el: 2015-09-27, 2015-10-01 en Nice, France:
Ponencia: R. Betancourt, C. Andrés García, C. Ariel Cardona Alzate. Supercritical assisted
pretreatment of biomass. Modeling and experimental Assessment.
Poster: Daza Serna L.V, Betancourt Grajales R, Idárraga Velez A., Cardona Alzate C.A.
Study of transient heat transfer using a problem based learning methodology. Tipo de
producto: Demás trabajos.
XXVIII Congreso Interamericano de Ingeniería Química. Tipo de Evento: Congreso. Ámbito:
Internacional. Realizado el: 2016-10-10, 2016-10-12 en Cusco, Perú:
Ponencia: R. Betancourt, C. Andrés García, L. V. Daza, C. Ariel Cardona Alzate.
Enseñando Fenómenos de Transporte en en Estado Transitorio con ayuda de un Software.
Tipo de producto: Demás trabajos.
TABLA DE CONTENIDO
RESUMEN............................................................................................................................. 3
ABSTRACT ........................................................................................................................... 4
AGRADECIMIENTOS ........................................................................................................... 5
PRODUCCIÓN ...................................................................................................................... 6
TABLA DE CONTENIDO ...................................................................................................... 7
TABLA DE CONTENIDO DE FIGURAS ............................................................................. 10
TABLA DE CONTENIDO DE TABLAS ............................................................................... 12
NOMENCLATURA .............................................................................................................. 13
INTRODUCCIÓN ................................................................................................................ 16
OBJETIVOS ........................................................................................................................ 20
OBJETIVO GENERAL ........................................................................................................ 20
OBJETIVOS ESPECÍFICOS ............................................................................................... 20
Capítulo 1 . SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL UNIFORME ..................................... 21
SISTEMAS SIMÉTRICOS O INFINITOS CONDICIÓN INICIAL UNIFORME ................... 21
1. Solución general por separación de variables ..................................................... 25
1.1 Simetría Cartesiana ...................................................................................... 29
1.1.1 Una cara aislada, una cara convectiva .................................................... 29
1.1.2 Resistencia superficial despreciable, Bi > 40 ........................................... 40
1.2 Simetría Esférica ................................................................................................ 72
1.2.1 Esfera con temperatura inicial constante y superficie convectiva .............. 72
1.2.2 Resistencia despreciable en la superficie 40Bi ...................................... 79
1.3 Simetría Cilíndrica .............................................................................................. 85
1.3.1 Cilindro sólido con convección .................................................................... 85
1.3.2 Cilindro largo en estado transitorio, 40Bi ............................................... 95
1.4 El sólido semi – infinito .................................................................................... 100
1.4.1 Caso (i): Temperatura constante en la pared (condición de Dirichlet)..... 102
1.4.2 Caso (ii): Flujo constante sq en la superficie (condición de Newmann) . 108
1.4.3 Caso (iii): Convección en la superficie (Condición de Robin): ................. 110
1.4.4 Dos sólidos semiinfinitos en contacto ....................................................... 112
1.5 Sólidos compuestos ......................................................................................... 115
1.6 Resumen de Conducción Transitoria .............................................................. 121
1.6.1 Resistencia convectiva pequeña, es decir 40Bi ................................... 124
1.6.2 Para 0.1 40Bi ..................................................................................... 125
1.6.3 Sistemas con baja resistencia interna 0.1Bi ....................................... 126
NOTAS CAPÍTULO 1: CÓDIGOS DE PROGRAMACIÓN ............................................... 145
Capítulo 2 . SISTEMAS CON CONDICION INICIAL NO UNIFORME ............................ 161
SISTEMAS ASIMETRICOS O CON CONDICION INICIAL NO UNIFORME .................. 161
2.1 Placa transitoria condición inicial no uniforme y la superficie 1 aislada ......... 161
2.1.1 Superficie 2 convectiva, coeficiente convectivo constante ...................... 161
2.1.2 Solución por métodos numéricos, coeficiente convectivo variable .......... 171
2.1.3 Resistencia convectiva despreciable Bi > 40 ........................................... 176
SISTEMAS ASIMÉTRICOS .............................................................................................. 182
2.2 Transporte de calor en estado transitorio a través de una placa plana. Temperaturas diferentes en ambos lados. Coeficientes convectivos iguales. ..... 184
2.3 Placa plana con coeficientes diferentes en ambas superficies....................... 197
2.4 Temperaturas y coeficientes diferentes........................................................... 202
2.4.1 Solución para resistencia convectiva despreciable: Bi > 40. ................... 206
TRANSPORTE DE CALOR EN ESTADO TRANSITORIO A TRAVÉS DE UNA PLACA PLANA CON TEMPERATURAS DIFERENTE EN SUS SUPERFICIES. TEMPERATURA INICIAL UNIFORME. ............................................................. 206
TRANSPORTE DE MASA Y/O CANTIDAD DE MOVIMIENTO ...................................... 216
2.5 Sistemas semiinfinitos ..................................................................................... 220
2.5.1 Gráficos secuenciales ............................................................................... 221
NOTAS CAPÍTULO 2. CÓDIGOS DE PROGRAMACIÓN ............................................... 224
Capítulo 3 . SISTEMAS CON GENERACIÓN .................................................................. 252
SISTEMAS CON GENERACIÓN Y CONDICIÓN INICIAL NO HOMOGÉNEA .............. 252
3.1 Placa plana ....................................................................................................... 252
3.2 Difusión con reacción química homogénea régimen no estacionario ............ 265
3.3 Conducción en una aleta en el periodo transitorio .......................................... 272
3.4 Transferencia de calor en estado transitorio con generacion, simetria esferica ................................................................................................................................ 278
NOTAS CAPÍTULO 3. CÓDIGOS DE PROGRAMACIÓN ............................................... 286
Capítulo 4 . MÉTODOS NUMÉRICOS EN PROCESOS NO ESTABLES ....................... 302
METODO DE DIFERENCIAS FINITAS ............................................................................ 302
Exactitud, convergencia y estabilidad............................................................................... 304
Ecuaciones ........................................................................................................................ 305
4.1 Simetría Cartesiana: Placa plana .................................................................... 307
4.1.1 Método de líneas ....................................................................................... 308
4.1.2 Método Explícito ........................................................................................ 309
4.1.3 Método completamente implícito .............................................................. 311
4.1.4 Método de Crank Nicolson ........................................................................ 312
4.2 Flujo constante en la pared nodo izquierdo (0). Generación uniforme dentro del sólido ...................................................................................................................... 313
4.2.1 Método Explícito (por unidad de área) ...................................................... 313
4.2.2 Implícito (por unidad de área) ................................................................... 314
4.2.3 Método de Crank Nicolson ........................................................................ 314
4.3 Simetría esférica .............................................................................................. 315
4.3.1 Método Explícito ........................................................................................ 316
4.3.2 Método Implícito ........................................................................................ 316
4.3.3 Método de Crank Nicolson ........................................................................ 317
4.4 Simetría cilíndrica ............................................................................................. 318
4.4.1 Método Explícito ........................................................................................ 319
4.4.2 Método Implícito ........................................................................................ 320
4.4.3 Método de Crank Nicolson ........................................................................ 320
4.4.4 Método de líneas ....................................................................................... 321
NOTAS CAPITULO 4: CÓDIGOS DE PROGRAMACIÓN ............................................... 323
CONCLUSIONES.............................................................................................................. 331
RECOMENDACIONES ..................................................................................................... 332
ANEXOS ............................................................................................................................ 333
GUIA BREVE AL USO DEL SOFTWARE EES ................................................................ 345
PALABRAS DELJURADO ................................................................................................ 368
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................................. 370
TABLA DE CONTENIDO DE FIGURAS Figura 1.1. Transferencia de calor en estado transitorio unidimensional para placa plana, cilindro largo y esfera. ............................................................................................................. 26 Figura 1.2. Placa plana, cara aislada, cara convectiva ......................................................... 30
Figura 1.3. Función sin cos para 1 y 5F Bi Bi Bi ............................................. 36
Figura 1.4. Ej 1.1: Placa plana de acero inoxidable ............................................................... 39 Figura 1.5. Distribución de temperaturas en la placa ............................................................ 40 Figura 1.6. Placa plana, difusión unidimensional en estado transitorio ................................ 46 Figura 1.7. Ej 1.3: Conducto vertical ...................................................................................... 55 Figura 1.8. Solución gráfica, aproximación a un término variando Fo .................................. 58 Figura 1.9. Solución gráfica a 1 y 10 términos métodos separación de variables y transformada de Laplace ........................................................................................................ 59 Figura 1.10. Solución gráfica a 1 sólo término por los métodos separación de variables y transformada de Laplace y a 20 términos usando EES ........................................................ 63 Figura 1.11. Ej 1.4: Estanque solar ........................................................................................ 63 Figura 1.12. Geometría esférica ............................................................................................. 75
Figura 1.13. Solución gráfica *cos 1 * para 1y Bi sen Bi ......................... 76
Figura 1.14. Perfil de temperaturas en la esfera en dos tiempos diferentes ......................... 78 Figura 1.15. Fourier crítico esferas ........................................................................................ 78 Figura 1.16. Cilindro largo con convección ............................................................................ 85 Figura 1.17. Primeros cinco valores propios de la ecuación (1.62) para 1 y 10Bi ........... 92
Figura 1.18. Perfil de temperaturas ........................................................................................ 95 Figura 1.19. Distribución de temperaturas en un sólido semi-infinito para tres condiciones superficiales: Temperatura constante en la superficie, flujo constante de calor en la superficie, y convección superficial ...................................................................................... 100 Figura 1.20. Perfiles de temperatura para dos tiempos pequeños ...................................... 101 Figura 1.21. Similitud de los perfiles luego de la transformación ........................................ 102 Figura 1.22. Contacto interfacial entre dos sólidos semi - infinitos a diferentes temperaturas iniciales ................................................................................................................................. 113 Figura 1.23. Paralelepípedo infinito de sección ................................................................... 115 Figura 1.24. Barra rectangular infinita .................................................................................. 117 Figura 1.25. Extremo de un cilindro semi-infinito ................................................................. 119 Figura 1.26. Perfil de temperaturas a 15 cm del extremo de la barra cilíndrica .................. 120 Figura 1.27. Ej 1.13: Lata de gaseosa ................................................................................. 121 Figura 1.28. Esfera con película dieléctrica ......................................................................... 128 Figura 1.29. Placa de aluminio ............................................................................................. 130 Figura 1.30. Ej 1.19: Tanque de líquido ............................................................................... 137 Figura 1.31. Ej 1.23: Tanques en serie ................................................................................ 141 Figura 2.1. Pared de ladrillo ................................................................................................. 162 Figura 2.2. Placa plana con una superficie aislada y otra convectiva ................................. 162 Figura 2.3. Distribución inicial y perfil de temperatura ......................................................... 168 Figura 2.4. Temperatura del centro contra el tiempo de simulación en centésimos de hora................................................................................................................................................ 170 Figura 2.5. Perfil de temperatura en cada nodo................................................................... 170 Figura 2.6. Perfil de temperatura en diferentes tiempos ...................................................... 171 Figura 2.7. Placa plana sin generación en estado inestable ............................................... 172 Figura 2.8. Perfil de temperatura placa ................................................................................ 175
Figura 2.9. Distribución de temperatura con h variable, método implícito .......................... 175 Figura 2.10. Ejemplo 2.2 ....................................................................................................... 176 Figura 2.11. Distribución de temperatura en el sólido ......................................................... 180 Figura 2.12. Distribución de temperatura en el sólido usando EES .................................... 182 Figura 2.13. Placa plana con h igual y temperatura diferente en ambos lados .................. 185 Figura 2.14. Ej 2.3: Nodos de la placa plana ....................................................................... 192 Figura 2.15. Perfil de temperatura métodos explícito, implícito, Crank Nicolson y analítico............................................................................................................................................... 195 Figura 2.16. Perfil de temperatura placa cada 5 min por método analítico y Crank Nicolson............................................................................................................................................... 196 Figura 2.17. Perfil de temperatura a lo largo de la placa plana ........................................... 202 Figura 2.18. Nodos pared de ladrillo .................................................................................... 203 Figura 2.19. Perfil de temperatura con coeficiente convectivo variable .............................. 204 Figura 2.20. Perfil de temperatura a las 27 horas ................................................................ 205 Figura 2.21. Zoom del perfil de temperatura a las 27 horas ................................................ 205 Figura 2.22. Perfiles de temperatura en una placa plana asimétrica transitoria ................. 207 Figura 2.23. Temperatura adimensional en una placa de espesor L .................................. 210 Figura 2.24. Difusión transitoria de Helio en un tubo ........................................................... 217 Figura 2.25. Perfil de concentraciones para la difusión transitoria de Helio en un tubo ..... 218 Figura 2.26. Concentración de placa asimétrica .................................................................. 219 Figura 2.27. Ej 2.7: Membrana porosa ................................................................................. 220 Figura 2.28. Perfil de concentración ..................................................................................... 221 Figura 2.29. Perfil de concentración con el tiempo .............................................................. 222 Figura 2.30. Perfil de temperatura ........................................................................................ 223 Figura 3.1. Placa plana con generación en estado inestable .............................................. 252 Figura 3.2. Solución analítica de la placa con generación .................................................. 264 Figura 3.3. Solución numérica (Crank Nicolson) de la placa con generación ..................... 264 Figura 3.4. Perfil de concentración sistema semi-infinito .................................................... 272 Figura 3.5. Ej 3.5: Nodos varilla de acero ............................................................................ 275 Figura 3.6. Perfil de temperatura método analítico .............................................................. 276 Figura 3.7. Perfil de temperatura método implícito .............................................................. 277 Figura 3.8. Distribución de temperatura de la manzana a diferentes tiempos .................... 283 Figura 3.9. Distribución de temperatura en la manzana (esfera con generación) a según el r* ............................................................................................................................................ 284 Figura 3.10. Perfil de temperatura método Crank Nicolson ................................................. 285 Figura 4.1. Distribución de nodos ......................................................................................... 304 Figura 4.2. Simetría esférica ................................................................................................ 315 Figura 4.3. Coordenadas esféricas ...................................................................................... 315 Figura 4.4. Simetría cilíndrica ............................................................................................... 318 Figura 4.5. Coordenadas cilíndricas ..................................................................................... 319
TABLA DE CONTENIDO DE TABLAS
Tabla 1.1. Propiedades de la Transformada de Laplace ....................................................... 44 Tabla 1.2. Primeros 5 términos de la sumatoria usando EES ............................................... 57 Tabla 1.3. Primeros 5 términos de la sumatoria método transformada de Laplace ............. 57 Tabla 1.4. Valores obtenidos métodos separación variables y transformada de Laplace a 1 y 10 términos ............................................................................................................................. 59 Tabla 1.5. Valores obtenidos zona crítica métodos separación de variables y transformada de Laplace a 1 y 10 términos ................................................................................................. 59 Tabla 1.6. Valores de Fo a diferentes Bi ................................................................................ 60 Tabla 1.7. Valores obtenidos de temperatura por cada uno de los métodos ........................ 62 Tabla 1.8. Términos de las sumatorias .................................................................................. 65 Tabla 1.9. Valores obtenidos .................................................................................................. 77 Tabla 1.10. Resultados para la esfera ................................................................................... 77 Tabla 1.11. Valores obtenidos para partículas esféricas de alúmina .................................... 84 Tabla 1.12. Valores obtenidos para la barra larga de madera .............................................. 94 Tabla 1.13. Valores de las raíces de 0)( xJ p
...................................................................... 97
Tabla 1.14. Valores obtenidos para el rodillo de roble........................................................... 99 Tabla 1.15. Expresiones para la función característica, valores propios, coeficientes Cn y Dn para cada geometría ....................................................................................................... 124 Tabla 1.16. Expresiones para la función característica, valores propios, Fo crítico y primer valor propio de cada ecuación trascendental para el mín y máx valor de Bi según cada una de las geometrías ................................................................................................................. 125 Tabla 2.1. Arreglo obtenido para placa plana con una superficie aislada y otra convectiva............................................................................................................................................... 167 Tabla 2.2. Tabla paramétrica de T vs posición .................................................................... 168 Tabla 2.3. Valores obtenidos para una simulación de 46 horas .......................................... 169 Tabla 2.4. Tabla paramétrica para generar la Figura 2.6 .................................................... 171 Tabla 2.5. Temperatura en cada nodo ................................................................................. 174 Tabla 2.6. Temperatura y tiempo en cada nodo, solución analítica .................................... 179 Tabla 2.7. Distribuciones de temperatura por nodo ............................................................. 181 Tabla 2.8. Comprobación eficiencia del sistema en función de Fo ..................................... 182 Tabla 2.9. Distribución de temperatura método explícito ................................................... 194 Tabla 2.10. Distribución de temperatura, método implícito ................................................. 194 Tabla 2.11. Distribución de temperatura, método Crank Nicolson ...................................... 194 Tabla 2.12. Fracción Molar yA como función de la distancia z ............................................ 218 Tabla 2.13. Resultados método analítico y diferentes técnicas en diferencias finitas ........ 219 Tabla 3.1. Temperatura del elemento combustible del reactor nuclear a diferente longitud y usando diferente ecuación.................................................................................................... 260 Tabla 3.2. Distribución de temperaturas con la solución numérica ..................................... 263 Tabla 3.3. Valores a diferentes tiempos ............................................................................... 265 Tabla 3.4. Datos necesarios para generar la Figura 3.4 ..................................................... 272 Tabla 3.5. Resultados T[i;j] ................................................................................................... 276 Tabla 3.6. Distribución de T con el método implícito ........................................................... 277 Tabla 4.1. Escalas de tiempo para diferentes mecanismos de transporte.......................... 309
NOMENCLATURA UNIDADES GENERALIZADAS: E = energía; L = longitud; M = masa; t = tiempo; T = temperatura LETRAS A Especie química
Az Superficie perpendicular a z [L2] B Especie química
Bi Número deBiot, /hL k ó /hR k
Ci Coeficiente del i-ésimo término en una serie de Fourier CP Capacidad calorífica a presión constante [E/M.T] CV Capacidad calorífica a volumen constante [E/M.T] c Concentración molar total [moles/L3] ci Concentración molar de la especie i [moles/L3] D Diámetro [L] Deq Diámetro equivalente [L]
efD Difusividad efectiva 2[ / ]L t
ijD Coeficiente de difusión de i en j 2[ / ]L t
Eb Potencia emisiva [E/L2] f Factor de fricción, adimensional Fo Número de Fourier, tiempo adimensional
g Aceleración de la gravedad 2[ / ]L t ; gramo
G Potencial químico Gr Numero de Grashoff, adimensional
h Coeficiente de transferencia de Calor 2[ / ]E L t T ; constante de
Planck hR Humedad relativa H Constante de la ley de Henry [presión/fracción molar] i Corriente eléctrica [amperios]
nI x Función de Bessel modificada de primera clase y orden n del
argumento x J Densidad de flujo molar [moles/t.L2] j Densidad de flujo másico [M/t.L2]
nJ x Función de Bessel de primera clase y orden n del argumento x.
k kB constante de Boltzmann [E/T] k Coeficientes de transferencia de masa [L/t] kG Coeficiente de transferencia de masa [moles/t.L2.presión] kx,y Coeficientes de transferencia de masa, [moles/t.L2.fracción molar] k’ Constante para reacción de primer orden K Kelvin; Coeficiente global de transferencia de masa
nK x Función de Bessel modificada de segunda clase y orden n del
argumento x L Altura de una aleta; longitud [L]; espesor de una placa Le Numero de Lewis, /Dij =Sc/Pr (adimensional)
m Caudal molar [moles/t] m’ Caudal másico [M/t] Mi Peso molecular de i [M/mol] ni Densidad de flujo másico de la especie i [M/t.L2] Ni Densidad de flujo molar de la especie i [moles/t.L2] Nu Numero de Nusselt (adimensional) P Presión total [M/L.t2]; perímetro [L]
iP Presión parcial de i [M/L.t2]
Pe Numero de Peclet, Re.Pr ó Re.Sc (adimensional)
Pr Numero de Prandtl, / , adimensional.
Q’ Caudal volumétrico [L3/t] Q Flujo de energía [E/t]
q Densidad de flujo de energía 2[ / ]E t L
r Coordenada radial [L] r* Posición radial, adimensional R Radio de cilindro o de esfera
Constante universal de los gases
Re Numero de Reynolds, adimensional
iS Superficie perpendicular a dirección i
Sc Numero de Schmidt, / ijD , adimensional
Sh Numero de Sherwood, coeficiente adimensional de transferencia de masa t Espesor aleta
U Coeficiente global de transferencia de calor 2[ / ]E L t T ; momento
dipolar V Velocidad
V Volumen
xC Longitud crítica xi,yi Fracción molar de la especie i Xi,Yi Relación molar de la especie i x, y, z coordenadas cartesianas z* Coordenada adimensional
nY x Función de Bessel de segunda clase de orden n del argumento x
w Ancho aleta wi Fracción másica de la especie i Wi Relación másica de la especie i LETRAS GRIEGAS
Difusividad térmica 2[ / ]L t
Coeficiente de expansión térmica [T ]; Difusividad generalizada
2[ / ]L t
Coeficiente de “expansión másica” 3[ / ]L M
Espesor [L]
Diferencia Emisividad, fracción de vacío, parámetro de Lennard – Jonnes;
eficacia
n Valor propio
eficiencia; parámetro adimensional
Temperartura adimensional
Trayectoria libre media, longitud de onda [L]
n Valor propio
Viscosidad [M/L.t]
Viscosidad cinemática o difusividad de impulso, / , 2[ / ]L t
i Concentración másica volumétrica de i [M/L3]
densidad [M/L3]
e Resistividad eléctrica [ ]m
tensión superficial 2[ / ]M t ; parámetro de Lennard Jonnes [L];
constante de Stefan – Botzmann 42[ / ]E t L T
Tiempo adimensional
ij Flujo de cantidad de movimiento j en la dirección i o esfuerzo cortante
actuando en la dirección j sobre un área perpendicular a i [M/L.t2]
Término de generación
Concentración generalizada
Integral de colisión; ohmio
16
INTRODUCCIÓN
Para analizar un problema del mundo real de manera científica se debe modelar
matemáticamente a través de conceptos básicos. Estos conceptos son la conservación de
las especies químicas, la conservación de la materia, la conservación de la cantidad de
movimiento y la conservación de la energía. Para cada una de estas entidades que se
conservan se puede escribir un balance de flujos que describa la transformación de las
mismas. Este balance se expresa en forma matemática, tanto a nivel macroscópico como
microscópico. La desigualdad entrópica también es un concepto básico, pero
esencialmente indica si un proceso es factible o no y no es base de una ecuación de
balance.
Para simular un fenómeno físico tal como flujo de fluidos, transferencia de calor,
transferencia de masa, los principios de conservación se expresan en términos de
ecuaciones diferenciales parciales. Estas ecuaciones se conocen como ecuaciones de
conservación.
Estas ecuaciones las vamos a desarrollar en términos de “concentraciones” es decir, la
entidad conservada por unidad de volumen. Por ejemplo, la ecuación de cantidad de
movimiento que expresa la conservación de la cantidad de movimiento lineal en términos
de la cantidad de movimiento por unidad de volumen es decir densidad por velocidad V .
La ecuación para la conservación de la energía expresa la conservación de la energía por
unidad de volumen, densidad por capacidad calorífica por temperatura TCP . La
conservación de las especies químicas será indicada por concentraciones másicas, por
ejemplo, densidad por fracción másica A Aw , o concentraciones molares A Ac cx .
Esta concentración de cualquiera de las tres entidades la representaremos por .
Usaremos un volumen de control de aristas x y z como se muestra en la figura.
Ahora vamos a expresar la variación de en el volumen de control x y z en el tiempo
t . El principio de conservación establece que:
La acumulación de con el tiempo en el volumen de control es igual a la entrada neta de
al volumen de control más la generación neta de dentro del volumen de control.
La acumulación de en el volumen de control en el tiempo t está dado por
ttt VV ,
aquí V = x y z el volumen del elemento de control y t es el tiempo.
17
La generación neta de al interior del elemento de volumen en el tiempo t viene dada
por tV , aquí es la generación de por unidad de volumen, conocido también
como término de manantial. Consideremos ahora el término restante, la entrada neta de al volumen de control.
Llamemos x la densidad de flujo de que entra al volumen de control a través de la
cara ubicada en x y x x la densidad de flujo de saliendo por la cara en x x .
Corrientes similares existen en las direcciones y y z . La entrada neta de en el volumen
de control durante el tiempo t es
x x x y y y z z zy z t x z t x y t .
Todavía no se ha dicho por qué mecanismo físico se produce la entrada y salida de . Para los fenómenos
que estudiamos se transporta por dos mecanismos primarios: difusión, debida a movimientos moleculares y convección debida al movimiento del fluido. La densidad de flujo difusivo se escribe
xdifx
,
aquí es una propiedad del sistema, una difusividad, con dimensiones de
2longitud.
tiempo
La densidad de flujo convectivo se escribe
xconv xV .
Teniendo presente que x xx conv dif y que expresiones similares se escriben para las
direcciones y y z , ordenando términos y dividiendo por tzyx , el balance es:
y y yx x x z z zt t t
t x y z
.
z z
y y
x x
z
x
18
Tomando el límite cuando 0 , , , tzyx se obtiene
yx z
t x y z
,
escrito de manera abreviada este balance generalizado toma la forma:
/ t .
La aplicación del operador a un vector se llama la divergencia de ese vector, o más
simplemente el producto punto y el resultado es un escalar. Recordamos que el gradiente (un vector por un escalar) da un vector. El operador tiene la ventaja adicional de que
puede ser expresado en coordenadas curvilíneas. Esto será de gran ayuda cuando las ecuaciones de balance deban ser expresadas en sistemas coordenados alternos. Esto es posible ya que una ecuación vectorial escrita en notación vectorial se aplica a todos los sistemas coordenados. O sea que una ecuación escrita en notación vectorial puede transformarse a cualquier sistema coordenado. Reemplazando la densidad de flujo como la suma de términos moleculares y convectivos, para el problema tridimensional, la ecuación vectorial correspondiente es la divergencia de la densidad de flujo, así:
dif conv V .
Incluyendo esta expresión en el balance generalizado, obtenemos:
Vt
.
BALANCE GENERALIZADO PARA FLUIDO INCOMPRESIBLE Y PROPIEDADES DE TRANSPORTE CONSTANTES En este caso el balance anterior, se simplifica así: Para difusividad constante e isotrópica, nos aparece al lado derecho el término
. El producto punto operando sobre un escalar ocurre tan frecuentemente
que se le ha dado un símbolo especial 2 , y un nombre especial, el de operador
Laplaciano. De otra parte, el término que incluye la velocidad se analiza de la siguiente manera:
V V V .
19
Un balance global de materia, donde no habrá término de generación (la masa ni se crea ni se destruye a no ser en reacciones nucleares), ni gradientes, por lo que es la densidad
del sistema masa total por unidad de volumen,
0V V Vt t
,
es denominada la ecuación de continuidad. Claramente si la densidad es constante, se
concluye que:
0V .
Teniendo los análisis anteriores en cuenta, el balance toma la forma:
2Vt
.
En sistemas de conducción en sólidos, y sistemas difusivos, donde el término de arrastre se pueda despreciar o sea efectivamente nulo, el modelo matemático se simplifica aún más:
2
t
.
20
OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL
El modelo matemático obtenido en el aparte anterior será resuelto para sistemas con gradientes solamente en una dirección tanto de forma analítica como numérica y las expresiones resultantes se solucionarán usando el software Engineering Equation Solver (EES) de fchart.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
El modelo matemático unidimensional es una ecuación diferencial parcial no homogénea de segundo orden. Además, las condiciones iniciales y de frontera pueden agregar no homogeneidades haciendo aún más complicadas las soluciones analíticas.
1. La ecuación resultante cuando no hay generación es una ecuación diferencial parcial denominada parabólica. Cuando la condición inicial es constante y las condiciones límite son lineales y homogéneas la solución es viable por el método de diferencias finitas y ha sido ampliamente estudiada. Se hace un recorrido por diferentes simplificaciones posibles según valores críticos de los parámetros de Fourier (tiempo adimensional) y de Biot (relaciona resistencias internas y convectivas a la transferencia). Como las soluciones se alcanzan por un análisis teórico es útil comparar la precisión de los resultados usando diferentes métodos numéricos basados en diferencias finitas. En todos los casos las ecuaciones resultantes se solucionan con ayuda del software EES.
2. Al agregar no homogeneidades a las condiciones iniciales y/o de frontera la solución
teórica se hace más difícil y las ecuaciones resultantes más complicadas, permitiendo verificar la versatilidad de los métodos numéricos y la confiabilidad del software usado.
3. Se hace un trabajo similar al anterior, pero agregando un grado de dificultad al modelo al considerar situaciones en las que todos los términos del modelo deben tenerse en cuenta.
4. Se hace un manual de uso del software EES atendiendo las sugerencias hechas por los estudiantes del curso. Se agrega una sección que facilita la comprensión y el uso de los métodos numéricos basados en diferencias finitas con ayuda del software EES.
21 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
CAPÍTULO 1 . SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL UNIFORME
SISTEMAS SIMÉTRICOS O INFINITOS CONDICIÓN INICIAL UNIFORME
El transporte molecular en estado inestable, ya sea transitorio o periódico, es importante en
muchas aplicaciones de transferencia de calor, masa, y cantidad de movimiento.
El estado inestable aparece también en la determinación del tiempo de procesado de
muchos artículos sólidos. Por ejemplo, el tiempo de curado de objetos hechos de plástico
moldeado o de caucho, dependen frecuentemente del tiempo requerido para que el centro
o núcleo alcance alguna temperatura especificada sin causar daño térmico al material de la
superficie. La teoría de la conducción no estable tiene también aplicación en el tratamiento
térmico y templado de metales.
Un tipo de problema ligeramente diferente se caracteriza por la variación periódica de la
temperatura. Las máquinas de combustión interna, los compresores, las armas
automáticas, generan calor periódicamente; la disipación de éste calor causa fluctuaciones
periódicas de temperatura en los alrededores. Otro ejemplo es el efecto de las variaciones
diurnas de la temperatura atmosférica en estructuras grandes como puentes o pequeñas
como plantas en crecimiento.
Existen pues, en general, dos clases diferentes de procesos no estables. Uno es un
transitorio, donde el campo de temperatura, concentración o velocidades, cambia con el
tiempo, desde una condición inicial, hacia un eventual estado estable. El otro proceso
común es uno periódico en el cual la temperatura en cada punto de la región sigue variando
periódicamente con el tiempo. Este es el caso aproximado en las capas superficiales de la
tierra, debido a las variaciones diarias y anuales de las condiciones atmosféricas. El
componente periódico anual tiene 365 días mientras que el diario tiene 24 horas. Otro
ejemplo es la pared del cilindro de un pistón durante la operación cíclica de una máquina de
combustión interna. El período es de 10-3 min para una frecuencia de 1000 RPM.
De otra parte, una alta fracción de las operaciones ingenieriles de transferencia de masa,
involucran transferencia entre dos fases una de las cuales está dispersa como gotas o
burbujas en la otra. Un acercamiento al análisis teórico de estos procesos asume que las
gotas o burbujas de la fase dispersa pueden mirarse como esferas, en las cuales la
transferencia ocurre por difusión molecular no estacionaria. Algunos problemas de secado
presentan también esta geometría.
22 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL UNIFORME
Los llamados procesos en estado inestable o transitorio presentan en el modelo matemático
un término dependiente del tiempo. En estos casos el término de acumulación en el
balance de masa o de energía térmica es diferente de cero. En la práctica se presentan
cuando las condiciones de operación cambian en un equipo, por una parada rutinaria o por
mantenimiento, o por las mismas razones del proceso. Entonces, las variables del proceso
como temperatura o concentración se hacen dependientes del tiempo. Por lo tanto, el
estudio de la conducción y de la difusión en estado transitorio es un aspecto importante en
el estudio de los fenómenos de transporte.
Los modelos matemáticos que surgen implican la solución de ecuaciones diferenciales
parciales, homogéneas y no homogéneas cuyo análisis varía según las condicione iniciales
y de frontera de cada caso particular. En muchas de estas situaciones es posible efectuar la
solución analítica de la ecuación, pero para ello las propiedades de los materiales deben
asumirse constantes y el término de generación debe ser cero, constante o variar
linealmente con la temperatura o concentración según sea el caso. Además, las
condiciones de frontera también deben ser lineales, pero en todo caso, el coeficiente
convectivo h (o kc) no debe depender de la temperatura (o de la concentración).
Sobre este tema se ha realizado una gran cantidad de trabajo a todo nivel de complejidad y
sofisticación matemática y física, que está disponible en la literatura sobre el tema. En
textos como el clásico Carslaw y Jaeger se encuentran métodos de solución que van desde
la separación de variables, la superposición de fuentes y sumideros de calor, el teorema de
Green, además de las transformadas integrales y la muy útil transformada de Laplace,
como también una introducción a la solución por diferencias finitas.
La solución numérica de un problema de conducción en estado transitorio es
particularmente importante cuando se presentan propiedades o condiciones límite
dependientes de la temperatura. En ocasiones la solución numérica es la única solución
posible. Lo mejor sería tener ambas soluciones, la analítica y la numérica, su coincidencia
es una doble confirmación de la solución. Sin embargo, puede que se requiera más
conocimiento matemático del que el estudiante tiene o requerir más esfuerzo del que es
práctico realizar según el objetivo deseado. En estos casos, el uso combinado de una
herramienta de software simbólica para identificar la solución y un solucionador de
ecuaciones para manipular los resultados proporciona una poderosa combinación de
herramientas. Las soluciones analíticas son concisas y elegantes, además de ser precisas
y, por tanto, preferibles en muchos aspectos a las soluciones numéricas. Sin embargo, las
soluciones analíticas requieren colocar restricciones al modelo como propiedades
constantes entre otras.
Modelo matemático: Para explicar los efectos de los procesos de transferencia de masa y
calor se necesitan modelos matemáticos. Estos modelos se desarrollan utilizando los
principios fundamentales de la física, los principios de conservación. Una vez que se
23 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
introducen las leyes de difusión y se derivan las ecuaciones de conservación, deben
establecerse las condiciones de frontera pertinentes. En el curso solo trataremos algunas
de las 7 clases generales de problemas de transferencia de calor y de masa difusivos
caracterizados por Mikhailov.
El balance generalizado para fluido incompresible y propiedades de transporte constantes
es:
2vt
. (1.1)
El símbolo representa una concentración que puede ser de energía térmica PC T en
dimensiones de energía por unidad de volumen, concentraciones másicas que puede estar
en una de las diferentes formas de expresarla, por ejemplo Ac en moles de la especie A por
unidad de volumen o A masa de la especie A por unidad de volumen de la solución,
concentraciones de cantidad de movimiento V cantidad de movimiento por unidad de
volumen.
El símbolo representa una difusividad con dimensiones de longitud al cuadrado sobre
tiempo.
El símbolo representa el término de generación que puede o no depender de otros
parámetros.
Solamente analizaremos casos de difusión y conducción, es decir,
2
t
. (1.2)
En ausencia de generación la ecuación anterior se reduce a:
2
t
. (1.3)
El operador Laplaciano tomará la forma acorde con la simetría. Para gradientes
unidimensionales tendremos:
Coordenadas rectangulares:
2
22
z
, (1.4)
24 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL UNIFORME
así la ecuación (1.3) en coordenadas rectangulares o cartesianas es:
2
2 zt
. (1.4a)
Coordenadas cilíndricas, gradientes radiales:
rr
rr
12, (1.5)
es decir, la ecuación (1.3) en coordenadas cilíndricas es:
1r
t r r r
. (1.5a)
Coordenadas esféricas, gradientes radiales:
rr
rr
2
2
2 1, (1.6)
por lo que la ecuación (1.3) en coordenadas esféricas se escribe:
2
2
1r
t r r r
. (1.6a)
Se observa una sencilla generalización para estas expresiones:
2 1 m
mr
r r r
0 para la placa ( )
con 1 para el cilindro
2 para la esfera
r z
m
. (1.7)
Así, en forma general, el balance en estado transitorio unidimensional sin generación, con
propiedades constantes, ecuación (1.3) toma la forma
1 m
mr
t r r r
0 para la placa ( )
con 1 para el cilindro
2 para la esfera
r z
m
. (1.3a)
25 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
Se observa de lo anterior que los procesos de transporte en estado no estable se
caracterizan por que la concentración varía con el tiempo, lo que hace que, aunque sea
flujo unidimensional debamos tener más de una variable independiente.
Para hallar la solución analítica se dispone de varias técnicas matemáticas tales como la
separación de variables, la transformada de Laplace, las transformadas integrales, la
variable compleja, la combinación de variables, series de Fourier, etc.
El método de combinación de variables permite reducir la ecuación diferencial en derivadas
parciales a una simple ecuación diferencial ordinaria; este procedimiento solamente es
posible cuando dos condiciones límite pueden reunirse en una sola y requiere cambios
artificiosos que no hacen general el método.
El método más directo para resolver problemas de conducción de calor (o transferencia
difusiva de masa) que presenten más de una variable independiente es el de separación de
variables o método del producto, siempre y cuando sea aplicable. Este método de solución
de ecuaciones diferenciales parciales da lugar a un conjunto de ecuaciones diferenciales
ordinarias y al menos uno de estos problemas auxiliares es el llamado problema del valor
propio y sus soluciones son las funciones propias. La solución completa del problema de
conducción de calor es entonces la suma lineal de todas las soluciones elementales
apropiadas de los problemas auxiliares. Los coeficientes de expansión asociados con esta
sumatoria no se conocen y se determinan restringiendo la solución para que satisfaga la
condición de frontera no homogénea (o condición inicial) del problema original. La
propiedad de ortogonalidad de las funciones propias juega un papel importante en la
determinación de estos coeficientes de expansión desconocidos. La ortogonalidad de las
funciones fue investigada originalmente por Sturm y Liouville en 1536, por esta razón los
problemas de valor propio se llaman algunas veces problemas de Sturm Liouville.
El método de la transformada de Laplace es esencialmente un método de operador. Es el
más eficiente de éstos tres, particularmente para los problemas más complicados.
Dependiendo de las condiciones límite y el método utilizado, las soluciones tienen una de
dos formas estándar: a) Series de la función de error o sus integrales relacionadas; estas
soluciones son más útiles en la evaluación numérica para tiempos cortos o sea en las
etapas iniciales de la difusión. b) Series trigonométricas, las cuales convergen más
satisfactoriamente para valores grandes del tiempo. Cuando la difusión ocurre en geometría
cilíndrica, las series trigonométricas son reemplazadas por series de funciones de Bessel.
1. Solución general por separación de variables
Estudiaremos a continuación la transferencia de calor en estado transitorio unidimensional
para las tres geometrías mencionadas a saber placa plana, cilindro largo y esfera. Los
gradientes de temperatura deben ser radiales en los dos últimos casos y perpendiculares a
26 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL UNIFORME
las caras mayores de la placa en el primero. Al comienzo existe una distribución de
temperaturas 0T f z para la placa o 0T f r para cilindro o esfera. Para el tiempo
0,t la superficie del cuerpo (sea placa cilindro o esfera) se coloca en contacto con un
fluido con temperatura T constante con el tiempo. Se intercambia calor por convección
entre la superficie del sólido y el fluido por convección. El coeficiente convectivo h debe ser
constante para toda la superficie. Si se considera solamente la mitad de la placa la
situación corresponderá al calentamiento o enfriamiento de una placa con una superficie
aislada (adiabática). Con este planteamiento se establecen las condiciones de frontera.
Figura 1.1. Transferencia de calor en estado transitorio unidimensional para placa plana, cilindro largo y esfera.
Tomamos la ecuación (1.3a), sustituyendo pC T , siendo
p
kC
, la
ecuación a resolver es entonces
2
2
T T m T
t r r r
con
0 para la placa ( )
1 para el cilindro
2 para la esfera
r z
m
. (1.8)
Es conveniente utilizar variables adimensionales, hacemos:
zL
, posición adimensional para placa con superficie aislada en 0z o placa
simétrica de espesor 2L , z se mide desde el plano de simetría o central.
rR
para esfera o cilindro.
27 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
2tFoR
o 2tFoL
, tiempo adimensional conocido como número de
Fourier.
0
T T
T T
Temperatura adimensional;
0T constante.
En estos términos la ecuación (1.8) se transforma en
2
2
m
. (1.9)
Las condiciones límite son así:
0 para 0
. (1.10a)
La condición de frontera convectiva es
para , oT
k h T T z Lz
para
Tk h T T r R
r
.
Haciendo o hL hRBi Bik k
número de Biot, adimensional
para 1Bi
, (1.10b)
la condición inicial es
0 1 para 0 0T T t Fo . (1. 10c)
La solución, para las tres geometrías tendrá la forma , ,ng Fo Bi .
La función ng es diferente para placa ( 0m ), cilindro ( 1m ) o esfera ( 2m ) puesto que
en cada caso surge una ecuación diferencial distinta. La ecuación (1.9) con las condiciones
de la ecuación (1.10ª, 1.10b y 1.10c) puede resolverse por la transformada de Laplace, pero
la transformada inversa puede hacer que la solución por separación de variables sea más
práctica en esta ocasión. En este orden de ideas, hacemos:
, F G . (1.11)
28 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL UNIFORME
Las funciones F y G dependen solo de una variable y deben satisfacer la ecuación (1.9):
2dG d F m dFF G
d d d
, (1.12)
reagrupando
221 1dG d F m dF
G d F d d
. (1.13)
Las dos expresiones de la izquierda se igualan a una constante denominada parámetro de
separación que para que dé soluciones no triviales debe ser un número real, que al estar
elevado al cuadrado siempre será positivo y al multiplicarse por menos uno será una
cantidad negativa. Este parámetro de separación surge del hecho de que los dos términos
de la izquierda dependen, el primero solo del tiempo y el segundo solo de la posición, por lo
que serán iguales solo si son iguales a una constante. Se originan entonces dos
ecuaciones diferenciales ordinarias:
2 0dG
Gd
, (1.14)
22
20
d F m dFF
d d
. (1.15)
La solución de la ecuación diferencial (1.14) es la función decreciente exponencialmente
con el tiempo
2
1 expG C Fo , (1.16)
es de la misma forma para las tres geometrías. Sin embargo depende de la solución de la
función F que es diferente en los tres casos, a pesar de que esta debe satisfacer las
mismas condiciones de frontera:
0 para 0dF
d
, (1.15a)
para 1dF
BiFd
. (1.15b)
29 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
La ecuación (1.15) es una ecuación diferencial lineal, homogénea de segundo orden con
condiciones de frontera homogéneas y es un parámetro adimensional no especificado
independiente de *r , conforma una ecuación de Sturm Liouville y sus funciones solución
son ortogonales respecto a la función de peso *r . Los valores de para los cuales la
solución no es trivial ( 0F ), son los valores propios (eigenvalues) y las funciones solución
las funciones propias. Todos los valores propios son reales positivos. El cero no es valor
propio (Mickley H. S., 1957). Los valores propios forman una serie infinita monótona
creciente.
Dos funciones, y m nF z F z son ortogonales respecto a la función de peso r z en el
intervalo ,a b si se cumple que:
0 para b
m nar z F z F z dz m n , (1.16a)
para b
m nar z F z F z dz N m n , (1.16b)
donde y m n son enteros y N una constante positiva. Los límites de integración y a b son
los dos puntos donde se estipulan las condiciones límite, en nuestro caso cero y uno
respectivamente.
Determinamos a continuación el valor de la función F y los valores propios para las tres
formas geométricas descritas.
1.1 Simetría Cartesiana
1.1.1 Una cara aislada, una cara convectiva Solución por separación de variables
A partir del balance unidimensional, ecuación (1.9) para placa plana
t
TC
z
Tk
zpH
. (1.9b)
Para un sistema con propiedades constantes y sin generación, recordando que p
kC
,
la ecuación a resolver es:
30 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL UNIFORME
2
2 para 0 ; 0
T Tz L t
t z
,
Figura 1.2. Placa plana, cara aislada, cara
convectiva
con las condiciones límite:
0 0 0T
z tz
,
0
Tz L k h T T t
z
.
Esta condición límite no es homogénea, condición necesaria para aplicar el método de
separación de variables (al multiplicar los dos lados de la ecuación por una constante, la
ecuación se modifica). Para homogenizar esta última condición límite hacemos el cambio
de variable:
0/T T T T que con 0T y T constante, nos modifica las ecuaciones anteriores
así:
2
2 para 0 ; 0
z L t
t z
, (i)
0 0 0z tz
, (ii)
0 0
z L k h tz
, (iii)
y la condición inicial:
0 cuando 0 para 0f z t z L . (iv)
31 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
Para resolver el problema por el método de separación de variables se supone que ,z t
puede representarse como un producto de funciones de la forma
, z t F z G t , (v)
en donde F es una función exclusivamente de z y G es función solo de t . La ecuación (i),
se escribe
' ',t z t F z G t ,
' ',z z t F z G t ,
'' '',z z t F z G t ,
Reemplazando en (i)
'' '1F z G t F z G t
.
Dividiendo por F z G t
2"( ) '( )
( ) ( )
F z G t
F z G t
.
La constante de separación , es un número real con dimensiones de longitud a la menos
uno.
La ecuación de la derecha tiene solución inmediata:
2
1 expG t C t . (vi)
La otra ecuación es un problema de valor propio o de Sturm Liouville. Su solución es:
2
2
20
d FF
dz . (1.17)
Usando el operador dDdz
:
2 2 0, entonces 0 siendo 1D F D i D i F i .
32 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL UNIFORME
Se obtiene entonces como solución
dF
i dzF
.
Es decir
2 3
i z i zF z C e C e . (1.18a)
El uso de funciones trigonométricas en lugar de exponenciales imaginarias es una
consecuencia de las propiedades de las funciones exponenciales. De ellas se deriva la
llamada identidad de Euler:
cos sinie i ,
cos sin cos sinie i i .
La función coseno es par, la función seno es impar.
Por la propiedad de superposición cualquier combinación lineal de soluciones de la
ecuación diferencial es también una solución. Observando que:
1 12 2
cosi ie e ,
2 2sini ii ie e ,
Por tanto, la solución también se puede expresar como
2 3 cosF z C sen z C z ,
'
2 3cosF z C z C sen z .
Como '
20 para 0, entonces 0F z z C . Las funciones propias son entonces
cosF z z .
Si esta solución debe satisfacer también la condición en z L tenemos:
33 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
cos cos 0 z L
k z h zz
o cos 0k sen L h L .
Así los valores propios n son las raíces positivas de la ecuación trascendental:
tanhL
L Lk
. (vii)
La solución será la suma de todas las soluciones posibles así:
1
, nz t C F z G t
, (viii)
donde nC engloba las constantes 1 3 y C C . Para encontrarla aplicamos la condición inicial,
que especifica que en 00, 1 y t G t f z . Además, usando la propiedad de
ortogonalidad de las funciones propias multiplicamos ambos lados por cos z e
integramos entre 0 y L , intercambiando la sumatoria y la integral donde es preciso.
Sabiendo que la propiedad de ortogonalidad de estas funciones propias está dada por:
0
0 cuando cos cos
cuando
Ln m
n m
n m
z z dzN
.
Obtenemos
2
00
cos cos
LL
n n nf z z dz C z dz
, (ix)
2
0
1cos 2
2 4
L
n n
n
LN z dz sen L
. (x)
La integral N es conocida como integral de normalización.
La integral del lado izquierdo en (ix) la realizamos teniendo en cuenta que en nuestro caso
la distribución inicial de temperaturas es constante, 0 1 :
34 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL UNIFORME
0
cos 1/ sinL
n n n nA z dz L , (xi)
nn
AC
N .
Reemplazando nA en la expresión para el perfil de temperatura (viii) obtenemos:
2
10
cos expn n n
T TC z t
T T
. (xii)
Es conveniente usar variables adimensionales así: 2* ; ;tzz Fo L
L L .
La solución en términos de estas variables adimensionales es:
2 *
10
exp( )cos( )n n n
n
T TC Fo z
T T
, (1.19a)
donde * zzL
, coordenada adimensional. L es el semiespesor de la pared. El
coeficiente nC es:
4sin
2 sin(2 )
nn
n n
C
, (1.19b)
y los valores discretos (propios o valores eigen) de n son las raíces positivas de la
ecuación trascendental
Binn tan . (1.19c)
Este número infinito de raíces son los valores propios o eigenvalues que satisfacen las
condiciones impuestas. Estos valores se encuentran en los intervalos
1
21 con 1, 2,nn n n .
Los valores propios son función del número de Biot:
k
hLBi para transferencia de calor. (1.19d)
En estos términos la integral de normalización toma la forma
35 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
2 2
2 22
n
n
Bi BiN
L Bi
.
Además del perfil de temperatura, es importante conocer la energía absorbida o liberada en
forma de calor por parte de la placa durante un intervalo dado de tiempo. Si una placa de
volumen V se enfría desde su temperatura inicial 0T hasta una temperatura promedio mT
en un tiempo t , libera una cantidad de energía como calor hacia los alrededores, dada por:
0P mE t VC T T , (1.20)
V es el volumen del sólido y mT su temperatura promedia en el momento t .
El valor de esta temperatura promedio que es la temperatura uniforme que la pared
alcanzaría si se suspendiera la transferencia de calor con el medio en el momento t y se
permitiera alcanzar un equilibrio interno, se obtiene integrando el perfil de temperaturas en
ese instante con respecto al volumen y dividiendo el resultado por el volumen. Recordemos
que la superficie de transferencia S es constante en esta geometría y que entre
0 y ,z z L V SL .
2
10 00
1 exp( )
L
m nn n
n n
T T senT Tdz C Fo
L T T T T
. (1.19e)
Gracias a la tecnología computacional disponible, tanto esta expresión como la del perfil de
temperaturas presentan ventajas sobre soluciones gráficas, en especial en programas de
simulación donde aparecen procesos en estado transitorio. Sin embargo, dado que todavía
en muchos libros de texto se utiliza, se presenta el siguiente procedimiento, innecesario
como se acaba de mencionar.
Si al sólido se le permite intercambiar calor con el medio indefinidamente, alcanzará un
nuevo estado estable donde la temperatura será nuevamente uniforme para todos los
valores de z e igual a la temperatura ambiente. En este caso, el calor transferido será:
00 PE VC T T . (1.20a)
Los gráficos de Gröber presentan la fracción transferida hasta el momento t , es decir
0
E t
Econ la nomenclatura
0
en ordenadas contra 2Fo Bi . Esta escritura, aunque
36 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL UNIFORME
generalizada es desafortunada al crear confusión en la nomenclatura pues la letra Q es
normalmente usada como calor transferido por unidad de tiempo.
0
0 0 0
1m mQ T T T T
Q T T T T
. (1.20b)
También para el cálculo de los perfiles de temperatura fueron ampliamente usados los
gráficos de Heisler pero tal como ocurre con la expresión anterior son inútiles en la
actualidad.
En algunos casos y para uso de calculadoras sencillas, es conveniente saber que para
valores del parámetro de Fourier mayores a aproximadamente 0.2, solo se requiere el
primer término de la serie infinita.
Se debe tener en cuenta que los valores propios n deben obtenerse resolviendo la
ecuación trascendental. Esta ecuación puede resolverse numéricamente conociendo Bi .
Se comprende mucho mejor el sentido físico de las magnitudes de estos valores propios si
observamos que esta ecuación puede escribirse como:
sin cosn n nF Bi .
Al dibujar esta función, los valores que hacen cero la función son los valores propios n . Se
observa que ocurren a intervalos de , en la primera mitad del intervalo, es decir
1 1/ 2 , con 1, 2, 3,nn n n
Figura 1.3. Función sin cos para 1 y 5F Bi Bi Bi
0 3,142 6,283 9,425 12,57-15
-10
-5
0
5
10
l
F
Bi=5Bi=5
Bi=1Bi=1
37 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
Transferencia de masa
Para transferencia de masa la ecuación a resolver es:
2
2
z
cD
t
c AAB
A
, (i)
aquí el coeficiente de difusión se considera constante. Esta ecuación se conoce como la
segunda ley de Fick de la difusión. Las condiciones inicial y límite asociadas son:
En 00, para A At c c L z L , (ii)
Por simetría 0
z
cA en 0z para todo t . (iii)
Para 0, en AAB c AG A
ct D k c c z L
z
, (iv)
aquí AGc es la concentración de A en el gas en contacto inmediato con el sólido. Esta
concentración se debe relacionar con la concentración Ac en el sólido antes de que esta
condición límite se pueda usar. Usamos el coeficiente de distribución para expresar la
concentración en equilibrio A AGc m c . En este caso se supone una relación lineal de
equilibrio entre la concentración de A en el fluido y en el sólido. De esta forma, la tercera
condición límite se convierte en (multiplicando y dividiendo por m ):
en A cA A
AB
c kc mc z L
z mD
, (v)
de aquí se deduce que la misma ecuación (1.19) puede usarse para resolver problemas de
transferencia de masa si hacemos
0
A A
A A
c mc
c mc
y
AB
c
mD
LkBi para transferencia de masa.
Determinación de los valores propios usando EES
38 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL UNIFORME
La Figura 1.3 muestra que cada valor de n se encuentra en un intervalo definido así: 1
está entre 0 y 2
; 2 entre y 2
; s entre 2 y 22
, n entre
1 y 12
n n . Esto es cierto independientemente del valor de Bi . Para generar
los valores propios usando EES (ver código de programación en la sección Notas al final
del capítulo) se establece el número de términos que se considera adecuado calcular y se
hallan los valores apropiados a suponer en cada intervalo usando el comando
“DUPLICATE” así:
$UnitSystem SI mass C Pa Rad J N=10 duplicate i=1;N lowerlimit[i]=(i-1)*pi+1e-6 upperlimit[i]=lowerlimit[i]+pi/2 guess[i]=lowerlimit[i]+pi/4 end
Debe notarse que se calculan funciones trigonométricas de números reales, por lo cual se
debe establecer en el sistema de unidades de lectura de ángulos los radianes, así se esté
trabajando en calculadora o en computador. Los comandos que comienzan con $ son
"directivas". En este caso es muy útil introducir esta información al comienzo del código o
programa pues es posible olvidarse de dar la instrucción llamando el cuadro de diálogo que
asigna unidades manualmente. La información entre comillas no la tiene en cuenta el
ordenador y sirve para recordar qué hace el programa. No olvide colocar la información
correspondiente a cada problema en particular.
Ejemplo 1.1: Analizar una placa plana de un acero inoxidable de espesor 10 cm que se
enfría por sus dos caras mayores desde una temperatura uniforme de 40 °C hasta que su
temperatura máxima sea de 30 °C, en aire a 20 °C con coeficiente convectivo 120 W/m2.K.
Las propiedades del sólido pueden considerarse constantes en los siguientes valores:
conductividad térmica k = 17.14 W/m.K, densidad 38563kg m , calor específico CP =
512 J/kg.K. Estimar el calor cedido por el sólido en este tiempo. ¿Cuál es la temperatura de
la superficie en ese momento?
39 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
Figura 1.4. Ej 1.1: Placa plana de acero inoxidable
Solución: Debido a la simetría de la
situación, en el centro de la placa se
cumple que / 0T z , por lo cual, si
tomamos origen de ejes coordenados
coincidiendo con el plano de simetría, la
solución que obtuvimos para la placa de
espesor L con una cara aislada es
exactamente igual al caso actual, tomando
como longitud característica la distancia
desde el plano de simetría hasta la
superficie convectiva.
Utilizamos en la solución el software EES
(ver código en la sección Notas) con los
siguientes resultados:
5 23.909 10 m s 0,3501Bi
6_ 4,609 10E t J 2,377Fo
0,4743mt 0,5zt
1520time s 29,49[ ]mT C
28,48[ ]sT C
40 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL UNIFORME
En la Figura 1.5, se observa como la distribución de temperaturas se va achatando,
tendiendo a su nuevo estado estable de 20 °C, uniforme a todo lo ancho. Es de anotar que,
para números de Bi mayores, la curvatura de los perfiles es más pronunciada mientras que
si este disminuye, estos se hacen más planos. La razón es que el número de Biot se puede
entender como una relación de resistencias térmicas a la transferencia de calor: la
resistencia interna a la conducción sobre la resistencia externa a la convección.
Figura 1.5. Distribución de temperaturas en la placa
1.1.2 Resistencia superficial despreciable, Bi > 40
Solución por separación de variables
Al analizar la condición en la superficie convectiva
fluido
sólido
dTk h T T
dz .
Tenemos entonces que la resistencia en el sólido es proporcional carLk en el sólido ( carL
es una longitud característica) y a 1h
en el fluido
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 125
25,526
26,527
27,528
28,529
29,530
30,531
31,532
32,533
33,534
34,535
z
T
[C] Perfil a los 1520 s
Temperatura promedia
Perfil a los 691 s
Temperatura promedia
41 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
sólido
fluido
/Resistencia en el sólido
Resistencia en el fluido 1/
carTL k
Bih T
. (1.21)
Para , 0fluido
Bi T , la temperatura en la superficie correspondiente a
1, 0sT T , los valores propios son 3, ,2 2
, como se obtiene si
analizamos la ecuación trascendental que los genera en este límite:
sincos n n
nBi
.
Al tender Bi hacia infinito, cos 0n , lo que ocurre para valores de n dados por:
2 1 / 2 con 1, 2,n n n
Así mismo, de la trigonometría sabemos que para estos valores de n el 1
1n
nsen
y
que el valor de la función seno para cualquier múltiplo entero de es cero por lo cual
2 0nsen . De esta manera
14 1
con 1, 2,2 1
n
nC nn
La ecuación (1.19) toma entonces la forma
1
2
10
14cos * exp
2 1
n
Sn n
S
z Fon
. (1.19b)
La ecuación correspondiente para los valores promedio viene dada por
2 2
2210
2 18 1exp
42 1
m Sm
S
nFo
n
. (1.19c)
Recordar que representa una concentración. En el caso de transferencia de materia
vendría dada en moles o en masa de la sustancia que difunde, por unidad de volumen.
Podemos usar otras unidades de concentración:
42 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL UNIFORME
Am As Am As Am As Am Asm
Ao As Ao As Ao As Ao As
c c y y W W
c c y y W W
. (1.22)
Para obtener la segunda fracción vasta con multiplicar numerador y denominador de la
primera por el peso molecular del soluto A.
Para la tercera fracción, se requiere que la concentración total, c, permanezca constante a
pesar de los cambios de concentración, adecuada entonces para gases a presión y
temperatura constantes pues numerador y denominador se dividen por la misma cantidad:
/A Ay c c .
Para la última igualdad, usada para procesos de secado, se supone que el volumen del
sólido no se altera durante el proceso y por ello la densidad del sólido seco, ss , puede
considerarse constante, y basta dividir numerador y denominador del segundo término por
esta cantidad.
relación en peso de en el sólido = masa de humedad / masa sólido secoAW A ;diferente
de la fracción en peso Aw .
, .1 1
A AA A
A A
w WW w
w W
(1.23)
En el caso de transferencia de calor el producto pC T tiene dimensiones de energía por
unidad de volumen que en caso de y pC constantes se simplifica en numerador y
denominador quedando solo las temperaturas.
0
S
S
T T
T T
.
A la expresión (1.19b) se puede llegar por un análisis similar al que nos condujo a la
ecuación (1.19) cambiando la condición límite ecuación (1.15b) por un valor constante en la
superficie: para * 1, sz . La solución obtenida, al igual que la (1.19) converge
rápidamente para valores grandes del tiempo adimensional, Fo es aproximadamente
mayor o igual a 0.2..
Para estas condiciones límite es relativamente fácil encontrar una solución que converge
rápidamente para valores menores de Fourier usando transformada de Laplace.
43 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
Transformada de Laplace
Este método ha sido usado en la solución de mucha clase de procesos transitorios. Para
usarlo en la solución de la ecuación (1.8) asumimos que las propiedades / Pk C
permanecen constantes en la región. Si trabajamos en coordenadas cartesianas,
, , ,T T x y z t . Este método ofrece con frecuencia análisis simples para muchos
mecanismos físicos que se hacen difíciles de analizar a partir de la separación de variables.
La ventaja inicial de una transformada de Laplace en cualquier circunstancia particular es
que remueve la derivada respecto al tiempo. El resultado es una ecuación diferencial
ordinaria en términos de , ,T x y z , llamada la transformada de , , ,T x y z t . Las
condiciones iniciales y de contorno se aplican a la solución de la ecuación diferencial
resultante en términos de la función T . La solución de la formulación original se recupera
entonces por inversión de la solución transformada , ,T x y z de nuevo hacia , , ,T x y z t .
Esta transformación generalmente se hace usando las tablas existentes en la literatura.
La transformada de Laplace , , ,L T x y z t de , , ,T x y z t , escrita en cuatro notaciones
usuales es
0
)(),,,(),,()(,,, pTdttzyxTezyxTTLtzyxTL pt , (1.24)
aquí p puede ser complejo y su parte real es positiva y suficientemente grande para que la
integral converja. Así, si 2tT t e , p debe ser mayor que 2.
Se debe notar que, como p es generalmente un parámetro finito, puede restringirse
dependiendo de la función de t que se considere. Al interpretar la integral como ordinaria
con un integrando finito, se concluye que el producto .p t debe ser finito, por lo tanto, si t
es pequeño, p es grande y a la inversa. De esta manera, la expansión de la solución
transformada en una serie convergente de potencias ascendentes de 1p
o de p , y la
subsecuente inversión término por término produce una solución útil para valores de tiempo
pequeños o grandes, respectivamente. El mismo concepto se aplica a expansiones
generalizadas en términos de
1f p
o g p , funciones estas crecientes de p ,
determinadas según la situación particular.
44 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL UNIFORME
Debemos tener siempre presente que, así como la función original es función de t , su
transformada será función de p. La integral, una función de p , es la transformación de
, , ,T x y z t a , , ,T x y z p . Así, las transformadas de funciones corrientes son construidas
fácilmente efectuando la integral tal como en los siguientes ejemplos:
0
si , constante ,pt aT a T a e dtp
0 0
1si , p a tat pt atT e T e e dt e dt
p a
,
2 2
0
si , pt wT sen wt T e sen wt dtp w
.
Algunas de las propiedades más corrientemente utilizadas de la transformada de Laplace
son (Arpaci p 343):
No Función Transformada
i 1 2C f t C g t 1 2C f p C g p
ii df t
dt 0pf p f
iii ,n
n
f x t
x
,n
n
f x p
x
iv 0
t
f d 1
f pp
v f t 1 p
f
vi exp t f t f p
vii 0
t
f t g d f p g p
Tabla 1.1. Propiedades de la Transformada de Laplace
La propiedad (vii) se conoce como el teorema de la convolución, el cual se aplica en
especial a límites dependientes del tiempo.
Esta lista de propiedades de la transformada de Laplace se utiliza para obtener la función
transformada de un problema dado. Las transformadas inversas, usadas para regresar del
dominio de p al dominio de t , para funciones simples que aparecen con frecuencia están
tabuladas en la tabla A.5 de los anexos.
45 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
Como ejemplo para ,T z t aplicamos las reglas (iii) y (ii) anteriores:
0
2
2
2
2
2
2
,z
TdttzTe
zz
TL pt
,
0,)(0,)(
0
zTzTpzTTpLdtt
Te
t
TL pt ,
así, para la función:
2
2
, ,1T z t T z t
z t
.
La ecuación subsidiaria en términos de T z será:
)0,()(
)(2
2
zTzT
p
z
zT,
,0T z es la condición inicial tal como se especifica en la regla ii.
Las condiciones de frontera también deben transformarse para formular completamente la
solución de la función de transformación T z . Esta transformada se invierte entonces
para dar la solución ,T z t . La relación inversa, en términos de T z , es:
1( , ) ( )
2
i
t
i
T z t e T di
,
aquí es la variable compleja de integración y debe ser suficientemente grande para
que todas las singularidades de T caigan a la izquierda de la línea ,i i .
Difusión Transitoria en una Placa Simétrica. Transformada de Laplace
El problema de la difusión transitoria en una placa es de importancia, por ejemplo, en
operaciones de secado de materiales coloidales o gelatinosos, donde es necesario conocer
46 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL UNIFORME
la distribución de la humedad en la placa como una función de la posición y el tiempo, o la
relación entre el contenido promedio de humedad de la placa y la duración del secado. Para
propósitos de análisis puede suponerse que los bordes delgados de la placa están sellados
a la transferencia.
En forma alterna, la placa o losa puede imaginarse lo suficientemente delgada como para
que los efectos de borde puedan despreciarse y tendremos difusión a través de dos caras
opuestas. Consideremos concentración inicial uniforme en 0Ac , en toda la placa,
concentración constante ASc en las dos superficies mayores, difusión ocurriendo solo
normal a las dos superficies mayores las cuales son permeables al soluto A , propiedades
físicas constantes.
a a
ASc ASc
z
Figura 1.6. Placa plana, difusión unidimensional en estado transitorio
Se toma el origen de coordenadas en el plano central o de simetría el cual tiene área S
normal a z .
La ecuación del balance en concentraciones molares y sin generación es:
0
t
cN A
A.
Teniendo presente que solo hay gradientes en la dirección z :
0z
N
t
c AzA
,
*
AZ AZ A Z AZN J c v J .
47 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
Puesto que se trata de difusión en sólidos. La ecuación (1.15) se reduce a:
2
2
z
cD
t
c AAB
A
. (1.25a)
Haciendo A ASY c c ,
2
2
z
YD
t
YAB
, (1.25b)
condiciones límite:
0Para , cualquier , , 0; 0A AS A AS Sz L t c c Y c c Yp
,
0 0 0Para cualquier , en 0, , condición inicialA A A ASz t c c Y c c Y ,
Para 0, cualquier , 0, 0, 0 regla (iii)Ac Y Yz tz z z
.
La última de las condiciones de frontera surge del hecho de la simetría del sistema. En el
plano intermedio siempre habrá un máximo (o mínimo) de concentraciones. Esta condición
equivale también a que no haya flujo a través de tal plano, es decir que estuviese sellado a
la transferencia.
La ecuación (1.21) podría resolverse por el método de separación de variables de forma
análoga al problema anterior. Estos resultados son útiles para tiempos largos de difusión ya
que la serie converge rápidamente en tales condiciones.
Un método alterno de solución lo da el uso de la transformada de Laplace. Este da
resultados útiles para pequeños tiempos de difusión ( 0.2Fo ).
Como ya vimos, para una función ,f z t de dos variables independientes z y t , la
transformada de Laplace (parcial) de ,f z t con respecto a t es definida por:
dttzfpttzfLpzf t
0
,exp,, ,
el subíndice t denota transformación con respecto a t . Las propiedades de la transformada
de Laplace que más nos interesan para el problema son:
48 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL UNIFORME
0,,
,zfpzfp
t
tzfLt
,
z
pzf
z
tzfLt
,,
.
Hemos supuesto que el orden de diferenciación y de integración con respecto a z pueden
intercambiarse.
Tomando transformadas de Laplace a ambos lados de la ecuación (1.25b) con respecto a
:t
2
2
z
YLDYYp
t
YL tABot
,
),(),( pzYtzYLY t .
Por lo tanto
AB
o
AB D
Y
D
Yp
dz
Yd
2
2
, (1.26)
aquí p se mira como un parámetro. Esta ecuación diferencial ordinaria no homogénea
tiene por solución la suma de la homogénea y la particular. La primera es de las mismas
características de la ecuación de la aleta. La segunda será una constante C , que para
satisfacer la ecuación original debe cumplir
00 , entonces o
AB AB
pC Y YC
pD D .
La solución general es la suma de ambas:
2
1 2exp exp con o
AB
Y pY C mz C mz m
Dp , (1.27)
condiciones límite para 0z ,
49 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
1 2 1 2exp exp 0 entonces dY
C m mz C m mz C Cdz
,
ahora para z L
01 1exp exp 0
exp( ) exp( )
oY YY C mz mz C
p p mL mL
,
o sea:
exp exp
exp exp
o omz mzY Y
Yp p mL mL
.
