157 ENSEANZA DE LAS CIENCIAS, 2009, 27(2), 157168ESTUDIO DE FENMENOS DIDCTICOS VINCULADOSA LA ENSEANZA DE LA ARITMTICA EN LA EDUCACIN BSICA CHILENAEspinoza, Lorena1; Barb, Joaqun2 y Glvez, Grecia21 Departamento de Matemticas. Universidad de Santiago de Chile2 Grupo Flix Klein. Universidad de Santiago de Chilelorespinoz@gmail.comquimbarbe@gmail.comgrecia.galvez@gmail.comINVESTIGACINDIDCTICAResumen.Lainvestigacinquepresentamosestudielproblemadelosescasosnivelesdelogrodeaprendizajesenmatemticaobtenidosporlos estudiantes chilenos de Educacin Bsica. El artculo se centra en el caso de la aritmtica escolar. Basndonos en la Teora Antropolgica de lo Didctico (Chevallard, 1999), y en la Teora de Situaciones Didcticas (Brousseau, 1990), analizamos los contenidos y aprendizajes matemticos nucleares de los programas o!ciales en el eje de aritmtica. Continuamos con la observacin y anlisis de procesos de enseanza aprendizaje desarrollados en torno a la aritmtica, en escuelas de la Regin Metropolitana, y !nalizamos con el anlisis de restricciones institucionales que las escuelas imponen al desarrollo de dichos procesos. Identi!camos el fenmeno de la inhibicin progresiva de determinadas capacidades matemticas de los alumnos a lo largo de la educacin bsica. Los alumnos no slo dejan de aprender, en el momento curricular oportuno, cuestiones matemticas importantes, sino que adems se produce un estancamiento, especialmente a lo largo del 2 ciclo bsico, en el desarrollo de sus capacidades matemticas.Palabras clave. Educacin Bsica, logros de aprendizaje en matemtica, aritmtica escolar, progreso de los aprendizajes en matemtica.A study of didactics phenomena related to arithmetic teaching in Chilean primary schoolSummary. The research presented here analyzes the topic of the low levels attained in mathematics by most Chilean students at the end of elementary school. ThearticlefocusesonthecaseofSchool Arithmetic.Usingthe Anthropological TheoryofDidactics(Chevallard,1999)andthe Theoryof Didactic Situations (Brousseau, 1990), the investigation began with the nuclear mathematical learning and contents of the current of!cial elementary schoolprogramsinmathematics.Then,itcontinuedwiththeobservationandanalysisofteaching-learningprocessesdevelopedforarithmeticsin elementary schools in the Metropolitan Region and ended with the analysis of the institutional restrictions imposed by schools for the development of those processes. We identi!ed the phenomenon of the progressive inhibition of some mathematical abilities of students through elementary school. The students not only stop learning vital mathematical subjects for their academic and cognitive development at a timely curricular moment, but also a progressive stagnation in their development abilities is caused, especially during the second basic cycle. Keywords. Elementary education, achievements in mathematics learning, school arithmetic, progress in mathematics learning.INVESTIGACIN DIDCTICA158 ENSEANZA DE LAS CIENCIAS, 2009, 27(2)

Desde comienzos de la dcada pasada se han desarrollado distintas iniciativas en el mbito educativo chileno, con el propsito de potenciar el sistema de enseanza y de esta forma lograr un mejoramiento sustantivo del aprendizaje de los estudiantes. En ese contexto, un hito fundamental lohaconstituidolaReformaEducativaque,ademsde incidirsobrelascondicioneslaboralesdelosdocentes y sobre las condiciones de aprendizaje de los alumnos, ha generado importantes cambios en el currculo en todos los sectores de aprendizaje (OCDE, 2004).LaimplementacindelaReformaEducativahaestado acompaadadeunconjuntodeaccionesimpulsadas desdeelMinisteriodeEducacin,orientadasaapoyar espec!camentelatareadocente.Sinembargo,pesea losesfuerzosrealizadoshastalafecha,nosehalogra-doconsolidarloscambiospropuestosenlasformasde ensear y de aprender. Se ha observado la incorporacin de formas de trabajo motivadoras y activas, pero sin un claro foco en el aprendizaje (OCDE, 2004). Los ltimos resultadosdelaspruebasnacionalesdemedicindela calidad de la educacin, SIMCE1, muestran que el pro-gresoacadmicodelosestudiantesenelsubsectorde matemticas no ha sido generalizado (Informe Nacional de Resultados SIMCE 2007). Los niveles de aprendizaje quelogranlamayoradelosalumnossontodavamuy bajos,tantoencomparacinconelcurrculocomoen