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ESTUDIO DE LA RESPUESTA DINÁMICA DE LA CÓRNEA MEDIANTE EL
MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS Y CORRELACIÓN CON LA PRESIÓN
INTRAOCULAR
GUSTAVO ADOLFO BORDA SANTOS
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA
MAESTRÍA EN CIENCIAS BIOMÉDICAS
BOGOTÁ
2010
ESTUDIO DE LA RESPUESTA DINÁMICA DE LA CÓRNEA MEDIANTE EL
MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS Y CORRELACIÓN CON LA PRESIÓN
INTRAOCULAR
GUSTAVO ADOLFO BORDA SANTOS
Trabajo de tesis para optar al título de magister en ciencias biomédicas
Asesor:
FERNANDO RAMIREZ
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA
MAESTRÍA EN CIENCIAS BIOMÉDICAS
BOGOTÁ
2010
3
CONTENIDO
PAG.
INTRODUCIÓN 18
1. ANTECEDENTES. 22
1.1 TONOMMETRÍA. 22
1.1.1 La tonometría de aplanación. 22
1.1.2 Tonómetro de indentación. 23
1.1.3 Tonómetros neumáticos. 25
1.1.4 Tonómetros de rebote. 26
1.1.5 Tonómetros de histéresis corneal. 26
1.1.6 Tonometría dinámica de contorno. 27
1.2 ULTRASONIDO Y SONIDO EN LA CARACTERIZACIÓN DE
LA CÓRNEA 28
1.3 ESTUDIOS DE FRECUENCIAS PROPIAS DE LA CÓRNEA. 30
2. FUNDAMENTOS FÍSICOS Y PARÁMETROS DEL MODELO 36
2.1 FUNDAMENTOS DE LA PROPAGACIÓN ACÚSTICA 36
2.1.1 Conservación de la masa. 36
2.1.2 Ecuación de movimiento de Euler. 38
4
2.1.3 Modelo de la onda incidente, aíre y humor acuoso. 39
2.2 FUNDAMENTOS DE ELASTICIDAD. 41
2.2.1 Relación entre esfuerzos y deformaciones. 41
2.2.2 Modelo elástico de la córnea 42
2.2.3 Trabajo virtual. 47
2.3 INTERACCIÓN FLUIDO ESTRUCTURA 49
2.4 FRECUENCIAS PROPIAS 52
2.4.1 Análisis estático. 52
2.4.2 Análisis de frecuencias propias. 53
2.5 GEOMETRÍA 58
2.5.1 Características de la geometría de la córnea. 58
2.6 TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER 61
2.6.1 La serie de Fourier. 61
2.6.2 La transformada de Fourier. 62
2.6.3 Muestreo. 63
2.6.4 Transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT). 65
2.6.5 La transformada discreta de Fourier (DFT) y la transformada
rápida de Fourier (FFT). 66
2.6.6 Estimación del espectro. 67
3. MODELO COMPUTACIONAL 69
5
3.1 IMPLEMENTACIÓN DEL MODELO DE FRECUENCIAS PROPIAS 69
3.2 Implementación del modelo acústico. 73
3.3 Validaciones del modelo 79
3.3.1 Mediciones de la intensidad acústica en el sistema propuesto. 80
3.3.2 Modelo FEM. 88
4. SIMULACIONES 93
4.1 SIMULACIÓN DE FRECUENCIAS PROPIAS 93
4.1.1 Geometría de la córnea inflada. 93
4.1.2 Determinación de las frecuencias propias. 94
4.1.3 Deducción de la PIO y el módulo de Young a partir de las
frecuencias propias. 100
4.1.4 Influencia de la amortiguación en la estimación de la PIO y el
módulo de Young. 107
4.2 SIMULACIÓN DE DISPERSIÓN DE ONDA ACÚSTICA. 110
5. ANÁLISIS Y CONCLUSIONES 113
6. RECOMENDACIONES 116
BIBLIOGRAFÍA 118
6
LISTA DE TABLAS
PAG.
Tabla 1.1 Correlación de la frecuencia principal. 35
Tabla 3.1 Intensidad y presión eficaz para la posición 1 del micrófono
cerca del contorno de balón (sin balón). 85
Tabla 3.2 Intensidad y presión eficaz para la posición 2 del micrófono
(con balón). 86
Tabla 3.3 de parámetros del modelo de elementos finitos para la
validación. 88
Tabla 3.4 Intensidad y presión eficaz para la posición 2 del micrófono
en el modelo. 90
Tabla 3.5 Comparación de presiones eficaces medidas y simuladas en
la posición 2 del micrófono. 90
Tabla 3.6 Comparación de presiones eficaces medidas y simuladas
en la posición 2 del micrófono. 90
Tabla 4.1 Iteraciones para hallar la geometría inicial con E = 0,5MPa
y PIO = 15 mmHg. 94
Tabla 4.2 Frecuencias propias para E = 0.5MPa. 95
Tabla 4.3 Coeficientes de determinación lineal de las diferentes
tendencias de frecuencias propias. 98
7
Tabla 4.4: Presiones estimadas a partir de las frecuencias propias. 101
Tabla 4.5: Parejas aleatorias de PIOs y módulos. 103
Tabla 4.6: Comparación de las presiones y módulos simulados y las
estimaciones hechas por interpolación (selección de PIO y E aleatoria) 104
Tabla 4.7 Influencia del amortiguamiento en la estimación de la PIO y el
módulo de Young. 108
Tabla 4.8: frecuencias de simuladas en el modelo acústico. 111
Tabla 4.9: Presiones máximas dispersadas y presión incidente. 112
8
LISTA DE FIGURAS
PAG
Figura 1.1: Ley de Imbert-Fink. 22
Figura 1.2: Tonómetro de Goldmann. Imagen tomada de [43]. 23
Figura 1.3: Tonómetro de Schiotz. Imagen tomada de [43]. 24
Figura 1.4: Modelo PT 100 de Reichert. Imagen tomada de [43]. 26
Figura 1.5: Tonómetro ORA. Imagen tomada de [43]. 27
Figura 1.6: Tonometría de contorno. 28
Figura 1.7: Método de medición por ultrasonido de las características.
elásticas de la córnea. Tomada de [76]. 29
Figura 1.8: Modelo de ojo In vitro y modelo In vivo. Tomado de [10]. 30
Figura 1.9: Relación entre las frecuencias de resonancia y la PIO.
Tomado de [10]. 31
Figura 1.10: Resultado de múltiples medidas de la resonancia en un
mismo sujeto. Tomado de [18]. 32
Figura 1.11: Esquema del dispositivo para detectar lo modos de vibración.
Tomado de [81]. 33
Figura 1.12: Grafica de desplazamiento (potencia de la señal) vs
tiempo para la prueba del interferómetro de Dubois. Tomado de [81]. 33
9
Figura 1.13: Ejemplo de medición. Arriba señal muestreada con el
interferómetro de Dubois. Abajó espectro de frecuencias. Tomado de [19]. 34
Figura 2.1: Elemento de volumen del fluido. Imagen tomada de [36]. 36
Figura 2.2: Estructura de la córnea. 43
Figura 2.3: curvas de esfuerzo vs deformación (promedio) con y sin
epitelio (tomado de [23]. 44
Figura 2.4: curva Esfuerzo vs deformación para la córnea por
el método de inflamiento (tomada de [22]). 45
Figura 2.5: módulo de Young vs presión posterior. (tomada de [22]). 45
Figura 2.6: Modelo de interacción fluido-estructura. 50
Figura 2.7 Gráfica de deformación de la córnea vs tiempo.
Tomada de [61]. 56
Figura 2.8 Factor de amortiguamiento en el intervalo f1<f<f2.
Tomado de [9]. 57
Figura 2.9: Comportamiento del corrimiento del ápice corneal usando
el modelo elíptico y circular (tomado de [25]). 58
Figura 2.10: Arriba: diferentes espesores usados en el modelo de Elsheik.
Abajo Efecto de la excentricidad sobre el corrimiento del ápice corneal
(tomado de [25]) 59
Figura 2.11: Angulo en la juntura cornea-esclerótida (tomado de [25]). 60
Figura 2.12: Geometría del modelo de la córnea. 60
10
Figura 2.13: Gráfico de espectro de frecuencia. 62
Figura 2.14: Espectro de I(f). 64
Figura 2.15: Señal muestreada en el dominio de la frecuencia. 65
Figura 3.1: Geometría de la córnea. 70
Figura 3.2: Enmallado de la córnea en 2D. 72
Figura 3.3: Enmallado de la córnea en 3D. 72
Figura 3.4: Frecuencia vs modo para diferentes DOF. 73
Figura 3.5: Estructura general del modelo. 74
Figura 3.6: División del modelo. Vista lateral de la córnea. 74
Figura 3.7: Geometría 2D modelo de interacción fluido estructura. 75
Figura 3.8: Enmallado 2D del modelo de interacción fluido estructura. 77
Figura 3.9: Enmallado 3D modelo de interacción fluido estructura. 78
Figura 3.10: Descripción del sistema de validación. 79
Figura 3.11: Circuito amplificador de audio. 80
Figura 3.12: Dimensiones del cono de la bocina en mm. 80
Figura 3.13: Generador de funciones FLUKE PM 5136. 81
Figura 3.14: Fuente de poder PROTEK. 81
Figura 3.15: Sonómetro B&K 2218. 82
Figura 3.16: Caracteristicas direccionales del instrumento 2218 B&K
con varilla de extensión y micrófono. Tomado de [51]. 82
Figura 3.17: Respuesta en frecuencia del sonómetro B&K 2218
11
Tomado de [51]. 83
Figura 3.18: Distribución de los elementos vista superior de la validación
de las ecuaciones del modelo acústico. 84
Figura 3.19: Foto posición 1 del micrófono. 84
Figura 3.20: Medición de la onda reflejada por el balón. Posición 2
del micrófono. 85
Figura 3.21: Curva de esfuerzo vs deformación de la muestra 1 del balón. 87
Figura 3.22: Curva de esfuerzo vs deformación de la muestra 2 del balón. 87
Figura 3.23: Curva de esfuerzo vs deformación de la muestra 3 del balón. 87
Figura 3.24: Ensayo para determinar el módulo de Young del balón. 88
Figura 3.25: Geometría utilizada para simular la dispersión de ondas
acústicas en el balón. 89
Figura 3.26: Malla 2D del modelo de elementos finitos del balón y la caja
de aíre. 89
Figura 3.27: Comparación entre las intensidades equivalentes para la
Onda de la fuente, la medida y la simulada para la posición 2 del micrófono. 91
Figura 3.28: Comparación entre las potencias eficaces para la Onda de la
fuente, la medida y la simulada para la posición 2 del micrófono. 91
Figuras 4.1 a 4.5: Gráficas de PIO vs frecuencias propias para diferentes
módulos de Young (E = 0,1 a 0,5). 105
Figura 4.6: Series de presión intraocular en función de la frecuencia y el
12
módulo de elasticidad. 98
Figura 4.7: Sensibilidad (dp/df) de las curvas de frecuencias propias 99
Figura 4.8: Presiones estimadas en función de las frecuencias f1 y f2 y
el módulo 102
Figura 4.9: Proyección de las presiones estimadas sobre el plano de
PIO vs E 102
Figura 4.10: Comparación entre la PIO simulada y la PIO estimada a partir
de las frecuencias propias. 104
Figura 4.11: Comparación entre el módulo simulado y el estimado a
partir de las frecuencias propias. 105
Figura 4.12: Error en la estimación de la presión mediante el modelo de
interpolación vs la presión simulada. 105
Figura 4.13: Error en la estimación del módulo de Young vs la presión
simulada. 106
Figura 4.14: Comparación del error en presión entre el modelo 1 de
interpolación y el modelo 2 (Mejor resolución a bajas presiones). 106
Figura 4.15: Comparación del error en presión porcentual entre el
modelo 1 de interpolación y el modelo 2. 107
Figura 4.16: Influencia de la amortiguación en la estimación de la PIO. 109
Figura 4.17: Influencia de la amortiguación en la estimación del módulo
de Young. 109
13
Figura 4.18: Presión dispersada vs tiempo para diferentes frecuencias
de onda incidente. 111
Figura 4.19: Espectro de frecuencia de la onda dispersada a 3 mm del ápice
de la córnea 112
14
LISTA DE ANEXOS
PAG.
ANEXO A. Procedimiento para encontrar la geometría inicial de la córnea 126
ANEXO B. Tabla de frecuencias propias 128
ANEXO C. Distribución de los elementos en la validación del modelo 132
acústico
ANEXO D. Medidas para la validación del modelo acústico 134
15
GLOSARIO
AMORTIGUACIÓN: Disminución progresiva de un fenómeno periódico por efecto
de la disipación de energía.
AMORTIGUACIÓN DE RAYLEIGH: Modelo que distribuye el amortiguamiento
proporcionalmente entre la masa y la rigidez de un sistema.
ESPESOR CENTRAL CORNEAL (ECC): distancia entre el punto más externo del
epitelio y el punto más interno del endotelio medido en el ápice corneal.
FACTOR DE AMORTIGUACIÓN: Razón entre la constante de amortiguamiento β
viscoso actual y la constante de amortiguamiento viscoso crítico βc (ecueción 0-1).
(0-1)
FRECUENCIA PROPIA: Frecuencias naturales de vibración de un sistema
INTERFERÓMETRO: Sistema óptico para determinar desplazamientos por medio
del desfase producido por un haz de luz y un sistema de lentes y espejos.
METODO DE ELEMENTOS FINITOS: Método de análisis computacional que
discretiza el sistema analizado en elementos más pequeños.
MODULO DE YOUNG: En un medio homogéneo isotrópico es la razón entre los
esfuerzos de deformación y las deformaciones producidas en el rango lineal.
16
PRESIÓN INTRAOCULAR (PIO): Presión del humor acuoso.
RADIO CORNEAL EXTERNO (RCE): Radio que define la forma del epitelio en el
exterior de la córnea.
RADIO CORNEAL INTERNO (RCI): Radio que define la forma del endotelio en el
interior de la córnea.
TONOMETRÍA: Ciencia que agrupa las técnicas y equipos para medir la presión
intraocular.
TRANSMISOR DE CAPACITANCIA: Sensor que utiliza el cambio en el coeficiente
dieléctrico para determinar desplazamientos.
17
RESUMEN
Es importante en oftalmología conocer los valores de presión intraocular (PIO) real
de un paciente, enfermedades como el glaucoma requieren su monitorización.
Esta medición no puede ser realizada de forma directa por un sensor de presión
así que debe ser estimada a través de mediciones de otras variables físicas y
modelos matemáticos. En el presente trabajo se desarrolla un modelo de
elementos finitos de la córnea mediante el cual se determinan las frecuencias
propias de vibración de la córnea. También se propone un método de estimación
de la PIO y el módulo de Young a partir de dichas frecuencias. Mediante otro
modelo de elementos finitos se muestra que no es posible determinar las
frecuencias propias mediante la medición de la dispersión de ondas acústicas en
la córnea.
Palabras clave: Presión intraocular (PIO), Método de elementos finitos (FEM por
sus siglas en ingles), frecuencias propias.
18
INTRODUCCIÓN
Uno de los retos más importantes en oftalmoingeniería es la medición precisa de
la presión intraocular (PIO). Conocer la PIO verdadera puede ayudar al diseño de
dispositivos para el control de la misma, al diagnostico temprano de enfermedades
como el glaucoma, mejorar los modelos computacionales del ojo que permitan
planear y predecir resultados de cirugías oculares. La dificultad principal para
hacer esta medición radica en que se debe utilizar un método que no sea invasivo
lo que ha llevado a considerar métodos indirectos para su estimación.