En este caso, la solución transformada contiene funciones hiperbólicas de /m p , un
argumento complicado. Este tipo de soluciones es más conveniente expandirlas en series
de exponenciales negativos mejor que en potencias de 1p
. Entonces, la inversión término
a término da soluciones válidas para tiempos pequeños en términos de exponenciales y
funciones de error en lugar de potencias de t . En el caso de geometría cartesiana, este
método da, dependiendo de las condiciones límite o de frontera, dos tipos de solución: (i)
para condiciones simples como temperatura o concentración o flujo en la superficie
conocidos, todos los términos de la expansión tienen coeficientes simples conduciendo a
soluciones útiles para todos los valores de tiempo y no solo para tiempos cortos. (ii) Para
condiciones de frontera más complicadas como convección al ambiente, los coeficientes de
la expansión son progresivamente más complicados, de manera que solo la inversión de
los primeros términos es práctico obtenerlos. Estas soluciones serán válidas solo para
períodos cortos de tiempo.
Dividiendo numerador y denominador por exp mL :
0
exp exp
exp 2 1
om L z m L zY Y
Yp p mL
. (1.28)
El teorema del binomio
1 2 2 3 3
1 1 2
2! 3!
n n n n nn n n n n
a b a na b a b a b
50 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL UNIFORME
Haciendo 1, 1 y n a b x se obtiene el enésimo polinomio de Taylor en 0 0x o
fórmula de Maclaurin de la función
11 x
que es:
1 12 3 1
0
1 1 1 1n nn n
n
x x x x x x
,
aplicándolo al denominador del término entre paréntesis de la ecuación (1.28):
1
0
1 exp 2 1 exp 2n
n
mL nmL
,
por lo cual
0 0
exp / 2 1 exp / 2 111 1 .
AB ABn n
n no
p D n L z p D n L zY
Y p p p
La transformada inversa de cada término en estas dos series se encuentra en tablas; por
ejemplo, el ítem 8 en la tabla de transformadas de Laplace dada por (Crank, The
Mathematics of Diffusion, 1964) p.327 o ítem 83 (Mickley H. S., 1957) p.316, o numeral 30
(Arpaci, 1966) (tabla 4.16 al final del capítulo).
Dado que
1A AS A Ao
Ao AS AS Ao
c c c c
c c c c
,
el resultado puede escribirse como:
0 0
2 1 2 11 1
2 2
n nA Ao
n nAS Ao AB AB
n L z n L zc cerfc erfc
c c D t D t
. (1.29)
En términos de cantidades adimensionales, con * y zz FoL
el número de Fourier
1 1
1 1
2 1 * 2 1 *1 1
2 2
n nA Ao
n nAs Ao
n z n zc cerfc erfc
c c Fo Fo
. (1.29a)
Las ecuaciones (1.29 y 1.29 a) convergen para cualquier valor del tiempo.
51 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
En matemáticas, la función error (también conocida como función error de Gauss) es
una función especial (no elemental) que se define por la expresión:
2
0
2erf ( ) exp( )
x
x d
, (1.30)
y dado que
0
2
2)exp(
d ,
se concluye que 1erf ; además ; 0 0erf x erf x erf .
No es posible evaluar la integral en forma cerrada utilizando funciones elementales, pero, si
se expande el integrando mediante una serie de Taylor, se obtiene la serie de Taylor de la
función error:
12 1 3 5 7
1
12 2 1 1
2 1 1 ! 3 2! 5 3! 7
nn
n
x x x xerf x x
n n
. (1.30a)
Esta expresión es válida para todo número real x , y también en todo el plano complejo.
Este resultado se basa en el desarrollo en serie de Taylor de 2exp x que se integra
término a término.
La función error complementaria, llamada erfc , se define a partir de la función error:
22( ) 1 ( ) exp
xerfc x erf x d
. (1.30b)
En el caso de una calculadora científica generalmente no trae esta función incluida, y
aunque se puede programar su evaluación si trae la posibilidad de efectuar integraciones
numéricas, una regresión polinómica de tercer grado, con coeficiente de correlación 2 99.95r que puede usarse para cálculos aproximados (mejor que interpolar de una tabla
o leer de un gráfico) es:
2 31,01914154 1,37937486 0,617569738 0,0912458409erfc x x x x . (1.30c)
52 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL UNIFORME
La serie (1.29) converge rápidamente para todos los valores de Fourier, menos aquellos
valores para los cuales 2 0.2ABD tFo
L . Por ejemplo, para la concentración en el centro,
0z , cuando 1:Fo
8920.00008.00678.09590.00
0
AAS
AA
cc
cc,
y cuando 0.25Fo
3145.00001.03146.00
0
AAS
AA
cc
cc,
para 0.2Fo ,
2277.010345.42277.0 6
0
0
xcc
cc
AAS
AA.
La expresión para la concentración promedio Amc a través de la placa en el tiempo t es:
0.5
0.52 0.51
12 2 1
nAo Am AB
nAo AS AB
c c D t nLierfc
c c L D t
. (1.31)
En función de parámetros adimensionales
0.51
12 2 1
nAo Am
nAo AS
c c nFo ierfc
c c Fo
. (1.31a)
En problemas de conducción de calor y transferencia de masa difusional, son importantes
las integrales repetidas de la función de error.
Escribimos:
1( ) ( ) 1, 2, 3,n n
x
i erfc x i erfc d n
)()(0 xerfcxerfci ,
53 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
integrando por partes obtenemos:
)(
exp)()(
21 xxerfc
xxierfcxerfci
. (1.31b)
Ejemplo 1.2: Determinar el tiempo que se necesita para reducir el contenido de humedad
máximo a 10% en peso de una placa de arcilla de 5 cm de grueso colocada sobre una
banda que pasa a través de un secador continuo, lo que restringe el secado a una sola de
las superficies planas. El contenido inicial de humedad será 15 % en peso y el contenido de
humedad en la superficie bajo condiciones de secado constante se mantendrá a 4 % en
peso. La difusividad efectiva del agua a través de la arcilla es 1.3x10-4 cm2/s.
Solución: Como la concentración de la superficie sólida es conocida y constante equivale a
un caso con Bi , siendo aplicables las ecuaciones (1.19b) y (1.19c) o las (1.29), (1.29a)
y (1.31), (1.31a) si se prefiere, en términos de relaciones en peso AW .
Usando EES (ver código en sección Notas al final del capítulo) los resultados obtenidos
son:
Por separación de variables
Fo=0,3666 N=3
t=70505 [s] theta_mt=0,3281
theta_zt=0,5152 wm=7,91
W_A=0,1111 W_Am=0,08589
W_Ao=0,1765 W_As=0,04167
Por transformada de Laplace
Fo=0,3666 N=5
t=70505 [s] thetaomLP=0,6719
theta_LPzt=0,4848 W_ALP=0,1111
W_ALPm=0,08589 W_Ao=0,1765
W_As=0,04167
El software puede producir un informe en PDF para lo cual debe instalarse el paquete
gratuito MikTeX Latex de la página http://miktex.org. En el manual o en la ayuda (help) se
encuentra más información en la sección LaTeX/PDF Report. Mostramos, como ilustración,
una parte del informe de este ejemplo:
Datos
0,05 .L m (1)
8 21,3 10 .ABD m s (2)
10.w (3)
54 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL UNIFORME
15.wo (4)
4.ws (5)
.100
Ao
woW
wo
(6)
.100
As
wsW
ws
(7)
2.AB
tFo D
L (8)
ˆ .z z L
ˆ 0.z (9)
5.N (10)
Método de Separación de Variables
duplicate 1;i N (11)
1
2 21
ˆcos 2 1 2 exp 2 1 42 1
t
t i z i Foi
(12)
end (13)
1..4zt NSum (14)
A As Ao As ztW W W W (15)
1001
A
A
Ww
W
(16)
duplicate 1;i N (17)
2 2
; 2
1exp 2 1 4
2 1m t i Fo
i
(18)
end (19)
;1..2
8mt m NSum
(20)
Am As Ao As mtW W W W (21)
1001
Am
Am
Wwm
W
(22)
Resultados 8 21,300 10ABD m s 0,3666Fo
0,05L m 5N
55 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
70505 19,58t s hr 0,3281mt
0,5152zt 10w
7,91wm 15wo
4ws 0,1111AW
0,08589AmW 0,1765AoW
0,04167AsW ˆ 0z
En algunas ocasiones, la geometría y la dirección de los ejes coordenados no son tan
obvias. Analicemos algunos casos.
Ejemplo 1.3: Un conducto vertical de 10 pulgadas de diámetro interior tiene una conexión
horizontal de prueba de 0.5 pulgadas de diámetro interior terminada en una válvula 2 pies
fuera de la línea grande. Hidrógeno fluye a través de la línea grande a 100 psia y 15 °C por
varios días, y la línea de prueba es purgada y la válvula cerrada. El gas que fluye se cambia
de hidrógeno a un gas reformado que contiene 70 % molar de hidrógeno y 30 % molar de
metano y el flujo continúa a 100 psia y 15 °C. Una hora más tarde, un poco de gas de
prueba es removido para análisis, abriendo la válvula. Estime la composición del primer
pequeño incremento de gas retirado, asumiendo que el gas en la pequeña línea de prueba
ha permanecido completamente estancado.
2 pies
10'’
Figura 1.7. Ej 1.3: Conducto vertical
Solución: El sistema a estudiar es el pequeño tubo lateral y aunque se trata de un tubo los
gradientes de concentración son axiales por lo que es simetría cartesiana unidimensional.
Si seleccionamos el eje z en la dirección axial de tubo en cuestión, tendremos que cuando
se purgó el sistema y se cerró la válvula de su extremo, la composición a todo su largo es
uniforme de H2 puro. Cuando se crea la perturbación, la composición en su extremo abierto
(izquierdo en la Figura 1.7) cambia a 70% molar de hidrógeno, y dado su pequeño diámetro
se puede asumir que no hay efectos convectivos, es decir que los cambios que ocurran a lo
largo del tubo pequeño son solamente por difusión molecular. Con presión y temperatura
constantes en el sistema gaseoso, existe contradifusión equimolecular. Aplicando un
56 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL UNIFORME
balance para la especie A en una longitud diferencial del tubo se llega a la ecuación
(1.25a):
2
2
z
cD
t
c AAB
A
,
dividiendo ambos lados de la igualdad por c , la concentración total que es constante por
estar a temperatura y presión constantes, se obtiene
2
2
A AAB
y yD
t z
, (1.25c)
aquí /A Ay c c es la fracción molar en la fase gaseosa. Observando que en el extremo
cerrado por la válvula no pasa la especie A, en él se cumple que / 0Ay z , condición
correspondiente a una superficie adiabática en transferencia de calor o impermeable al
soluto en transferencia de masa, equivalentes a su vez a un plano de simetría en una placa
del doble del espesor, 2L . Con esta observación, si se elige el origen del eje z en la válvula
y su dirección positiva hacia la salida del tubo pequeño (que es el sistema que se analiza),
la ecuación diferencial (1.25c) tiene por solución las ecuaciones (1.19b) y (1.19c) o las
(1.29), (1.29a) y (1.31), (1.31a) si se prefiere, en términos de fracciones molares.
Visto así la condición en z L es
0.70; en 0 es / 0 y en 0 es 1, con 2 pieAs A Aoy z y z t y L .
Se debe determinar la difusividad del H2 en el CH4 a las condiciones de presión y
temperatura estipuladas. Todo esto es sencillo usando EES (ver código en sección Notas),
de donde se obtienen los siguientes resultados:
1..4 .zt NSum .A As Ao As zty y y y
20,000009734 .ABD m s 0,0943.Fo
1$ ' '.G hydrogen 2$ ' '.G methane
0,6096 .L m 5.N
689476 .P Pa 288 .T K
0,9574.zt 3600 .time s
4.ws 0,1111.AW
57 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
0,08589.AmW 0,1765.AoW
0,04167.AsW ˆ 0.z
0,9872.Ay
El valor de Fo es pequeño, sin embargo, los 5 términos en la sumatoria son suficientes
pues el último es despreciable como lo muestra la Tabla 1.2:
i z i
1 0.7924
2 -0.04106
3 0.0005954
4 -0.000001598
5 7.256E-10
Tabla 1.2. Primeros 5 términos de la sumatoria usando EES
Parece más práctico, en este caso, usar las ecuaciones basadas en el método de
Transformada de Laplace, los resultados obtenidos son:
20,000009734 .ABD m s 0,0943.Fo
1$ ' '.G hydrogen 2$ ' '.G methane
0,6096 .L m 5.N
689476 .P Pa 288 .T K
0,9574.LPzt 3600 .time s
0,9872.ALPy
De las ecuaciones (1.19) y (1.29) se nota que 1zt LPzt . Los términos de la sumatoria
son ahora:
i LPzt i
1 0,0426
2 -9,834E-12
3 2,262E-30
4 -3,779E-58
5 4,220E-95 Tabla 1.3. Primeros 5 términos de la sumatoria método transformada de Laplace
58 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL UNIFORME
Aunque las ecuaciones que se usan por este método son menos familiares al estudiante, es
claro que, si se conoce previamente el valor del módulo de Fourier, es más conveniente
utilizar las ecuaciones (1.29) si 0.25Fo y las ecuaciones (1.19) si 0.25Fo . Esto
especialmente si se trabaja con calculadoras científicas en lugar de computadoras, caso en
el cual se asegura una muy buena exactitud usando solo el primer término de la sumatoria
correspondiente.
Para verificar los límites de esta aproximación generamos la Figura 1.8 comparando
resultados a un término y a 10 términos variando Fo:
Figura 1.8. Solución gráfica, aproximación a un término variando Fo
La Tabla 1.4 muestra valores obtenidos con 10 y con 1 término por el método de
separación de variables ( 1,A Ay y ) y por el método de transformada de Laplace ( 1,ALP ALPy y ).
La Tabla 1.5 enseña los mismos valores para la zona crítica establecida donde comienzan
a ser inexactos los cálculos a un término para ambos métodos. Estas tablas se grafican en
la Figura 1.8 y Figura 1.9 respectivamente. Del análisis de tablas y gráficos se obtiene un
estimativo de Fourier crítico 0.26 donde coinciden los cuatro valores a tres cifras decimales.
Fo Ay 1Ay ALPy 1ALPy
0,01 1 1,148 1 1
0,1 0,9013 0,9191 0,9013 0,9013
0,2 0,7162 0,7181 0,7162 0,7162
0,3 0,5609 0,5611 0,5609 0,5605
0,4 0,4384 0,4384 0,4384 0,436
0,5 0,3426 0,3426 0,3426 0,3354
Fo 10A svy 1A svy 10ATLPy 1ATLPy
0,2 0,7162 0,7181 0,7162 0,7162
0,21 0,6991 0,7006 0,6991 0,6991
0,22 0,6823 0,6836 0,6823 0,6823
0,23 0,6659 0,6669 0,6659 0,6659
0,24 0,6499 0,6506 0,6499 0,6498
0,25 0,6342 0,6348 0,6342 0,6341
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 10
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
Fo
yA
Fo
yA
LaPlace 1 términoLaPlace 1 término
Separación Variables 1 términoSeparación Variables 1 término
59 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
0,6 0,2677 0,2677 0,2677 0,2526
0,7 0,2091 0,2091 0,2091 0,1831
0,8 0,1634 0,1634 0,1634 0,1237
0,9 0,1277 0,1277 0,1277 0,07236
1 0,09976 0,09976 0,09976 0,02736
Tabla 1.4. Valores obtenidos métodos separación variables y transformada de Laplace a 1 y 10 términos
0,26 0,6188 0,6193 0,6188 0,6187
0,27 0,6038 0,6042 0,6038 0,6036
0,28 0,5892 0,5895 0,5892 0,5889
0,29 0,5749 0,5751 0,5749 0,5745
0,3 0,5609 0,5611 0,5609 0,5605
0,31 0,5473 0,5474 0,5473 0,5468
0,32 0,534 0,5341 0,534 0,5333
0,33 0,521 0,5211 0,521 0,5202
0,34 0,5083 0,5084 0,5083 0,5074
0,35 0,4959 0,496 0,4959 0,4948
0,36 0,4838 0,4839 0,4838 0,4825
0,37 0,4721 0,4721 0,4721 0,4705
0,38 0,4606 0,4606 0,4606 0,4588
0,39 0,4493 0,4494 0,4493 0,4473
0,4 0,4384 0,4384 0,4384 0,436
Tabla 1.5. Valores obtenidos zona crítica métodos separación de variables y transformada de Laplace a
1 y 10 términos
De la Figura 1.9 se observa que ambas soluciones a un solo término coinciden para
0.2 0.4Fo . De la Figura 1.8 y la Tabla 1.4, se concluye la validez de la solución por
separación de variables a un término, a 4 cifras decimales para 0.37Fo (a dos decimales
para 0.2Fo ), y la solución por transformada de Laplace es satisfactoria, a 4 cifras
decimales para 0.23Fo (a dos cifras para 0.4Fo ).
Figura 1.9. Solución gráfica a 1 y 10 términos métodos separación de variables y transformada de Laplace
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,60,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
Fo
yA
Separación de variables 1 términoSeparación de variables 1 término
Transformada de Laplace 1 término
Ambas soluciones 10 términosAmbas soluciones 10 términos
60 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL UNIFORME
La aplicabilidad de estas correlaciones, en las que se tiene condición constante en la
frontera en lugar de convección, se analiza calculando el valor de la variable adimensional
en la superficie de la placa para diferentes valores de Bi usando para ello la función
incorporada en EES que usa 20 términos de la serie conducente a la ecuación (1.19). Se
observa entonces que el concepto de baja resistencia externa se puede aplicar para valore
de Bi del orden de 40 o superiores. Se debe tener precaución pues la función incorporada
viene por defecto separada con comas y no puntos y comas como requiere el teclado en
español:
THETA_s=planewall_T_ND(x_bar; Fo;Bi)
x_bar=1
Bi=100
{Fo=,1 "a variar"}
Fo 40Bi 50Bi 100Bi
0,1 0,04446 0,03561 0,01783
0,2 0,03116 0,02493 0,01246
0,3 0,02416 0,0193 0,009611
0,4 0,01905 0,01518 0,007527
0,5 0,01505 0,01197 0,005907
0,6 0,0119 0,009442 0,004638
0,7 0,009411 0,007449 0,003641
0,8 0,007441 0,005876 0,002859
0,9 0,005884 0,004635 0,002245
1,0 0,004652 0,003657 0,001763 Tabla 1.6. Valores de Fo a diferentes Bi
A efecto de revisar el concepto sobre cortos tiempos para la pared convectiva, procedemos
a desarrollar una ecuación similar a la (1.19) para el ejemplo 1.1 con base en la
transformada de Laplace. El planteamiento es idéntico al que nos lleva a la ecuación (1.27)
pero se diferencia en el análisis de las condicioes de frontera:
2
1 2exp exp con o
AB
Y pY C mz C mz m
Dp , (1.27)
límite para 0z ,
0expexp 21 mzmCmzmCdz
Yd.
Esto implica que
1 2 1 21 1 0 entonces C m C m C C .
Ahora para z L , T
k h T Tz
, es decir
61 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
1 2 1 2 0 /
mL mL mL mLk C me C me h C e C e Y p
,
Con 1 2C C C se obtiene
0/ /mL mL mL mL
C k m h e e e e Y p
.
Reemplazando se obtiene
0
/
mz mzo
mL mL mL mL
Y Y e eY
p p e e k m h e e
.
Dividiendo numerador y denominador de la fracción en el paréntesis cuadrado por
exp :mL
20
1 1
1 / 1 /
m L z m L z
mL
Y e e
Y p p k m h k m h e
.
Esto puede escribirse como
20
1 1
1 / 1 /1
1 /
m L z m L z
mL
e eY
Y p p k m h k m h e
k m h
.
Recordando la fórmula de Maclaurin
12 3 1
0
11 1 1
1
n nn n
n
x x x x xx
,
3 3
20
/ /1 /
/ /
m L z m L z m L z m L zh k h k mY h ke e e e
Y p p h k m p h k m
Como se observa, cada término de la serie es más complejo. Invirtiendo solo los dos
primeros términos obtenemos una solución válida para tiempos cortos ( y grandesp m ). Los
ítem 1 y 37 de la tabla A.5 son aplicables:
62 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL UNIFORME
2
2
1 *
0
1 *
1 * 1 * 1 *1 erfc erfc erfc
2 2 2
1 *erfc .
2
Bi z Bi Fo
Bi z Bi Fo
z z zT Te Bi Fo
T T Fo Fo Fo
ze Bi Fo
Fo
(1.32)
También
2
2
1 *0
0
1 *
1 * 1 * 1 *erfc erfc erfc
2 2 2
1 *erfc . (1.32a)
2
Bi z Bi Fo
Bi z Bi Fo
z z zT Te Bi Fo
T T Fo Fo Fo
ze Bi Fo
Fo
A continuación, hacemos una comparación con los resultados para el método de
separación de variables a 1 y a 20 términos y el método de transformada de Laplace,
ecuaciones (1.32 y 1.32a), para el caso del ejemplo 1.1 (ver código en sección Notas).
Fo 1T EEST LPT
0,01 40,97 40 40
0,1 40,39 39,95 39,95
0,2 39,76 39,6 39,6
0,3 39,15 39,1 39,1
0,4 38,56 38,54 38,54
0,5 37,99 37,98 37,99
0,6 37,43 37,43 37,45
0,7 36,9 36,9 36,94
0,8 36,38 36,38 36,45
0,9 35,87 35,87 35,98
1 35,38 35,38 35,53 Tabla 1.7. Valores obtenidos de temperatura por cada uno de los métodos
De los valores calculados se observa que la solución por separación de variables a un
término, 1T , se acerca a la solución a 20 términos por encima, siendo aceptables sus
valores para 0.3Fo . De otra parte, la solución por transformada de Laplace, LPT , da
excelentes resultados para 0.5Fo , pudiéndose reemplazar por la solución a un término a
partir de este valor.
63 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
Figura 1.10. Solución gráfica a 1 sólo término por los métodos separación de variables y transformada de
Laplace y a 20 términos usando EES
Ejemplo 1.4 (Problema 14.46 Incropera et al.[37] p 978): Un estanque solar opera sobre el
principio de que las pérdidas de calor de una capa poco profunda de agua, que actúa como
un absorbedor solar, se pueden minimizar al establecer un gradiente de salinidad vertical
estable en el agua. En la práctica tal condición se puede lograr mediante la aplicación de
una capa de sal pura al fondo y agregar una capa superpuesta de agua pura. La sal entra
en la solución en el fondo y se transfiere a través de la capa de agua por difusión, con lo
que se establecen condiciones de sal estratificada.
Como primera aproximación, la densidad total de masa y el coeficiente de difusión para
sal en agua ( ABD ) se pueden suponer constantes, con 9 21.2 10ABD m s .
a) Se mantiene una concentración de saturación de As para la sal en solución en el
fondo de la capa de agua. La
capa de agua tiene espesor
1 mL . ¿Cuánto tiempo
transcurrirá para que la
concentración másica de la sal
en la parte superior de la capa
alcance 25% de la de
saturación? Figura 1.11. Ej 1.4: Estanque solar
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 135
36
37
38
39
40
41
Fo
T °
C
Separación de Variables 1 términoSeparación de Variables 1 término
Transformada de Laplace 1 términoTransformada de Laplace 1 término
EES a 20 términosEES a 20 términos
Agua
(en reposo)z
Sal
L
64 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL UNIFORME
b) En el tiempo que se requiere para alcanzar 25% de saturación en la parte superior
de la capa, ¿cuánta sal se transfiere desde el fondo hacia el agua por unidad de
área superficial (kg/m2)? La concentración de saturación de la sal en solución es
3380As kg m .
a) Si el fondo se vacía de sal en el momento en que la densidad de sal alcanza el 25%
de la saturación en la parte superior, ¿cuál es la concentración final (estado estable)
de la sal en el fondo? ¿Cuál es la concentración final en la parte superior?
Solución: Para difusión en fase líquida podemos despreciar el término de arrastre por lo que
la ecuación (1.25a) escrita en términos de concentraciones másicas volumétricas es
2
2
A AABD
t z
.
La concentración en la parte inferior es constante y conocida. A través de la superficie
superior la sal no atraviesa pues no es volátil. Para que las condiciones límite coincidan con
las que nos llevaron a las ecuaciones (1.19) (1.29) y (1.31) para 40Bi , el origen se debe
tomar en la superficie libre. Así, en la superficie libre se cumple 0, / 0Az z , y en el
fondo del estanque, , A Asz L constante. La ecuación (1.19) se escribe entonces
12
0 1
14cos * exp
2 1
nA AS
n nA AS
z Fon
. (i)
Aquí los valores propios son una secuencia simple:
2 1
2n
n
.
De los datos del problema, la concentración adimensional será:
0.25 10.75
0 1
.
Esta es válida para * 0z , por lo que la ecuación (i) debe resolverse para Fo .
Para la parte (b) es suficiente conocer la concentración promedia en el momento que se
alcanza la concentración pedida en la superficie libre. Esta se multiplica por el volumen de
líquido (en este caso 1 m3) y se obtienen los kg disueltos en este tiempo, pues
originalmente el agua estaba pura, es decir 0Ao .
65 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
La parte (c) se responde con el valor encontrado en la parte (b) para la concentración
promedia que es el valor uniforme que alcanzará la solución luego de un tiempo infinito, o si
se mezclara de manera uniforme, pues no está entrando más soluto al sistema.
Usando EES (ver código en sección Notas al finaldel capítulo) se obtienen los siguientes
resultados:
0,2125.Fo 81,770 10 49179 5.6 .t s hr años
197.3 .M kg 3197,3 .Am kg m
5.N 3_ 95 .rho Ac kg m
3_ 0 .rho Ao kg m 3_ 380 .rho As kg m
21 .S m 31 .V m
_ 0,4807.theta mt _ 0,75.theta zt
Observando la Tabla 1.8 que nos muestra los términos de las sumatorias, se evidencia que
la solución manual mejoraría muy poco haciendo el cálculo con dos términos, pero la
dificultad operativa se aumentaría por hacerse necesario tanteo para la solución.
theta[i] theta_m[i]
0,592 0,592
-0,002978 0,0009927
4,070E-07 8,139E-08
-9,991E-13 1,427E-13
4,031E-20 0 Tabla 1.8. Términos de las sumatorias
El número de Fourier es un poco menor que el valor crítico para placa plana haciendo que
el error involucrado al usar un solo término para cálculo con calculadora normal sea del
orden del 1%, suficientemente aproximado para la mayoría de las aplicaciones. Además, si
se usa la solución por transformada de Laplace cuando, como en este caso, la incógnita es
el tiempo, se requeriría prueba y error para solución con calculadora, inclusive si se usara la
ecuación (1.30c).
Ejemplo 1.5: Interdifusión de dos gases: Un procedimiento experimental común para la
medición de la difusividad en sistemas gaseosos binarios emplea una cavidad cilíndrica
dividida por una separación que puede removerse. Un gas A llena inicialmente la cavidad
de un lado de la partición y un gas B el otro lado. Se remueve el separador y se permite que
ocurra la difusión a temperatura y presión constantes, sin convección, durante un tiempo
66 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL UNIFORME
medido. Se coloca nuevamente el diafragma y los gases de cada mitad del cilindro son bien
mezclados y analizados.
Si esto ocurre en un cilindro de 120 cm de longitud, con helio en un compartimento y
metano en el otro, a presión total de 5 atm y 20 °C de temperatura, se requieren 2.5 hr para
que la concentración media del helio baje a 00.7 Ac en una mitad y aumente a 00.3 Ac en la
otra, calcule la difusividad para este sistema.
Solución: Suponiendo que el diafragma en cuestión se encuentre a la mitad del recipiente,
la concentración final de equilibrio, después de un tiempo infinito de haberse quitado la
separación será mitad A y mitad B, que en términos de fracciones molares de la fase
gaseosa corresponde a 0.5A By y . Según la descripción de la situación, es claro que
habrá contradifusión equimolecular pues la presión total sobre el sistema y su temperatura
permanecen constantes, no hay reacción química homogénea y siendo el cilindro
suficientemente estrecho podemos aceptar que sólo hay difusión en la dirección axial. Por
lo tanto tenemos:
2
2
A AAB
y yD
t z
.
Siendo los gases puros y a la misma presión en las dos mitades, entonces las
concentraciones serán simétricas alrededor del punto medio y será necesario obtener una
solución sólo para la mitad. Si tomamos la mitad izquierda del tubo como el lugar donde
inicialmente se encuentra la sustancia A, para el tiempo 0t cuando se remueve la
separación, la concentración es uniforme para toda la longitud L (tomamos el total del tubo
como 2L ) 1.0Aoy . La base izquierda del tubo es impermeable a la difusión del gas por lo
que se cumple, si tomamos allí el origen coordenado, que para 0, / 0Az y z . Así
mismo, en el punto intermedio, siempre estará la concentración de equilibrio, es decir para
, 0.5Asz L y , constante. Es entonces aplicable la ecuación (1.19c) pues se conocen es
las concentraciones promedio después de terminar el experimento:
2 2
2 20 1
2 18 1exp
42 1
Am AS
A AS
ny yFo
y y n
.
Con el código en EES (ver en sección Notas al final del capítulo) se obtienen los resultados:
0,00001146 m ^ .2ABD s 0,00001343 m ^ 2 .EESD s
67 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
0,2864.Fo _ 0,4.theta mt
Sherwood, Pigford y Wilke dan un valor experimental para la difusividad Helio - Metano a
298 K y 1 atm, 20.675ABD cm s . Corrigiéndola para las condiciones del experimento
tenemos:
1.5 20.675 5 293 298 0.7769 0.7793 0.1312 cmABD s . Este resultado está ajustado
al valor calculado usando la subrutina D_12_gas del EES, como se puede observar. El
número de Fourier está por encima del valor crítico por lo que parece adecuado el cálculo
con un solo término.
Calentamiento por inducción electromagnética
El calentamiento por inducción electromagnética es un método rápido, eficiente, preciso, sin
contacto directo para calentar metales u otros materiales conductores de la electricidad.
Una característica importante de este proceso es que el calor se genera dentro del objeto
mismo, y no por una fuente externa de calor, como en los sistemas convección –
conducción.
El calentamiento por inducción se usa en muchos procesos industriales, tales como para
fundir los metales refractarios (Nb, Ta, Mo, W, Re) con temperaturas de fusión mayores a
los 2000 K. También en la industria de los semiconductores, y fogones de inducción.
El calentamiento por inducción permite calentamiento preciso de un elemento como en el
caso del endurecimiento superficial, soldadura de precisión, etc.
Dependiendo de la frecuencia inducida, la zona de calentamiento varía, para pequeñas
frecuencias la penetración es alta, pero para frecuencias altas el efecto de calentamiento se
concentra en zonas tan delgadas que para todos los efectos prácticos se puede considerar
originado en la superficie (skin effect).
Para frecuencias de 200 kHz la penetración (región donde se presenta el calentamiento) es
del orden de 12 mm , pero para frecuencias de la corriente inductora de 5 MHz, la
penetración es tan baja como 310 mm .
En estas condiciones, el calentamiento por inducción electromagnética puede modelarse
como si existiera una fuente de calor constante en la superficie del sólido. Este calor se
disipa parcialmente por conducción hacia el interior del sólido y parcialmente por
convección hacia el medio circundante.
Para el caso de una placa plana cuya otra superficie está aislada el análisis será:
68 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL UNIFORME
2
2
T T
t z
. (i)
En la superficie, el calor generado se dividirá entre el que se disipa hacia el medio con
temperatura igual a la inicial de todo el sistema 0T y coeficiente convectivo h , y el que es
conducido hacia el interior del sólido de conductividad térmica k y longitud característica L
(distancia desde la superficie aislada hasta la superficie donde ocurre el calentamiento):
0 para T
q k h T T z Lz
. (ii)
En la superficie aislada se cumple
0 para 0T
zz
. (iii)
Hacemos el siguiente cambio de variables:
0
2, * , .
/i
t z T Tz
L L q h
La ecuación (i) toma entonces la forma
2
*
i i
z
. (iv)
La condición de frontera (ii) toma la forma, para * 1z
1 siendo *
ii
hLBi Bi
z k
, (v)
esta condición límite no es homogénea. Haciendo 1 i obtenemos
2
2*z
. ver ecuación (1.9)
La condición límite (v) toma la forma
69 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
*Bi
z
. ver ecuación (1.10b)
Para * 0z se cumple que
0*z
. ver ecuación (1.10a)
La condición inicial en 00, 0, , 0it T T .
1 . ver ecuación (1.10c)
Por el método de separación de variables obtenemos una función del tiempo tal como la
ecuación (1.16)
2
1 expG C .
La otra ecuación se resuelve lo mismo que la (1.17) llegando a:
2 *
1
exp( )cos( )n n n
n
C z
,
es decir
2 *0
1
1 exp( )cos( )/
i n n n
n
T TC z
q h
, (1.33)
tann n Bi ,
2sin
sin( )cos( )
nn
n n n
C
.
Esta solución es similar a la obtenida para la placa plana calentada o enfriada hacia un
medio con temperatura constante T desde una temperatura inicial uniforme 0T , razón por
la cual los llamados gráficos de Heisler se pueden usar también para analizar problemas de
calentamiento por inducción electromagnética. Se analizan a continuación dos ejemplos
presentados por (Heisler, 1947):
70 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL UNIFORME
Ejemplo 1.6: Se calienta por inducción electromagnética de alta frecuencia una placa de
acero de 0.5 plg de espesor. El otro lado se encuentra aislado. Se deben alcanzar 1600 °F
en 1.5 s en la superficie expuesta. ¿Cuál es el suministro de energía necesario en W/plg2?
¿Cuál será la temperatura del centro en ese momento? La temperatura inicial de la placa,
igual a la de los alrededores es 70 °F, la conductividad térmica del acero k = 25 Btu/hr-pie-
°F; la densidad es 3460 lb pie ; calor específico CP = 0.120 Btu/lb-°F. El coeficiente
convectivo promedio, por radiación se estima en 9.9 Btu/hr-pie2-°F (La temperatura de la
superficie cambia de 70 °F hasta 1600 °F en el período de calentamiento, considerándose
que la mayor parte del tiempo está a temperatura alta (2/3)1600=1070 °F). Haga el mismo
cálculo para un período largo de calentamiento, de 200 s. (ver código de solución en
sección Notas).
Las ecuaciones formateadas se ven así:
10
lowerlimit 1 0,000001 for 1 to N
upperlimit lowerlimit for 1 to 2
guess lowerlimit for 1 to 4
1 for 1 to
tan
i
i i
i i
N
i i
i N
i N
LBi h
k
i NBi
2
1..
2
2 for 1 to cos
ˆ
ˆexp cos for 1 to
i
i i
zt N
senC i N
sen
zz
L
C Fo z i N
Sum
timeFo
L
71 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
1
01
0
1
ˆ 1
70
p
i zt
si
k
C
z
T T
q
h
T F
2
3
0
;
1600
9,9
25
460
0,12
1,5
3600
ˆplanewall ; ;
ˆ 0
1
0,5
12
s
p
c io
o T ND
io o
T F
h Btu hr ft F
k Btu hr ft F
lb ft
C Btu lb F
timehr
qT T
h
x Fo Bi
x
Lft
Los resultados obtenidos son:
2α = 0,4529m s. 0,0165.Bi
0,1087.Fo 0,04167 pie.L
0,0004167 hr.time 6 22,480 10 .q Btu hr ft
_ 113,2 temperatura en el centro después de 1.5 s.T c F
_ 1600 temperatura en la superficie después de 1.5 s.T s F
Resultados para un tiempo de calentamiento de 200 s
72 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL UNIFORME
270132 .q Btu hr ft
_ 1558 temperatura en el centro después de 200 s.T c F
_ 1600 temperatura en la superficie después de 200 s.T s F
1.2 Simetría Esférica
1.2.1 Esfera con temperatura inicial constante y superficie convectiva
Los cálculos de geometría esférica se convierten a geometría cartesiana con un cambio de
variable. Por esta razón los resultados son similares a los obtenidos para la placa plana.
El modelo matemático para este caso se configura así ecuación (1.3a) con 2m o
ecuación (1.8) con 2m , o ecuación (1.6a):
2
2
2 2
1 2 1T T T Tr
r r r r r r t
, (1.6b)
con las condiciones límite:
en 0 / 0; en T
r T r r R k h T Tr
.
En términos adimensionales, a partir de la ecuación (1.9)
2
2
2
* * *r r r
, (1.6c)
las condiciones límite son así:
0 para * 0*
rr
, (1.10a)
para * 1*
Bi rr
, (1.10b)
La condición inicial es
0 entonces 1 para t 0 por lo tanto 0 y 1T T Fo . (1.10c)
73 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
Como las condiciones límite son homogéneas se puede usar el método de separación de
variables
*, *r F r G . (1.11)
Reemplazando en (1.16c)
2 2
* * *
dG d F dFF G
d dr r dr
, (1.12a)
2
21 1 2
* * *
dG d F dF
G d F dr r dr
, (1.13a)
2 0dG
Gd
, (1.14)
2
1 expG C Fo , (1.16)
22
2
20
* * *
d F dFF
dr r dr . (1.15a)
De manera más compacta
2 2
2
1* 0
* * *
d dFr F
r dr dr
. (1.15b)
En esta simetría, haciendo que la variable dependiente, F se modifique haciendo
f rF r
r ,
2
dF 1 f d f
dr r r d r ,
2
2
2
dFd d df df d f d fr f r r
d r dr dr d r d r d r d r
,
por lo tanto:
74 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL UNIFORME
22
2
d dF d fr r
dr d r d r
.
Las ecuaciones (1.15) se transforman en:
22
20
*
d ff
dr .
Las ecuaciones (1.18) siguen siendo válidas
4 5cos * sin *f C r C r .
Regresando a la variable F:
4 5
cos * sin *
* *
r rF C C
r r
, (1.34)
5 42 2
cos * sin * sin * cos *
* ** *
r r r rdFC C
dr r rr r
. (1.35)
Multiplicando todos los términos por 2*r , se observa que 4 0C para que se cumpla la
condición (1.10a). Para que se cumpla (1.10b) en * 1r :
5 5cos sin sinC C Bi ,
teniendo en cuenta que hay un número infinito de valores de que satisfacen la ecuación
planteada escribimos:
1 sin cosn n nBi . (1.36)
La solución de la ecuación (1.11) será la suma de todas las soluciones posibles
2
1
sin *exp
*
n
n n
rC Fo
r
. (1.37)
75 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
Reemplazamos por su equivalente Fourier y nC incluye las constantes 1 4C C que
determinamos usando la condición inicial y la condición de ortogonalidad de las funciones
propias, ecuaciones (1.16). Para 0t :
1
sin *1
*
n
n
rC
r
. (1.38)
Multiplicando ambos lados por *sin *nr r ( *r es la función de peso en este caso) e
integrando, sabiendo que los otros términos de la sumatoria ( n m ) se hacen cero:
1 1
2
0 0*sin * * sin * *n n nr r dr C r dr . (1.39)
Escribimos entonces la solución como
2 *
*1
1exp( ) ( )n n n
n n
C Fo sen rr
, (1.40)
donde * rrR
, posición adimensional, y
Figura 1.12. Geometría esférica
4 ( ) cos( ) cos2
2 (2 ) cos
n n n n n n
n
n n n n n
sen senC
sen sen
, (1.41)
y los valores discretos de n son las raíces positivas de la ecuación trascendental
1 sin cosn n nBi que aparecen en los intervalos
1 con 1, 2,nn n n
Con frecuencia se escribe así:
Binn cot1 , (1.36a)
con esta correlación podemos expresar los coeficientes nC como (Baehr, 2011) p.170,
(Rohsenow, 1973) p.153:
R
,T h
76 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL UNIFORME
1/ 22222
1
2 2 2
2 12 11
1
nnn n
n
n n n
Bi BiBi sen BiC
Bi Bi Bi Bi
.
Para transferencia de calor
0
y T T hR
BiT T k
. (1.42a)
Para transferencia de masa
0
, .A A c
A A AB
c mc k RBi
c mc mD
(1.42b)
Cuando 0r , por L’Hopital se demuestra que: * * 1n nsen r r , es decir:
2
1 1exp( )C C Fo , temperatura adimensional en el centro.
Para determinar la cantidad de calor (o de masa) transferidos en un intervalo de tiempo, es
necesario conocer los valores promedio en el sólido:
Partiendo de la ecuación (1.35) se tiene:
2
2
3 30 10
3 exp( ) 3 ( ) cos( )
Rm n n
n n n
n n
C For dr sen
R
. (1.35a)
Figura 1.13. Solución gráfica *cos 1 * para 1y Bi sen Bi
0 3,142 6,283 9,425 12,57-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
l
y
77 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
Ejemplo 1.7: Analizar una esfera de un acero inoxidable de diámetro 10 cm que se enfría
desde una temperatura uniforme de 40 °C hasta que su temperatura máxima sea de 30 °C,
en aire a 20 °C con coeficiente convectivo 120 W/m2.K. Las propiedades del sólido pueden
considerarse constantes en los siguientes valores: conductividad térmica k = 17.14 W/m.K,
densidad 38563kg m , calor específico CP = 512 J/kg.K. Estimar el calor cedido por el
sólido en este tiempo. ¿Cuál es la temperatura de la superficie en ese momento?
NOTA: Observe que si va a determinar la temperatura en el centro, 0r , la ecuación
(1.35) se vuelve indeterminada, pero en el límite sin(lambda_n*r_hat)/(lambda_n*r_hat) = 1
A partir de la solución con EES donde se ilustra el uso del comando ”FUNCTION” que
permite al programa tomar decisiones (ver código en sección Notas al final del capítulo) se
obtienen los resultados:
6 23,909 10 .m s 0,3501.Bi
_ 45912 .E so J _ 25127 .E s J
0,807.Fo 3.N
_ 0,05 .R o m 30,0005236 .Vs m
30.T 516,1.time
T_infinity 20. T_m 29,05.
T_o 40.
lambda[i] theta[i] theta_m[i]
0,9897 0,5 0,1509
4,571 4,424E-17 9,313E-10
7,771 6,250E-23 0 Tabla 1.9. Valores obtenidos
Fo T T_EES
0,01 41,83 40
0,1 39,99 39,61
0,2 38,12 38,08
0,3 36,43 36,43
0,4 34,9 34,9
0,5 33,51 33,51
0,6 32,25 32,25
0,7 31,11 31,11
0,8 30,07 30,07
0,9 29,13 29,13
1 28,28 28,28 Tabla 1.10. Resultados para la esfera
78 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL UNIFORME
Figura 1.14. Perfil de temperaturas en la esfera en dos tiempos diferentes
Figura 1.15. Fourier crítico esferas
0,2 0,4 0,6 0,8 125
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
r
T °
C
251 s
516 s
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 125
27
29
31
33
35
37
39
41
43
45
Fo
Tcen
tro
N=20
N=1
79 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
Comentario: Comparando con el Ejemplo 1.1, los perfiles son más planos que en la placa.
Así mismo, el cálculo con un solo término de la sumatoria converge más rápidamente al
cálculo exacto (20 términos en este caso), pudiéndose considerar un 0.20cFo .
1.2.2 Resistencia despreciable en la superficie 40Bi
Separación de variables
Se desarrolla a continuación una expresión que será válida para estos casos cuando
40Bi . Para una solución por separación de variables el planteamiento es idéntico al que
nos llevó a la ecuación (1.40) con excepción de la segunda condición límite: para
* 1, , 0sr T T F . La condición en el centro hace que, como antes, 4 0C (ecuación
(1.35)). La segunda condición de frontera requiere que (ecuación (1.34)):
0 entonces con 1, 2, 3,n nsen n n
La solución general es entonces
2 2
1
sin *exp
*n
n rC n Fo
r
. (1.43)
A partir de las condiciones iniciales y la ortogonalidad (ecuaciones (1.16)):
1 1
2
0 0*sin * * sin * *nr n r dr C n r dr ,
1
2 1n
nCn
,
1
2 2
1
1 *2exp
*
n
n
sen n rn Fo
n r
. (1.44)
Cuando *
0,*
sen n rr n
r
por aplicación de la regla de L’Hopital.
Esta concentración adimensional se expresa como
80 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL UNIFORME
0
S
S
T T
T T
para transferencia de calor
0
A AS
A AS
c c
c c
o cualquiera de sus equivalentes para transferencia de masa.
La concentración promedia es necesaria para encontrar la masa o el calor cedidos o
ganados en un intervalo de tiempo. La concentración cambia con la posición en el volumen
por lo que:
12 2
3 0 0
1 33 * *
R
Am A A AV
c c dV c r dr c r drV R
,
pues 34 / 3V R y 24dV r dr
Entonces, la concentración promedia adimensional m será:
1
2 2 2
2 21
6 13 * * expm
on
r dr n Fon
, (1.45)
esta concentración adimensional se expresa como
0
m Sm
S
T T
T T
para transferencia de calor
0
Am ASm
A AS
c c
c c
o cualquiera de sus equivalentes para transferencia de masa.
Transformada de Laplace
Estas expresiones convergen rápidamente para 0.2Fo . Una solución que converge
rápidamente para 0.2Fo se obtiene resolviendo la ecuación (4.5) usando transformada
de Laplace (Crank, The Mathematics of Diffusion, 1964) p. 86 – 87):
Un balance térmico, sin generación escrito en coordenadas esféricas y sabiendo que T
sólo depende de r , produce la ecuación gobernante:
81 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
2
02
10, ; ;p s
T TC k r t T T r R T T
t r r r
,
o haciendo 0Y T T ,
Y
t
Y
r r
Y
r
2
2
2.
Condiciones de frontera :
0 0
0
0, 0 , 0 condición inicial,
Y=Y , , 0 condición de borde.s s
T T r R t
T T r R t
Haciendo u Y r , obtenemos:
2
2
u u
t r
,
0 0, 0 , 0,
, , 0.s s
u r R t
u Y R u r R t
La transformada de Laplace y las condiciones límite son
2
20
d u pu
dr ,
en ; 0 en 0s r R rp
.
Luego la solución es:
1 2exp expp p
C r C r
,
y al evaluar las constantes:
82 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL UNIFORME
1; con
rq rq rq rq
s
Rq Rq Rq Rq
S
u e e Y R e e pu q
p e e Y r p e e
.
Dividimos numerador y denominador por Rqe obteniendo:
( )( )
2
1
1
R r qR r q
RqS
Y R e e
Y r p e
.
La expansión de Maclaurin al denominador:
2 4 2
2
11 0,1, 2,
1
Rq Rq nRq
Rqe e e n
e
El numeral 30 de la tabla de transformadas inversas de Laplace, tabla A.5 da:
erfc2
qxe x
p t
.
Aplicando esta transformación de manera repetida a los infinitos términos resultantes
obtenemos
1 1
2 20
2 1 2 1erfc erfc
4 4
o
ns o
n R r n R rT T R
T T r t t
. (1.46a)
Adimensionalizando
0
0
2 1 * 2 1 *11 erfc erfc
* 2 2S
n
n r n r
r Fo Fo
. (1.46b)
La temperatura promedio de la esfera mT en cualquier tiempo será:
0
1 1
6 13 12 6 2 3m
n n
Fo n nFo Fo ierfc Fo ierfc Fo
Fo Fo
. (1.47)
Recordamos
83 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
2
0
2erfc( ) 1 erf ( ) 1 exp
xx x d
, (1.30b)
)(
exp)()(
21 xxerfc
xxierfcxerfci
. (1.31b)
El flujo de calor hacia o desde la esfera es el flujo de calor a través de la superficie en
r R :
24
r R
TQ R k
r
.
Ejemplo 1.8: Se impregnaron partículas esféricas de alúmina de 10 mm de diámetro con
disolución 0.8 molar de sal de vanadio. Ahora se desea rebajar esta concentración a un
valor máximo de 0.5 molar situando las esferas en un tanque grande con agua pura a 283
K, bien agitada de forma tal que la concentración de sal en la superficie de las partículas
puede considerarse nula. Calcule la duración de la lixiviación y la concentración salina a 2
mm de la superficie una vez transcurrido dicho tiempo. La difusividad efectiva de la sal en el
agua que llena los poros es 5x10-8 m2/s.
Del problema se concluye que la resistencia a la transferencia externa es nula, por lo cual
y sBi es la concentración en la superficie, que entonces será cero.
a) Suponiendo (a comprobar luego) que el número de Fourier es mayor que 0.2, leemos de
la tabla A.1 que 1 1 y 2.0C . Reemplazando en la ecuación (1.40) a un término con
* 0r ,
20.52.0exp 0.1179 0.2
0.8Fo Fo ,
por lo que debemos usar un mayor número de términos en la sumatoria. Adaptando la tabla
A:4, observamos que 1
1, y que y que 2 1n
n nC Bi n C
. Usando los 6 primeros
términos de la serie obtenemos:
2
3
2 8
0.114378* 5 100.114378 entonces 57.2
5 10
ABxD t
Fo t sR x
.
84 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL UNIFORME
b) Se usa la misma ecuación (1.40), pero ahora con * 3 5 0.6r . Teniendo presente
que para este número de Fourier el tercer término de la sumatoria ya es del orden de 10 -5,
usamos entonces solamente los dos primeros términos, obteniendo 30.2637Ac mol dm .
Usando EES (ver código en sección Notas al final del capítulo) se obtienen los resultados:
parte (a):
Se hace con la ecuación en separación de variables que permite el cálculo en
* 0r
0.1144; 0.625; 57.19Fo theta time s .
parte (b):
Se incluye el cálculo con la ecuación obtenida por transformada de Laplace. Se
anota que por este método es suficiente un término y por el de separación de
variables bastan dos términos.
c_A=0,2638 molar (serparación de variables). 0.1144.Fo
c_AL=0.2638 molar (transformada de Laplace). r_hat=0.6.
57.19 .time s 0.3297.
0 0.6703 1 .
Ecuación (1.44) Ecuación (1.46)
theta[i] thetao[i]
0,3263 0,4022
0,003411 5,224E-07
-0,000008043 0
-3,611E-09 0
-7,288E-26 0
Tabla 1.11. Valores obtenidos para partículas esféricas de alúmina
85 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
1.3 Simetría Cilíndrica
1.3.1 Cilindro sólido con convección
Analicemos un cilindro sólido largo de
longitud L y radio R , que se encuentra
inicialmente a temperatura uniforme 0T y a
partir del tiempo 0t se expone a un
fluido de temperatura constante 0T T y
coeficiente convectivo h . Debido a la
longitud del cilindro podemos asumir que
los gradientes de temperatura en el mismo
son radiales. A partir del balance
unidimensional (1.8) para geometría
cilíndrica:
Figura 1.16. Cilindro largo con convección
1 rH P
r
Q TC
S r t
, (1.8b)
con 2rS rL y /r rQ kS T r , sin generación, con p
kC
, obtenemos:
r
Tr
rrt
T , (1.8c)
con las condiciones límite:
0 0 0T
r tr
,
0
Tr R k h T T t
r
.
Esta condición límite no es homogénea, condición necesaria para aplicar el método de
separación de variables (al multiplicar los dos lados de la ecuación por una constante, la
ecuación se modifica). Para homogenizar esta última condición y facilitar la solución
hacemos los siguientes cambios de variable:
20/ ; ; *t rT T T T Fo rRR
,
R
h
r
86 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL UNIFORME
que con 0 y T T constantes, nos modifica las ecuaciones anteriores así:
*
* *
1 para 0 ; 0r z L t
r r r
, (1.8c)
*
*0 0 0r t
r
,
*
*1 0 0
kr h t
R r
,
Con hRBik
esto es:
*
*1 0r Bi
r
,
y la condición inicial 0 1 cuando 0 para 0t r R . Ver ecuaciones (1.9) y (1.10)
con 1m
Para resolver el problema por el método de separación de variables se supone que
*,r puede representarse como un producto de funciones de la forma
* * , r F r G , (1.11)
donde F es alguna función solo de * y r G es alguna otra función solo de . Derivando,
reemplazando y organizando, la ecuación (1.9c) toma la forma
* 2
* * *
1 1dG Fr
G d r F r r
. (1.12)
La definición de y de F G implica que el lado izquierdo de la ecuación anterior es
independiente de *r mientras el lado derecho es independiente de . Ambos lados deben
por lo tanto ser iguales a una constante denotada por 2 , siendo un número real
diferente de cero por razones físicas y matemáticas (soluciones triviales o contradicción de
leyes termodinámicas). Este factor de separación es adimensional gracias a la
adimensionalización de variables hecha previamente. A partir de la primera de las dos
ecuaciones diferenciales resultantes,
87 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
2
1 expG C . (1.16)
La segunda ecuación diferencial que se obtiene es
* * 2
* *0
Fr r F
r r
, (1.15c)
con las condiciones límite
En * 0, 0*
dFrdr
, (1.15a)
En * 1, 0F
r Bi Fr
. (1.15b)
La ecuación (1.15c) es una ecuación de Sturm-Liouville con función de peso *r .
NOTA: Una ecuación diferencial ordinaria escrita en la forma general (Tosun, Modeling in
Transport Phenomena, 2007)
0p j kyx ax bx y j k
x x
, (1.48)
donde cualquiera, 2 o 0k p b , se conoce como ecuación de Bessel. Las soluciones
de esta ecuación pueden seguir el siguiente esquema, donde se definen las constantes
, y n :
2
2
p j
, (1.49)
1
2
p
p j
, (1.50)
2
1 4
2
p bn
p j
. (1.51)
La solución depende de si el coeficiente a en (1.48) es positivo o negativo.
88 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL UNIFORME
Caso (i) 0a
Caso (ii) 0a
Se observa que la ecuación (1.9) encuadra en esta definición:
2
* ** * 0m mF
r r Fr r
, (1.9)
donde 2, 0, , 0m p b j m p a , por lo que
21 11, , , 0
2 2
m mn a
.
Por lo tanto, para la placa plana, con 1 10, 1, ,2 2
m n por lo que su
solución es:
1/2
1 1/2 2 1/2y x C J x C J x . (1.52)
Para el caso de la esfera, con 1 12, 1, ,2 2
m n ,
1/2
1 1/2 2 1/2y x C J x C J x
. (1.53)
Las funciones de Bessel de la mitad de un entero impar pueden representarse en términos
de funciones elementales, trigonométricas o hiperbólicas:
1/2
2sinJ x x
x , (1.54)
1/2
2cosJ x x
x . (1.55)
Por esta razón las soluciones dadas por las ecuaciones (1.52) y (1.53) convergen a las
ecuaciones (1.19) y (1.40).
Para el caso del cilindro, 1, 1, 0, 0m n número entero, 2 0a , la
solución es:
89 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
* *
2 0 3 0 2 3 siendo y constantesF C J r C Y r C C . (1.56)
El término pJ x es conocido como la función de Bessel de primera clase y orden p y
viene dado por
2 2
2 2
0 0
( 1) ( ) ( 1) ( )( ) , ( ) ,
!( )! !( )!
k k p k k px x
p p
k k
J x J xk k p k k p
2
2
0 020
( 1) ( )( ) , (0) 1.
( !)
k kx
k
J x Jk
Para el caso de 0 1 y J J estas series son:
2 4 6
2 2 20 2 2 2
11! 2! 3!
x x x
J x
2 4 6
2 2 2
1 12 1!2! 2!3! 3!4!
x x xxJ x
.
Estas funciones tienen la particularidad de que el resto de las funciones
con 2, 3, 4,nJ x n pueden expresarse en términos de las dos funciones
inmediatamente anteriores.
El término nY x se conoce como la función Weber de Bessel, de segunda clase orden n y
está dada por:
n
xJxJnxY nn
nsin
cos
,
como 0 30 entonces 0Y C .
La diferenciación de la función pJ x es:
1 1n n n n n
n nJ x J x J x J x J x
x x .
Aplicando la condición límite (1.25b), se obtiene
90 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL UNIFORME
1 0J BiJ .
Esta ecuación trascendental provee un número infinito de valores propios para cada valor
de Bi . Por esta razón, llamando cada valor propio particular como n se escribe
1 0 1, 2, 3,n n nJ BiJ n (1.57)
La solución general se escribe como la suma de todas las soluciones posibles:
2 *
0
1
expn n n
n
C J r
.
Las constantes 1 2nC C C se evalúan a partir de la condición inicial 0; 1t
aprovechando la ortogonalidad de las funciones propias de las series de Fourier:
*
0
1
1 n n
j
C J r
. (1.58)
Como las funciones propias son ortogonales entre sí respecto a la función de peso,
multiplicamos ambos lados de la ecuación (x) por 0* *mr J r dr e integramos desde
* 0 hasta * 1r r , así:
11
* * * * * *
0 0 0
1 00
m n n m
n
r J r dr C r J r J r dr
. (1.59)
La integral de la derecha es cero si n m y diferente de cero si n m . Usando (Maple,
Waterloo Maple Software, Waterloo, ON, .)
0 0 1
1
* 2 * * 2 2
0
/ 2n n nr J r dr J J N
, (1.60)
1
* * *
0 1
0
1n n
n
r J r dr J
. (1.61)
Así la ecuación solución se escribe como:
91 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
2 *
0
10
exp( ) ( )n n n
n
T TC Fo J r
T T
, (1.62)
donde 2 ; *t rFo r
RR ,
1
2 2
0 1
( )2
( ) ( )
nn
n n n
JC
J J
, (1.63)
y los valores discretos de n son las raíces positivas de la ecuación trascendental:
1 0n n nJ BiJ . (1.57)
Estos valores propios se encuentran en los intervalos 1 nn n . La condición
para los valores propios también suele escribirse como
1
0
( )
( )
nn
n
JBi
J
, (1.57a)
a partir de esta relación, las constantes nC pueden escribirse como:
2 2
0
2n
n n
BiC
Bi J
, (1.58a)
y la ecuación (1.62) toma la forma
1
*
0
2
0
22
0
)()exp()(
12
n
nn
nn
rJFoJBi
Bi
. (1.62b)
Para transferencia de calor
0
T T
T T
y
k
hRBi .
Para transferencia de masa
0
A A
A A
c mc
c mc
,
AB
c
mD
RkBi .
92 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL UNIFORME
Las cantidades 0J y 1J son las funciones de Bessel de primera clase y orden cero y uno
respectivamente.
Se hace claro en este momento que la solución manual implica cálculos dispendiosos, pues
aunque para 0.21Fo (Yovanovich) la serie converge rápidamente obteniéndose
resultados de precisión aceptables con el primer término de la serie, para valores menores
es necesario encontrar más términos lo que representa más valores propios y más
coeficientes. De hecho, hasta hace poco tiempo se usaban métodos gráficos de solución
tales como los de Gurney-Lurie de difícil uso o los de Gröber para cortos tiempos de
exposición ( 1Fo ). Los gráficos más utilizados fueron los de (Heisler, 1947) que mejoró la
precisión graficando la temperatura adimensional en el eje de simetría como ordenada
contra el número de Fourier como abscisa y el número de Biot como parámetro. Si se
requiere conocer la temperatura en un punto diferente del centro se debe usar un gráfico
auxiliar que relaciona la temperatura en el centro con la de cualquier punto. En las abscisas
va Bi y como parámetro una distancia adimensional. Los diagramas tipo Heisler aparecen
en muchos libros de texto y son muy utilizados. Sin embargo presentan limitaciones tales
como: no son válidos para Fo < 0.2, son difíciles de leer para valores de Fo del orden de la
unidad o menores, y el proceso de transitorio ya casi ha terminado para la mayor parte de
los diagramas. Por ejemplo, la temperatura adimensional 0, en el centro, eje o plano
de simetría de una esfera, cilindro o placa vale respectivamente, aproximadamente, 0.1,
0.2, y 0.5 para Fo = 1 y Bi = 1, habiendo entonces progresado el cambio un 90%, 80% y
50% en cada caso.
Figura 1.17. Primeros cinco valores propios de la ecuación (1.62) para 1 y 10Bi
0 1,57 3,14 4,71 6,28 7,85 9,42 10,99 12,56 14,13-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
x
y
93 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
La Figura 1.17 grafica la función 1 0 para 1 y 10n n ny J BiJ Bi Bi . Los cortes
con el eje en 0y son los valores propios. Se observa que aparecen regularmente en
intervalos de .
Valores promedio:
Partiendo de (1.52) y sabiendo que
R
nn
n RJRdrrrJ
0
10
,
2
1
210 0
0
2 exp( ) ( )2
R
m n n nr
n n
C Fo Jrdr E
R
. (1.52a)
Usaremos una técnica similar a la desarrollada para la placa plana y para la esfera para
obtener automáticamente estos valores propios con la ayuda del EES.
Ejemplo 1.9: Analizar un cilindro largo de un acero inoxidable, de diámetro 10 cm que se
enfría desde una temperatura uniforme de 40 °C hasta que su temperatura máxima sea de
30 °C, en aire a 20 °C con coeficiente convectivo 120 W/m2.K. Las propiedades del sólido
pueden considerarse constantes en los siguientes valores: conductividad térmica k = 17.14
W/m.K, densidad 38563 kg m , calor específico CP = 512 J/kg.K. Estimar el calor
cedido por el sólido en este tiempo. ¿Cuál es la temperatura de la superficie en ese
momento?
Los resultados obtenidos usando EES que tiene entre sus funciones las funciones de
Bessel (ver código en sección Notas al final del capítulo):
E=371256 J Energía transferida al medio por unidad de
longitud del cilindro.
1,202Fo
t=768,8 s tiempo requerido para que la temperatura en el
centro cambie desde 40 °C hasta 30 °C.
10N
20T C . 29.22mT C .
28.46sT C . 30cT C .
T_o = 40 C . 3V = 0.007854 m .
94 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL UNIFORME
Ejemplo 1.10: Una barra larga de madera con diámetro externo igual a 12 mm se expone a
aire de temperatura 1400 °C. Si la temperatura de ignición de la madera es de 425 °C,
determine el tiempo requerido para iniciar la combustión dado que la temperatura inicial de
la barra es de 10 °C. Tome k = 0.15 W/m.K; h = 16 W/m2.K; 3730 kg m , y
Cp = 25000 J/kg.K.
La ignición comienza cuando la temperatura de la superficie alcanza 425 °C (otras maderas
tienen temperaturas de ignición menores, por ejemplo el roble rojo enciende a los 275 °C).
Suponiendo un tronco largo, se usa la ecuación (1.61):
2 *
02 210 0
12 exp( ) ( )
( )n n
n n n
T TBi Fo J r
T T Bi J
,
con * 1r :
2
2 210
12 exp( )S
n
n n
T TBi Fo
T T Bi
,
0
16 0.006 425 14000.64, y 0.7014
0.15 10 1400
ST ThRBi
k T T
.
Usando EES con el mismo código del ejercicio anterior, se observa en la Tabla 1.12 que es
necesario usar por lo menos cuatro términos de la serie.
lambda[i] C[i] theta[i] theta_m[i]
1,047 1,142 0,6971 0,407
3,994 -0,1968 0,004353 0,0001747
7,106 0,08413 0,000002685 3,403E-08
10,24 -0,04883 6,985E-11 4,267E-13 Tabla 1.12. Valores obtenidos para la barra larga de madera
alpha=8,219E-09 m2/s. Bi=0,64.
Fo=0,1811. N=10.
theta_mt=0,8144 Sumatoria para la ecuación (1.52a).
theta_rt=0,7014 Sumatoria para la ecuación (1.62a).
time=793,2 [s] = 13.22 min, tiempo necesario para ignición.
T_m=267,9 Temperatura promedio al fin de este tiempo.
95 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
En la Figura 1.18 se observa la variación del perfil de temperaturas con el tiempo.
Figura 1.18. Perfil de temperaturas
1.3.2 Cilindro largo en estado transitorio, 40Bi
Solución por separación de variables
El desarrollo es en todo igual al anterior hasta la ecuación (1.15b) donde la condición límite
cambia:
En * 1, entonces 0sr T T F (1.15c)
La ecuación (1.9) con 1m es una ecuación de Bessel de orden cero:
2
* ** * 0
Fr r F
r r
.
La solución es la misma ecuación (1.56) que con la condición límite (1.15a) se reduce a:
*
0n nF C J r .
Por la condición límite (1.15c), para * 1r , las constantes n deben satisfacer 0 0nJ .
La solución general se escribe como la suma de todas las soluciones posibles:
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 10
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
r*
T °
Ct=793 [s]
t=500 [s]
t=200[s]
96 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL UNIFORME
2 *
0
1
expn n n
n
C J r
.
Los coeficientes nC se determinan a partir de las condiciones iniciales ( 0; 1t )y las
propiedades de ortogonalidad de las funciones propias:
*
0
1
1 n n
j
C J r
.
Como las funciones propias son ortogonales entre sí respecto a la función de peso,
multiplicamos ambos lados de la ecuación (x) por 0* *mr J r dr e integramos desde * 0r
hasta * 1r , así:
1
210 0 12
0
* * * *n m nr J r J r dr J
si m n y cero en los otros casos.
La solución anterior tiene en cuenta que para este caso 0 0nJ por lo que difiere de
(1.60).
1J es una función de Bessel de primera clase y orden uno.
Por definición
1
0 1
0
1* * *n nn
r J r dr J
,
combinando las soluciones anteriores obtenemos
0 2
10 1
**, 2 exp
nSn
nS n n
J rr Fo
J
. (1.64)
Para la concentración promedio en el tiempo t :
R
m rdrtrR
t0
22,
1
,
97 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
20
210
14 expm
n
nS n
Fo
. (1.65)
Además 0)(0 xJ para 4 1 4x n con x lo suficientemente grande. Damos a
continuación algunos valores de las raíces de 0)( xJ p .
Orden
Raíz
p = 0 p = 0
4 1 4n
p = 1 p = 2 p = 3 p = 4
1 2.40483 2.35619 3.83171 5.13562 6.38016 7.58834
2 5.52008 5.49779 7.01559 8.41724 9.76102 11.06471
3 8.65373 8.63938 10.1734
7
11.61984 13.01520 14.37254
4 11.79153 11.78097 13.3236
9
14.79595 16.22346 17.61597
5 14.93092 14.92257 16.4706
3
17.95982 19.40941 20.82693
Tabla 1.13. Valores de las raíces de 0)( xJ p
Solución por Transformada de Laplace
Solución para tiempos cortos de contacto: A diferencia de las soluciones encontradas para
la placa y la esfera, la solución por transformada de Laplace para geometría cilíndrica, aún
para las condiciones de frontera más simples resultan en series con términos
progresivamente más complejos y por tanto son soluciones con poca aplicación práctica.
Recordemos el planteamiento del problema:
S Srt r r r
, (1.8d)
con las condiciones límite:
0 0 0Sr tr
,
= 0 0Sr R t ,
y condición inicial
0 1St .
98 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL UNIFORME
La transformada de la ecuación (1.8d) es
2 1d dr q r r
dr dr
. (1.66)
Las condiciones límite:
0 entonces 0, entonces 0d
r r Rdr
.
La solución de esta ecuación no homogénea es:
0
0
1S
I qr
p pI qR . (1.67)
Recordando que para pequeños valores de tiempo corresponden valores grandes de p (o
de /q p ), se usa una expansión asintótica de 0I x :
2
0 2
1 31
1!82 2! 8
xeI x
xx x
.
Después de bastante álgebra (Arpaci, 1966) p. 421 y 145) la solución ya transformada es
de la forma
2 3/2
0
2
5/2
1 *1 1 * 1 *
* 4 *2 2
9 2 * 7 * 1 *
32 * 2
S
S
r For rerfc ierfc
r rFo Fo
r r rFo i erfc
r Fo
(1.68)
Esta solución se restringe a valores de tiempo pequeños pero a valores de *r no muy
pequeños y qr tampoco debe serlo pues la aproximación a 0I x se hizo para valore de x
no muy pequeños. Para obtener un resultado que se ajuste a estos argumentos pequeños
se debe usar la serie:
2 4
0 2 2
/ 2 / 21
1! 2!
x xI x
99 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
De todas formas, el uso simultáneo de los dos tipos de solución, el de separación de
variables y el de transformada de Laplace parece suficiente y conveniente para la obtención
de resultados numéricos adecuados cuando no se dispone de computador.