relacin con los estndares internacionales (TIMSS-MI-NEDUC,2004;PISA-MINEDUC,2004).Losinformes nacionaleseinternacionalesconcluyenquepocosalum-nos chilenos demuestran haber alcanzado conocimientos y habilidades matemticas en un nivel adecuado. TIMSS 2004 seala que ms de un 50% de los alumnos de 8 ao (13-14 aos) que fueron evaluados, no consigue rendir lo mnimo descrito en esta prueba. El informe PISA 2000, por su parte, detect que el puntaje promedio de los estudian-teschilenosestasociadoalniveldetareasmsbsicas dematemticasdeestaprueba. Asimismo,alconsiderar el tipo de dependencia de los establecimientos y el nivel socioeconmicodesupoblacinescolar,seobservaque los resultados siguen siendo muy desiguales para nios de familias de menores recursos econmicos y sociales.La Reforma Educativa de los aos 60, con el !n de ex-tender dos aos la enseanza obligatoria, incorpor a la enseanzabsicalosdosprimerosaosdelnivelme-dio. De este modo, el sistema qued organizado en ocho aos de educacin bsica (obligatoria) y cuatro aos de educacinmedia. Apartirdeesteperodoseiniciun incrementoexplosivodelacobertura,particularmente en el nivel bsico, lo que dio lugar a un proceso de for-macin acelerada de nuevos profesores para dicho nivel. En ningn momento se instaur una regulacin clara de la formacin que capacitara al profesor de bsica para im-partir su actividad docente a lo largo de ocho aos de es-colaridad. En algunas universidades se cre la Mencin en MatemticasparaprofesoresdeEducacinBsica,pero stanollegaserunrequisitouniversalparaejercerla docencia en los cursos superiores de dicho nivel. La enseanza bsica ha estado organizada en dos gran-desciclos.Elprimerciclo,enelquesetratanconteni-dos bsicos con un enfoque que tiende a ser globalizado, comprende los primeros cuatro aos de escolaridad. Los cursos de 5 a 8 ao integran el segundo ciclo, en el que losaprendizajesseencuentranorganizadosporsubsec-tores. Los profesores de 1 a 4 bsico trabajaban con un solo grupo curso, a cargo de casi todos los subsectores, mientras que los profesores de 5 a 8 suelen especiali-zarse a travs de la prctica en un subsector determinado, impartiendo una o dos materias en los distintos cursos.Pese a la escasa diferenciacin en cuanto a la formacin de los docentes que ejercen en ambos ciclos, en el mbi-to de la produccin del currculo vigente, las diferencias son notables. Tanto el actual marco curricular como los planesyprogramasdeambosciclosfueronelaborados pordistintosequiposdeprofesionales,sinqueseesta-blecieran medidas explcitas que garantizaran una conti-nuidad entre ellos. Considerando los distintos antecedentes sealados, no es de extraar que aparezca cierto grado de desarticulacin entre ambos ciclos. Pero, ms all de existir quiebres o rupturas,loquesepresumeesundbilincrementode losnivelesdeaprendizajealcanzadosporlosalumnos en los distintos cursos de 2 ciclo de Educacin Bsica, con respecto a los adquiridos en el 1er ciclo. As, el pro-blema que esta investigacin abord fue el escaso nivel de aprendizaje matemtico que logran los estudiantes de Enseanza Bsica, problema que si bien se inicia en 1er ciclo, se ve agravado en 2 ciclo.Nuestrainvestigacintuvocomopropsito,espec!ca-mente, identi!car y caracterizar factores de la Educacin Bsica chilena, en el mbito de la educacin matemtica, queobstaculizanelprogresoenelestudiodelasmate-mticas en el 2 ciclo, y que di!cultan que los estudian-tes alcancen los niveles de logro de aprendizaje que los actuales programas proponen. Elmarcotericoutilizadoseconstituyeapartirdelas nocionesfundamentalesdelaTeoraAntropolgicade lo Didctico (Chevallard, 1999) y de la Teora de Situa-ciones (Brousseau, 1990).Deestaforma,postulamoslaexistenciadefactoresde naturaleza curricular, referidos a los conocimientos ma-temticos que segn el marco curricular y los programas se deben estudiar en estos ciclos: de naturaleza fctica, en cuanto a las prcticas docentes y a las exigencias he-chas a los alumnos; y de origen institucional, en cuanto a las formas de organizacin general de la enseanza en cada ciclo.Porcuestionesdeespacio,enesteartculopresentamos los resultados de la investigacin referidos al mbito de la aritmtica escolar, dejando para otra ocasin los relacio-nados con geometra y tratamiento de la informacin.1. INTRODUCCININVESTIGACIN