Actualmente una amplia variedad de equipos y métodos son utilizados para
estimar la PIO, estas técnicas son conocidas como “tonometría”. La estimación se
debe hacer por medio de algún modelo matemático y la medición de una variable
física que no implique daño en la córnea. Los modelos matemáticos más simples
al igual que los equipos que los utilizan están basados en ley de Imbert-Fink, que
requiere la medición de una fuerza y el área de deformación que esta produce en
la córnea. Los resultados arrojados por estos tonómetros son frecuentemente
corregidos por modelos más complejos que incluyen estimaciones hechas a partir
de estudios de diferentes variables como el módulo de Young o el espesor
corneal.
Coquart y otros [10] proponen un modelo para correlacionar la PIO y las frecuencias
propias de la córnea. Las ecuaciones que gobiernan el modelo son complejas
comparadas con la ley simple de Imbert-Fick ó los modelos corregidos de
19
estimación de la PIO, es por esta razón que su análisis requiere del uso de
métodos computacionales. El método de elementos finitos es usado para resolver
este tipo de modelos donde el número de grados de libertad es grande y donde
una solución analítica es difícil de evaluar.
Los resultados arrojados por el trabajo de Coquart sugieren que la medición del
comportamiento dinámico de la córnea sirve como estimativo de la presión
intraocular, sin embargo estos mismos resultados solo tienen en cuenta la PIO en
la respuesta sin tener en cuenta otros factores como la variación de las
propiedades elásticas.
Es el objetivo general de este trabajo el estudio del comportamiento dinámico de la
córnea mediante el desarrollo y uso de un modelo de elementos finitos para
encontrar la correlación de la respuesta dinámica de la córnea con la PIO. Los
objetivos específicos son:
• Desarrollar un modelo matemático que permita estudiar la respuesta de
frecuencias propias de la córnea. Se desarrolla el modelo de un medio
continuo homogéneo isotrópico sometido a fuerzas de cuerpo y presiones
en su superficie a partir de la teoría de elasticidad y el teorema del trabajo
virtual.
• Implementar el modelo matemático en un software de elementos finitos y
encontrar las frecuencias propias de vibración de la córnea variando la PIO,
el módulo de Young y el amortiguamiento del modelo.
• Desarrollar un método de correlación entre las frecuencias propias de
vibración obtenidas a partir del modelo FEM, la PIO y módulos simulados.
• Desarrollar un modelo matemático que permita estudiar la dispersión de
ondas acústicas en la córnea. Se desarrolla el modelo a partir del las
20
ecuaciones de continuidad, de movimiento y la teoría elástica para la
interacción de fluidos (el aíre y el humor acuoso) y estructuras (la córnea).
• Implementar el modelo acústico en un software de elementos finitos.
• Elegir un rango de frecuencias, una PIO y un módulo de elasticidad para
determinar si es posible estimar las frecuencias propias a partir de la onda
acústica dispersada en la córnea. De esta forma se pretende estudiar la
viabilidad de la dispersión simple de ondas acústicas en la córnea como
medio para estimar la PIO.
El alcance de este trabajo está limitado a la evaluación, por métodos de elementos
finitos, de la correlación entre la PIO y las frecuencias propias, además de
determinar si es posible encontrar dichas frecuencias por la simple reflexión de
ondas acústicas en la córnea. No hace parte de la tesis hacer mediciones In vivo,
in vitro ó el diseño de algún dispositivo para medir la PIO.
Como metodología general del trabajo primero se encuentran las frecuencias
propias de la córnea utilizando el modelo de elementos finitos variando el módulo
de Young y la PIO. Después propone un modelo de estimación de la PIO y el
módulo a partir de las frecuencias propias. Por último se determina mediante un
modelo de elementos finitos si es posible determinar las frecuencias propias de la
córnea mediante la simple dispersión de ondas de sonido.
En el primer capítulo se muestra de forma breve cuales son las técnicas actuales
de tonometría y los estudios previos hechos para determinar y correlacionar las
frecuencias propias de la córnea con la PIO.
21
En el segundo capítulo se desarrollan las ecuaciones que gobiernan los modelos
acústico y de frecuencias propias. También se determinan la geometría utilizada,
las propiedades de elásticas de la córnea y las propiedades relevantes del aíre y
el humor acuoso con el fin de implementar el modelo en un software de elementos
finitos.
El tercer capítulo está dedicado a explicar la forma como se implementaron los
modelos de frecuencias propias de la córnea y el modelo acústico en el software
COMSOL de elementos finitos. Además incluye la validación de las ecuaciones del
modelo acústico mediante un experimento simple que involucra la reflexión de
ondas acústicas en un objeto esférico sometido a presión interna.
El cuarto capítulo muestra los resultados de las simulaciones tanto del modelo de
frecuencias propias como del modelo acústico. Se establecen las ecuaciones que
gobiernan la relación entre las frecuencias propias, el módulo de Young de la
córnea y la PIO. En el modelo acústico se presenta la onda dispersada por la
córnea en un intervalo de frecuencias de onda incidente elegidas de acuerdo a los
resultados de la simulación de frecuencias propias.
En el capítulo 5 se presenta el análisis de los resultados y las conclusiones
discriminando el modelo de frecuencias propias de vibración de la córnea y el
modelo acústico.
Por último en el capítulo 6 se dan las recomendaciones para futuras
investigaciones en el tema.
22
1. ANTECEDENTES
1.1 LA TONOMETRÍA
1.1.1 La tonometría de aplanación
El tonómetro de Goldmann (figura 1.2) [31] aceptado como el estándar internacional
para la medición de la PIO, está basado en la ley de Imbert-Fink [28] (figura 1.1)
que establece que la presión en el interior de una esfera flexible de paredes
delgadas se puede aproximar midiendo la fuerza necesaria para aplanar un área
conocida de la esfera [24]. Esta técnica no tiene en cuenta algunos factores como la
variación natural del espesor corneal [14][16][20][48] y el hecho de que la córnea no
puede ser considerada como una membrana infinitamente delgada.
Figura 1.1: Ley de Imbert-Fink.
Esta técnica de medición utiliza una cabeza que es empujada hasta alcanzar un
área de aplanación que corresponda a un circulo con diámetro de 3.06 mm sobre
la superficie corneal, en este punto se mide la fuerza ejercida sobre la córnea.
23
Goldmann anticipo posibles problemas de calibración si se tienen en cuenta las
variaciones del espesor central corneal (ECC) y otros factores. Para hacer
correcciones en la lectura del tonómetro diferentes paquímetros han sido utilizados
para determinar el ECC.
Figura1.2: Tonómetro de Goldmann. Imagen tomada de [43].
Amaya, Arciniegas y Martinez [4][50]. Muestran que en comparaciones de la medida
de la PIO manométricamente y por tonometría de Goldmann en conejos las
diferencias pueden ser de hasta 3 veces siendo mayor la manométrica.
1.1.2 Tonómetro de indentación
Este tonómetro mide la indentación en la córnea de un embolo con una fuerza
conocida. Este método tiene mayores probabilidades de producir daño corneal que
la tonometría de aplanación y es de menor precisión.
24
Figura 1.3: Tonómetro de Schiotz. Imagen tomada de [43].
El modelo más conocido es el tonómetro de Schiotz (figura 1.3) que utiliza peso de
un émbolo como fuerza actuante sobre la córnea.
Estudios muestran diferentes problemas de la tonometría, Amaya [1] resume los
problemas de la medición por tonometría de depresión en los siguientes
postulados:
- “La tonometría de depresión es prohibitiva, por el peso del tonómetro, en el
postoperatorio próximo de operaciones que abren el globo ocular y siempre
que exista peligro de perforación del mismo”.
- “La posición del paciente, su disposición para la tonometría, la disposición del
médico, la forma y momento de aplicación del tonómetro, el tiempo de
contacto del tonómetro con la córnea, son entre otros, algunos factores que
pueden afectar seriamente la validez de una medida de presión”.
- “En general, la tonometría simple (única) es insuficiente en muchos casos”.
- “La presión determinada con tonómetros de depresión para ojos que sufren de
miopías evolutivas medianas y altas, glaucomas primitivos operados,
glaucomas primitivos sometidos a tratamiento y glaucoma simple en periodo
de estado no son aceptables”.
25
- “Con una medida tonométrica con aparato de depresión se corre el riesgo de
causar al paciente una erosión corneal por una maniobra intempestiva con el
tonómetro, facilitada por el anestésico empleado, o por una fragilidad anormal
del epitelio corneal. Un ambiente caluroso favorece este tipo de
complicaciones, particularmente en los casos de hiposecreción lacrimal”.
- “El empleo de soluciones anestésicas que actúan como vasoconstrictores
pueden generar un ataque de glaucoma. En algunos casos, el glaucoma
puede también ser causado por la aplicación prolongada del aparato”.
- “El tonómetro o el anestésico pueden ser causantes de infecciones oculares o
reacciones alérgicas”.
1.1.3 Tonómetros neumáticos [43]
Utilizan el mismo principio que Goldmann pero la aplanación se hace por una
ráfaga de aire que impacta la córnea hasta que esta se aplana. Un haz de luz se
refleja en el ángulo indicado solo si la córnea está plana, en ese instante se mide
la fuerza del pulso de aire correlacionándolo con la PIO. Existen diferentes
modelos de este equipo siendo en general más costosos que los tonómetros de
contacto. Algunos modelos como el modelo PT 100 de Reichert (figura 1.4) son
portátiles y no requieren que el paciente esté sentado.
Los estudios comparativos [21][37] muestran que el tonómetro neumático entrega
resultados más altos que el de Goldmann.
26
Figura1.4: Modelo PT 100 de Reichert. Imagen tomada de [43].
1.1.4 Tonómetros de rebote
Estos tonómetros envían un vástago metálico a gran velocidad cuya punta
redondeada impacta la córnea. Se mide la desaceleración y se correlaciona con la
PIO. A pesar de ser un método de impacto, la sensación al contacto es tan leve
que el paciente prácticamente no siente molestias. Actualmente los modelos más
conocidos son el ICare de Tiolat Oy, y el IOPen de Reichert.
Makoto y otros muestran que el tonómetro iCare tiende a sobreestimar las
medidas hechas con el tonómetro de Goldmann [57].
1.1.5 Tonómetros de histéresis corneal
Estos equipos miden la PIO utilizando un rápido impulso de aíre y un sistema
electro-óptico para monitorear la deformación de la córnea. La córnea absorbe
energía que retarda el proceso de aplanación en dos sentidos el primero cuando
recibe el impulso y el segundo cuando la córnea está retornando a su forma
27
original. Este retardo depende de las propiedades físicas de la córnea y de la PIO
[49].
El modelo de tonómetro que utiliza este principio es el ORA (Ocular Response
Analyzer) de Reichert (figura 1.5) y es calibrado con base en las medidas
tonométricas de Goldmann.
.
Figura 1.5: Tonómetro ORA. Imagen tomada de [43].
Aunque las medidas del ORA están basadas en las de Goldmann mas las
correcciones hechas por las medidas de las propiedades mecánicas no se
encuentra en la literatura un estudio comparativo entre los dos instrumentos o
entre el ORA y medidas manométricas.
1.1.6 Tonometría dinámica de contorno
Esta técnica (figura 1.6) acomoda el instrumento de medición al contorno corneal
haciendo que la deformación sea mínima. Un transductor piezoeléctrico en el
centro del instrumento mide la presión en la superficie de la córnea y se iguala a la
28
PIO. La principal ventaja de este instrumento es que no requiere deformar mucho
la córnea.
Figura1.6: Tonometría de contorno.
En estudios comparativos entre el tonómetro de contorno dinámico y el de
Goldmann se muestra que no hay diferencias significativas con espesores
corneales promedio, sin embargo para córneas delgadas el de contorno muestra
lecturas mayores y en córneas gruesas el de Goldmann presenta resultados
mayores [17][26][54].
1.2 ULTRASONIDO Y SONIDO EN LA CARACTERIZACIÓN DE L A CÓRNEA
La utilización de sonido para caracterizar tejidos oculares no es una idea nueva,
actualmente es utilizada en la determinación de espesores corneales [18]
(paquímetros). Es bien conocido que el espesor corneal afecta los resultados de
diferentes métodos de medida de la PIO. La comparación de diferentes
paquímetros muestra una alta correlación entre el espesor corneal y la medida
tonométrica (r = 0.6 aproximadamente) sin que esto indique una correlación con la
medida manométrica directa [15][59].
29
La distribución del módulo de Young ha sido estimada cuantitativamente en el
tejido corneal utilizando el microscopio de elasticidad por ultrasonido para crear
imágenes de deformación del tejido en ojos de porcino y comparándolas con
modelos de elementos finitos [35].
Wang [76] propone una técnica de laboratorio para evaluar el módulo de elasticidad
de la córnea (figura 1.7). Esta técnica relaciona la velocidad de la onda de corte de
ultrasonido y la atenuación con el módulo de elasticidad y la relación de Poisson
asumiendo que la córnea es un material isotrópico elástico lineal. No se
encuentran resultados In vivo del experimento.
Figura1.7: Método de medición por ultrasonido de las características elásticas de la córnea en laboratorio. Tomada de [76].
El trabajo de Wang no sugiere una técnica práctica para su uso In vivo.
Recientemente se ha propuesto la utilización del microscopio de ultrasonido para
estudiar el comportamiento de microburbujas formadas durante la cirugía Láser
como método para determinar algunas propiedades mecánicas del tejido corneal
[63].
30
1.3 ESTUDIOS DE FRECUENCIAS PROPIAS DE LA CÓRNEA.
Un área importante en la búsqueda de la técnica idónea para la medición de la
PIO se encuentra en la determinación de las características vibratorias de la
córnea, Coquart y otros [10] desarrollaron un modelo de elementos finitos para
determinar la influencia de la PIO en las frecuencias de resonancia del ojo. El
modelo matemático desarrollado muestra la influencia en las frecuencias
reportadas de los valores de esfuerzo y deformación iniciales tomados de un
análisis estático.
El trabajo se dividió en dos modelos (ver figura 1.8), uno llamado In vitro donde el
glóbulo ocular no está fijo y el modelo In vivo donde el globo ocular se fija.
Figura 1.8: Modelo de ojo In vitro (derecha) y modelo In vivo. Tomado de [10].
Los resultados son reportados en gráficas de PIO vs frecuencia como la que se
muestra en la figura 1.1.
31
Figura 1.9: Relación entre las frecuencias de resonancia y la PIO. Tomado de [10].
Las principales conclusiones del trabajo de Coquart son las siguientes:
- El modelo numérico predice la variación de las frecuencias de resonancia a
medida que cambia la PIO.
- Los resultados sugieren que se puede idear una técnica para la medición de
la PIO entendiendo las frecuencias de resonancia.
En las frecuencias reportadas para el modelo de material elástico lineal isotrópico
nunca se evalúa la influencia del módulo de Young.
Basado en los resultados de Coquart y otros, Jörg Drescher [18] desarrollo un
método de interferometría laser (interferómetro de Michelson) para la medición de
los desplazamientos de la córnea. Algunos experimentos In vivo no clínicos fueron
realizados, los resultados del interferómetro fueron comparados con mediciones
de la PIO con un tonómetro de ráfaga de aíre NTC-2000. La disertación doctoral
muestra los resultados con dos sujetos de prueba (figura 1.10).