Ejemplo 1.11: El rodillo de roble de una podadora de pasto, que tiene un contenido inicial
de 55 % en peso, se coloca en un horno de secado donde su humedad superficial se
mantiene a 20 % en peso. Si el contenido máximo de humedad del rodillo seco se fija en
30% en peso, cuanto tiempo deberá secarse un rodillo que tiene 4 plg de diámetro por 18
plg de largo cuando
a) Los extremos del rodillo se sellan.
b) La superficie curva del cilindro se sella.
c) El secado se hace a través de toda la superficie.
Puede suponerse que la resistencia superficial es despreciable, y que la difusividad de la
humedad a través del roble 4x10 -5 pie2/hr. ¿Cuál será el contenido promedio de humedad
en cada uno de los casos anteriores?
Para el cilindro secándose desde la superficie corta, se usan las ecuaciones para 40Bi :
0 2
10 1
*2 exp
nA ASn
nA AS n n
J rW WFo
W W J
,
0 0nJ ,
20
210
14 expAm A
n
nAS A n
W WFo
W W
.
lambda[i] theta[i] theta_m[i]
2,405 0,09184 0,01983
5,52 -0,000005893 3,633E-07
8,654 2,815E-13 8,829E-15 Tabla 1.14. Valores obtenidos para el rodillo de roble
Los resultados obtenidos usando EES (ver código en la sección Notas):
9 2_ 1.032 10D AB m s . 0.3745Fo .
0.2286L m . 10N .
_ 0r hat . _ 0.0508R o m .
100 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL UNIFORME
0.4286T . 936235 10.84 días.time s
_ 1.145T m . _ 1.222T o .
_ 0.25T s .
Los casos b y c se resuelven más fácilmente analizando el rodillo como muy largo debido a
sus dimensiones y las propiedades de transporte del material como estudiamos a
continuación.
1.4 El sólido semi – infinito
Figura 1.19. Distribución de temperaturas en un sólido semi-infinito para tres condiciones superficiales:
Temperatura constante en la superficie, flujo constante de calor en la superficie, y convección superficial
Otra geometría simple para la cual pueden hallarse soluciones analíticas es el sólido semi -
infinito. Como se observa en la Figura 1.19, el sólido semi-infinito se idealiza como que
comienza en 0z y se extiende hasta el infinito en esa dirección, presentando solo esa
superficie. No existe a la izquierda de ese plano. Si repentinamente cambian las
condiciones en esta superficie, ocurrirá transporte transitorio unidimensional al interior del
sólido.
101 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
1T
2T
1t
2t
t p
2
1 2
T T
T T
2z1zz
Figura 1.20. Perfiles de temperatura para dos tiempos pequeños
Nuevamente la ecuación que describe esta transferencia unidimensional transitoria es:
2
2
z
T
t
T
si se trata de transferencia de calor, y
2
2
z
cD
t
c AAB
A
para transferencia de masa.
El sólido se encuentra inicialmente a temperatura uniforme 0T en toda su extensión. La
condición inicial estará dada por 0,0T z T y la condición límite interna será de la forma
0,T t T . Siempre existirá un punto suficientemente alejado de la superficie donde el
cambio ocurrido allí (en la superficie) no se ha notado. Como no hay una longitud
característica, este sistema nunca tiende a un nuevo estado estable. Su solución no es
posible por el método de separación de variables. Se usan principalmente las soluciones
obtenidas para tres condiciones de superficie, aplicadas instantáneamente para 0z . Son:
(i) temperatura constante en la superficie 0sT T ; (ii) flujo constante de calor en la pared
sq , y (iii) exposición de la superficie a un fluido caracterizado por 0T T y un coeficiente
convectivo h .
102 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL UNIFORME
1.4.1 Caso (i): Temperatura constante en la pared (condición de Dirichlet).
Solución usando cambio de variable
La solución para este caso puede obtenerse reconociendo la existencia de una variable de
similitud mediante la cual la ecuación diferencial parcial, involucrando dos variables
independientes ,z t puede transformarse en una ecuación diferencial ordinaria expresada
en términos de una sola variable de similitud.
Si analizamos la Figura 1.21 observamos que las curvas para contra z en 1 2 y t t muestran
similitud en la forma, pero difieren en que en 2t el calor ha penetrado más profundamente
en la pared que en 1t . Así parece que cada curva puede caracterizarse por un espesor de
penetración t diferente, y podemos preguntarnos si existe una variable, digamos
z
t
, que pueda unificar todas las curvas en una sola.
Figura 1.21. Similitud de los perfiles luego de la transformación
Analicemos que la temperatura pT correspondiente al punto p se alcanza a la profundidad
1z , después de un tiempo 1t , pero a la profundidad 2z sólo se alcanza después de un
tiempo 2t . Si definimos t de manera tal que:
103 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
z
t
z
tp
1
1 1
2
2 2 ,
ambos puntos (y todos los puntos en los que se tiene o p pT ) como se muestra en la
Figura 1.21 coincidirán. En ese caso, de la ecuación diferencial parcial que describe el
fenómeno:
2
2z t , (1.69)
se podrán eliminar y z t , reduciéndola a una ecuación diferencial ordinaria de la forma
, donde:
T T
T TS
0
0
es la temperatura adimensional.
Para determinar si la transformación es posible reemplazamos en la ecuación diferencial
usando la regla de la cadena:
2
1,
d d d z d d d d
t d dt d dt z d dz d
,
2
2
22
2
2
2 111
d
d
d
d
zzd
d
z
.
La ecuación (1.69) se convierte en:
2
2
2 2
d
d
z d
d
d
dt .
Usando la definición de para eliminar z :
d
d
d
dt
d
d
2
2 0
. (1.70)
Esta ecuación todavía contiene t , pero si hacemos:
104 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL UNIFORME
d
dtconstante a , (1.71)
como 0 en 0t :
2
1
0 02 ;
t
tadtad .
La ecuación diferencial ordinaria (1.44) se transforma en:
d
da
d
d
2
2 0
, (1.72)
con:
0 para ,
1 para 0 .
si 1
24 haciendo 2t a por conveniencia:
Substituyendo por dd
se llega a una ecuación de primer orden de variables
separables que se puede resolver para dar:
2 2
1 12 0 ; 2 ; ln ln entonces expd d d
d C Cd d
,
20
2
1 exp CdC
.
Aquí se elige arbitrariamente el límite inferior de la integral indefinida, que no puede
resolverse en forma ilimitada. Si se cambiase el límite inferior por otro valor se alteraría
simplemente el valor de las constantes de integración, no determinadas aún. Aplicando las
condiciones límite se obtiene:
2
02 1
2 2
0
exp1
1; entonces 1
exp expo
d
C C
d d
.
105 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
Este valor cambiará entre uno y cero según cambie de cero a infinito. Para evaluar el
denominador hacemos 1
22; 1 2u d u du , y por definición de la función Gama:
0
1 exp duuu ,
22
1exp
2
1exp
00
2112 2
1
duuud ,
entonces:
2/10
2
0
0
2exp
21
t
zerfcerfcdn
TT
TT n
S
, (1.72)
donde erfc es la función complementaria de error.
Significando por 0T la temperatura uniforme inicial del cuerpo y sT la temperatura a la que
se somete su superficie a partir de 0t .
El método de cambio de variable es adecuado pero el de transformada de Laplace es más
directo:
Método de Transformada de Laplace
La ecuación a resolver es como antes:
2
2
z
T
t
T
.
Definiendo , con s sY T T T constante obtenemos:
2
2
z
Y
t
Y
, (1.73)
con las siguientes condiciones límite:
0 00, , 0st Y Y T T z ,
106 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL UNIFORME
00, 0, 0; ,t Y z Y Y z .
Recordemos las transformadas estándar implicadas:
0,,
,zfpzfp
t
tzfLt
,
z
pzf
z
tzfLt
,,
,
Usándolas la transformada de (1.73) se escribe como:
2
2
dz
YdL
dt
dYL tt .
Reemplazando y organizando:
oYYp
dz
Yd
2
2
.
Esta ecuación tiene la forma de la ecuación de la aleta con generación, diferencial lineal
ordinaria no homogénea. Su solución es:
1
2
1 2exp exp ;oY pY C mz C mz m
p .
Las condiciones límite también se transforman:
00, 0; ,Y
Y p Y pp
.
Aplicando la segunda condición límite:
01 2 2, exp exp entonces 0oY Y
Y p C m C m Cp p
.
Ahora, la solución se reduce a p
YmzCY o exp1 .
107 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
Aplicando la otra condición límite:
01 1(0, ) exp 0 0 entonces oY Y
Y p C m Cpp
.
La solución será:
p
mz
pY
pzY
exp1,
0
.
Aplicando la transformada inversa, numerales 1 y 30 de la tabla de trasformadas, tabla A.5
obtenemos:
t
zerf
t
zerfc
TT
TT
S
S
221
0
. (1.72a)
Espesor de un sólido semi-infinito: De los valores de la función de error observamos que,
para 2.0, 0.995, 0.005erf erfc . Si definimos pz como la distancia a la cual el
cambio de temperatura 0T T es 0.5 % del cambio máximo total 0sT T , entonces el sólido
debe tener espesor
2
14 entonces 0,0625
16P
P
tz t Fo
z
.
Esta cantidad se conoce como la profundidad de penetración y se toma como criterio para
considerar un sólido real como semi-infinito. Debemos tener presente que no podemos
definir esta distancia como aquella a la cual 0T T puesto que, según nuestro modelo, sería
infinita.
Es de importancia calcular la velocidad de transporte dentro del medio. Usando la ley de
Fourier se tiene que:
dz
d
d
dTTTk
z
Tkqq
n
os
z
zzs
00
0,
0
2/14
n
oss
d
dT
t
TTkq
,
108 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL UNIFORME
2exp2
0
2
0
nnd
dT,
qk T T
tS
S
( )0
. (1.73)
La cantidad 1
2t se toma en ocasiones como la profundidad de penetración (en lugar de
1
24pz t ) por analogía con la expresión para la densidad de flujo de calor en placa
plana en estado estable. Sin embargo, al reemplazarla en (1.47) se encuentra que es la
distancia a la cual la diferencia de temperatura ha disminuido al 20% de su valor total
0 0.9 0.20sT T erfc . Por esto, para determinar cuando el espesor de un objeto finito
permite hacer el análisis de cuerpo semi- infinito, considerando como criterio el que
pL z , parece más conservador 1
24pz t que 1
2
pz t .
El flujo de calor promedio en un intervalo de tiempo pt se obtiene promediando el flujo
instantáneo:
0
0
2 ( )1 pt SS m s
p p
k T Tq q dt
t t
. (1.74)
1.4.2 Caso (ii): Flujo constante sq en la superficie (condición de Newmann)
La condición en la superficie es:
0 entonces SdT qz
dz k .
A partir de la ecuación diferencial
2
2
z
T
t
T
Diferenciando con respecto a z y multiplicando por k se obtiene
109 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
2 3 2
3 2
entonces
z zT T q qk k
z t z t z
.
Se hizo uso de la ley de Fourier. Definimos /z Su q q para escribir
2
2
u u
t z
.
El límite y la condición inicial son:
0, 0, 0, 0, 1t u z u z u .
Reconociendo que estas son las mismas condiciones y ecuación que se resolvió antes
escribimos:
2
z
s
q zu erfc
q t
.
Como /zq k dT dz debemos integrar respecto a z para obtener la distribución de
temperaturas (Bejan, 1993):
2 ierfc2
SS
q zT T t
k t
. (1.75)
Reemplazando la integral de la función complementaria de error escribimos
21
exp erfc donde 2 2
S
S
k T T z
q t t
. (1.75a)
La temperatura instantánea en la superficie es
1
2
S
S
k T T
q t
. (1.76)
La temperatura promedio en un período pt es
110 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL UNIFORME
2
2 3
m S
S p
k T T
q t
. (1.77)
1.4.3 Caso (iii): Convección en la superficie (Condición de Robin):
La condición en la superficie es
Para 0z , 0z
Tk h T T
z
.
La solución es (Rohsenow, 1973) p. 152
20
0
erfc exp 2 erfcT T
T T
, (1.78)
y 2
h t z
k t
.
Por lo tanto, en la superficie se obtiene
20
0
1 exp erfcST T
T T
, (1.79)
2
0
expSq terfc
k T T
. (1.80)
Observe que en este caso y s sT q cambian con el tiempo. Como es de esperarse esta
solución tiende a la de Dirichlet para valores del coeficiente convectivo grandes ( 100 ).
Estas correlaciones en términos de concentraciones se escriben, teniendo en cuenta que
representa una difusividad ( o ABD ), es una concentración, de masa ( Ac ) o de
energía ( PC T ), es densidad de flujo ( , ,A Aq n N ), ck es el coeficiente convectivo de
transferencia de masa, con dimensiones de [L/t].
Caso (i) Concentración constante en la superficie: 0, st
111 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
2
2/1
0 2
),(
t
zerf
tz
S
S
, (1.77b)
22erf exp( )o
u du
.
es la función de error Gaussiana que se encuentra tabulada o se puede calcular
directamente con la ayuda de una calculadora que tenga la función integral.
t
SmS
)( 0
. (1.73a)
Caso (ii) Flujo constante en la superficie: 0
constantemSzz
.
22( , ) exp
4 2
mS mSS
t zz zz t erfc
t t
, (1.75b)
1erfc erf función complementaria de la función de error.
Caso (iii): Convección en la superficie:
1/22
1/2 1/2erf exp erfc
2 2
c cA Ac
Ao A AB AB ABAB AB
k z k tc c z t zk
c c D D DD t D t
. (1.78a)
La temperatura (concentración) de la superficie la encontramos para 0z y la densidad de
flujo puede determinarse como ó s A c AS Aq h T T N k c c donde o ch k es el
coeficiente convectivo calculado para las condiciones del fluido circundante. El fenómeno
puede analizarse como si se agregara un espesor adicional de sólido del tamaño
* o *AB
c
Dk z zh k .
Al analizar los tres casos podemos obtener algunas conclusiones: para el caso 1, la
temperatura del medio se aproxima monótonamente a sT a medida que transcurre el
tiempo, mientras que la magnitud del gradiente de temperatura superficial así como el flujo
de calor en la superficie, decrece como 0.5t . En contraste, para el caso de flujo constante
en la interfase, se observa que 0, sT t T t aumenta monótonamente con 1
2t . Para el
caso de convección en la superficie, la temperatura superficial y la temperatura dentro del
112 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL UNIFORME
sólido se aproximan a la temperatura T del fluido a medida que transcurre el tiempo.
Ocurre por lo tanto un decrecimiento en el flujo de calor en la interfase,
s sq t h T t T .
Los anteriores resultados analíticos se presentan en forma gráfica en las siguientes formas
funcionales:
1 , , zf Bi FoL
tales como los gráficos de Gurney - Lurie o los de Gröber - Erk;
2 , ,0f Bi Fo o de temperatura (concentración) en el plano, eje o centro de simetría;
3 , ,1f Bi Fo o de temperatura (concentración) en la superficie;
40
,Q
f Bi FoQ
o de calor (masa) total transferida.
2 3 y f f son denominados de Heisler.
1.4.4 Dos sólidos semiinfinitos en contacto
Una aplicación interesante del caso (1) resulta cuando dos sólidos semi - infinitos, a
temperaturas iniciales diferentes, 0 0 y A BT T , se ponen en contacto a través de sus
superficies libres. Si la resistencia de contacto es despreciable, el requisito de equilibrio
térmico indica que para 0t , en el momento del contacto, ambas superficies deben tomar
la misma temperatura sT , la cual será 0 0B s AT T T (suponiendo 0 0B AT T ). Como sT no
cambiará con el tiempo, ello implica que tanto la historia de la temperatura como la del flujo
de calor en la interfase para cada uno de los sólidos vienen dadas por las ecuaciones del
caso (1).
La temperatura de equilibrio en la interfase puede determinarse a partir de un balance de
energía, el cual requiere que SA SBq q . Reemplazando la ecuación para flujo de calor,
reconociendo que si tomamos el origen coordenado en la interfase SAq debe cambiar de
signo, obtenemos:
( ) ( )Ai S S Bi
A B
k T T k T T
t t
,
113 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
TT k C T k C
k C k CS
A P A B P B
P A P B
0 0( ) ( )
( ) ( )
. (1.79)
Se observa que la temperatura de contacto sT es independiente del tiempo. Aquí, la
cantidad llamada coeficiente de penetración térmica pm k C es un factor que
determina si sT está más próxima a 0 0 o a A A B B A BT m m T m m . Es decir, la
temperatura de contacto está más cerca de la temperatura inicial del sólido con el
coeficiente mayor.
Figura 1.22. Contacto interfacial entre dos sólidos semi - infinitos a diferentes temperaturas iniciales
Este proceso sirve para describir el contacto por un tiempo pequeño entre dos cuerpos
finitos a temperaturas diferentes. La ecuación (1.79) explica por qué sólidos diferentes a la
misma temperatura se sienten como si fueran más calientes o más fríos cuando se tocan.
En los procesos de templado de metales también se coloca un objeto caliento con un
sistema de enfriamiento por tiempos cortos.
Acoplamiento infinito de difusión: Un caso similar en transferencia de masa podría
visualizarse cuando un extremo de un bloque semi-infinito de acero conteniendo
concentración uniforme de carbón 0Ac , se coloca en contacto íntimo con otro extremo de un
bloque semi-infinito de acero puro y el carbón difunde hacia el acero puro. Si analizamos en
general y llamamos 2Ac la concentración para 10 y para 0Az c z las condiciones límite
114 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL UNIFORME
en 0z pueden escribirse como 2 1 21 2
1
;A A AAB AB
A
c c cD D
c z z
donde es la
relación entre la concentración que se tendría en la 0z y la de la región 0z cuando el
equilibrio se alcance. Observando las soluciones (1.47) nosotros buscaremos soluciones de
la forma:
1 1 1
1
02
A
AB
zc A B erf z
D t ,
2 2 2
2
02
A
AB
zc A B erf z
D t .
A partir de las condiciones iniciales 1 1 0 2 2; 0AA B c A B . A partir de las condiciones de
frontera 1 1
2 2
1 2 1 1 2 2; AB ABA A B D B D . Despejando las constantes y reemplazando
obtenemos:
tD
zerfDD
DDc
c
AB
ABAB
ABABA
A
1
2/1
122/1
120
1
2/1
/1
1
,
tD
zerf
DDc
c
ABABABA
A
2
2/1
120
2
21
/1
.
Se puede observar que cuando la difusión ocurre, los valores en la interfase permanecen
constantes e iguales a
1 2
1/2 1/2
0 02 1 2 1
1;
1 / 1 /
A A
A AAB AB AB AB
c c
c cD D D D
. (1.80)
Para el caso que nos ocupa, la difusividad en las dos barras será igual y 1 por lo tanto:
1 2
0 0
1 1 1 1;
2 2 2 22 2
A A
A AAB AB
c z c zerf erf
c cD t D t
. (1.81)
El flujo de carbón a través del plano en 0z es:
tDc
z
cDJ ABA
z
AABAz
2
0
0
. (1.82)
115 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
La masa de carbón que ha cruzado el plano 0z en el tiempo t es:
tDcdtJM AB
A
t
A 00
. (1.83)
La difusividad másica del carbón en el acero a 1000 C es 3x10 -11 m2/s.
1.5 Sólidos compuestos
Analizamos el caso presentado en la Figura 1.23,
donde tenemos un paralelepípedo rectangular de
lados 2a, 2b y 2c. Sin embargo, los extremos en
z c están sellados a la transferencia lo que
es equivalente a tener un paralelepípedo de
longitud infinita, y sólo habrá gradiente en las
direcciones e x y . La ecuación del balance se
reduce en esta ocasión a:
Figura 1.23. Paralelepípedo infinito de sección transversal rectangular
2 2
2 2p
T T TC k
t x Y
. (1.84)
Condiciones de frontera:
00 , , .t T T a x a b y b
0 ( ), , ( ), .T T
t k h T T x a k h T T y bx y
0 0, 0 0.T T
x yx y
116 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL UNIFORME
Se puede plantear la solución por el método de separación: , ,T x y t X x Y y t .
Sin embargo, como lo hizo Newman (1931) en Eckert y Drake es menos restrictivo
proponer:
, , , ,T x y t X x t Y y t . (1.85)
Presupone este planteamiento que es posible expresar un problema transitorio
bidimensional como el producto de dos problemas transitorios unidimensionales.
Reemplazando (1.85) en (1.84) y reorganizando:
2 2
2
2 2
1 1X X Y Y
X t x Y t y
. (1.86)
Los dos lados de la ecuación (1.86) deben variar independiente pero similarmente por lo
que el parámetro de separación es cero. Se conforman dos ecuaciones diferenciales
con sus respectivas condiciones límite así:
2
2
X X
t x
,
2
2
Y Y
t y
,
0,0X x X , 0,0Y y Y ,
0,0
X t
x
,
0,0
Y t
y
,
,,
X a tk h X a t X
x
,
,
,Y b t
k h Y b t Yy
.
El problema es expresa entonces como el producto de dos problemas unidimensionales
transitorios cuya solución es cada una idéntica a la de la placa plana, ecuación (1.19):
2 *
10
exp( )cos( )n n n
n
T TC Fo z
T T
.
Debe tenerse presente que y Fo Bi serán diferentes en las direcciones e yx a no ser que
2 2a b :
117 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
a
haBi
k ,
b
hbBi
k ,
2b
tFo
b
,
2a
tFo
a
.
También como los valores propios con los que se calcula la constante nC dependen de Bi
estos también serán diferentes. Estas soluciones son prácticas en especial cuando se
puede usar el primer término de la serie. De resto siempre será importante la ayuda del
software. Es útil recordar que
2 22 2
2 2 2 2exp exp exp a b
a b
t tt
a b a b
. (1.87)
La solución de este problema equivale a entender que la barra rectangular infinita de la
Figura 1.24 está formada por la intersección de dos placas infinitas de espesor 2 y 2a b .
2H
2W
Figura 1.24. Barra rectangular infinita
Intersección de dos placas infinitas perpendiculares
bplacaaplacapedoparalelepíTT
TT
TT
TT
TT
TT
20200
. (1.88)
Donde 0T es la temperatura inicial de la barra y T es la temperatura ambiente, que para h
tendiendo a infinito se convierte en sT .
En forma semejante, la solución para un bloque tridimensional (como por ejemplo un
ladrillo) puede expresarse como un producto de las soluciones de las tres placas infinitas
118 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL UNIFORME
que tienen por espesores las tres aristas del bloque. Así mismo una solución para un
cilindro de longitud finita podría expresarse como un producto de soluciones de un cilindro
infinito y una placa infinita de espesor igual a la longitud del cilindro.
Podrían combinarse las soluciones de cilindro infinito o de paralelepípedo infinito y el sólido
semi-infinito para obtener distribuciones de temperatura en cilindros y barras semi-infinitos.
La aplicabilidad de este principio, es decir, que problemas multidimensionales se puedan
expresar en términos de dos o más problemas unidimensionales, depende de que la
condición inicial sea uniforme.
Transferencia de calor desde sólidos finitos
La solución de Newman para la distribución de temperaturas en sólidos finitos, es decir
cuando tenemos gradientes en más de una dirección se aplica también a las temperaturas
promedio, por ejemplo, para la barra de la Figura 1.24.
2 2
m m m
o o obarra placa a placa b
T T T T T T
T T T T T T
. (1.88a)
En los textos de transferencia de calor se refieren al trabajo de (Langston, 1982) p. 149 -
150, donde, basándose en la ecuación (1.20b) calcula el calor transferido desde (o hacia)
un sólido de estas características:
0 0 02 2
1 1 1
prisma a b
Q Q Q
Q Q Q
,
es decir:
0 0 0 0 02 2 2 2
1
prisma a b a b
Q Q Q Q Q
Q Q Q Q Q
. (1.25c)
Similarmente desarrolla expresiones para otras formas, tales como un prisma rectangular
(como un ladrillo), un cilindro finito, que se conforma como la intersección de una placa y un
cilindro largo.
Sin embargo, como expresamos luego de la ecuación (1.25b) estos procedimientos fuera
de engorrosos son inútiles actualmente, pues solamente requerimos las expresiones para la
119 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
temperatura promedia de los sólidos involucrados. El calor cedido o ganado por el sólido
será, como ya se explicó
0P mE t VC T T , (1.25)
V es el volumen del sólido y mT su temperatura promedia, calculada por los métodos
descritos.
Ejemplo 1.12: Una barra cilíndrica larga de acero inoxidable (k = 14.9 W/m.°C,
37900 kg m , CP = 477 J/kg.K) se saca del horno a temperatura uniforme 450 °C y se
expone a un ambiente a 150 °C, con coeficiente convectivo 85 W/m2.K. Determine la
temperatura en un punto colocado a 10 cm de uno de los extremos así: en la superficie
curva y en el eje de la misma, 25 minutos después de salir del horno.
Figura 1.25. Extremo de un cilindro semi-infinito
Solución: Analizamos la intersección de un cilindro largo (ecuación 1.64) llamada C_rt y un
sólido semi-infinito con convección en la superficie (ecuación 1.78) llamada S_zt. La historia
de la temperatura viene dada por el producto de las dos funciones. El EES facilita la
solución (ver código en sección Notas al final del capítulo) y arroja los resultados:
para 0r
alpha=0,000003954 m2/s. Bi=0,4279.
Lambda=0,8778. C_n=1,099.
Fo=1,054. Theta=0,4692.
C_rt=0,4878 Función cilindro. time=1500 s.
S_zt=0,9619 Función sólido semi-infinito
convectivo.
T=290,7 C Temperatura en el eje a
15 cm del extremo.
120 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL UNIFORME
Figura 1.26. Perfil de temperaturas a 15 cm del extremo de la barra cilíndrica
Ejemplo 1.13: Analice el caso de una lata de gaseosa que se encuentra en la nevera a 4
°C. Sus dimensiones son 12.5 cm de alto y 6 cm de diámetro. (i) ¿Cuánto tiempo después
de que se coloca en un ambiente a 25 °C con coeficiente combinado de convección y
radiación h = 10 W/m2.K, su temperatura promedio será 15 °C? ¿Cuál será en ese
momento la temperatura en el centro geométrico de la lata? ¿Cuál será el punto con menor
temperatura en la misma? La gaseosa está colocada sobre una mesa de un material
aislante y su superficie superior está expuesta a la transferencia de calor. (ii) La lata de
gaseosa se cubre con un aislamiento cilíndrico de caucho (k = 0.13 W/m.K) de 1 cm de
espesor que no hace contacto térmico perfecto con la superficie metálica, creándose una
resistencia de contacto de 8x10-5 m2.K/W entre ambos. ¿Qué tiempo se requerirá ahora
para el mismo cambio de temperatura? Sugerencia: observe que el efecto del aislante es
cambiar el coeficiente h a un coeficiente U que engloba las resistencias en serie por
contacto, conducción en el caucho y convección con el ambiente para la parte cilíndrica.
Este coeficiente U se usa para calcular el nuevo Bi = UR/k del cilindro. Desprecie la
resistencia térmica opuesta por la pared de aluminio de la lata. Las propiedades de la
gaseosa son aproximadamente las mismas del agua: CP = 4184 J/kg.K; k = 0.598 W/m.K;
31000 kg m .
0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08260
265
270
275
280
285
290
295
r [m]
T [
°C]
121 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
25airT C
4 C
12.5 cm
6 cm
Figura 1.27. Ej 1.13: Lata de gaseosa
Solución
parte (a) temperaturas promedio todas las superficies con el mismo coeficiente
convectivo h
alpha=1,429E-07. E_L=0,06766.
C_p=4184. E_R=0,4893.
h=10. k=0,598.
L=0,125. rho=1000.
r_o=0,03. theta_ML=0,9323.
theta_MR=0,5107. theta_RL=0,4762.
time=4734. T_f=25.
T_i=4. T_m=15.
1.6 Resumen de Conducción Transitoria
Las tres geometrías que tradicionalmente se analizan en el estudio del fenómeno de
transferencia de calor (y masa) en estado transitorio a nivel de pregrado en Ingeniería
Química son: la pared plana de espesor L con una superficie aislada y una superficie
convectiva (o una simétrica de espesor 2L con ambas superficies sometidas a las mismas
condiciones de temperatura y el mismo coeficiente de convección), un cilindro largo de
radio R , o una esfera de radio R . Los tres sólidos presentan distribución de temperaturas
uniforme al comienzo del proceso. Las tres configuraciones pueden ser descritas por una
única ecuación diferencial parcial:
1 1m
m
T Ts
s s s t
, (1)
122 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL UNIFORME
aquí, , 0s z m para la placa plana, , 1s r m para el cilindro y , 2s r m para la
esfera. En el caso de la placa, z se mide desde la superficie adiabática (o desde el plano
central o de simetría para la placa simétrica de espesor 2L ). Las condiciones iniciales y de
frontera son
0,0T s T , (2)
0,0
T t
s
, (3)
, ,
T L o R tk h T T L o R t
s
. (4)
(Adebiyi, 1995) p. 117, 158–160, obtiene por el método de separación de variables la
siguiente solución unificada
2
2 2
0
* *2 Biexp Fo
Bi 2 Bi
p
p n
n
n p n
r J rT T
T T p J
. (5)
Los parámetros en esta ecuación son * /r z L para la placa o * /r r R para el cilindro o
la esfera; /Bi hL k o /Bi hR k ; 2 /Fo t L o 2 /Fo t R ; 1 / 2p m ;
/ Pk C
pJ es la función de Bessel de primera clase y orden p , y n son los valores propios
dados por
1n n p npJ Bi J
. (6)
La temperatura promedia, necesaria para determinar la energía térmica ganada o cedida
durante la operación, está dada por la expresión:
2 2
2 2 210
2 1 Bi exp Fo
Bi 2p Bi
n
n n n
mT T
T T
. (7)
Las soluciones para la pared plana, el cilindro largo y la esfera se obtienen haciendo
1 10 y ; 1 y 0; y 2 y 2 2
m p m p m p respectivamente. La relación con las
coordenadas esféricas (Mickley H. S., 1957) p. 176.
123 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
1/2
2cosJ x x
x , (8)
1/2
2sinJ x x
x , (9)
3/2
sin2cos
xJ x x
x x
. (10)
Se obtiene la solución en series trigonométricas para las simetrías plana, cilíndrica y
esférica que tradicionalmente se presenta en los libros de texto:
2 *
10
exp( ) ( )n n n n
n
T TC Fo f r
T T
. (11)
La cantidad de energía térmica intercambiada con el medio durante el tiempo t es:
0PQ C V T T , (12)
siendo T la temperatura promedio alcanzada por el sólido después de este tiempo t , y V
el volumen del sólido. Esta temperatura se calcula a partir de la ecuación (7) así:
2
10
exp( )n n
n
T TD Fo
T T
. (13)
La función característica nf , las funciones trascendentales que conducen a los valores
propios n de cada geometría, y los coeficientes nC y nD se resumen en la tabla 1.15:
Geometría nf n nC nD
Placa cos *nr cotn nBi 2sin
sin cos
n
n n n
2
2 2 2
2
n n
Bi
Bi Bi
Cilindro 0 *nJ r 1 0n n nJ BiJ
2 2
0
2
n n
Bi
Bi J
2
2 2 2
4
n n
Bi
Bi
Esfera sin * / *n nr r 1 tann nBi
cos2
cos
n n n
n n n
sen
sen
2
2 2 2
6
n n
Bi
Bi Bi
124 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL UNIFORME
Tabla 1.15. Expresiones para la función característica, valores propios, coeficientes Cn y Dn para cada geometría
Se presentó la conducción de calor en estado transitorio en el interior de los sólidos
tradicionales en la literatura, sólidos sujetos a condiciones límite o de frontera de primera
clase (Diriclet), de segunda clase (Neumann) y de tercera clase (Robin). Las soluciones
analíticas se presentan en forma de series. Estas soluciones se calculan usando
computadores con relativa facilidad y la precisión requerida, por lo que las antiguas
soluciones gráficas se hacen innecesarias. Así mismo los gráficos de Gröber para la
relación 0
y este mismo concepto se hacen superfluos, pues basta determinar la
temperatura o concentración promedia del sólido para calcular su contenido entálpico o de
soluto y así saber la diferencia con la condición inicial y por tanto el calor o la masa cedidos
o ganados.
Las soluciones para placa simétrica, cilindro largo esfera con temperatura inicial constante
se presentan en la forma adimensional:
2 *
10
exp( ) ( )n n n n
n
T TC Fo f r
T T
.
La función característica y los coeficientes deben ser calculados para los n valores de los
valores propios que den suficiente exactitud a la respuesta.
La determinación de estos valores propios requiere la solución de la respectiva ecuación
trascendental lo que, para cálculo con calculadora se vuelve engorroso. Es por esta razón
que han prosperado las tablas y las soluciones gráficas de Heiler y de Gröber aún aparecen
en prácticamente todos los libros de texto en transferencia de calor y de masa.
Para obviar esta situación, a todas luces inconveniente, se han propuesto muchas
soluciones alternas.
Se propone en este documento el siguiente procedimiento:
1.6.1 Resistencia convectiva pequeña, es decir 40Bi
Usar la solución de separación de variables obtenida tomando condición de frontera la de
primera clase o Diriclet: * 1, constantesr T T . Para cFo Fo es suficiente el primer
término. Todas las funciones involucradas se consiguen en una calculadora científica
corriente, no necesariamente programable, recordando que son funciones trigonométricas
de números reales por lo que debe estar en radianes. Para los cilindros usar la
aproximación a Bessel siguiente:
125 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
2 3
0 0.9967 0.0354 0.3259 0.0577J x x x x , (14)
las raíces son..... 4 14nx n .
Para 0.01 cFo Fo , utilizar las ecuaciones para tiempos cortos obtenidas por
transformada de Laplace.
1.6.2 Para 0.1 40Bi
Si cFo Fo , se usa la solución a un término. Para no tener que calcular la ecuación
trascendental que da 1 , ni interpolar de tablas o gráficos, se usa la aproximación
propuesta por Yovanovich (Rohsenow, 1973) p. 326:
1,
1 1/
1, 1,01 /n
n
. (15)
La función característica nf , los valores propios n de cada geometría, el número de
Fourier crítico, así como los valores a los que tiende el primer valor propio de cada
ecuación trascendental para el mínimo y máximo valor posible de Bi , se resumen a
continuación:
Geometría nf n
1,
0Bi
1,
Bi
n cFo
Placa cos *nz cotn nBi Bi 2 2.139 0.24
Cilindro 0 *nJ r 1 0n n nJ Bi J
2Bi 2.405 2.238 0.21
Esfera * *n nsen r r
1 tann nBi 3Bi 2.314 0.18
Tabla 1.16. Expresiones para la función característica, valores propios, Fo crítico y primer valor propio de cada ecuación trascendental para el mín y máx valor de Bi según cada una de las geometrías
Los valores calculados a partir de esta expresión difieren de los valores exactos en menos
que un 0.4% lo que lo hace mejor que interpolar en la Tabla 1.16.
126 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL UNIFORME
1.6.3 Sistemas con baja resistencia interna 0.1Bi
Sistemas con baja resistencia interna y alta resistencia externa. (Análisis de
parámetros concentrados).
Ya hemos analizado el comportamiento de las series obtenidas en el análisis de diferentes
formas geométricas (placa, cilindro, esfera) cuando el tiempo adimensional, Fourier,
aumenta por encima de un valor crítico (0.24 para placa, 0.21 para cilindro, 0.18 para
esfera) que corrientemente se acepta como 0.2 para cualquier serie. En estos casos todos
los términos menos el primero se hacen suficientemente pequeños no afectar la precisión
del resultado usando solamente el primer término de la serie. Sin embargo, al analizar el
valor de los valores propios se observa que estos siempre aumentan de en
radianes, siendo más acentuado este incremento para los valores pequeños de Biot y más
marcada la diferencia entre el primer y segundo valor propio. De hecho, la solución en serie
converge al primer término para todos los valores de 0Fo . Así mismo, aunque 0 no es
un valor propio, a medida que Bi se hace más pequeño, 1 tiende a cero y por L´Hopital
se demuestra que 1C tiende a 1 en todos los casos así como el coeficiente 1D de las
temperaturas promedias adimensionales.
Analizando el caso de la placa plana, ecuación (1.19), es claro que además cos(0) = 1. De
otra parte, la ecuación trascendental, ecuación (1.19b) que genera los valores propios es:
tann n Bi .
La expansión en serie de la función tangente da (por ej. Souders p 48):
3 52
tan3 15
x xx x
Para un valor pequeño de , tan tiende a x x x , por lo que se concluye que en estas
condiciones, tomando el primer término de la serie
10.2,Bi Bi . (16)
Para el caso de la esfera, a partir de la ecuación (1.36a)
cot 1n n Bi .
La expansión en serie de la función cotangente es (por ej. Souders p 48):
127 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
2 4
cot 13 45
x xx x
Para valores pequeños de 1 se obtiene, tomando los dos primeros términos:
1 3Bi . (17)
Para el cilindro largo, a partir de la ecuación (1.57):
1 0n n nJ BiJ .
Usando solo el primer término de las expansiones en serie de las funciones de Bessel que
aparecen después de la ecuación (1.56) se obtiene:
2 4 6
2 2 2
1 12 1!2! 2!3! 3!4!
x x xxJ x
,
2 4 6
2 2 2
0 2 2 21
1! 2! 3!
x x x
J x
1 2Bi .
A partir de este análisis se concluye que cuando Biot es suficientemente pequeño,
0.2Bi las soluciones en series de Fourier convergen al primer término para todos los
valores de 0Fo . Los valores de los coeficientes 1 1 y DC tienden a 1, y los perfiles
adimensionales se reducen a:
Placa plana de espesor L , con temperatura inicial constante, aislada en 0z , convectiva
en z L hacia medio con temperatura constante.
expm BiFo . (18)
Esfera con temperatura inicial constante, con convección hacia un medio con temperatura
constante:
exp 3m BiFo . (19)
128 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL UNIFORME
Cilindro largo con temperatura inicial constante, con convección hacia un medio con
temperatura constante:
exp 2m BiFo . (20)
Las situaciones anteriores, teniendo presente que el número de Biot correlaciona las
resistencias interna (conductiva) y externa (convectiva-radiativa) son aplicables a
situaciones donde la temperatura del sólido es casi uniforme. Al analizar las expresiones
que correlacionan el perfil de temperatura con el tiempo y la posición cuando hay
resistencia externa, se observa que para valores del parámetro s
hlBik
( sk
conductividad térmica del sólido) menores de 0.1 (para el inverso, mayor que 10), la
temperatura en el sólido es esencialmente uniforme en cualquier instante (diferencias de
temperatura menores al 5%). En tales casos se puede despreciar la variación de la
temperatura con la posición, considerando que ésta sólo varía con el tiempo. Como la
forma geométrica no tiene importancia el análisis se simplifica.
Ejemplo 1.14: Una esfera sólida de acero (AISI1010), de 300 mm de diámetro, se recubre
con una capa de material dieléctrico de 2 mm de espesor y una conductividad térmica de
0.04ak W m K . La esfera recubierta está inicialmente a una temperatura uniforme de
500°C y de pronto se templa en un baño de aceite para el que
100 y 3300T C h W m K . Estime el tiempo que se requiere para que la esfera
recubierta alcance 140°C. Sugerencia: Deje de lado el efecto del almacenamiento de
energía en el material dieléctrico, puesto que su capacitancia térmica PC V es pequeña
comparada con la de la esfera de acero.
Capa
dieléctrica
0.04 .k W m K
Figura 1.28. Esfera con película dieléctrica
Las propiedades del acero las estimamos a temperatura intermedia 500 140 / 2 320 C
De la tabla A-1 del Incropera et al.: 37832 , 559 . , 48.8 .p skg m C J kg K k W m K .
La resistencia a la transferencia de calor desde el acero lo constituyen el revestimiento
dieléctrico y la resistencia convectiva. Se halla un coeficiente global:
129 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
2 1
1 2
1 1
4o o o o a
R R
U A h A k R R
,
con 2 2
1 2 20.150 , 0.152 , 4 , 19.62 .o oR m R m A R U W m K . Calculamos Bi :
1 0.060 0.10s
U RBi
k
.
Aplican parámetros concentrados. Como la simetría es esférica usamos la ecuación (19):
0
exp 3T T
BiFoT T
.
Se escribe la información en la ventana del EES (ver código en sección Notas al final del
capítulo) y se obtienen los resultados:
alpha=0,00001115 m2/s. Bi=0,06031.
Fo=12,73. theta=0,1.
time=25691 [s] = 7.14 hr. U=19,62 W/m2-K.
Ejemplo 1.15: Se tiene una placa de aluminio (32707 , 896 . pkg m C J kg C
y 200 .k W m K ) de 3 cm de espesor a temperatura inicial 0T uniforme de 60 °C. De
repente, se somete a flujo de calor uniforme 28.000q W m , en una de sus superficies,
mientras que la otra superficie se expone a una corriente de aire a 25 °C, con un coeficiente
de transferencia de calor 250h W m K .
(i) ¿Se pueden aplicar parámetros concentrados a este caso?
(ii) En caso afirmativo, determine la variación de la temperatura con el tiempo, y
(iii) ¿Cuál es la temperatura de la placa en el estado de equilibrio?
130 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL UNIFORME
Figura 1.29. Placa de aluminio
Solución:
Se trata de una placa pero no cumple con las características que llevan a la ecuación (18).
Estimamos la longitud característica como volumen/área:
i) Longitud característica / / 2c transferenciaL V A A L A ;
3/ 50 0.03/ 2 200 3.75 10 0.1cBi hL k x Aplican parámetros concentrados.
ii) Un balance macroscópico en estado transitorio sin generación:
a P
dTqA hA T T C LA
dt ,
con aT constante un cambio de variable aT T da:
P P
d h q
dt C L C L
.
Esta es una ecuación diferencial ordinaria no homogénea. Una técnica de solución es
encontrar la solución para la homogénea y una solución particular. La suma de ambas es la
solución buscada.
131 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
La solución de la ecuación homogénea es
exp ,Hp
hC mt mC L
.
La particular, una constante es p
qh
;
condición inicial 0 00, at T T .
La solución general
0 exp 1 expq
mt mth
.
iii) Cuando ,q
th
o sea 185tT C .
Ejemplo 1.16: Un tanque bien agitado contiene 3
0 100V pie de un líquido que tiene
concentración inicial de la especie A, 3
0 5A lb pie . Entra una corriente líquida a razón
de 3
1 10 minQ pie con concentración 3
1 15A lb pie . Si la reacción A B ocurre a una
velocidad 1' con ' 0.1minA Ak k , ¿cómo varía la concentración de A en el tanque
con el tiempo? La corriente de salida 2Q es igual que la de entrada de 10 pie3/min pero su
concentración será 2A , y por ser un tanque perfectamente agitado su concentración
variará con el tiempo lo mismo que la del tanque, A .
Solución: Tanque agitado por lo que la concentración cambia con el tiempo y no con la
posición. Se efectúa un balance macroscópico para la especie A, entrada neta más
generación igual acumulación:
1 21 2A
A A A
dMQ Q V
dt ,
aquí, V es el volumen en el tanque en cualquier momento y A AM V , la cantidad de A
en el tanque en cualquier momento. Dado que el caudal de entrada es igual a la de salida el
volumen 0V V , constante. Teniendo en cuenta esto y la información en el enunciado se
escribe:
132 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL UNIFORME
1 0 0' A
A A A
dQ k V V
dt
.
Reorganizando
1'AA
A
Qd Qk
dt V V
.
Esta ecuación es de variables separables, pero si se quiere A explícito en función de t , es
más práctico usar el factor integrante. Llamando a el término independiente y P el
coeficiente de :
exp expA Pdt a Pdt dt C .
.
La constante de integración se obtiene de la condición inicial, para
0 00, entonces A A Aat C
P .
0Pt
A A
a ae
P P
,
dando valores numéricos, -1 0.2
3lb1.5 , 0.2 s , 7.5 2.5
pie s
tAa P e . En estado
estable, cuando el tiempo 3, 7.5 lb pieAt .
Ejemplo 1.17: Un tanque de 2 m de diámetro, provisto de un agitador de turbina, contiene
6200 kg de una disolución acuosa diluida. El agitador tiene 2/3 m de diámetro y gira a
140 R.P.M. El tanque está provisto de una camisa en la que condensa vapor de agua a 110
°C y el área de transmisión de calor es de 14 m2. Las paredes del tanque son de 10 mm de
espesor. Si la dilución está a 40°C y el coeficiente de transmisión de calor del vapor de
agua condensante es de 10 kW/m2 °C, (a) ¿Cuál es la velocidad de transferencia de calor
entre el vapor de agua y el líquido? (b) ¿Cuánto tiempo se necesitará para calentar el
contenido del tanque desde 20 °C hasta 60 °C? (c) ¿Desde 60 hasta 100 °C? Para
transmisión de calor hacia o desde el encamisado de un tanque con placas deflectoras se
A
133 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
aplica la siguiente ecuación cuando se utiliza una turbina normal de palas rectas (McCabe
et al. 4a ed pg 469):
2 1 0.242 3 3
0.76 pt a
s
ChD D Nk k
, (i)
aquí tD es el diámetro del tanque, aD es el diámetro del agitador, y la frecuencia de
rotación N debe estar en revoluciones por segundo.
Solución: En el instante en que la temperatura de la mezcla en el tanque es 40 °C, el flujo
de calor puede estimarse como v iQ US T T . Para las partes (b) y (c), por tratarse de
un tanque agitado su temperatura puede considerarse uniforme y función solo del tiempo.
Se aplica el método de parámetros condensados. Un balance macroscópico en estado
transitorio
1
2
entonces p v
p v
v
MC T TdTMC U T T t
dt US T T
.
El coeficiente global U incluye las tres resistencias en serie presentes. Si se considera que
la superficie dada corresponde a la interna:
2
2
ln1 1 i
i i
i i v
RR
R R
U h k R h
.
El coeficiente ih se estima con la correlación propuesta (i). Las propiedades para las
partes (a) y (b) se toman como las del agua a 40°C y el aparte (c) las mismas pero a 80 °C,
lo que no es del todo correcto puesto que la variación de la temperatura con el tiempo no es
lineal.
Los valores necesarios se obtienen del apéndice de cualquier libro de calor y masa.
A 40°C, 3 34187J kg K, 992 kg m , 0.657 10 kg m.s, 0.630W m.KpC k .
Para la corrección por cambio de viscosidad en la superficie suponiendo un 64sT C ,
30.425 10 kg m.ss
, así mismo, para 80 °C, encontramos
3972kg m ,
30.358 10 kg m.s , 0.672W m.Kk . Estimando 87sT C , 30.324 10 kg m.s.s
134 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL UNIFORME
Reemplazando valores encontramos para 40 °C como temperatura promedio,
.
Se chequea .
Esta es la respuesta al punto (a). Para el punto (b) obtenemos 475 s = 7.9 min. Para la
parte (c), a partir de la ecuación para obtener el observamos que es proporcional a
, y de los datos podemos despreciar el efecto de la variación de . Por lo
tanto:
,
con este valor obtenemos .
Ejemplo 1.18: En el diseño de equipos donde hay partículas suspendidas en recipientes
agitados es necesario conocer el coeficiente de transferencia de masa. Con este propósito,
partículas sólidas (especie A) con superficie externa conocida , y masa total , se
agregan a un volumen de líquido agitado , y la concentración de la especie A en la fase
líquida se mide contra el tiempo. Demuestre que un balance macroscópico para la especie
A es (considerando su sistema el volumen de líquido):
,
aquí, es la masa de partículas sólidas en cualquier instante y es la solubilidad en el
equilibrio. Separe variables y explique cómo se puede obtener el coeficiente convectivo
a partir de datos experimentales.
SUGERENCIA: Observe que y que por lo que .
25861 / . , ih W m K 2 2037 / . , 1996 iU W m K Q kW
70 203740 = 64.35861sT C
ih
2/3 2/3 0.093k
s
2/3 2/3 0.09
2
30.672 972 0.657
58610.630
6387 / .992 0.358
i W m Kh
2 2096 / . , 1263 in= 21 miU W m K t s
0S 0M
V
2/3
0
0
Ac AS A
dcMk S c c V
M dt
M ASc
ck
3
0 0
M D
M D
2
0 0
S D
S D
2/3
0
0
MS S
M
135 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
Solución: El cambio de concentración en la solución es función solo del tiempo. Un balance
macroscópico para el soluto (especie A) siendo el sistema donde entra, sale o se acumula
soluto la fase líquida:
.
Atendiendo la sugerencia y teniendo en cuenta que, para soluciones diluidas
permanece aproximadamente constante, y que el número de partículas es constante se
obtiene la ecuación pedida que al separar variables e integrar nos da:
.
Al graficar los resultados experimentales como en ordenadas contra en
abscisas, la pendiente de la gráfica nos permite hallar .
En general, el análisis de parámetros concentrados, requiere solo balances macroscópicos
y no microscópicos y se aplica en balance de materia para todo lo referente a tanques
agitados.
Balances macroscópicos de materia
El tema de fenómenos de transporte está íntimamente ligado con la predicción de
variaciones de temperatura, concentración y/o velocidad dentro de un medio. Para obtener
estos perfiles se utilizan dos conjuntos de ecuaciones: (1) Ecuaciones de balance o
conservación y (2) Ecuaciones de velocidades o de densidades de flujo.
Recordemos que el balance general para un sistema es:
Velocidad de salida - Velocidad de entrada + Velocidad de acumulación = Velocidad de
generación .
o abreviadamente:
Salida - Entrada + Acumulación = Generación. (1.7)
El sistema se define como una porción de universo bajo estudio. El resto del universo son
los alrededores. El sistema puede ser una cantidad específica de materia o de volumen
(frecuentemente llamado volumen de control). La “velocidad de entrada” se refiere a todo el
flujo dentro del sistema (de la cantidad involucrada) a través de los límites del sistema, y la
A
c AS A
d Vck S c c
dt
V
2/3
0
0
ln constanteAS A c
S Mc c k t
V M
AS Aln c c t
ck
136 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL UNIFORME
“velocidad de salida” se refiere a todo flujo que deje el sistema a través de sus límites. La
diferencia de la segunda menos la primera es la “velocidad neta de salida”. La “velocidad de
generación” se refiere a toda producción dentro del sistema, y la “velocidad de
acumulación” se refiere a la velocidad de cambio con el tiempo de la cantidad total de
masa, energía o cantidad de movimiento en el sistema y puede ser positivo o negativo.
Las ecuaciones de balance pueden aplicarse al sistema como un todo (balances globales o
macroscópicos), a un incremento (balance incremental), o a un elemento diferencial
(balance diferencial). Las ecuaciones como la (1.7) son también denominadas leyes de
conservación.
Podemos apreciar mejor el significado de los términos de la ecuación (1.7) analizando el
siguiente caso:
Ejemplo 1.19: Se está llenando un tanque con un líquido que fluye con caudal másico m1’
(kg/s). Al mismo tiempo el líquido sale a razón de m2’ (kg/s). El área transversal del tanque
es S y la altura del nivel del líquido en el tanque en cualquier momento t es z (ver Figura
1.29). Al aplicar la ecuación de balance al líquido dentro del tanque observamos que la
velocidad de generación es cero puesto que no se produce masa dentro del tanque; pero la
velocidad de acumulación no será cero a menos que m1’ = m2’ o sea que las magnitudes de
los caudales hacia y desde el tanque sean iguales. Si tal fuera el caso tendríamos una
situación de estado estable puesto que no hay cambio en la cantidad de líquido en el
tanque con el tiempo.
Sin embargo, si suponemos que la cantidad entrando m1’ es mayor que la cantidad que sale
m2’, el nivel del líquido en el tanque cambiará con el tiempo a medida que el tanque se llena
y la velocidad de acumulación será mayor que cero. Si la masa total del sistema es M y la
densidad de líquido es , la velocidad de acumulación es:
,
y el balance global es entonces:
.
dt
dzSSz
dt
d
dt
dM
' '
2 1 0dM
m mdt
137 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
Figura 1.30. Ej 1.19: Tanque de líquido
Ejemplo 1.20: Supongamos ahora que ocurre una reacción química homogénea dentro del
tanque el cual permanece bien agitado, de tal manera que puede considerarse velocidad de
reacción uniforme dentro del mismo.
Denominemos A la especie producida en la reacción, y su velocidad de producción por
unidad de volumen es A (masa de A por unidad de volumen y unidad de tiempo).
Entonces la velocidad de generación será .A V , donde V es el volumen de fluido en el
tanque. Supongamos que la corriente que entra contiene una pequeña cantidad de A de tal
manera que la velocidad másica de entrada de A es m’A1. Si m’A2 representa la velocidad de
salida de la especie A, la ley de conservación para la especie A será:
.
salida - entrada + acumulación = generación.
En el ejemplo 6 no podía haber generación puesto que la masa total debe conservarse;
pero si una reacción química está ocurriendo dentro del líquido y produciendo la especie A
la generación no es cero y la masa de A no se conserva. En este último caso debemos
distinguir entre el término de generación y el término de entrada siendo éste la cantidad que
atraviesa los límites del sistema y el otro la generación de A ocurriendo en cada punto
dentro del sistema.
Ejemplo 1.21: Fluye agua dentro de un tanque bien agitado a 150 lb/hr y se agrega cloruro
de sodio a razón de 30 lb/hr. La solución resultante deja el tanque a 120 lb/hr; debido a la
agitación la concentración de la solución de salida es igual a la del tanque. Hay 100 lb de
agua pura en el tanque al comenzar la operación, y los caudales de entrada y salida se
mantienen constantes posteriormente. Calcule la concentración de salida (fracción másica
de sal) después de una hora.
Vdt
dMmm A
AAA '
1
'
2
138 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL UNIFORME
Solución:
NaCl = A; 1 = entrada; 2 = salida. Un balance para el componente A:
, (i)
donde siendo la masa total dentro del tanque en cualquier momento ,
y :
,
,
usando un balance total:
' '2 1 0 entonces 120 150 30 0
dM dMm m
dt dt ,
,
de donde ; . Remplazando en (i) y separando variables se obtiene:
,
despejando y simplificando:
3
2
1 101
6 6 10Aw
t
,
para 21 hr, 0.126 12.6% en peso de NaClAt w . Para 2
1,6At w .
0'
1
'
2 dt
dMmm A
AA
A AM M w M t' '
A Am m w
0)(
1
'
12
'
2
dt
wMdwmwm A
AA
030120 dt
dMw
dt
dwMw A
AA
60 tasa de acumulacióndM
dt
060M t M 0 100M lb
2
2
2 20
0
1 60 100 1 30ln ln
60 100 180 30 60 100 180 30 180
A
tw
A
A A
dt dw t
t w w
139 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
Ejemplo 1.22: Tratamiento De Una Corriente Residual. Una corriente fluida de velocidad
volumétrica de flujo constante se vierte en un río. La corriente contiene un material
residual de concentración , que es inestable y se descompone con una velocidad
proporcional a la concentración, de acuerdo con la expresión
.
Con el fin de reducir la contaminación, se ha decidido hacer pasar el fluido a través de un
tanque de retención, de volumen , antes de verterlo al río. En el instante cero, el fluido
entra en el tanque vacío con caudal volumétrico .El líquido en el tanque puede
considerarse que está perfectamente agitado, y no sale de él hasta que el tanque está
totalmente lleno. Deduzca una expresión para la concentración de en el tanque, y en la
corriente que sale de él en función del tiempo.
Solución: En el período durante en el cual el tanque se está llenando, un
balance molar macroscópico de la especie da:
es el volumen en el tanque en cualquier .
: cantidad de moles totales de en el tanque en cualquier instante.
,
,
de donde: ,
y
'Q
A 0Ac
13; y
.A v A v A
mol Ak c k t c
t L
V
'Q
A
0'
VtQ
A
2 1 ; 'AA A A t t
dMm m V V Q t
dt t
'A AM Q c t A
AvAAvAA MkcQtQckcQ
dt
dM 00 '''
AMt
A
AvA
vAvA
A
cQ
MkcQ
ktdt
MkcQ
dM
00
0
0
0 '
'ln
1
'
0'1 expA
A vv
Q cM k t
k
0
0
1 exp, para
''
vAA
A vA
k tMc Vtc Qk tQ tc
140 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL UNIFORME
Cuando que es la concentración para el instante en que el tanque se
llena:
.
Luego de que el tanque se llena tendremos:
0 0' ' entonces ' 'A A
A A v A A v A
d c V dcQ c Q c k c V V Q c Q k V c
dt dt
,
,
.
Cuando 0, constante y 0A A A v At c c Qc Q k V c .
En el límite: ,
.
Ejemplo 1.23: Considere un conjunto de tres tanques en serie. Inicialmente cada tanque
contiene de solución con concentración . Si una solución de concentración
entra al primer tanque a razón de L m3/h y la solución sale de cada tanque con la misma
rapidez, determine una ecuación que nos permita calcular la concentración del soluto A en
la solución que sale del último tanque como una función del tiempo. Considere mezclado
perfecto en cada tanque.
,' A Af
Vt c cQ
0
1 exp'
'
v
Af
A v
k VQc
c k VQ
/ '0' ( ' )
A
Af
c
tA
V QA v Ac
V dcdt
Q c Q k V c
AfvA
AvA
v cVkQcQ
cVkQcQ
VkQ
VQVt
)'('
)'('ln
''/
0
0
0'
'
AA
v
Q cc
Q k V
'
'exp
Q
Vt
V
VkQ
cc
cc v
AAf
AA
3
0V m 0Ac Aic
141 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
Figura 1.31. Ej 1.23: Tanques en serie
Balance para la especie A en el tanque número 1:
.
Separando variables e integrando:
,
.
Balance para la especie A en el tanque número 2:
,
,
,
0101
dt
dcVLcLc A
AiA
1
0 1 1
1 0 00
exp
A
Ao
ct
A Ai A
Ai A Ai Ac
V dc c c Ltdt
L c c c c V
0
01 expV
Ltcccc AAiAiA
02012
dt
dcVLcLc A
AA
dt
dcV
V
LtcccLLc A
AAiAiA2
0
0
02 exp
0exp0
0220
V
Ltcccc
dt
dc
L
VAAiAiA
A
142 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL UNIFORME
.
Esta expresión es de la forma con constantes o funciones de . (1)
Conociendo que , entonces podemos multiplicar ambos
lados de (1) por el factor integrante obteniendo entonces
.
Aplicando este método a nuestro caso
,
,
.
Para 2 0 00, entonces A A Ai A Ait c c c C C c c obteniendo
.
Balance para la especie A en el tanque número 3:
,
.
Procediendo como en el caso anterior obtenemos
0
002
0
2 exp/V
LtcccVLc
V
L
dt
dcAAiAiA
A
QPydx
dy ,P Q x
dx
dyeyPeye
dx
d PdxPdxPdx
Pdxe
CdxeQyePdxPdx
CdteV
LtcccVLec
dtVL
AAiAi
dtVL
A
00 /
0
00
/
2 exp/
0
0
002
/
V
Lt
AAi
V
Lt
AiA
e
CVLtccecc
00 //
002 /VLtVLt
AAiAiA CeeVLtcccc
1/ 0
/
020
VLtecccc
VLt
AAiAiA
03023
dt
dcVLcLc A
AA
01/ 300
/
030
dt
dcVVLtecccLLc AVLt
AAiAiA
143 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
,
el exponente y divisor 2 en el paréntesis cuadrado parece sugerir una secuencia para n
tanques como . ¿Será válida?
Ejemplo 1.24: Existe peligro de asfixia cuando por falta de precaución se agrupa mucha
gente en recintos cerrados. ¿Cuánto tiempo puede esperarse que transcurra para que esto
ocurra al interior de un automóvil desde que se cierran completamente las ventanillas hasta
que se pierde la consciencia? Supongamos que el espacio libre que queda para el aire en
el vehículo ocupado por 8 personas (descontando un perro) sea de 2.15 m3, y que la
concentración inicial de oxígeno sea 21% molar y la presión ambiente la
atmosférica normal. La pérdida del conocimiento empieza cuando la concentración de
oxígeno en el medio baja del 9% molar, y el consumo fisiológico de oxígeno por persona se
estima en 6.6072x10 m3/s, medidos a 21.11 °C y 1 atm. Suponga que la velocidad de
consumo de oxígeno por persona es proporcional a la concentración de oxígeno presente
en el aire.
SUGERENCIA: Observe que la velocidad de reacción se da en [m3 de O2/s] = a. Se dice
además que la velocidad de reacción es de primer orden y proporcional a la concentración
de O2 en la mezcla gaseosa. Así pues, en cualquier momento la velocidad de reacción será
siendo la concentración molar de O2 en el aire en cualquier momento
(depende de la presión parcial del O2 en la mezcla). Por otra parte, en el momento
inicial, donde sería la concentración molar de O2 puro a 1 atm y
21.11°C. Por tanto, (demuéstrelo) [m3 de O2/s].
De lo antes dicho, ,
.
El balance macroscópico, para ocho personas, salida - entrada + acumulación = generación
,
000
22
0
3 exp12 V
Lt
V
Lt
V
tL
cc
cc
AiA
AiA
1n
0 0.21Ay
A AR k c Ac
AP
0 0A A APTR k c aC APTC
0A
aky
000 /
/
AA
T
A
APT
y
a
RTp
RTPa
c
aCk
sxx
k /O m 101463.321.0
106072.62
356
0.09
0
0.21
0 0 88
tA A
A
A
dy V dyVc kcy dt
dt k y
144 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL UNIFORME
.
ESTRATEGIA PARA RESOLVER PROBLEMAS EN REGIMEN TRANSITORIO
En la mayoría de los casos se podrán seguir los siguientes pasos:
1. Calcule el número de Biot para el modelo de la capacidad térmica global o de parámetros
concentrados. Si Biot, , la solución del modelo de parámetros concentrados es
válida.
2. Si , calcule el número de Fourier. Si , puede aproximarse la solución
para el sólido semi-infinito. De todas formas si se usa un número suficiente de términos,
la solución en series de Fourier es válida. En general, las soluciones obtenidas por
transformada de Laplace, en forma de series de la función de error y funciones
asociadas, convergen rápidamente para valores de Fourier menores de 0.20. Debe
comprobarse que .
3. Si , se aplica la solución de la serie completa, usando el
número de términos que sea preciso (40 términos aseguran precisión de 10-4 en .
4. Si , es válida la solución aproximada para tiempos largos, que se
expresa por la aproximación a un solo término.
A veces un problema puede enunciarse de tal manera que no sea posible seguir
exactamente el procedimiento anterior. Además, como en todos los problemas de
ingeniería, la precisión que se desea obtener en determinado cálculo debe considerarse en
el contexto del problema completo. De nada sirve obtener con dos cifras significativas si
el modelo que se ha usado es una mala aproximación a la realidad. Aquí la principal fuente
de error reside en la determinación del coeficiente de transferencia de calor. No sólo es
difícil calcular un valor de con un error inferior al 10%, sino que, en muchos problemas de
enfriamiento, no es constante, como supone el modelo. Por ejemplo, cuando el
enfriamiento se efectúa por convección natural, se muestra que h es proporcional a
a la potencia 1/4 en el caso de un flujo laminar y a la potencia 1/3 para un flujo
turbulento. Por lo tanto, el valor de debe calcularse para alguna diferencia media de
temperatura o por algún método iterativo.
Si , la resistencia convectiva externa es despreciable frente a la resistencia interna
(difusiva o de conducción). Entonces, la temperatura de la superficie es igual a la del medio
o la concentración de la superficie es igual a la de equilibrio. Las ecuaciones (1.51) y
(1.51a) pueden reemplazarse por las que ahora son equivalentes (1.30) y (1.32).
h 01.2 4.7237
101463.3*8
9/21ln15.25
sx
t
0.1Bi
0.1Bi 0.05Fo
40Bi
0.1 y 0.05 0.2Bi Fo
0.1 y 0.2Bi Fo
h
h
sT T
h
40Bi
145 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
NOTAS CAPÍTULO 1: CÓDIGOS DE PROGRAMACIÓN
Determinación de los valores propios:
"Valores propios para la ecuación (lambda_n)tan(lambda_n) = Bi"
$UnitSystem SI mass C Pa Rad J N=10 duplicate i=1;N lowerlimit[i]=(i-1)*pi+1e-6 upperlimit[i]=lowerlimit[i]+pi/2 guess[i]=lowerlimit[i]+pi/4 end Bi=h*L/k "k del sólido” duplicate i=1;N 1/tan(lambda[i])=lambda[i]/Bi end "Vaya a Menú Options- Variable Info-Show array variables-array se desactiva y en guess para lambda[] se coloca guess[], y en lower y upper limit se coloca lowerlimit[] y upperlimit[]. Así se delimitan los intervalos de cálculo para cada valor propio. De otra forma calcula todos los valores iguales. Recuerde que cero no es un valor propio" “Evaluación de los coeficientes Cn” duplicate i=1;N C[i]=2*sin(lambda[i]/(lambda[i]+sin(lambda[i])*cos(lambda[i])) end “Historia tiempo-posición de la temperatura de la placa, ecuación (1.19)” z_hat=z/L duplicate i=1;N theta[i]=C[i]*exp(-lambda[i]^2*Fo)*cos(lambda[i]*z_hat) end theta_zt=sum(theta[1..N]) T=T_infinity+(T_o- T_infinity)*theta_zt Fo=alpha*time/L^2 alpha=k/rho/C_p “propiedades del sólido” “Evaluación de los valores promedio en un instante dado ecuación (1.19a)” duplicate i=1;N theta_m[i]=C[i]*exp(-lambda[i]^2*Fo)*sin(lambda[i])/lambda[i] end theta_mt=sum(theta_m[1..N]) T_m=T_infinity+(T_o- T_infinity)*theta_mt E_t=rho*C_p*2*L*S_z*(T_o- T_m)"calor cedido por la placa espesor 2L ecuación (4.25)"
146 NOTAS SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL UNIFORME
El EES trae en Options – Function Information – Transient Conduction Library las funciones planewall_T, planewall_T_ND, planewall_Q, planewall_Q_ND que hacen estos cálculos con 20 términos en la sumatoria. Es de advertir que los “Q” dan directamente el calor transferido, relativo al momento inicial, por unidad de área para media placa y por unidad de longitud para el cilindro. Por esta razón, si se desea obtener la temperatura adimensional promedio para la placa, es
necesario dividir el resultado de planewall_Q por con lo que obtenemos ; así
mismo para el cilindro largo el valor obtenido por cylinder_Q se divide por .