DIDCTICA159 ENSEANZA DE LAS CIENCIAS, 2009, 27(2)2. METODOLOGALa metodologa de investigacin se enmarca dentro de la corrientedelaantropologacognitiva(Sensevy,1999). Se trata de una investigacin de corte cualitativo, basada en el estudio clnico de los sistemas didcticos (Leutene-gger, 2000), y que utiliza tcnicas etnogr!cas.Elproblemaesabordadodesdetresdimensiones:cu r-ricular,fcticaeinstitucional.Elanlisisdelmaterial curricularserealiztomandocomoreferencialosejes temticos de ambos ciclos. Dicho material fue segmen-tado en unidades temticas que fueron analizadas en tr-minos de organizaciones matemticas (OM). El grado de coherencia de cada OM se determin analizando en qu medida los elementos tecnolgicos y tericos explican y justi!can las tareas y tcnicas de la organizacin. El gra-do de completitud de cada OM se determin en funcin de la presencia o ausencia de los cuatro tipos de elemen-tosquecomponenunaOM,yelgradodearticulacin entre OM, estableciendo los elementos que comparten, y la relacin entre ellos. Basndose en las inconsistencias detectadas, se anticiparon con"ictos que podran apare-cerenladimensinfctica,quefueroncontrastadosal estudiar dicha dimensin. Para el anlisis de la dimensin fctica se observaron y analizaron procesos de enseanza-aprendizaje matemti-co tal y como son vividos en torno a determinadas OM. El material analizado se obtuvo fundamentalmente median-teobservacionesdecampo,entrevistasycuestionarios. Lacodi!cacindedichomaterialserealizapartirde unascategorasgeneralespreestablecidas,provenientes delateoraantropolgica.Elanlisisdelmaterial,una vezcodi!cado,serealizusandotcnicasetnogr!cas. Tantolascategorasutilizadas,comolametodologay los instrumentos utilizados para el anlisis fueron simila-res a los utilizados en investigaciones anteriores (Bosch et al., 2004, 2005a, 2005b, Barb et al., 2005). Se esco-gieronestablecimientosmunicipalizadosyparticulares subvencionados con el !n de considerar la in"uencia de restricciones institucionales correspondientes a estos dos tipos de dependencia administrativa. En cada uno de los cursos se seleccionaron tres unidades temticas para ser observadas de acuerdo a criterios emanados del anlisis curricular.Entotalseobservaron18procesoscomple-tos. Las observaciones realizadas fueron respaldadas por grabaciones en vdeo de las clases. Se recogi como in-formacin complementaria el texto utilizado, cuadernos dealumnos,apuntesdelprofesor,instrumentosdeeva-luacin de la unidad y las hojas de respuesta de algunos alumnos, prueba diagnstico y guas de trabajo dadas por el profesor. Sobrelabasedelainformacinrecogidaselogruna descripcindetalladadecadaprocesoquedabacuenta tanto del contenido matemtico tratado como de la forma en que se construy. A partir de estas descripciones, y de lasdimensionesquedescribenelsaberdelprofesor,se construyeron los protocolos entrevistas al profesor. Una vez aplicadas las entrevistas, en las respuestas del profe-sor,seidenti!caroncuatrotiposdeelementos:tiposde tareas didcticas, tcnicas didcticas, tecnologa didcti-ca y teora didctica. La descripcin obtenida a partir de lasentrevistasfuecontrastadaycomplementadaconla descripcin de la prctica del profesor obtenida a partir de la descripcin del proceso. Sobre la base de la descripcin del proceso, se construy un cuestionario a alumnos que consider lo que es capaz de hacer una vez terminado el proceso, su relacin con el contenido y con la disciplina. Se aplic el cuestionario y se analizaron las respuestas por medio de porcentajes. A partir de la descripcin del proceso para cada unidad temtica,elanlisisdelaentrevistaalprofesorycues-tionarioalosalumnos,sein!riunadescripcindel contratodidcticoidenti!candodistintospatronesde interaccin.Para el anlisis de la dimensin institucional, se realizaron entrevistas a los directivos de los establecimientos, focus group con todos los profesores de bsica de cada estable-cimiento,yserecogidocumentacindecarcterregla-mentario. El anlisis de resultados de estudios cualitativos que describen el sistema educativo chileno sirvieron para triangular la informacin obtenida y describir los contra-tos institucionales de 1 y 2 ciclo bsico.Comparando los resultados del anlisis de la dimensin curricular, fctica e institucional en funcin de las coin-cidencias y diferencias en las OM, los momentos didcti-cos, la praxeologa del profesor, la praxeologa del alum-no,elcontratodidcticoyelcontratoinstitucional,se realiz una caracterizacin del estudio de la matemtica en cada uno de los ciclos considerados. La comparacin entre ambas caracterizaciones permiti, posteriormente, contrastar y veri!car las hiptesis del estudio. 