32
Figura 1.10: Resultados del experimento de Drescher de vibración de la córnea en un mismo sujeto. Tomado de [18].
Las principales conclusiones del estudio son las siguientes:
- Las frecuencias de resonancia del ojo aumentan conforme aumenta la PIO
reportada por el tonómetro de ráfaga.
- Es necesario identificar, minimizar ó descartar las diferentes fuentes de
error tales como el movimiento natural del ojo, el movimiento del paciente o
las desalineaciones del instrumento.
- La relación exacta entre las frecuencias de resonancia y la presión
manométrica aún no es conocida.
- La reproducibilidad del experimento debe ser evaluada.
- Se debe estudiar mejor la forma de estimular la córnea para el experimento.
En cuanto a la estimulación de la córnea Drescher utilizó el impacto tipo impulso y
la excitación sinusoidal a través del párpado. Sin embargo recomienda el estudio
de estimulación acústica a través de un resonador de Hemholtz ó por ráfaga de
aíre.
33
En 2001 Zemouri y otros [81] obtuvieron la patente de un aparato basado en un
interferómetro de cavitación de Fabry-Perot para la medición de vibraciones en la
córnea (figura 1.11). Según consta en la patente, este instrumento minimiza las
fuentes de error debidas a desalineaciones. En el texto de esta misma patente se
incluye la gráfica de una prueba hecha sobre un ojo sin embargo no se reporta la
relación exacta entre la presión y las frecuencias naturales (figura 1.12). Se hace
alusión a las gráficas encontradas por Coquart [10].
Figura 1.11: Esquema del dispositivo para detectar lo modos de vibración. Tomado de [81].
Figura 1.12: Desplazamiento (potencia de la señal) vs tiempo para la prueba del interferómetro de Dubois. Tomado de [81].
34
En 2007 Dubois [19] reportó mediciones clínicas hechas con un aparato basado en
este instrumento. El objetivo del experimento era el de probar la inocuidad del
procedimiento y evaluar la reproducibilidad dentro del grupo de individuos. En el
texto del artículo se nombra la comparación de la medida de frecuencias propias
con las presiones intraoculares, sin embargo no se dan datos, tablas o gráficas de
dicha comparación.
Como resultado se muestra un análisis de frecuencias de Fourier pero no se
reporta la correlación con la PIO (figura 1.13). No se dan indicaciones de los
métodos de normalización.
Figura 1.13: Ejemplo de medición. Arriba señal muestreada con el interferómetro de Dubois. Abajó espectro de frecuencias de la misma señal. Tomado de [19].
La reproducibilidad del experimento se resume en la tabla 1.1.
35
Tabla 1.1 de correlación de la frecuencia principal. Tomado de [19].
En este artículo se menciona adicionalmente como método de estimulación de la
córnea a un pequeño martillo que golpea el área temporal externa con una fuerza
de menos de 3N.
Las principales conclusiones de este estudio son:
- El estudio es una validación de la reproducibilidad del aparato.
- Lo anterior no significa que haya correlación entre las frecuencias y la PIO
medida por tonometría convencional.
36
2. FUNDAMENTOS FÍSICOS Y PARÁMETROS DEL MODELO
2.1 FUNDAMENTOS DE LA PROPAGACIÓN ACÚSTICA
2.1.1 Conservación de la masa [36][74]
En el presente trabajo y con el objetivo de modelar matemáticamente los fluidos
como el aire o el humor acuoso es necesario entender una serie de ecuaciones
que caracterizan su comportamiento desde el punto de vista acústico.
Para iniciar el análisis se considera un fluido sometido a una presión p, densidad ρ
y velocidad de partícula V.
Figura 2.1: Elemento de volumen del fluido. Imagen tomada de [36].
Si tenemos un elemento de volumen R y contorno ∂R del fluido (figura 2.1), la
masa m contenida en este elemento es:
37
(2-1)
Si n representa los vectores normales a cada una de las caras del elemento R,
entonces la velocidad normal Vn del flujo a través del contorno ∂R es:
·
(2-2)
La ley de conservación de la masa establece que la masa debe conservarse en un
fluido, por lo tanto usando las ecuaciones (2-1) y (2-2) y la propia ley:
·
(2-3).
Si usamos el teorema de Gauss para el miembro izquierdo de la ecuación (2-3):
· ·
(2-4)
Sustituyendo la ecuación (2-4) en (2-3) e integrando llegamos a la ecuación de
continuidad:
· 0
(2-5)
Esta ecuación se utilizará más adelante para encontrar la forma final de la
ecuación que modela la propagación acústica en los fluidos.
38
2.1.2 Ecuación de movimiento de Euler
Si el elemento de volumen R considerado en la sección anterior está sometido a la
presión p entonces la fuerza total f en el contorno ∂R es:
(2-6)
Por la segunda ley de newton f = ma y si se linealiza la variación de velocidad en
la forma final de la ecuación (2-7) [47]:
(2-7)
Aplicando el teorema de Gauss al término de la izquierda en (2-7) e integrando
ambos lados se llega a:
(2-8)
Que es la ecuación de Euler o de movimiento.
La presión p, la densidad ρ y la velocidad c de una onda acústica están
relacionados por:
!
(2-9)
39
Combinando las ecuaciones (2-5), (2-7), (2-8) y (2-9) se llega a:
! 1 ! !! 0
(2-10)
La ecuación (2-10) es la ecuación de propagación del sonido en fluidos (ecuación
de onda plana).
2.1.3 Modelo de la onda incidente, aíre y humor acu oso.
En el modelo propuesto una onda de sonido plana se desplaza por el aíre que
circunda la córnea hasta impactarla, como onda incidente de sonido se usó la
solución para la ecuación (2-10) [74] que corresponde a una onda plana sinusoidal
donde:
#, %&cos * +,
(2-11)
Parte de la energía de la onda es transmitida al humor acuoso por medio de
vibraciones mecánicas al impactar en la córnea y parte reflejada en el aíre. Para
modelar adecuadamente estos dos fluidos es necesario conocer la velocidad del
sonido en cada uno de ellos.
En los gases la velocidad c del sonido está determinada por el coeficiente de
dilatación adiabática γ, la constante universal de los gases R, la temperatura
actual del gas T y la masa molar M del gas [65]:
-./0
(2-12)
40
Los valores para determinar la velocidad del sonido al nivel del mar (1 atm) y a
una temperatura de 20ºC son:
γ: 1,4
R: 8,314 J/mol K
T: 293,15 K
M: 28,95 g/mol.
Aplicando estos valores en (2-12), el valor de la velocidad del sonido en el aíre es
de aproximadamente 343 m/s. Este valor se tomará como constante en todo el
desarrollo del presente trabajo.
El humor acuoso está compuesto principalmente por agua (98%), ascorbato y en
menor proporción glucosa, sodio y potasio [40]. Se asume que por su alta
concentración de agua se comporta en todos los aspectos físicos relevantes como
agua pura.
En un fluido como el agua se determina la velocidad del sonido c por la relación
entre el módulo de compresibilidad B y la densidad ρ del fluido [65]:
-1
(2-13)
En el agua el sonido tiene una velocidad de 1500 m/s, esta es la velocidad que se
asume para el humor acuoso en todo el desarrollo de la tesis.
41
2.2 Fundamentos de elasticidad [36][78][8][72][64]
2.2.1 Relación entre esfuerzos y deformaciones.
Desde un punto de vista puramente acústico no se puede modelar
adecuadamente la interacción entre fluidos y sólidos. Para resolver esto se utilizan
una serie de ecuaciones de la teoría elástica que permitan modelar la córnea
como sólido en contacto con dos fluidos: el aíre y el humor acuoso.
Para materiales donde las deformaciones pueden ser grandes como es el caso de
los tejidos, se suele utilizar el tensor de deformaciones de Green e para relacionar
los desplazamientos y las deformaciones:
2 12 454 6
(2-14)
Donde F es el gradiente de deformaciones.
En el presente trabajo se modela la córnea con deformaciones grandes para llegar
desde un estado inicial (sin inflar) al estado de equilibrio estático (inflada por la
presión) aunque se esperan deformaciones pequeñas una vez llega el estado de
equilibrio estático.
La relación esfuerzo-deformación para medios continuos deformables
homogéneos isotrópicos y grandes deformaciones la define el segundo tensor de
esfuerzos de Piola-Kirchhoff σ y en el caso de los materiales descritos queda
42
completamente por las constantes de Lammé λ y µ, donde E es el módulo de
Young y 7 la relación de Poisson.
8 9/:26 2;2
(2-15)
9 <71 71 27
(2-16)
; <21 7
(2-17)
2.2.2 Modelo elástico de la córnea
La córnea es un tejido óptico casi perfectamente transparente y avascular que
actúa como barrera física entre el medio ambiente y el interior del ojo. Sus tres
funciones principales son:
- La refracción de la luz.
- La transmisión de la luz con una mínima distorsión, dispersión y absorción.
- El soporte estructural y la protección del globo ocular [70].
43
Está constituida por una capa externa de células epiteliales que interaccionan con
la película de lágrimas para formar una superficie óptica lisa (ver figura 2.2).
La siguiente capa es el estroma, constituido por fibras de colágeno y
proteoglucano. Las fibras de colágeno se disponen entre sí para formar una matriz
extracelular de gran resistencia mecánica. El estroma virtualmente no tiene
resistencia a fuerzas cortantes [53].
La parte más interna de la córnea es una capa única de células endoteliales con
mecanismos metabólicos de bomba cuya función es la eliminación de agua de la
córnea manteniendo un nivel de hidratación compatible con la transparencia de la
misma [39].
Epitelio
Estroma
Endotelio
Exterior
Humor acuoso
Figura 2.2: Estructura de la córnea.
Elsheikh y otros [23] realizaron experimentos con 24 corneas humanas para
comparar el aporte del epitelio al comportamiento elástico de la córnea, los
resultados se muestran en la figura 2.3.
44
Figura 2.3: curvas de esfuerzo vs deformación (promedio) con y sin epitelio (tomado de [23].
Se observan diferencias principalmente en la curva de esfuerzo deformación de la
figura 2.3 cuando se aplican altas presiones posteriores (la presión se lleva hasta
170 mmHg mas allá de la PIO máxima natural), a bajas presiones no se observa
una diferencia significativa.
En diferentes estudios [22][3][58][44], la córnea es tratada como una sola estructura, en
el presente trabajo la córnea también es tratada como una sola estructura.
Diversos estudios muestran que la córnea no lienalidades en su comportamiento
elástico. Schwartz [71] reporta un comportamiento no lineal cuando la córnea es
sometida a esfuerzos de compresión. Elsheikh y otros reportan también la no
linealidad en estudios hechos por el método de inflamiento en ojos enucleados
(figura 2.4). Este comportamiento muestra una clara diferencia entre los valores
bajos de rigidez a presiones bajas posteriores (simulación de la PIO baja) y
valores altos de rigidez conforme sube la presión (en el experimento se lleva hasta
170 mmHg) [22].
45
Figura 2.4: Curvas de esfuerzo vs deformación para la córnea por el método de inflamiento (tomada de [22]).
En el mismo estudio [22] se muestra una relación lineal entre el módulo de Young
(E) y la presión intraocular como lo muestra la figura 2.5.
Figura 2.5: módulo de Young vs presión posterior. (tomada de [22])
Las ecuaciones que caracterizan las curvas de la figura 2.5 son:
E = 0.0067p + 0,1579 (50-64 años R2 = 0,97)
E = 0,0088p + 0,1914 (65-79 años R2 = 0,96)
E = 0,0107p + 0,3527 (80-95 años R2 = 0,85)
(2-18)
46
Teniendo en cuenta la información sobre el comportamiento de la córnea el autor
del presente trabajo apoyado en los trabajos de Elsheikh, Woo, Pinsky, Velinsky y
otros [22][23][79][34][60][73] postula las siguientes condiciones bajo los cuales se puede
asumir un modelo elástico lineal:
• Una vez se alcanza el estado de equilibrio en la córnea, el módulo de
Young no varía significativamente (por ejemplo ante una perturbación
externa).
• Las presiones intraoculares son bajas, menos de 25 mmHg.
Para que se cumpla la primera condición las presiones externas que actúan sobre
la córnea deben ser pequeñas comparadas con la PIO y se asume que la propia
PIO permanece constante durante los cortos tiempos simulados.
Las presiones reportadas en diferentes estudios con diferentes métodos de
medición (ver [33][66][77][5][45][55][42][46][75][69][38][12]) en individuos sanos y con glaucoma
muestran una presión intraocular con distribución normal de 18,1 mmHg con una
desviación estándar de 4,8 mmHg como máximo [46]. De acuerdo a estos
resultados se espera que la PIO no supere los 25 mmHg incluso si algunos
métodos de medición la subestiman. Con estos datos se cumple la segunda
condición.
Para completar el modelo elástico es necesario conocer el módulo de Poisson de
la córnea, no se encuentran estudios específicos que lo determinen en la córnea.
Puesto que los tejidos pueden considerarse como incompresibles se asume que el
47
módulo de Poisson de la córnea es cercano a 0,5 para materiales isotrópicos,
dado que no es posible utilizar este valor, se utiliza 0,49 [44].
2.2.3 Trabajo virtual.
Trabajo: El trabajo de una partícula esta dado por W = F·u, en las partículas que
conforman un cuerpo, cada una de ellas está sometida a fuerzas internas y
externas, estas fuerzas producen trabajo interno WI y externo WE .
= => =? (2-19)
Trabajo virtual [64]: En la configuración geométrica (puntos que conforman el
sólido) que satisface las condiciones actuales de equilibrio del cuerpo (fuerzas y
cargas con los valores que tienen en un momento determinado) y las restricciones
geométricas del problema, se pueden considerar pequeños desplazamientos de
los puntos que conforman el cuerpo bajo estudio de tal forma que se respeten
dichas condiciones y restricciones, a estos desplazamientos se les conoce como
desplazamientos virtuales @A
Del mismo modo el trabajo virtual @= está determinado por:
@= 4 · @A
(2-20)
Si tomamos un cuerpo deformable de volumen V, encerrado por un área S,
sometido a fuerzas de cuerpo f (por unidad de masa) y tracciones en su superficie
t el trabajo virtual externo @=> esta dado por la ecuación:
48
@=> B C · @A D E · @A F G
(2-21)
El signo negativo indica que el trabajo es hecho sobre el cuerpo.
En un cuerpo elástico con una densidad de energía de deformación por unidad de
volumen H&, (asumiendo condiciones isotérmicas) la ecuación de energía cumple
la ecuación:
H& 8: 2
(2-22)
Donde 8 y 2 son los tensores de esfuerzos y deformaciones respectivamente.
El trabajo virtual interno almacenado en el cuerpo por unidad de volumen @H& es la
densidad de energía de deformación virtual:
@H& 8: J2
(2-23)
De esta forma el trabajo virtual total interno @=K es igual a
@=K 8: J2D
(2-24)
Integrando las ecuaciones (2-21) y (2-24) en la ecuación (2-19), tenemos que el
trabajo virtual total @= es
49
@= 8: J2D C · @A D E · @A F
(2-26)
El principio de los trabajos virtuales establece que el trabajo virtual hecho por las
fuerzas actuales es cero si y solo si el cuerpo está en equilibrio, por lo tanto
podemos utilizar el principio del trabajo virtual para encontrar el vector de
desplazamientos u que cumpla la condición de equilibrio. Un cuerpo continuo está
en equilibrio si y solo si el trabajo virtual de todas las fuerzas tanto internas como
externas son cero en un desplazamiento virtual
@= 0
(2-26)
El principio de trabajo virtual se utilizará como método de solución de los
desplazamientos en la córnea.