Ejemplo 1.1:
PLACA PLANA CON CONVECCIÓN SIMÉTRICA Y TEMPERATURA INICIAL UNIFORME $UnitSystem SI mass C Pa Rad J "propiedades y dimensiones" h=120 [W/m^2-K]: L=0,05 [m]: k=17,14 [W/m-K]: rho=8563 [kg/m^3] C_p=512 [J/kg-K]: S_z=1 [m^2] T_infinity=20 [C]: T_o=40 [C]: "T=30 [C]":time=1520 {z_hat=1} "Valores propios para la ecuación (lambda_n)tan(lambda_n) = Bi" N=10 duplicate i=1;N lowerlimit[i]=(i-1)*pi+1e-6 upperlimit[i]=lowerlimit[i]+pi/2 guess[i]=lowerlimit[i]+pi/4 end Bi=h*L/k "k del sólido" duplicate i=1;N 1/tan(lambda[i])=lambda[i]/Bi end "Vaya a Menú Options- Variable Info-Show array variables-array se le quita la selección y en guess para lambda[] se coloca guess[], y en lower y upper limit se coloca lowerlimit[] y upperlimit[]. Así se delimitan los intervalos de cálculo para cada valor propio. De otra forma calcula todos los valores iguales. Recuerde que cero no es un valor propio" "Evaluación de los coeficientes Cn" duplicate i=1;N C[i]=4*sin(lambda[i])/(2*lambda[i]+sin(2*lambda[i])) End "Historia tiempo-posición de la temperatura de la placa, ecuación (1.19)" z_hat=z/L duplicate i=1;N theta[i]=C[i]*exp(-lambda[i]^2*Fo)*cos(lambda[i]*z_hat) end
mL
pC L0
1 mL
Q
Q
2
pC R
147 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
theta_zt=sum(theta[1..N]) T=T_infinity+(T_o- T_infinity)*theta_zt Fo=alpha*time/L^2 alpha=k/rho/C_p "propiedades del sólido" "Evaluación de los valores promedio en un instante dado ecuación (1.19a)" duplicate i=1;N theta_m[i]=C[i]*exp(-lambda[i]^2*Fo)*sin(lambda[i])/lambda[i] end theta_mt=sum(theta_m[1..N]) T_m=T_infinity+(T_o- T_infinity)*theta_mt E_t=rho*C_p*2*L*S_z*(T_o- T_m) "calor cedido por la placa de espesor 2L, ecuación (1.25)"
lambda[i] theta[i] theta_m[i]
0,5593 0,5 0,4743
3,249 1,179E-20 0
Se observa claramente que para este valor del parámetro de Fourier, el segundo término de la serie es bastante pequeño.
El gráfico se obtiene creando una tabla paramétrica en Tables – New Parametric Table, y pasamos a la derecha del cuadro de diálogo las variables que deseamos, en este caso T y z_hat. Arriba a la izquierda aparece el número de filas que deseamos (No. of Runs). Por conveniencia cambio a 11, número impar para incluir el cero. 0k y la tabla vacía aparece. Seleccionando el triángulo que está en el encabezado de z_hat damos primer valor 0 y último 1, 0k y se llena la columna. Vamos a Calculate – calculate parametric table y, como previamente, en la ventana de ecuaciones se colocó entre comillas el valor T = 30 y z_hat = 0, informándose allí mismo para qué valor del tiempo queremos saber las temperaturas (time = 1520 s en este caso), automáticamente se llena la columna de temperaturas. Ahora Plots – New Plot X_Y. Se abre un cuadro de diálogo donde se dice qué variable va en las abscisas y cuál en las ordenadas, paso, si entramado o no, línea, color, símbolo suavizar o no la curva, en fin a su gusto. 0k y aparece el gráfico. Puede ser modificado como se explica en el manual, pero por lo pronto del cuadro de diálogo en el mismo gráfico, el botón abc permite colocar letreros indicativos, que se arrastran al sitio que se desee. Para colocar otra curva en el mismo gráfico se procede a crear otra tabla paramétrica esta vez con el tiempo necesario para que el centro de la placa alcance 35 °C. En Plots se dice Overlay y sin modificar parámetros básicos del gráfico anterior se sobrepone la nueva curva. Las líneas con la temperatura promedio de ambos casos se hacen con tablas lookup creadas independientemente de las correlaciones de la ventana de ecuaciones.
Ejemplo 1.2
SECADO DE PLACA CON Bi SOLUCIONES POR SEPARACION DE VARIABLES Y
TRANSFORMADA DE LAPLACE $UnitSystem SI mass C Pa Rad J "Datos" L=0,05: D_AB=1,3e-8 [m^2/s]: w=10: wo=15: ws=4 W_Ao=wo/(100-wo): W_As=ws/(100-ws) Fo=D_AB*t/L^2:" z_hat=z/L" z_hat=0 N=5 Usando las ecuaciones obtenidas por separación de variables
148 NOTAS SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL UNIFORME
duplicate i=1;N theta[i]=(-1)^(i-1)/(2*i-1)*cos((2*i-1)*pi*z_hat/2)*exp(-(2*i-1)^2*pi^2*Fo/4) end theta_zt=4/pi*sum(theta[1..N]) "Ecuación (1.19b) W_A=W_As+(W_Ao- W_As)*theta_zt w=W_A/(1+W_A)*100 duplicate i=1;N theta_m[i]=1/(2*i-1)^2*exp(-(2*i-1)^2*pi^2*Fo/4) end theta_mt=8/pi^2*sum(theta_m[1..N]) "Ecuación (1.19c) W_Am=W_As+(W_Ao-W_As)*theta_mt wm=W_Am/(1+W_Am)*100 Usando las correlaciones obtenidas por transformada de Laplace w=W_ALP/(1+W_ALP)*100 duplicate i=1;N theta_LP[i]=(-1)^(i-1)*erfc(((2*i-1)-z_hat)/(2*Fo^0,5))+& (-1)^(i-1)*erfc(((2*i-1)+z_hat)/(2*Fo^0,5)) End "El símbolo & sirve para continuar la ecuación en el renglón siguiente" theta_LPzt=sum(theta_LP[1..N]) "Ecuación (4.33a)" W_ALP=W_Ao+(W_As-W_Ao)*theta_LPzt duplicate i=1;N thetaom[i]=(-1)^i*(exp(-i^2/Fo)/sqrt(pi)-i/sqrt(Fo)*erfc(i/sqrt(Fo))) "ver ecuación (4.35b)" end thetaomLP=2*sqrt(Fo)*(1/sqrt(pi)+2*sum(thetaom[1..N])) "Ecuación (4.35a) W_ALPm=W_Ao+(W_As-W_Ao)*thetaomLP Ejemplo 1.3 DIFUSION GASEOSA; COMPARACION SOLUCIONES POR SEPARACION DE VARIABLES Y TRANSFORMADA DE LAPLACE $UnitSystem SI mass K Pa Rad J $Tabstops 0,2 0,4 0,6 3,5 in "Datos" L=2*convert(ft;m) "[m]" D_AB=D_12_gas(G1$;G2$;T;P) "[m^2/s]" G1$='hydrogen': G2$='methane' P=100*convert(psi;Pa) "[Pa]" T=15+273 "[K]" y_As=0,7: y_Ao=1 time=3600 [s] Fo=D_AB*time/L^2:" z_hat=z/L" z_hat=0 N=5 "Usando las ecuaciones obtenidas por separación de variables" duplicate i=1;N theta[i]=(-1)^(i-1)/(2*i-1)*cos((2*i-1)*pi*z_hat/2)*exp(-(2*i-1)^2*pi^2*Fo/4)
149 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
end theta_zt=4/pi*sum(theta[1..N]) "ec (1.19b)" y_A=y_As+(y_Ao- y_As)*theta_zt Por el método de las transformadas de Laplace: $UnitSystem SI mass K Pa Rad J $Tabstops 0,2 0,4 0,6 3,5 in "Datos" L=2*convert(ft;m) "[m]" D_AB=D_12_gas(G1$;G2$;T;P) "[m^2/s]" G1$='hydrogen': G2$='methane' P=100*convert(psi;Pa) "[Pa]" T=15+273 "[K]" y_As=0,7: y_Ao=1 time=3600 [s] Fo=D_AB*time/L^2:" z_hat=z/L" z_hat=0 N=5 "Usando las ecuaciones obtenidas por transformada de Laplace" duplicate i=1;N theta_LP[i]=(-1)^(i-1)*erfc(((2*i-1)-z_hat)/(2*Fo^0,5))+& (-1)^(i-1)*erfc(((2*i-1)+z_hat)/(2*Fo^0,5)) end "El símbolo & sirve para continuar la ecuación en el renglón siguiente" theta_LPzt=sum(theta_LP[1..N]) "Ecuación (4.33a)" y_ALP=y_Ao+(y_As-y_Ao)*theta_LPzt Para verificar los límites de esta aproximación generamos el siguiente gráfico comparando resultados a un término y a 10 términos variando Fo:
$UnitSystem SI mass K Pa Rad J $Tabstops 0,2 0,4 0,6 3,5 in z_hat=0 Fo=0,2 N=10 y_As=0: y_Ao=1 "Usando las ecuaciones obtenidas por separación de variables" theta_1=4/pi*cos(pi*z_hat/2)*exp(-pi^2*Fo/4) y_A1=y_As+(y_Ao- y_As)*theta_1 duplicate i=1;N theta[i]=(-1)^(i-1)/(2*i-1)*cos((2*i-1)*pi*z_hat/2)*exp(-(2*i-1)^2*pi^2*Fo/4) end theta_zt=4/pi*sum(theta[1..N]) "ec (1.19b)" y_A=y_As+(y_Ao- y_As)*theta_zt "Usando las ecuaciones obtenidas por transformada de Laplace" theta_LP1=erfc((1-z_hat)/(2*Fo^0,5))+erfc((1+z_hat)/(2*Fo^0,5)) y_ALP1=y_Ao+(y_As-y_Ao)*theta_LP1 duplicate i=1;N
150 NOTAS SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL UNIFORME
theta_LP[i]=(-1)^(i-1)*erfc(((2*i-1)-z_hat)/(2*Fo^0,5))+& (-1)^(i-1)*erfc(((2*i-1)+z_hat)/(2*Fo^0,5)) end theta_LPzt=sum(theta_LP[1..N]) "Ecuación (4.33a)" y_ALP=y_Ao+(y_As-y_Ao)*theta_LPzt
A continuación, hacemos una comparación con los resultados para el método de separación de variables a 1 y a 20 términos y el método de transformada de Laplace, ecuaciones (1.32 y 1.32a), para el caso del ejemplo 1.1. $UnitSystem SI mass C Pa Rad J theta_EES=planewall_T_ND(x_hat;Fo;Bi) x_hat=0: "Fo=0,5:" Bi=0,35 "a variar" T_f=20 [C]: T_i=40 [C] lowerlimit=1e-6 upperlimit=lowerlimit+pi/2 guess=lowerlimit+pi/4 1/tan(lambda)=lambda/Bi "calcula solo el primer valor propio" C=4*sin(lambda)/(2*lambda+sin(2*lambda)) theta_1=C*exp(-lambda^2*Fo)*cos(lambda*x_hat) theta_LPo=erfc((1-x_hat)/2/sqrt(Fo))+erfc((1+x_hat)/2/sqrt(Fo))-& exp(Bi*(1-x_hat)+Bi^2*Fo)*erfc(Bi*sqrt(Fo)+(1-x_hat)/2/sqrt(Fo))-& exp(Bi*(1+x_hat)+Bi^2*Fo)*erfc(Bi*sqrt(Fo)+(1+x_hat)/2/sqrt(Fo)) theta_LP=1-theta_Lpo "ecuación 4.36" T_LP=T_f+(T_i-T_f)*theta_LP T_EES=T_f+(T_i-T_f)*theta_EES T_1=T_f+(T_i-T_f)*theta_1 Ejemplo 1.4 ESTANQUE SOLAR $UnitSystem SI mass C Pa Rad J "Datos" L=1 [m]: D_AB=1,2e-9 [m^2/s]: rho_Ac=0,25*rho_As: rho_Ao=0: rho_As=380 [kg/m^3] Fo=D_AB*t/L^2:" z_hat=z/L" z_hat=0 N=5 Usando las ecuaciones obtenidas por separación de variables duplicate i=1;N theta[i]=(-1)^(i-1)/(2*i-1)*cos((2*i-1)*pi*z_hat/2)*exp(-Fo*(2*i-1)^2*pi^2/4) end theta_zt=4/pi*sum(theta[1..N]) "Ecuación (1.19b) rho_Ac=rho_As+(rho_Ao- rho_As)*theta_zt
151 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
duplicate i=1;N theta_m[i]=1/(2*i-1)^2*exp(-Fo*(2*i-1)^2*pi^2/4) end theta_mt=8/pi^2*sum(theta_m[1..N]) "Ecuación (1.19c) rho_Am=rho_As+(rho_Ao-rho_As)*theta_mt M=rho_Am*V V=L*S S=1 [m
2]
Ejemplo 1.5 INTERDIFUSION DE DOS GASES $UnitSystem SI mass K Pa Rad J "Datos" L=0,6 [m]: y_Am=0,7: y_Ao=1: y_As=0,5: time=2,5*3600 Fo=D_AB*time/L^2 N=5 duplicate i=1;N theta_m[i]=1/(2*i-1)^2*exp(-Fo*(2*i-1)^2*pi^2/4) end theta_mt=8/pi^2*sum(theta_m[1..N]) "Ecuación (1.19c)" y_Am=y_As+(y_Ao-y_As)*theta_mt D_EES=D_12_gas(G1$;G2$;T;P) G1$='Helium' G2$='methane' T=20+273 [K] P=5*101325 [Pa] Ejemplo 1.6
INDUCCION ELECTROMAGNETICA "Valores propios para la ecuación (lambda_n)tan(lambda_n) = Bi" $UnitSystem Eng mass F psi Rad Btu N=10 duplicate i=1;N lowerlimit[i]=(i-1)*pi+1e-6 upperlimit[i]=lowerlimit[i]+pi/2 guess[i]=lowerlimit[i]+pi/4 end Bi=h*L/k duplicate i=1;N 1/tan(lambda[i])=lambda[i]/Bi end "Evaluación de los coeficientes Cn" duplicate i=1;N C[i]=2*sin(lambda[i])/(lambda[i]+sin(lambda[i])*cos(lambda[i])) end
152 NOTAS SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL UNIFORME
z_hat=z/L duplicate i=1;N theta[i]=C[i]*exp(-lambda[i]^2*Fo)*cos(lambda[i]*z_hat) end theta_zt=sum(theta[1..N]) {T=T_infinity+(T_o- T_infinity)*theta_zt} Fo=alpha*time/L^2 alpha=k/rho/C_p theta_i1=1-theta_zt {Fo=0,1087 Bi=0,0165} z_hat=1 theta_i1=(T_s-To)/(q/h) To=70 [F] T_s=1600 [F] h=9,9 [Btu/hr-ft^2-F] k=25 [Btu/hr-ft-F] rho=460 [lb/ft^3] C_p=0,12 [Btu/lb-F] time=200/3600 [hr] T_c=To+(q/h)*theta_io theta_o=planewall_T_ND(x_hat;Fo;Bi) x_hat=0 theta_io=1-theta_o L=0,5/12 [ft] Ejemplo 1.7
ESFERA SOLIDA CONVECTIVA $UnitSystem SI mass C Pa Rad J "Función que contiene el condicional que si r_hat~=0 usar la ecuación modificada para evitar la indeterminación" function theta(C;lambda;Fo;r_hat) if r_hat<1e-6 Then "Aproximadamente cero" theta=C*exp(-lambda^2*Fo) Else theta=C*exp(-lambda^2*Fo)*sin(lambda*r_hat)/(lambda*r_hat) endif end "Valores propios para la ecuación lambda[i]=(1-Bi)*tan(lambda[i])" N=3 duplicate i=1;N lowerlimit[i]=pi*(i-1)+1e-6 "cero no es un valor propio" upperlimit[i]= lowerlimit[i]+pi guess[i]= lowerlimit[i]+pi/2 end Bi=h*R_o/k "k del sólido" h=120: R_o=0,05: k=17,14: rho=8563: C_p=512 r_hat=0 T_o=40: T_infinity=20: T=30{: time=516} r_hat=r/R_o Fo=alpha*time/R_o^2
153 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
alpha=k/rho/C_p "Bi=1" duplicate i=1;N lambda[i]*cos(lambda[i])=(1-Bi)*sin(lambda[i]) end "Menú Options- Variable Info-Show array variables-array se le quita el v y en guess para lambda[] se coloca guess[]. De otra forma calcula todos los valores iguales. Recuerde que cero no es un valor propio" "Evaluación de los coeficientes Cn" duplicate i=1;N C[i]=4*(sin(lambda[i])- lambda[i]*cos(lambda[i]))/(2*lambda[i]-sin(2* lambda[i])) end "Historia tiempo-posición de la temperatura de la esfera" duplicate i=1;N theta[i]=theta(C[i];lambda[i];Fo;r_hat) end T=T_infinity+(T_o-T_infinity)*sum(theta[1..N]) "Cálculo de la temperatura promedia ecuación (4.57a)" "Mai la función se evalúa como uno quiera" duplicate i=1;N theta_m[i]=C[i]*exp(-lambda[i]^2*Fo)*(sin(lambda[i])- lambda[i]*cos(lambda[i]))/lambda[i]^3 end T_m=T_infinity+(T_o-T_infinity)*3*sum(theta_m[1..N]) "Cálculo del calor cedido" E_s=rho*C_p*Vs*(T_o- T_m) Vs=4*pi*R_o^3/3 "Valores para el ejemplo 4.7" h=120: R_o=0,05: k=17,14: rho=8563: C_p=512 T_o=40: T_infinity=20: T=30 Ejemplo 1.8
ESFERA CON Bi ; COMPARACION SILUCIONES POR SERIES DE FOURIER Y
TRANSFORMADA DE LAPLACE $UnitSystem SI mass C Pa Rad J "Función que contiene el condicional que si r_hat~=0 usar la ecuación modificada para evitar la indeterminación" function theta(C;lambda;Fo;r_hat) if r_hat<1e-6 Then "Aproximadamente cero" theta=C*lambda*exp(-lambda^2*Fo) Else theta=C*exp(-lambda^2*Fo)*sin(lambda*r_hat)/r_hat endif end N=5 duplicate i=1;N lambda[i]=i*pi end
154 NOTAS SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL UNIFORME
duplicate i=1;N C[i]=2*(-1)^(i+1)/i/pi end duplicate i=1;N theta[i]=theta(C[i];lambda[i];Fo;r_hat) end theta=sum(theta[1..N]) c_A=c_As+(c_Ao-c_As)*theta c_Ao=0,8: c_A=0,5: C_As=0 Fo=D_AB*time/R^2 r_hat=0 D_AB=5e-8 [m^2/s] 2*R=10e-3 [m] thetao[i]=erfc(((2*i-1)-r*)/2/sqrt(Fo))-erfc(((2*i-1)+r*)/2/sqrt(Fo)) thetao=sum(thetao[1..N])/r* c_AL=c_Ao+(c_As-c_Ao)*thetao
Nota: tener la precaución de informar en Options Variable Info que .
Ejemplo 1.9 CILINDRO SOLIDO CON CONVECCION "Valores propios para la ecuación lambda_n*Bessel_J1(lambda_n)=Bi*Bessel_J0(lambda_n)" $UnitSystem SI mass C Pa Rad J "propiedades y dimensiones" h=120 [W/m^2-K]: k=17,14 [W/m-K]: rho=8563 [kg/m^3]: R_o=0,05 [m] C_p=512 [J/kg-K] T_infinity=20 [C]: T_o=40 [C]: "T=30 [C]":time=768,8 [s] r_hat=1 "intervalos para los valores propios" N=10 duplicate i=1;N lowerlimit[i]=(i-1)*pi+1e-6 "cero no es un valor propio" upperlimit[i]=lowerlimit[i]+pi guess[i]=lowerlimit[i]+pi/2 end Bi=h*R_o/k "k del sólido" "ecuación trascendental" duplicate i=1;N lambda[i]*Bessel_J1(lambda[i])-Bi*Bessel_J0(lambda[i])=0 end
0Fo
155 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
"Menú Options- Variable Info-Show array variables-array se le quita el v y en guess para lambda[] se coloca guess[]. De otra forma calcula todos los valores iguales. Recuerde que cero no es un valor propio" "Evaluación de los coeficientes Cn" duplicate i=1;N C[i]=2*Bi/((lambda[i]^2+Bi^2)* Bessel_J0(lambda[i])) end "Historia tiempo-posición de la temperatura del cilindro, ecuación (4.56)" {r_hat=r/R_o} duplicate i=1;N theta[i]=C[i]*exp(-lambda[i]^2*Fo)* Bessel_J0(lambda[i]*r_hat) end T=T_infinity+(T_o- T_infinity)*sum(theta[1..N]) Fo=alpha*time/R_o^2 alpha=k/rho/C_p "propiedades del sólido" "Evaluación de los valores promedio en un instante dado ecuación (4.56a)" duplicate i=1;N theta_m[i]=C[i]*exp(-lambda[i]^2*Fo)*Bessel_J1(lambda[i])/lambda[i] end T_m=T_infinity+(T_o- T_infinity)*2*sum(theta_m[1..N]) E=rho*C_p*V*(T_o- T_m) V=pi*R_o^2*L L=1 Ejemplo 1.10 IGNICION MADERO "Valores propios para la ecuación lambda_n*Bessel_J1(lambda_n)=Bi*Bessel_J0(lambda_n)" $UnitSystem SI mass C Pa Rad J N=6 duplicate i=1;N lowerlimit[i]=(i-1)*pi+1e-6 "cero no es un valor propio" upperlimit[i]=lowerlimit[i]+pi guess[i]=lowerlimit[i]+pi/2 end Bi=h*R_o/k "k del sólido" h=16: R_o=12e-3/2: k=0,15 : rho=730: C_p=25000 T_infinity=1400: T_o=10: {T=425} time=200 { L=1} {r=R_o} "Bi=1" duplicate i=1;N lambda[i]*Bessel_J1(lambda[i])-Bi*Bessel_J0(lambda[i])=0 end
156 NOTAS SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL UNIFORME
"Menú Options- Variable Info-Show array variables-array se le quita el v y en guess para lambda[] se coloca guess[]. De otra forma calcula todos los valores iguales. Recuerde que cero no es un valor propio" "Evaluación de los coeficientes Cn" duplicate i=1;N C[i]=2*Bi/((lambda[i]^2+Bi^2)* Bessel_J0(lambda[i])) end "Historia tiempo-posición de la temperatura del cilindro, ecuación (4.56)" {r_hat=r/R_o} duplicate i=1;N theta[i]=C[i]*exp(-lambda[i]^2*Fo)* Bessel_J0(lambda[i]*r_hat) end T=T_infinity+(T_o- T_infinity)*sum(theta[1..N]) theta_rt=sum(theta[1..N]) Fo=alpha*time/R_o^2 alpha=k/rho/C_p "propiedades del sólido" Ejemplo 1.11
SECADO CILINDRO CORTO Bi
$UnitSystem SI mass C Pa Rad J "propiedades y dimensiones" D_AB=4e-5*convert(ft^2/hr;m^2/s) R_o=2*convert(in;m) L=9*convert(in;m) Fo=D_AB*time/R_o^2 T_s=20/80: T_o=55/45: T=30/70:{time=768,8 [s]} r_hat=0 "intervalos para los valores propios" N=10 duplicate i=1;N lowerlimit[i]=(i-1)*pi+1e-6 "cero no es un valor propio" upperlimit[i]=lowerlimit[i]+pi guess[i]=lowerlimit[i]+pi/2 end "ecuación trascendental" duplicate i=1;N Bessel_J0(lambda[i])=0 end "Menú Options- Variable Info-Show array variables-array se le quita el v y en guess para lambda[] se coloca guess[]. De otra forma calcula todos los valores iguales. Recuerde que cero no es un valor propio" "Historia tiempo-posición de la temperatura del cilindro"
157 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
{r_hat=r/R_o} duplicate i=1;N theta[i]=exp(-lambda[i]^2*Fo)*Bessel_J0(lambda[i]*r_hat)/Bessel_J1(lambda[i])/lambda[i] end T=T_s+(T_o- T_s)*2*sum(theta[1..N]) "Evaluación de los valores promedio en un instante dado" duplicate i=1;N theta_m[i]=exp(-lambda[i]^2*Fo) /lambda[i]^2 end T_m=T_o+(T_s- T_o)*4*sum(theta_m[1..N]) Ejemplo 1.12
SOLIDO COMPUESTO POR LA INTERSECCIÓN DE UN CILINDRO CONVECTIVO LARGO Y UN SOLIDO SEMIINFINITO CONVECTIVO "cilindro semi-infinito" "Datos" k=14,9:rho=7900: Cp=477: alpha=k/rho/Cp: T_0=450: T_infinity=150: h=85: time=25*60 Ro=0,075: z=0,15 "r=Ro o 0 se coloca entre comillas para hacer la gráfica" r=0 "Ecuación (4.51c) p 292 RBG sólido semi-infinito convectivo" S_zt=erf(z/(2*sqrt(alpha*time)))+exp(h*z/k+h^2*alpha*time/k^2)*& (1-erf(h*sqrt(alpha*time)/k+z/2/sqrt(alpha*time))) "Ecuación (4.56) p 287 RBG cilindro largo" Bi=h*Ro/k Lambda*bessel_J1(lambda)=Bi*bessel_J0(lambda) "primer valor propio" C_n=2/lambda*(bessel_J1(lambda)/(bessel_J0(lambda)^2+bessel_J1(lambda)^2)) Fo=alpha*time/Ro^2 C_rt=C_n*exp(-lambda^2*Fo)*bessel_J0(lambda*r/Ro) Theta=S_zt*C_rt T=Theta*(T_0-T_infinity)+ T_infinity "para graficar: new parametric table-solve table-new plot window" Ejemplo 1.13 CILINDRO CORTO CON CONVECCION $UnitSystem Rad C Pa J "Cilindro corto valores promedio" E_L=planewall_Q(time;T_i;T_f;alpha;k;h;L)/(rho*C_p*L*(T_f-T_i)) E_R=cylinder_Q(time;T_i;T_f;alpha;k;h;r_o)/(rho*C_p*pi*r_o^2*(T_f-T_i)) theta_ML=1-E_L theta_MR=1-E_R theta_RL=theta_ML*theta_MR theta_RL=(T_m-T_f)/(T_i-T_f) T_m=15: T_i=4: T_f=25: alpha=k/rho/C_p: k=0,598: rho=1000: C_p=4184: L=0,125: r_o=0,03: h=10
158 NOTAS SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL UNIFORME
La función Planewall_Q da calor por unidad de área y cilinder_Q da calor por unidad de longitud. Por
eso para encontrar el es necesario dividir por el .
"Cilindro corto con coeficientes convectivos diferentes T_m" "Valores propios para la ecuación lambda_n*tan(lambda_n) = Bi" $UnitSystem SI mass C Pa Rad J N=3 duplicate i=1;N lowerlimit[i]=(i-1)*pi+1e-6 upperlimit[i]=lowerlimit[i]+pi guess[i]=lowerlimit[i]+pi/2 end Bi_L=h_L*L/k duplicate i=1;N 1/tan(lambda[i])=lambda[i]/Bi_L end "Menú Options- Variable Info-Show array variables-array se le quita el v y en guess para lambda[] se coloca guess[]. De otra forma calcula todos los valores iguales. Recuerde que cero no es un valor propio" "Evaluación de los coeficientes Cn" duplicate i=1;N C[i]=4*sin(lambda[i])/(2* lambda[i]+sin(2* lambda[i])) end Fo_L=alpha*time/L^2 alpha=k/rho/C_p "propiedades del sólido" "Evaluación de los valores promedio en un instante dado ecuación (4.55a)" duplicate i=1;N theta_m[i]=C[i]*exp(-lambda[i]^2*Fo_L)*sin(lambda[i])/lambda[i] end theta_mL = sum(theta_m[1..N]) E_R=cylinder_Q(time;T_i;T_f;alpha;k;h;r_o)/(rho*C_p*pi*r_o^2*(T_f-T_i)) theta_MR=1-E_R theta_RL=theta_mL*theta_MR theta_RL=(T_m-T_f)/(T_i-T_f) T_m=15: T_i=4: T_f=25: "alpha=k/rho/C_p:" k=0,598: rho=1000: C_p=4184: L=0,125: r_o=0,03: h_L=10: h=7,07 "Nota: estudiar porqué se obtienen lambdas erróneos para N mayor" Variables in Main alpha=1,429E-07 Bi_L=2,09 C_p=4184 E_R=0,4788 Fo_L=0,05752 h=7,07 h_L=10 k=0,598 L=0,125 N=3
m 0Q
159 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
rho=1000 r_o=0,03 theta_mL=0,9136 theta_MR=0,5212 theta_RL=0,4762 time=6288 T_f=25 T_i=4 T_m=15 "Cilindro corto con coeficientes convectivos diferentes" "Valores propios para la ecuación lambda_n*tan(lambda_n) = Bi" $UnitSystem SI mass C Pa Rad J N=3 duplicate i=1;N lowerlimit[i]=(i-1)*pi+1e-6 upperlimit[i]=lowerlimit[i]+pi guess[i]=lowerlimit[i]+pi/2 end Bi_L=h_L*L/k duplicate i=1;N 1/tan(lambda[i])=lambda[i]/Bi_L end "Menú Options- Variable Info-Show array variables-array se le quita el v y en guess para lambda[] se coloca guess[]. De otra forma calcula todos los valores iguales. Recuerde que cero no es un valor propio" "Evaluación de los coeficientes Cn" duplicate i=1;N C[i]=4*sin(lambda[i])/(2* lambda[i]+sin(2* lambda[i])) end Fo_L=alpha*time/L^2 alpha=k/rho/C_p "propiedades del sólido" "Evaluación de los valores promedio en un instante dado ecuación (4.55a)" duplicate i=1;N theta_m[i]=C[i]*exp(-lambda[i]^2*Fo_L)*sin(lambda[i])/lambda[i] end theta_mL = sum(theta_m[1..N]) E_R=cylinder_Q(time;T_i;T_f;alpha;k;h;r_o)/(rho*C_p*pi*r_o^2*(T_f-T_i)) theta_MR=1-E_R theta_RL=theta_mL*theta_MR theta_RL=(T_m-T_f)/(T_i-T_f) T_m=15: T_i=4: T_f=25: "alpha=k/rho/C_p:" k=0,598: rho=1000: C_p=4184: L=0,125: r_o=0,03: h_L=10: h=7,07 z=0,0625: r=0 "Nota: estudiar porqué se obtienen lambdas erróneos par N mayor" “Valores locales” "Historia tiempo-posición de la temperatura de la placa, ecuación (4.55)" z_hat=z/L duplicate i=1;N
160 NOTAS SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL UNIFORME
theta[i]=C[i]*exp(-lambda[i]^2*Fo_L)*cos(lambda[i]*z_hat) end theta_L=sum(theta[1..N]) "Cilindro" T_c=cylinder_T(r;time;T_i;T_f;alpha;k;h;r_o) theta_c=(T_c-T_f)/(T_i-T_f) theta_cc=theta_L*theta_c T_cc=theta_cc*(T_i-T_f)+T_f
Variables in Main
alpha=1,429E-07 Bi_L=2,09 C_p=4184 E_R=0,4788 Fo_L=0,05752 h=7,07 h_L=10 k=0,598 L=0,125 N=3 r=0 rho=1000 r_o=0,03 theta_c=0,566 theta_cc=0,5466 theta_L=0,9657 theta_mL=0,9136 theta_MR=0,5212 theta_RL=0,4762 time=6288 T_c=13,11 T_cc=13,52 T_f=25 T_i=4 T_m=15 z=0,0625 z_hat=0,5
RESUMEN DE CONDUCCION TRANSITORIA
Ejemplo 1.14 ESFERA PARAMETROS CONCENTRADOS 1/U=1/h+t/ka*R2/R1 h=3300: t=2e-3: ka=,04:R2=,152:R1=,150:ks=48,8 Bi=U*R1/ks Fo=alpha*time/R1^2 theta=exp(-3*Bi*Fo)
theta=(Tm-Tf)/(To-Tf) Tm=140: Tf=100:To=500 alpha=ks/rho/Cp rho=7832: Cp=559
161 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
CAPÍTULO 2 . SISTEMAS CON CONDICION INICIAL NO UNIFORME
SISTEMAS ASIMETRICOS O CON CONDICION INICIAL NO UNIFORME
En el capítulo anterior se analizaron modelos que, aunque representan situaciones que se
aparecen en casos prácticos, son resueltos con dificultad matemática moderada y han sido
ampliamente tratados en la literatura orientada a la enseñanza.
Cuando cambiamos ligeramente las condiciones límite o iniciales del modelo, la dificultad
matemática aumenta llevando a expresiones más complicadas y de manejo más incómodo.
Mostramos en este capítulo como, la solución del balance sin generación, pero con
condiciones iniciales o de frontera modificados respecto a los que se analizaron en el
capítulo 1, se resuelven por métodos numéricos basados en el método de las diferencias
finitas.
2.1 Placa transitoria condición inicial no uniforme y la superficie 1 aislada
2.1.1 Superficie 2 convectiva, coeficiente convectivo constante
Solución analítica
Se plantea una ecuación diferencial para el caso de una placa plana sin generación en
estado inestable intercambiando calor con un medio a T . Su distribución de temperatura
inicial es lineal.
Una pared de ladrillo 2pie
0.016hr
con espesor de
1.5 pie, está inicialmente a temperatura uniforme de 80 F.
Sus superficies se llevan a 350 °F y 650 F
respectivamente hasta alcanzar el estado estable. A partir
de este momento la superficie izquierda se aísla y la
superficie derecha se pone en contacto con aire
estancado a 80 °F. ¿Cuánto tiempo después la
temperatura en el centro de la pared alcanza 300 F?
2Btu Btu0.38 , 1.272
hr.pie.°F hr.pie °Fk h . ¿Cuál
será la temperatura de las superficies en ese momento?
162 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL NO UNIFORME
Figura 2.1. Pared de ladrillo
Figura 2.2. Placa plana con una superficie aislada y otra convectiva
Solución
La ecuación a resolver es:
2
2 para 0 , 0
T Tz L t
t z
. (2.1a)
La difusividad térmica tiene dimensiones de 2longitud
tiempo.
Las condiciones límite o de frontera son:
En 0, 0, 0T
z tz
(2.1b)
En , , 0T
z L k h T T tz
(2.1c)
La ecuación (2.1a) es la misma ecuación (1.8) con
0m y solo difiere en la condición inicial. Por lo tanto,
la función F y los valores propios son iguales. Sin
embargo, para facilitar los cálculos usamos otro cambio
de variable. Para homogenizar esta última condición
límite (2.1c) hacemos el cambio de variable:
T T , que con T constante nos modifica las
ecuaciones anteriores así:
2
2 para 0 , 0z L t
t z
, (2.1a-i)
En 0, 0, 0z tz
, (2.1b-i)
0 0 0 T
tzz
163 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
En , 0, 0z L k h tz
, (2.1c-i)
y la condición inicial:
0 cuando 0 para 0f z t z L (2.1d)
Para resolver el problema por el método de separación de variables se supone que ,z t
puede representarse como un producto de funciones de la forma
,z t F z G t , (2.1d)
en donde F es una función exclusivamente de z y G es función solo de t . La ecuación
(2.1a-i) se escribe:
' '' ' ' ' ' ', , , , ,z t F z G t z t F z G t z t F z G tt z z .
Los subíndices t y z indican derivada respecto a esa variable respectivamente.
Reemplazando en (2.1a-i):
' ' '1F z G t F z G t
.
Dividiendo por F z G t
.
La constante de separación , es un número real con dimensiones 1L .
La ecuación de la derecha tiene solución inmediata:
21expG t C t . (2.1f)
La otra ecuación es un problema de valor propio o de Sturm Liouville:
2"( ) '( )
( ) ( )
F z G t
F z G t
164 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL NO UNIFORME
2 3sin cosF z C z C z ,
'2 3cos sinF z C z C z ,
Como '20 para 0 entonces 0F z z C . Las funciones propias son entonces
cosF z z .
Si esta solución debe satisfacer también la condición en z L tenemos:
cos cos ó sin cos 0
z L
k z h z k L h Lz
,
así los valores propios n son las raíces positivas de la ecuación trascendental:
tanhL
L Lk
(2.1g-i)
La solución será la suma de todas las soluciones posibles así:
'
1
, nz t C F z G t
(2.1h)
Donde nC engloba las constantes 1C y 3C . Para encontrarla aplicamos la condición inicial,
que especifica que en 00, 1 y t G t f z . Además usando la propiedad de
ortogonalidad de las funciones propias multiplicamos ambos lados por cos z e
integramos entre 0 y L , intercambiando la sumatoria y la integral donde es preciso.
Sabiendo que la propiedad de ortogonalidad de estas funciones propias está dada por:
0 cuando
cos coscuando
0
Ln m
z z dzn mN n m
.
Obtenemos
165 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
' 2
0 0
cos cos
L L
n n nf z z dz C z dz , (2.1i)
2
0
1cos sin 2
2 4
L
n nn
LN z dz L
, (2.1j)
este parámetro N , tiene dimensiones de longitud. La integral del lado izquierdo en (2.1i) la
realizamos teniendo en cuenta que en nuestro caso la distribución inicial de temperaturas
es lineal 0 az b :
2 2
0
cos sin 1cos sin
Ln n
n n nn nn n
L L L bA az b z dz a L
. (2.1k)
El valor de nA tiene dimensiones de longitud por temperatura.
2 2'
cos sin 1sin
1sin 2
2 4
n nn
n nn nnn
nn
L L L ba L
AC
LNL
, (2.1l-i)
este coeficiente tiene dimensiones de temperatura. Reemplazando 'nC en la expresión para
el perfil de temperatura (2.1h) obtenemos:
' 2
1
cos expn n nT T C z t
. (2.1m-i)
Para el caso numérico que nos ocupa 0T T az b . Si 00, 270z F b ,
para 0°F570 entonces =200
piez L F . Resolviendo manualmente (calculadora
científica):
1.272 1.5
5.02 5,0.38
Bi de la tabla, 11.3138, 0.8759 pie ,11L
1 1434,96 , 0.89 pie con 0.75 pie, 0.6569, cos 0.7919.nA F N z z z
166 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL NO UNIFORME
Nota: La calculadora debe estar en radianes pues son funciones trigonométricas de
números reales.
Utilizando solo el primer término de la ecuación (2.1m-i), 45.02 hrt ,
2
0.016 45.020.32 0.2
1.5Fo
hace innecesario tener en cuenta más términos.
Para este tiempo la temperatura en la superficie, 1.5 piez , será:
2434.9680 0.2542 exp 0.0116 0.859 46.02 150
0.89sT F
.
Cambiamos a variables adimensionales: 2 y * con n ntzL z Fo
L L , escribimos:
2
1
cos * expn n nT T C z Fo
, (2.1m-ii)
2 2
cos sin 1sin
1 1sin 2
2 4
n nn
n nn nn
nn
baL
C
. (2.1l-ii)
En forma más compacta:
2 cos sin 1 sin
sin cos
n n n n n
nn n n n
aL bC
. (2.1l-iii)
Los valores propios vienen dados por la ecuación trascendental
tann n Bi (2.1g-ii)
El análisis con EES se encuentra en la sección NOTAS al final del cap. En este código se
resalta la determinación de los valores propios que implica hacer variar las suposiciones
para obtener tantas raíces como se requiera. Esto se logra usando el comando
“DUPLICATE” así:
N=10 duplicate i=1;N
167 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
lowerlimit[i]=(i-1)*pi+1e-6 upperlimit[i]=lowerlimit[i]+pi/2 guess[i]=lowerlimit[i]+pi/4 end
Resultados
°F200pie
a . 2ftalpha 0.016
hr
.
270°Fb . 5.021Bi .
0.3278Fo . 2
Btu1.272hr.ft °F
h
.
Btu0.38hr.ft.°F
k
. 1.5 ftL .
T_infinity 80 °F . N 10 .
T_ol 350 °F . T_o2 650 °F .
0.75 piez . z_hat 0.5 .
300 °FT Temperatura requerida en * 0.5z . theta_zt 220 Ecuación (2.1m-
ii).
time 46.09 hr Tiempo necesario para que el
centro de la placa alcance 300°F.
Los primeros 4 valores obtenidos en la Tabla 2.1 o arreglo son:
C[i] guess[i] lambda[i] lowerlimit[i] theta[i] upperlimit[i] A[i] B[i]
488,6 0,7854 1,315 0,000001 70,23 1,571 1002 2,051
-249,9 3,927 4,035 3,142 0,7528 4,712 -4562 18,25
88,46 7,069 6,911 6,283 0,00001136 7,854 4516 51,05
-61,24 10,21 9,894 9,425 6,343E-13 11 -6239 101,9 Tabla 2.1. Arreglo obtenido para placa plana con una superficie aislada y otra convectiva
La primera columna indica los coeficientes de cada término, la tercera los valores propios,
quinta los valores de los términos de sumatoria. Se observa que, a pesar del elevado valor
del tiempo adimensional Fourier, los primeros tres términos de la sumatoria son necesarios
para obtener una buena precisión. Sin embargo, es interesante observar que el método
aproximado dio una solución aceptable.
El perfil completo de temperaturas en ese momento lo podemos encontrar creando una
tabla paramétrica de temperatura contra posición. Para incrementos en z de 0.15 pie, se
obtienen 11 puntos que son usados para dibujar un gráfico (plot) bidimensional así:
168 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL NO UNIFORME
T [°F] 356,1 353,8 346,9 335,6 319,9 300 276,3 249,1 218,7 185,8 151
z [pie] 0 0,15 0,3 0,45 0,6 0,75 0,9 1,05 1,2 1,35 1,5
Tabla 2.2. Tabla paramétrica de T vs posición
Encontramos la temperatura en la superficie, 1.5 pie, 151sz T F .
Figura 2.3. Distribución inicial y perfil de temperatura
Solución por métodos numéricos
Las escalas de tiempo para los diferentes mecanismos de transferencia son útiles en la
selección de los tiempos de simulación. Para transferencia de calor se evalúan así (Tosun,
2007) p. 49:
Transferencia por conducción:
2característica
M
Lt
.
Transferencia por convección: característica característicac
p
L Lt
h hC k
.
En el problema actual estos valores son: 140.6 hr, 28.3 hrM ct t . Con 5Bi la
resistencia interna o por conducción domina sobre la externa pero no por varios ordenes de
0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
z
T
[F]
Disribución inicial de temperaturas
Perfil de tempraturas después de 46,1 hr
169 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
magnitud por lo que algún valor intermedio puede ser adecuado. Sin embargo, en este caso
conocemos el resultado analítico y con ese valor nos orientamos. El código de
programación se encuentra en la sección NOTAS.
Para tiempo de simulación 46 hr se obtienen los siguientes valores:
dTdt[i] T[i] x[i] T_ini[i]
°F/hr °F pie °F
-3,259 355,9 0 350
-3,242 353,6 0,15 380
-3,187 346,8 0,3 410
-3,092 335,4 0,45 440
-2,951 319,7 0,6 470
-2,758 299,9 0,75 500
-2,508 276,2 0,9 530
-2,199 249 1,05 560
-1,832 218,6 1,2 590
-1,413 185,7 1,35 620
-0,9503 150,8 1,5 650
Tabla 2.3. Valores obtenidos para una simulación de 46 horas
La primera columna nos indica la velocidad de cambio, la segunda la temperatura en cada
nodo, la tercera la posición del nodo y la cuarta la distribución inicial de temperaturas.
Haciendo una tabla paramétrica variando la temperatura en el centro contra el tiempo de
simulación, ampliando la zona alrededor de la temperatura indicada se obtiene un gráfico
que nos da precisión en centésimos de hora. Esta no es muy grande desde el punto de
vista del tiempo (36 segundos), pero debido a la alta capacitancia térmica del sólido, es
suficiente pues en 936 s cambia su temperatura en aproximadamente 1 °F.
299,8 299,9 300 300,1 300,2
45,78
45,86
45,94
46,02
46,09
46,17
T[6] °F
t sim
[h
r]
170 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL NO UNIFORME
Figura 2.4. Temperatura del centro contra el tiempo de simulación en centésimos de hora.
A partir de la tabla integral se puede generar la historia de la temperatura de cada uno de
los once nodos. Es de notar que algunos de los nodos internos comienzan incrementando
su temperatura.
Figura 2.5. Perfil de temperatura en cada nodo
Solución por diferencias finitas, método implícito y método de líneas
A partir del código de programación (ver en la sección de NOTAS) se genera
automáticamente una tabla de donde podemos hacer un gráfico que nos muestra los
perfiles de temperatura en la placa en diferentes tiempos.
La Tabla 2.4 es un fragmento de la tabla generada. La primera columna nos indica posición,
las otras dos columnas indican temperatura en la respectiva posición y en el tiempo 1j ,
es decir 93 indica 92 intervalos de tiempo o 46 horas y 94 serán 46.5 horas.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
Tiempo [hr]
Tem
pera
tura
nodos [
°F]
Nodo internoNodo interno
Nodo centralNodo central
Nodo externoNodo externo
171 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
Figura 2.6. Perfil de temperatura en diferentes tiempos
x[i] T[i;93] T[i;94]
pie °F °F
0,6875 309,4 308
0,75 300,7 299,3
0,8125 291,2 289,9 Tabla 2.4. Tabla paramétrica para generar la Figura 2.6
Se nota mejor coincidencia del resultado numérico con el analítico para el método de
líneas, que, en el caso del EES usa el comando Integral que implementa un esquema de
integración de tercer orden de precisión y usa tamaño de paso variable para minimizar el
tiempo de computación manteniendo la precisión.
2.1.2 Solución por métodos numéricos, coeficiente convectivo variable
Se plantea una ecuación diferencial para el caso de una placa plana sin generación en
estado inestable intercambiando calor con un medio a T . Su distribución de temperatura
inicial es lineal no uniforme. El coeficiente convectivo es variable.
0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
z [pie]
Tem
pera
tura
[°F
]Perfil inicial
Perfil después de 60 hr
Perfiles a intervalos de 2.5 hr
172 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL NO UNIFORME
Figura 2.7. Placa plana sin generación en estado inestable
Cuando existe convección natural o radiación, el coeficiente convectivo o el efecto radiante
se ven afectados por la temperatura de la superficie y algún tipo de método interactivo debe
usarse para cada intervalo de tiempo.
Replanteemos el ejercicio propuesto para el caso en el que el coeficiente convectivo
cambia con la temperatura de la superficie sólida según la expresión
13
2Btu0.19
hr.pie .°Fsh T T
.
Como primera aproximación usaremos diferencias finitas, método completamente implícito
y 0.25 piez . Con este valor tendremos seis divisiones en la placa y siete nodos (del 0 al
6). A partir de la solución anterior con coeficiente constante, esperamos un tiempo grande
por lo cual, para trabajo prácticamente manual, con la ayuda solo de una calculadora que
permita invertir matrices, seleccionamos 4Fo para obtener el resultado final en un
máximo de cuatro iteraciones. Así:
12 3 16 3
6
0.19 80 0.254 0.2515.63 hr, 0.125 80
0.016 0.38
Tt Bi T
.
Es de resaltar que, como el coeficiente
convectivo varía con la temperatura de la
superficie, el número de Biot también lo hace,
y ni la matriz de coeficientes ni la de términos
independientes son constantes.
Nodo (0) Adiabático (Ecuación 4.20)
1 10 1 09 8t t tT T T .
Figura 2.7
Nodos internos (Ecuación 4.19b)
(1) 1 1 1
0 1 2 14 9 4t t t tT T T T .
(2) 1 1 1
1 2 3 24 9 4t t t tT T T T .
173 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
(3) 1 1 1
2 3 4 34 9 4t t t tT T T T .
(4) 1 1 1
3 4 5 44 9 4t t t tT T T T .
(5) 1 1 1
4 5 6 54 9 4t t t tT T T T .
Nodo (6) Convectivo (Ecuación 4.21a)
1 15 6 68 9 8 640t t tT Bi T T Bi .
Este sistema de ecuaciones simultáneas puede resolverse por el método de inversión de
matrices. Expresando la ecuación en la forma A T C donde
.
La matriz C se calcula en el tiempo t y provee las temperaturas de los diferentes nodos
en el tiempo 1t a través de 1
A C T
. Para la distribución inicial de temperaturas, o
sea 0t , los valores de las 0mT temperaturas las obtenemos de
0 200 350mT z haciendo
0, 0.25, 0.5, 0.75,1,1.25 y1.5 piesz respectivamente.
Se obtienen los siguientes valores:
.
Bi
A
89800000
4940000
0494000
0049400
0004940
0000494
0000089
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
1
1
1
0
t
t
t
t
t
t
t
T
T
T
T
T
T
T
T
BiT
T
T
T
T
T
T
C
t
t
t
t
t
t
t
t
6406
5
4
3
2
1
0
650
600
550
500
450
400
350
0T
33.1313
600
550
500
450
400
350
0C
174 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL NO UNIFORME
Multiplicando 1
A
(la matriz inversa de A ) por 0
C se obtienen las temperaturas 1mT de
los diferentes nodos las que a su vez nos generan 1
C que al multiplicarse por 1
A
genera los 2
mT y así sucesivamente se continúa tantos incrementos de tiempo como se
requiera.
Obtenemos finalmente:
t[hr]
0 0 350 400 450 500 550 600 650
1 15.63 404.5 411.3 420.9 423.3 406.5 353.8 239.5
2 31.26 389 387 379 361 327 272 198
3 46.89 355.4 351 338 314.7 280 233 176.7
4 65.52 319.7 315.2 301.7 279.1 247.7 208.2 162.5 Tabla 2.5. Temperatura en cada nodo
Observamos que el nodo (3) que es el central alcanza la temperatura de los 300 °F entre el
tercer y el cuarto intervalo de tiempo. Interpolando linealmente podemos estimar que esta
temperatura se alcanza después de 53.34 hr y la temperatura del nodo (6) sería 170.8 °F.
Con el programa Interactive Heat Transfer que acompaña a (Incropera, 1990), usando
0.25 pie, 1 hr, 0.256z t Fo se obtiene 52 hr y 171.2st T F después de 53
iteraciones. Si se desea mejorar el resultado se debe disminuir z pero esto se hace mejor
en Matlab que permite introducir el perfil inicial automáticamente al tiempo que permite usar
un sistema diferente del internacional.
Con este software, usando el código que se encuentra en la sección NOTAS, incrementos
de 0.0625 pie (25 nodos) e intervalos de tiempo de 0.5 horas 2.048Fo se obtiene
51.5 hr y 171.25st T F . En la Figura 2.8 se observa el perfil de temperaturas.
ttT
0
tT
1
tT
2
tT
3
tT
4
tT
5
tT
6
175 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
Figura 2.8. Perfil de temperatura placa
SOLUCION USANDO EES
Debido a que EES resuelve ecuaciones implícitas, no es necesario reorganizar las
ecuaciones anteriores con el fin de resolverlas. Se obtiene la solución implícita utilizando el
código plasmado en la sección NOTAS, al final del capítulo, coeficiente variable, método
implícito.
Figura 2.9. Distribución de temperatura con h variable, método implícito
0 0,25 0,5 0,75 1 1,25100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
x[ft]
Tem
pera
tura
[°F
]
Tiempo 0 hr
Tiempo 15 hr
Tiempo 30 hrTiempo 45 hr
Tiempo 60 hr
51,6 hr
Método Implícito h Variable
176 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL NO UNIFORME
Una característica atractiva de la técnica implícita es que es posible variar los intervalos de
tiempo U y los intervalos de posición N independientemente a fin de lograr la suficiente
precisión sin ser limitada por consideraciones de estabilidad
La aplicación de la técnica implícita en MATLAB no es una extensión sencilla del código en
EES porque MATLAB no puede resolver directamente un conjunto de ecuaciones implícito.
En lugar de ello, las ecuaciones para los nodos deben colocarse en formato de matriz antes
de que puedan ser resueltos.
2.1.3 Resistencia convectiva despreciable Bi > 40
Ejemplo 2.2: Se calienta una barra de acero de 1 m de longitud hasta que la barra tiene un
gradiente lineal que va desde 300 C en un extremo hasta 600 C en el otro. La
temperatura en el extremo de 600 C disminuye súbitamente hasta 100 C. Los lados y el
otro extremo de la barra se mantienen aislados. Calcule el perfil de temperatura después de
0.27 Ms. (Sugerencia: debido a que los lados y un extremo están aislados es posible
considerar a la barra como la mitad de una placa plana con el extremo de 600 C en la
superficie de la placa). Tome las siguientes propiedades para el metal:
3kg J W7820 , 465 , 16
kg.K m.KmpC k .
Figura 2.10. Ejemplo 2.2
Estado transitorio unidimensional sin generación, radiación ni convección. Distribución inicial no uniforme
Solución analítica:
Ecuación de Fourier:
2
2
1T T
tz
,
condición inicial: 0 1 10, s
zt T T z T T T
L
,
1T2T
sT
177 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
condiciones límite:
2 1 20, 0; , , 300 , 600 , 1m, 100s
Tz z L T T T C T C L T C
z
.
Cambio de variable para homogenizar la segunda condición límite:
2
2 2
1 entonces , 0, 0, , 0.T T z z L
t zz
(2.2a)
Por separación de variables,
,z t F z G t ,
' ' ' ' ' ' ' ', ; , ; ,t z zz t F z G t z t F z G t z t F z G t .
Los subíndices t y z indican derivación respecto a esa variable.
Reemplazando en (2.2a)
' ' '1F z G t F z G t
.
Dividiendo por F z G t
' ' '2F z G t
F z G t
.
La constante de separación , es un número real.
21expG t C t ,
'2 3 2 3sin cos ; cos sinF z C z C z F z C z C z .
Como '20 para 0 entonces 0F z z C .
De la otra condición límite,
3
2 1cos 0 entonces
2n
nF L C L
L
.
178 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL NO UNIFORME
Función propia cos nz ; valores propios n .
La solución general será:
2
1 1
, cos expn n n n nz t A F G A z t
. (2.2b)
Para determinar nA que engloba 1C y 3C , hacemos uso de la condición inicial:
0 0 2 1 1 2
1
,0 cosn n s
zz A z T T T T T T
L
.
Para hacer uso de las propiedades de ortogonalidad de las funciones propias multiplicamos
ambos lados por cos z e integramos entre 0 y L , intercambiando la sumatoria y la
integral donde es preciso. Obtenemos
21 1 2
0 0
cos cos
L L
s n n n
zT T T T z dz A z dz
L
. (2.2c)
El lado izquierdo representa dos integrales
1
11 2
0
11cos
nLs
n snn
T Tz z dz T T
L L
,
1
1 2 1 2
0
1cos
nL
n
T T z dz T T
El lado derecho se reduce a:
2
0
cos2
L
n
Lz N .
Reemplazando en (2.2c) y reorganizando:
179 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
1 12 1 1
22 2 2
1 812
2 1 2 1
n ns s s
n sn n
T T T T T TA T T
L nL n
. (2.2d)
Reemplazando en (2.2b)
11 2
2 2 2 21
814, cos exp
2 1 2 1
ns
s n n
T TT z t T T T z t
n n
. (2.2e)
Recordar que 2 1
2n
n
L
.
Si la distribución inicial de temperaturas es uniforme, 1 0sT T T la solución se reduce a la
ecuación (1.19b)
Dando valores numéricos:
1 2 3 4 5 6 7393.45, 239.23, 117.6, 95, 67, 59.88, 47.53.A A A A A A A
Esta serie converge lentamente para valores de Fo menores que 0.2, es decir para
tiempos menores que 46000 s. Así para estimar un máximo de temperatura (383.4 °C) que
se presenta en el extremo aislado al cabo de 18600 s (5.17 h), el cuarto sumando (-0.005)
aún afecta la tercera cifra decimal. En los valores encontrados para 54000 st (15 h) se
debió tener en cuenta el segundo sumando. En el resto de los casos la aproximación con el
primer término de la serie fue exacta hasta la sexta cifra decimal o superior.
t t [h] T0 T1 T2 T3 T4
0 0 300 375 450 525 600
1 15 317.7 301.8 255.7 184.9 100
2 30 221.8 212.5 186.1 146.6 100
3 45 167.8 162.6 147.9 125.9 100
4 60 137.7 134.8 126.7 114.4 100
5 75 121.0 119.4 114.8 108.0 100 Tabla 2.6. Temperatura y tiempo en cada nodo, solución analítica
Solucion usando el software EES
A partir del código (ver en la sección NOTAS, Bi > 40), se crean tablas paramétricas para
intervalos de tiempo de 15 horas construimos el siguiente gráfico que nos muestra la
evolución de las temperaturas con el tiempo en el sólido.
180 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL NO UNIFORME
Figura 2.11. Distribución de temperatura en el sólido
Como se observa al cambiar las condiciones iniciales de constante a función de la posición,
los coeficientes de la serie de Fourier comienzan a volverse más complicados. Parece
conveniente explorar otras opciones de solución.
Análisis por métodos numéricos
Nota: Debido a lo prolongado del tiempo (75 h) parece indicado usar el método de
diferencias finitas completamente implícito, con incrementos de tiempo del orden de 15 h y
z de 20 o 25 centímetros.
Para realizar el cálculo en forma manual procedemos a trabajar por el método
completamente implícito de diferencias finitas con 0.25 m y 15 h 54000 sz t . El
número de Fourier, con 25 m0.44 10 es 3.8
s . Sacrificamos exactitud pero
reducimos la cantidad de operaciones a realizar. Necesitaremos 5 incrementos de tiempo y
el enmallado tendrá solo 4 nodos a saber:
Nodo (0), adiabático:
1 1 1 11 0 1 01 2 2 entonces 8.6 7.6t t t t t t
m m mFo T FoT T T T T .
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 10
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
z [m]
T [
°C]
Perfil inicialPerfil inicial
Perfil después de 15 hrPerfil después de 15 hr
Perfl después de 75 hrPerfl después de 75 hr
Perfiles de Temperaturas a Intervalos de 15 hr
181 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
Nodos internos:
1 1 11 11 2t t t t
m m m mFoT Fo T FoT T ,
(1) 1 1 1
0 1 2 13.8 8.6 3.8t t t tT T T T .
(2) 1 1 1
1 2 3 23.8 8.6 3.8t t t tT T T T .
(3) 1 1
2 3 3 4 43.8 8.6 3.8 con 100t t tT T T T T C constante y conocido.
Las matrices iniciales son:
.
Invirtiendo A obtenemos 1 1 0 1;t tT A C C se diferencia de
tC solamente en el último
término que se va modificando en la medida que se modifique 1
3;T Apermanece
inmodificable. Obtenemos las siguientes distribuciones de temperatura:
t [h] T0 T1 T2 T3 T4
0 0 300 375 450 525 100
1 15 307.7 308.7 292.3 234.4 100
2 30 245.0 239.0 212.7 165.4 100
3 45 196.0 189.3 169.5 138.3 100
4 60 161.3 156.8 143.7 123.8 100
5 75 138.9 136.0 127.6 114.9 100
Tabla 2.7. Distribuciones de temperatura por nodo
Para observar la eficiencia del sistema en función del número de Fourier, presentamos los
valores obtenidos con 0.05 mz (21 nodos) y 600 st (450 iteraciones), 1.06Fo ,
verificado usando el software I. H. T.
t [h] T0 T1 T2 T3 T4
0 0 300 375 450 525 100
1 15 317.8 302.0 256.1 185.3 100
2 30 222.3 2113.0 186.5 146.8 100
3 45 168.2 163.0 148.2 126.1 100
6.88.300
8.36.88.30
08.36.88.3
006.76.8
A
525
450
375
300
0
mT
380525
450
375
300
0C
t
t
182 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL NO UNIFORME
4 60 138.0 135.1 126.9 114.6 100
5 75 121.2 119.6 115.3 108.3 100 Tabla 2.8. Comprobación eficiencia del sistema en función de Fo
Al observar los resultados calculados por los tres métodos descritos las curvas para 1Fo
y el análisis exacto se confunden, pero la diferencia respecto a 3.8Fo es notable.
Solución usando EES
Utilizando el código de programación (ver en la sección NOTAS), obtenemos el gráfico
siguiente donde se muestran perfiles de temperatura en el sólido a intervalos de 5 horas.
Como el nodo N es conocido y constante, debe tenerse precaución para el comando donde
se asigna la distribución inicial de temperaturas, asignándolo hasta 1N pues crea
conflicto con la expresión para el nodo N .
Figura 2.12. Distribución de temperatura en el sólido usando EES
SISTEMAS ASIMÉTRICOS
Consideramos como asimétricos sistemas de coordenadas cartesianas (placas) donde no
aparece una frontera donde la derivada respecto a la posición se hace cero. Para
homogenizar las condiciones de frontera puede utilizarse, en ocasiones, el principio de
superposición.
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
100
200
300
400
500
600
Curvas de temperatura a intervalos de 5 hr
t=0 hr
t=75 hr
183 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN
En el caso de una placa plana asimétrica tenemos una ecuación de la forma:
22
2 válido para 0 ; 0
u uc x L t
t z
, (2.2f)
condición límite: 10, , 0u t T t ,
condición límite: 2, , 0u L t T t ,
condición inicial: ,0u z f z .
Presenta condición de estado estable después de algún tiempo ,u z t finito.
Solución en estado estable: lim ,t
u z t v z
.
lim 0t
u
t
, entonces en estado estable:
2
20
v
z
,
1 20 ;v T v L T .
Resolviendo:
2 1
1 2 1; 0 ; entonces T T
v z Az B T v B T v L AL T AL
.
Entonces: 2 1
1
T Tv z z T
L
.
Para aplicar el método de superposición se supone que ,u z t se puede expresar como
, ,u z t w z t v z .
Al reemplazar en la ecuación (2.2f)
22
2
w wc
t z
,
184 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL NO UNIFORME
1 10, 0, 0 0, entonces 0, 0T u t w t v w t T w t ,
2 2, , , entonces , 0T u L t w L t v L w L t T w L t .
Es decir, las condiciones límite de ,w z t a diferencia de ,u z t son homogéneas
pudiéndose así resolver por el método de separación de variables. La condición inicial es:
,0 ,0 entonces ,0u z f z w z v z w z f z v z .
Resolviendo el caso homogéneo se obtiene
2 2
21
, sin exp nn
cnw z t B z t
L L
,
0
2sin
L
n
nB f z v z z dz
L L
.
A continuación se hace el desarrollo paso a paso de este problema:
2.2 Transporte de calor en estado transitorio a través de una placa plana. Temperaturas diferentes en ambos lados. Coeficientes convectivos iguales.
Consideramos una placa plana sólida que tiene espesor L , y en el tiempo 0t está a
temperatura uniforme 0T . Para 0t , la superficie en 0z se pone en contacto con un
fluido a temperatura constante 1T mientras que la superficie contraria intercambia calor
por convección con un fluido a temperatura constante 2T . En cualquier punto z el flujo de
calor y la temperatura dentro de la placa dependerán del tiempo.
185 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
Figura 2.13. Placa plana con h igual y temperatura diferente en ambos lados
Solución analítica A partir de un balance de energía térmica se obtiene la siguiente ecuación generalizada de
energía en función de la temperatura T del sólido. Esta ecuación es útil para calcular los
perfiles de temperatura en un sistema tridimensional con o sin generación (originada en un
manantial químico, nuclear, eléctrico, viscoso, etc.), en estado estable o transitorio,
propiedades constantes:
2p H
dTC k T
dt , (2A)
donde dTdt
es la derivada substancial de la temperatura, que es la derivada total con
respecto al tiempo para un recorrido que sigue el movimiento del fluido, es decir cuando
; ;dydx dz
dt dt dt son simultáneamente , ,x y zV V V , las componentes de la velocidad
del observador y, respectivamente, del fluido. Esta ecuación se toma como punto de partida
para la mayor parte de los tratamientos de transmisión de calor. Para sólidos, la densidad
puede considerarse constante y además 0V :
2p H
TC k T
t
. (2B)
La ecuación diferencial asociada a este problema unidimensional será, teniendo presente
que aquí el término de acumulación no desaparece, pero sí el de generación y los
gradientes en x y y
2
2p
T TC k
t z
.
186 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL NO UNIFORME
Sabiendo que la difusividad térmica se define como p
kC
2
2
T T
t z
.
Esta ecuación se conoce como la ecuación unidimensional de difusión y reconocemos en
ella una ecuación diferencial parcial de segundo orden, lineal no homogénea.
En este caso tenemos convección en ambas superficies, flujo unidimensional pero
1 0 2T T T . Como las condiciones límite son no homogéneas pero el sistema puede
alcanzar el estado estable podemos resolverlo por el método de superposición así:
, ,T z t w z t u z , (2C)
donde u z es la solución de estado estable, satisfaciendo así
2 2
2 20 entonces 0 0
T T uz L
t z z
. (2D)
Las condiciones límite o de frontera las hallamos por medio de un balance alrededor de un
elemento de superficie de volumen despreciable por lo que no hay en él acumulación ni
generación. En la superficie izquierda donde ubicamos el origen coordenado:
Salida – Entrada = 0,
0conducción convecciónq q .
Aplicando las leyes de Fourier de la conducción y la de Newton del enfriamiento
1 0du
k h T udz
.
Es decir,
1 0 en 0du
k h u T zdz
. (2E)
En la superficie derecha, el balance se invierte:
Salida – Entrada = 0,
187 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
0convección conducciónq q .
Aplicando las leyes de Fourier de la conducción y la de Newton del enfriamiento:
2 0du
h u T kdz
.
Es decir, 2 0 en du
k h u T z Ldz
. (2F)
A partir de (2D)
1 1 2 y du
C u C z Cdz
.
Aplicando las condiciones de frontera (2E) y (2F) obtenemos
2 1 1 21 donde
2 2
H T T T HL T hu z H
HL HL k
.
La función ,w z t debe satisfacer las condiciones siguientes
2
20
w wz L
t z
. (2G)
Y como antes
0 en 0w
k hw zz
, (2H)
0 en w
k hw z Lz
. (2I)
A partir de (2C) la condición inicial es
,0 ,0T z w z u z f z .
Por tanto, en 0,w f z u t f z es la distribución inicial de temperaturas, en
nuestro caso 0T , constante (condición inicial).
188 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL NO UNIFORME
Como ,w z t tiene condiciones de frontera homogéneas procedemos a resolver por el
método de separación de variables haciendo ,w z t F z G t .
Reemplazando en (2D)
' ' 'F z G t F z G t .
Al dividir por F z G t , el lado izquierdo será solo función de z y el derecho será solo
función de t . Para que se mantenga la igualdad es necesario que los dos términos sean
iguales a una misma constante, pues las variables z y t son independientes entre si:
' ' '
constanteF z G t
KF z G t
,
Donde K es la constante de separación que, por consideraciones físicas (la temperatura
no aumenta indefinidamente con el tiempo) y matemáticas (no obtener soluciones triviales)
debe ser un número real negativo, 2 . Cada igualdad nos da una ecuación diferencial
ordinaria:
Respecto al tiempo se tiene
' 2 0G t G t .
Su solución es
2expG C t . (2J)
La ecuación respecto a la posición
' ' 2 0F z F z .
La solución es
cos sinF A z B z ,
' sin cosF A z B z .
Aplicando las condiciones de frontera (2E) y (2F) obtenemos
189 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
2
, sin cos 2 0AH AH
B z A z AH
.
Con A y B diferentes de cero, se impone que 2 2
2tan
HL
H
, que se cumple para
infinitos n valores de n , los valores propios de esta ecuación trascendental. Podemos
agrupar las constantes de integración A , B , C en n constantes de integración nA para
obtener la solución general para ,w z t
2
1
, cos sin expn n nn
Hw z t A z z t
.
Haciendo 0t y aprovechando la ortogonalidad de las funciones propias obtenemos, a
partir de la condición inicial 0,0w z T u z .
2 1 1 2
0
0
1cos sin
2 2
L
n n nn
H T T T HL T HT z z z dz NA
HL HL
, (2K)
2
0
cos sin
L
n nn
HN z z dz
,
2 2 2 22
2 2 2
sin 2sin
2 4
nn nn
nn n n
LH HL HN L
. (2L-i)
Llamando C la suma de los dos últimos términos y notando que sin 2 2sin cos
y dividiendo y multiplicando por sin 2 nL obtenemos
2 22
2 2
1sin
2 tan
nn
n nn n
H HC L
L
; pero 2 2
2tan n
n
n
HL
H
por lo que
190 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL NO UNIFORME
2 2
2 2 2
2 2 2 2sin cos sin
2
nn n n
n n n n
H H H H HC L L L
H
.
Por lo tanto:
2 2
2
2
2
n
n
L H HN
. (2L-ii)
De otra parte por (2H) debemos calcular, para 0T constante, las siguientes integrales:
1 20
0
1 20
1cos sin
2
1 1sin cos 1 .