2.3 Interacción fluido estructura [36][27]
Para cumplir con los objetivos del presente trabajo es necesario formular un
modelo matemático que involucre la interacción entre aíre, córnea y humor
acuoso. En la presente sección se desarrolla el sistema de ecuaciones que
gobiernan un modelo de interacción entre fluidos como el aíre y humor acuoso, y
estructuras como la córnea.
Si una onda acústica golpea un objeto elástico parte de la energía de la onda es
dispersada (o reflejada) y otra parte es transmitida en forma de vibraciones
elásticas a través del cuerpo. La presión acústica de la onda actúa como una
50
carga sobre el cuerpo y a su vez el fluido recoge las vibraciones elásticas del
medio.
Para el análisis se considera un cuerpo que ocupa un volumen Ω con densidad ρs,
modulo de Young E y relación de Poisson v, limitado por una superficie Γ, y
rodeado por un fluido ideal homogéneo con densidad ρf y velocidad de onda Cf en
el espacio Ω+ como lo muestra la figura 2.6.
Figura 2.6: Modelo de interacción fluido-estructura
La presión en el fluido es pt(x,t) = pi(x,t) + p(x,t), los desplazamientos en el sólido
u(x,t) y las amplitudes de las oscilaciones en sólido y fluido se suponen pequeñas.
pi(x,t) representa la onda incidente acústica y el objetivo es determinar el campo
de presión dispersada p(x,t) por el cuerpo.
Condiciones de transmisión: Considerando un punto arbitrario “A” ubicado en la
superficie del sólido con el vector unitario n apuntando hacia el fluido, en el punto
“A” se pueden formular dos condiciones de equilibrio, la primera es que la presión
total está en equilibrio estático con la tracción normal en la superficie del sólido
L (2-27)
Fluido
51
Y que los desplazamientos normales del fluido y el sólido son iguales en la
superficie. Esta condición la cumplimos multiplicando la ecuación de movimiento
(2-8) por el vector normal n.
!A! · L ·
(2-28)
Finalmente el conjunto de ecuaciones que gobierna el modelo de interacción
fluido-estructura es:
(2-10) !L MN NOPLN 0 en Ω+ (aíre y humor acuoso), donde pt es la presión total
y c es la velocidad de la onda acústica.
(2-28) NALN · L · en Γ (Superficies de contacto córnea-aíre, córnea-
Humor acuoso), donde n es el vector normal a la superficie del sólido, u es el
vector de desplazamientos
(2-27) L , en Γ (Superficies de contacto córnea-aíre, córnea-Humor
acuoso), donde tn es la tracción normal a la superficie del sólido.
(2-26) @= Q 8: J2D Q C · @A D Q L · @A F 0 en Ω, Γ (córnea y
superficies de contacto córnea-aíre, córnea-Humor acuoso), donde 8 es el
tensor de esfuerzos, e es el tensor de deformaciones, ρ es la densidad del
sólido y f son las fuerzas de cuerpo (por unidad de masa).
Para completar el modelo es entonces necesario conocer las densidades de la
córnea, el aíre y el humor acuoso.
52
No se encontraron estudios de la densidad de la córnea sin embargo la densidad
de algunos de sus componentes y el porcentaje de participación en la córnea si
son conocidos pudiendo dar un estimado de 1400kg/m3 [62][41]. La densidad del
agua pura es bien conocida y su valor es de 1000 kg/m3. Por último la densidad
del aíre depende de factores como la temperatura, presión (altura sobre el nivel
del mar) y humedad relativa. Para los objetivos de este trabajo se asume la
densidad del aíre como constante igual a 1,25 kg/m3.
2.4 Frecuencias propias
Estudios realizados por Coquart, Dubois y otros [10][19] proponen un modelo de
elementos finitos para encontrar la relación entre la frecuencia de resonancia y la
presión intraocular sin tener en cuenta variaciones en las propiedades elásticas
que se pueden encontrar entre diferentes individuos.
Para obtener las frecuencias de resonancia de la córnea bajo la carga ejercida por
la presión intraocular se debe hacer un análisis estático que determine la
geometría final y cargas después del inflamiento y a partir de una geometría inicial
determinada de acuerdo al módulo de Young y la PIO. El método para obtener
dicha geometría inicial se explica en el anexo A
2.4.1 Análisis estático [64][9]
En un análisis estático las variables no tienen dependencia implícita o explícita del
tiempo, esto corresponde al estado estacionario de un análisis transitorio con
condiciones de contorno y propiedades del material que no cambian con el tiempo.
53
En un material elástico las ecuaciones de trabajo virtual @= sirven para describir
su comportamiento:
@=> B L · @A F G
@=K 8: J2D
@= 8: J2D L · @A 0F
(2-29)
Donde 8 es el tensor de esfuerzos, e es el tensor de deformaciones y pt es la
presión total sobre el sólido.
Del mismo modo como se describe en la sección 2.2.3 se iguala la ecuación (2-29)
a cero para obtener el vector de desplazamientos u que corresponda a la situación
estática de la córnea (inflada).
2.4.2 Análisis de frecuencias propias
El objetivo de un análisis de frecuencias propias es determinar los valores de las
frecuencias propias de una estructura.
Un material isotrópico es representado por la ecuación matricial [7]:
R0STUHVW U RXSTHY UV RZS[HV [\V (2-30)
54
Donde [M] es la matriz de masa, [C] la de amortiguamiento, [K] la de rigidez y U es
el vector de desplazamientos.
Si no utilizamos amortiguamiento, el término de velocidad desaparece de (2-30) y
la ecuación solo depende de la masa y la rigidez:
R0STUHVW U RZS[HV [0V (2-31)
Si se asume una solución armónica de los desplazamientos entonces:
HK ]K^_`aL HY K b*HY K HcW bd!HK
(2-32)
Reemplazando (2-33) en (2-32) se llega a la ecuación:
R0_MSRZS[HV bd![HV (2-33)
Lo que convierte al sistema en un problema de solución de valores propios. De
forma general un problema de valores propios de una matriz cuadrada [A] consiste
en encontrar un vector V y un escalar λ tales que:
R]S[V 9[V (2-34)
De esta forma la frecuencia propia se relaciona con el valor propio con la siguiente
fórmula:
9 b*! 2e!
55
(2-35)
Desde el punto de vista del trabajo virtual, se pueden incluir las frecuencias
propias sin amortiguamiento mediante la siguiente ecuación:
@= 8: J2D b*fA · @A 0D
(2-36)
Donde 8 es el tensor de esfuerzos y e es el tensor de deformaciones.
Sí se incluye el término de amortiguamiento encontrar la solución se convierte en
un problema cuadrático de eigenvalores:
b*!R0S[HVU b*RXS[HUV RZS[HV 0
(2-37)
El amortiguamiento Rayleigh es un modelo común de amortiguamiento el cual
asume que este es una combinación entre el aporte de la masa (coeficiente α) y el
aporte de la rigidez (coeficiente β):
RXS gR0S RZS (2-38)
Para encontrar las constantes α y β se puede recurrir al factor de amortiguamiento
ζ del sistema bajo estudio y al siguiente sistema de ecuaciones:
hiij
14eM eM14e! e!lm
mn ogp qM!r
56
(2-39)
Por lo tanto es necesario conocer el factor de amortiguamiento de la córnea a dos
frecuencias diferentes f1 y f2. No se encontró ningún trabajo relacionado con el
factor de amortiguamiento de la córnea. Plagwitz y otros [61] reportan el
desplazamiento de la cornea sometida a un impulso de aire, de esta gráfica de
desplazamiento es posible extraer la frecuencia de resonancia principal y el factor
de amortiguamiento a dicha frecuencia (ver figura 2.7).
figura 2.7 Gráfica de deformación de la córnea vs tiempo. Tomada de [61].
La frecuencia observada en la figura 2.7 es de aproximadamente 500 Hz y el
factor ζ = 0,072 se halla mediante los dos picos principales y la ecuación:
M! ^ _!stuM_tN
(2-40)
Donde V1 es el valor pico de mayor valor.
Al no conocer el factor de amortiguación a una frecuencia diferente se asume igual
para todo el espectro. El hecho de tomar un solo valor de amortiguamiento para
57
las dos frecuencias implica que dicho factor no será constante en el intervalo
comprendido por las dos frecuencias [9] (figura 2.8).
Figura 2.8 Factor de amortiguamiento en el intervalo f1<f<f2. Tomado de [9]
Para un intervalo de frecuencias 100 < f < 1200 los valores de los coeficientes son:
α = 90,45 s-1 y β = 1,00x10-6 s.
Desde el punto de vista del trabajo virtual, la ecuación de frecuencias propias con
amortiguamiento tiene la forma siguiente:
@= 8: J2D 8 : @2D b*! b*gA · @A 0D
(2-41)
Donde 8 es el tensor de esfuerzos y e es el tensor de deformaciones, α y β son los
coeficientes de Rayleigh.
Las deformaciones, esfuerzos y desplazamientos iniciales son tomados del
análisis estático tal como se describe en la sección 2.4.1.
58
2.5 Geometría
2.5.1 Características de la geometría de la córnea
Para la construcción de la geometría de la córnea se utilizan los datos
suministrados por Mow, Eugene, Elsheikh y otros [56][29][25].
Vista desde el frente la cornea parece elíptica con 12 mm en el meridiano y 11 mm
en la vertical. Desde la parte posterior es circular. El aporte a los modelos
numéricos de esta conformación geométrica fue hecho por Elsheikh [25] mostrando
que no hay diferencia significativa en el corrimiento del ápice corneal si se realiza
un modelo puramente circular (ver figura 2.9).
Figura 2.9: Comportamiento del corrimiento del ápice corneal usando el modelo elíptico y circular (tomado de
[25]).
El radio de curvatura normal de la superficie anterior es reportado por Mow [56]
como 7.86 mm con una desviación estándar de 0.26 mm.
El espesor central corneal varía entre individuos, Marsich y otros [52] reportan
valores de ECC utilizando tres métodos diferentes siendo el paquímetro Orbscan
59
el más repetible, los valores reportados son 596 ± 40 µm. Este es el valor usado
en el modelo.
La córnea es ligeramente más gruesa en la periferia (1 mm aprox.). Elsheikh [25]
hace también un estudio de elementos finitos donde pone a prueba el efecto de la
excentricidad entre la cara anterior y posterior de la córnea, en estos estudios no
se encuentra una diferencia significativa en el corrimiento del ápice de la córnea si
se utiliza un modelo de espesor corneal uniforme (ver figura 2.10).
Figura 2.10: Arriba: diferentes espesores usados en el modelo de Elsheik. Abajo Efecto de la excentricidad
sobre el corrimiento del ápice corneal (tomado de [25])
Para simplificar el uso de recursos informáticos se limita el modelo solo a la
córnea excluyendo la esclera y el resto de tejidos constituyentes del globo ocular.
Elsheikh, y otros [25], han hecho estudios de la conexión corneo-escleral para
poder simplificar el modelo, los estudios se basan en modelos de elementos finitos
donde se elimina la esclera y se fija el contorno de la córnea en un ángulo
determinado, este modelo es comparado luego con un modelo que incluye el
60
globo ocular completo. Los reportes de Esheikh [25] muestran que el ángulo ideal
es de 23º (ver figura 2.11).
Figura 2.11: Angulo en la juntura cornea-esclerótida (tomado de [25])
El modelo geométrico utilizado en este trabajo se muestra en la figura 2.12
Figura 2.12: Geometría del modelo de la córnea
Re = 7,86mm±20µm
Θ = 23º d = 6mm
E = 596µm
61
2.6 Transformada discreta de Fourier [2]
La forma natural de obtener información de un sistema es usar un elemento que
nos permita transformar una propiedad física en información útil y entendible, a
estos elementos se les conoce genéricamente como sensores. Un sensor
normalmente entrega una señal eléctrica que debe ser analizada, una de las
herramientas más poderosas para analizar estas señales o un conjunto de datos
cualquiera es el análisis de Fourier.
2.6.1 La serie de Fourier
Las series de Fourier describen señales analógicas periódicas en el dominio de la
frecuencia por medio de sus componentes armónicas o senoidales. Toda señal
periódica xp(t) puede descomponerse en una serie de ondas seno con una
frecuencia fundamental f0 y sus componentes armónicas múltiplos de la frecuencia
fundamental kf0.
La forma exponencial de dicha serie utiliza la relación de Euler de cada par seno-
coseno de frecuencias:
vO w ,R+S^`!sxyzLx| _
(2-42)
62
Donde:
,R0S 1/ vO , ,R+S 1/ vO^_`!sxyzL, ,R+S ,~R+S (2-43)
Son los términos de la serie y el * significa el conjugado.
El análisis espectral de una señal periódica se usa para describirla en términos de
su serie de Fourier esto es una descripción en el dominio de la frecuencia. La
cantidad X[k] describe los coeficientes espectrales de xp(t). Estos coeficientes
pueden graficarse como muestra la figura 2.13 en función del índice armónico k ó
kf0(Hz) ó kω0(rad/s).
Figura 2.13: Gráfico de espectro de frecuencia.
Este espectro se puede trazar con los datos de magnitud o de fase.
2.6.2 La transformada de Fourier
La transformada de Fourier es una extensión de las series de Fourier a señales no
periódicas.
63
Si el periodo de una señal se alarga indefinidamente dicha señal deja de ser
periódica y se convierte en una señal no periódica x(t) es decir su periodo T→∞.
El espaciamiento discreto entre armónicos f0 →0 y por lo tanto la representación
en el dominio de la frecuencia pasa de discreta a continua.de tal forma que la
cantidad kf0 se puede sustituir por la frecuencia continua f.
Esta representación es conocida como la transformada de Fourier X(f) y está
definida como:
, lim /,R+S v^_`!syL_
(2-44)
y representa a una señal no periódica en el dominio de la frecuencia.
2.6.3 Muestreo
De acuerdo a la ecuación (2-44) si se desea conocer el comportamiento de una
señal analógica no periódica en el dominio de la frecuencia, se deben conocer sus
valores en cada instante de tiempo o conocer su ecuación descriptiva exacta,
puesto que esto no es posible en la práctica de adquisición de señales por
diversas razones como la cantidad limitada de memoria o la cuantización debida al
uso de computadores o a la presencia de ruido e incertidumbres en la medición,
se recurre al muestreo que brinda un conjunto limitado y analizable de valores que
nos deben dar la información suficiente acerca de la señal.
64
Una señal muestreada xi(t) idealmente se puede expresar como el producto de
una señal analógica x(t) y un tren de impulsos periódicos i(t) espaciados por el
tiempo ts conocido como tiempo de muestreo.
Matemáticamente se puede expresar como:
vK w vRS@ | _
(2-45)
Donde x[n] es la secuencia de valores muestreados cada nts unidades de tiempo.
El espectro de frecuencia I(f) de un tren de impulsos es también un tren de
impulsos con frecuencia S (S = 1/ts) la cual es conocida como la frecuencia de
muestreo (ver figura 2.14).
Figura 2.14: Espectro de I(f)
Si dos señales x1 y x2 en el dominio del tiempo se multiplican, su espectro se ve
como la convolución de las dos señales x1 y x2 en el dominio de la frecuencia:
vM · v! :^ ^ ,M ~ ,!
65
Así si la primera señal es la señal que queremos muestrear y la segunda es el tren
de impulsos entonces el resultado en el dominio de la frecuencia es la convolución
de las dos como lo muestra la figura 2.15.
Figura 2.15: Señal muestreada en el dominio de la frecuencia.
El espectro de frecuencia ,? de una señal muestreada es una señal periódica
con periodo S. Matemáticamente se puede expresar como:
,? w , +x| _
(2-46)
2.6.4 Transformada de Fourier de tiempo discreto (D TFT)
La transformada de Fourier en tiempo discreto describe el espectro de las señales
muestreadas, partiendo de la ecuación (2-46) este espectro que corresponde a
una señal periódica puede describirse como:
66
,O\ w vR+S^_`!sxx| _
(2-47)
Donde S es la frecuencia de muestreo y F = f/S y es conocida como la frecuencia
digital.
2.6.5 La transformada discreta de Fourier (DFT) y l a transformada rápida de
Fourier (FFT).
Hasta este punto se ha descrito matemáticamente como se puede analizar un
conjunto de valores adquiridos por muestreo de una señal analógica, ahora se
describirá la forma de llevar a la práctica dichos conceptos para esto se aprovecha
el hecho de que el espectro de frecuencia de una señal muestreada es periódico
como lo indica la ecuación (2-46) y por lo tanto solo basta con analizar un periodo.
Para hacer esto se utiliza la DFT definida matemáticamente como:
,R+S w vRS_M|&
^_`!sx/ , + 0, 1, 2, … , 1
(2-48)
Si comparamos las ecuaciones (2-47) y (2-48) observamos que la DFT no es más
que el muestreo sobre un periodo de la DTFT calculada para F = k/N, k = 0,1, 2,…,
N -1 y el espectro de la DFT muestra la señal en el intervalo 0≤ F < 1. La DFT es
una aproximación de la DTFT que coinciden exactamente en el intervalo de
frecuencia descrito.
67
La importancia de la DFT en el análisis de señales es la capacidad que tienen
ciertos algoritmos para calcularla de modo eficiente desde el punto de vista
computacional, al grupo de estos algoritmos se les conoce de forma genérica
como transformada rápida de Fourier (FFT). Para una descripción detallada del
funcionamiento de estos algoritmos vea a Ambardar [2].
2.6.6 Estimación del espectro
La forma más simple de observar el comportamiento de una señal muestreada es
trazar la gráfica de amplitudes vs frecuencias, para obtener las amplitudes de una
señal real basta con hallar la amplitud de cada uno de los componentes de su
FFT. En esta gráfica es posible observar cuales frecuencias son las que más
aportan a la señal teniendo en cuenta su amplitud.
En el presente trabajo se utilizaron las funciones de Matlab para calcular y graficar
el espectro de amplitudes vs frecuencias de los datos tomados del modelo de
elementos finitos acústico. El algoritmo que se usó es el siguiente:
%frecuencia de muestreo
muestreo = 4040;
%Datos a analizar
senal = D404;
longitud = length(senal);
%Ventana de Hamming
ham = hamming(longitud);
68
senham = ham.*senal;
%Transformada rápida de Fourier
fouriersen = fft(senham);
fouriersen(1) = [];
longitud = longitud-1;
%Frecuencias
freq = (1:longitud)';
freq = freq*(muestreo/longitud);
%graficar
plot(freq(1:int16(longitud/2)),abs(fouriersen(1:int16(longitud/2))),'b');
69
3. MODELO DE ELEMENTOS FINITOS
3.1 Implementación del modelo de frecuencias propia s
El objetivo de la modelación de frecuencias propias es encontrar el
comportamiento de vibración natural de la córnea variando el módulo de Young y
la presión intraocular (PIO).
Para realizar esta modelación se utiliza el software Comsol Multiphysics que es
una herramienta de elementos finitos que permite modelar y simular problemas
físicos de forma sencilla.
Comsol cuenta con diferentes módulos que se adaptan a las características del
modelo, en el caso de este estudio se utilizaron los módulos de acústica de
presión (acpr) y el de sólido tensión-deformación (smsld) para crear dos modelos
uno para las frecuencias propias de la córnea y otro para la reflexión de ondas de
sonido.
El primer paso en la modelación es crear la geometría de la córnea, está se
modeló de acuerdo a lo discutido en la sección 2.5 con un espesor corneal
uniforme de 596 µm, un radio externo de 7.86 mm ± 20 µm (después del
inflamiento) y un ángulo de unión con la esclera de 23º (figura 3.1).
70
Figura 3.1: Geometría de la córnea.
El anexo A explica la metodología utilizada para encontrar la geometría inicial
antes del inflamiento.
Para el modelar matemáticamente la córnea se utilizó el módulo “sólido, tensión
deformación smsld” el cual requiere definir la densidad de la córnea igual a 1400
kg/m3 [62] y relación de Poisson 0.49 [80].
El modelo es del tipo elástico-lineal. El módulo de Young se varía en pasos de 0,1
MPa desde 0,1 hasta 0,5 MPa para las diferentes simulaciones. Para simular la
PIO se aplica una carga constante en la superficie interna de la córnea que se
varía en pasos de 5 mmHg desde 5 hasta 25 mmHg entre las diferentes
simulaciones.
Para realizar una de las simulaciones de frecuencias propias se sigue el siguiente
procedimiento:
• Elegir el módulo de Young y la PIO.
23o
786 mm ± 20µm
596 µm
71
• A partir de la geometría inicial encontrada de acuerdo al procedimiento del
anexo A, hacer el análisis estacionario para encontrar los esfuerzos y
deformaciones iniciales.
• Hacer el análisis de frecuencias propias a partir de la respuesta
estacionaria.
Como se deduce del procedimiento, Comsol puede solucionar un modelo
estacionario, para lo cual utiliza la ecuación de trabajo virtual (2-29):
Para relacionar los esfuerzos y deformaciones se utiliza la ecuación constitutiva
para medios continuos homogéneos isotrópicos tal como se describe en la sección
2.2.1.
Para encontrar las frecuencias naturales con amortiguación se usó la ecuación (2-
41):
Las frecuencias propias de vibración se obtienen por medio de la ecuación:
b*2e |U (3-1)
Todas las demás ecuaciones corresponden a las descritas en la sección 2.4.2
“análisis de frecuencias propias”.
72
Para el enmallado del modelo de la córnea se utilizó el modelo en 2D de la córnea
y la herramienta de “malla mapeada” de Comsol que permite definir el número de
segmentos por arista (figura 3.2).
Figura 3.2: Enmallado de la córnea en 2D.
La malla utilizada contiene 320 elementos distribuidos en 40 prismas y 280
Hexaedros. El número total de grados de libertad es de 9315. La forma final se
observa en la figura 3.3.
Figura 3.3: Enmallado de la córnea en 3D
73
Para identificar la sensibilidad del modelo ante el número de grados de libertad se
corrieron varias simulaciones variando la configuración de la malla, los resultados
se muestran en la figura 3.4 donde se graficaron las frecuencias reportadas vs el
número de modo para diferentes números de grados de libertad (DOF).
Figura 3.4: Frecuencia vs número de modo de vibración para diferentes DOF.
Se observa la similitud de las curvas a partir de 9315 grados de libertad.
3.2 Implementación del modelo acústico
El objetivo del modelo acústico es poder simular la dispersión de ondas acústicas
por la córnea y su correlación ya sea alta o baja con la PIO.
200,00
300,00
400,00
500,00
600,00
700,00
800,00
900,00
- 1 2 3 4 5 6
Frec
uenc
ia (H
z)
Número de frecuencia propia
Sensibilidad
DOF 1275
DOF 4515
DOF 9315
DOF 18915
DOF 23715
DOF 24801
74
La figura 3.5 muestra de forma general la estructura del modelo, es objeto de esta
sección explicar la modelación en el software Comsol.
Figura 3.5: Estructura general del modelo.
El modelo fue dividido tres medios, el aire, la córnea y el humor acuoso dentro del
ojo (figura 3.6).
Figura 3.6: División del modelo. Vista lateral de la córnea.
Onda acústica incidente
Onda acústica reflejada
Córnea
Aíre
Córnea
Humor acuoso
75
Se utilizaron los módulos de acústica de presión (acpr) y el de sólido tensión-
deformación (smsld).
La córnea se modeló de la misma forma que en el modelo de frecuencias propias
con un espesor corneal uniforme de 596 µm, un radio externo de 7.86 mm ± 20
µm (después del inflamiento) y un ángulo de unión con la esclera de 23º.
Los modelos acústicos generalmente requieren que se limite el espacio de
simulación, para esto se utiliza un modelo 2D donde se encuentra el espacio de
simulación del aíre, la córnea y el humor acuoso, luego este modelo se revuelve
360º alrededor del eje x para generar la geometría 3D (figura 3.7).
Figura 3.7: Geometría 2D modelo de interacción fluido estructura.
Las dimensiones de la caja de aíre son 6 cm de ancho x 3 cm de alto acotada por
la geometría de la córnea.
6 cm
3 cm
x
76
El siguiente paso en la modelación es definir las propiedades y ecuaciones usadas
en los tres medios. La ecuación (2-10) se utiliza para los subdominios (volumen)
acústicos aíre y humor acuoso.
La densidad del aíre es de 1.25 kg/m3 y la velocidad del sonido 343 m/s. Para el
humor acuoso los valores son 1000 kg/m3 y 1500 m/s respectivamente.
La geometría de la córnea se desactiva en estos dos subdominios (aíre y humor
acuoso) puesto que no es un fluido.
Para el modelo de la córnea se utiliza el módulo smsld (solido tensión
deformación) el cual requiere definir la densidad de la córnea igual a 1400 kg/m3
[62] y relación de Poisson 0.49 [80].
El módulo de Young se considera constante en un modelo elástico lineal. El
tiempo de simulación y cargas pequeñas permite asumir que la PIO no varía
significativamente.
La córnea cumple con la ecuación de trabajo virtual (2-26) donde las cargas de
superficie son tomadas del módulo acústico.
La fuente de sonido pi se toma como una onda plana cuya ecuación es:
77
K % cos B2e\ v G
(3-2)
Donde P es la amplitud de 0,3 Pa que corresponde a una intensidad de 80dB. F es
la frecuencia, c es la velocidad del sonido en el medio y x representa el
desplazamiento sobre el eje x.
Para el enmallado (figura 3.8) se utilizó el modelo en 2D y la herramienta de “malla
mapeada” de Comsol que permite definir el número de segmentos por arista. La
córnea se modela con 2 capas de acuerdo a lo discutido en la sección 3.1.
Figura 3.8: Enmallado 2D del modelo de interacción fluido estructura.
La malla y la geometría en 3D son el resultado de la revolución de la malla en 2D.
El número de DOF final es de 8351 y el número total de elementos fue de 768
repartidos en 132 prismas y 636 hexaedros (figura 3.9).
78
Figura 3.9: Enmallado 3D modelo de interacción fluido estructura.
La solución que se busca en el modelo acústico es del tipo ondulatorio, la onda
está caracterizada por su longitud de onda λ, para que la solución tenga sentido es
necesario que existan al menos dos DOF en la dirección de propagación de la
onda (criterio de Nyquist). En el caso de ondas sinusoidales incluso el
cumplimiento de este requerimiento no brinda información representativa y menos
aún si no se conoce la dirección exacta de la onda como es el caso de la
dispersión en una geometría complicada.
Para asegurar que los resultados sean confiables se puede utilizar el siguiente
criterio [4]:
• El número de DOF en una malla 3D debe ser de 1728 veces el volumen del
modelo medido en longitudes de onda.
Este volumen es de aproximadamente 0.2 m3 y nuestra longitud de onda se puede
aproximar a 1 m por lo que se cumple ampliamente con el criterio, la discretización
79
no se puede reducir por los requerimientos computacionales del enmallado de la
córnea.
3.3 Validaciones del modelo
Para la validación de las diferentes ecuaciones matemáticas del modelo de
interacción fluido-estructura se utilizaron un balón inflado y un amplificador de
audio que sirve como fuente de sonido. Se comparó la medida de intensidad
reportada por un sonómetro tanto de la onda incidente como de la onda reflejada
tanto en el modelo de elementos finitos como en el experimento. La descripción
general del sistema para realizar el experimento se puede observar en la figura
3.10.
Figura 3.10: Descripción del sistema de validación.
80
3.3.1 Mediciones de la intensidad acústica en el si stema propuesto.
Para la fuente de sonido se utilizó una bocina para frecuencias bajas Sony de 4Ω
10W alimentada por un circuito amplificador similar al descrito por Grimes y otros
[11] (Figura 3.11).
Figura 3.11: Circuito amplificador de audio.
Las dimensiones frontales del cono de esta bocina se pueden observar en la
Figura 3.12.
Figura 3.12: Dimensiones del cono de la bocina en mm.
Se usó el generador de señales FLUKE PM 5136 (Figura 3.13) como fuente de
Audio conectado a la entrada del amplificador.
81
Figura 3.13: Generador de funciones FLUKE PM 5136
Para alimentar todo el circuito se usó una fuente de poder PROTEK DF1731SB3A
(Figura 3.14).
Figura 3.14: Fuente de poder PROTEK
Para capturar las intensidades de las ondas sonoras se utilizó un sonómetro de
precisión marca B&K modelo 2218 con la varilla de extensión UA 0196 y el
micrófono 4165 (figura 3.15).
82
Figura 3.15: Sonómetro B&K 2218
Las características direccionales del instrumento completo se observan en la
figura 3.16.
Figura 3.16: Características direccionales del instrumento 2218 B&K con varilla de extensión y micrófono.
Tomado de [51]
La respuesta en frecuencia del instrumento completo para ondas seno se observa
en la figura 3.17
83
Figura 3.17: Respuesta en frecuencia del sonómetro B&K 2218. Tomado de [51]
El sonómetro reporta la intensidad basado en el principio de energía equivalente
Leq[51]
10log 1/ %& ! &
(3-3)
Siendo P0 = 20µPa, T el periodo de medición y p(t) la presión medida con el
micrófono. Todas las medidas de intensidad reportadas se hicieron con un periodo
de 30 seg.
La primera parte del experimento es la determinación de la intensidad de la onda
reflejada en un balón inflado con respecto a la onda incidente. La distribución
completa de todos los elementos se puede observar en el anexo C.
Las medidas se hicieron en dos etapas, en la primera etapa sin balón se
determinó la intensidad de la onda en un punto cercano a la ubicación del
contorno del balón (posición 1 del micrófono en la figura 3.18 y 3.19), esta medida
se toma como la intensidad de onda de la fuente.
84
Figura 3.18: Distribución de los elementos vista superior de la validación de las ecueciones del modelo
acústico.
Figura 3.19: Foto posición 1 del micrófono.
La ecuación de energía equivalente (3-3) muestra la relación entre la potencia
eficaz Prms medida en un intervalo de tiempo con respecto a la presión de
referencia P0. Para propósitos de la comparación entre el modelo y el experimento
modelo se reescribe la ecuación (3-3) de la siguiente forma:
10log %!%&!