2
L
n nn
n nn n
T HL T HT z z dz
HL
T HL T HT L z
HL
(2M)
La otra integral es:
2 1
0
2 1 2 1
0 0
cos sin2
cos sin .2 2
L
n nn
L L
n nn
H T T Hz z z dz
HL
H T T H T T Hz z dz z z dz
HL HL
Calculamos estas integrales:
2 1 2 1
20
cos 1 sincos
2 2
Ln n
nnn
L L LH T T H T Tz z dz
HL HL
, (2N)
y
2 1 2 1
20
sin cossin . 2O
2 2
Ln n
nn n nn
L L LH T T H T TH Hz z dz
HL HL
Así
.
Es decir,
(2M)-(2N)-(2O)
(2L-ii)nA
191 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
1 20
2 1
2
2 1
2
2 2
1 1sin cos 1
2
cos 1 sin
2
sin cos
2
n nn n
n n
nn
n n
n nnn
n
T HL T HT L z
HL
L L LH T Tz
HL
L L LH T T H
HLA
L H
2
2
2 n
H
. (2P-i)
Finalmente
2 1 1 2 2
1
2Q-i1
, cos sin exp , 2 2
n n n nn
H T T T HL T HT z t z A z z t
HL HL
Donde h
Hk
; y los valores propios deben satisfacer la siguiente ecuación trascendental:
. (2R-i)
Si se introducen variables adimensionales se pueden simplificar un poco las expresiones
anteriores. Definimos y recordando que , *z
zL
y 2tFoL
se
obtiene:
, (2P-ii)
. (2Q-ii)
Los valores propios vienen dados entonces por:
2 2
2tan n
n
n
HL
H
n nL /Bi hL k
0 1 2
2 1
2 2
2 1 sin cos 1
cos 1 sin sin / cos
2 2 2
n n n
n n n n n nn
n
Bi T Bi T T Bi
Bi T T BiA
Bi Bi Bi
1 2 2 1 2
1
1 **, cos * sin * exp
2n n n n
n n
T Bi T T T Biz BiT z A z z Fo
Bi
192 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL NO UNIFORME
. (2R-ii)
Ejemplo 2.3: (Costa Novella p. 75 modificado). Una placa plana de 0.40 m de espesor se
encuentra inicialmente a 288 K. A partir de un momento una de sus caras se pone en
contacto con una corriente de gases a 373 K y la cara opuesta con una corriente de gases
a 353 K. La situación es tal que solo hay gradientes de temperatura perpendiculares a estas
dos caras. Las propiedades físicas de la placa son: conductividad calorífica W15m.K
k ;
calor específico J1300kg.KpC ; densidad 3
kg1700
m ; coeficiente de transmisión
de calor para ambos lados 2W200
m .Kh . Usando la ecuación resultante de resolver el
modelo matemático que rige la situación anterior, válida para esta configuración, determine
la distribución de la temperatura al cabo de 1800 s. Usando un método de diferencias finitas
con 0.10 mz y 300 st , determine la distribución de temperaturas después de 30
min. Compare los resultados de ambos métodos.
Para la solución analítica se requiere encontrar las raíces de la ecuación trascendental (2O-
ii), encontrar los coeficientes nA , ecuación (2M-ii) y calcular la serie para la temperatura,
ecuación (2D-ii).
2 2
2tan n
Bi
Bi
𝑇∞1 = 353 𝐾
ℎ = 200 𝑊
𝑚2.𝐾
𝑇∞2 = 373 𝐾
ℎ = 200 𝑊
𝑚2.𝐾
0 1 2 3 4
Figura 2.14. Ej 2.3: Nodos de la placa plana
193 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
Solución por métodos numéricos
Usando el método de diferencias finitas, por balances de energía térmica obtenemos las
siguientes expresiones dependiendo de si usamos un método implícito o explícito:
i) Método explícito
1) Nodo convectivo izquierdo (0):
.
2) Nodos internos (m):
.
3) Nodo convectivo derecho (N):
.
Para estabilidad, los coeficientes del nodo actual , según el caso, deberán ser
mayor o igual a la unidad. En este caso, la situación más restrictiva la tienen los nodos
convectivos donde se debe cumplir que para este caso vale 0.214, lo que
equivale a un intervalo de tiempo máximo de 316 s. Por lo tanto, los valores propuestos en
el problema se ajustan a estas condiciones de estabilidad para el método explícito o de
Euler.
ii) Método implícito, el cual es incondicionalmente estable, los balances son:
1) Nodo convectivo izquierdo (0):
.
2) Nodos internos (m):
.
3) Nodo convectivo derecho (N):
.
Los resultados de estos dos métodos se muestran en la Tabla 2.9 y Tabla 2.10:
t [s] T[1] T[2] T[3] T[4] T[5]
0 288 288 288 288 288
300 323,3 288 288 288 334,2
1
0 1 0 12 1 2 2 2t t tT FoT Fo BiFo T BiFoT
1
1 11 2t t t t
m m m mT FoT Fo T FoT
1
1 22 1 2 2 2t t t
N N NT FoT Fo BiFo T BiFoT
0 , ,t t t
m NT T T
1/ 2 1Fo Bi
1 1
1 0 0 12 (2 2 1) 2t t tBiFoT T Fo BiFo T FoT
1 1 1
1 1 2t t t t
m m m mT FoT Fo T FoT
1 1
2 12 (2 2 1) 2t t t
N N NBiFoT T Fo BiFo T FoT
194 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL NO UNIFORME
600 325,1 295,2 288 297,4 336,5
900 328,1 299,8 291,4 303,4 340,4
1200 330,1 303,8 295,5 308,5 343
1500 331,8 307,5 299,9 312,9 345,2
1800 333,4 310,9 304,1 316,8 347,1
Tabla 2.9. Distribución de temperatura método explícito
t [s] T[1] T[2] T[3] T[4] T[5]
0 288 288 288 288 288
300 306,7 290,8 288,9 291,7 312,4
600 317,1 294,6 290,9 296,5 326
900 323,2 298,6 293,5 301,5 334
1200 327,2 302,5 296,7 306,2 339
1500 330 306,1 300 310,6 342,6
1800 332,1 309,5 303,5 314,6 345,2
Tabla 2.10. Distribución de temperatura, método implícito
Ambos métodos son del mismo grado de precisión pues ambas suponen constante la
velocidad de cambio de la temperatura en el intervalo de tiempo. La diferencia radica que
en el método explícito, esta velocidad de cambio se estima al comienzo del intervalo de
tiempo y en el implícito se estima al final del mismo, lo que conduce a la solución
simultánea de un sistema de ecuaciones para cada intervalo de tiempo. Sin embargo, como
observamos en las ecuaciones de los balances para los diferentes nodos, el coeficiente del
nodo m en el tiempo t actual es 1 que siempre será mayor que cero por lo que este
método es incondicionalmente estable.
Se observa de la Tabla 2.9 y Tabla 2.10 que los valores del método explicito son mayores
que los obtenidos en el método implícito. El método de Crank Nicolson combina el método
de Euler con el completamente implícito, implicando una doble estimación de la velocidad
de cambio en el intervalo de tiempo, siendo entonces de un orden superior de precisión que
cualquiera de los otros dos.
t [s] T[1] T[2] T[3] T[4] T[5]
0 288 288 288 288 288
300 312,2 290,1 288,4 290,7 319,7
600 321,7 294,5 289,9 296,4 332,1
900 326,3 298,9 292,7 302,1 338,1
1200 329,2 303 296,1 307,2 341,7
1500 331,2 306,8 299,8 311,7 344,3
1800 333 310,2 303,6 315,7 346,4
Tabla 2.11. Distribución de temperatura, método Crank Nicolson
195 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
Observamos el comportamiento de los cuatro métodos en la Figura 2.15.
Figura 2.15. Perfil de temperatura métodos explícito, implícito, Crank Nicolson y analítico
A pesar de trabajar con una malla relativamente gruesa, los resultados son satisfactorios y
debe resaltarse el que los valores del método Crank Nicolson coinciden completamente con
los analíticos.
Para mejorar exactitud y continuidad en los gráficos se aumenta el número de nodos
41N y se disminuye el intervalo de tiempo 31U . Como el método de Crank
Nicolson es más exacto, pero goza de estabilidad por ser implícito, se usa en complemento
al analítico y se observa gráficamente total coincidencia entre ambos.
A partir del código EES (ver en la sección NOTAS al final del capítulo) se obtuvieron la
Figura 2.15 y Figura 2.16.
0 0,1 0,2 0,3 0,4280
290
300
310
320
330
340
350
z [m]
T [
K]
ImplícitoImplícito
Crank NicolsonCrank Nicolson
AnalíticoAnalítico
Perfil despés de 1800 s
Temperatura inicial
ExplícitoExplícito
196 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL NO UNIFORME
Figura 2.16. Perfil de temperatura placa cada 5 min por método analítico y Crank Nicolson
Los códigos en MATLAB para los métodos implícitos son más laboriosos pues requieren
crear la matriz de coeficientes, de términos independientes y de incógnitas y luego obtener
la inversa de la matriz de coeficientes y multiplicarla por la matriz de los términos
independientes para obtener las temperaturas de los nodos en cada intervalo de tiempo.
Alternativamente para evitar formar la matriz de coeficientes para resolver el sistema, se
puede realizar un procedimiento iterativo por medio de sustituciones progresivas de la
siguiente manera:
Se establece un estimado inicial para la temperatura de cada nodo en el tiempo
𝑡 + 1.
De la ecuación del balance, se despeja 𝑇𝑁𝑡+1 y se calcula utilizando los estimados
iniciales.
Este procedimiento se repite con cada una de las ecuaciones.
Las temperaturas calculadas serán los nuevos estimados iniciales para la próxima
iteración.
Esto se repite hasta convergencia de las temperaturas.
0 0,1 0,2 0,3 0,4280
290
300
310
320
330
340
350
z [m]
T [
K]
t=30 min
t=5 min
Temperatura inicial
t=30 min
t=5 min
Temperatura inicial
Placa temperaturas diferentes
Perfiles cada 5 min
Analítico y Crank Nicolson
197 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
2.3 Placa plana con coeficientes diferentes en ambas superficies
En el ejemplo anterior la asimetría se introdujo por diferencia de temperaturas a ambos
lados de la placa. En este ejemplo se analiza el caso de una placa plana con transferencia
de calor en estado transitorio con coeficientes convectivos diferentes en ambos lados de la
placa.
El modelo matemático generado a través de un balance microscópico de energía térmica
nos lleva a la solución de una ecuación diferencial parcial de segundo orden, lineal no
homogénea con condiciones de frontera homogéneas.
La solución de este modelo se efectúa analíticamente por el método de separación de
variables que conduce a un problema de valor propio o de Sturm – Liouville y la
determinación consecuente de funciones y valores propios.
Al analizar el mismo problema por el método de diferencias finitas se genera un sistema e
ecuaciones algébricas que demuestra el ahorro de esfuerzo que representa la solución de
estos problemas usando métodos numéricos sin sacrificar exactitud en los resultados. Se
compara la solución por el método explícito, el método completamente implícito y un
método mixto, el método de Crank - Nicolson.
Solución analítica
La ecuación diferencial generalizada para la transferencia de calor unidimensional
dependiente del tiempo es:
con .
En el caso de una placa con propiedades constantes se reduce a:
donde . (2.4a-i)
En los libros de texto esta ecuación se resuelve para condiciones iniciales uniformes y
condiciones límite simétricas. Pero cuando cualquiera de estas condiciones se altera la
complejidad de la solución analítica se hace ostensiblemente mayor y es preferible usar un
método numérico como el basado en diferencias finitas apoyado por un software como el
Matlab o EES.
1 m
P m
T Tc r k
T r r r
0 para la placa (r z)
1 para el cilindro
2 para la esfera
m
2
2
T T
t z
P
k
c
198 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL NO UNIFORME
A continuación, mostramos en un caso aparentemente simple la realidad de esta
afirmación:
Consideremos una placa de espesor L con temperatura inicial uniforme 0T . En el momento
0t ambas caras de la placa se ponen en contacto con un fluido a temperatura
0 .T T T El fluido en ambas caras presenta características diferentes y en
consecuencia los coeficientes convectivos y la transferencia de calor son diferentes por lo
que el sistema presenta asimetría.
Haciendo cambio de variable T T Con la nueva variable la función es
. (2.4a-ii)
Las condiciones inicial y límite son entonces:
0 0para 0, , 0t T T z L ,
en z = 0, (2.4b)
en z = L. (2.4c)
Como , tiene condiciones de frontera homogéneas procedemos a resolver por el
método de separación de variables haciendo . Reemplazando en (2.4a-
ii)
.
Al dividir por F z G t , el lado izquierdo será solo función de z y el derecho será solo
función de t . Para que se mantenga la igualdad es necesario que los dos términos sean
iguales a una misma constante, pues las variables z y t son independientes entre si:
.
donde K es la constante de separación que, por consideraciones físicas (la temperatura no
aumenta indefinidamente con el tiempo) y matemáticas (no obtener soluciones triviales)
2
2
zt
01
h
zk
02
h
zk
,z t
,z t F z G t
tGzFtGzF
KtG
tG
zF
zF
constante
"
199 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
debe ser un número real negativo, . Cada igualdad nos da una ecuación diferencial
ordinaria:
,
, (2.4d)
,
,
.
Aplicando las condiciones de frontera obtenemos de (2.4b)
.
Reemplazando en (2.4c)
.
Por lo que los valores propios deben satisfacer que
(Carslaw, 1959) p. 127.
Es decir,
. (2.4e)
que se cumple para infinitos n valores de , los valores propios de esta ecuación
trascendental. Podemos agrupar las constantes de integración , ,A B C en n constantes de
integración nA para obtener la solución general para
. (2.4f)
Haciendo 0t y aprovechando la ortogonalidad de las funciones propias obtenemos, a
partir de la condición inicial .
2
0G t G t
2expG C t
" 0F z F z
cosF A z Bsen z
' cosF A sen z B z
k
AhB 1
0cos2121
LhhLsenk
k
hh
LhhkLsenhhk cos2121
22
21
22
21tanhhk
hhkL
n
,z t
1
2
1 expcos, tzsenkhzAtz nnnn
0,0z T T
200 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL NO UNIFORME
, (2.4g)
,
. (2.4h)
De otra parte por (2.4g) debemos calcular, para 0T constante
. (2.4i)
Así , es decir
. (2.4j)
Ejemplo 2.4: Para comparar estos métodos, procedemos a un ejercicio práctico donde
tenemos una placa plana que aunque tiene temperatura inicial constante y las temperaturas
del fluido a sus lados es la misma, presenta condiciones de convección diferentes, a saber:
temperatura inicial 0 80T C ; temperatura de los alrededores 20T C , conductividad
térmica W100m.K
k , calor específico J849kg.KpC , densidad del material
3kg
2300m
, difusividad térmica 26 m5.12 10
s , espesor de la placa 0.10 mL ,
coeficientes convectivos izquierdo y derecho respectivamente 1 2W100
m .Kh y
2 2W200
m .Kh . Para efecto de la solución por diferencias finitas se seleccionó
n
L
nnn NAdzzsenkhzTT cos0
10
dzzsenkhzNL
nnn
2
01cos
Lsen
khLsenkhkhLN n
nn
n
n
n
n
n
2
2
1
2
2
1
2
2
22
1
2 /
4
2//
2
dzzsenkhzTTL
nnn0
10 cos
1cos
1 10 L
k
hLsenTT n
n
n
n
(2.4i)
(2.4h)nA
Lsen
khLsenkhkhL
Lk
hLsenTT
A
n
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
2
2
1
2
2
1
2
2
22
1
2
10
/
4
2//
2
1cos1
201 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
0.01 mz , 10 st y se exploró el comportamiento durante 100 s. Con esto obtuvimos
un Fo de 5.12 < 6.37 indicado por el criterio de Smith.
Con el código EES (ver en la sección NOTAS al final del capítulo) se obtuvieron los
siguientes resultados:
alpha=0,00005121 [m2/s] Difusividad
térmica
Bi_1=0,1 Biot lado 1
Bi_1d=0,01 Biot diferencias finitas lado 1 Bi_2=0,2 Biot lado 2
Bi_2d=0,02 Biot diferencias finitas lado 2 Cp=849 [J/kg-C]
DELTAtime=10 [s] DELTAx=0,01 [m]
Fo=0,5121 Fourier Fo_d=5,121 Fourier para diferencias finitas
h_1=100 [W/m^2-C] h_2=200 [W/m^2-C]
k=100 [W/m.C] L=0,1 [m]
M=5 Número de términos en la sumatoria N=11 [-] Numero de nodos espaciales
rho=2300 [kg/m^3] time=100 [s] Tiempo de simulación
T=72,32 [°C] Temperatura central a los
100 [s]
T_infinity=20 [C]
theta_zt=0,8721 Temperatura adimensional T_o=80 [C]
U=11 [-] Número de nodos temporales t_sim=100 [s]
z=0,05 [m] Posición del cálculo z_hat=0,5 Posición adimensional
202 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL NO UNIFORME
Figura 2.17. Perfil de temperatura a lo largo de la placa plana
2.4 Temperaturas y coeficientes diferentes
Consideramos a continuación un caso en el que tanto los coeficientes convectivos como las
temperaturas son diferentes a ambos lados de la placa. Sobra decir que la solución
analítica, si la hay, debe ser más difícil que para cualquiera de los dos casos anteriores.
Aquí se evidencia la utilidad de los sistemas numéricos.
Ejemplo 2.5: (Problema 18.19 de Welty 5a ed modificado) Una pared de ladrillo
2pie0.016
hr
con un espesor de 1.5 pie, está inicialmente a temperatura uniforme de
80 °F. Cuánto tiempo después de que sus superficies se ponen en contacto con aire a 350
°F y 650 °F respectivamente, la temperatura en el centro de la pared alcanza 300 °F? La
transferencia desde estas superficies se hace por convección natural. ¿Cuál será la
temperatura de las superficies en ese momento? Propiedades
1
32
Btu Btu0.038 , 0.19hr.pie.°F hr.pie .°F
k h t .
i) Método implícito Crank Nicolson: para efectuar el análisis, los balances son:
0,02 0,04 0,06 0,08 0,169
70
71
72
73
z [m]
T °
C
Tiempo 100 [s]
Crank NicolsonCrank Nicolson
AnalíticoAnalítico
203 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
1) Nodo convectivo izquierdo (0):
.
2) Nodos internos (m):
.
3) Nodo convectivo derecho (m):
.
Recordar que para programar se toma una variable diferente a 1N M .
Para estimar el tiempo de simulación usamos la información de la tabla 4.1 del capítulo
sobre métodos numéricos:
140 hr,
20 hr.
Con convección natural, la principal resistencia estará en la fase convectiva por lo que se
puede esperar un tiempo más cercano a las 20 hr. Con esto en mente, y suponiendo una
solución manual, sería adecuado seleccionar 5 hrt y 0.375 piez con lo que
tendríamos 3 nodos internos, 2 nodos convectivos y serían necesarios del orden de 5 o 6
períodos de tiempo para alcanzar el resultado deseado.
1 1
0 1 0 11 2 1 /t t t t
H PBiFo Fo T FoT BiFoT BiFo Fo T FoT t C
1 1 1
1 1 1 12 2 2 2t t t t t t
m m m m m mFoT Fo T FoT FoT Fo T FoT
1 1
1 11 2 1 /t t t t
M M M M H PBiFo Fo T FoT BiFoT BiFo Fo T FoT t C
2
característica /Mt L
característica / /c Pt L h C
0 1 2 3 4
𝑇∞1 = 350 °𝐹
ℎ1
𝑇∞2 = 650 °𝐹 ℎ2
Figura 2.18. Nodos pared de ladrillo
204 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL NO UNIFORME
Para usar el software EES, bastará con hacer pequeñas modificaciones al código de
cualquiera de los dos problemas anteriores debido a que las condiciones de frontera
solamente afectan a esos dos nodos superficiales, en la sección NOTAS al final del
capítulo, está dicho código.
Figura 2.19. Perfil de temperatura con coeficiente convectivo variable
En la Figura 2.19 se observa que a las 27 hr la temperatura es aproximadamente 300 °F, si
requerimos mayor precisión recurrimos a otra gráfica:
0 0,15 0,3 0,45 0,6 0,75 0,9 1,05 1,2 1,35 1,50
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
z [ft]
T [
°F]
PLACA CON T, h DIFERENTES
Perfiles cada 3 hr
Perfil inicial
Perfil a las 27 hr
205 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
Figura 2.20. Perfil de temperatura a las 27 horas
Haciendo zoom alrededor de la intersección de la curva con la ordenada de 300 °F se
obtiene:
Figura 2.21. Zoom del perfil de temperatura a las 27 horas
Tenemos entonces 1597 [min] o 26.62 [hr] como resultado. Para hacer una verificación de
esta solución numérica, se utilizó la ecuación analítica (2Q-ii) con un coeficiente estimado,
igual para las dos superficies de 1.0 [Btu/hr-ft-°F] obteniéndose un tiempo de 99620 [s] o
1500 1530 1560 1590 1620 1650 1680
285
290
295
300
305
310
Tiempo [min]
T [
°F]
1595 1596 1596 1597 1597 1598 1598
299,5
299,7
299,8
300
300,2
Tiempo [min]
T [
°F]
206 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL NO UNIFORME
27.67 hr lo que es buena coincidencia. A pesar de tener un parámetro de Fourier de 0.2, el
tercer término de la sumatoria todavía debió tenerse en cuenta.
2.4.1 Solución para resistencia convectiva despreciable: Bi > 40.
TRANSPORTE DE CALOR EN ESTADO TRANSITORIO A TRAVÉS DE UNA PLACA PLANA CON TEMPERATURAS DIFERENTE EN SUS SUPERFICIES. TEMPERATURA INICIAL UNIFORME.
Solución analítica
Consideremos una placa plana sólida que tiene espesor L , y en el tiempo 0t está a
temperatura uniforme 0T . Para t > 0, la superficie en z = 0 se mantiene a una temperatura
constante T1 mientras que la superficie contraria permanece a temperatura constante T2. En
cualquier punto z el flujo de calor y la temperatura dentro de la placa dependerán del
tiempo.
A partir de un balance de energía térmica se obtiene la siguiente ecuación generalizada de
energía en función de la temperatura T del fluido. Esta ecuación es útil para calcular los
perfiles de temperatura en un sistema tridimensional con o sin generación (originada en
manantial químico, nuclear, eléctrico, viscoso, etc.), en estado estable o transitorio:
, (1)
donde DT/Dt es la derivada substancial de la temperatura, que es la derivada total con
respecto al tiempo para un recorrido que sigue el movimiento del fluido, es decir cuando
dx/dt; dy/dt; dz/dt; son simultáneamente Vx; Vy; Vz, las componentes de la velocidad del
observador y, respectivamente, del fluido. Esta ecuación se toma como punto de partida
para la mayor parte de los tratamientos de transmisión de calor. Para sólidos, la densidad
puede considerarse constante y además v = 0. Con estas condiciones el balance se
simplifica a:
. (2)
La ecuación diferencial asociada a este problema unidimensional, teniendo presente que
aquí el término de acumulación no desaparece, pero sí el de generación y los gradientes en
x e y, será entonces:
.
2
P H
DTC k T
Dt
2
P H
TC k T
t
2
2P
T TC k
t z
207 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
Sabiendo que la difusividad térmica se define como , se tendrá:
. (3)
Esta ecuación se conoce como la ecuación unidimensional de difusión y reconocemos en
ella una ecuación diferencial parcial de segundo orden, lineal no homogénea.
Figura 2.22. Perfiles de temperatura en una placa plana asimétrica transitoria
Las condiciones límite, según el planteamiento del problema son:
CL1: z = 0, T = T1 t > 0,
CL2: z = L, T = T2 t > 0.
La condición inicial es T = T0 en t = 0 para todo z.
Para resolver ecuaciones diferenciales parciales, generalmente es conveniente usar
variables adimensionales definidas en forma tal que sean cero o la unidad en los límites del
sistema (o en las condiciones iniciales). Así, al elegir:
. (4)
Las condiciones límite se transforman así:
CL1: z = 0, = 1 t > 0,
/ Pk C
2
2
T T
t z
T T
T T
2
1 2
208 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL NO UNIFORME
CL2: z = L, = 0 t > 0.
La condición inicial es = en t = 0 para todo z.
Resultados comparables se obtendrían definiendo , pero la solución matemática es
más sencilla si usamos pues el problema cae en una clase para la cual hay
procedimientos generales de prueba y solución.
La primera etapa es transformar la ecuación diferencial de la variable T a una variable
adimensional :
T = T2 + (T1 - T2).
Derivamos una vez respecto a t y dos veces respecto a z:
,
,
,
Y de la ecuación (2T):
,
. (5)
Como ya vimos, aunque la condición de frontera uno, en esta variable es homogénea, la
segunda no lo es, requisito esencial para aplicar la técnica de separación de variables.
Como este sistema tiende a un nuevo estado estable, entonces se cumple que
. (6)
0
1
1 20T
T Tt t
1 20T
T Tz z
212
2
2
2
TTzz
T
T T
z tT T1 2
2
2 1 2
2
2z t
lim 0t t
2
20
z
209 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
Integrando una vez:
.
Integrando nuevamente
.
Aplicando las condiciones de frontera obtenemos
B = 1 y A = -1/L.
Es decir,
, independiente del tiempo. (7)
Usamos entonces el método de superposición según el cual es la suma de dos funciones
así:
. (8)
Derivando una vez con respecto a t y dos veces respecto a z y reemplazando en (5) se
obtiene:
. (9)
Aplicando las condiciones límite a la función suma, ecuación (8) obtenemos:
Condición límite 1:
10, , 0, 1 entonces 0tz T T t .
Condición límite 2:
2, , 0, 0 entonces 0tz L T T t .
Las condiciones límite para ,t z t son homogéneas, a diferencia de las de ,z t , por lo
que se puede resolver por el método de separación de variables.
dA
dz
Az B
1z
L
, ,tz t z z t
2
2
t t
z t
210 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL NO UNIFORME
Condición inicial:
t = 0 ; T = T0 ; 0 < z L,
.
T0 puede o no ser función de z. En este caso es constante y diferente de cero. Entonces
.
Se observa que t es la contribución transitoria a ; se hace cero cuando t tiende a infinito
y al comienzo. En la Figura 2.23 vemos que t es la diferencia entre las curvas para y
.
Podemos reducir (9) a dos ecuaciones diferenciales ordinarias que se resuelven por los
métodos usuales.
Figura 2.23. Temperatura adimensional en una placa de espesor L
Para ello postulamos que una solución de la ecuación (9) puede escribirse como el
producto de dos funciones, una de las cuales, F(z), depende solo de z, y la otra, G (t),
depende sólo de t;
, (10)
0 20
1 2
,0 ,0t
T Tz z
T T
0,0t z
, t z t F z G t
211 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
.
En esta argumentación, las comillas indican diferenciación con respecto a la variable
independiente. Como solo una variable independiente está involucrada, se usan derivadas
totales. Similarmente:
.
Reemplazando en (9)
'' 'F z G t F z G t .
Al dividir por F(z)G(t), el lado izquierdo será solo función de z y el derecho será solo
función de t. Para que se mantenga la igualdad es necesario que los dos términos sean
iguales a una misma constante, pues las variables z y t son independientes entre si:
. (11)
Aquí K es una constante por determinar llamada constante de separación.
Cada igualdad nos da una ecuación diferencial ordinaria:
' 0G t KG t , (12)
'' 0F z KF z . (13)
Además, como t(0,t) = 0 entonces, F(0) = 0 , pues de lo contrario se requeriría que
G(t) = 0, lo que implica que t(z,t) = 0 para todo valor de z y t. En este caso T1=T2 = T0 no
ocurriendo transferencia de calor. Sería una solución trivial. Por razones similares, como
, 0t L t F L G t , entonces F(L) = 0.
La ecuación (2D.1) con estas condiciones límite homogéneas:
F"(z) K F(z) = 0, F(0) = 0 ; F(L) = 0.
t
tF z
dG t
dtF z G t
2
2
2
2
t
z
d F z
dzG t F z G t "
" (́ )F z G tK
F z G t
212 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL NO UNIFORME
Se configura así un problema de valor propio o problema de Sturm Liouville que tendrá
solución no trivial solamente para ciertos valores de un parámetro que llamamos , con
en donde los son los valores propios (o números característicos) y tiene
soluciones triviales (esto es F 0) cuando no es un valor propio. Las soluciones no
triviales F( ,z) son las llamadas funciones propias. Si F( ,z) y F( ,z) representan las
dos funciones propias diferentes correspondientes a los valores propios y
respectivamente, se puede establecer la propiedad de ortogonalidad de las funciones
propias en la región 0 z L por la relación
.
donde N es la integral de normalización definida como:
.
Analizamos a continuación el valor de K.
Suponemos K = 0,
En ese caso F" = 0; F'= A; F(z) = Az +B; F(0) = 0 = B,
Entonces F(z) = Az; F(1) = 0 =A y F(z) 0.
Por tanto K = 0 no es un valor propio de esta ecuación.
Suponemos K > 0 ; K = 2 : un número real
Ahora F" - 2F = 0,
F = A exp( z) + B exp( z) = C cosh( z) + D senh( z),
F(0) = 0 = C pues cosh(0) = 1 y senh(0) = 0.
Entonces F = D senh( z); F(L) = 0 = D senh( L).
n
1, 2, 3,...n n
n
n m n
m n
Fm
z Fn
z
L
dzN cuando m igual a n
cuando m diferente de n( , ) ( , )
0
0
NdzzFL
n 2
0
,
213 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
Como L es diferente de cero por planteamiento, senh( L) es diferente de cero y
D = 0 lo que hace F(z) 0. No hay valores propios positivos para esta ecuación.
Resta estudiar K< 0. K = -( 2) donde es un número real
F = A exp(i z) + B exp(-i z) = C cos( z) + D sen( z),
F" + 2F= 0,
F(0) = 0 = C pues sen 0 = 0 y cos 0 = 1,
F(z) = D sen( z) F(L) = 0 = D sen( L).
D no puede ser cero pues varía con z. Por tanto sen( L) = 0. Sabemos que la
función seno es cero a intervalos de y habrá un número infinito de estos puntos. La
enésima raíz es L donde L = n ; n = 1, 2, 3,...; entonces, las funciones
propias son, omitiendo la constante D que no es necesaria, F( ,z) = sen( z), y el
conjunto de valores propios son las raíces de sen( L) = 0, es decir:
= n /L; n = 1, 2, 3 ...
La ecuación (2C.1) se resuelve con los mismos valores de Kn= :
(14)
Observamos que el valor de Kn concuerda con la experiencia física de que t tiende
a cero ( tiende a ) cuando el tiempo crece.
En conclusión hay una solución de la ecuación (9) para cada valor de n, la cual tiene la
forma:
,
donde An = DC.
Es propiedad de las ecuaciones diferenciales lineales el que cualquier combinación de
soluciones es también una solución. Esta propiedad se mantiene para una suma infinita de
todas las soluciones:
t
n n
n n
n n
n
2
n
G t C tn exp 2
tn n n n n nD z C t A z t sen exp sen exp2 2
214 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL NO UNIFORME
. (15)
Para encontrar la constante An usamos la condición inicial en t = 0
= 0 - (1 z/L) ; Gn (0) = 1 ;
Entonces:
. (16)
Tenemos pues que F(z) se puede expresar como una combinación lineal infinita de
funciones sen(nz/L) las cuales, como ya se vio, son las funciones propias de un problema
de Sturm Liouville y por tanto forman un sistema ortogonal en la región 0 z L. Para usar
sus propiedades multiplicamos ambos lados de la ecuación (2G.1) por e
integramos de 0 hasta L:
.
Invirtiendo el orden de la suma y la integral tendremos:
. (17)
Resolviendo el lado derecho da:
,
esto dado que la propiedad de ortogonalidad de estas funciones propias se expresa así:
,
t n n n n n nA F G A z t
1 1
2sen exp
0,0t z
0 0
1 1
,0 1 sent n n n n
zz A F A z
L
F zm m sen( )
00 1
0
(1 )
L
Lz
L m n n mF z dz A F F dz
0010
1 sen( ) sen( )sen( )L L
zL m n n mz dz A z z dz
A F F dz A F dz A Ln n m
L
n n n
L
1 0
2
00 0 2
... ... ( / )
sen( ) sen( )/
n
zm
z dz
L
L si n es igual a m
si n es diferente de m
02
0
215 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
puesto que la integral de normalización
.
El lado izquierdo de (2H.1) lo podemos descomponer en la suma de tres integrales a saber:
pues .
Otra la hacemos por partes:
.
Reemplazando en (2H.1)
.
Reconociendo que vale -1 cuando n es impar y vale +1 cuando n es par, igual que
(-1)n. Por tanto:
.
Así la solución de este problema de conducción de calor dependiente del tiempo
es:
, (18)
.
El método usado para determinar An es llamado una expansión de la función (z) en una
serie de senos de Fourier con coeficientes An.
N z dzz
dzL
n
L
n
n
L
sen ( )
cos2
0
0
1 1 2
2 2
L
nn nLdzzsennn
0
11 1)cos(1)cos()(
nn
L
2
00
cos( ) ( )1 1 cos( )( ) 0
LL
n nn
n n n
z z sen z nzsen z dz
L L
0
21 cos cos 1 cosnA n n n
n
cos n
0
21 1 1
n
nAn
t
2 2
20 2
11 2
21 1 1 1 exp
n
n
T T z n z n tsen
T T L n L L
0 20
1 2
T T
T T
216 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL NO UNIFORME
TRANSPORTE DE MASA Y/O CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Las ecuaciones diferenciales resultantes para el problema análogo de transferencia de
materia, sin reacción química homogénea, considerando gradiente de concentración solo
en la dirección z, y despreciando el término de arrastre o flujo global (o considerando
contradifusión), será:
denominada la segunda ley de Fick. (19)
Para el caso de transferencia de cantidad de movimiento x en su componente z, sabiendo
que vx es solo función de z, que no hay fuerzas de volumen sobre el fluido, y que vy = vz =
0, se obtiene (flujo de Couette):
. (20)
Podemos hacer similitud entre los varios procesos de transporte usando las variables
adimensionales:
,
V es la velocidad de la placa inferior.
.
Este es un tiempo adimensional denominado número de Fourier (Fo).
La solución general, aplicable a los tres procesos, con z* = z/L es:
2 20
1
2*, 1 * 1 1 1 * exp
n
n
z Fo z sen n z n Fon
. (21)
Ejemplo 2.6 (Brodkey p 659 modificado). Un tubo de diámetro nominal 3 plg., cédula 40, de
3 pie de longitud contiene helio a una atm y 371.2 K (44 °C). Los extremos del tubo se
c
tD
c
z
A
AB
A
2
2
2
2
z
v
t
v xx
V
v
cc
cc
TT
TT xM
AA
AADH
21
2
21
2
222 L
tFo
L
tDFo
L
tFo M
ABDH
217 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
encuentran inicialmente cerrados. En el tiempo cero, los extremos se abren, y los extremos
del tubo quedan en contacto con corrientes de mezclas de aire y helio a la misma
temperatura y presión. En el extremo izquierdo, la corriente tiene 10% (en volumen) de He
mientras que en la derecha tiene 20%. Podemos suponer que el flujo mantiene estos
valores constantes en los extremos del tubo. Si se mantienen las condiciones isotérmicas e
isobáricas, y no hay efectos terminales asociados con las corrientes de los extremos del
tubo, use series de Fourier para calcular el perfil de composiciones (a cuatro decimales)
después de que han transcurrido 600 y 3600 s., con incrementos de espacio de 0.5 pie. El
diámetro interno de un tubo de estas características es 3.068 plg Una estimación de la
difusividad másica del He en aire a estas condiciones es DHeAire = 0.7652x10-4 m2/s. (2.9652
pie2/h).
Figura 2.24. Difusión transitoria de Helio en un tubo
Solución: Debemos notar que la transferencia de masa ocurrirá solamente en la dirección
axial no habiendo gradientes ni en la dirección radial ni en la angular. La situación es pues,
la de flujo unidireccional, sin generación a través de una película plana estancada de
espesor L = 3 pies, con concentraciones constantes en los dos extremos y concentración
inicial constante en toda la película. La ecuación para este caso de difusión unidimensional
transitoria con contradifusión equimolecular,
,
que en términos de la fracción molar de A: yA = cA/c, con c, la concentración molar
constante (presión y temperatura constantes) es:
,
c
tD
c
z
A
AB
A
2
2
y
tD
y
z
A
AB
A
2
2
218 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL NO UNIFORME
con condición inicial para t = 0, y condiciones límite para z = 0 :
para z = L. Observamos que la situación es idéntica a la planteada para la ecuación (2T) si
se intercambian T por yA y las difusividades térmica y másica DAB. Con estos ajustesla
ecuación (21), con
,
será la solución. Reemplazando los valores numéricos, teniendo en cuenta que se trata de
funciones trigonométricas de números reales por lo cual los cálculos deben hacerse en
radianes, obtenemos la Tabla 2.12 de resultados.
Figura 2.25. Perfil de concentraciones para la difusión transitoria de Helio en un tubo
Tiempo,
s 0 pie 0.5 pie 1.0 pie 1.5 pie 2.0 pie 2.5 pie 3.0 pie
0.0 s. 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
1.0 s. 0.1000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.2000
600.0 0.1000 0.4373 0.6816 0.7767 0.7086 0.4977 0.2000
3600.0. 0.10000 0.1376 0.1696 0.1919 0.2030 0.2043 0.2000
0.10000 0.1167 0.1333 0.1500 0.1667 0.1833 0.2000
Tabla 2.12. Fracción Molar yA como función de la distancia z
En la sección NOTAS al final del capítulo se muestran los códigos para los cálculos tanto
analíticos como numéricos.
A continuación se muestran los resultados obtenidos por el método analítico y por las
siguientes técnicas en diferencias finitas: explícita, implícita, Crank-Nicolson y de líneas.
0A Ay y 1A Ay y 2A Ay y
D
A A
A A
y y
y y
2
1 2
219 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
Debemos resaltar el hecho de que dos fenómenos físicos diferentes, descritos por modelos
matemáticos análogos, pueden tratarse con el mismo tipo de solución analítica o numérica.
x[i] Explícito Implícito Crank
Nicolson Explícito Implícito
Crank
Nicolson
Integra
l Analítico
ft 300 [s] 600 [s]
0 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1
0,5 0,5615 0,5809 0,5709 0,4336 0,4409 0,4371 0,4371 0,437297
1 0,8517 0,8553 0,8538 0,6766 0,6838 0,6802 0,6802 0,681607
1,5 0,9434 0,9347 0,9389 0,772 0,7766 0,7745 0,7745 0,776705
2 0,8674 0,87 0,869 0,7041 0,7101 0,7071 0,7071 0,708636
2,5 0,6102 0,6272 0,6185 0,4944 0,5005 0,4973 0,4973 0,49765
3 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2
Tabla 2.13. Resultados método analítico y diferentes técnicas en diferencias finitas
Se observa de tablas y gráficos la estrecha coincidencia en los resultados por los diferentes
métodos, y en especial la total coincidencia entre el método de líneas y el de Crank-
Nicolson. También, a pesar de usarse un parámetro de Fourier del orden de 1/3, el método
explícito es el que da mayor porcentaje de error. Se anota además que hasta un tiempo de
aproximadamente 170 [s] se pueden calcular las concentraciones en el sistema utilizando la
correlación para sólido semi-infinito a partir de las respectivas superficies. La perturbación
no ha alcanzado el centro aún.
Figura 2.26. Concentración de placa asimétrica
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
z [ft]
yA
PLACA ASIMÉTRICA EN CONCENTRACIONES
t=600 [s]
t=300 [s]
t=125 [s]t=0 [s]
220 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL NO UNIFORME
2.5 Sistemas semiinfinitos
Ejemplo 2.7: Una membrana porosa inicialmente contiene el soluto A con concentración
cAo. Un lado de la membrana de repente se pone en contacto con un gas y la concentración
de A en la .superficie se incrementa hasta cA1. La concentración de A en la otra superficie
se mantiene constante en cAo. Plantee una solución para el perfil de concentraciones de A
en la membrana. Usando la correlación que se adecúe a la solución planteada, determine la
concentración de A en z = L/2 después de 3 h, si el espesor es L = 0.1 m y DAB = 5.75 x 10-8
m2/s. La concentración inicial es cAo = 2.45 kgmol/m3 y la concentración impuesta a z = 0 es
cA1 = 4.8 kgmol/m3. ¿Qué otra ecuación podría usarse?
Solución: Observe que no existe superficie impermeable ni simetría. Por tanto en ningún
límite se cumple . Es adecuada la ecuación (21). Además, se observa que Fo =
0.0625 para un tiempo mayor a tres horas. Por tanto, el análisis como sólido semi-infinito es
viable también.
Figura 2.27. Ej 2.7: Membrana porosa
Los siguientes perfiles se obtienen con la ecuación (21) y diferentes tablas paramétricas:
/ 0Adc dz
221 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
Figura 2.28. Perfil de concentración
2.5.1 Gráficos secuenciales
Usando la correlación para sólido semi-infinito se grafica fácilmente la variación de los
perfiles con el tiempo para tiempos menores de 3 hr creando mallas de posición y tiempo.
Usaremos este ejemplo para explorar la opción de dibujar gráficos secuenciales con EES.
Se usa nomenclatura de temperaturas para utilizar las funciones preestablecidas que trae
EES en las librerías "Heat Transfer & Fluid Flow Transient Conduction" o en "EES library
routines transient conduction", aunque para el caso presente donde la correlación para
sólido semi-infinito es tan sencilla podemos hacerlo directamente. Comenzamos creando
los arreglos o mallas espaciales y de tiempo y luego resolvemos la ecuación en cada uno
de estos puntos, lo que nos da una tabla con los correspondientes datos. Usando esta tabla
creamos un gráfico con tantas curvas como queramos. Para el caso presente se escogieron
curvas a intervalos de 1000 s entre 500 s y 10500 s, obteniéndose la Figura 2.29 y Figura
2.30 (ver código en la sección NOTAS):
0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,12
2,5
3
3,5
4
4,5
5
z [m]
CA [
kg
mo
l/m
3]
10 h
1 h
600 s
100 s
3 h
222 SISTEMAS CON CONDICIÓN INICIAL NO UNIFORME
Figura 2.29. Perfil de concentración con el tiempo
0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,12
3
4
5
z [m]
cA(z
,t)
[kgm
ol/m
3]
t=500 [s]
t=10500 [s]
223 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
Figura 2.30. Perfil de temperatura
224 SISTEMAS CON GENERACIÓN
NOTAS CAPÍTULO 2. CÓDIGOS DE PROGRAMACIÓN Ejemplo 2.1 PLACA CON DISTRIBUCIÓN INICIAL NO UNIFORME, SUPERFICIE 1 AISLADA, SUPERFICIE 2 CONVECTIVA, COEFICIENTE CONVECTIVO CONSTANTE. En el software EES la ecuación (2.1l-iii) se escribe así: A[i]=2*(a*L*(cos(lambda[i])+(lambda[i])*sin(lambda[i])-1)+(lambda[i])*b*sin(lambda[i])) B[i]=(lambda[i])*((lambda[i])+sin(lambda[i])*cos(lambda[i])) C[i]=A[i]/B[i] El código para resolver el ejemplo es: $UnitSystem Eng mass F Psi Rad Btu $TABSTOPS 0.2 0.4 0.6 0.8 3.5 in T_infinity=80 [F]: alpha=0,016 [ft^2/hr]: T=300 [F]: k=0,38 [Btu/hr-ft-F]: h=1,272 [Btu/hr-ft^2-F] z_hat=0,5: L=1,5 [ft]: T_o1=350 [F]: T_o2=650 [F] (T_o1-T_infinity) =b: (T_o2 - T_infinity)-b=a*L "Valores propios para la ecuación (lambda_n)tan(lambda_n) = Bi" N=10 duplicate i=1;N lowerlimit[i]=(i-1)*pi+1e-6 upperlimit[i]=lowerlimit[i]+pi/2 guess[i]=lowerlimit[i]+pi/4 end Bi=h*L/k "k del sólido" duplicate i=1;N 1/tan(lambda[i])=lambda[i]/Bi end "Vaya a Menú Options- Variable Info-Show array variables-array se le quita el v y en guess para lambda[] se coloca guess[], y en lower y upper limit se coloca lowerlimit[] y upperlimit[]. Así se delimitan los intervalos de cálculo para cada valor propio. De otra forma calcula todos los valores iguales. Recuerde que cero no es un valor propio" "Evaluación de los coeficientes Cn" duplicate i=1;N A[i]=2*(a*L*(cos(lambda[i])+(lambda[i])*sin(lambda[i])-1)+(lambda[i])*b*sin(lambda[i])) B[i]=(lambda[i])*((lambda[i])+sin(lambda[i])*cos(lambda[i])) C[i]=A[i]/B[i] end "Historia tiempo-posición de la temperatura de la placa, ecuación (2.1m-ii)" Fo=alpha*time/L^2 z_hat=z/L
225 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
duplicate i=1;N theta[i]=C[i]*exp(-lambda[i]^2*Fo)*cos(lambda[i]*z_hat) end theta_zt=sum(theta[1..N]) T=T_infinity+theta_zt
Por el método de las líneas: "METODO DE LINEAS" $UnitSystem Eng mass F Psi Rad Btu $TABSTOPS 0.2 0.4 0.6 0.8 3.5 in T_infinity=80 [F]: alpha=0,016 [ft^2/hr]: k=0,38 [Btu/hr-ft-F]: h=1,272 [Btu/hr-ft^2-F] L=1,5 [ft]: T_o1=350 [F]: T_o2=650 [F] "Setup grid" N=11 [-] "number of nodes" DELTAx=L/(N-1) "distance between adjacent nodes" {t_sim=46 [hr]} duplicate i=1;N x[i]=(i-1)*DELTAx end Bi=h*DELTAx/k "Biot para diferencias finitas" duplicate i=1;N T_ini[i]= T_o1 + (T_o2 - T_o1)*(x[i]/L) "initial condition" end dTdt[1]=2*alpha*(T[2]-T[1])/DELTAx^2 "adiabático" duplicate i=2;(N-1) dTdt[i]=alpha*(T[i-1]+T[i+1]-2*T[i])/DELTAx^2 "interior" end dTdt[N]=2*alpha/DELTAx^2*(T[N-1]-T[N]+Bi*(T_infinity-T[N])) "convectivo" duplicate i=1;N T[i]=T_ini[i]+INTEGRAL(dTdt[i];time;0;t_sim) End $IntegralTable time:1;T[1..N] Con esta orden se genera una tabla con la variación de la temperatura en cada nodo a intervalos de 1 hora.
Por diferencias finitas método implícito:
$UnitSystem Eng mass F Psi Rad Btu $TABSTOPS 0.2 0.4 0.6 0.8 3.5 in "Inputs" alpha=0,016 [ft^2/hr] L=1,5 [ft] "wall thickness" k=0,38 [Btu/hr-ft-F] "conductivity" T_o1=350 [F]: T_o2=650 [F] T_infinity=80 [F] "fluid temperature" "Setup grid" N=25 [-] "number of nodes" DELTAx=L/(N-1) "distance between adjacent nodes" duplicate i=1;N
226 SISTEMAS CON GENERACIÓN
x[i]=(i-1)*DELTAx "position of each node" end "Setup time steps" U= 121 [-] "number of time steps" t_sim=60 [hr] "simulation time" DELTAtime=t_sim/(U-1) "time step duration”" duplicate j=1;U time[j]=(j-1)*DELTAtime end h=1,272" [Btu/hr-ftˆ2-F]" "heat transfer coefficient" Fo=alpha*DELTAtime/(DELTAx)^2 "Fourier para diferencias finitas" Bi=h*DELTAx/k "Biot para diferencias finitas" duplicate i=1;N T[i;1]= T_o1 + (T_o2 - T_o1)*(x[i]/L) "initial condition" End "Move through all of the time steps" duplicate j=1;(U-1) T[1;j+1]=T[1;j]+2*Fo*(T[2;j+1]-T[1;j+1]) "nodo 1" duplicate i=2;(N-1) T[i;j+1]=T[i;j]+Fo*(T[i-1;j+1]+T[i+1;j+1]-2*T[i;j+1]) "internal nodes" end T[N;j]=-2*Fo*T[N-1;j+1]+(1+2*Fo+2*Bi*Fo)*T[N;j+1]-2*Bi*Fo*T_infinity "node N" end COEFICIENTE CONVECTIVO VARIABLE Solución implícita:
$UnitSystem Eng mass F Psi Rad Btu $TABSTOPS 0.2 0.4 0.6 0.8 3.5 in "Inputs" alpha=0,016 [ft^2/hr] L=1,5 [ft] "wall thickness" k=0,38 [Btu/hr-ft-F] "conductivity" T_o1=350 [F]: T_o2=650 [F] T_infinity=80 [F] "fluid temperature" "Setup grid" N=25 [-] "number of nodes" DELTAx=L/(N-1) "distance between adjacent nodes" duplicate i=1;N x[i]=(i-1)*DELTAx "position of each node" end "Setup time steps" U= 121 [-] "number of time steps" t_sim=60 [hr] "simulation time" DELTAtime=t_sim/(U-1) "time step duration”" duplicate j=1;U time[j]=(j-1)*DELTAtime end Fo=alpha*DELTAtime/(DELTAx)^2 "Fourier para diferencias finitas"
227 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
duplicate i=1;N T[i;1]= T_o1 + (T_o2 - T_o1)*(x[i]/L) "initial condition" end "Move through all of the time steps" duplicate j=1;(U-1) T[1;j+1]=T[1;j]+2*Fo*(T[2;j+1]-T[1;j+1]) "node 1" duplicate i=2;(N-1) T[i;j+1]=T[i;j]+Fo*(T[i-1;j+1]+T[i+1;j+1]-2*T[i;j+1]) "internal nodes" end T[N;j+1]=T[N;j]+2*(Fo*(T[N-1;j+1]-T[N;j+1])+0,19*(T[N;j]-T_infinity)^(1/3)*& DELTAx/k*Fo*(T_infinity-T[N;j+1])) "node N" end En la expresión para el nodo convectivo N, se incluye el efecto de la variación del coeficiente convectivo. Se nota el uso del símbolo & (ampersand) para dividir la ecuación.
Usando MATLAB
%Programa para construir la matriz tridiagonal utilizada en el método Implícito. C=diag((1+2*L).*ones(m,1)) + diag(-L.*ones((m-1),1),1) + diag(-L.*ones((m-1),1),-1); %Ejemplo resuelto por el método implícito para la conducción en una placa con o sin generación y condiciones convectivas, distribución inicial arbitraria. disp.(‘El Método implícito para la ‘) disp.(‘ conducción en una barra con o sin generación y condiciones convectivas.’) clear all lon=input(‘longitud de media placa simétrica [m].‘); alfa=input(‘difusividad térmica [m^2/s].‘); ko=input(‘conductividad térmica [W/m*K].‘); %h=input(‘coeficiente convectivo [W/m^2*K].‘); fio=input(‘generación inicial por unidad de volumen [W/m^3].‘); fi=input(‘generación (cambio repentino) por unidad de volumen [W/m^3].‘); Tinfi=input(‘temperatura de fluido [°C].‘); nid=input(‘número de divisiones en la placa.‘); tt=input(‘tiempo total.[s]‘); dt=input(‘Introduzca intervalo de tiempo<s>=’); Ts1=input(‘temperatura inicial de superficie[°C].‘); Tin=input(‘temperatura inicial del extremo aislado [°C]’); ci=input(‘ingrese 1 si h es constante o 2 si h es variable’); %Ts2=Tinfi+fi*lon/h;%temperatura final de superficie. Del=lon/nid;%incremento de longitud. Z=0:del:lon; %Ts=input(‘°T superficial, función de la generación[°C]Tinfi+fio*lon/h‘); To=input(‘Perfil inicial °T[°C](300.*z./lon)+Tin‘); %Tinf=input(‘Perfil final T[°C](1-(z./lon).^2)+Ts2‘); r=length(z)+1; To=To’; %disp(‘Número de Biot=’);
228 SISTEMAS CON GENERACIÓN
%disp(Bi); Fo=alfa*dt/del^2; %número de Fourier disp.(‘Número de Fourier’); disp.(Fo); disp.(‘Enter para continuar’); pause nit=tt/dt; %numero de intervalos de tiempo %Programa para calcular del perfil de temperaturas usando la matriz tridiagonal que ofrece Matlab. M=length(To); L=Fo; di;%Matriz [A]. C(1,:) =[(1+2*Fo) -2*Fo disp.(1,m-2)]; Ts=Ts1 ; Tant=To ; t=0 ; tiempo(1)=t; if ci==1 h=input(‘ingrese el valor del coeficiente convectivo‘); Bi=h*del/ko;%número de biot para las diferencias finitas. C(m,:)=[228isp.(1,m-2) -2*Fo (2*Bi*Fo+2*Fo+1)]; for k=1 :nit t=t+dt ; tiempo(k+1)=t ; a=Tant+(fi*alfa*dt/ko) ; a(m)=2*Bi*Fo*Tinfi+Tant(m) ; Tant=C\a ; T( :,k)=[Tant] ; end %-------------------------------------------------% else ci==2 h=input(‘ecuación coeficiente convectivo 0.19*(Ts-Tinfi)^(1/3) h=’); for k=1 :nit t=t+dt ; tiempo(k+1)=t; Bi=h*del/ko;%número de biot para las diferencias finitas. C(m,:)=[disp.(1,m-2) -2*Fo (2*Bi*Fo+2*Fo+1)]; a=Tant+(fi*alfa*dt/ko) ; a(m)=2*Bi*Fo*Tinfi+Tant(m) ; Tant=C\a ; Ts=Tant(m) ; T(:,k)=[Tant]; end
229 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
end Tf=[To T]; x=[1:1:m-1]; xp=del.*x; X=[0 xp]’; Tfz=Tf’; disp.(‘Tabla resumen de las temperaturas’); disp.(Tfz); disp.(‘enter para continuar’); pause %Tinf11=Tinf’; plot(X,Tf,’b’);xlabel(‘ancho de la placa [m]’);ylabel(‘Temperaturas [°C]’); text(1,600,’Tiempo 0’); text(0.007,180,’Tiempo infinito’); pause close %------------------------------------------------------% Ejemplo 2.2
RESISTENCIA SUPERFICIALDESPRECIABELE, BI > 40 Usando EES SOLUCIÓN ANALÍTICA $UnitSystem SI MASS RAD PA K J $TABSTOPS 3 5 7 9 11 "Datos" L=1 [m] alpha=k/rho/Cp "difusividad térmica" rho=7820 [kg/m^3]: Cp = 465 [J/kg-K] : k = 16 [W/m-K] T_ini= T1+(Ts-T1)*z/L "temperatura inicial" T1 =300 [C]: Ts=600 [C]: T2=100 [C] N=10 duplicate i=1;N lambda[i]= (i-0,5)*pi/L A[i]=2/L*((-1)^(i-1)*(Ts-T2)/lambda[i]-(Ts-T1)/L/lambda[i]^2) “ecuación (2.4d)” End "Historia tiempo-posición de la temperatura de la placa, ecuación (2.4e)" duplicate i=1;N theta[i]=A[i]*cos(lambda[i]*z)*exp(-alpha*time*lambda[i]^2) end theta_zt= sum(theta[1..N]) T=T2+theta_zt "temperatura z,t en la placa" Fo_p=alpha*time/L^2 time= 15*3600 [s] {z=0}
230 SISTEMAS CON GENERACIÓN
METODO IMPLICITO $UnitSystem SI MASS RAD PA K J $TABSTOPS 3 5 7 9 11 "Datos" L=1 [m] alpha=k/rho/Cp "difusividad térmica" rho=7820 [kg/m^3]: Cp = 465 [J/kg-K] : k = 16 [W/m-K] T1 =300 [C]: Ts=600 [C]: T2=100 [C] "Setup grid" DELTAx=L/(N-1) "distance between adjacent nodes" N=11 [-] "number of nodes" duplicate i=1;N x[i]=(i-1)*DELTAx "position of each node" end "Setup time steps" M=76 [-] "number of time steps" t_sim=270000 [s] "simulation time" DELTAtime=t_sim/(M-1) "time step duration" duplicate j=1;M time[j]=(j-1)*DELTAtime end duplicate i=1;N-1 “no incluye nodo N” T_ini[i]=T1+(Ts-T1)*x[i]/L end duplicate i=1;N-1 "temperatura inicial" T[i;1]=T_ini[i] "[sin nodo borde; tiempo inicial]" end Fo=alpha*DELTAtime/DELTAx^2 "Move through all of the time steps" duplicate j=1;(M-1) T[1;j]=(1+2*Fo)*T[1;j+1]-2*Fo*T[2;j+1] "nodo 1 adiabático" duplicate i=2;(N-1) "nodos internos" T[i;j]=-Fo*T[i-1;j+1]+(1+2*Fo)*T[i;j+1]-Fo*T[i+1;j+1] end T[N;j+1]=T2 "nodo N" end duplicate i=1;N T[i]=T1+(Ts-T1)*x[i]/L end Ejemplo 2.3
PLACA CON TEMPERATURAS DIFERENTES EN AMBAS CARAS, COEFICIENTES CONVECTIVOS IGUALES SOLUCION ANALITICA $UnitSystem SI mass K Pa Rad J $TABSTOPS 3 6 9 12 cm T1=353 [K]: T2=373 [K]: k=15 [W/m-K]: To=288 [K]: Cp=1300 [J/kg-K]
231 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
rho=1700 [kg/m^3]: L=0,40 [m]: h=200 [W/m^2-C]: time=1800 [s] :z_hat=0,5 alpha=k/rho/Cp {"Valores propios para la ecuación (lambda_n^2-Bi^2)*tan(lambda_n) = 2*lambda*Bi)" M=7 Duplicate i=1;M lowerlimit[i]=(i-1)*pi+1e-6 upperlimit[i]=lowerlimit[i]+pi guess[i]=lowerlimit[i]+pi/2 End Bi=h*L/k "k del sólido" Duplicate i=1;M (lambda[i]^2-Bi^2)*sin(lambda[i])=2*lambda[i]*Bi*cos(lambda[i]) End "Vaya a Menú Options- Variable Info-Show array variables-array se le quita el v y en guess para lambda[] se coloca guess[], y en lower y upper limit se coloca lowerlimit[] y upperlimit[]. Así se delimitan los intervalos de cálculo para cada valor propio. De otra forma calcula todos los valores iguales. Recuerde que cero no es un valor propio" "Evaluación de los coeficientes An " Duplicate i=1;M A[i]=(B[i]-C[i])/D[i] B[i]=((Bi+2)*To-(Bi+1)*T1-T2)*( lambda[i]*sin(lambda[i])-Bi*(cos(lambda[i])-1)) C[i]=Bi*(T2-T1)*(cos(lambda[i])-1+ lambda[i]*sin(lambda[i])+& Bi*(sin(lambda[i])/ lambda[i]-cos(lambda[i]))) D[i]=(Bi+2)*(( lambda[i]^2+Bi^2)+2*Bi)/2 End "Historia tiempo-posición de la temperatura de la placa," Fo=alpha*time/L^2 z_hat=z/L Duplicate i=1;M theta[i]=A[i]*exp(-lambda[i]^2*Fo)*(cos(lambda[i]*z_hat)+Bi/lambda[i]*sin(lambda[i]*z_hat)) End theta_zt=sum(theta[1..M]) T=Tf+theta_zt Tf=(T1*(Bi+1)+T2+(T2-T1)*Bi*z_hat)/(Bi+2)} "NUMÉRICO CRANK NICOLSON" "Setup grid" N=5 [-] "number of nodes" DELTAx=L/(N-1) "distance between adjacent nodes" Duplicate i=1;N x[i]=(i-1)*DELTAx "position of each node" End "Setup time steps" U= 7 [-] "number of time steps" t_sim=1800 [s] "simulation time" DELTAtime=t_sim/(U-1) "time step duration”" Duplicate j=1;U time[j]=(j-1)*DELTAtime End
232 SISTEMAS CON GENERACIÓN
Fod=alpha*DELTAtime/(DELTAx)^2 "Fourier para diferencias finitas" Bid=h*DELTAx/k "Biot para diferencias finitas" Duplicate i=1;N T[i;1]= To "initial condition" End "Move through all of the time steps" "node 1" Duplicate j=1;(U-1) (1+Fod+Bid*Fod)*T[1;j+1]-Fod*T[2;j+1]=2*Bid*Fod*T1+(1-Fod-Bid*Fod)*T[1;j]+Fod*T[2;j] "internal nodes" Duplicate i=2;(N-1) -Fod*T[i-1;j+1]+(2+2*Fod)*T[i;j+1]-Fod*T[i+1;j+1]=Fod*T[i-1;j]+(2-2*Fod)*T[i;j]+Fod*T[i+1;j] End "node N" (1+Fod+Bid*Fod)*T[N;j+1]-Fod*T[N-1;j+1]=2*Bid*Fod*T2+(1-Fod-Bid*Fod)*T[N;j]+Fod*T[N-1;j] End "EXPLÍCITO" Duplicate i=1;N TE[i;1]= To "initial condition" End "node 1" Duplicate j=1;(U-1) TE[1;j+1]=2*Fod*TE[2;j]+(1-2*Fod-2*Bid*Fod)*TE[1;j]+2*Bid*Fod*T1 "internal nodes" Duplicate i=2;(N-1) TE[i;j+1]=Fod*TE[i-1;j]+(1-2*Fod)*TE[i;j]+Fod*TE[i+1;j] End "node N" TE[N;j+1]=2*Fod*TE[N-1;j]+(1-2*Fod-2*Bid*Fod)*TE[N;j]+2*Bid*Fod*T2 End "IMPLÍCITO "Duplicate i=1;N TI[i;1]= To "initial condition" End "node 1" Duplicate j=1;(U-1) TI[1;j]=-2*Fod*TI[2;j+1]+(1+2*Fod+2*Bid*Fod)*TI[1;j+1]-2*Bid*Fod*T1 "internal nodes" Duplicate i=2;(N-1) TI[i;j]=-Fod*TI[i-1;j+1]+(1+2*Fod)*TI[i;j+1]-Fod*TI[i+1;j+1] End "node N" TI[N;j]=-2*Fod*TI[N-1;j+1]+(1+2*Fod+2*Bid*Fod)*TI[N;j+1]-2*Bid*Fod*T2 End
233 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
Usando MATLAB
Solución analítica: % PLACA CONVECTIVA ASIMÉTRICA en T SOLUCIÓN ANALÍTICA clc h = input ('Ingrese h(W/m2K) : '); k = input ('Ingrese k(W/mK) : '); Cp = input ('Ingrese Cp(J/kgK) : '); ro = input ('Ingrese densidad (kg/m3) : '); H = h/k; alpha = k/(ro*Cp); L = input ('Ingrese L(espesor en m) : '); To = input ('Ingrese la temperatura inicial en K: To = '); T1 = input ('Ingrese la temperatura de la corriente de gases 1 en K: T1 = '); T2 = input ('ingrese la temperatura de la corriente de gases 2 en K: T2 = '); tt = input ('Ingrese el tiempo para el cual desea conocer la temperatura en s: t = '); SS=[]; SSS=[]; EE=[]; EEE=[]; m=L/0.05; k=tt/m; Fodr t=0:150:tt Fodr Z=0:0.05:L if Z==0.2 Z=0.2+0.00001; else end suma=0; ln=6; Nn=1; while Nn>0.000001 e=1; while e>0.000001 J=ln; ln = ln-(((ln^2-H^2)*tan(ln*L)-2*ln*H) / ((2*ln*tan(ln*L)+(ln^2-H^2)*((1+(tan(ln*L))^2)*L))-2*H )); e=abs(J-ln); end A=(To-(T1*(H*L+1)+T2)/(H*L+2))*(1/ln)*(sin(ln*L)-((H/ln)*(cos(ln*L)-1))); B=H*(T2-T1)/(H*L+2)*((cos(ln*L)-1)/ln^2+L*sin(ln*L)/ln); C=H*(T2-T1)/(H*L+2)*(H/ln)*(sin(ln*L)/ln^2-L*cos(ln*L)/ln); D=(L*(ln^2+H^2)+2*H)/(2*ln^2); An=(A-B-C)/D; N=An*(cos(ln*Z)+((H/ln)*(sin(ln*Z))))*exp(-alpha*ln^2*t); suma=suma+N; Nn=abs(N); ln=ln+6; end E=(H*(T2-T1)/(H*L+2)*Z)+((T1*(H*L+1)+T2)/(H*L+2)); total=suma+E; if Z==0.2001 Z=0.2; else
234 SISTEMAS CON GENERACIÓN
end S= [Z total t]; disp (S) SS=[ SS total ]; EE=[EE Z]; end i=tt+1; figure(i) plot(EE,SS,'g') hold on EE=[]; SS=[]; End title('Distribución de temperaturas con respecto al tiempo en una placa asimétrica') xlabel('Posición') ylabel('Temperatura') text(0.25,270,'t=0') text(0.25,367,'t=infinito') Solución implícita: %programa mediante el método explicito para una placa plana con %temperaturas diferentes en cada cara de la placa, en este podemos cambiar %los números de nodos como también el tiempo. clc,clear all, close all %Parámetros del problema L=.4; %Longitud de la placa Tini=288; %Temperatura inicial Tizq=373; %Temperatura exterior por la izquierda Tder=353; %Temperatura exterior por la derecha k=15; %Conductividad cp=1300; %Capacidad calorífica ro=1700; %Densidad h=200; %Coeficiente convectivo de transferencia de calor %Generación del cuadro de dialogo para ingresar los datos especificaciones={'Tiempo total: .'... ,'Divisiones de tiempo: .'... ,'Divisiones de espacio: .'... ,'Vector de tiempos para graficar .'}; titulo='Especificaciones del programa'; pordefecto={'20000','2000','10','[0 300 1000 3000 5000 20000]'}; datos=inputdlg(especificaciones,titulo,1,pordefecto); tt=datos(1); nt=datos(2); nx=datos(3); gt=datos(4); tt=str2num(char(tt)); nt=str2num(char(nt)); nx=str2num(char(nx)); gt=str2num(char(gt)); Bid=h*L/k;
235 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
alfa=k/ro/cp; dx=L/nx; %Incremento de espacio n x=[0:dx:L]; %Vector con los valores de los nodos espaciales dt=tt/nt; %Incremento de tiempo Fod=alfa*dt/dx^2; %Verificación de estabilidad if Fod>1/(2*(1+Bid)) %Verificación de la primera condición de estabilidad mensaje={'Se recomienda aumentar las divisiones del tiempo y/o del espacio'}; titulo='ATENCION¡¡¡¡ Inestabilidad Fod>1/(2*(1+Bid))'; warndlg(mensaje,titulo) break elseif (1-2*Fod-2*Bid*Fod)<0 %Verificación de la segunda condición de estabilidad mensaje={'Se recomienda aumentar las divisiones del tiempo y/o del espacio'}; titulo='ATENCION¡¡¡¡ Inestabilidad (1-2*Fod-2*Bid*Fod)<0)'; warndlg(mensaje,titulo) break end %Cálculo de los perfiles de temperatura T=ones(nt+1,nx+1); %Crea una matriz para almacenar todos los perfiles de temperaturas %NOTA: el tamaño es nt+1 por nx+1 ya que n divisiones son n+1 nodos T(1,:)=linspace(Tini,Tini,nx+1); %Asigna al perfil de tiempo cero, la condición inicial de temperatura tol=1e-3; Fodr t=1:nt T(t+1,1)=2*Fod*T(t,2)+(1-2*Fod-2*Bid*Fod)*T(t,1)+2*Bid*Fod*Tizq; %Temperatura del nodo izquierdo para un mismo tiempo Fodr m=2:nx %Ciclo para los nodos internos dentro de un mismo tiempo T(t+1,m)=Fod*T(t,m-1)+(1-2*Fod)*T(t,m)+Fod*T(t,m+1); end T(t+1,nx+1)=2*Fod*T(t,nx)+(1-2*Fod-2*Bid*Fod)*T(t,nx+1)+2*Bid*Fod*Tder; %Temperatura de nodo derecho para un mismo tiempo End %Generación de las graficas it=gt/dt+1; %Determina los indices de las tiempos para los que de desean ver los perfiles it=round(it); %Por si algún índice no da un numero entero, lo aproxima al entero más cercano Fodr c=1:length(gt) plot(x,T(it(c),:)),hold on %Genera las gráficas para los tiempos que el usuario ha pedido end title('Perfiles de temperatura'),xlabel('Longitud'),ylabel('Temperatura')
236 SISTEMAS CON GENERACIÓN
Método explícito e implícito por la técnica iterativa: Distribución de temperaturas método explícito clc, clear all, close all %% Distribución de temperaturas método explícito % Propiedades y datos Ti=288; % Temperatura inicial de la placa (K) Tinf1=353; % Temperatura del gas al lado izquierdo de la placa (K) Tinf2=373; % Temperatura del gas al lado izquierdo de la placa (K) h=200; % Coeficiente convectivo del gas (W/m^2 K) K=15; % Conductividad térmica del material (W/m K) d=1700; % Densidad del gas (kg/m^3) cp=1300; % Calor específico (J/kg K) L=0.4; % Longitud de la placa alfa=K/(d*cp); % Especificaciones dz=input('Incremento de los nodos '); % Incremento de los nodos t=1800; % Tiempo Bi=(h*dz)/K; % Biot Fo1=1/(2*(1+Bi)); dt=(Fo1*dz^2)/alfa dt=input('Aproximar incremento a número entero más cercano '); %Incremento del tiempo Fo=(alfa*dt)/(dz^2); % Fourier n=t/dt; % Número de tiempos para los que se hacen los cálculos m=(L/dz)+1; % Número de nodos m=floor(m); To=ones(1,m); To=Ti*To; % Distribución inicial de temperaturas en la placa (t=0) z=(0:dz:L); t=(dt:dt:t);
237 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
r=1/300; j=0; % Distribución de temperaturas después de 30 min for i=1:n for k=1:1 T(i,k)=(1-2*Fo-2*Fo*Bi)*To(k)+2*Fo*To(k+1)+2*Bi*Fo*Tinf1; end for n=2:m-1 T(i,n)=Fo*To(n-1)+(1-2*Fo)*To(n)+Fo*To(n+1); end for c=m:m T(i,c)=2*Fo*To(c-1)+(1-2*Fo-2*Fo*Bi)*To(c)+2*Bi*Fo*Tinf2; end T1=T(i,:); To=T1; figure (1) plot(z,To,'color',[1 1-r*j 0]),ylabel('Temperatura (°C)'),xlabel('Longitud de la placa (m)'),... title('Distribución de temperaturas en una placa plana (L=0.4)') hold on j=j+1; end Distribución de temperaturas método implícito forma iterativa clc, clear all, close all %% Distribución de temperaturas método implícito % Propiedades y datos Ti=288; % Temperatura inicial de la placa (K) Tinf1=353; % Temperatura del gas al lado izquierdo de la placa (K) Tinf2=373; % Temperatura del gas al lado derecho de la placa (K) h=200; % Coeficiente convectivo del gas (W/m^2 K) K=15; % Conductividad térmica del material (W/m K) d=1700; % Densidad del gas (kg/m^3) cp=1300; % Calor específico (J/kg K) L=0.4; % Longitud de la placa alfa=K/(d*cp); % Especificaciones dz=input('Incremento de los nodos '); % Incremento de los nodos t=1800; % Tiempo Bi=(h*dz)/K; % Biot Fo1=1/(2*(1+Bi)); dt=(Fo1*dz^2)/alfa dt=input('Aproximar incremento a número entero más cercano '); %Incremento del tiempo Fo=(alfa*dt)/(dz^2); % Fourier n=t/dt; % Numero de tiempos para los que se hacen los cálculos m=(L/dz)+1; m=floor(m); To=ones(1,m); To=Ti*To; tol=ones(1,m);
238 SISTEMAS CON GENERACIÓN
tol=0.00001*tol; z=(0:dz:L); t=(dt:dt:t); r=1/300; j=0; % Distribución de temperaturas después de 30 min for i=1:n T0=ones(1,m); T0=Ti*T0; while 1 for k=1:1 T(i,k)=(To(k)+2*Bi*Fo*Tinf1+2*Fo*T0(k+1))/(1+2*Fo+2*Bi*Fo); end for n=2:m-1 T(i,n)=(To(n)+Fo*T0(n+1)+Fo*T0(n-1))/(1+2*Fo); end for c=m:m T(i,c)=(To(c)+2*Bi*Fo*Tinf2+2*Fo*T0(c-1))/(1+2*Fo+2*Bi*Fo); end if abs (T(i,:)-T0)<= tol break else T0=T(i,:); end end T1=T(i,:); To=T1; figure (1) plot(z,To,'color',[1 1-r*j 0]),ylabel('Temperatura (°C)'),xlabel('Longitud de la placa (m)'),... title('Distribución de temperaturas en una placa plana (L=0.4)') hold on j=j+1; end Ejemplo 2.4 PLACA CON COEFICIENTES DIFERENTES EN AMBAS CARAS SOLUCION ANALITICA $UnitSystem SI mass C Pa Rad J $TABSTOPS 0.2 0.4 0.6 0.8 3.5 in T_infinity=20 [C]: k=100 [W/m.C]: T_o=80 [C]: Cp=849 [J/kg-C]: rho=2300 [kg/m^3]: L=0,10 [m] h_1=100 [W/m^2-C]: h_2=200 [W/m^2-C] time=100 [s]:z_hat=0,5 "Valores propios para la ecuación (lambda_n^2-Bi_1*Bi_2)*tan(lambda_n) = lmbda*(Bi_1+Bi_2)" M=5 duplicate i=1;M
239 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
lowerlimit[i]=(i-1)*pi+1e-6 upperlimit[i]=lowerlimit[i]+pi guess[i]=lowerlimit[i]+pi/2 end Bi_1=h_1*L/k Bi_2=h_2*L/k "k del sólido" duplicate i=1;M (lambda[i]^2-Bi_1*Bi_2)*sin(lambda[i])=lambda[i]*(Bi_1+Bi_2)*cos(lambda[i]) end "Vaya a Menú Options- Variable Info-Show array variables-array se le quita el v y en guess para lambda[] se coloca guess[], y en lower y upper limit se coloca lowerlimit[] y upperlimit[]. Así se delimitan los intervalos de cálculo para cada valor propio. De otra forma calcula todos los valores iguales. Recuerde que cero no es un valor propio" "Evaluación de los coeficientes Cn ecuation (2.4j)" duplicate i=1;M A[i]=2*(lambda[i]^2+Bi_2^2)*(lambda[i]*sin(lambda[i])-Bi_1*cos(lambda[i])+Bi_1) B[i]=(lambda[i])^2*(Bi_1-Bi_2)^2+((lambda[i])^2+Bi_1*Bi_2)*((lambda[i])^2+Bi_1*Bi_2+Bi_1+Bi_2) C[i]=A[i]/B[i] end "Historia tiempo-posición de la temperatura de la placa, ecuación (2.4f)" Fo=alpha*time/L^2 alpha=k/rho/Cp z_hat=z/L duplicate i=1;M theta[i]=C[i]*exp(-lambda[i]^2*Fo)*(cos(lambda[i]*z_hat)+Bi_1/lambda[i]*sin(lambda[i]*z_hat)) end theta_zt=sum(theta[1..M]) T=T_infinity+(T_o-T_infinity)*theta_zt "NUMÉRICO CRANK NICOLSON" "Setup grid" N=11 [-] "number of nodes" DELTAx=L/(N-1) "distance between adjacent nodes" duplicate i=1;N x[i]=(i-1)*DELTAx "position of each node" end "Setup time steps" U= 11 [-] "number of time steps" t_sim=100 [s] "simulation time" DELTAtime=t_sim/(U-1) "time step duration”" duplicate j=1;U time[j]=(j-1)*DELTAtime end Fo_d=alpha*DELTAtime/(DELTAx)^2 "Fo_durier para diferencias finitas" Bi_1d=h_1*DELTAx/k "Biot para diferencias finitas" Bi_2d=h_2*DELTAx/k duplicate i=1;N
240 SISTEMAS CON GENERACIÓN
T[i;1]= T_o "initial condition" end "Move through all of the time steps" "node 1" duplicate j=1;(U-1) (1+Fo_d+Bi_1d*Fo_d)*T[1;j+1]-Fo_d*T[2;j+1]=2*Bi_1d*Fo_d*T_infinity+(1-Fo_d-Bi_1d*Fo_d)*T[1;j]+Fo_d*T[2;j] "internal nodes" duplicate i=2;(N-1) -Fo_d*T[i-1;j+1]+(2+2*Fo_d)*T[i;j+1]-Fo_d*T[i+1;j+1]=Fo_d*T[i-1;j]+(2-2*Fo_d)*T[i;j]+Fo_d*T[i+1;j] end "node N" (1+Fo_d+Bi_2d*Fo_d)*T[N;j+1]-Fo_d*T[N-1;j+1]=2*Bi_2d*Fo_d*T_infinity+(1-Fo_d-Bi_2d*Fo_d)*T[N;j]+Fo_d*T[N-1;j] end Para construir el gráfico en Plot New Plot XY se selecciona arrays para hacer la curva originada en los datos del método numérico y se selecciona x[i] para abscisas y T[i;11] para la décima iteración que representa 100 [s]. Recordar que para la iteración j la temperatura es T[i;j+1]. La curva para el resultado de la solución analítica se obtiene construyendo una tabla paramétrica variando z y T. Si se seleccionan 11 puntos se obtienen abscisas de cm en cm iniciando en cero. Luego de "calculate solve table", en "plot overlay" para que se dibuje sobre el gráfico ya construido.
Usando MATLAB clc, clear all, close all, format short g; % SOLUCIÓN POR MÉTODOS NUMÉRICOS DE UN PROBLEMA DE TRANSFERENCIA DE CALOR EN ESTADO TRANSITORIO % Placa Plana con coeficientes diferentes en ambas superficies global Bi1_cn Bi2_cn Fo_cn Bi1 Bi2 Lamd_sup Lamd_sup3 To Tinf h1 h2 k alpha dt dz L itermax disp('Por favor ingrese los siguientes valores: ') rho =2300;%input('Densidad: '); k =100;%input('Conductividad térmica: ');; Cp =849;%input('Capacidad calorífica: '); h1 =100%input('Coeficiente de transferencia de calor (izquierdo): '); h2 =200%input('Coeficiente de transferencia de calor (derecho): '); To =80%input('Temperatura inicial To: '); Tinf=20%input('Temperatura del medio: '); L =0.1%input('Longitud de la placa: '); dz =0.01%input('Tamaño de paso para la longitud de la placa (delta z): '); tt =100%input('Tiempo: '); dt =10%input('Tamaño de paso para el tiempo (delta t): '); Bi1=h1*L/k; Bi2=h2*L/k; alpha=k/(rho*Cp); %% Método de diferencias finitas Implícito tic mmm=L/dz+1; nnn=tt/dt+1; Fo_cn=alpha*dt/(dz^2);
241 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
Bi1_cn=h1*dz/k; Bi2_cn=h2*dz/k; [Temps]=Implicito(mmm, nnn); t=[0:dt:tt]; zz=[0:dz:L]; figure(1) plot(zz,Temps) xlabel('Longitud de la placa') ylabel('Temperatura') title('Solución Método de diferencias finitas Implícito') grid on itermax=500; Lamd_sup=1.1; Lamd_sup3=1.1; [Lamda1]=allLamdas(Lamd_sup, itermax); [Lamdass3]=allLamdas3(Lamd_sup3, itermax); for nn=1:length(t) Fo=alpha*t(nn)/(L^2); for mm=1:length(zz) % Solución Analítica Z=zz(mm)/L; [Teta(nn,mm), termi,Teta_med(nn,mm),iter(nn,mm)]=Analítica(Fo,Z, Lamda1); T(mm,nn)=Tinf+(Teta(nn,mm)*(To-Tinf)); Tmed(mm,nn)=Tinf+(Teta_med(nn,mm)*(To-Tinf)); [Teta2(nn,mm), termi2,iter2(nn,mm)]=Analitica02(t(nn),zz(mm), Lamdass3); T2(mm,nn)=Tinf+(Teta(nn,mm)*(To-Tinf)); end Fos(nn)=Fo; end figure(2) plot(zz,T) xlabel('Longitud de la placa') ylabel('Temperatura') title('Solución Analítica, Tosun') grid on figure(3) plot(zz,T2) xlabel('Longitud de la placa') ylabel('Temperatura') title('Solución Analítica, Profe') grid on for ss=1:nnn figure(3+ss) plot(zz,T(:,ss),zz,T2(:,ss),zz,Temps(:,ss)) xlabel('Longitud de la placa') ylabel('Temperatura') legend('Solución Analítica, Tosun','Solución Analítica, Profe','Solución Implícito' ) title(['Tiempo: ' num2str(t(ss)) ' seg']) grid on end for ll=1:nnn figure(3+ss+ll) plot(zz,T(:,ll),zz,Temps(:,ll)) xlabel('Longitud de la placa') ylabel('Temperatura') legend('Solución Analítica, Tosun','Solución método implícito' ) title(['Tiempo: ' num2str(t(ll)) ' seg'])
242 SISTEMAS CON GENERACIÓN
grid on end dif_ambos=Temps-T; disp('Resultados Solución Analítica') disp(T) disp('Resultados Solución Numérica') disp(Temps) disp('Diferencia entre los resultados (Numérico - Analítico)') disp(dif_ambos) toc MULTINEWTON01 function [X0,F0,iter]=multinewton01(F,X0,itermax,tol,h,varargin) NN = 10 + tol; iter=0; while (iter<itermax)&(NN>tol) iter = iter + 1; [J,F0] = jacobiana01(F,X0,h,varargin{:}); dX = -J\F0; NN = sqrt(dX.'*dX); X0 = X0 + dX; if X0<0 X0=(X0.^2).^(1/4); end end if iter==itermax warning('Número máximo de iteraciones alcanzado en el método de Newton') end JACOBIANA01 function [J,F0]=jacobiana01(F,X0,h,varargin) n = length(X0); J = zeros(n); F0 = feval(F,X0,varargin{:}); u = 1/h; for k=1:n X1 = X0; X1(k) = X1(k)+h; F1 = feval(F,X1,varargin{:}); J(:,k) = u*(F1-F0); end IMPLICITO function [Temps]=Implicito(mmm, nnn) global To Tinf Bi1_cn Bi2_cn Fo_cn T0_t=linspace(To,To,mmm)'; Temp=T0_t; Temps(:,1)=Temp; for nn=2:nnn MatA=zeros(mmm,mmm); MatB=zeros(mmm,mmm); MatC=zeros(mmm,1); for mm=1:mmm if mm==1
243 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
% Nodo izquierdo: Convectivo (0) MatA(mm, mm)=1+(2*Fo_cn)+(2*Bi1_cn*Fo_cn); MatA(mm, mm+1)=-2*Fo_cn; MatC(mm)=Temp(mm)+(2*Bi1_cn*Fo_cn*Tinf); elseif mm==mmm % Nodo derecho: Convectivo (N) MatA(mm, mm-1)=-2*Fo_cn; MatA(mm, mm)=1+(2*Fo_cn)+(2*Bi2_cn*Fo_cn); MatC(mm)=Temp(mm)+(2*Bi2_cn*Fo_cn*Tinf); else % Nodos internos MatA(mm, mm-1)=-Fo_cn; MatA(mm, mm)=1+(2*Fo_cn); MatA(mm, mm+1)=-Fo_cn; MatC(mm)=Temp(mm); end end Temp=inv(MatA)*MatC; Temps(:,nn)=Temp; end EIGENVALUES01 function [Fobj]=eigenvalues01(lamd) global h1 h2 L k Func1=lamd*k*(h1+h2)/(((lamd^2*k^2))-(h1*h2)); Func2=tan(lamd*L); Fobj=abs(Func1-Func2); EIGENVALUES function [Fobj]=eigenvalues(lamd) global Bi1 Bi2 Func1=lamd*(Bi1+Bi2)/((lamd^2)-(Bi1*Bi2)); Func2=tan(lamd); Fobj=abs(Func1-Func2); CRANKNICOLSON function [Temps]=CrankNicolson(mmm, nnn) global To Tinf Bi1_cn Bi2_cn Fo_cn T0_t=linspace(To,To,mmm)'; Temp=T0_t; Temps(:,1)=Temp; %% Comprobar la estabilidad Estab1=(Bi1_cn+1)*Fo_cn; Estab2=(Bi2_cn+1)*Fo_cn; if Estab1>1 | Estab2>1 disp('Comprobar estabilidad') disp(['Fo*(Bi1+1) = ' num2str(Estab1)]) disp(['Fo*(Bi2+1) = ' num2str(Estab2)]) end for nn=2:nnn MatA=zeros(mmm,mmm); MatB=zeros(mmm,mmm); MatC=zeros(mmm,1); for mm=1:mmm if mm==1 % Nodo izquierdo: Convectivo (0) MatA(mm, mm)=1+Fo_cn+(Bi1_cn*Fo_cn);
244 SISTEMAS CON GENERACIÓN
MatA(mm, mm+1)=-Fo_cn; MatC(mm)=(Fo_cn*Temp(mm+1))+((1-Fo_cn-(Bi1_cn*Fo_cn))*Temp(mm))+(2*Bi1_cn*Fo_cn*Tinf); elseif mm==mmm % Nodo derecho: Convectivo (N) MatA(mm, mm-1)=-Fo_cn; MatA(mm, mm)=1+Fo_cn+(Bi2_cn*Fo_cn); MatC(mm)=(Fo_cn*Temp(mm-1))+((1-Fo_cn-(Bi2_cn*Fo_cn))*Temp(mm))+(2*Bi2_cn*Fo_cn*Tinf); else % Nodos internos MatA(mm, mm-1)=-Fo_cn; MatA(mm, mm)=2+(2*Fo_cn); MatA(mm, mm+1)=-Fo_cn; MatC(mm)=(Fo_cn*Temp(mm-1))+((2-(2*Fo_cn))*Temp(mm))+(Fo_cn*Temp(mm+1)); end end Temp=inv(MatA)*MatC; Temps(:,nn)=Temp; end ANALITICA02 function [Suma, termi,iter]=Analitica02(t,z, Lamdass3) global h1 h2 Lamd_sup3 L To Tinf k alpha itermax termis=1; Suma=0; tol=1e-6; iter=0; itermax3=itermax; while abs(termis)>tol & iter<itermax3 iter=iter+1; Lamda=Lamdass3(iter); % An_num=(1/Lamda)*(sin(Lamda*L)-(((h1/(k*Lamda))*cos(L*Lamda))-1)); %%An_den=(L/2)*((Lamda^2+((h1/k)^2))/(Lamda^2))+(((Lamda^2-((h1/k)^2))/(Lamda^2))*(sin(2*Lamda*L)/(4*Lamda)))+(((h1/k)/(Lamda^2))*((sin(Lamda*L))^2)); %An_den=(Lamda*L/2)+(((Lamda^2-((h1/k)^2))/(Lamda^2))*(sin(2*Lamda*L)/(4*Lamda)))+(((h1/k)/(Lamda^2))*((sin(Lamda*L))^2)); % An=An_num/An_den; % An_n1=(2*((Lamda^2)+((h2/k)^2))); % An_n2=(Lamda*sin(Lamda*L)); % An_n3=((h1/k)*(cos(Lamda*L))); % An_n=(An_n1*(An_n2-An_n3+(h1/k))); % An_d1=(Lamda^2)*(((h1/k)-(h2/k))^2); % An_d2=(Lamda^2) + ((h1/k)*(h2/k)); % An_d3=(Lamda^2) + ((h1/k)*(h2/k)) + (h1/k) + (h2/k); % An_d=An_d1+ (An_d2*An_d3); An=((k*Lamda*sin(Lamda*L))-(h1*cos(Lamda*L))+h1)/((k*(Lamda^2)*L)+(h1*((sin(Lamda*L))^2))); termi(iter)=An*(cos(Lamda*z)+((h1/(k*Lamda))*(sin(Lamda*z))))*exp(-(Lamda^2)*alpha*t); termis=termi(iter); end ANALITICA Suma=sum(termi); function [Suma, termi,Teta_med,iter]=Analitica(Fo, Z, Lamda1)
245 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
global Bi1 Bi2 Lamd_sup itermax termis=1; Suma=0; tol=1e-6; iter=0; while abs(termis)>tol & iter<itermax iter=iter+1; Lamda=Lamda1(iter); Cn=(cos(Lamda*Z))+((Bi1/Lamda)*sin(Lamda*Z)); An_n1=(2*((Lamda^2)+(Bi2^2))); An_n2=(Lamda*sin(Lamda)); An_n3=(Bi1*(cos(Lamda))); An_n=(An_n1*(An_n2-An_n3+Bi1)); An_d1=(Lamda^2)*((Bi1-Bi2)^2); An_d2=(Lamda^2) + (Bi1*Bi2); An_d3=(Lamda^2) + (Bi1*Bi2) + Bi1 + Bi2; An_d=An_d1+ (An_d2*An_d3); An=An_n/An_d; termi(iter)=An*exp(-(Lamda^2)*Fo)*Cn; termis=termi(iter); Ter_A=(1+((Bi2^2)/(Lamda^2))); Ter_B=((Lamda*sin(Lamda))-(Bi1*(cos(Lamda)-1)))^2; Ter_C=exp(-(Lamda^2)*Fo); Teta_med_ter(iter)= Ter_A * (( Ter_B*Ter_C ) / (An_d)); end Suma=sum(termi); Teta_med=2*sum(Teta_med_ter); ALLLAMDAS3 function [Lamdass3]=allLamdas3(Lamd_sup3, itermax3) Lamdaa3=multinewton01('eigenvalues01', Lamd_sup3,100,1e-6,1e-5); while Lamdaa3<1e-6 Lamd_sup3=Lamd_sup3+1; % Lamda=fsolve('eigenvalues', Lamd_sup); Lamdaa3=multinewton01('eigenvalues01', Lamd_sup3,100,1e- 6,1e-5); end iter3=1; Lamdass3(iter3)=Lamdaa3; su3=1; for ii=1:itermax3 difLam3=0; while abs(difLam3)<1e-6 Lamd_sup3=Lamdaa3+su3; % Lamda=fsolve('eigenvalues', Lamd_sup); Lamdaa3=multinewton01('eigenvalues01', Lamd_sup3,100,1e-6,1e-5); difLam3=Lamdass3(iter3)-Lamdaa3; su3=su3+1; end iter3=iter3+1; Lamdass3(iter3)=Lamdaa3; end ALLLAMDAS function [Lamdass]=allLamdas(Lamd_sup, itermax) Lamdaa=multinewton01('eigenvalues', Lamd_sup,100,1e-6,1e-5); iter2=1; Lamdass(iter2)=Lamdaa;
246 SISTEMAS CON GENERACIÓN
su1=1; for ii=1:itermax difLam=0; while abs(difLam)<1e-6 Lamd_sup=Lamdaa+su1; % Lamda=fsolve('eigenvalues', Lamd_sup); Lamdaa=multinewton01('eigenvalues', Lamd_sup,100,1e-6,1e-5); difLam=Lamdass(iter2)-Lamdaa; su1=su1+1; end iter2=iter2+1; Lamdass(iter2)=Lamdaa; end Ejemplo 2.5
PLACA CON TEMPERATURA Y COEFICIENTES CONVECTIVOS DIFERENTES $UnitSystem Eng mass F Psi Rad Btu $TABSTOPS 0.2 0.4 0.6 0.8 3.5 in "Datos" T_infinity1=350 [F]: T_infinity2=650 [F]: k=0,38 [Btu/hr-ft-F]: T_o=80 [F]: alpha=0,016 [ft^2/hr] L=1,5 [ft] "NO HAY SOLUCIÓN ANALÍTICA" "NUMÉRICO CRANK NICOLSON" "Setup grid" N=19 [-] "number of nodes" DELTAx=L/(N-1) "distance between adjacent nodes" Duplicate i=1;N x[i]=(i-1)*DELTAx "position of each node" End "Setup time steps" U= 41 [-] "number of time steps" t_sim=40 [hr] "simulation time" DELTAtime=t_sim/(U-1) "time step duration”" Duplicate j=1;U time[j]=(j-1)*DELTAtime End Fo_d=alpha*DELTAtime/(DELTAx)^2 "Fo_durier para diferencias finitas" Duplicate i=1;N T[i;1]= T_o "initial condition" End "Move through all of the time steps" "node 1" Duplicate j=1;(U-1) h_1[1;j]=0,19*(abs(T[1;j]- T_infinity1))^(1/3)
247 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
h_2[N;j]=0,19*(abs(T[N;j]- T_infinity2))^(1/3) Bi_1d[1;j]=h_1[1;j]*DELTAx/k "Biot para diferencias finitas superficie 1" Bi_2d[N;j]=h_2[N;j]*DELTAx/k "Biot para diferencias finitas superficie 2" (1+Fo_d+Bi_1d[1;j]*Fo_d)*T[1;j+1]-Fo_d*T[2;j+1]=2*Bi_1d[1;j]*Fo_d*T_infinity1+& (1-Fo_d-Bi_1d[1;j]*Fo_d)*T[1;j]+Fo_d*T[2;j] "internal nodes" Duplicate i=2;(N-1) -Fo_d*T[i-1;j+1]+(2+2*Fo_d)*T[i;j+1]-Fo_d*T[i+1;j+1]=Fo_d*T[i-1;j]+(2-2*Fo_d)*T[i;j]+Fo_d*T[i+1;j] End "node N" (1+Fo_d+Bi_2d[N;j]*Fo_d)*T[N;j+1]-Fo_d*T[N-1;j+1]=2*Bi_2d[N;j]*Fo_d*T_infinity2+& (1-Fo_d-Bi_2d[N;j]*Fo_d)*T[N;j]+Fo_d*T[N-1;j] End Ejemplo 2.6
SISTEMA ASIMÉTRCO CON Bi > 40 USANDO EES ANALÍTICO Y NUMÉRICO $UnitSystem Eng Mass Rad psia F "Analítico" D_AB=2,9652 "[ft^2/hr]" L=3 "[ft]" Nterm=5 Fo_a=D_AB*t_sim/L^2 t_sim=600/3600 theta_0=(T_0-T_2)/(T_1-T_2) T_0=1 T_1=,1: T_2=,2 x=1 "parámetro a cambiar" x_hat=x/L Duplicate i=1;Nterm theta[i]=(1-theta_0+(-1)^i*theta_0)*sin(i*pi*x_hat)*exp(-i^2*Fo_a*pi^2)/i End T=T_1+(T_2-T_1)*(x_hat+2/pi*sum(theta[1..Nterm])) tol=theta[Nterm] "último término de la sumatoria" "Numérico" "Información previa" T_ini=1 DELTAx= ,25 "[ft]" : DELTAtime= 25/3600 "[hr]" M=t_sim/DELTAtime+1: N=L/ DELTAx+1: alpha=2,9652 [ft^2/hr] Fo=alpha*DELTAtime/DELTAx^2: "Construcción de los nodos (malla de nodos)" Duplicate i=1;N x[i]=(i-1)*DELTAx End "Construcción períodos de tiempo (malla de tiempo)" Duplicate j=1;M time[j]=(j-1)*DELTAtime
248 SISTEMAS CON GENERACIÓN
End "Condición inicial" Duplicate i=2;(N-1) "los nodos extremos están siempre en el valor de la perturbación" T[i;1]=T_ini End "Nodos límite de valor conocido i, N posición, j , M tiempo" Duplicate j=1; M T[1;j]=T_1 "nodo 1" T[N;j]=T_2 "nodo N" End
"MÉTODO EXPLICITO O DE EULER" "Controlar para DELTAtime máximo Fo< 1/2 ó Fo < 1/[2(1+Bi)]. En este caso, como no hay convección se usa la primera condición y se obtiene tmax= 151.8 s = 0.042 hr" "Nodos internos (Ecuación 4.88a)" Duplicate j=1; (M-1) Duplicate i=2;(N-1) T[i;j+1]=Fo*T[i-1;j]+(1-2*Fo)*T[i;j]+Fo*T[i+1;j] End End {MÉTODO COMPLETAMENTE IMPLICITO Incondicionalmente estable (se pueden seleccionar N y M independientemente. En Matlab la solución no es comparable puesto que no puede resolver expresiones implícitas.} "Condición inicial" Duplicate i=2;(N-1)"los nodos extremos están siempre en el valor de la perturbación" Y[i;1]=T_ini End "Nodos límite de valor conocido i, N posición, j , M tiempo" Duplicate j=1; M Y[1;j]=T_1 "nodo 1" Y[N;j]=T_2 "nodo N" End "Nodos internos (Ecuación 4.96a)" Duplicate j=1; (M-1) Duplicate i=2;(N-1) Y[i;j]=-Fo*Y[i-1;j+1]+(1+2*Fo)*Y[i;j+1]-Fo*Y[i+1;j+1] End End {MÉTODO DE CRANK - NICOLSON Combina los dos métodos anteriores y tiene mayor precisión que estos porque involucra dos estimaciones de la velocidad de cambio en cada nodo.} "Condición inicial" Duplicate i=2;(N-1) "los nodos extremos están siempre en el valor de la perturbación"
249 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
Z[i;1]=T_ini End "Nodos límite de valor conocido i, N posición, j , M tiempo" Duplicate j=1; M Z[1;j]=T_1 "nodo 1" Z[N;j]=T_2 "nodo N" End "Nodos internos (Ecuación 4.97a)" Duplicate j=1; (M-1) Duplicate i=2;(N-1) -Fo*Z[i-1;j+1]+(2+2*Fo)*Z[i;j+1]-Fo*Z[i+1;j+1]=Fo*Z[i-1;j]+(2-2*Fo)*Z[i;j]+Fo*Z[i+1;j] End End "COMANDO INTEGRAL DE EES" "Nodos límite de valor conocido i, N posición" T[1]=T_1 "nodo 1" T[N]=T_2 "nodo N" "Nodos internos" Duplicate i=2;(N-1) dTdt[i]=D_AB*(T[i-1]+T[i+1]-2*T[i])/DELTAx^2 T[i]=T_ini+integral(dTdt[i];time;0;t_sim) End $IntegralTable time: DELTAtime; T[1..N] Ejemplo 2.7
"EJEMPLO MEMBRANA ASIMÉTRICA" $UnitSystem SI mass C Pa Rad J N=10 duplicate i=1;N A[i]=2/i/pi end "Historia tiempo-posición de la temperatura de la placa" duplicate i=1;N theta[i]=A[i]*exp(-(i*pi)^2*Fo)*sin(i*pi*z_hat) end theta_t= sum(theta[1..N]) T=T_2+(T_1- T_2)*(1-z_hat-theta_t) Fo=D_AB*time/L^2 D_AB=5,75e-8 [m^2/s] "propiedades del sólido" z_hat=z/L L=0,1 [m]: T_1=4,8: T_2=2,45 time=3600: z=L/2
250 SISTEMAS CON GENERACIÓN
Se nota que durante la operación, el sólido se puede analizar como sólido semiinfinito pues la
penetración de la perturbación no supera el espesor de la membrana, así:
Para Fo=0,0625; time=10870 [s] = 3.02 hr; zp = 0.1 m Para Fo=0,0207 time=3600 [s] = 1 hr zp=0,05755 m Resultados para t = 3 hr y z = 0.5 m: cA = 2,483 kgmol/m
3 calculado por la ecuación (2.22) para placa asimétrica Bi > 40
cAinf= 2,483 kgmol/m3 calculado por la ecuación (1.51a) para sólido semi-infinito
Gráficos secuenciales: Se usa nomenclatura de temperaturas para utilizar las funciones preestablecidas que trae EES en las librerías "Heat Transfer & Fluid Flow Transient Conduction" o en "EES library routines transient conduction", aunque para el caso presente donde la correlación para sólido semi-infinito es tan sencilla podemos hacerlo directamente. Comenzamos creando los arreglos o mallas espaciales y de tiempo y luego resolvemos la ecuación en cada uno de estos puntos, lo que nos da una tabla con los correspondientes datos. Usando esta tabla creamos un gráfico con tantas curvas como queramos. En Plots New Plot XY, los valores de las abscisas se introducen señalando el arreglo x[i]. Sin embargo para las ordenadas seleccionamos una a una las T[j] que deseemos en la gráfica. Para el caso presente se escogieron curvas a intervalos de 1000 s entre 500 s y 10500 s: $UnitSystem SI Mass J K Pa Rad alpha=5,75e-8 [m^2/s] T_s=4,8 [kgmol/m^3] T_i=2,45 [kgmol/m^3] x_sim=0,1 [m] DELTAx=x_sim/(n-1) n=11 duplicate i=1;n x[i]=(i-1)*DELTAx end t_sim=10500 m=21 DELTAt=t_sim/m "500 [s] para este caso" duplicate j=1;m t[j]=j*DELTAt end duplicate j=1;m duplicate i=1;n {T[i;j]=SemiInf1(T_i;T_s;alpha;x[i];t[j])} "comando incluido en EES" T_s-T[i;j]=(T_s-T_i)*erf(x[i]/(2*sqrt(alpha*t[j]))) end end Si se dispone de la versión profesional se activa el gráfico secuencial en el tiempo dando clic derecho en la parte superior izquierda de la figura (Plot #) y en el cuadro de diálogo que aparece se le selecciona Time Sequence Display. Seleccione también la velocidad de la secuencia moviendo el indicador corredizo y Loop si quiere repetición indefinida. Al seleccionar 0K aparece en el gráfico en el extremo superior izquierdo un panel de control que permite diferentes acciones con la secuencia.
simulación4P ABz D t
251 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
Al hacer doble clic en el gráfico, en el cuadro de modificaciones se puede seleccionar en la parte inferior en "Display if frame #", si en la presentación se acumulan las curvas o si van desapareciendo cuando llega la nueva seleccionando en el cuadro "= 0" o ">=" respectivamente. En el cuadro a la derecha del anterior se especifica a partir de qué curva se realiza la presentación.
252 SISTEMAS CON GENERACIÓN
Figura 3.1. Placa plana con generación en estado inestable
CAPÍTULO 3 . SISTEMAS CON GENERACIÓN
SISTEMAS CON GENERACIÓN Y CONDICIÓN INICIAL NO HOMOGÉNEA
Cuando todos los términos del balance microscópico unidimensional son diferentes de cero,
el modelo matemático es una ecuación diferencial parcial no homogénea. Además, las
condiciones iniciales y de frontera pueden agregar más inhomogeneidades haciendo aún
más complicadas las soluciones analíticas. Como ilustración presentamos cuatro
situaciones de aplicación práctica.
3.1 Placa plana
Plantee una ecuación diferencial para el caso de una placa plana con generación en estado
inestable intercambiando calor con un medio a T constante. Su distribución de
temperatura inicial es parabólica. Sugerencia: Use el método de superposición para
resolver la ecuación diferencial parcial resultante.
Los casos en los que se genera calor en un sólido tienen
importantes aplicaciones técnicas. El calor puede generarse por
(i) el paso de una corriente eléctrica, (ii) calentamiento dieléctrico
o inductivo, (iii) descomposición radioactiva, (iv) absorción de
radiación, (v) generación mecánica en flujo viscoso o plástico,
(vi) reacción química, incluyéndose aquí situaciones tan diversas
como el fraguado del cemento y la maduración de las
manzanas. El término de generación puede ser función de la
temperatura y/o de la posición, o constante como se presenta en
el calentamiento dieléctrico, entre otros.
Utilizando coordenadas rectangulares y sabiendo que solo existen gradientes de
temperatura en la dirección z, colocando el origen coordenado en el plano de simetría se
obtiene el modelo matemático que describe esta situación:
, (3.1a)
donde k es conductividad térmica [W/m.K]; es difusividad térmica [m2/s].
t
T
kz
T H
12
2
253 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
La condición inicial es una distribución de temperaturas parabólica:
,
,
es la temperatura inicial en la superficie.
Con las siguientes condiciones límite o de contorno:
0t ; ; 0z plano de simetría o superficie adiabática,
0t ; ; z L superficie convectiva.
Se resuelve la ecuación por el método de superposición para lo cual introducimos el
siguiente cambio de variables: ,T z t F z . La ecuación (3.1a) y sus condiciones
límite toman la forma:
,
00, 0 ,t z L T F ,
0, 0,t z que es satisfecha por ,
0,t z L , .
Se puede decir:
; .
Como F no es función de t , se cumple que:
2 2
0 01 0 ; ; 0S
z zT T a T b a
L Lt z L
SOb a T
SOT
0
z
T
TTh
z
Tk
tkz
F
z
H
12
2
2
2
0
z
F
z0
z
F
z
TFh
z
F
zk
LzLz
hz
k
TFh
z
Fk L
Lz
254 SISTEMAS CON GENERACIÓN
. (3.1b)
Esto implica
, (3.1c)
F se obtiene mediante integración repetida de (3.1b) y las constantes de integración se
hallan a partir de las condiciones límite ya discutidas.
Integrando una vez:
,
1CL1: 0, 0 entonces 0dF
z Cdz
.
Integrando nuevamente
,
CL2: , Lz L
dFz L k h F T
dz
,
,
. (3.1d)
La función ,z t se obtiene resolviendo (3.1c) por separación de variables, pues se trata
de una ecuación diferencial parcial con condiciones de contorno homogéneas (permanecen
idénticas al multiplicar por una constante la variable dependiente ). Para ello se supone
que existen dos funciones z y G t , la primera función exclusiva de la posición y la
segunda función exclusiva del tiempo, tales que:
02
2
kz
F H
tz
12
2
1Czkdz
dF H
2
2
2C
k
zF H
TC
k
Lh
k
Lk HH
2
2
2
Th
LzL
kF HH 22
2
255 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
,
Reemplazando en (3.1c) y reorganizando se tiene:
,
donde es un número real. Se iguala a esta constante, ya que siendo cada lado función de
una variable diferente debe ser una constante. Esta constante es un número real y debe ser
una cantidad negativa para que no produzca soluciones triviales. De otra parte, este valor
es lógico pues la temperatura debe tener un valor finto cuando t aumenta indefinidamente.
Tenemos entonces dos ecuaciones diferenciales ordinarias lineales con coeficientes
constantes. La primera, de primer orden se resuelve por separación de variables:
2 21 entonces exp
dGdt G C t
G , (3.1e)
La segunda, de segundo orden:
.
Representando dDdz
, tendrá por ecuación auxiliar 2 2 0D con solución D i , i
la unidad imaginaria . Entonces:
, (3.1f)
Condición límite 1:
0, 0, 0 entonces 0 para solución no triviald dt zdz dz
,
2 3 2 200
cos sin 0 entonces 0z
z
dC z C z C C
dz
.
Condición límite 2:
entonces ya que no depende de z L z L
z L z L
k h k h G zz z
.
( , ) ( ) ( )z t z G t
2
2
211
dz
d
dt
dG
G
02
2
2
dz
d
1/2
1
zCzCBeAe zizi cossen 32
256 SISTEMAS CON GENERACIÓN
Reemplazando:
3 3sin entonces sin
LLz L
hkC z h C
k z
.
Calculando la ecuación para en z L con los valores hallados para y :
cos entonces tan por lo tanto tan
sin
LL
h L hL L L Bi
k L k
. (3.1g)
Todos los valores de que satisfagan la ecuación trascendental (3.1g) constituyen solución
particular de (3.1f). La solución más general se obtiene por superposición de las soluciones
particulares, a saber:
2
, 21
cos expn nnz t
z tA
L L
, (3.1h)
donde los valores propios n L son las raíces de la ecuación trascendental
tann n Bi , con hLBik
. La función propia de este problema de valor propio es la
función cos nzL
. 1 3nA C C , la cual engloba las dos constantes de integración a
determinar.
Aplicando la condición inicial 0t y utilizando las propiedades de ortogonalidad que
presentan las funciones propias, multiplicamos ambos lados de ,0z por ,0z e
integrando se tiene:
. (3.1i)
Ahora reemplazando los valores de 0T y F , la integral de la izquierda es
2
20 2
0 0
cos cos cos .2 2
L Ln n nH H Hz z zL L a
T F dz b T dz z dzL k h L k LL
2C 3C
LL
nn
n dzL
zAdz
L
zFT
00
2
0 coscos
257 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
Se estiman a continuación las diferentes integrales involucradas en (3.1i)
2 2
00 0 0
cos 2 1 sin 2cos cos
2 4 2
sin 2 sin cos.
4 2 2
nn nLn
n n n
n n n n n
nn
u uz L L L udz udu du
L
LN
L
La integral de cos cz es 1
sin czc
. La integral restante deberá hacerse por partes y de
manera recurrente:
2
2
0 0
2cos sin sin
L Lz
z cz dz cz z cz dzc c
,
0 0
1sin cos cos
L Lz
z cz dz cz cz dzc c
.
Se obtiene entonces que:
3 3 3 3 3 32
2 3 2 30
2 2 2 2cos sin cos sin cos sin .
Ln
n n n n nn nn n n n
z L L L L L Lz dz
L
Teniendo en cuenta los valores de las integrales anteriores, las constantes nA son:
2 2
0 2 2 2
2 42 sin cos
2
sin cos
H H Hs n n
nn nn
n n n
L L a L aT T
h kk LA
.
Finalmente la expresión para el perfil de temperaturas es:
2
2 2, 2
1
cos exp2
n n H Hnz t
z t LT A L z T
L k hL
. (3.1j)
258 SISTEMAS CON GENERACIÓN
NOTA: Si la distribución inicial de temperaturas es uniforme e igual a 0sT , se aplica la
misma ecuación con 0a .
Como aplicación numérica se presenta el siguiente ejemplo:
Ejemplo 3.1: (Ejemplo 5.9 en Incropera 1990 modificado). Un elemento combustible de un
reactor nuclear tiene la forma de una placa plana de espesor 2 20 mmL y está enfriado
desde sus dos superficies con coeficiente convectivo 2W1100
m .K y 250T C . En
operación normal genera 7
3W10
mH . Si repentinamente esta potencia aumenta a
72 3
W2 10m
H , determine la nueva distribución de temperaturas en la placa después
de transcurridos 3 s y después de alcanzar nuevamente el estado estable. ¿Cuánto tiempo
se requiere para establecerse? Las propiedades térmicas del elemento de combustible
nuclear son conductividad térmica W30m.K
k y 26 m5 10
s .
Solución analítica
En estado estable la ecuación (3.1a) del presente ejemplo se reduce a:
,
con las condiciones límite
CL1: ; z = 0 plano de simetría o superficie adiabática,
CL2: z = L superficie convectiva.
Integrando una vez
,
aplicando la primera condición límite C1 = 0. Integrando nuevamente:
02
2
kz
T H
0
z
T
TTh
z
Tk
1Czkdz
dT H
259 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
,
CL2:
2 2
2 2 entonces 2 2
H H H HL L L Lk h C T C T
k k h k
,
Se observa que cuando h tiende a infinito, , la temperatura de la superficie z = L, tiende
a la temperatura del medio.
Para el caso presente, reemplazando los valores numéricos, en la situación inicial la
distribución de temperaturas es:
, (3.2a)
y cuando nuevamente se alcanza la condición de estado estable:
. (3.2b)
Se observa que el origen coordenado se toma en el plano de simetría por lo cual la longitud
característica L es el semiespesor (10 mm).
Reemplazando los valores numéricos anteriores, la expresión (3.1j) toma la forma:
, (3.2c)
Con .
Para apreciar la rápida convergencia de esta serie haremos evaluaciones en diferentes
posiciones y tiempos. El estado estable corresponderá a t = 0 y el a t = .
Evaluamos Biot:
2
2
2C
k
zT H
T
h
L
L
z
k
LT HH
22
12
ST
T
2
1 16.667 1- 340.910.01
zT C
2
2 33.334 1 431.820.01
zT C
2 5 2
1
( , ) cos exp 0.05 3.333 10 465.150.01
nn n
n
zT z t A t z
nnn
nnnnA
cossen
)/66.66(82.181/cos66.66 2
1T 2T
260 SISTEMAS CON GENERACIÓN
1100 0.01 0.3670.367 entonces tan
30n
n
hLBi
k
.
Utilizando el método de Newton de convergencia obtenemos:
= 0.5711; = 3.2539; = 6.3410; = 9.4635, y, respectivamente
A1 = 107.79; A2 = 0.216; A3 = 0.0167; A4 = 0.00304.
Tomando solo los dos primeros términos de la sumatoria obtenemos:
Ecuación (3.11) Ecuación (3.13) Ecuación (3.12) Ecuación (3.13)
z = 0 T1 = 357.58 T(0,0) = 357.58 T2 = 465.15 T(0,) = 465.15
z = L/2 T1 = 353.41 T(0.005,0)=353.38 T2 = 456.82 T(0.005,)=456.82
z = L T1 = 340.91 T(0.01,0) = 340.92 T2 = 431.82 T(0.01,) = 431.82
Tabla 3.1. Temperatura del elemento combustible del reactor nuclear a diferente longitud y usando diferente ecuación
En la Tabla 3.1 las longitudes están en metros y las temperaturas en °C.
Es de anotarse que para este sistema, después de 300 s, la temperatura en el centro
T(0.005,300) difiere menos de un grado centígrado respecto a la de estado estable T2, y
después de 500 s difiere en menos de 0.1 °C.
Solución numérica
Solución: Para resolver este ejercicio usaremos el método de diferencias finitas según
Crank – Nicolson. Para comenzar, la distribución inicial de temperaturas debe conocerse.
Para placa plana con generación, simétrica y en estado estable. Del capítulo 1 tenemos
tomando como origen coordenado el plano central de la placa, de donde para z = 0, dT/dz =
0.
, (3.2d)
TS se obtiene por la condición límite para z = L
.
También la podemos obtener, en estado estable, igualando el calor generado en la mitad
del volumen al perdido por convección:
1 2 3 4
SH T
L
z
k
LT
22
1 12
TThdz
dTk S
Lzh
LTT H
S1
261 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
°C.
Para cualquier punto entre 0 z L, la distribución inicial de temperaturas será:
.
Debido a la simetría podemos considerar la mitad de la placa sabiendo que el perfil se
reflejará en la otra mitad como en un espejo. Con esto en mente seleccionamos nuestro
origen coordenado en el plano de simetría que equivale entonces a una superficie
adiabática. El espesor a analizar es entonces de 10 mm. Tomando z = 10/4 = 2.5 mm
tendremos 5 nodos para analizar (9 para la placa completa). El nodo cero adiabático, los
nodos 1, 2, y 3 internos y el 4 es convectivo. Todos ellos con generación. Observando las
respectivas ecuaciones se aprecia que la condición de estabilidad más restrictiva es la del
nodo convectivo: (Bi + 1)Fo 1.
Calculamos Biot
= = 0.0917 .
Fo = 0.916.
Entonces
tmax = = 1.145 s.
Si seleccionamos t = 0.75 s < tmax, después de cuatro incrementos de tiempo
alcanzaremos el tiempo requerido de 3 s y Fo = (5x10-6)(0.75)/(0.0025)2 = 0.6 < 0.916.
Con estos valores, reemplazamos en las respectivas correlaciones:
Nodo cero (ecuación 4.23):
,
)( TThALA SzzH 91.3401100
)01.0)(10(250
7
ST
91.34001.0
167.16)(
2
0
zzT
k
zhBi
30
)0025.0)(1100(
0917.1
1
6
2
105
)0025.0)(916.0(x
7 6
1 1
0 1 0 1
(2 10 )(5 10 )(0.75)1.6 (0.6) 0.4 (0.6)
30
t t t tT T T T
262 SISTEMAS CON GENERACIÓN
.
Nodo uno (ecuación 4.22b):
,
Nodo dos (ecuación 4.22b):
,
Nodo tres (ecuación 4.22b):
,
Nodo cuatro (ecuación 4.24a):
.
Este sistema de ecuaciones simultáneas puede resolverse por el método de inversión de
matrices. Expresando la ecuación en la forma [A][T] = [C] donde:
La matriz [C] se calcula en el tiempo (t) y provee las temperaturas de los diferentes nodos
en el tiempo (t+1). Para la distribución inicial de temperaturas, o sea t = 0 los valores de las
/ 2.5 H t k C
5)6.0()8.0()6.0()6.0()2.3()6.0( 210
1
2
1
1
1
0 tttttt TTTTTT
5)6.0()8.0()6.0()6.0()2.3()6.0( 321
1
3
1
2
1
1 tttttt TTTTTT
5)6.0()8.0()6.0()6.0()2.3()6.0( 432
1
4
1
3
1
2 tttttt TTTTTT
5.2)6.0(345.05.27)6.0()655.1( 34
1
3
1
4 tttt TTTT
66.16.0000
6.02.36.000
06.02.36.00
006.02.36.0
0006.06.1
A
1
4
1
3
1
2
1
1
1
0
t
t
t
t
t
T
T
T
T
T
T
5.26.0345.05.27
56.08.06.0
56.08.06.0
56.08.06.0
5.26.04.0
34
432
321
210
10
tt
ttt
ttt
ttt
tt
t
TT
TTT
TTT
TTT
TT
C
263 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
temperaturas las obtenemos de la ecuación (3.2d) para estado estable haciendo z = 0,
2.5, 5, 7.5 y 10 mm respectivamente. Se obtienen los siguientes valores:
Multiplicando [A]-1 (la matriz inversa de [A]) por [C]0 se obtienen las temperaturas de los
diferentes nodos las que a su vez nos generan [C]1 que al multiplicarse por [A]-1 genera los
y así sucesivamente se continúa tantos incrementos de tiempo como se requiera.
Obtenemos finalmente:
t t[s]
0 0 357.58 356.54 353.41 348.20 340.91
1 0.75 358.83 357.78 354.62 349.23 341.00
2 1.50 360.06 358.99 355.73 350.07 341.70
3 2.25 361.36 360.43 357.13 351.23 342.57
4 3.00 362.63 361.52 358.09 352.11 343.49
Tabla 3.2. Distribución de temperaturas con la solución numérica
A partir de la solución usando EES (ver código en sección NOTAS al final del capítulo) se
obtienen la Figura 3.2 solución analítica y Figura 3.3 solución numérica.
0
mT
91.340
20.348
41.353
54.356
58.357
0T
53.356
15.700
57.710
83.716
46.359
0C
1
mT
2
mT
tT
0
tT
1
tT
2
tT
3
tT
4
264 SISTEMAS CON GENERACIÓN
Figura 3.2. Solución analítica de la placa con generación
Figura 3.3. Solución numérica (Crank Nicolson) de la placa con generación
0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 0,009 0,01300
350
400
450
500
z [m]
T °
CPlaca con Generación
Tiempo 3 [s]
Tiempo 300 [s]
Tiempo 500 [s]
0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 0,009 0,01300
350
400
450
500
z [m]
T [
°C]
Plate with generation
Crank Nicolson
Time 0 [s]
Time 3 [s]
Time 30 [s]
Time 60 [s]
Time 90 [s]
Time 180 [s]
Time 270 [s]Time 300 [s]
265 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
Los valores obtenidos para dos tiempos diferentes se observan en la Tabla 3.3.
z T [°C] T [°C]
[m] t=3 [s] t=500[s]
0 362,6 465,1
0,001 362,4 464,8
0,002 361,9 463,8
0,003 361 462,1
0,004 359,9 459,8
0,005 358,3 456,8
0,006 356,5 453,1
0,007 354,2 448,8
0,008 351,7 443,8
0,009 348,7 438,1
0,01 345,4 431,8 Tabla 3.3. Valores a diferentes tiempos
3.2 Difusión con reacción química homogénea régimen no estacionario
El presente es un ejercicio académico que pretende dos objetivos: primero mostrar como
dos fenómenos físicos pueden describirse por un mismo modelo matemático creando
situaciones de similitud que permiten eventualmente obtener conclusiones sobre un sistema
experimentando con el otro. En segundo lugar, acentuar el hecho según el cual, aunque
podamos obtener el modelo matemático de un sistema real, es decir la ecuación diferencial
y las condiciones iniciales y de frontera que lo describen, no siempre se puede resolver
analíticamente, y aun pudiéndose, la ecuación resultante es engorrosa de usar y poco
flexible. Surge entonces como alternativa el uso de métodos numéricos que, poco
aplicables para cálculo manual, se convierten en un poderoso auxiliar con la ayuda de la
programación de computadores.
Se analiza un proceso de absorción con reacción química en un medio semiinfinito, siendo
k’ la constante de velocidad de reacción de primer orden. Consideremos un medio semi-
infinito que se extiende desde el plano límite z = 0 hasta z = ∞. En el instante t = 0 la
sustancia A se pone en contacto con este medio en el plano z = 0, siendo la concentración
superficial cAs (para la absorción del gas A por el líquido B, cAs sería la concentración de
saturación). A y B reaccionan para producir C según una reacción homogénea irreversible
de primer orden A + B C. Se supone que la concentración de A es pequeña. El modelo
matemático se expresa así:
, (3.3a) AA
ABA ck
z
cD
t
c'
2
2
266 SISTEMAS CON GENERACIÓN
con las condiciones:
t = 0 , ,cA = cAo = 0.
t > 0 , z = 0 : cA = cAs = constante.
t > 0 , z = ∞ : cA = 0 = cA∞.
Esta situación corresponde a muchos casos reales entre los que mencionamos la
contaminación atmosférica con NO2 y su destrucción por reacción fotoquímica, o el
consumo de CO2 en el seno de un cuerpo de agua por fotosíntesis.
Por transformación de Laplace, la transformada de la ecuación (3.3a) es (aquí usamos la
variable “s” en lugar de ”p” utilizada en la presentación introductoria a la transformada de
Laplace):
,
.
La solución de esta ecuación diferencial ordinaria es1:
,
con ; C1 y C2 constantes de integración a determinar.
Las condiciones límite son valores constantes. La última, t > 0, z ∞ , cA = 0, requerimos
calcular:
.
Por la propiedad de convergencia uniforme:
1 Colaboración del Profesor Omar E. Ospina A. [email protected]
0z
ztcsLztcLk
dz
sfdD AAAB ,,'
2
2
0
'2
2
sf
D
ks
dz
sfd
AB
KzCKzCsf expexp 21
ABD
ksK
'
0
, dtztceLimsfLim A
st
zz
267 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
.
Por esta razón es finita para z = ∞; por lo que C1 = 0.
Aplicando entonces la otra condición límite, z = 0, cA = cAs,
,
por lo que C2 = cAs/s. La solución es entonces:
.
Para calcular la transformada inversa de esta expresión aplicamos la convolución sabiendo
que por definición:
.
Utilizando la propiedad según la cual, si se conoce la transformada inversa de dos
funciones se puede conocer la transformada inversa del producto de las dos funciones a
través de la convolución de las transformadas inversas:
,
con
y .
Haciendo entonces:
y .
Sabiendo que ítem 82 tabla 8 – 1 (Mickley H. S., 1957):
0,0
dtztcLimesfLim Az
st
z
sf
s
cdtztcLimesfLim As
Az
st
z
0
00,
'exp
'exp ks
D
z
s
c
D
ksz
s
csf
AB
As
AB
As
tt
dvvtfvgtftgdvvtgvftgtf00
**
sHsGthtgL * thtgsHsGL *1
tgsGLtgLsG 1 thsHLthLsH 1
11
tgs
sg
'exp ks
D
zsh
AB
268 SISTEMAS CON GENERACIÓN
, siendo m una constante, en este caso z/(DAB)0.5.
Entonces:
.
La traslación en variable s se define así:
Si .
Entonces:
= .
Haciendo entonces la convolución de las transformadas inversas:
, con g(t- u) = 1,
.
Cambio de variable: haciendo 3
entonces 2 4AB AB
z zd du
D u D u ,
2
24 AB
zu
D .
Si 0 entonces u .
Si entonces 2 AB
zu t n
D t .
t
m
t
msmL
4exp
2exp
2
2/3
1
tD
z
tD
zsmL
ABAB4
1exp
2
1exp
2
2/3
1
asHtheLsHthL at
tD
z
tD
ztkks
D
z
D
zL
ABABABAB
4
1exp
2
'exp'exp
2
3
1
tD
ztk
tD
zth
ABAB4
'exp 2
2
3
t
AB
As duutguhksD
z
s
cL
0
1 'exp
t
ABAB
AsA duuD
zuk
uD
zcc
0
2
3 4'exp
2
269 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
La integral queda:
,
reconociendo que: ,
con y , llegamos a:
(3.3b)
Para la primera integral hacemos:
.
Si entonces 'n v n k t .
Si entonces v .
Para la segunda integral hacemos:
.
Si entonces 'n w n k t .
Si entonces w .
Por lo tanto:
n
2
AB
22
As
A dD4
z'kexp
2
c
c
1
2
a
2
a12
22
ABD
kza
'
tD2
zn
AB
2
2
2
2
' 1 'exp 1 exp
2 2
' 1 'exp 1 exp
2 2
A
As AB AB
n
AB AB
n
c k a k zz d
c D D
k a k zz d
D D
z
D
kv
AB
'
2
1
da
dv
221
z
D
kw
AB
'
2
1
da
dw
221
270 SISTEMAS CON GENERACIÓN
.
Reemplazando en (3.3b):
3.3b1 ' 1 '
exp ' ex -ip ' .2 22 2
A
AS AB ABAB AB
c k z k zz erfc k t z erfc k t
c D DD t D t
La densidad de flujo molar en la interfase será:
. (3.3c)
Además, los moles totales del compuesto A absorbidos por el líquido B en un tiempo t0 por
unidad de área:
. (3.3c-i)
Para valores grandes de k’t0 obtenemos:
, (3.3b-ii)
,
. (3.3c-ii)
Si k’t0> 2 el error de esta última expresión es menor del 3%.
Ejemplo 3.2: (Problema 7.14 en Cutlip, p. 310, ejemplo 7.5-3 en Geankoplis p. 513,
modificado). Se absorbe CO2 puro gaseoso a 101325 Pa de presión en una solución
amortiguadora alcalina diluida que contiene un catalizador. El soluto CO2 absorbido y
diluido experimenta una reacción de primer orden con k’ = 35 y DAB = 1.5x m2/s. La
solubilidad está dada por la ley de Henry con H = 2.961x kgmol/m3.Pa. La superficie
tkn
wa
tkn
va
As
A dweedveec
c
''
221
tk
etkerfkDc
z
cDN
tk
ABAs
z
AABzA
'''
'
00
00
0
00 'exp1
''2
1' tktkerf
tktktDcM ABAsA
ABAs
A
D
kz
c
c 'exp
ABAszAAs DkcNN '0
0
0
0'2
1'
t
ABAsAsAk
tDkcdtNM
1s 910
710
271 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
está expuesta al gas durante 0.010 s. Calcule los kgmol de CO2 absorbidos/m2 de
superficie.
La masa absorbida por unidad de superficie puede obtenerse como
.
Esta es el área bajo el perfil de concentraciones. Para métodos numéricos puede aproximar
este valor teniendo en cuenta que el nodo cero tiene concentración constante y actúa solo
sobre 2
z .
Solución analítica: se usa la ecuación (3.3c-i) del desarrollo anterior teniendo presente que
la concentración en la superficie, cAs se obtiene a partir de la ley de Henry y la presión
parcial del soluto en la fase gaseosa: cAs = PAH = 0.03 kgmol/m3.
Reemplazando en (3.3c-i) se realiza la solución en EES (ver código en sección NOTAS al
final del capítulo) y se obtienen los siguientes resultados:
c_As=0,03 D_AB=1,500E-09
H=2,961E-07 k_hat=35 [1/s]
M_A=1,472E-07 [kgmol/m^2] P=101325
t_o=0,01
En el método numérico es simplemente el caso de un medio semi-infinito con temperatura
de superficie constante y, conocido el tiempo de contacto se puede determinar la
penetración, espacio para el cual se hace el análisis.
Para hacer el gráfico de los perfiles de concentración, usando la ecuación (3.3b-i), se
considera que siendo un sistema semi-infinito y conocido el tiempo de análisis, el z
penetrado, = 1.55x10-5 [m], seleccionamos esta longitud de simulación.
Se obtiene el siguiente arreglo:
C[i;1] t[i] x[i] C[i;2] C[i;3] C[i;4] C[i;5]
0,03 0,002 0 0,03 0,03 0,03 0,03
0,02011 0,004 0,000001 0,02255 0,02358 0,02416 0,02453
0,01203 0,006 0,000002 0,01609 0,01795 0,01903 0,01973
0,006352 0,008 0,000003 0,01085 0,0132 0,01463 0,01559
0,002931 0,01 0,000004 0,006877 0,00934 0,01095 0,01207
0,001173 0,000005 0,004083 0,006346 0,007965 0,009146
L
AoAA dzccM0
4p ABz D t
272 SISTEMAS CON GENERACIÓN
0,0004058 0,000006 0,002265 0,004131 0,005621 0,006775
0,0001207 0,000007 0,00117 0,002572 0,003842 0,004899
0,0000308 0,000008 0,0005624 0,001529 0,002542 0,003454
0,000006726 0,000009 0,0002509 0,0008668 0,001625 0,002373
0,000001255 0,00001 0,0001038 0,0004683 0,001003 0,001587
1,997E-07 0,000011 0,00003979 0,0002408 0,0005975 0,001032
2,708E-08 0,000012 0,00001412 0,0001178 0,0003432 0,0006527
1,667E-09 0,000013 0,000004631 0,00005476 0,00019 0,000401
1,631E-10 0,000014 0,000001404 0,00002419 0,0001013 0,0002393
3,009E-36 0,000015 3,934E-07 0,00001015 0,00005199 0,0001386 Tabla 3.4. Datos necesarios para generar la Figura 3.4
Al graficar estos datos se obtiene la Figura 3.4. Se destaca el uso de la técnica para
generar múltiples curvas en forma simultánea, sin necesidad de crear previamente la tabla
paramétrica.
Figura 3.4. Perfil de concentración sistema semi-infinito
3.3 Conducción en una aleta en el periodo transitorio
La ecuación , (3.5a)
0 0,000005 0,00001 0,0000150
0,005
0,01
0,015
0,02
0,025
0,03
0,035
z [m]
cA (
z,t
) [k
gm
ol/m
3]
t=0.01 [s]
t=0.002 [s]
Dt=0.002 [s]
t
T
kA
TTPh
z
T
z
12
2
273 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
con condiciones
t = 0 , : T = = en un comienzo está en equilibrio con los alrededores.
t > 0 , z = 0 : T = temperatura de la base constante.
t > 0 , z = ∞ : T = aleta larga.
Describe una aleta de enfriamiento infinita en estado transitorio en un medio de temperatura
y coeficiente convectivo h, en sus momentos iniciales (o aleta de calentamiento en sus
momentos finales). Haciendo , con constante, las condiciones límite para
las ecuaciones (3.3a) y (3.5b) se hacen idénticas:
; , constante. (3.5b)
t = 0 , : T = = = 0,
t > 0 , z = 0 : T = ,
t > 0 , z = ∞ : T = = 0.
Por lo tanto, la solución será idéntica. Haciendo las correspondientes equivalencias en
símbolos:
. (3.5c)
Esta expresión, es equivalente en todas sus partes al perfil de concentraciones, ecuación
(3.3b-i).
Para aletas finitas y diferentes condiciones iniciales y de frontera, (Carslaw, 1959) trae
varias soluciones (sección 4.7, p. 144 – 146). Sin embargo, estas y otras soluciones, como
hemos visto, son bastante laboriosas, por lo que es una buena opción recurrir a las
soluciones por métodos numéricos.
SOLUCION EN DIFERENCIAS FINITAS
Las ecuaciones (3.3a) y (3.5a) pueden expresarse en términos de diferencias finitas de
manera sencilla:
Método implícito, aleta unidimensional transitoria sin generación:
z0T T
ST
T
T
T T T
mzt
2
2
zPz AC
Ph
kA
Phm
z0T T
0 T T
ST S ST T
T T T
12
exp exp2 2S
m z m zz erfc mt z erfc mt
t t
274 SISTEMAS CON GENERACIÓN
Nodo interno:
.
Reorganizando:
,
Donde
; ; ;
Aquí P es perímetro, Az área perpendicular a z, z coincide con el eje de la aleta. Para
transferencia de masa:
.
Por un balance obtenemos el nodo del extremo, M:
.
Reorganizando:
.
Para transferencia de masa, comparando las ecuaciones (3.3a) y (3.5b), T se sustituye por
cA, por DAB y
.
Método explícito, aleta unidimensional transitoria sin generación:
Nodo interno (m):
t
TT
kA
TTPh
z
TTT t
m
t
m
z
t
m
t
m
t
m
t
m
11
2
1
1
11
1 12
t
m
t
m
t
m
t
m TTBiFoLFoTTBiFoLFoFoT
*1
1
1*1
1 21
2z
tFo
k
zhBi
zASL /* zPS
AB
k zBi
D
1 1 1
11 1 02 2
t t t t
z M M M MP zt t
z M M
kA T T T TPh z C A zhA T T T T
z t
* 1 1 *
11 2 2 2 2t t t
M M MFo BiFo BiFoL T FoT BiFo BiFoL T T
'
AB z
k Ph
D kA
275 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
,
Para estabilidad, .
Nodo extremo, M:
,
Para estabilidad, , más restrictivo que los otros nodos.
Ejemplo 3.5: (Ejemplo 4.10 en Holman, modificado). Una varilla de acero (k = 50 W/m.K)
de 3 mm de diámetro y 10 cm de largo, se encuentra inicialmente a 40 °C. En el tiempo
cero, se sumerge en un fluido con h = 50 W/m2.s y T∞ = 40 °C, mientras que uno de sus
extremos se mantiene a 200 °C. Determine la distribución de temperaturas en la varilla
después de 40 s. Las propiedades del acero son = 7800 kg/m3 y CP = 470 J/kg.K. Tome
z = 2.5 cm, t = 10 s. Use el método implícito. ¿Cuál será el tiempo necesario para
alcanzar el estado estacionario?
Figura 3.5. Ej 3.5: Nodos varilla de acero
MÉTODO ANALÍTICO
Se observa que, para el tiempo de simulación, usando el criterio de peneteración para
sólido semi-infinito, , con la longitud de esta aleta el tiempo máximo es 50 [s]. Por
esta razón la ecuación (3.5c) puede aplicarse. La distribución de temperaturas en estado
estable para una aleta de sección transversal constante, finita, con extremo convectivo se
obtiene con la expresión (Betancourt G., 2016), cap. 1):
.
t 1 * *
m 1 1T 1 2 t t t
m m mFo BiFoL T FoT FoT BiFoLT
*1/ 2Fo BiL
t 1 * *
1T 1 2 2 2 2t t
M M MFo BiFo BiFoL T FoT BiFo L T
*1/ 2 2Fo Bi BiL
2
z
200
40
sT C
T C
4321
2.5z cm
z z z z
4Pz t
]senh[)/(]cosh[
)](senh[)/()](cosh[
mLmkhmL
zLmmkhzLm
TT
TT
L
L
SS
276 SISTEMAS CON GENERACIÓN
A partir de la solución usando EES (ver código en la sección NOTAS al final del capítulo) se
obtienen los T[i;j] en la Tabla 3.5, la Figura 3.6 y los siguientes resultados:
x[i] m T[i;1] T[i;2] T[i;3] T[i;4] T[i;5]
10 s 20 s 30 s 40 s 50 s
0 200 200 200 200 200
0,025 60,2 83,31 97,29 106,4 112,9
0,05 40,38 44,82 51,7 58,47 64,43
0,075 40 40,2 41,25 43,22 45,71
0,1 40 40 40,07 40,34 40,9 Tabla 3.5. Resultados T[i;j]
alpha=0,00001364 m2/s A_z=0,00002827 m2
m = 0,004546 [1/s] Perímetro = 0,009425 [m]
q=18,26 [1/m]
Figura 3.6. Perfil de temperatura método analítico
Se observa que la onda de temperatura comienza a alcanzar el extremo para este tiempo.