(3-4)
Fuente de sonido
Balón
Micrófono posición 2 Punto de medición
Micrófono posición 1
d
85
Los resultados de las medidas hechas en la posición 1 sin balón para determinar
la intensidad de la fuente se muestran en la tabla 3.1.
f (Hz) Leq (dB)
aumentando
f
Leq (dB)
Disminuyendo
f
Leq (db)
promedio
Prms
(Pa)
200 101,0 100,6 100,8 2,2
600 96,1 96,5 96,3 1,3
1200 100,2 100,2 100,2 2,0
Tabla 3.1 Intensidad y presión eficaz para la posición 1 del micrófono cerca del contorno de balón (sin balón)
En la segunda etapa se colocó el balón en frente de la fuente de sonido con el
micrófono en la posición 2 (figura 3.20), de esta forma se buscaba encontrar las
variaciones en la lectura del sonómetro debidas a la onda reflejada por el balón.
Figura 3.20: Medición de la onda reflejada por el balón. Posición 2 del micrófono
86
Los valores de la presión total, compuesta en parte por la onda reflejada y en parte
por la onda de la fuente, medida en la posición 2 del micrófono con el balón, se
reportan en la tabla 3.2:
f (Hz) Leq (dB)
aumentando
f
Leq (dB)
Disminuyendo
f
Leq (db)
promedio
Prms
(Pa)
200 100,5 100,1 100,3 2,1
600 96,9 96,8 96,9 1,4
1200 100,1 100,1 100,1 2,0
Tabla 3.2 Intensidad y presión eficaz para la posición 2 del micrófono (con balón)
Otro parámetro importante es la presión interna del balón la cual fue medida con
un sensor de presión OMEGA de la serie PX140 para 5 psi. La presión promedio
medida fue de 79 Pa.
La densidad del material con que está construido el balón fue medida por la
relación de peso y el volumen medido en una pipeta calibrada. La densidad
promedio medida fue de 623 kg/m3.
Para determinar el módulo de elasticidad se hicieron pruebas de esfuerzo-
deformación, las gráficas obtenidas y la foto del experimento se muestran en las
figuras 3.21 a 3.24.
87
Figura 3.21: Curva de esfuerzo vs deformación de la muestra 1 del balón.
Figura 3.22: Curva de esfuerzo vs deformación de la muestra 2 del balón.
Figura 3.23: Curva de esfuerzo vs deformación de la muestra 3 del balón.
El espesor promedio de las muestras fue de 1,02 mm, el largo de 15,00 cm y el
ancho de 2,00 cm. El módulo de Young promedio se determinó en 1,21 MPa (Para
el detalle de los valores de presión, módulo, densidad y espesor ver el anexo D).
.
0,00
1000000,00
2000000,00
3000000,00
0,00 0,50 1,00 1,50 2,00Esfu
erzo
(Pa)
Deformación
Curva esfuerzo-deformación balón muestra 1
0,00
1000000,00
2000000,00
3000000,00
0,00 0,50 1,00 1,50 2,00Esfu
erzo
(Pa)
Deformación
Curva esfuerzo-deformación balón muestra 2
-1000000,00
0,00
1000000,00
2000000,00
3000000,00
0,000 0,500 1,000 1,500 2,000 2,500Esfu
erzo
(Pa)
Deformación
Curva esfuerzo-deformación balón muestra 2
88
Figura 3.24: Ensayo para determinar el módulo de Young del balón
3.3.2 Modelo FEM
Para validar las ecuaciones los resultados de la tabla 3.2 deben ser comparados
con los resultados arrojados por el modelo computacional. La tabla 3.3 muestra de
forma resumida los parámetros utilizados en el modelo.
Parámetro Balón Diámetro (mm) 173 Espesor (mm) 1,02 Presión interna (Pa) 79 Módulo de Young (MPa) 1,21 Densidad (kg/m3) 623 Velocidad del sonido en el aíre (m/s) 343 Densidad del aíre (kg/m3) 1,25
Tabla 3.3 de parámetros del modelo de elementos finitos para la validación.
89
La figura 3.25 muestra la geometría utilizada en el modelo.
Figura 3.25: Geometría utilizada para simular la dispersión de ondas acústicas en el balón
La figura 3.26 muestra la malla utilizada en 2D para obtener la geometría en 3D la
malla se revoluciono 360º. La malla final en 3D está compuesta por 672 elementos
y 8343 DOF.
Figura 3.26: Malla 2D del modelo de elementos finitos del balón y la caja de aíre
Se llevó a cabo la simulación en el dominio del tiempo de cinco ciclos de onda de
acuerdo a las diferentes frecuencias. Para reportar el nivel de presión equivalente
en un punto similar a la posición 2 del micrófono (ver figura 3.17), se utilizó el
90
método de integración numérica por rectángulos con un intervalo en el tiempo de
(1/10f). Los resultados de esta simulación se muestran en la tabla 3.4
f (Hz) Leq (dB)
Fuente
Leq (db)
modelo
Prms
(Pa)
200 100,8 100,1 2,0
600 96,9 95,8 1,2
1200 100,2 99,6 1,9
Tabla 3.4 Intensidad y presión eficaz para la posición 2 del micrófono en el modelo
En la tabla 3.5 se comparan la respuesta medida en el experimento de medición
de sonido y el modelo FEM.
Intensidades
Frecuencia fuente
(dB)
Posición 2 micrófono medida (dB) Posición 2 micrófono simulada(dB)
200 100,8 100,3 100,1
600 96,3 96,9 95,8
1200 100,2 100,1 99,6
Tabla 3.5 Comparación de intensidades medidas y simuladas en la posición 2 del micrófono
La tabla muestra la comparación de las presiones rms para la posición 2 del
micrófono.
Presiones
Medición Modelo
Frecuencia Presión incidente
rms (Pa)
Posición 2 del micrófono
Prms (Pa)
Posición 2 del
micrófono Prms (Pa)
Error
(%)
200 2,19 2,07 2,02 -2,55
600 1,31 1,40 1,23 -12,27
1200 2,05 2,02 1,90 -5,92
Tabla 3.6 Comparación de presiones eficaces medidas y simuladas en la posición 2 del micrófono
91
Las gráficas 3.27 y 3.28 muestra la comparación entre el modelo y el experimento.
Figura 3.27: Comparación entre las intensidades equivalentes para la Onda de la fuente, la medida y la
simulada para la posición 2 del micrófono.
Figura 3.28: Comparación entre las potencias eficaces para la Onda de la fuente, la medida y la simulada para
la posición 2 del micrófono.
En las gráficas se observa que la intensidad de la fuente no es constante en todo
el intervalo de frecuencias, esto se puede explicar por las características de
parlante utilizado como fuente de sonido.
94
96
98
100
102
0 500 1000 1500
Leq
(dB)
Frecuancia (Hz)
Comparación de intensidades
Medida posición 2 micSimulada Posición 2 MicIncidente
0,00
1,00
2,00
3,00
0 500 1000 1500
Prm
s (P
a)
Frecuencia (Hz)
Comparación de presión efectivaMedida posición 2 micSimulada posición 2 micIncidente
92
Se observa un error máximo de -12,27% entre las medidas hechas con el
sonómetro y las simuladas. El error se atribuye principalmente a la precisión en el
posicionamiento del micrófono. Los errores en las frecuencias superior e inferior
son de menos de 6%, por lo que se asume que las ecuaciones del modelo son
representativas de las medidas acústicas hechas.
93
4. SIMULACIONES
4.1 Simulación de frecuencias propias
La simulación de frecuencias propias tiene como objetivo encontrar las frecuencias
de resonancia de la córnea bajo la carga de la PIO. Los resultados de esta
simulación se utilizaran para determinar un rango de frecuencias en donde hacer
las simulaciones del modelo acústico y para determinar un modelo de correlación
de estas frecuencias con la PIO y el módulo de Young.
4.1.1 Geometría de la córnea inflada.
En el modelo la córnea se infla por efecto de la PIO desde una geometría inicial
hasta la geometría que cumple con las características descritas en la sección 2.5.
El método para encontrar esta geometría es iterativo y se describe en el anexo A.
La tabla 4.1 muestra como ejemplo los resultados de la iteración obtenidos para
una PIO de 15 mmHg y E = 0.5 MPa.
94
Iteración REC
inicial (m)
RIC inicial
(m)
EC (m) Centro de
córnea en
eje x
Desp. Ini
(m)
Desp.
Final (m)
Diferencia
desp. (m)
1 0,030647 0,030051 0,000596 0,029907 1,95E-04 0,003 2,81E-03
2 0,008092 0,007496 0,000596 0,004547 1,72E-04 1,95E-04 2,31E-05
3 0,008063 0,007467 0,000596 0,004494 1,70E-04 1,72E-04 1,40E-06
Tabla 4.1 Iteraciones para hallar la geometría inicial con E = 0,5MPa y PIO = 15 mmHg.
Donde:
− RCE: Radio exterior corneal
− RIC: Radio interior corneal
− EC: Espesor corneal
Para el ejemplo la diferencia entre los desplazamientos inicial y final es de menos
de 20 µm en la tercera iteración, por lo tanto la geometría final queda determinada
por los datos de REC, RIC y el centro para esta iteración.
Este proceso se repite para cada pareja de E y PIO utilizadas en las simulaciones.
4.1.2 Determinación de las frecuencias propias.
Una vez se ha modelado la geometría inicial se procede a hacer el análisis de
frecuencias propias para diferentes módulos de elasticidad y PIOs. El módulo de
Young se varía en pasos de 0,1 MPa desde 0,1 hasta 0,5 MPa para las diferentes
simulaciones. Para simular la PIO se aplica una carga constante en la superficie
95
interna de la córnea que varía en pasos de 5 mmHg desde 5 hasta 25 mmHg entre
las diferentes simulaciones. Para todas las simulaciones se mantienen los
coeficientes de amortiguamiento α = 90,45 s-1 y β = 1,00x10-6 s (Ver sección
2.4.2).
Las tabla 4.2 muestra las frecuencias propias encontradas para un módulo de
elasticidad E = 0,5 MPa.
PIO
(mmHg)
F1
(Hz)
F2
(Hz)
F3
(Hz)
F4
(Hz)
F5
(Hz)
F6
(Hz)
F7
(Hz)
F8
(Hz)
F9
(Hz)
F10
(Hz)
5 415,12 415,12 502,98 561,22 568,79 716,85 716,92 728,80 728,84 747,23
10 432,73 432,74 527,60 591,28 598,83 752,37 752,45 764,13 764,17 776,54
15 449,83 449,84 551,12 620,19 627,72 787,52 787,63 794,95 799,99 804,56
20 467,05 467,05 573,82 648,06 655,76 821,36 821,58 830,90 834,85 834,89
25 483,20 483,20 595,51 675,40 681,86 854,37 854,42 856,98 867,17 929,23
Tabla 4.2 Frecuencias propias para E = 0.5MPa.
Del análisis de estos resultados pueden obtener las siguientes conclusiones:
• Las frecuencias 1 y 2 son prácticamente del mismo valor, el mismo
resultado se observa entre las frecuencias 6 y 7, 8 y 9.
• Las dos diferencias más altas entre frecuencias sucesivas se observan
entre las frecuencias 5 y 6, y 1 y 3.
• Los valores de las frecuencias para diferentes PIO se traslapan entre los
grupos diferenciados por el módulo de elasticidad.
Estos mismos resultados se cumplen para cualquier par de “E” y “PIO” simulado
en este trabajo.
96
Por simplicidad se eligieron solo las frecuencias 1 y 3 como representativas de los
modos de vibración de la córnea para simulaciones posteriores. Las tablas
completas de estas frecuencias se muestran en el anexo B. En adelante estas dos
primeras frecuencias que se diferencian entre sí se nombraran como f1 y f2.
Las figuras 4.1 a 4.5 muestran la relación de presión vs las frecuencias f1 y f2 para
cada módulo de elasticidad.
y = 0,1834x - 34,992R² = 0,9968
y = 0,1412x - 33,214R² = 0,9963
0,005,00
10,0015,0020,0025,0030,00
200,00 300,00 400,00 500,00 600,00 700,00 800,00
P(m
mH
g)
f (Hz)
E = 0,1 MPa
f1 (Hz)
f2 (Hz)
y = 0,2237x - 58,074R² = 0,9981
y = 0,1683x - 53,369R² = 0,9975
0,005,00
10,0015,0020,0025,0030,00
200,00 300,00 400,00 500,00 600,00 700,00 800,00
P(m
mH
g)
f (Hz)
E = 0,2 MPa
f1 (Hz)
f2 (Hz)
Linear (f1 (Hz))
Linear (f2 (Hz))
97
Figuras 4.1 a 4.5: PIO vs frecuencias propias para diferentes módulos de Young (E = 0,1 a 0,5).
y = 0,2568x - 80,907R² = 0,9957
y = 0,1906x - 72,999R² = 0,9966
0,005,00
10,0015,0020,0025,0030,00
200,00 300,00 400,00 500,00 600,00 700,00 800,00
P(m
mH
g)
f (Hz)
E = 0,3 MPa
f1 (Hz)
f2 (Hz)
y = 0,2849x - 102,98R² = 0,9912
y = 0,2089x - 91,641R² = 0,9945
0,005,00
10,0015,0020,0025,0030,00
200,00 300,00 400,00 500,00 600,00 700,00 800,00
P(m
mH
g)
f (Hz)
E = 0.4 MPa
f1 (Hz)
f2 (Hz)
y = 0,2966x - 119,16R² = 0,9883
y = 0,2201x - 107,35R² = 0,993
0,005,00
10,0015,0020,0025,0030,00
200,00 300,00 400,00 500,00 600,00 700,00 800,00
P(m
mH
g)
f (Hz)
E = 0.5 MPa
f1 (Hz)
f2 (Hz)
98
La figura 4.6 resume en 3D las series de datos de presión en función de las
frecuencias propias y el módulo de elasticidad.
Figura 4.6: Series de presión intraocular en función de la frecuencia y el módulo de elasticidad.
En las figuras 4.1 a 4.5 también se incluyen las ecuaciones de las líneas de
tendencia y su coeficiente de determinación lineal R2, este coeficiente presenta un
mínimo de 0,9883 para las tendencias de f1 y un mínimo de 0,9930 para las
tendencias de f2 (ver tabla 4.3).
Coeficiente
R2
E (MPa) f1 F2
0,10 0,9968 0,9963
0,20 0,9981 0,9975
0,30 0,9957 0,9966
0,40 0,9912 0,9945
0,50 0,9883 0,9930
Min 0,9883 0,9930
Tabla 4.3 coeficientes de determinación lineal de las diferentes tendencias de frecuencias propias
99
Se puede definir la sensibilidad para determinar el cambio de presión de acuerdo a
la variación de la frecuencia. Esta sensibilidad es la pendiente de cada una de las
líneas de tendencia de las gráficas de PIO vs f. La figura 4.7 muestra el
comportamiento con respecto al módulo de elasticidad.
Figura 4.7: Sensibilidad (dp/df) de las curvas de frecuencias propias
Del análisis de las figuras 4.1 a 4.7 de PIO vs frecuencia se puede concluir lo
siguiente:
• Las series de frecuencias se desplazan hacia la derecha (aumenta la
frecuencia) a medida que aumenta el módulo de elasticidad.
• La sensibilidad de las curvas aumenta con el módulo de elasticidad lo que
significa que a mayores módulos es más difícil diferenciar las presiones en
una serie de datos de frecuencia.
• A pesar de la sensibilidad, a altos módulos de Young es más fácil
diferenciar entre las frecuencias de las series f1 y f2 pues se encuentran
más separadas las series de datos en el rango simulado de presiones.