0 0,025 0,05 0,075 0,10
50
100
150
200
z [m]
T(z
) [°
C]
Intervalos de 10 [s]
Perfil a los 10 [s]
Perfil a los 50 [s]
Perfil en estado estable
277 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
MÉTODO IMPLÍCITO
Usando un método numérico se hace el cálculo para una aleta finita (ver código en la
sección NOTAS), haciendo incrementos de tiempo de 1 [s] y de espacio de 1 [cm] se
obtiene la Tabla 3.6 para los T[i;j+1]:
x[i] T[i;1] T[i;2] T[i;3] T[i;4] T[i;5]
0 s 10 s 20 s 30 s 40 s
0 200 200 200 200 200
0,025 40 64,1 81,11 93,41 102,5
0,05 40 43,63 48,76 54,29 59,68
0,075 40 40,56 41,76 43,5 45,65
0,1 40 40,16 40,62 41,44 42,62 Tabla 3.6. Distribución de T con el método implícito
Para determinar el tiempo necesario para alcanzar el estado estable, se toma un tiempo de
simulación de 600 s, obteniéndose los siguientes resultados:
Bi=0,025 Fo=0,2182
L_car=8,333 p_f=600 [s]
q=18,26 [1/m]
Figura 3.7. Perfil de temperatura método implícito
0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10
50
100
150
200
z [m]
T(z
) [°
C]
Intervalos de 50 [s]
Perfil a los 50 [s]
Perfil a los 300 [s]Perfil a los 300 [s]
Perfil en estado estable
278 SISTEMAS CON GENERACIÓN
Se hace notar que para el método explícito Fo debe ser menor que 0.44. Con el análisis
numérico se concluye que para tiempos mayores a 500 [s] los perfiles prácticamente se
superponen con el perfil de estado estable por lo que este valor del tiempo puede aceptarse
como el necesario para alcanzar el estado estable.
El flujo de calor en cualquier instante debe evaluarse aplicando la “Ley de Newton del
enfriamiento” a cada nodo, teniendo en cuenta que para el nodo cero el área para
convección es
2P z
y para el nodo cuatro es
2 zP z
A
.
3.4 Transferencia de calor en estado transitorio con generacion, simetria esferica
Se analiza el caso de un sistema con simetría esférica con generación uniforme de calor y
condición inicial no uniforme. Este análisis se hace resolviendo el modelo matemático, una
ecuación diferencial parcial no homogénea, tanto analítica como numéricamente. Como
aplicación práctica se aplica al manejo de materiales biológicamente activos como frutas y
verduras. Las ecuaciones resultantes en ambos casos se resuelven con ayuda del software
EES. Se adiciona un código en el software Matlab al final del capítulo.
Solución analítica
Una esfera transfiriendo calor en estado transitorio con generación está descrita por el
siguiente modelo matemático:
. (3.6a)
La condición inicial, para t = 0, no uniforme: la distribución de temperaturas para una esfera
en estado estable con generación viene dada por:
. (3.6b)
En estas ecuaciones es energía generada, W/m3, k es conductividad térmica del sólido
W/m.K, es el coeficiente convectivo en el medio W/m2.K; R es el radio de la esfera, 0 ≤ r
≤ R es la variable radial, t es la variable tiempo, T son temperaturas y el subíndice 0 se
refiere a condiciones iníciales. Las condiciones de frontera o límite son: para r = 0,
y en la superficie convectiva, para
2
2
1 1
T Tr
t r r r k
2 2
0 0
06 3
RT T R r
k h
0h
T/ r 0 , r R
279 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
. (3.6c)
La ecuación (3.6a) es una ecuación diferencial parcial no homogénea. Para homogenizarla,
sabiendo que este proceso alcanza un nuevo estado estable para un tiempo
suficientemente grande, proponemos la solución como la diferencia entre la solución de
estado estable y una función transitoria . Debe cumplirse para la nueva condición de
estado estable que:
, (3.6d)
por lo cual
. (3.6e)
Haciendo , reemplazando en (3.6a) y restando de (3.6e) se obtiene
. (3.6f)
Haciendo cambio de variable la ecuación (3.6f) toma la forma
. (3.6g)
Esta ecuación tiene condiciones de frontera homogéneas por lo que puede resolverse por
el método de separación de variables. Suponemos que su solución es de la forma
. Al reemplazar en (3.6g) y reorganizando se tiene
, (3.6h)
donde es un número real. Se iguala a esta constante pues siendo cada lado función de
una variable diferente debe ser una constante. Esta constante es un número real y debe ser
una cantidad negativa para que no produzca soluciones triviales. De otra parte, este valor
es lógico pues la temperatura debe tener un valor finito cuando t aumenta indefinidamente.
Tenemos entonces dos ecuaciones diferenciales ordinarias lineales con coeficientes
constantes. La primera, de primer orden se resuelve por separación de variables:
Tk h T T
r
eT tT
2
2
1 10
e eT Tr
t r r r k
2 2
6 3e
RT T R r
k h
e tT T T
2
2
1 1
t tT Tr
t r r r
tu T r
2
2
1
u u
t r
,u r t F r G t
22
2
1 1dG d F
G dt F dr
280 SISTEMAS CON GENERACIÓN
. (3.6i)
La segunda, de segundo orden
. (3.6j)
Usando el operador , esta ecuación tendrá por ecuación auxiliar
con solución , siendo i la unidad imaginaria . Entonces
, (3.6k)
CL1: t > 0 ; r = 0 ; = 0 = 0 para solución no trivial.
Condición límite 2: en r = R,
ya que G no depende de r.
Reemplazando:
,
Hemos reemplazado , numero de Biot.
Simplificando
. (3.6l)
Todos los valores de que satisfagan la ecuación trascendental (3.6l) constituyen una
solución particular de (3.6k). La solución más general se obtiene por superposición de las
soluciones particulares, a saber:
(3.6m)
es decir
2dGdt
G
2
1 exp( )G C t
22
20
d FF
dr
/D d dz 2 2 0D F
D i 1i
2 3 cos i r i rF Ae Be C sen r C r
F T r 3C
r Rr R
F hRF R F
r k
2 2 2sin cos sinC R RC R BiC R
/Bi hR k
1 cotn nR R Bi
n
2
21
, sin expn n
n
n
r tu r t C
R R
281 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
. (3.6n)
Aquí hemos reemplazado , Fourier, un tiempo adimensional y donde los
valores propios son las raíces de la ecuación trascendental ,
con , el número de Biot. La función propia de este problema de valor propio es
la función . , engloba las dos constantes de integración a
determinar. Aplicando la condición inicial (t = 0 ) y utilizando las propiedades
de ortogonalidad que presentan las funciones propias, multiplicamos ambos lados de
por e integramos:
. (3.6o)
Restando (3.6b) de (3.6e) se obtiene:
,
, (3.6p)
, (3.6q)
. (3.6r-i)
Hemos introducido . Cuando .
Recordando que podemos demostrar que:
2
1
sin /, exp
n
t n n
n
r RT r t C Fo
r
2/Fo t R
n nR 1 cotn n Bi
/Bi hR k
sin /nr R1 2nC C C
0 0t eT T T
,0tT r sin /nr r R
2
0
00
sin / sin /
RR
e n n nT T r r R dr C r R dr
0 0 0
0
1 1
3e
RT T T T A
h h
0 02 sin cos 2 sin
sin cos sin cos
n n n nn
n n n n n n n n
A R A RBiC
, ,e tT r t T r T r t
2 2
2
0
1
sin *sin2 exp
6 3 sin cos *
nnn
n n
R r rRT T BiA Fo
k h r
* /r r R
sin ** 0, 1
*
n
n
rr
r
2 2sin cos 1n n
282 SISTEMAS CON GENERACIÓN
. (3.6p-i)
Esta expresión puede ser más fácil de utilizar. Finalmente:
. (3.6r-ii)
Si la condición inicial es , , entonces (Carslaw, 1959) p.
246.
. (3.6s)
Esta es la distribución de temperatura en estado estable para una esfera con temperatura
cero en la superficie (lo que hace ), y en la superficie se intercambia
calor por convección con un medio a .
Por L’Hopital cuando r → 0, .
Ejemplo 3.4:.(Incropera 2007 p 186 modificado): Las características especiales de
materiales biológicamente activos, como las frutas, las verduras y otros productos,
requieren cuidado especial en su manejo. Luego de la cosecha, la glucosa se cataboliza
para producir bióxido de carbono, vapor de agua y calor. Consideremos una manzana cuyo
diámetro es de 80 mm con densidad = 840 kg/m3, capacidad calorífica 3600 J/kg.K y
conductividad térmica k = 0.513 W/m.K. Dentro de la manzana la energía térmica se genera
a razón de 4000 J/kg.día. Si la manzana había alcanzado estado estable en un medio a
= 5 °C con coeficiente h0 = 7.5 W/m2 K, determine la evolución de su temperatura durante
la primera hora después de haber sido trasladada a un congelador a 15 °C con
coeficiente convectivo h = 15 W/m2.K. Haga este seguimiento con la temperatura del centro
y la superficie de la manzana y muestre el perfil de temperaturas en diferentes tiempos.
Para usar la solución analítica, empleamos el código en EES (ver en sección NOTAS al
final del capítulo) y se obtuvieron los siguientes resultados:
alpha=1,696E-07 m2/s Ao=-20,03
0
2
2
1 sinn
n n
A RBiC
Bi Bi
2 2 2
0 21 n
exp sin *2
6 3 *1 sin
n n
n n
R r Fo rRT T BiA
k h rBi Bi
2 2
06
T R rk
0
3
RA T
h
2 2 2
21 n
exp sin *1 2
6 3 *1 sin
n n
n n
R r Fo rRT T Bi
k h rBi Bi
0 00 y T h
T
sin *
*
n
n
r
r
0T
283 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
Bi=1,17 Fo=0,3817
PHI=38,89 T=-5,895 [C]
time=3600 [s]
Figura 3.8. Distribución de temperatura de la manzana a diferentes tiempos
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
r
T
[C]
t=900 [s]
t=1800 [s]
t=3600 [s]
t=2700 [s]
284 SISTEMAS CON GENERACIÓN
Figura 3.9. Distribución de temperatura en la manzana (esfera con generación) a según el r*
Por el método de Crank Nicolson se utilizan las ecuaciones (4.22), (4.23) y (4.24) del
capítulo de métodos numéricos (ver código en la sección NOTAS al final del capítulo) y se
obtiene la Figura 3.10 con los siguientes resultados:
Bi=0,1462 DELTAr=0,005 [m]
DELTAt=60 [s] Fo=0,4071
gen=38,89 [W/m3]
0 600 1200 1800 2400 3000 3600-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
time [s]
T °
CEsfera con Generación
r* = 0
r* = 0,5
r* = 1,0
Cálculo analítico con 60 términos
285 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
Figura 3.10. Perfil de temperatura método Crank Nicolson
Para el método explícito, el numero máximo de Fourier viene dado por la condición de
estabilidad del nodo central que en este caso es 0.1667, razón por la cual la selección del
paso de tiempo y espacio asumida en este ejemplo no se deben utilizar en el método
explícito.
Es de resaltar que para situaciones en las cuales se modifica ligeramente el modelo
matemático, por ejemplo, la condición inicial se vuelve constante , en lugar de ser
parabólica, la solución analítica debe reformularse por completo pues los coeficientes Cn
cambian así:
A este resultado se llega después de un laborioso proceso similar al que nos llevó a las
ecuaciones (3.6r-i y 3.6 r-ii). Sin embargo, para los métodos numéricos basta modificar los
valores en el tiempo cero y el mismo código nos da los resultados requeridos.
El ejemplo de aplicación se concibió para un caso frecuente en exportación de alimentos u
otros productos vegetales, pero este modelo también es aplicable en el caso de extirpación
de tumores usando técnicas de radiación o en situaciones vinculadas con tratamiento de
desechos radioactivos.
0 0,01 0,02 0,03 0,04-10
-5
0
5
10
r [m]
T [
°C]
Intervalos de 10 [min]
Perfil inicial
Perfil a 60 [min]
0T
2
02
sin2
sin cos
nn
n n n n
RC Bi T T
k
286 NOTAS SISTEMAS CON GENERACIÓN
NOTAS CAPÍTULO 3. CÓDIGOS DE PROGRAMACIÓN Ejemplo 3.1
PLACA PLANA SIMETRICA CON GENERACION TEMPERAURA INICIAL PARABÓLICA CODIGO SOLUCION ANALITICA $UnitSystem SI mass C Pa Rad J $TABSTOPS 0.2 0.4 0.6 0.8 3.5 in T_infinity=250 [C]: Fi_1=1e7 [W/m^3]: Fi_2=2e7 [W/m^3]: k=30 [W/m-C]: h=1100 [W/m^2-C] L=0,01 [m]: alpha=5e-6 [m^2/s] time=500 [s]{: z_hat=0,5} T_o=a*(1-z_hat^2)+T_so T_so=Fi_1*L/h+T_infinity a=Fi_1*L^2/2/k "Valores propios para la ecuación (lambda_n)tan(lambda_n) = Bi" N=10 duplicate i=1;N lowerlimit[i]=(i-1)*pi+1e-8 upperlimit[i]=lowerlimit[i]+pi/2 guess[i]=lowerlimit[i]+pi/4 end Bi=h*L/k "k del sólido" duplicate i=1;N 1/tan(lambda[i])=lambda[i]/Bi end "Vaya a Menú Options- Variable Info-Show array variables-array se le quita el v y en guess para lambda[] se coloca guess[], y en lower y upper limit se coloca lowerlimit[] y upperlimit[]. Así se delimitan los intervalos de cálculo para cada valor propio. De otra forma calcula todos los valores iguales. Recuerde que cero no es un valor propio" "Evaluación de los coeficientes Cn" duplicate i=1;N A[i]=2*((T_so-T_infinity)-Fi_2*L/h-Fi_2*L^2/k/lambda[i]^2+2*a/lambda[i]^2)*sin(lambda[i]) B[i]=4*L^2/lambda[i]*(Fi_2/2/k-a/L^2)*cos(lambda[i]) C[i]=(A[i]+B[i])/(lambda[i]+sin(lambda[i])*cos(lambda[i])) end "Historia tiempo-posición de la temperatura de la placa" Fo=alpha*time/L^2 z_hat=z/L duplicate i=1;N theta[i]=C[i]*exp(-lambda[i]^2*Fo)*cos(lambda[i]*z_hat) end theta_zt=sum(theta[1..N]) T=T_infinity+theta_zt+Fi_2*L^2/2/k*(1-z_hat^2)+Fi_2*L/h
287 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
CODIGO METODO CRANK NICOLSON $UnitSystem SI mass C Pa Rad J $TABSTOPS 0.2 0.4 0.6 0.8 3.5 in "Inputs" T_infinity=250 [C]: PHI_1=1e7 [W/m^3]: PHI_2=2e7 [W/m^3]: k=30 [W/m-C]: h=1100 [W/m^2-C] L=0,01 [m]: alpha=5e-6 [m^2/s] T_so=PHI_1*L/h+T_infinity a=PHI_1/2/k G=PHI_2*alpha*DELTAtime/k "Setup grid" N=11 [-] "number of nodes" DELTAx=L/(N-1) "distance between adjacent nodes" duplicate i=1;N x[i]=(i-1)*DELTAx "position of each node" end "alpha=k/rho/Cp" "Setup time steps" U= 101 [-] "number of time steps" t_sim=300 [s] "simulation time" DELTAtime=t_sim/(U-1) "time step duration" duplicate j=1;U time[j]=(j-1)*DELTAtime end Fo=alpha*DELTAtime/(DELTAx)^2 "Fourier para diferencias finitas" Bi=h*DELTAx/k "Biot para diferencias finitas" duplicate i=1;N T[i;1]= a*(L^2-(x[i])^2)+T_so "initial condition" end "Move through all of the time steps" duplicate j=1;(U-1) "Move through all of the space steps" "node 1" (1+Fo)*T[1;j+1]-Fo*T[2;j+1]=(1-Fo)*T[1;j]+Fo*T[2;j]+G "internal nodes" duplicate i=2;(N-1) -Fo*T[i-1;j+1]+(2+2*Fo)*T[i;j+1]-Fo*T[i+1;j+1]=Fo*T[i-1;j]+(2-2*Fo)*T[i;j]+Fo*T[i+1;j]+2*G end "node N" (1+Fo+Bi*Fo)*T[N;j+1]-Fo*T[N-1;j+1]=2*Bi*Fo*T_infinity+(1-Fo-Bi*Fo)*T[N;j]+Fo*T[N-1;j]+G end Ejemplo 3.2 REACCION QUIMICA HOMOGENEA EN MEDIO SEMIINFINITO. PERIODO NO ESTABLE Note la técnica de generación de curvas múltiples sin recurrir previamente a la tabla parametrica.
288 NOTAS SISTEMAS CON GENERACIÓN
$UnitSystem SI Mass C Pa J Rad M_A=c_As*sqrt(D_AB*t_o)*((sqrt(k_hat*t_o)+1/2/(sqrt(k_hat*t_o))*erf(sqrt(k_hat*t_o)& +1/pi^0,5*exp(-(sqrt(k_hat*t_o)))))) P=101325 [Pa] k_hat=35 [1/s] D_AB=1,5e-9 [m^2/s] H=2,961e-7 [kgmol/m^3-Pa] t_o=0,01[s] c_As=P*H "Datos" P=101320 [Pa] "Presion parcial del CO_2" k'=35 [1/s] "Reaccion de primer orden" D_AB=1,5e-9 [m^2/s] "Difusividad" H=2,961e-7 [kgmol/m^3-Pa] "Constante de Henry" N=16: x_sim=1,5e-5 [m] DELTAx=x_sim/(N-1) duplicate i=1;N x[i]=(i-1)*DELTAx end M=5 t_sim=0,01 [s] DELTAt=t_sim/M "Intervalo de tiempos" duplicate j=1;M t[j]=j*DELTAt end "Utilizando la Ley de Henry" C_s=P*H [kgmol/m^3] "Concentracion superficial del CO2" M_CO_2=C_s*sqrt(D_AB*t_sim)*(((sqrt(k*t_sim)+1/(2*sqrt(k*t_sim)))*erf(sqrt(k*t_sim))+& (1/sqrt(pi)*exp(-k*t_sim)))) "ecuación (3.3c-i)" "ecuación (3.3b-i)" duplicate j=1;M duplicate i=1;N C[i;j]/C_s*2=exp(-x[i]*sqrt(k/D_AB))*erfc((x[i]/(2*sqrt(D_AB*t[j]))-sqrt(k*t[j])))+exp(x[i]*sqrt(k/D_AB))*erfc((x[i]/(2*sqrt(D_AB*t[j]))+sqrt(k*t[j]))) end end Ejemplo 3.3
ALETA TRANSITORIA Método analítico
Se generan las curvas con una sola orden que puede servir para la creación de gráficos
secuenciales.
289 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
$UnitSystem SI Mass C rad Pa J "datos" T_inicial=40 [C] "temperatura inicial" T_infinity=40 [C] "temperatura alrededores" h_infinity=50 [W/m^2-K] "coeficiente convectivo del fluido" T_s=200 [C] "temperatura de la base" L=10*convert(cm;m) "longitud de la varilla" k=50 [W/m-K] "conductividad varilla de acero" rho=7800 [kg/m^3] "densidad del acero" C_p=470 [J/kg-K] "capacidad calorifica del acero" Diametro=3,0*convert(mm;m) "diametro de la barra" Pe=pi*Diametro "perímetro" DELTAx=L/(N-1) "datos hallados del sistema" alpha=k/(rho*C_p) "difusividad del solido" A_z=pi*(Diametro)^2 "area perpendicular a z" m=(Pe*h_infinity)/(rho*C_p*A_z) "ecuación 5" "malla de nodos" N=5[-] "numero de nodos" duplicate i=1;N x[i]=(i-1)*DELTAx end "tiempo" U=5[-] "numero de pasos de tiempo" t_sim=40 [s] DELTAtime=t_sim/(U-1) "Intervalo de tiempo" duplicate j=1;U time[j]=j*DELTAtime end "Perfil de temperaturas" duplicate j=1;U duplicate i=1;N "ecuación (2c)" Theta[i;j]/Theta_s*2=exp(-x[i]*sqrt(m/alpha))*erfc((x[i]/(2*sqrt(alpha*time[j]))-& sqrt(m*time[j])))+exp(x[i]*sqrt(m/alpha))*erfc((x[i]/(2*sqrt(alpha*time[j]))+sqrt(m*time[j]))) Theta[i;j]=T[i;j]-T_infinity end end Theta_s=T_s-T_infinity Método implícito "METODO IMPLICITO" "Datos del sistema" T_inicial=40 [C]*convert(C;K) "temperatura inicial" T_s=200 [C]*convert(C;K) "temperatura de la base" h=50[W/m2*K] "conductividad del fluido" T_infinity=40 [C]*convert(C;K) "temperatura del fluido" p_f=600 [s] "tiempo de simulacion" k=50[W/m*K] "conductividad varilla de acero" rho=7800 [kg/m3] "densidad del acero"
290 NOTAS SISTEMAS CON GENERACIÓN
C_p=470[J/kg*K] "capacidad calorifica del acero" L=10[cm]*convert(cm;m) "longitud de la varilla" DELTAz=2,5*convert(cm;m) "posición actual" DELTAp=10[s] "tiempo actual" Diametro=3,0 [mm]*convert(mm;m) "diametro de la varilla" "datos hallados del sistema" Bi=(h*DELTAz)/k "Biot del fluido" alpha=k/(rho*C_p) "alfa del solido" Fo=(alpha*DELTAp)/DELTAz^2 "Forier" Pe=pi*Diametro "perimetro del cilindro" S=Pe*DELTAz " area de la superficie" A_z=pi*(Diametro)^2 "area perpendicular a z" L_car=S/A_z "relacion de areas" "malla de nodos" N=L/DELTAz+1 [-] "numero de nodos" duplicate i=1;N z[i]=(i-1)*DELTAz "posicion de cada nodo" end "tiempo" U=p_f/DELTAp+1 [-] "paso en el tiempo" duplicate j=1;U time[j]=(j-1)*DELTAp end "condicion inicial" duplicate i=2;N T[i;1]=T_inicial end "condicion de frontera" duplicate j=1;U T[1;j]=T_s end "nodos internos, 2,3,4" duplicate j=1;U-1 duplicate i=2;N-1 -Fo*T[i-1;j+1]+T[i;j+1]*(1+2*Fo+Bi*Fo*L_car)-Fo*T[i+1;j+1]=T[i;j]+Bi*Fo*L_car*T_infinity end "nodo extremo, 5" (1+2*Fo+Bi*Fo*L_car+2*Bi*Fo)*T[N;j+1]-2*Fo*T[N-1;j+1]=T[N;j]+(2*Bi*Fo+Bi*Fo*L_car)*T_infinity end "Estado estable" M=5 DELTAx=L/(M-1) duplicate i=1;M x[i]=(i-1)*DELTAx end "Estado estable" Theta_s=T_s-T_infinity duplicate i=1;M Thetae[i]/Theta_s=(cosh(q*(L-x[i]))+h/q/k*sinh(q*(L-x[i])))/(cosh(q*L)+h/q/k*sinh(q*L)) Thetae[i]=Te[i]-T_infinity end q=sqrt(Pe*h/k/A_z) Ejemplo 3.4
291 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
MANZANA TRANSITORIA Método analítico "Función que contiene el condicional que si r_hat~=0 se use la ecuación modificada para evitar la indeterminación" function theta(C;lambda;Fo;r_hat) if r_hat<1e-6 Then "Aproximadamente cero" theta=C*exp(-lambda^2*Fo) Else theta=C*exp(-lambda^2*Fo)*sin(lambda*r_hat)/(lambda*r_hat) endif end Bi=h*Rs/k "k del sólido" r_hat=r/Rs Fo=alpha*time/Rs^2 alpha=k/rho/Cp Rs=40e-3 [m]: rho=840 [kg/m^3]: Cp=3600 [J/kg-K]: k=0,513 [W/m-K] PHI=4000*840*convert(J/m^3-day;W/m^3): r_hat=0 T_infinityo=5 [C]: ho=7,5 [W/m^2-K]: time=3600 [s]: T_infinity=-15 [C]: h=15 [W/m^2-K] "Valores propios para la ecuación lambda[i]=(1-Bi)*tan(lambda[i])" $UnitSystem SI mass C Pa Rad J N=5 duplicate i=1;N lowerlimit[i]=pi*(i-1)+1e-6 "cero no es un valor propio" upperlimit[i]= lowerlimit[i]+pi guess[i]= lowerlimit[i]+pi/2 end duplicate i=1;N lambda[i]=(1-Bi)*tan(lambda[i]) end "Menú Options- Variable Info-Show array variables-array se le quita el v y en guess para lambda[] se coloca guess[]. De otra forma calcula todos los valores iguales. Recuerde que cero no es un valor propio" "Evaluación de los coeficientes Cn" duplicate i=1;N C[i]=sin(lambda[i])/(lambda[i]-sin(lambda[i])*cos(lambda[i])) end "Historia tiempo-posición de la temperatura de la esfera, ecuación (12)" duplicate i=1;N theta[i]=theta(C[i];lambda[i];Fo;r_hat) "se llama a la función" end theta_rt= sum(theta[1..N]) Ao=(T_infinity-T_infinityo)+PHI*Rs/3*(1/h-1/ho) T-T_infinity=FI*(Rs^2-r^2)/6/k+PHI*Rs/3/h-2*Bi*Ao*theta_rt
292 NOTAS SISTEMAS CON GENERACIÓN
theta_rt=sum Método numérico Crank Nicolson "estado transitorio simetría esférica con generación" rho = 840 C_p= 3600 k= 0,513 gen= 38,89 h_inf= 15 R= 0,040 T_inf= -15 T_s= 5 t_sim= 3600 [s] N= 9 DELTAr= R/(N-1) Bi= (h_inf * DELTAr)/k M=61 DELTAt= t_sim/(M-1) Fo = alpha*DELTAt/(DELTAr)^2 alpha=k/(rho*C_p) duplicate i=2;N r_m[i]=DELTAr*(i-1) a_1[i]= (1- (DELTAr/r_m[i])+(DELTAr^2)/(4*r_m[i]^2)) a_2[i]=(1+(DELTAr/r_m[i])+(DELTAr^2)/(4*r_m[i]^2)) b[i]= (1+(DELTAr^2)/(4*r_m[i]^2) ) end "Malla de tiempo" duplicate j=1;M t[j]=(j-1) * DELTAt end "Malla de nodos" duplicate i=1;N x[i]= (i-1) * DELTAr end "condicion inicial" duplicate i=1;N T[i;1]=T_s+(gen/3)*((r/h_inf)+(r^2-x[i]^2)/(2*K)) end "Nodo interno" duplicate j=1;M-1 duplicate i=2;(N-1) -Fo*a_1[i]*T[i-1;j+1]+(2+2*b[i]*Fo)*T[i;j+1]-Fo*a_2[i]*T[i+1;j+1]=Fo*a_1[i]*T[i-1;j]+(2-2*b[i]*Fo)*T[i;j]+Fo*a_2[i]*T[i+1;j]+(2*(gen*DELTAt)/(C_p*rho)) end end "Nodo central con generacion N=0"
293 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
duplicate j=1;(M-1) (1+3*Fo)*T[1;j+1]-3*Fo*T[2;j+1]=(1-3*Fo)*T[1;j]+3*Fo*T[2;j]+(gen*DELTAt)/(C_p*rho) end "Nodo convectivo" duplicate j=1;(M-1) (1+Fo*a_1[N]+Bi*Fo)*T[N;j+1]-Fo*a_1[N]*T[N-1;j+1]=Fo*a_1[N]*T[N-1;j]+(1-Fo*a_1[N]-Bi*Fo)*T[N;j]+2*Bi*Fo*T_inf+(gen*DELTAt)/(C_p*rho) end CÓDIGO MATLAB PLACA CON GENERACIÓN %Método Crank Nicolson para la conducción en una placa %con generación y condiciones convectivas. clear all disp('El Metodo Crank Nicolson para la conduccion en una') disp('placa con generación y condiciones convectivas.') disp('Enter para continuar'); pause lon=input('longitud de media placa simétrica [m]. '); alfa=input('difusividad térmica [m^2/s]. '); ko=input('conductividad térmica [W/m*K]. '); h=input('coeficiente convectivo [W/m^2*K]. '); fi=input('generación (cambio repentino) por unidad de volumen [W/m^3]. '); Tinf=input('temperatura de fluido [°C]. '); nid=input('número de divisiones en la placa. '); tt=input('tiempo total.[s] '); fio=1e7;%generación inicial por unidad de volumen [W/m^3]. del=lon/nid;%incremento de longitud. z=0:del:lon; disp('** los dz son:**'); disp(z); Ts=Tinf+fio*lon/h;%temperatura de superficie [°C]. Ts2=Tinf+fi*lon/h;%temperatura final de superfície. disp('fio = generación inicial por unidad de volumen [W/m^3].'); disp('lon = longitud de media placa simétrica [m]. '); disp('ko = conductividad térmica [W/m*K]. '); disp('z = vector que contiene cada uno de los incrementos en longitud'); disp(' de la placa (desde 0 hasta lon) dado en [m].'); disp('Ts = temperatura de superficie [°C].'); disp('** Seleccione, copie y pegue el perfil inicial **'); To=input('Perfil inicial °T[°C](fio*lon^2/(2*ko)).*(1-(z./lon).^2)+Ts '); disp('Seleccione y copie el perfil para Temp. final'); Tfinal=input('Perfil final °T[°C](fi*lon^2/(2*ko)).*(1-(z./lon).^2)+Ts2 '); r=length(z)+1; disp('** Perfil inicial **'); disp(To); To=To'; Bi=h*del/ko;%número de biot para las diferencias finitas. Fox=1/(1+Bi);%número de fourier máximo. deltx=Fox*(del^2)/alfa;%delta t máximo [s]. disp('el delta t máximo es') disp(deltx) pause
294 NOTAS SISTEMAS CON GENERACIÓN
dt=input('ingrese nuevo delta t,cumpliendo el criterio de estabilidad '); Fo=alfa*dt/del^2;%fourier que cumple con la estabilidad. nit=tt/dt; %numero de intervalos de tiempo delt=0:dt:length(tt); %Programa para calcular del perfil de temperaturas usando %la matriz tridiagonal que ofrece matlab. m=length(To); L=Fo; dc;%Matriz [A]. W=C; Tant=To; t=0; tiempo(1)=t; for k=1:nit t=t+dt; tiempo(k+1)=t; L=-Fo; dc;%Matriz [C]. B=C; a=2*(fi*alfa*dt/ko)+B*Tant; a(1)=Tant(1)*(1-Fo)+Fo*Tant(2)+fi*alfa*dt/ko; a(m)=2*Bi*Fo*Tinf+(1-Bi*Fo-Fo)*Tant(m)+Fo*Tant(m-1)+fi*dt*alfa/ko; Tant=W\a; T(:,k)=[Tant]; end Tf=[To T]; x=[1:1:m-1]; xp=del.*x; X=[0 xp]'; %Escoger los perfiles a graficar %nn=0; %kk=2; %Tr(:,1)=Tf(:,1); %for i=1:length(Tf(1,:)) % if nn==4 % Tr(:,kk)=Tf(:,i); % tg(kk)=tiempo(i); % kk=kk+1; % nn=0; % end % nn=nn+1; %end %H=num2str(tg'); hold on plot(X,Tf,'b',X,Tfinal,'r'); xlabel('ancho de la placa [m]'); ylabel('Temperaturas [°C]') text(0.001,352,'Tiempo 0');
295 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
text(0.004,465,'Tiempo infinito'); pause plot(delt,T);xlabel('tiempo <seg>');ylabel('Temperatura <°C>'); %------------------------SOLUCION-ANALÍTICA------------------------% %Bio=h*lon/ko;%número de biot para la solución analítica. %lamda=[0.5711 3.2539 6.3410 9.4635]; %sols; %A=[-107.79 0.216 -0.0167 0.00304]; %lam=lam'; %cr; %coa; %u=0; %for f=1:length(X) % u=u+1; % Tana=A.*cos(lam.*X(f)/0.01).*exp(-0.05.*(lam.^2).*tt); % com=-(3.333e5*X(f)^2)+465.15; % Tzt=sum(Tana)+com; % Tan(u,1)=Tzt; % end % plot(X,Tan,'y*:') % hold off %----------------------------------- CODIGO EN MATLAB PARA EL EJEMPLO ALETA TRANSITORIA: Programa “aletao” 1. Escribiendo en la ventana del command Windows la palabra aletao y posteriormente pulsando la
tecla enter el programa comenzará a pedir, en su orden, las siguientes variables, que deberá ingresar como se indica:
lon = longitud de la aleta [m]. = 0.1 m diam = diámetro de la varilla [m]. = 3e-3 m rho = Densidad del acero [kg/m^3]. = 7800 kg/m^3 Cp = Capacidad calorífica del acero [J/kg.K]. = 470 J/kg.K ko = conductividad térmica [W/m*K]. = 50 W/m*K h = coeficiente convectivo [W/m^2*K]. = 50 W/m^2*K Tinterna = Temperatura constante en la base de la placa [°C]. = 200 °C Tinfi = temperatura de fluido [°C]. = 40 °C nid = número de divisiones en la placa. = 4 tt = tiempo total.[s] = 40 s dt = Introduzca intervalo de tiempo<s> = 10 s
2. Entonces se procederá a calcular:
La difusividad térmica [m^2/s], alfa=ko/(rho*Cp).
Incremento de longitud o z, del=lon/nid = 0.0250 m. 3. Se creará el vector de incrementos en longitud, constituido por cada una de las distancias
correspondientes a cada nodo. z = 0:del:lon = [0 0.0250 0.05 0.075 0.1].
4. Entonces, en el command window aparecerá el siguiente mensaje: La ecuación del perfil inicial en función de z debe de escribirse con un punto (.) antes de cualquier multiplicación o división.
Puesto que el perfil inicial de Temperaturas es una función dependiente de la longitud y para generar el conjunto total de temperaturas se requieren cada una de las distancias correspondientes a cada
296 NOTAS SISTEMAS CON GENERACIÓN
nodo, debemos de operar vectorialmente el perfil de temperaturas, utilizando el perfil z, creado en el numeral 3. 5. Obtenemos el vector To que es el perfil inicial de temperaturas en cada nodo de la forma: Por ejemplo: To = a .* z + b To = a .* [0 0.0250 0.05 0.075 0.1] + b Donde a y b son constantes.
El comando “.*” indica operación matricial, de manera análoga, sí la ecuación del perfil inicial llevara una división, el comando a utilizar sería “./”, que indica división entre matrices.
6. Se calcula el número de Biot y Fourier que son mostrados en el command window, posteriormente se pulsa enter para continuar. 7. El número de intervalos de tiempo es hallado dividiendo el tiempo total entre los incrementos de tiempo, así como también la longitud característica (variable Laz). 8. El programa di_aleta_convectiva es llamado para conformar la matriz tridiagonal que es función de los números adimensionales hallados en el numeral 6, de acuerdo con el tipo de ecuación utilizada para cada nodo y el método de diferencias finitas empleado. Dicho programa utiliza el comando “diag”, ofrecido por matlab, para ensamblar la matriz tridiagonal de una forma adecuada. 9. El programa entra a una subrutina en la cual se obtiene el perfil de temperaturas para cada instante de tiempo y un vector constituido por cada uno de los deltas de tiempo hasta llegar al tiempo total, que en este caso sería: t = [0 10 20 30 40] s. Por cada corrida de dicha subrutina ella opera realizándole la inversa de la multiplicación entre dos matrices:
“a” (términos constantes de las ecuaciones en diferencias finitas para cada nodo) y “W” (correspondiente al la matriz tridiagonal). De la forma: To = (W .* a)^ (-1).
10. Conformación de los vectores Tf (historia de temperaturas, generado del numeral 9) y X
(distancias correspondientes para cada nodo) que el programa utilizará para graficar los perfiles Tf en el eje de las ordenadas y X en el eje de las abscisas. El programa muestra la tabla del resumen de temperaturas y después de pulsar la tecla enter aparecerá la grafica del perfil de temperaturas. El código del programa es: %Ejemplo de una varilla de acero resuelto por el... %metodo implícito para la conduccion y convección en una aleta disp('Ejemplo de una varilla de acero, resuelto por el metodo') disp('implícito para la conduccion convección.') clear all lon=input('longitud de la aleta [m]. '); diam=input('diametro de la varilla [m]. '); rho=input('Densidad del acero [kg/m^3]. '); Cp=input('Capacidad calorifica del acero [J/kg.K]. '); ko=input('conductividad térmica [W/m*K]. '); h=input('coeficiente convectivo [W/m^2*K]. '); Tinterna=input('Temperatura constante en la base de la placa [°C]. '); Tinfi=input('temperatura de fluido [°C]. '); nid=input('número de divisiones en la placa. '); tt=input('tiempo total.[s] ');
297 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
dt=input('Introduzca intervalo de tiempo<s>='); alfa=ko/(rho*Cp);%difusividad térmica [m^2/s]. del=lon/nid;%incremento de longitud. z=0:del:lon; tam=length(z)-1; disp('La ecuación del perfil inicial en función de z debe de escribirse') disp('con un punto (.) antes de cualquier multiplicación o división.') Perfil_To=input('Ecuación Perfil Temperatura inicial f(z) T[°C]. ');%200;% tama=length(Perfil_To); if tama>1 To=Perfil_To; else To=ones(1,tam)*Perfil_To; end To=To'; Bi=h*del/ko;%número de biot para las diferencias finitas. disp('Número de Biot='); disp(Bi); Fo=alfa*dt/del^2; %número de Fourier disp('Número de Fourier'); disp(Fo); disp('Enter para continuar'); %pause nit=tt/dt; %numero de intervalos de tiempo %Programa para calcular del perfil de temperaturas usando %la matriz tridiagonal que ofrece matlab. m=length(To); L=Fo; Laz=4*(pi*diam*del)/(pi*diam^2); di_aleta_convectiva;%Matriz [A]. C(m,:)=[zeros(1,m-2) -2*Fo (1+2*Fo+2*Bi*Fo+Bi*Fo*Laz)]; W=C; Tant=To; t=0; tiempo(1)=t; for k=1:nit t=t+dt; tiempo(k+1)=t; a=Tant+(Bi*Fo*Laz*Tinfi); a(1)=Tant(1)+(Bi*Fo*Laz*Tinfi)+200*Fo; a(m)=(2*Bi*Fo+Bi*Fo*Laz)*Tinfi+Tant(m); Tant=W\a; T(:,k)=[Tant]; Tg(:,k)=[Tinterna;Tant]; end Too=[Tinterna;To]; Tf=[Too Tg]; x=[1:1:m]; xp=del.*x; X=[0 xp]'; Tfz=Tf'; disp('Tabla resumen de las temperaturas'); disp(Tfz(2:end,:)); disp('enter para continuar'); %pause
298 NOTAS SISTEMAS CON GENERACIÓN
plot(X,Tf(:,2:end),'b');xlabel('Largo de la aleta [m]');ylabel('Temperaturas [°C]'); orient landscape %pause %close %------------------------------------------------------------------------------% Programa Auxiliar: %programa para construir la matriz tridiagonal utilizada en el %método Implícito para una aleta convectiva. C=diag((1+2*L+Bi*L*Laz).*ones(m,1)) + diag(-L.*ones((m-1),1),1) + diag(-L.*ones((m-1),1),-1); Usando este programa, podemos fácilmente resolver el problema de la aleta transitoria finita o infinita con diferentes condiciones iniciales. El siguiente gráfico se obtiene para 100 nodos a intervalos de tiempo de 5 segundos, mostrando además la tendencia teórica para un tiempo infinito. CODIGO EN MATLAB PARA ESFERA CON GENERACION: Principal01 clc, clear all, close all, %% Programa desarrollado por: % Ramiro Betancour Grajales [email protected] % Sandra Milena López Zamora [email protected] global Fo Genera dt ro alpha k Cp Tinf Bi dr rs a_mas_s a_menos_s bs Lc Tinf0 h0 %% ::::::::::::::::::::::::::: Propiedades físicas y temperaturas iniciales prompt={'Conductividad térmica (k) <W/(m K)>','Densidad (/rho) <kg/m^3>','Capacidad calorífica (Cp) <J/(kg K)>',... 'Radio de la esfera (R) <m>','Generación de calor <W/(m3)>','Temperatura del medio inicial (T_{inf 0}) <°C>',... 'Coeficiente convectivo del medio inicial (h_0) <W/(m2 K)>','Temperatura del medio (T_{inf}) <°C>','Coeficiente convectivo del medio (h) <W/(m2 K)>'}; title1='Por favor ingrese los valores requeridos:'; numlines=1; defaultanswer={'0.513','840','3600','(80/2)/1000','(4000/(24*3600))*840','5','7.5','-15','15'}; options.Resize='on'; options.WindowStyle='normal'; options.Interpreter='tex'; F1=inputdlg(prompt,title1,1,defaultanswer,options); k=str2num(F1{1}); ro=str2num(F1{2}); Cp=str2num(F1{3}); Lc=str2num(F1{4}); Genera=str2num(F1{5}); Tinf0=str2num(F1{6}); h0=str2num(F1{7}); Tinf=str2num(F1{8}); h=str2num(F1{9}); %% :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: Valores solicitados prompt={'Lugar dónde se desea conocer la temperatura (r) (puede ser un vector) ','Tiempo (puede ser vector)'}; title1='Por favor ingrese los valores requeridos:'; numlines=1; defaultanswer={'[0:(10)/1000:(80/2)/1000]','[0:200:3600]'}; options.Resize='on'; options.WindowStyle='normal'; options.Interpreter='tex'; F2=inputdlg(prompt,title1,1,defaultanswer,options); z=str2num(F2{1}); t=str2num(F2{2}); % %% ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: Solución Analítica tic; for ii=1:length(z) T=zeros(1,length(t)); for jj=1:length(t)
299 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
[T(jj)]=perfil(Tinf0,Tinf,k,ro,Cp,h,Lc,Genera,t(jj),z(ii),h0); Ts(ii,jj)=T(jj); end figure(1) plot(t,T) A=num2str(z(ii)); zetica=['r = ' A]; B=ceil(length(t)/2); text(t(B),T(1,B),zetica) hold on end xlabel('tiempo <segundos>') ylabel('Temperatura °C') title('Solución Analítica') grid on disp('La temperatura es:') disp(Ts) disp('para z=') disp(z) disp('y para t=') disp(t) toc; disp('El tiempo usado por el programa una vez se ingresan todos los valores es de: <seg> ') disp(toc) %% :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: Solución numérica %:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: Valores solicitados prompt={'Número de nodos para el radio ','Tiempo total','Número de nodos para el tiempo'}; title1='Por favor ingrese los valores requeridos:'; numlines=1; defaultanswer={'9','3600','100'}; options.Resize='on'; options.WindowStyle='normal'; options.Interpreter='tex'; F2=inputdlg(prompt,title1,1,defaultanswer,options); mmm=str2num(F2{1}); t=str2num(F2{2}); nnn=str2num(F2{3}); dt=t/(nnn-1); dr=Lc/(mmm-1); alpha=k/(ro*Cp); Fo=alpha.*dt./(dr.^2); Bi=h*dr/k; rs=[0:dr:Lc]; ts=[0:dt:t]; a_mas_s=1+(dr./rs)+(dr^2./(4.*rs.^2)); a_menos_s=1-(dr./rs)+(dr^2./(4.*rs.^2)); bs=1+(dr^2./(4.*rs.^2)); %% ::::::::::::::::::::::::::::::::: Método de diferencias finitas: Explicito [Temps]=Explicito(mmm, nnn); for ii=1:length(rs) figure(2) plot(ts, Temps(ii,:),'b') hold on text(ts(ceil(nnn/2)),Temps(ii,ceil(nnn/2)),['r = ', num2str(rs(ii))]) end xlabel('Tiempo (seg)') ylabel('Temperatura (°C)') title('Método de diferencias finitas: Explicito') grid on
300 NOTAS SISTEMAS CON GENERACIÓN
figure(3) plot(rs,Temps(:,1),'b', rs,Temps(:,ceil(nnn/2)),'g', rs,Temps(:,end),'r'); hold on text(rs(ceil(mmm/2)),Temps(ceil(mmm/2),1),['t = ', num2str(ts(1))]) text(rs(ceil(mmm/2)),Temps(ceil(mmm/2),ceil(nnn/2)),['t = ', num2str(ts(ceil(nnn/2)))]) text(rs(ceil(mmm/2)),Temps(end,ceil(nnn/2)),['t = ', num2str(ts(end))]) xlabel('Radio (m)') ylabel('Temperatura (°C)') title('Método de diferencias finitas: Explicito') grid on for jj=1:length(ts) figure(31) plot(rs, Temps(:,jj),'b') hold on text(ts(ceil(mmm/2)),Temps(ceil(mmm/2),jj),['t = ', num2str(ts(jj))]) end xlabel('Radio (m)') ylabel('Temperatura (°C)') title('Método de diferencias finitas: Explicito') grid on %% ::::::::::::::::::::::::::::::::: Método de diferencias finitas: Implicito [Temps2]=Implicito(mmm, nnn); for ii=1:length(rs) figure(4) plot(ts, Temps2(ii,:),'g') hold on text(ts(ceil(nnn/2)),Temps2(ii,ceil(nnn/2)),['r = ', num2str(rs(ii))]) end xlabel('Tiempo (seg)') ylabel('Temperatura (°C)') title('Método de diferencias finitas: Implicito') grid on figure(5) plot(rs,Temps2(:,1),'b', rs,Temps2(:,ceil(nnn/2)),'g', rs,Temps2(:,end),'r'); hold on text(rs(ceil(mmm/2)),Temps2(ceil(mmm/2),1),['t = ', num2str(ts(1))]) text(rs(ceil(mmm/2)),Temps2(ceil(mmm/2),ceil(nnn/2)),['t = ', num2str(ts(ceil(nnn/2)))]) text(rs(ceil(mmm/2)),Temps2(end,ceil(nnn/2)),['t = ', num2str(ts(end))]) xlabel('Radio (m)') ylabel('Temperatura (°C)') title('Método de diferencias finitas: Implicito') grid on for jj=1:length(ts) figure(41) plot(rs, Temps2(:,jj),'b') hold on text(ts(ceil(mmm/2)),Temps2(ceil(mmm/2),jj),['t = ', num2str(ts(jj))]) end xlabel('Radio (m)') ylabel('Temperatura (°C)') title('Método de diferencias finitas: Implicito') grid on %% :::::::::::::::::::::::::::: Método de diferencias finitas: Crank Nicolson [Temps3]=CrankNicolson(mmm, nnn); for ii=1:length(rs)
301 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
figure(6) plot(ts, Temps3(ii,:),'r') hold on text(ts(ceil(nnn/2)),Temps3(ii,ceil(nnn/2)),['r = ', num2str(rs(ii))]) end xlabel('Tiempo (seg)') ylabel('Temperatura (°C)') title('Método de diferencias finitas: Crank Nicholson') grid on figure(7) plot(rs,Temps3(:,1),'b', rs,Temps3(:,ceil(nnn/2)),'g', rs,Temps3(:,end),'r'); hold on text(rs(ceil(mmm/2)),Temps3(ceil(mmm/2),1),['t = ', num2str(ts(1))]) text(rs(ceil(mmm/2)),Temps3(ceil(mmm/2),ceil(nnn/2)),['t = ', num2str(ts(ceil(nnn/2)))]) text(rs(ceil(mmm/2)),Temps3(end,ceil(nnn/2)),['t = ', num2str(ts(end))]) xlabel('Radio (m)') ylabel('Temperatura (°C)') title('Método de diferencias finitas: Crank Nicholson') grid on for jj=1:length(ts) figure(51) plot(rs, Temps3(:,jj),'b') hold on text(ts(ceil(mmm/2)),Temps3(ceil(mmm/2),jj),['t = ', num2str(ts(jj))]) end xlabel('Radio (m)') ylabel('Temperatura (°C)') title('Método de diferencias finitas: Crank Nicholson') grid on %% :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: Comparación for ii=1:length(rs) figure(8) plot(ts, Temps(ii,:),ts, Temps2(ii,:),ts, Temps3(ii,:)) hold on text(ts(ceil(nnn/2)),Temps(ii,ceil(nnn/2)),['r = ', num2str(rs(ii))]) end legend('Explicito','Implícito','Crank Nocholson','Location','Best') xlabel('Tiempo (seg)') ylabel('Temperatura (°C)') grid on figure(9) plot(rs,Temps(:,1),'b',rs,Temps2(:,1),'g',rs,Temps3(:,1),'r', rs,Temps(:,ceil(nnn/2)),'b', rs,Temps(:,end),'b', rs,Temps2(:,ceil(nnn/2)),'g', rs,Temps2(:,end),'g',... rs,Temps3(:,ceil(nnn/2)),'r', rs,Temps3(:,end),'r'); hold on legend('Explicito','Implícito','Crank Nocholson','Location','Best') text(rs(ceil(mmm/2)),Temps(ceil(mmm/2),1),['t = ', num2str(ts(1))]) text(rs(ceil(mmm/2)),Temps(ceil(mmm/2),ceil(nnn/2)),['t = ', num2str(ts(ceil(nnn/2)))]) text(rs(ceil(mmm/2)),Temps(end,ceil(nnn/2)),['t = ', num2str(ts(end))]) xlabel('Radio (m)') ylabel('Temperatura (°C)') title('Método de diferencias finitas') grid on
302 MÉTODOS NUMÉRICOS EN PROCESOS NO ESTABLES
CAPÍTULO 4 . MÉTODOS NUMÉRICOS EN PROCESOS NO ESTABLES
METODO DE DIFERENCIAS FINITAS
Las soluciones analíticas son convenientes porque proveen resultados válidos para todos
los puntos de un sistema. Sin embargo, muchos problemas de interés práctico son muy
complicados para obtener una solución analítica. En muchos procesos que dependen del
tiempo, la distribución inicial de temperaturas puede presentar características no uniformes,
o la temperatura ambiente, los coeficientes convectivos o las difusividades pueden variar.
Estos casos complejos pueden evaluarse empleando técnicas numéricas.
Las soluciones numéricas son solo aproximaciones a la solución real, pero pueden ser muy
buenas aproximaciones si se hacen correctamente. Es relativamente sencillo resolver
incluso problemas complicados usando técnicas numéricas.
Comparamos dos métodos para la solución numérica de problemas de valor inicial y
condiciones de frontera, el método de las diferencias finitas y el método del elemento finito.
El método de las diferencias finitas es fácil de manejar y requiere poco esfuerzo
matemático. En contraste, el método de los elementos finitos el cual se aplica
principalmente en mecánica estructural y de sólidos tiene mucha mayor demanda
matemática, pero es muy flexible. En particular, para geometrías complicadas, puede
adaptarse bien al problema y en tales casos debe dársele preferencia sobre el método de
las diferencias finitas. El método de las diferencias finitas, que puede recomendarse aún
para principiantes, es una buena herramienta para resolver problemas de conducción de
calor.
Los pasos a seguir para realizar una solución numérica usando la técnica de las diferencias
finitas permanecen iguales, aunque el problema se haga más complejo. El resultado de un
modelo numérico no es una relación funcional entre temperatura y posición sino una
aproximación a las temperaturas en varias ubicaciones discretas.
Las ecuaciones fundamentales en diferencias finitas pueden obtenerse por dos vías:
matemáticamente, reemplazando en las ecuaciones diferenciales básicas las derivadas por
sus expresiones en función de incrementos finitos, o por balances de energía en cada
punto del sistema en el que se desea conocer la temperatura. Este último es más intuitivo y
favorable en especial para los nodos frontera o centrales donde puedan aparecer
singularidades.
303 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
Recordemos inicialmente que la primera derivada en un punto es equivalente a la pendiente
de la tangente a la curva en ese punto y se define como:
. (4.1)
Si no se toma el límite se tendrá una aproximación a la derivada, más precisa entre menor
sea . También se puede obtener esta aproximación al escribir la expansión en series de
Taylor de la función alrededor del punto :
Al despreciar todos los términos de la expansión menos los dos primeros, obtenemos la
misma expresión aproximada:
, (4.2)
y observamos que el primer término despreciado es proporcional a y por lo tanto el
error en que se incurre con esta aproximación es también proporcional a . Sin
embargo, el error conmutativo después de pasos en la dirección es proporcional a
ya que . Como se prevé, entre más pequeño menor el error
y más exacta la solución.
En el método de diferencias finitas se divide el sistema en subsistemas, cada uno de
espesor .Por lo tanto habrá nodos empezando por hasta .
La coordenada del nodo es y la temperatura del nodo es .
0
( ) ( )lim
z
f z z f zd f z
d z z
z
f z z
2 2 3 3 4 4
2 3 4
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
2 6 24
f z z f z z f z z f zf z z f z z
z z z z
( )df z f z f z z f z
dz z z
2
z
2
z
m z z
2 2z
m z z z zz
z
M
MLz / 1M 0m m M
m z m z m mT
304 MÉTODOS NUMÉRICOS EN PROCESOS NO ESTABLES
Figura 4.1. Distribución de nodos
EXACTITUD, CONVERGENCIA Y ESTABILIDAD
En los cálculos numéricos, el término error se refiere generalmente a la diferencia entre una
solución aproximada y la solución exacta de la ecuación original en derivadas parciales.
Existen dos tipos de errores que afectan dicha diferencia. El primero de ellos es el debido a
la sustitución de las derivadas por incrementos finitos y se denomina error de truncamiento
el cual depende de la distribución inicial de temperaturas en el sólido, de las condiciones
límite, del esquema de desarrollo del método de incrementos finitos y de la magnitud del
número de Fourier, del que dependen los incrementos de espacio y tiempo elegidos para el
cálculo. El grado en el cual la solución aproximada se acerca a la exacta al decrecer los
intervalos de espacio y tiempo se denomina convergencia del método.
El segundo tipo de error se origina en la imposibilidad de arrastrar un número infinito de
decimales en los cálculos. Al redondear los números fraccionarios se introduce el error de
redondeo.
Independientemente de los errores de truncamiento y redondeo se presenta un problema
más serio asociado a ciertos métodos de diferencias finitas como es el problema de la
estabilidad. En ocasiones al progresar el cálculo, los valores obtenidos para los nodos en
tiempos sucesivos oscilan con amplitud creciente cambiando incluso de signo, y sin
responder nunca a los valores reales correspondientes. Los errores de redondeo tienden a
crecer cuando el sistema es inestable y disminuyen cuando es estable.
Resulta entonces que no se pueden seleccionar arbitrariamente las magnitudes de los
intervalos de espacio y de tiempo sino que deberán elegirse de forma que
satisfagan ciertas condiciones de estabilidad.
Un criterio de estabilidad sencillo y útil es el siguiente: en cualquier ecuación en diferencias
finitas el coeficiente de la variable, llámese temperatura o concentración, del nodo m en el
tiempo t actual debe ser mayor o igual a cero.
0z
0T 1T 2T
1m
1mT mT 1mT 1mT mT
0 1 2
z
m 1m
zz
12m 1
2m
1M M
z L
z m z
z t
305 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
ECUACIONES
La reducción de una ecuación diferencial parcial a una aproximación adecuada en
diferencias finitas se puede hacer fácilmente por medio de las series de Taylor. Para ilustrar
el método consideremos la ecuación diferencial parcial que caracteriza los procesos de
transferencia de calor en estado transitorio, unidireccional, sin generación:
, (4.3)
Como , puede expandirse la expresión alrededor de para un valor fijo de :
En la medida que sea suficientemente pequeño, los términos del orden de y
superiores, pueden ser despreciados, y una primera aproximación a es:
. (4.4)
Aquí hemos introducido una notación abreviada donde el subíndice indica el punto o nodo
donde se mide la variable, y el superíndice el momento en el cual se hace tal medición.
Para obtener la primera aproximación a se necesitan dos expansiones de la serie:
Sumando miembro a miembro y despreciando los términos de orden y superiores la
así llamada aproximación central en diferencias finitas a la segunda derivada es:
. (4.5)
2
2
1 T T
t z
,T T z t t z
4
44
3
33
2
22
24
)(
6
)(
2
)()(),(),(
t
Tt
t
Tt
t
Tt
t
TttzTttzT
t 2
t
Tt
1( , ) ( , )
t tm mT TT T z t t T z t
t t t
2
2T
z
4
44
3
33
2
22
24
)(
6
)(
2
)()(),(),(
z
Tz
z
Tz
z
Tz
z
TztzTtzzT
4
44
3
33
2
22
24
)(
6
)(
2
)()(),(),(
z
Tz
z
Tz
z
Tz
z
TztzTtzzT
4
z
21 1
2 2 2
2( , ) 2 ( , ) ( , )
( ) ( )
t t tm m mT T TT T z z t T z t T z z t
z z z
306 MÉTODOS NUMÉRICOS EN PROCESOS NO ESTABLES
El error de truncamiento involucrado al omitir el resto de la serie es del orden de .
Reemplazando las aproximaciones (4.4) y (4.5) anteriores en diferencias finitas en la
ecuación (4.3)
. (4.6)
Notando que es un número de Fourier en términos de la distancia
incremental y el intervalo de tiempo , reordenamos la ecuación anterior así:
. (4.7)
Aquí, explícitamente hallamos la temperatura del nodo en un momento futuro , a
partir de las temperaturas de los 3 nodos adyacentes en el momento presente .
A continuación, ilustramos la manera de obtener estas mismas ecuaciones mediante
balances de materia o de energía.
En este método, como ya se explicó, el medio en cuestión se subdivide en subvolúmenes,
siendo denominado el centro de cada subvolumen como un nodo, y cada nodo tiene las
propiedades promedio del volumen a su alrededor, a la izquierda y a la derecha.
Así, el sólido total se remplaza por una red de nodos donde se asume que la temperatura
entre dos nodos adyacentes varía linealmente. El flujo de calor por conducción se calcula
con base en la ley de Fourier:
.
En esta expresión, es el flujo de calor en la dirección , energía por unidad de tiempo y
de área, , o , es la conductividad térmica, una propiedad del
material con dimensiones de energía por unidad de longitud y de temperatura, o
, es una superficie perpendicular a la dirección del flujo de calor, es
temperatura y una longitud.
4
z
11 1
2
21
( )
t t t t tm m m m mT T T T T
t z
2
/t z
z t
11 1(1 2 )t t t t
m m m mT FoT Fo T FoT
m 1t
t
2z
2z
z z z salida entradadT T
Q kA kA T T Tdz z
zQ z2[W/m .K] 2[Btu/hr.pie .°F] k
[W/m.K]
[Btu/hr.pie.°F] zA T
z
307 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
De esta manera el balance alrededor del nodo interno , teniendo presente que este lo
hacemos con el algoritmo: flujo neto de calor hacia el nodo por conducción más generación,
igual a acumulación se escribe como:
. (4.8)
Aquí, los subíndices para indican el área entre los nodos adyacentes o el área en el
nodo .
4.1 Simetría Cartesiana: Placa plana
Para el caso de placa plana, las áreas entre nodos son iguales. Dividiendo por
con y reorganizando obtenemos
, (4.9)
Como y ,
Entonces
. (4.10)
Los nodos extremos, es decir los correspondientes a y a , deben tratarse de
modo especial pues disponen de la mitad del para generar o acumular calor. A su vez
pueden intercambiar calor con el medio por convección y/o por radiación.
Un nodo adiabático se puede considerar como un nodo interno simétrico respecto a los dos
nodos adyacentes. Por ejemplo, si se trata del nodo 0, en la ecuación (ii) :
. (4.11)
Para el caso de un nodo convectivo el volumen para acumulación es la mitad del que le
corresponde a un nodo interno. El balance se escribe:
m
1 1m-1 m m m 1
m m m mH m P m
T T T T dTkA kA A z C A z
z z dt
A
m
P mC A z
1 1m m m m mA A A
1 122
( )
Hm m m
P
dTT T T
dt z C
PC
k
2( )
tFo
z
2( )H H H
P
Fo z
C k k t
0z z L
z
1 1m mT T
122
( )
Hm m
P
dTT T
dt z C
308 MÉTODOS NUMÉRICOS EN PROCESOS NO ESTABLES
. (4.12)
Reorganizando:
. (4.13)
Si cambiamos signo a los términos que restan, cambiando también el orden de las variables
de los respectivos paréntesis hallamos la simplificación usual de los textos de transferencia
de calor que asumen que todo el flujo de calor es hacia el nodo en cuestión facilitando la
escritura como una sumatoria. Las superficies entre los nodos las tomamos a la distancia
intermedia entre ellos teniendo en cuenta que en simetrías diferentes a la plana pueden
variar en la dirección del flujo de calor.
Las expresiones (4.9), (4.11) y (4.13) proveen la relación de cambio de la temperatura con
el tiempo. Son útiles cuando se usa el método de líneas con ayuda del comando "Integral"
del EES.
4.1.1 Método de líneas
Es una técnica para resolver ecuaciones diferenciales parciales (PDE) utilizando diferencias
finitas para las derivadas espaciales y ecuaciones diferenciales ordinarias para la derivada
respecto al tiempo (Cutlip, 2008).
COMANDO "INTEGRAL" DE EES
Este comando provee un esquema de tercer orden de precisión minimizando tiempo de
cálculo manteniendo la exactitud de los resultados. No se requiere entonces crear la malla
para el tiempo.
La solución del método numérico se logra reemplazando "Integrand" con la relación que
especifica la velocidad de cambio de la temperatura en cada nodo. Las ecuaciones (4.9) y
(4.11) para un sistema sin generación se escriben así:
. (4.9a)
Haciendo obtenemos la expresión para el nodo adiabático:
1
2 2
M M
M H P
kA T T z z dThA T T A C A
z dt
1
2
2 2M M M H
P P
T T h T TdT
dt C z Cz
1 1
2
22 1
i i iiT T TdT
i Ndt x
1 1i iT T
309 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
. (4.11a)
La ecuación (4.13) nos da la expresión para el nodo convectivo
. (4.13a)
Para completar el análisis en diferencias finitas, se expresa esta diferencial en términos de
diferencias de temperatura y tiempo:
. (4.14)
Entonces surgen dos posibilidades para el tiempo en el que se miden las temperaturas de
los lados derechos de las ecuaciones (4.9), (4.11) y (4.13). Si están en el tiempo presente,
dan origen a un método explícito, de fácil manejo, pero con problemas de estabilidad. Si
están el tiempo , dan origen al método completamente implícito, de precisión
comparable al explícito, pero incondicionalmente estable. Su manejo es más complicado
que el anterior porque se deben resolver tantas ecuaciones simultáneas como nodos en
cada intervalo de tiempo. La mezcla de los dos anteriores da origen a métodos mixtos que
mejoran la precisión y tienen mayor estabilidad que el método explícito, pero son métodos
implícitos. El más usado de estos es el método de Crank Nicolson que consiste en la
semisuma de los dos métodos anteriormente mencionados. Por ser un método de segundo
orden es más exacto que los anteriores.
Los tiempos de simulación se pueden estimar a partir de las escalas de tiempo propuestas
por (Tosun, 2007).
Transporte Molecular Convectivo
Impulso
Calor
Masa
Tabla 4.1. Escalas de tiempo para diferentes mecanismos de transporte
Los balances correspondientes se escriben a continuación:
4.1.2 Método Explícito
Nodo interno:
2 11
2
2 T TdT
dt x
1
2
2 2N N NNT T BiFo T TdT
dt tx
t t tm mT TdT
dt t
t t
2
característica /L característica característica/L V
2
característica /L característica / / PL h C
2
característica / ABL D característica / cL k
310 MÉTODOS NUMÉRICOS EN PROCESOS NO ESTABLES
A partir de la ecuación (4.9) se obtiene:
, (4.15a)
Usando las relaciones en (4.10)
. (4.15b)
Nodo adiabático:
Haciendo en la ecuación (4.15b) se obtiene
. (4.16)
Para estabilidad el coeficiente de debe ser mayor o igual a cero. En estos dos
casos .
Nodo convectivo :
Ecuaciones (4.13) y (4.14)
. (4.17a)
Si el nodo convectivo es el nodo 0 izquierdo, la ecuación tiene cambios simples:
. (4.17b)
El número de Biot para diferencias finitas se escribe como . Por tanto:
, (4.10b)
P
Ht
m
t
m
t
m
P
t
m
t
m
CTTT
zC
k
t
TT
112
1
2)(
P
Ht
m
t
m
t
m
t
mC
tFoTTFoFoTT
11
1 21
1 1
t t
m mT T
P
Ht
m
t
m
t
mC
tFoTTFoT
1
1 221
t
mT
12
Fo
M
1
12 1 2 2 2t t t HM M M
P
tT FoT Fo BiFo T BiFoT
C
1
0 1 02 1 2 2 2t t t H
P
tT FoT Fo BiFo T BiFoT
C
/Bi h z k
P
h tBiFo
C z
311 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
Para estabilidad
. (4.10c)
4.1.3 Método completamente implícito
Este método de diferencias finitas para régimen no estacionario es, a diferencia del anterior,
estable para todas las magnitudes de los intervalos de espacio y tiempo y , es decir
para todos los valores de los números de Fourier y Biot, aunque los resultados serán tanto
más precisos cuanto menores sean dichos intervalos, al reducirse los errores de
truncamiento y redondeo.
El método se diferencia del explícito en que el balance de energía se establece en el
instante en lugar del , modificando la ecuación (2) así:
. (4.18)
A diferencia del método explícito, la temperatura del nodo en el tiempo queda
expresada en función de las de los nodos vecinos, pero también en el futuro. Se hace
entonces necesario resolver simultáneamente el sistema de ecuaciones de todos los nodos
simultáneamente. Esto se puede hacer usando el método de Gauss – Seidel, o el de
inversión de matrices. Sin embargo, el software EES resuelve directamente el sistema de
ecuaciones simultáneas sin mayores condicionamientos. El hecho de ser
incondicionalmente estable le da ventaja sobre el método explícito, pues al seleccionar por
ejemplo un valor de 2 para , permite encontrar un resultado con la cuarta parte de los
pasos necesarios si usáramos el máximo para nodo interno, en el método
explícito.
Nodo interno
, (4.19a)
1 2 2 0Fo BiFo
1
2 1Fo
Bi
z t
t t t
2
1
1
11
1
1
)(
21
z
TTT
t
TT t
m
t
m
t
m
t
m
t
m
m 1t
Fo
12
Fo
P
Ht
m
t
m
t
m
P
t
m
t
m
CTTT
zC
k
t
TT
1
1
11
12
1
2)(
312 MÉTODOS NUMÉRICOS EN PROCESOS NO ESTABLES
. (4.19b)
El coeficiente de es la unidad por lo que este sistema es incondicionalmente
estable.
Nodo adiabático:
Incondicionalmente estable
; (4.20)
Nodo convectivo derecho :
.
(4.21a)
Nodo convectivo izquierdo 0:
.
(4.21b)
Como el coeficiente de es independiente de o será incondicionalmente
estable.
4.1.4 Método de Crank Nicolson
Nodo interno:
En este caso se retiene el lado izquierdo de la ecuación en diferencias finitas dada
en las ecuaciones (4.8) o (4.13) pero en el lado derecho se toma el promedio de los
lados derechos de ambas:
, (4.22a)
P
Ht
m
t
m
t
m
t
mC
tTFoTTFoFoT
1
1
11
1 21
t
mT
P
Ht
m
t
m
t
mC
tTFoTTFo
1
1
1 221
M
1 1
12 1 2 2 2t t t HM M M
P
tFoT Fo BiFo T T BiFoT
C
1 1
1 0 02 1 2 2 2t t t H
P
tFoT Fo BiFo T T BiFoT
C
t
MT Bi Fo
1 1 1 11 1 1 1
2 2
2 2
2 ( ) ( )
t t t t t t t tm m m m m m m m H
P
T T T T T T T T
t Cz z
313 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
que se puede reorganizar como:
. (4.22b)
Si , se presentan ecuaciones algebraicas acopladas de las
temperaturas desconocidas de los puntos nodales.
Las temperaturas para y se obtienen de las condiciones de frontera.
Nodo adiabático:
. (1.19)
Nodo convectivo derecho :
. (4.24a)
Nodo convectivo izquierdo 0:
, (4.24b)
Según la literatura, este método se mantiene estable para
. (4.24c)
4.2 Flujo constante en la pared nodo izquierdo (0). Generación uniforme dentro del sólido
4.2.1 Método Explícito (por unidad de área)
, (4.25a)
. (4.25b)
k
tFoTTFoFoTFoTTFoFoT Ht
m
t
m
t
m
t
m
t
m
t
m
22222 11
1
1
11
1
0,1, 2, ,m M 1M
1M 1t
mT 0,1, 2, ,m M
0m m M
k
tFoTTFoFoTTFo Htttt
10
1
1
1
0 11
M
1 1
1 11 2 1 /t t t t
M M M M H PBiFo Fo T FoT BiFoT BiFo Fo T FoT t C
1 1
0 1 0 11 2 1 /t t t t
H PBiFo Fo T FoT BiFoT BiFo Fo T FoT t C
2L
Foz
22
0
1
010 z
t
TTzCq
z
TTk H
tt
PS
tt
10 0 1
2 11 2 2 ;2
t t t S H
P P
tq tT Fo T FoT Fo
C z C
314 MÉTODOS NUMÉRICOS EN PROCESOS NO ESTABLES
4.2.2 Implícito (por unidad de área)
, (4.26a)
, (4.26b)
Siempre estable
4.2.3 Método de Crank Nicolson
Dividiendo (4.21) y (4.22) por y promediando:
. (4.27a)
Multiplicando por , colocando las incógnitas a la izquierda y los valores conocidos a la
derecha (con sus respectivos coeficientes) se encuentra:
. (4.27b)
Cuando existe convección natural o radiación, el coeficiente convectivo o el efecto radiante
se ven afectados por la temperatura de la superficie y algún tipo de método interactivo debe
usarse para cada intervalo de tiempo.
Nota: Si existe una densidad de flujo de calor constante hacia el nodo se agrega al lado
derecho del balance el término .
En resumen, los métodos implícitos producen un grupo de ecuaciones acopladas que se
deben resolver en cada intervalo de tiempo mientras que las ecuaciones del método
explícito no son acopladas. Sin embargo, al poder seleccionar intervalos de tiempo
mayores se puede obtener una respuesta más rápidamente.
22
0
1
0
1
1
1
0 z
t
TTzCq
z
TTk H
tt
PS
tt
P
H
P
Sttt
C
t
zC
tqTFoTTFo
2
221 0
1
1
1
0
2PC z
1
1
1
0100
1
0 2
ttttSH
tt
TTTTt
Fo
zk
q
kt
TT
t
k
zFoFoTTFo
k
zFoqFoTTFo H
ttStt
2
10
1
1
1
0 12
1
sq
2 /s Pq t C z
t
315 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
4.3 Simetría esférica
Figura 4.2. Simetría esférica
En coordenadas esféricas el área entre nodos consecutivos varía según:
Para todos los casos de simetría esférica:
, , ,
, (4.30)
, (4.31) , (4.32) . (4.33)
q d
rq dr
q
dr
q
r d
dsinr
z
x
yr
2
2
41
mm r
r
r
ra
2
2
41
mm r
r
r
ra
2
2
41
mr
rb
mr m r
1a b
m
1a b
m
2
11b
m
Figura 4.3. Coordenadas esféricas
. (4.28)
El elemento de volumen vinculado es
. (4.29)
2
12
mm m
rA r sen z
2
mV r sen r
316 MÉTODOS NUMÉRICOS EN PROCESOS NO ESTABLES
Realizando los balances correspondientes obtenemos:
4.3.1 Método Explícito
Nodo interno:
, (4.34)
para estabilidad .
Nodo adiabático:
, (4.35)
para estabilidad .
Nodo convectivo:
, (4.36)
para .
Nodo central:
, (4.37)
para estabilidad .
4.3.2 Método Implícito
Nodo interno:
P
Ht
m
t
m
t
m
t
mC
tTFoaTbFoTFoaT
11
1 21
1
2Fo
b
P
Httt
C
tTFoaTbFoT
10
1
0 221
1
2Fo
b
1
12 1 2 2 2t t t HM M M
P
tT Foa T a Fo BiFo T BiFoT
C
1
2Fo
a Bi
1
0 0 11 6 6Ht t t
P
tT Fo T FoT
C
1
6Fo
317 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
. (4.38)
Nodo adiabático (diferente del central):
Nodo convectivo:
. (4.40)
Nodo central:
4.3.3 Método de Crank Nicolson
Nodo interno:
. (4.42)
Nodo adiabático (diferente del central):
. (4.43)
Nodo convectivo:
. (4.44)
Nodo central:
P
Ht
m
t
m
t
m
t
mC
tTTFoaTbFoTFoa
1
1
11
1 21
P
Httt
C
tTTFoaTbFo
0
1
1
1
0 221
1 1
12 1 2 2 2t t t HM M M
P
tFoa T a Fo BiFo T T BiFoT
C
1 1
0 1 01 6 6Ht t t
P
tFo T FoT T
C
1 1 11 1 1 12 2 2 2 2t t t t t t H
m m m m m m
tFoa T bFo T Foa T Foa T bFo T Foa T
k
1 10 1 0 11 1t t t t H t
bFo T Foa T bFo T Foa Tk
1 1
1 11 2 1 /t t t t
M M M M H PBiFo Foa T Foa T BiFoT BiFo Foa T Foa T t C
(4.41)
(4.39)
318 MÉTODOS NUMÉRICOS EN PROCESOS NO ESTABLES
. (4.45)
Observe que en los balances de los nodos internos se usó como resistencia ,
desconociendo así la curvatura. Si se tiene en cuenta la curvatura, la resistencia es
y la correspondiente modificación en los nodos de frontera.
4.4 Simetría cilíndrica
En simetría cilíndrica, el área entre dos nodos sucesivos varía según:
Figura 4.4. Simetría cilíndrica
, (4.46)
en radianes.
El volumen correspondiente es:
. (4.47)
Para todos los casos de simetría cilíndrica:
1 1
0 1 0 11 3 3 1 3 3Ht t t t
P
tFo T FoT Fo T FoT
C
r kA
/ 4 [ 1] [ ]r kr i r i
x
y
z
q d
rq dr
zq
q
zq dz
rq r d
dr
12
mm m
rA r z
mV r z r
319 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
Figura 4.5. Coordenadas
cilíndricas
, ,
. (4.48)
, (4.49) . (4.50)
Haciendo los balances de manera similar a la simetría rectangular obtenemos:
4.4.1 Método Explícito
Nodo interno:
, (4.51)
para estabilidad .
Nodo adiabático (diferente del central):
, (4.52)
para estabilidad .
Nodo convectivo:
, (4.53)
para .
z
xy
mr 12 m
ra
r
12 m
ra
r
mr m r
11
2a
m
11
2a
m
1
1 11 2t t t t Hm m m m
P
tT a FoT Fo T a FoT
C
1
2Fo
1
0 0 11 2 2t t t H
P
tT Fo T a FoT
C
1
2Fo
1
12 1 2 2 2t t t HM M M
P
tT Foa T a Fo BiFo T BiFoT
C
1
2Fo
a Bi
320 MÉTODOS NUMÉRICOS EN PROCESOS NO ESTABLES
Nodo central:
. (4.54)
para estabilidad .
4.4.2 Método Implícito
Nodo interno:
. (4.55)
Nodo adiabático (diferente del central):
. (4.56)
Nodo convectivo:
. (4.57)
Nodo central:
. (4.58)
4.4.3 Método de Crank Nicolson
Nodo interno:
. (4.59)
1
0 0 11 4 4Ht t t
P
tT Fo T FoT
C
1
4Fo
1 1 11 11 2t t t t H
m m m mP
tFoa T Fo T Foa T T
C
1 10 1 01 2 2t t t H
P
tFo T Foa T T
C
1 1
12 1 2 2 2t t t HM M M
P
tFoa T a Fo BiFo T T BiFoT
C
1 1
0 1 01 4 4Ht t t
P
tFo T FoT T
C
1 1 1
1 1 1 12 2 2 2 2t t t t t t Hm m m m m m
tFoa T Fo T Foa T Foa T Fo T Foa T
k
321 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
Nodo adiabático (diferente del central):
. (4.60)
Nodo convectivo:
. (4.61)
Nodo central:
. (4.62)
Observe que en los balances de los nodos internos se usó como resistencia ,
desconociendo así la curvatura. Si se tiene en cuenta la curvatura, las resistencias son
y y la correspondiente modificación en los
nodos de frontera.
4.4.4 Método de líneas
Es una técnica para resolver ecuaciones diferenciales parciales (PDE) utilizando diferencias
finitas para las derivadas espaciales y ecuaciones diferenciales ordinarias para la derivada
respecto al tiempo (Cutlip, 2008).
COMANDO "INTEGRAL" DE EES
Este comando provee un esquema de tercer orden de precisión minimizando tiempo de
cálculo manteniendo la exactitud de los resultados. No se requiere entonces crear la malla
para el tiempo.
La solución del método numérico se logra reemplazando "Integral" con la relación que
especifica la velocidad de cambio de la temperatura en cada nodo. De las ecuaciones (4.4)
y (4.6) se puede escribir:
.
1 10 1 0 11 1t t t t H t
Fo T Foa T Fo T Foa Tk
1 1
1 11 2 1 /t t t t
M M M M H PBiFo Foa T Foa T BiFoT BiFo Foa T Foa T t C
1 1
0 1 0 11 2 2 1 2 2Ht t t t
P
tFo T FoT Fo T FoT
C
/r kA
ln [ ] / [ 1] / 2r i r i kL ln [ 1] / [ ] / 2r i r i kL
1 1
2
22 1
i i iiT T TdT
i Ndt x
322 MÉTODOS NUMÉRICOS EN PROCESOS NO ESTABLES
Haciendo obtenemos la expresión para el nodo adiabático:
.
La ecuación (4.13) nos da la expresión para el nodo convectivo derecho sin generación:
.
Al resolver el problema por este método no son necesarios los arreglos bidimensionales
pues EES guarda los valores integrados a medida que cambia el período de tiempo.
1 1i iT T
2 11
2
2 T TdT
dt x
1
2
2 2N N NNT T BiFo T TdT
dt tx
323 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
NOTAS CAPITULO 4: CÓDIGOS DE PROGRAMACIÓN
MALLA ESPACIAL Y TEMPORAL PARA CÁLCULOS EN DIFERENCIAS FINITAS
Para aplicar las ecuaciones anteriores se debe tener presente que EES no acepta el
subíndice 0 por lo que tomamos una malla de nodos. Mientras va de 0 a ,
va de 1 a .
"Setup grid" N= # [-] "number of nodes" DELTAx=L/(N-1) "distance between adjacent nodes" duplicate i=1;N x[i]=(i-1)*DELTAx "position of each node" end "Setup time steps" U= # [-] "number of time steps" t_sim= # [s] "simulation time" DELTAtime=t_sim/(U-1) "time step duration”" duplicate j=1;U time[j]=(j-1)*DELTAtime end
Ejemplos de aplicación: Usamos el mismo ejercicio que ya sirvió de aplicación al método
analítico: Los valores numéricos de prueba corresponden a sólidos de un acero inoxidable
con dimensión característica 5 cm que se enfría desde 40 °C hasta 30 °C en aire a 20 °C
con coeficiente convectivo 120 W/m2.K, , k = 17 W/m.K, Cp = 512. Las
ecuaciones referidas corresponden a las notas de clase del mismo autor.
"PLACA CRANK NICOLSON" $UnitSystem SI mass C Pa Rad J $TABSTOPS 3 6 9 12 cm "Datos" h=120 [W/m^2-K]: L=0,05 [m]: k=17,14 [W/m-K]: rho=8563 [kg/m^3] Cp=512 [J/kg-K] T_infinity=20 [C]: T_o=40 [C] "Solución analítica incorporada en EES" T=planewall_T(x;time;T_i;T_f;alpha;k;h;L) T_i=T_o: time=560: T_f=T_infinity "malla espacial" N=11 [-] "numero de nodos" DELTAx=L/(N-1) "distancia entrenodos" duplicate i=1;N x[i]=(i-1)*DELTAx "posición de cada nodo" end "malla temporal" U= 101 [-] "numero de veces que se hace el cálculo"
1N M M M
N 1M
38563 kg m
324 NOTAS MÉTODOS NUMÉRICOS EN PROCESOS NO ESTABLES
t_sim=2000 [s] "tiempo de simulación" DELTAtime=t_sim/(U-1) "tamaño del paso temporal" duplicate j=1;U time[j]=(j-1)*DELTAtime end "Definiciones" alpha=k/rho/Cp Fo_df=alpha*DELTAtime/(DELTAx)^2 "Fourier para diferencias finitas" Bi_df=h*DELTAx/k "Biot para diferencias finitas" Fo_critico=2*L/pi/DELTAx "Cálculos" duplicate i=1;N T[i;1]= T_o "condición inicial" end "Avance sobrelos intervalos de tiempo" duplicate j=1;(U-1) "Nodo adiabático izquierdo" (1+Fo_df)*T[1;j+1]-Fo_df*T[2;j+1]=(1-Fo_df)*T[1;j]+Fo_df*T[2;j] "nodos internos" duplicate i=2;(N-1) -Fo_df*T[i-1;j+1]+(2+2*Fo_df)*T[i;j+1]-Fo_df*T[i+1;j+1]=& Fo_df*T[i-1;j]+(2-2*Fo_df)*T[i;j]+Fo_df*T[i+1;j] end "nodo N" (1+Fo_df+Bi_df*Fo_df)*T[N;j+1]-Fo_df*T[N-1;j+1]=2*Bi_df*Fo_df*T_infinity+(1-Fo_df-Bi_df*Fo_df)*T[N;j]+Fo_df*T[N-1;j] end "ESFERA CRANK NICOLSON" $UnitSystem SI mass C Pa Rad J $TABSTOPS 0.2 0.4 0.6 0.8 3.5 in "Inputs" h=120 [W/m^2-K]: R=0,05 [m]: k=17,14 [W/m-K]: rho=8563 [kg/m^3] Cp=512 [J/kg-K] T_infinity=20 [C]: T_o=40 [C] "Solución analítica incorporada en EES" T=sphere_T(r;time;T_i;T_f;alpha;k;h;r_o) T_i=T_o: time=560: T_f=T_infinity:R=r_o "Setup grid" N=11 [-] "number of nodes" DELTAr=R/(N-1) "distance between adjacent nodes" duplicate i=1;N r[i]=(i-1)*DELTAr "position of each node" end
325 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
"Setup time steps" U= 101 [-] "number of time steps" t_sim=2000 [s] "simulation time" DELTAtime=t_sim/(U-1) "time step duration”" duplicate j=1;U time[j]=(j-1)*DELTAtime end "Definiciones" alpha=k/rho/Cp Fo_df=alpha*DELTAtime/(DELTAr)^2 "Fourier para diferencias finitas" Bi_df=h*DELTAr/k "Biot para diferencias finitas" Fo_critico=2*R/pi/DELTAr a_L=(b-1/i) a_R=(b+1/i) b=(1+1/i^2) "Calculations" duplicate i=1;N T[i;1]= T_o "initial condition" end
"Move through all of the time steps" duplicate j=1;(U-1) "Nodo Central" (1+3*Fo_df)*T[1;j+1]-3*Fo_df*T[2;j+1]=(1-3*Fo_df)*T[1;j]+3*Fo_df*T[2;j]+Fi*DELTAt/rho/Cp "Nodos internos" -Fo_df*a_L*T[i-1;j+1]+(2+2*b*Fo_df)*T[i;j+1]-Fo_df*a_R*T[i+1;j+1]=& Fo_df*a_L*T[i-1;j]+(2-2*b*Fo_df)*T[i;j]+Fo_df*a_R*T[i+1;j]+2*Fi*alpha*DELTAt/k end "Nodo Convectivo" (Bi*Fo_df*a_L+1)*T[N;j+1]-Fo_df*a_L*T[N-1;j+1]=2*Bi*Fo_df*T_infinity+& (1-Bi*Fo_df-Fo_df*a_L)*T[N;j]+&Fo_df*a_L*T[N-1;j]+Fi*alpha/k end
"CILINDRO CRANK NICOLSON" $UnitSystem SI mass C Pa Rad J $TABSTOPS 0.2 0.4 0.6 0.8 3.5 in "Inputs" h=120 [W/m^2-K]: R=0,05 [m]: k=17,14 [W/m-K]: rho=8563 [kg/m^3] Cp=512 [J/kg-K] T_infinity=20 [C]: T_o=40 [C] "Solución analítica incorporada en EES" T=cylinder_T(r;time;T_i;T_f;alpha;k;h;r_o) T_i=T_o: time=560: T_f=T_infinity:R=r_o "Setup grid" N=11 [-] "number of nodes" DELTAr=R/(N-1) "distance between adjacent nodes" duplicate i=1;N
326 NOTAS MÉTODOS NUMÉRICOS EN PROCESOS NO ESTABLES
r[i]=(i-1)*DELTAr "position of each node" end "Setup time steps" U= 101 [-] "number of time steps" t_sim=2000 [s] "simulation time" DELTAtime=t_sim/(U-1) "time step duration”" duplicate j=1;U time[j]=(j-1)*DELTAtime end "Definiciones" alpha=k/rho/Cp Fo_df=alpha*DELTAtime/(DELTAr)^2 "Fourier para diferencias finitas" Bi_df=h*DELTAr/k "Biot para diferencias finitas" Fo_critico=2*R/pi/DELTAr a_L=(b-1/i) a_R=(b+1/i) b=(1+1/i^2) "Calculations" duplicate i=1;N T[i;1]= T_o "initial condition" end "Move through all of the time steps" duplicate j=1;(U-1) "Nodo Central" (1+3*Fo_df)*T[1;j+1]-3*Fo_df*T[2;j+1]=(1-3*Fo_df)*T[1;j]+3*Fo_df*T[2;j]+Fi*DELTAt/rho/Cp "Nodos internos" -Fo_df*a_L*T[i-1;j+1]+(2+2*b*Fo_df)*T[i;j+1]-Fo_df*a_R*T[i+1;j+1]=& Fo_df*a_L*T[i-1;j]+(2-2*b*Fo_df)*T[i;j]+Fo_df*a_R*T[i+1;j]+2*Fi*alpha*DELTAt/k end "Nodo Convectivo" (Bi*Fo_df*a_L+1)*T[N;j+1]-Fo_df*a_L*T[N-1;j+1]=2*Bi*Fo_df*T_infinity+& (1-Bi*Fo_df-Fo_df*a_L)*T[N;j]+&Fo_df*a_L*T[N-1;j]+Fi*alpha/k end a_L=(1-1/2/i) a_R=(1+1/2/i) "Nodo Central" (1+2*Fo_df)*T[1;j+1]-2*Fo_df*T[2;j+1]=(1-2*Fo_df)*T[1;j]+2*Fo_df*T[2;j]+Fi*DELTAt/rho/Cp "Nodo interno" -Fo_df*a_L*T[i-1;j+1]+(2+2*Fo_df)*T[i;j+1]-Fo_df*a_R*T[i+1;j+1]=& Fo_df*a_L*T[i-1;j]+(2-2*Fo_df)*T[i;j]+Fo_df*a_R*T[i+1;j]+2*Fi*alpha*DELTAt/k "Nodo Convectivo" (Bi*Fo_df*a_L+1)*T[N;j+1]-Fo_df*a_L*T[N-1;j+1]=2*Bi*Fo_df*T_infinity+& (1-Bi*Fo_df-Fo_df*a_L)*T[N;j]+Fo_df*a_L*T[N-1;j]+Fi*alpha/k
327 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
NOTA: El símbolo & (ampersand) se usa para darle continuidad a una expresión que debe
escribirse en más de un renglón.
EES DIFERENCIAS FINITAS
Información previa
k= :rho= :C_p= :alpha=k/rho/C_p: h= : L= : T_ini= DELTAx= : t_sim= : DELTAtime= M=t_sim/DELTAtime+1: N=L/DELTAx+1 Fo=alpha*DELTAtime/DELTAx^2: Bi=h*DELTAx/k
Construcción de los nodos (malla de nodos)
duplicate i=1;N x[i]=(i-1)*DELTAx end
Construcción períodos de tiempo (malla de tiempo)
duplicate j=1;M time[j]=(j-1)*DELTAtime end
Condición inicial
duplicate T[i,1]=T_ini end
MÉTODO EXPLÍCITO O DE EULER
Controlar para DELTA time máximo
si hay nodo(s) convectivo(s), de lo contrario . Para mejor
exactitud .
Nodo Adiabático Izquierdo (Ecuación 4.16) [10], N posición, j , M tiempo
duplicate j=1; (M-1) (nodo 1) T[1;j+1]=(1-2*Fo)*T[1,j]+2*Fo*T[2,j]
Nodos internos (Ecuación 4.15b)
1 2 1Fo Bi 1 2Fo
1 4Fo
328 NOTAS MÉTODOS NUMÉRICOS EN PROCESOS NO ESTABLES
duplicate i=2;(N-1) T[i;j+1]=Fo*T[i-1;j]+(1-2*Fo)*T[i;j]+Fo*T[i+1;j] end
Nodo convectivo derecho (Ecuación 4.17a) (nodo N)
T[N;j+1]=2*Fo*T[N-1;j]+(1-2*Fo-2*Bi*Fo)*T[N;j]+2*Bi*Fo*T_infinity end
Puede haber nodo convectivo izquierdo, nodo 1, con Bi igual o diferente al derecho y
también con T_infinity igual o diferente:
T[1;j+1]=2*Fo*T[2;j]+(1-2*Fo-2*Bi*Fo)*T[1;j]+2*Bi*Fo*T_infinity
Para construir los gráficos:
New Plot Window-arrayx[] en X y arrays T[i;1].T[I;#]..etc para Y
MÉTODO COMPLETAMENTE IMPLÍCITO
Incondicionalmente estable (se pueden seleccionar y independientemente. En
Matlab la solución no es comparable puesto que no puede resolver expresiones implícitas.
Nodo Adiabático Izquierdo (Ecuación 4.20) [10], N posición, j , M tiempo
duplicate j=1; (M-1) (nodo 1) T[1;j]=(1+2*Fo)*T[1;j+1]-2*Fo*T[2;j+1]
Nodos internos (Ecuación 4.19b)
duplicate i=2;(N-1) T[i;j]=-Fo*T[i-1;j+1]+(1+2*Fo)*T[i;j+1]-Fo*T[i+1;j+1] end
Nodo convectivo derecho (Ecuación 4.21a) (nodo N)
T[N;j]=-2*Fo*T[N-1;j+1]+(1+2*Fo+2*Bi*Fo)*T[N;j+1]-2*Bi*Fo*T_infinity end
Si existe nodo conectivo izquierdo, la modificación es simple. Son válidas las observaciones
hechas en el párrafo correspondiente para el método explícito.
T[1;j]=-2*Fo*T[2;j+1]+(1+2*Fo+2*Bi*Fo)*T[1;j+1]-2*Bi*Fo*T_infinity
N M
329 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
MÉTODO DE CRANK – NICOLSON
Combina los dos métodos anteriores y tiene mayor precisión que estos porque involucra
dos estimaciones de la velocidad de cambio en cada nodo en cada intervalo de tiempo.
Nodo Adiabático Izquierdo (Ecuación 1.19) i, N posición, j , M tiempo
duplicate j=1; (M-1) (nodo 1) (1+Fo)*T[1,j+1]-Fo*T[2,j+1]=(1-Fo)*T[1,j]+Fo*T[2,j]
Nodos internos (Ecuación 4.22b)
duplicate i=2;(N-1) -Fo*T[i-1;j+1]+(2+2*Fo)*T[i;j+1]-Fo*T[i+1;j+1]=Fo*T[i-1;j]+(2-2*Fo)*T[i;j]+Fo*T[i+1;j] end
Nodo convectivo derecho (Ecuación 4.24a) (nodo N)
(1+Fo+Bi*Fo)*T[N;j+1]-Fo*T[N-1;j+1]=2*Bi*Fo*T_infinity+(1-Fo-Bi*Fo)*T[N;j]+Fo*T[N-1;j] end
Si hay nodo izquierdo la modificación es simple teniendo en cuenta que el coeficiente
convectivo (que afecta ) y la temperatura del medio pueden ser diferentes de las del lado
derecho (si lo hay)
(1+Fo+Bi*Fo)*T[1;j+1]-Fo*T[2;j+1]=2*Bi*Fo*T_infinity+(1-Fo-Bi*Fo)*T[1;j]+Fo*T[2;j]
MÉTODO DE LAS LÍNEAS
dTdt[1]=2*alpha*(T[2]-T[1])/DELTAx^2 "adiabático" duplicate i=2;(N-1) dTdt[i]=alpha*(T[i-1]+T[i+1]-2*T[i])/DELTAx^2 "interior" end dTdt[N]=2*alpha*(T[N-1]-T[N])/DELTAx^2+2*Bi*Fo*(T_infinity-T[N])/DELTAtime "N" duplicate i=1;N T[i]=T_ini+INTEGRAL(dTdt[i],time,0,t_sim) end
Nota: si el nodo tiene valor constante, este duplicate debe ir hasta .
Si el nodo 1 es convectivo, nuevamente con las advertencias ya hechas en los casos
anteriores, la expresión es:
Bi
N 1N
330 NOTAS MÉTODOS NUMÉRICOS EN PROCESOS NO ESTABLES
dTdt[1]=2*alpha*(T[2]-T[1])/DELTAx^2+2*Bi*Fo*(T_infinity-T[1])/DELTAtime "1"
Observe que después de que se completan los cálculos, el arreglo provee la
temperatura de cada nodo al final del tiempo de la simulación . La variación de la
temperatura de cada nodo con el tiempo puede encontrarse incluyendo el siguiente
comando:
$IntegralTable VarName:Interval;x;y;z
Aquí VarName es la variable de integración (tiempo), Interval es el intervalo de tiempo que se
quiere en la tabla y que es independiente del paso usado en la integración, y las variables
son las variables que se quieren reportar. Tenga en cuenta que para un arreglo se
puede usar notación de rango como una variable (por ej. indica una lista de todas
las temperaturas nodales, siempre y cuando la variable se haya definido previamente.
Para obtener una tabla integral que contiene los valores de todas las temperaturas nodales
a intervalos de 1 s, se agrega la siguiente orden:
$IntegralTable time:1; T[1..N]
Después de correr el código (solve), se puede generar una tabla integral. Estos valores se
pueden usar para crear gráficas de la misma manera como se usan los datos de una tabla
paramétrica o de un arreglo.
T i
_t t sim
, ,x y z
1T N
N
331 PROCESOS EN ESTADO TRANSITORIO
CONCLUSIONES A lo largo del desarrollo de este trabajo se evidenció el que el software utilizado es una herramienta versátil, de alta confiabilidad y de fácil utilización. Aunque este software originalmente fue desarrollado para apoyar cursos de termodinámica, ha tenido un gran desarrollo en subrutinas que apoyan operaciones con transferencia de calor. Debido a que incluye muchas correlaciones basadas en propiedades de transporte se convierte también en un poderoso apoyo para otros cursos del área de fenómenos de transporte como transferencia de masa y cantidad de movimiento o flujo de fluidos. Se solucionaron problemas que sin la ayuda de este software no hubiera sido posible plantearlos a nivel de pregrado. Los alumnos conceptualizan más fácilmente el sentido de las variables que intervienen en un problema y prácticamente visualizan la evolución de las temperaturas o concentraciones en el sistema estudiado. Muchos de los estudiantes no tenían manejo de otros softwares y algunos comienzan a utilizar el Matlab. Sin embargo todos terminaron adoptando el EES, y como evidencia, las guías que se incluyen en este trabajo, fueron aportes de diferentes subgrupos a través de un taller. De hecho, muchos de los alumnos del curso comenzaron a utilizarlo para presentar sus trabajos de otras asignaturas del semestre. El ingeniero de hoy debe tener habilidades en el uso de herramientas computacionales y el plan de estudios debe ofrecer esta posibilidad desde sus comienzos. Este software, de fácil aprendizaje permite introducir en las diferentes asignaturas ejercicios realistas que no pueden solucionarse usando un conjunto de cálculos secuenciales para resolverse con lápiz y calculadora. La utilización de este software facilita el dimensionamiento, el estudio paramétrico y la optimización de sistemas del mundo real.
332
RECOMENDACIONES Se hace recomendación para que otros docentes exploren la posibilidad de introducir este software en sus clases, en especial los cursos de termodinámica y transferencia de calor. La Facultad de Ingeniería y Arquitectura de la Sede Manizales de la Universidad Nacional de Colombia adquirió la versión académica comercial de este software por US$ 1500 y la licencia se renueva anualmente en forma gratuita. Esta licencia se puede mejorar a profesional por $US$ 2250 adicionales (más los impuestos de nuestro país) con las mismas condiciones de renovación anual y gratuita. La versión profesional del software es más poderosa y permite gran cantidad de actividades adicionales, las que pueden ser consultadas en la página de los creadores: http://fchart.com/ees/pro-comm-versions.php
333
ANEXOS
334
TABLA A.1: Coeficientes usados en la aproximación a un término de la solución en series de Fourier para la
conducción transitoria unidimensional con convección. Bi = hL/k para la pared plana simétrica y hR/k para el
cilindro infinito y la esfera (kcL/mDAB y kcR/mDAB en transferencia de masa) (Incropera et al [39] p 227)
Pared
Plana
Cilindro
Infinito
Esfera
Bi (rad) (rad) (rad)
0.01 0.0998 1.0017 0.1412 1.0025 0.1730 1.0030
0.02 0.1410 1.0033 0.1995 1.0050 0.2445 1.0060
0.03 0.1732 1.0049 0.2439 1.0075 0.2989 1.0090
0.04 0.1987 1.0066 0.2814 1.0099 0.3450 1.0120
0.05 0.2217 l.0082 0.3142 1.0124 0.3852 1.0149
0.06 0.2425 1.0098 0.3438 1.0148 0.4217 1.0179
0.07 0.2615 1.0114 0.3708 1.0173 0.4550 1.0209
0.08 0.2791 1.0130 0.3960 1.0197 0.4860 1.0239
0.09 0.2956 1.0145 0.4195 1.0222 0.5150 1.0268
0.10 0.3111 1.0160 0.4417 1.0246 0.5423 1.0298
0.15 0.3779 1.0237 0.5376 1.0365 0.6608 1.0445
0.20 0.4328 1.0311 0.6170 1.0483 0.7593 1.0592
0.25 0.4801 1.0382 0.6856 1.0598 0.8448 1.0737
0.30 0.5218 1.0450 0.7465 1.0712 0.9208 1.0880
0.4 0.5932 1.0580 0.8516 1.0932 1.0528 1.1164
0.5 0.6533 1.0701 0.9408 1.1143 1.1656 1.1441
0.6 0.7051 1.0814 1.0185 1.1346 1.2644 1.1713
0.7 0.7506 1.0919 1.0873 1.1539 1.3525 1.1978
0.8 0.7910 1.1016 1.1490 1.1725 1.4320 1.2236
0.9 0.8274 1.1107 1.2048 1.1902 1.5044 1.2488
1.0 0.8603 1.1191 1.2558 1.2071 1.5708 1.2732
2.0 1.0769 1.1795 1.5995 1.3384 2.0289 1.4793
3.0 1.1925 1.2102 1.7887 1.4191 2.2889 1.6227
4.0 1.2646 1.2287 1.9081 1.4698 2.4556 1.7201
5.0 1.3138 1.2402 1.9898 1.5029 2.5704 1.7870
6.0 1.3496 1.2479 2.0490 1.5253 2.6537 1.8334
7.0 1.3766 1.2532 2.0937 1.5411 2.7165 1.8674
8.0 1.3978 1.2570 2.1286 1.5526 2.7654 1.8921
9.0 1.4149 1.2598 2.1566 1.5611 2.8044 1.9106
10.0 1.4289 1.2620 2.1795 1.5677 2.8363 1.9249
20.0 1.4961 1.2699 2.2881 1.5919 2.9857 1.9781
30.0 1.5202 1.2717 2.3261 1.5973 3.0372 1.9898
40.0 1.5325 1.2723 2.3455 1.3993 3.0632 1.9942
50.0 1.5400 1.2727 2.3572 1.6002 3.0788 1.9962
100 1.5552 1.2731 2.3809 1.6015 3.1102 1.9990
1.5707 1.2733 2.4050 1.6018 2.0
Bi = implica que la concentración en el medio ( ) es igual a la de la superficie ( ).
1 1C 1 1C 1 1C
S
335
TABLA A.2: Primeras seis raices, , de . Se usa en simetría cilíndrica
con convección. Aquí C equivale a Bi (Necati [53] pp 484-485)
C 1 2 3 4 5 6
0 0 3.8317 7.0156 10.1735 13.3237 16.4704
0.01 0.1412 3.8343 7.0170 10.1745 13.3244 16.4712
0.02 0.1995 3.8369 7.0184 10.1754 13.3252 16.4718
0.04 0.2814 3.8421 7.0213 10.1774 13.3267 16.4731
0.06 0.3438 3.8473 7.0241 10.1794 13.3282 16.4743
0.08 0.3960 3.8525 7.0270 10.1813 13.3297 16.4755
0.1 0.4417 3.8577 7.0298 10.1833 13.3312 16.4767
0.15 0.5376 3.8706 7.0369 10.1882 13.3349 18.4797
0.2 0.6170 3.8835 7.0440 10.1931 13.3387 16.4828
0.3 0 7465 3.9091 7.0582 10.2029 13.3462 16.4888
0.4 0.8516 3.9344 7.0723 10.2127 13.3537 16.4949
0.5 0.9408 3.9594 7.0864 10.2225 13.3611 16.5010
0.6 1.0184 3.9841 7.1004 10.2322 13.3686 16.5070
0.7 1.0873 4.0085 7.1143 10.2419 13.3761 16.5131
0.8 1.1490 4.0325 7.1282 10.2516 13.3835 16.5191
0.9 1.2048 4.0562 7.1421 10.2613 13.3910 16.5251
1.0 1.2558 4.0795 7.1558 10.2710 13.3984 16.5312
1.5 1.4569 4.1902 7.2233 10.3188 13.4353 16.5612
2.0 1.5994 4.2910 7.2884 10.3658 13.4719 18.5910
3.0 1.7887 4.4634 7.4103 10.4566 13.5434 16.6499
4.0 1.9081 4.6018 7.5201 10.5423 13.6125 16.7073
5.0 1.9898 4.7131 7.6177 10.6223 13.6786 16.7630
6.0 2.0490 4.8033 7.7039 10.6964 13.7414 16.8168
7.0 2.0937 4.8772 7.7797 10.7646 13.8008 16.8684
8.0 2.1286 4.9384 7.8464 10.8271 13.8566 16.9179
9.0 2.1566 4.9897 7.9051 10.8842 13.9090 16.9650
10.0 2.1795 5.0332 7.9569 10.9363 13.9580 17.0099
15.0 2.2509 5.1773 8.1422 11.1367 14.1576 17.2008
20.0 2.2880 5.2568 8.2534 11.2677 14.2983 17.3442
30.0 2.3261 5.3410 8.3771 11.4221 14.4748 17.5348
40.0 2.3455 5.3846 8.4432 11.5081 14.5774 17.6508
50.0 2.3572 5.4112 8.4840 11.5621 14.6433 17.7272
60.0 2.3651 5.4291 8.5116 11.5090 14.6889 17.7807
80.0 2.3750 5.4516 8.5466 11.6461 14.7475 17.8502
100.0 2.3809 5.4652 8.5678 11.6747 14.7834 17.8931
J0() = 0
2.4048 5.5201 8.6537 11.7915 14.9309 18.0711
i J CJ1 0 0( ) ( )
336
TABLA A.3 Primeras seis raíces de .Las raíces son todas reales si C > 0. Se usa en
placas con convección. en radianes. Aquí C equivale a Bi (Necati [53] pp 484-485).
C 1 2 5
0 0 3.1416 6.2832 A9.4248 12.5664 15.7080
0.001 0.0316 3.1419 6.2833 9.4249 12.5665 15.7080
0.002 0.0447 3.1422 6.2835 9.4250 12.5665 15.7081
0.004 0.0632 3.1429 6.2838 9.4252 12.5667 15.7082
0.006 0.0774 3.1435 6.2841 9.4254 12.5668 15.7083
0.008 0.0893 3.1441 6.2845 9.4256 12.5670 15.7085
0.01 0.0998 3.1448 6.2848 9.4258 12.5672 15.7086
0.02 0.1410 3.1479 4.2864 9.4269 12.5680 15.7092
0.04 0.1987 3.1543 4.2895 9.4290 12.5696 15.7105
0.06 0.2423 3.1606 6.2927 9.4311 12.5711 15.7118
0.08 0.2791 3.1668 6.2959 9.4333 12.5727 15.7131
0.1 0.3111 3.1731 6.2991 9.4354 12.5743 15.7143
0.2 0.4328 3.2039 6.3148 9.4459 12.5823 15.7207
0.3 0.5218 3.2341 6.3305 9.4565 12.5902 15.7270
0.4 0.5932 3.2636 6.3461 9.4670 12.5981 15.7334
0.5 0.6533 3.2923 6.3616 9.4775 12.6060 15.7397
0.6 0.7051 3.3204 6.3770 9.4879 12.6139 15.7460
0.7 0.7506 3.3477 6.3923 9.4983 12.6218: 15.7524
0.8 0.7910 3.3744 6.4074 9.5087 12.6296 15.7587
0.9 0.8274 3.4003 6.4224 9.5190 12.6375. 15.7650
1.0 0.8603 3.4256 6.4373 9.5293 12.6453 15.7713
1.5 0.9882 3.5422 6.5097 9.5801 12.6841 15.8026
2.0 1.0769 3.6436 6.5783 9.6296 12.7223 15.8336
3.0 1.1925 3.8088 6.7040 9.7240 12.7966 15.8945
4.0 1.2646 3.9352 6.8140 9.8119 12.8618 15.9536
5.0 1.3138 4.0336 6.9096 9.8928 12.9352 16.0107
6.0 1.3496 4.1116 6.9924 9.9667 12.9938 16.0654
7.0 1.3766 4.1746 7.0640 10.0339 13.0504 16.1177
8.0 1.3978 4.2264 7.1263 10.0949 13.1141 16.1675
9.0 1.4149 4.2694 7.1806 10.1502 13.1660 16.2147
10.0 1.4289 4.3058 7.2281 10.2003 13.2142 16.2594
15.0 1.4729 4.4255 7.3959 10.3898 13.4078 16.4474
20.0 1.4961 4.4915 7.4954 10.5117 13.5420 16.5864
30.0 1.5202 4.5615 7.6O57 10.6543 13.7085 16.7691
40.0 1.5325 4.5979 7.6647 10.7334 13.8048 16.8794
50.0 1.5400 4.6202 7.7012 10.7832 13.8666 16.9519
60.0 1.5451 4.6353 7.7259 10.8172 13.9094 17.0026
80.0 1.5514 4.6343 7.7573 10.8606 13.9644 17.0686
100.0 1.5552 4.6658 7.7764 10.8871 13.9981 17.1093
(n-1/2)
1.5708 4.7124 7.8540 10.9956 14.1372 17.2788
n tann C
n
337
TABLA A.4: Primeras seis raices de . Se usa en sitemas esféricos con
convección. en radianes. Aquí el equivalente es (Necati [53] pp 484-485)
-1.0 0 4.4934 7.7253 10.041 14.0662. 17.2208
-0.995 0.1224 4.4945 7.7259 10.9046 14.0666 17.2210
-0.99 0.1730 4.4956 7 7265 10.9050 14 0669 17.2213
-0.98 0.2445 4.4979 7.7278 10.9060 14 0676 17.2219
-0.97 0.2991 4.5001 7.7291 10.9069 14.0683 17.2225
-0.96 0.3450 4.5023 7.7304 10.9078 14.0690 17.2231
-0.95 0.3854 4.5045 7.7317 10.9087 1 4.0697 17.2237
-0.94 0.4217 4.5068 7.7330 10.9096 14.0705 17.2242
-0.93 0 4551 4.5090 7.7343 10.9105 14.0712 17.2248
-0.92 0.4860 4.5112 7.7356 10.9115 14.0719 17.2254
-0.91 0.5150 4.5134 7.7369 10.9124 14.0726 17.2260
-0.90 0.5423 4.5157 7.7382 10.9133 14.0733 17.2266
-0.85 0.6609 4.5268 7.7447 10.9179 14.0769 17.2295
-0.8 0.7593 4.5423 7.7511 10.9225 14.0804 17.2324
-0.7 0.9208 4.5601 7.7641 10.9316 14.0875 17.2382
-0.6 1.0528 4.5822 7.7770 10.9408 14.0946 17.2440
-0.5 1.1656 4.6042 7.7899 10.9499 14.1017 17.2498
-0.4 1.2644 4.6261 7.8028 10 9591 14.1088 17.2556
-0.3 1.3525 4.6479 7.8156 10.9682 14.1159 17.2614
-0.2 1.4320 4.6696 7.8284 10.9774 14.1230 17.2672
-0.1 1.5044 4.6911 7.8412 10.9865 14.1301 17.2730
0 1.5708 4.7124 7.8540 10.9956 14.1372 17.2788
0.1 1.6320 4.7335 7.8667 11.0047 14.1443 17.2845
0.2 1.6887 4.7544 7.8794 11.0137 14.1513 17.2903
0 3 1.7414 4.7751 7.8920 11.0228 14.1584 17.2961
0.4 1.7906 4.7956 7.9046 11.0318 14.1654 17.3019
0 5 1.8366 4.8158 7.9171 11.0409 14.1724 17.3076
0.6 1.8798 4.8358 7.9295 11.0498 14.1795 17.3134
0.7 1.9203 4.8556 7.9419 11.0588 14.1865 17.3192
0.8 1.9586 4.8751 7.9542 11.0677 14.1935 17.3249
0.9 1.9947 4.8943 7.9665 11.0767 14.2005 17.3306
1.0 2.0288 4.9132 7.9787 11.0856 14.2075 17.3364
1.5 2.1746 5.0037 8.0385 11.1296 14.2421 17.3649
2.0 2.2889 5.0870 8.0962 11.1727 14.2764 17.3932
3 0 2.4557 5.2329 8.2045 11.2560 14.3434 17.4490
4.0 2.5704 5.3540 8.3029 11.3349 14.4080 17.5034
5.0 2.6537 5.4544 8.3914 11.4086 14.4699 17.5562
6.0 2 7165 5.5378 8.4703 11.4773 14.5288 17.6072
7.0 2.7165 5.6078 8.5406 11.5408 14.5847 17.6562
8.0 2.8044 5.6669 8.6031 11.5994 14.6374 17.7032
9.0 2.8363 5.7172 8.6587 11.6532 14.6870 17.7481
10.0 2.8628 5.7606 8.7083 11.7027 14.7335 17.7908
15.0 2.9476 5.9080 8.8898 11.8959 14.9251 17.9742
20.0 2.9930 5.9921 9.0019 12.0250 15.0625 18.1136
30.0 3 0406 6.0831 9.1294 12.1807 15.2380 18.3018
40.0 3.0651 6.1311 9.1987 12.2688 15.3417 18.4180
50.0 3.0801 6.1606 9.2420 12.3247 15.4090 18.4953
60.0 3.0901 6.1805 9.2715 12.3632 15.4559 18.5497
80.0 3.1028 6.2058 9.3089 1.4124 15.5164 18.6209
100.0 3.1105 6.2211 9.3317 12.4426 15.5537 18.6650
n
2 3 4 5 6
cot 0C
1C Bi
C1 2 3 4 5 6
338
TABLA A.5: TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE (Arpaci [4] pp 344-348). En esta tabla , y son reales positivos,
no tienen restricciones, es un numero entero finito, es un numero entero finito o cero, es un número fraccionario;
; ; ;
1 2
q p a a x
, , k n
1 2 3 !n n
1 3 5 2 1 2 1 !!n n 1 !n n n n 1 0! 1 1 212
1 sin
No. Transformada Función
1 1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
p
2
1
pt
1kp
1
1 !
kt
k
1 2
1
p 1 2
1
t
3 2
1
p
1 2
2t
1 2
1kp
1 2
1 2
2
2 1 !!
kkt
k
1
p
1t
1 2p 1 2 3 2
1
2 t
3 2p 1 2 5 2
3
4 t
339
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
1 2kp 1 2 1 2
1 2 1 !!
2
k
k k
k
t
np
1nt
n
1
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1
p p
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2
1
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1
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t t te e e
2
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2
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3
1
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2
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p
1
1 !
k tt e
k
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p p
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2
p
p 1 tt e
340
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
p
p p p
t t te e e
2
p
p p
2
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3
p
p
11
2
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2 2p
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2 2
p
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2 2p
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2 2
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2
4
13 22
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2
4
12 x
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1
22
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q xe
q p
1 22
4
12
22
xatat x
e x erfcat
341
32
33
34
35
36
37
38
2
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p
122
4
12
2
2 2
xatx x t
t erfc x ea aat
21 n
q xe
p
21
2
42
n n xt i erfc
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34
q xe
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1
2 2
811
42
21
82
xatx x
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q
122
2 14 2
122
xat x a ta x
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2 12
122
x a t xae erfc at
at
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2 12
1 12 2
1 1
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x a tx xerfc e erfc at
at at
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122
4
12
2 12
12
2
2
12
2
1
2
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x a t
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at
342
39
40
41
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1
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12
12
12
1
0
2
22
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n
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nn
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2
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345
GUIA BREVE AL USO DEL SOFTWARE EES
El texto que se presenta a continuación es un resumen de varias propuestas hechas por
subgrupos de estudiantes, atendiendo sus experiencias en la utilización de esta
herramienta de cálculo.
Se fundamenta principalmente en el trabajo realizado por los siguientes alumnos:
Leydi Johana Patiño, Manuel Alejandro Ruiz Montoya, Juan José Uribe Garzón, Laura
Alejandra Jaramillo Castro, Karla Yaneth Mora Bonilla, Reynell Junior Perez Blanco, Darío
Fernando Yépez Vela, Catherine Canaval López.
INTRODUCCIÓN
Estas son solo algunas de las funciones con las cuales el EES cuenta en su software, que
sirven de gran utilidad ya que con él se pueden reducir tiempo y esfuerzo respecto a los
cálculos que posiblemente podrían hasta tomar el doble o el triple de tiempo, realmente
esto solo es un poco y a grandes rasgos de lo que se puede hacer en el programa, pero sin
duda es una herramienta que ya sea estudiante o profesionista debe de saber manejar y
tener a la mano
CONOCIMIENTO BÁSICO DE EES:
EES (Engineering Equations Solver) es un programa o software que puede resolver
numéricamente ecuaciones algebraicas. El programa también puede ser usado para
resolver ecuaciones diferenciales e integrales, hacer la optimización, proporcionar análisis
de incertidumbre, realizar regresiones lineales y no lineales, convertir unidades, y generar
gráficos con calidad de publicación.
346 La interfaz de EES es de fácil manejo y entendimiento, lo que la lleva a ser amigable e
intuitiva para el usuario.
La interfaz está compuesta por una Equations Window y una toolbar o barra de
herramientas.
Equations window: Es el espacio donde se escribe el código a solucionar para un
problema específico.
Como se puede ver en la imagen anterior, para realizar algún comentario debe estar entre comillas,
de otra forma el programa dirá que hay un error.
Ahora que se tiene escrito el primer sistema de ecuaciones a resolver, se debe verificar que haya el
mismo número de ecuaciones e incógnitas, para encontrar la solución e igualmente elegir el sistema
347
de unidades que se va a emplear, la siguiente imagen muestra cómo hacerlo.
Como se ve en la figura anterior, el programa nos dice que tenemos 2 ecuaciones y 3 variables, por lo
tanto debemos verificar que variable no se encuentra especificada, de lo contrario EES no podrá
encontrar la solución al problema.
Si se desea ver las ecuaciones de forma más clara, se le da formato, como se muestra en la siguiente
imagen o por Windows Equations Formatted
348
Los resultados se ven en la ventana solution, como se muestra en la imagen anterior.
EES también ofrece la posibilidad de linealizar las gráficas dando la opción de regresiones
lineales y no lineales; para esto seleccionamos el menú Plots comando Curve Fit
generando el siguiente cuadro
349
Se pueden seleccionar el tipo de ecuación, dar clic en Fit y se genera la gráfica de la
linealización con la ecuación correspondiente
350
En la siguiente imagen se dan valores a la variable z, para poder resolver el sistema que se muestra.
Para darle solución al sistema, sigue las instrucciones de la siguiente imagen
351
Resumiendo, para el ingreso de las ecuaciones en la Equations window se debe tener
presente:
1. EES no distingue entre mayúsculas y minúsculas.
2. Los comentarios deben escribirse entre llaves {} o dentro de comillas" " rectas.
Cuando se trae un documento de Word se debe tener cuidado que no tenga
comillas tipográficas. Los comentarios en EES aparecen en color azul
3. Los nombres de las variables deben empezar con una letra.
4. No importa el orden en el que se introduzcan las ecuaciones.
5. Es muy importante si el teclado está en español, el separador de decimales es la
coma (,) y no el punto, por lo que se modifican otros separadores que aparecen en
el manual así: si el (.) se reemplaza por la (,) la (,) se reemplaza por (;) y el (;) por (:).
Los exponentes de 10 se escriben muy fácil: 0,003 es 3e-3; un millón es 1e6.
Si se desea cambiar la presentación de la pantalla en el equation windows, bata ir a
opciones, preferencia, en una pestaña inferior display y cambia tamaño y tipo de
letra si se desea.
Lo que facilita mucho el uso del programa es que prácticamente es como si se estuvieran
escribiendo las ecuaciones en una calculadora. Para mayor estética con respecto a algunas
variables que tengan algún sufijo estas pueden escribirse de la siguiente manera por
ejemplo al escribir en nuestra ventana “Equation Window” T_1 al cargar el programa este
automáticamente lo colocara como T1.
Existen varias figuras que también podemos utilizar en el programa tales como “𝜟α∞”
utilizando comandos como los siguientes:
De esta manera al correr el programa nos daría lo siguiente:
Para obtener las letras griegas estas deben escribirse correctamente a saber: lambda ,
rho , PHI , distinguiendo entre la letra mayúscula y la minúscula. Algunos símbolos
adicionales se obtienen así: x_dot , x_ddot , x_hat , x_bar , x|alpha . Cuando una
ecuación es muy larga, se puede dividir en la escritura en diferente renglón, pero EES
comprende que es la misma ecuación usando el signo & (ampersand o y comercial).
x x x̂ x x
352 Para la colocación de unidades estas deben ir entre corchetes “[ ]” para que el programa las
pueda leer y aparezcan en el momento de calcular el sistema de ecuaciones por ejemplo:
Así al momento de calcular saldrá de la siguiente manera:
Siempre buscando que no se encuentren errores de unidades.
El programa también maneja el cambio de unidades desde la ventana “Equation Window”,
por ejemplo se tiene cierto dato en pulgadas (in) y se quiere convertir a pies (ft) para que se
puede llevar a cabo la conversión se utiliza la siguiente nomenclatura:
De esta manera el programa EES realiza la conversión y arroja el resultado de la siguiente
forma:
Así como este ejemplo el programa EES cuenta con todo tipo de unidades tanto en el SI
como en el inglés, con las cuales se pueden realizar estos comandos siempre y cuando
sean consistentes.
Convert temp Para las conversiones de temperatura EES utiliza un comando diferente
conocido como converttemp el cual se usa como se muestra a continuación:
Converttemp(‘From’,’To’,’valor’)
Por ejemplo: TF=converttemp (C, F,100) da el equivalente a 100 °C en °F.
Para poder acceder a la base de datos que contiene las propiedades termodinámicas y
termo físicas de las sustancias e incluirlas en la ventana “Equation Window”, se deben de
hacer los siguientes pasos:
353
Primero se puede acceder a ella por desde el uso del comando antes mencionado que
se encuentra en la parte superior de la ventana principal o por medio de (Ctrl+Alt+F).
También entrando por la pestaña Options.
Después al usuario le aparecerá la siguiente ventana:
La cual contiene todas las propiedades así como los fluidos y las unidades en las que se
quiera emplear ahí el usuario selecciona el fluido que necesita y en la parte inferior le
aparecerá el código con las especificaciones que el usuario selecciono de la siguiente
manera:
Le da click a la opción de paste y automáticamente el código aparecerá en la ventana de
“Equation Window”
Para este ejemplo se seleccionó buscar la capacidad calorífica del agua donde uno puede
manipular la temperatura como la presión para obtener el dato que se necesita por ejemplo:
354
Estos valores pueden ser manejados a las condiciones en las que se necesitan en el
sistema de ecuaciones para este ejemplo obtenemos que:
El programa también da la opción de colocar comentarios en la ventana “Equation Window”
estos comentarios deben de ir entre {} o ente "" rectas, no tipográficas, para que no
interfieran con el sistema de ecuaciones y no marque error al momento de querer
solucionarlo, como por ejemplo:
De esta manera se puede introducir cualquier tipo de comentario para así saber tanto para
el usuario como para otras personas que significa cada variable o para que se realizó algún
sistema de ecuaciones.
Otra función puede ser de gran utilidad a la que se puede acceder desde la ventana
“Equation Window” es el de integrar en un intervalo de algo por ejemplo se quiere integrar
desde un tiempo 0 min a un tiempo 5min con intervalos de 0.01 min con respecto a otra
función, para crear esta función se deberá colocar un código de la siguiente manera:
Toolbar: Contiene diferentes herramientas o menús para la ejecución de diferentes
acciones. Algunos son:
Símbolos:
Open: abrir documentos guardados
Save: guardar documentos
Variable info: brinda información sobre las variables introducidas
Function info: nos muestra todas las funciones con las que cuenta el programa. Ej.:
Bessel, erf, integral, sum…
Unit system: sistema de unidades en el que se desea trabajar
Check equations: verifica que haya igual # de ecuaciones y de incógnitas
Check unit: verifica unidades
355
Solve: resuelve el sistema de ecuaciones
Nem parametric table: se eligen las variables que se desean representar en una tabla
Property plot: graficas de propiedades de sustancias ya establecidas
Equations window: nos lleva a la ventana de ecuaciones
Formatted equations: muestra las ecuaciones de manera formal
Diagram window: opciones para creación de animaciones
Manejo de unidades
La herramienta para ajustar las unidades la podemos encontrar en el menú de opciones y
seleccionar unit system, y el programa abrirá una ventana que permite seleccionar las
unidades que el usuario desea trabajar, se debe tener en cuenta que inicialmente el
programa trabaja en sistema internacional.
Sin embargo, la manera más segura de que su programa siempre corra en las unidades
predeterminadas es dar una directiva al comienzo del código:
$UnitSystem SI Mass Rad (o Deg) Pa K J o los que se deseen. En sistema inglés
$UnitSystem Eng Mass Rad psia F Btu como ejemplo.
Check Equations: identifica los errores de sintaxis y la cantidad de variables y ecuaciones.
En la tool bar aparece así:
356
Solve: soluciona el algoritmo y/o sistema de ecuaciones escrito en la Equations
Window. Cuando se da click sobre ésta, inmediatamente se abre la Solution
Window. En la toolbar aparece el menú Solve y la Solution Window, así respectivamente:
TABLAS Y GRÁFICOS:
Una de las características más utilizadas de EES es la capacidad de proporcionar estudios
de parámetros. Por ejemplo puede resultar de interés, ver cómo una variable cambia
respecto a otra, para ello es necesario el uso de tablas y gráficos.
Para realizar una tabla en EES se debe seleccionar en la toolbar new parametic table, la
cual se encuentra representada así
Para ello se tomó un ejercicio del curso.
357
En el recuadro que sale, se seleccionan lógicamente las variables de interés, éstas deben
estar previamente definidas en la Equations window. Como Ca depende de z, el valor de
ésta última debe colocarse entre comillas o corchetes en el equation windows.
Nota: No importa que en el check Equations salgan más ecuaciones que variables. (Para
el ejemplo serían 9 ecuaciones y 10 variables).
Después de dar click en add y ok se llega a lo siguiente:
358 Se selecciona el número de datos (para el ejemplo fueron 10), después se da el primer y
último valor sobre el cual se desea hacer el análisis (para el ejemplo fue 0 y 5E-4 m
respectivamente).
Después de haber dado ok en el paso anterior y solve table en Calculate, finalmente se
obtiene la tabla paramétrica.
Para elaborar el gráfico simplemente se busca en la toolbar o directamente en Plots, New
Plot Window simbolizada así:
359
Se seleccionan las variables que deben ir en el eje x e y. Luego se realizan los ajustes
estéticos y finalmente se obtiene el gráfico del problema a analizar.
Si se quiere añadir más gráficas sobre una misma se busca el overlay Plot que se
encuentra al lado derecho de New Plot Window o en Plots. El overlay se encuentra en la
barra de herramientas así:
360 Nota: el overlay se activa después de haber añadido la primera gráfica con new Plot
window
Para añadir una leyenda o añadir algún texto se selecciona en el recuadro derecho el botón
ALGUNAS FUNCIONES Y COMANDOS
Función de error: Es de uso frecuente y necesario en el curso de fenómenos de
transferencia.
361
Funciones de librería: Dentro de la gran variedad de funciones de EES, se cuenta con
unas específicas a la transferencia de calor (también pueden ser útiles a la transferencia de
masa). Para acceder a ellas se busca en Options o en la barra de herramientas function
info, representada así:
Ciclos o bucles: son de gran utilidad a la hora de programar algún código o algoritmo,
especialmente para métodos numéricos. Es de uso frecuente en ellos variables de orden o
matrices. Los resultados con matrices se organizan en la arrays table
362
INTEGRALES: Permiten hallar el valor numérico de una integral para determinada
ecuación.
Si se quiere una tabla que contenga diferentes respuestas en función de la variable de
integración (para el ejemplo diferentes distancias en función del tiempo), se usa el comando
$IntegralTable VarName:Interval;x;y;z
VarName es la variable de integración , Interval es el intervalo que se quiere en la tabla, y
x, y, z son las variables que se quieren reportar
363
DIAGRAM WINDOW
“Diagram Window” es una herramienta que brinda EES de gran ayuda para el usuario, ya
que esta permite mostrar un diagrama (o texto) que puede ayudar en la interpretación de
las ecuaciones del problema a resolver, además, ésta puede usarse para suministrar
entradas y salidas de información y/o generar informes.
El diagrama puede diseñarse en programas externos al EES y luego debe ser llevado a la
ventana Diagram Window (Ctrl + D), o desde el menú Windows comando Diagram
Windows.
Al hacer clic sobre el botón Add/edit text se abrirá el siguiente cuadro que permite el
ingreso de texto al diagrama y
brinda la opción de seleccionar las
variables de entrada y salida del
sistema.
364
El comando Duplicate: Las ecuaciones que vayan a ser duplicadas están encerradas entre las
palabras de comando DUPLICATE y END:
N=12
D_AB=7,5e-9
C_Ao=0,04
R=0,2154e-3
duplicate i=0;N
t[i]=(1/640)*i [s]
365
Fo[i]=D_AB*t[i]/R^2
end
Este comando calcula el número de Fourier par 12 tiempos diferentes.
GENERAR INFORMES EN LATEX
Primero se debe descargar MikTex, existen muchos de estos distribuidores online y otros
diseñados para ser instalados en el ordenador directamente; entre ellos están
TeXnicCenter, Miktex, TeXworks o editores más genéricos como Sublime Text, VIM o
Emacs. El siguiente link muestra como descargar y usar TeXnicCenter ya que es un editor
más amigable para el usuario por sus comandos e interfaz
(https://www.youtube.com/watch?v=NeNOj_Ulys8).
El siguiente paso es abrir EES, dirigirse a File, crear LatexPDF report, generando la
siguiente ventana
366 Es necesario advertir sobre las opciones dadas en PDFLATEX ya que puede borrar las
imágenes, los gráficos que tenga el programa en EES, y el archivo .tex que crea MinTex;
generando un PDF erróneo que en un futuro no puede modificarse.
Ir a SetUp y se despliega la siguiente ventana
Dirigirse al siguiente enlace C:\textmf\miktex\bin\pdflatex.exe
o C:\programfiles\textmf\miktex\bin\pdflatex.exe. Se puede especificar o cambiar el lugar
donde está guardado el documento.
Los editores de Latex online son muchos más amigables con el usuario ya que
proporcionan plantillas gratuitas (Overleaf)
Los editores en línea son amigables con el usuario y brindan plantillas gratuitas, tales como
Overleaf. A continuación se dispone de la página que está vinculada a la universidad:
https://www.overleaf.com/edu/unal
SUGERENCIAS
367
Es común que EES no corra el algoritmo o arroje resultados inconsistentes debido a que
ocurre un error en la Equations window. Para ello lo mejor es seguir los siguientes pasos:
1. Leer y entender bien el problema o ejercicio para el que se está planteando el
algoritmo.
2. Revisar las variables y ecuaciones. Para facilitar esto visualice las ecuaciones en
notación matemática con Formatted Equations.
3. Hay casos en los que el software arroja una ventana con un error en la que aparece:
this equation attempts to raise a negative number to a non- integer power. Para
solucionar esto dirigirse a variable info y cambiar el lower limit por cero en la variable que
está fallando. Si sigue apareciendo lo mismo use valor absoluto en la ecuación que marca
error sin deshacer lo anteriormente dicho.
4. Utilizar el menú help que se encuentra sobre la barra de herramientas, donde se
puede revisar el manual original de EES, tutoriales en YouTube y el help index que
contiene la información inmediata y de fácil búsqueda sobre las diferentes herramientas y
funciones de EES.
BIBLIOGRAFIA:
RESUMEN MANUAL EES
368
PALABRAS DELJURADO Manizales, Octubre 26/2016 Palabras en ocasión de la defensa de Tesis de Maestría del profesor Ramiro Betancourt Grajales
Buenas tardes para todos los presentes Nos hemos reunido en esta ocasión para presenciar la defensa de la tesis de maestría en I.Q. del profesor Ramiro Betancourt Grajales. Para quien les habla, no solamente ha sido una enorme responsabilidad académica y científica, sino un honor fungir como jurado de esta tesis. Y no es para menos, ya que en primer lugar, su venerable padre, Don Joaquín (q.e.d.) fue mi profesor de Botánica en mi lejana juventud cuando yo era estudiante de bachillerato en la Normal Departamental de Varones, aquí en Manizales. Este recuerdo vino a mi memoria, de forma inevitable, cuando revisaba su trabajo de investigación. Después, Ud., profesor Ramiro, lo fue de Algebra y Transferencia de Masa I, y ésta por dos veces, cuando quien les habla era estudiante de I.Q en esta nuestra amada sede de la Unal. Pero no solamente mi profesor, Usted lo ha sido de todos los egresados de nuestro programa de IQ desde su creación en 1970. Su tesis “ESTUDIO DE LA APLICACIÓN DE LA HERRAMIENTA EES PARA LA TRANSFERENCIA DE CALOR O DE MASA EN ESTADO TRANSITORIO”, representa un avance significativo en la incorporación de herramientas computacionales en la enseñanza de la Ingeniería Química. Este tema no es ajeno a mis investigaciones, pues en colaboración con la Dra. Francy Nelly Jiménez, trabajamos en la incorporación de tales herramientas computacionales, que técnicamente se denominan sistemas cognitivos artificiales, en la enseñanza de las matemáticas y la física, en la Universidad Autónoma de Manizales. Deseo enfatizar que la tesis del profesor Betancourt representa un avance significativo en la enseñanza de la I.Q, pues en mi época de estudiante, debíamos resolver gruesos problemas de transferencia de masa, calor, mecánica fluidos, balances de materia y energía, entre otros, a través del uso de la famosa regla de cálculo, lo cual implicaba un enorme esfuerzo computacional de nuestra parte, con la complicación adicional de trazar las gráficas a mano, como por ejemplo, las gráficas para determinar el número de etapas teóricas necesarias para la destilación de mezclas binarias. Esto por supuesto, consumía muchas horas de trabajo a mano. Hoy en día estos problemas, para mezclas multicomponentes, se pueden resolver en un tiempo mucho menor, utilizando por ejemplo, Aspen Plus. Existen enormes ventajas que se desprenden del uso de herramientas computacionales en la simulación de problemas en IQ. Uno de ellos, es por supuesto el menor tiempo que se invierte en la solución de tales modelos; otro, es la solución del modelo variando uno o varios parámetros del mismo, con el objetivo de estudiar la respuesta del modelo bajo diferentes condiciones y realizar análisis de sensibilidad; finalmente, una computadora realiza millones de operaciones matemáticas en tiempo récord, y produce mejores gráficas que las que nosotros podemos trazar a mano. Sin embargo, la mayor ventaja es de tipo cognitivo, pues podemos emplear tiempo en la comprensión del modelo mismo, centrándonos en su elaboración, entendiendo a cabalidad cuáles son leyes que lo gobiernan, cómo estas se incorporan en su construcción y cuáles son los métodos de que
369
disponemos para su solución, que en general serán algoritmos de aproximación numérica, pues es conocido que la gran mayoría de problemas de ingeniería química no tienen solución analítica; y por paradójico que sea a primera vista, esta es precisamente la razón por la cual estudiamos los que tienen solución analítica. Los cálculos numéricos se los dejamos a la computadora. Finalmente, podemos pasar de unos niveles de representación a otros: de los analíticos a los numéricos y gráficos y viceversa. Esta interacción entre los diferentes niveles de representación de la solución y del modelo, mejora nuestra capacidad como ingenieros de modelar y resolver problemas reales en I.Q. Pues bien, su tesis de maestría, profesor Betancourt, es un ejemplo logrado de la implementación de sistemas cognitivos artificiales en la enseñanza de la I.Q. Uno de entre los modelos presentado en la tesis de la referencia, es el del cilindro sólido sometido a convección. Su modelo matemático es una ecuación diferencial parcial en dos variables, una es el tiempo y la dimensión espacial es el radio. Su solución, con las condiciones iniciales y de frontera allí estipuladas, está expresada como una combinación lineal de funciones de Bessel, que a su vez son expresadas en series de potencias. Hallar los valores propios de la solución, en función del número de Biot, no es una tarea sencilla, pues es necesario hallar las raíces de una ecuación no lineal, que son en número infinitas, que están igualmente espaciada a intervalos regulares de pi. Sin la ayuda de una herramienta computacional, hallar algunos valores propios a mano, es una tarea muy difícil, y que consume tiempo innecesario. Pero esto no es gratuito, ya que su trabajo representa, en síntesis, el de toda una vida académica y científica dedicada al estudio y enseñanza de temas fundamentales en I.Q. Gracias por compartir con nosotros todo su conocimiento y esfuerzo investigativo. De otra parte, es usual en estas circunstancias que los jurados hagan preguntas sobre la tesis que se defiende, sin embargo, no le haré ninguna, pues todas las que me surgieron, ya fueron respondidas en el documento que soporta su tesis. Por lo demás, la Dra. Francy Nelly ya le hizo las preguntas relevantes acerca de su trabajo. Finalmente, profesor Betancourt, tome estas palabras, que creo también los demás aquí presentes estarán de acuerdo, como un modesto homenaje a su trayectoria académica al servicio de nuestro programa de I.Q. Ud. se lo merece. Gracias Luis Alberto Toro Carvajal, PhD.
370
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