0,00000,05000,10000,15000,20000,25000,30000,3500
0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60
Sens
ibili
dad
(mm
Hg/
Hz)
E (MPa)
Sensibilidad vs E
f1
f3
100
• Los coeficientes de determinación lineal de las diferentes series de datos se
acercan a 1,0 lo que implica que se puede asumir con un alto grado de
certeza que el comportamiento es lineal.
De acuerdo a los anteriores postulados se puede argumentar que es posible
determinar la presión intraocular si se conocen las frecuencias propias, a esta
conclusión ya han llegado otros autores [10][61][19][18][81] sin embargo no se han
encontrado en la literatura estudios sobre la influencia del módulo de elasticidad
en el comportamiento de las frecuencias propias de la córnea.
4.1.3 Deducción de la PIO y el módulo de Young a pa rtir de las frecuencias
propias.
En esta sección se desarrollara un método para determinar la presión intraocular y
el módulo de Young del modelo de una córnea a partir de las frecuencias propias.
La córnea es descrita como un medio continuo deformable homogéneo isotrópico
como se expuso en el capítulo 2.
Para ilustrar el procedimiento se utilizará los resultados obtenidos de la simulación
de eigenfrecuencias de un modelo con modulo de Young igual a 0,46 MPa y PIO
igual a 20,36 mmHg Las frecuencias propias obtenidas de este modelo son f1 =
454,50 Hz y f3 = 561,94 Hz.
Hay que recordar que para esta prueba se parte de la suposición de que no se
conocen el módulo de Young ni la PIO, solo las frecuencias propias. Para obtener
la presión se usan inicialmente las ecuaciones para las series f1 y f3 de la primera
101
gráfica de PIO vs frecuencia (ver sección 4.1.2) donde el módulo de elasticidad es
0,1 MPa:
1 0,1834f1 34,992 0,1834454.50 34,992 48,36 ¤¥
3 0,1412f3 – 33,214 0,1412561,94 33,214 46,13 ¤¥
Donde p(f) es la presión estimada.
La tabla 4.4 muestra la estimación de presión hecha con cada una de las
ecuaciones que componen el modelo.
E (Mpa) p(f1)
(mmHg)
p(f3)
(mmHg)
0,10 48,36 46,13
0,20 43,60 41,21
0,30 35,81 34,11
0,40 26,51 25,75
0,50 15,64 16,33
Tabla 4.4: Presiones estimadas a partir de las frecuencias propias.
La figura 4.8 muestra como los planos formados por cada una de las frecuencias
halladas en la simulación, cortan las series de datos de presión para cada módulo.
Las curvas generadas sobre estos dos planos corresponden a los datos de
presión de la tabla 4.4.
102
Figura 4.8: Presiones estimadas en función de las frecuencias f1 y f2 y el módulo
La figura 4.9 muestra la proyección de estas curvas sobre el plano formado por la
PIO y el módulo de elasticidad y las ecuaciones de tendencia polinomial de grado
2.
Figura 4.9: Proyección de las presiones estimadas sobre el plano de PIO vs E
p = -93,714e2 - 27,271e + 52,446
p = -72,929e2 - 31,713e + 50,256
0
10
20
30
40
50
60
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
PIO
(mm
Hg)
E (MPa)
Proyección de las presiones estimadas sobre el plano PIO vs E
f1
f2
p (f1, E) p (f2,E)
103
Estas dos curvas se interceptan en los puntos (-0,23 MPa, 53,68 mmHg) y (0,45
MPa, 21,35 mmHg) . El primer punto no tiene sentido físico para la simulación
hecha por lo tanto se elige el punto 2 como la respuesta a la estimación.
Para confirmar la precisión de los resultados de la interpolación se escogieron
aleatoriamente 16 parejas de presiones intraoculares y módulos de Young
utilizando la función “rand“ de Matlab. Las parejas se eligieron utilizando 4
categorías definidas por los intervalos de presión: “5,0 a 9,9”, “10,00 a 14,90”,
“15,00 a 19,99” y “20,00 a 25,00”. Los módulos de Young se eligieron en un único
intervalo entre 0,10 y 0,50 MPa. La tabla 4.5 muestra las parejas elegidas
aleatoriamente
Rango
presión
(mmHg)
Presión
(mmHg)
E (Mpa) Rango
presión
(mmHg)
Presión
(mmHg)
E (Mpa)
5,0
a 9,
9
5,57 0,22
15,0
a 1
9,9
15,61 0,20
5,68 0,11 16,19 0,14
6,29 0,12 18,18 0,35
9,06 0,18 19,78 0,40
10,0
a 1
4,9
10,37 0,13
20,0
a 2
5,0
20,36 0,46
12,90 0,34 21,87 0,27
14,50 0,29 22,16 0,35
14,63 0,12 22,46 0,30
Tabla 4.5: Parejas aleatorias de PIOs y módulos
Posteriormente se corrieron simulaciones para determinar las frecuencias propias
de cada pareja, los resultados fueron introducidos en el modelo de interpolación
para determinar la PIO y el módulo de Young. Los resultados se muestran en la
tabla 4.6 y las figuras 4.10 y 4.10.
104
Rango
presión
(mmHg)
Presión
(mmHg)
E
(MPa)
f1 (Hz) f2(Hz) Presión
estimada
(mmHg)
E
estimado
(MPa)
Diferencia
Abs presión
(mmHg)
Diferencia
presión
(%)
Diferencia
Abs (MPa)
Diferencia
módulo
(%)
5,0
a 9,
9
5,57 0,22 297,82 364,58 3,63 0,25 1,94 -34,81 0,03 12,43
5,68 0,11 227,18 281,60 6,64 0,10 0,96 16,94 0,01 -9,55
6,29 0,12 237,87 294,91 7,02 0,11 0,73 11,57 0,01 -6,15
9,06 0,18 289,58 358,78 9,63 0,18 0,57 6,34 0,00 -1,04
10,0
a 1
4,9
10,37 0,13 268,48 334,17 10,59 0,13 0,22 2,07 0,00 0,53
12,90 0,34 386,29 475,43 11,12 0,37 1,78 -13,78 0,03 8,22
14,50 0,29 367,28 454,95 15,69 0,28 1,19 8,19 0,01 -3,97
14,63 0,12 284,57 356,12 14,94 0,12 0,31 2,14 0,00 -1,80
15,0
a 1
9,9
15,61 0,20 331,60 412,61 15,84 0,20 0,23 1,45 0,00 0,05
16,19 0,14 302,36 378,68 17,20 0,13 1,01 6,25 0,01 -7,31
18,18 0,35 405,72 502,90 19,80 0,33 1,62 8,91 0,02 -4,79
19,78 0,40 430,60 533,30 21,73 0,38 1,95 9,87 0,02 -4,71
20,0
a 2
5,0
20,36 0,46 454,49 561,93 21,90 0,44 1,54 7,56 0,02 -3,90
21,87 0,27 388,28 483,38 21,50 0,28 0,37 -1,69 0,01 1,91
22,16 0,35 418,88 521,05 24,08 0,33 1,92 8,66 0,02 -5,71
22,46 0,30 402,66 500,81 22,56 0,30 0,10 0,45 0,00 0,00
Tabla 4.6: Comparación de las presiones y módulos simulados y las estimaciones hechas por interpolación
(selección de PIO y E aleatoria)
Gráfico 4.10: Comparación entre la PIO simulada y la PIO estimada a partir de las frecuencias propias.
0,00
5,00
10,00
15,00
20,00
25,00
30,00
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Pres
ión
(mm
Hg)
Simulación número
Comparación PIO y PIO estimada
PIO (mmHg)
PIO estimada (mmHg)
105
Figura 4.11: Comparación entre el módulo simulado y el estimado a partir de las frecuencias propias
Como se observa se encuentra una diferencia máxima de 1,95 mmHg en la PIO
que corresponde a 9,87% y a una PIO simulada de 19,78 mmHg, La diferencia
máxima del módulo E es de 0,03 MPa. Las figuras 4.12 y 4.13 muestran los
errores absolutos en la estimación de la presión y del módulo de Young.
Figura 4.12: Error en la estimación de la presión mediante el modelo de interpolación vs la presión simulada
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
E (M
Pa)
Simulación número
Comparación E y E estimado
E (MPa)
E estimada (MPa)
0
10
20
30
40
5,57
5,68
6,29
9,06
10,3
7
12,9
0
14,5
0
14,6
3
15,6
1
16,1
9
18,1
8
19,7
8
20,3
6
21,8
7
22,1
6
22,4
6
Erro
r abs
(%)
Presión simulada (mmHg)
Error estimación presión (%)
106
Figura 4.13: Error en la estimación del módulo de Young vs la presión simulada
No se observa ninguna distribución específica de los errores. A bajas presiones la
incidencia en el valor porcentual del error es mayor por lo que se añadió un punto
adicional a las tablas de interpolación. El punto elegido fue “7,5 mmHg” . La
comparación entre este nuevo modelo y el anterior se muestra en las figuras 4.14
y 4.15.
Figura 4.14: Comparación del error en presión absoluto procentual entre el modelo 1 de interpolación y el
modelo 2 (Mejor resolución a bajas presiones)
0
5
10
15
0,12
0,12
0,13
0,14
0,18
0,20
0,22
0,27
0,29 0,
3
0,34
0,35
0,35
0,40
0,46
Erro
r abs
(%)
Módulo simulado (MPa)
Error estimación modulo de Young (%)
0
10
20
30
40
5,57
5,68
6,29
9,06
10,3
712
,90
14,5
014
,63
15,6
116
,19
18,1
819
,78
20,3
621
,87
22,1
622
,46
Erro
r abs
(%)
Presión simulada (mmHg)
Comparación modelos de interpolación presión
Modelo 1
Modelo 2
107
Gráfico 4.15: Comparación del error en módulo absoluto porcentual entre el modelo 1 de interpolación y el
modelo 2.
El análisis de estos resultados lleva a concluir lo siguiente:
• Conociendo dos frecuencias propias es posible determinar con una buena
aproximación el módulo de elasticidad y la PIO del modelo de córnea vista
como un medio continuo deformable homogéneo isotrópico.
• Si se aumenta la resolución de las series de frecuencia de presión mejora el
resultado de la estimación de la PIO.
4.1.4 Influencia de la amortiguación en la estimaci ón de la PIO y el módulo de
Young.
Para evaluar la influencia de la amortiguación se utilizo la función “rand” de Matlab
para generar coeficientes de amortiguamiento ζ entre 0,036 y 0,072 para cada una
de las parejas presentadas en la tabla 4.5. Después se hallaron las frecuencias
02468
101214
0,11
0,12
0,12
0,13
0,14
0,18
0,20
0,22
0,27
0,29 0,
30,
340,
350,
350,
400,
46
Erro
r abs
(%)
Módulo simulado (MPa)
Comparación modelos de interpolación módulo
Modelo 1
Modelo 2
108
propias a partir de los modelos con amortiguación. La comparación con respecto
al modelo de interpolación de frecuencias propias con amortiguación ζ = 0,072 (α
= 90,45/s y β = 1,00 x 10-6 s) se presenta en la tabla 4.7 y las gráficas 4.19 y 4.20.
simulación PIO
(mmHg)
E
(MPa)
ζ PIO
estimada
(mmHg)
PIO
estimada
(mmHg)
a ζ =
0,072
Diferencia
(mmHg)
E
estimada
(MPa)
E
estima
da
(MPa)
ζ =
0,072
Diferencia
(MPa)
1 5,57 0,22 0,04 4,99 5,01 0,02 0,22 0,23 0,01
2 5,68 0,11 0,04 4,98 5,00 0,02 0,12 0,12 0,00
3 6,29 0,12 0,04 5,81 5,89 0,08 0,12 0,12 0,00
4 9,06 0,18 0,04 9,51 9,55 0,04 0,17 0,17 0,00
5 10,37 0,13 0,05 10,46 10,49 0,03 0,13 0,13 0,00
6 12,90 0,34 0,07 11,79 11,80 0,01 0,36 0,37 0,01
7 14,50 0,29 0,05 15,42 15,66 0,24 0,27 0,28 0,01
8 14,63 0,12 0,05 14,63 14,65 0,02 0,11 0,12 0,01
9 15,61 0,20 0,06 15,99 16,02 0,03 0,19 0,20 0,01
10 16,19 0,14 0,06 17,28 17,32 0,04 0,12 0,12 0,00
11 18,18 0,35 0,05 19,40 19,80 0,40 0,33 0,33 0,00
12 19,78 0,40 0,06 21,73 21,76 0,03 0,38 0,38 0,00
13 20,36 0,46 0,06 21,80 21,86 0,06 0,44 0,44 0,00
14 21,87 0,27 0,05 21,30 21,68 0,38 0,27 0,27 0,00
15 22,16 0,35 0,05 24,02 24,07 0,05 0,33 0,33 0,00
16 22,46 0,30 0,04 21,10 22,58 1,48 0,29 0,30 0,01
Tabla 4.7 influencia del amortiguamiento en la estimación de la PIO y el módulo de Young.
109
Figura 4.16: Influencia de la amortiguación en la estimación de la PIO
Figura 4.17: Influencia de la amortiguación en la estimación del módulo de Young
• Se puede asegurar que los cambios en la amortiguación tiene una
influencia mínima sobre las presiones y módulos estimados.
0,00
5,00
10,00
15,00
20,00
25,00
30,00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Pres
ión
(mm
Hg)
Simulación
Influencia del amortiguamiento presión
PIO (mmHg)
PIO estimada (mmHg)
PIO estimada (mmHg) a ζ = 0,072
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
E (M
Pa)
Simulación
Influencia del amortiguamiento módulo
E (MPa)
E estimado (MPa)
E estimado (MPa) ζ = 0,072
110
4.2 Simulación de dispersión de onda acústica.
Una vez determinada la relación entre las frecuencias propias, la PIO y el módulo
de Young, se procede a probar si es posible encontrar dichas frecuencias
mediante la dispersión de ondas acústicas en la córnea.
Esta prueba se hace mediante la simulación en el dominio del tiempo del impacto
y dispersión de ondas acústicas sobre la córnea. Los parámetros utilizados para la
prueba fueron una PIO de 15 mmHg, un módulo de Young de 0,5 MPa.
La ecuación de onda incidente es K % §¨ o* ©ªp, que es una solución de la
ecuación (2-10) y por lo tanto corresponde a una onda plana, donde x es la
distancia recorrida longitudinalmente, P es la presión pico y C es la velocidad del
sonido en el aíre. La presión pico se eligió de acuerdo a la reglamentación
industrial la cual exige una intensidad máxima de 80 dB (0,3 Pa).
Las frecuencias propias correspondientes a los parámetros elegidos son f1 =
455,85 y f2 = 559,45 Hz, las cuales se hallaron de acuerdo a lo expuesto en la
sección 4.1.
Para determinar las frecuencias a las que se hicieron las simulaciones se dividió
en dos la diferencia entre f1 y f2 y el resultado se tomó como el delta de
frecuencia. Se espera que la máxima amplitud de onda dispersada se encuentre
en las frecuencias de resonancia. (ver la tabla 4.8).
111
P (mmHg)
E
(MPa) f1 (Hz) f2 (Hz) f3 (Hz) f4 (Hz) f5 (Hz) Delta f
15 mmHg 0,50 404 456 508 559 611 52
Amplitud esperada de la onda
dispersada Baja Alta Baja Alta Baja
Tabla 4.8: frecuencias de simuladas en el modelo acústico.
Se simuló cada una de las frecuencias durante el tiempo correspondiente a 5
ciclos de onda incidente y la frecuencia de muestreo fue diez veces más que la
frecuencia simulada cumpliendo con el criterio de Nyquist ( 2 veces la frecuencia
máxima).
La figura 4.18 muestra los resultados de la onda dispersada tomada a 3 mm del
ápice de la córnea.
Figura 4.18: Presión dispersada vs tiempo para diferentes frecuencias de onda incidente
-0,4
-0,3
-0,2
-0,1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012 0,014
Pres
ión
(Pa)
Tiempo (s)
Presión dispersada
404
456
508
559
611
112
La tabla 4.9 muestra los valores máximos y mínimos para las presiones
dispersadas por la córnea por cada frecuencia simulada.
frecuencia
(Hz)
404,0 456,0 508,0 559,0 611,0
Pico + (Pa) 0,29275 0,29279 0,29282 0,29283 0,29259
Pico - (Pa) -0,29283 -0,29281 -0,29283 -0,29283 -0,29263
Pincidente
(Pa)
0,30000 0,30000 0,30000 0,30000 0,30000
Tabla 4.9: Presiones máximas dispersadas y presión incidente
El análisis de Fourier de los datos fue hecho de acuerdo a los planteamientos de
la sección 2.6. La figura 4.19 presenta los resultados del análisis de amplitud de la
onda dispersada en el dominio de la frecuencia.
Gráfico 4.19: Espectro de frecuencia de la onda dispersada a 3 mm del ápice de la córnea
Del análisis de las figuras 4.18 y 4.19 no aprecia una diferencia en la amplitud
suficiente para determinar las frecuencias propias.
113
5. ANÁLISIS Y CONCLUSIONES
Frecuencias propias
La córnea está sometida a esfuerzos y presenta deformaciones debido a la
presión intraocular, estos esfuerzos y deformaciones influencian la respuesta
vibratoria de la córnea. Las gráficas de las series de frecuencias (4.1 a 4.5)
muestran que a mayor presión mayor es la frecuencia propia del modelo.
Las gráficas también muestran que el módulo de elasticidad influencia la
respuesta vibratoria de la córnea. A medida que el módulo de elasticidad aumenta,
también lo hacen las frecuencias propias.
Es posible agrupar la respuesta vibratoria del modelo a diferentes presiones por el
valor del módulo. Una vez agrupadas, las tendencias de las series de presión vs
frecuencia presentan unos coeficientes de determinación lineal cercanos a uno por
lo que se puede asumir que el comportamiento es lineal. De cada grupo se puede
estimar un par de presiones a partir de las frecuencias propias.
El modelo para la determinación de la PIO a partir de las frecuencias propias
utiliza las estimaciones hechas por cada una de las dos primeras frecuencias que
se pueden diferenciar entre si para encontrar un valor único de PIO sin necesidad
114
de conocer el módulo de Young, es mas el modelo evalúa el valor del módulo. El
argumento expuesto es una ventaja con respecto a la tonometría tradicional de
aplanación la cual requiere correcciones de los valores medidos de presión de
acuerdo al módulo de elasticidad.
La sensibilidad de las tendencias de presión aumenta con el módulo de elasticidad
lo que significa que a mayores módulos es más difícil diferenciar las presiones en
una serie de datos de frecuencia.
El modelo propuesto y las pruebas hechas muestran una diferencia máxima de
2,56 mmHg entre la PIO de la simulación y la PIO estimada.
El comportamiento de los errores porcentuales en la estimación es mayor en los
datos de presión que en los datos del módulo. Las gráficas 4.15 a 4.18 muestran
que es posible reducir estos errores si se mejora la resolución de las series de
datos de presión vs frecuencia.
La influencia del amortiguamiento en las estimaciones es mínima asumiendo que
la córnea es un sistema ligeramente amortiguado con factores de amortiguamiento
ζ entre 0,036 y 0,072.
El modelo propuesto es una forma de estimar la PIO y el módulo de Young de la
córnea vista como un medio continuo deformable homogéneo isotrópico, a partir
de las dos primeras frecuencias propias diferenciables.
El modelo propuesto y las pruebas hechas muestran una diferencia máxima de
1,95 mmHg entre la PIO de la simulación y la PIO estimada.
115
Modelo acústico
No se observa ninguna diferencia entre las amplitudes de las presiones
dispersadas por la córnea a diferentes frecuencias.
Se observa el corrimiento en frecuencia que corresponde con la frecuencia de la
onda incidente.
No se observa la forma de encontrar las frecuencias propias a partir la dispersión
de las ondas acústicas en la córnea. Esto se puede deber a que la presión de la
onda incidente dentro de los límites industriales de 80dB es muy baja comparada
con la presión intraocular. La razón es de 10000 a 1 aproximadamente.
116
6. RECOMENDACIONES
La determinación de las frecuencias propias de la córnea permite estimar la
presión intraocular y el módulo de Young. El método para la medición de dichas
frecuencias debe reunir las siguientes características:
• No ser invasivo, no puede representar un riesgo de daño para la córnea o de
infección.
• Evitar el contacto directo entre el instrumento de medición y la cornea.
• Diferenciar o evitar medir las frecuencias del propio instrumento y de la
estructura que lo soporta.
• Evitar movimientos del paciente que interfieran con la medida.
• La duración del ensayo debe ser corta por comodidad del paciente y para
mejorar la repetitividad de la medición.
• El método de excitación debe evitar el contacto directo con la córnea. Y de ser
posible permitir determinar las fuerzas de excitación
• Los datos obtenidos deben ser suficientes para desarrollar un análisis inverso
para determinar las frecuencias propias.
Drescher [79], Dubois y otros [80] han enfocado el problema de la medición de
pequeños desplazamientos en la córnea mediante el uso de diferentes
interferómetros. Las principales ventajas de estos métodos son:
• Exactitud en la medida del desplazamiento que depende de la longitud de
onda del laser utilizado.
117
• No hay contacto entre la córnea y el instrumento de medición.
• Los sistemas de excitación no interfieren con la medición
La principal desventaja es la correcta alineación y la potencia reflejada por la
córnea que está limitada por las reglamentaciones del uso del laser en
aplicaciones biomédicas.
Otro método de medición es el uso de sensores de capacitancia, estos sensores
son usados en la industria para la detección de elementos tanto conductivos
como aislantes, las principales ventajas son:
• No hay contacto entre la córnea y el instrumento de medición.
• No requiere alineación con el objeto a medir.
Las principales desventajas son:
• Debe estar muy cerca de la córnea por lo que puede interferir con el sistema
de excitación.
• Requiere una calibración previa a cada ensayo.
En cuanto al sistema de excitación Dubois [19] utiliza un pequeño martillo que
impacta el área temporal externa con una fuerza de menos de 3N. Este método no
permite la medición o la estimación de la fuerza equivalente de impacto importante
en los análisis modales tradicionales. Drescher [18], recomienda el estudio del uso
de un resonador de Hemholtz ó por ráfaga de aíre. Este método permite hacer una
aproximación de la fuerza del impacto.
118
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126
Anexo A
Procedimiento para encontrar la geometría inicial d e la córnea
El diagrama de flujo muestra el procedimiento para hallar la geometría inflada de
la córnea a partir de una córnea desinflada, de acuerdo al módulo de Young y la
PIO.
Con las siguientes convenciones:
CI: Corrimiento inicial
RE: Radio externo corneal
EC: Espesor corneal
CEC: Centro de la esfera de la córnea
COR := CI
Encontrar radio externo esfera córnea (RE) y centro (CEC)(1)
Generar geometría con RE, EC y CEC
Ejecutar simulación estática
COR := Desplazamiento máximo
COR – CI < 20 µm
Geometría inicial encontrada FIN
SI NO CI := COR
127
COR: Corrimiento
(1) Código en Matlab para encontrar el radio externo y el centro de la esfera
externa corneal:
COR = 0.0004175; %Corrimiento punto central corneal
ESP = 0.000596; %Espesor corneal
%Tres puntos en el espacio por donde debe pasar la córnea
P1 = [-1.443414e-18 0.006694 0];
P2 = [-0.00374+COR 0 0];
P3 = [-1.443414e-18 -0.006694 0];
T = P2-P1; U = P3-P1; V = P3-P2;
W = cross(T,U);
T2 = sum(T.^2); U2 = sum(U.^2); W2 = sum(W.^2);
C = P1+(T2*sum(U.*V)*U-U2*sum(T.*V)*T)/(2*W2) %Centro
RE = 1/2*sqrt(T2*U2*sum(V.^2)/W2) %Radio externo córnea
RI = RE-ESP %Radio interno córnea
Ilustración A.1 Geometría de la córnea
Punto central (corrimiento)
Centro esfera
128
Anexo B
Tabla de frecuencias propias
Amortiguación de Raylegh: α = 45,00 s-1, β = 1,00e-6 s.
E = 0,1 MPa
E = 0,2 MPa P (mmHg) f1 (Hz) f3 (Hz)
P (mmHg) f1 (Hz) f3 (Hz)
5,00 215,68 267,16
5,00 280,61 344,43 7,50 232,69 289,28
7,50 295,85 364,06
10,00 246,92 308,60
10,00 305,04 377,84 15,00 275,19 345,11
15,00 328,96 409,13
20,00 301,07 378,23
20,00 349,22 436,44 25,00 324,45 408,74
25,00 370,07 463,26
E = 0,3 MPa
E = 0,4 MPa
P (mmHg) f1 (Hz) f3 (Hz)
P (mmHg) f1 (Hz) f3 (Hz) 5,00 332,39 406,46
5,00 377,22 460,38
7,50 343,68 421,84
7,50 387,32 474,15 10,00 357,30 439,03
10,00 396,86 487,11
15,00 373,61 462,77
15,00 418,41 514,88 20,00 392,28 487,81
20,00 431,41 534,37
25,00 411,82 512,80
25,00 446,92 555,75
E = 0,5 MPa
P (mmHg) f1 (Hz) f3 (Hz) 5,00 417,17 508,53 7,50 426,28 520,86
10,00 435,21 533,10 15,00 455,84 559,43 20,00 471,48 580,83 25,00 482,34 597,44
129
Amortiguación de Raylegh: α = 60,00 s-1, β = 1,00e-6 s.
E = 0,1 MPa E = 0,2 MPa P (mmHg) f1 (Hz) f3 (Hz) P (mmHg) f1 (Hz) f3 (Hz)
5,00 215,66 267,15 5,00 280,59 344,41 7,50 232,57 289,27 7,50 295,83 364,05
10,00 246,90 308,59 10,00 305,03 377,83 15,00 275,18 345,10 15,00 328,94 409,11 20,00 301,06 378,22 20,00 349,21 436,43 25,00 324,43 408,73 25,00 370,06 463,25
E = 0,3 MPa E = 0,4 MPa
P (mmHg) f1 (Hz) f3 (Hz) P (mmHg) f1 (Hz) f3 (Hz) 5,00 332,38 406,45 5,00 377,20 460,36 7,50 343,67 421,83 7,50 387,30 474,14
10,00 357,28 439,02 10,00 396,84 487,10 15,00 373,60 462,76 15,00 418,40 514,87 20,00 392,26 487,80 20,00 431,40 534,36 25,00 411,80 512,79 25,00 446,90 555,74
E = 0,5 MPa
P (mmHg) f1 (Hz) f3 (Hz) 5,00 417,16 508,52 7,50 426,26 520,85
10,00 435,20 533,09 15,00 455,83 559,42 20,00 471,47 580,82 25,00 482,33 597,43
130
Amortiguación de Raylegh: α = 75,00 s-1, β = 1,00e-6 s.
E = 0,1 MPa E = 0,2 MPa P (mmHg) f1 (Hz) f3 (Hz) P (mmHg) f1 (Hz) f3 (Hz)
5,00 215,63 267,12 5,00 280,57 344,40 7,50 232,54 289,24 7,50 295,81 364,03
10,00 246,88 308,56 10,00 305,01 377,82 15,00 275,15 345,08 15,00 328,92 409,10 20,00 301,04 378,20 20,00 349,19 436,42 25,00 324,41 408,72 25,00 370,04 463,24
E = 0,3 MPa E = 0,4 MPa
P (mmHg) f1 (Hz) f3 (Hz) P (mmHg) f1 (Hz) f3 (Hz) 5,00 332,36 406,44 5,00 377,19 460,35 7,50 343,65 421,82 7,50 387,29 474,13
10,00 357,26 439,01 10,00 396,83 487,09 15,00 373,58 462,75 15,00 418,38 514,86 20,00 392,25 487,78 20,00 431,39 534,34 25,00 411,79 512,78 25,00 446,89 555,73
E = 0,5 MPa
P (mmHg) f1 (Hz) f3 (Hz) 5,00 417,15 508,51 7,50 426,25 520,83
10,00 435,19 533,08 15,00 455,81 559,41 20,00 471,46 580,81 25,00 482,32 597,42
131
Amortiguación de Raylegh: α = 90,45 s-1, β = 1,00e-6 s.
E = 0,1 MPa E = 0,2 MPa P (mmHg) f1 (Hz) f3 (Hz) P (mmHg) f1 (Hz) f3 (Hz)
5,00 215,59 267,09 5,00 280,54 344,37 7,50 232,51 289,22 7,50 295,78 364,01
10,00 246,84 308,54 10,00 304,98 377,79 15,00 275,12 345,05 15,00 328,90 409,08 20,00 301,01 378,18 20,00 349,16 436,40 25,00 324,39 408,70 25,00 370,02 463,22
E = 0,3 MPa E = 0,4 MPa
P (mmHg) f1 (Hz) f3 (Hz) P (mmHg) f1 (Hz) f3 (Hz) 5,00 332,34 406,42 5,00 377,17 460,33 7,50 343,63 421,80 7,50 387,28 474,11
10,00 357,24 438,99 10,00 396,81 487,07 15,00 373,56 462,73 15,00 418,37 514,84 20,00 392,23 487,77 20,00 431,37 534,33 25,00 411,77 512,76 25,00 446,87 555,71
E = 0,5 MPa
P (mmHg) f1 (Hz) f3 (Hz) 5,00 417,13 508,50 7,50 426,23 520,82
10,00 435,17 533,06 15,00 455,79 559,40 20,00 471,44 580,79 25,00 482,30 597,41
132
Anexo C
Distribución de los elementos en la validación del modelo acústico
Vista superior
135,00
108,00
162,00
133
Vista frontal
15,0
0
95,0
0
94,6
0
95,0
0
Vista derecha
134
Anexo D
Mediciones para la validación del modelo acústico
Instrumento: Micrómetro
Instrumento: Probeta y balanza Meter Toledo
Instrumento: Sensor de presión OMEGA
PX140
Instrumento: Máquina de
ensayos Medida Espesor
(mm) Muestra Densidad
(kg/m^3) Medida Presión
(Pa) Muestra E
(MPa) 1 1,01 1 560,2 1 79 1 1,01 2 1,04 2 608,5 2 79 2 1,34 3 0,99 3 700,3 3 79 3 1,28 4 1,12 Promedio 623,0 Promedio 79 Promedio 1,21 5 1,11 Desviación
estandar 71,2 Desviación
estandar 0 Desviación
estandar 0,18
6 1,17 7 0,91 8 0,9 9 0,97
Promedio 1,02 Desviación estandar
0,09