3. PRINCIPALES RESULTADOSAcontinuacinpresentamoslosprincipalesresultados obtenidos en nuestra investigacin en el mbito espec!-co de la aritmtica.3.1.Contenidosyaprendizajesmatemticosnu-clearesdelejedearitmticadelcurrculodela educacin bsicaEn la primera fase de nuestra investigacin analizamos el marco curricular, programas de estudio de 1 y 2 ciclo bsico y libros de texto distribuidos por el Ministerio de Educacin, en relacin con los aprendizajes matemticos nuclearesdecadanivel.Secaracterizlaestructuray dinmica de las principales OM que se proponen ensear en estos cursos, as como las restricciones que imponen cada una de ellas a la actividad matemtica que es posi-ble llevar a cabo en las escuelas bsicas.En relacin con 1er ciclo bsicoLos actuales programas de matemtica en el 1er ciclo bsico distinguen cuatro ejes temticos que organizan los conte-INVESTIGACIN DIDCTICA160 ENSEANZA DE LAS CIENCIAS, 2009, 27(2)

nidos y aprendizajes en una lgica progresiva de construc-cin. stos son: nmeros, operaciones, formas y espacio y resolucin de problemas. Este ltimo eje aparece como transversalalostresejesrestantesy,segndocumentos o!ciales que han difundido dichos programas, ha tenido el propsito de enfatizar la importancia de la resolucin de problemas en el estudio de las matemticas escolares. Sin embargo, pese a esta valiosa intencin, esta estructura ha provocadovariasdistorsionesenelmercadoeditorial,y tambin en las salas de clases, tal como detallaremos ms adelante en la dimensin fctica de la investigacin.En cuanto a las OM que se deben ensear y aprender, en los programas de estudio de 1er ciclo, se detecta una pro-puesta ms coherente y actualizada en trminos didcti-cos y matemticos que la propuesta de 2 ciclo. En estos programas se entregan elementos precisos para orientar laenseanzadecontenidosmatemticosespec!cos, abundantesejemplosyactividadesdeaprendizajepara proponer a los nios. Las tcnicas matemticas sugeridas seapoyanfuertementeenlaintuicinyconocimientos culturalesdelosnios.Entrminosgenerales,sepue-de a!rmar que las tcnicas matemticas explicitadas en losprogramassuelenserpertinentesparaabordarlos problemasqueseplantean. Adems,stassuelenvenir acompaadasdebrevesorientacionesaldocentesobre posiblesdiscursostecnolgicosquepermitiranjusti!-carlas. Sin embargo, el programa procura no postular de-!niciones precisas y utiliza un lenguaje familiar para los nios, al parecer para facilitar la comprensin de las no-ciones, pero sacri!cando cierta rigurosidad matemtica.Las ideas clave de estos programas en el mbito de la arit-mtica son: a) construir los nmeros naturales vinculados fuertemente al sentido de la cantidad que representan, por lo que en un primer momento los nmeros surgen a pro-psito de la tarea de contar colecciones, y posteriormente se inicia el estudio de su respectiva representacin a travs del sistema de numeracin decimal; b) construir las ope-racionesaritmticasdemaneraintegradayconsentido. Deestaformaseconstruyelaadicinapoyndoseenla sustraccin y viceversa, constituyendo ambas operaciones elcampodeproblemasaditivos,elqueintegralospro-blemasqueseresuelvenutilizandoalgunadeestasdos operaciones o ambas. De igual forma, la divisin aparece como la operacin que se resuelve apoyndose en la mul-tiplicacin, conformando ambas operaciones el campo de problemasmultiplicativos;c)construirprogresivamente losalgoritmosconvencionalesapoyndoseenlacom-prensin de procedimientos de clculo no convencionales que explicitan las propiedades del sistema de numeracin decimal, al mismo tiempo que permiten profundizar en las propiedades de las operaciones; d) construir las fracciones comoaquellosnmerosquepermitenresolverproblemas de reparto equitativo en los que la cantidad a repartir es de naturalezafraccionableynoesmltiplodelacantidad de participantes del reparto; e) el corazn de la actividad matemtica que desarrollan los nios es el estudio de pro-blemas, y no slo la resolucin de los mismos.Sin embargo, estas importantes y valiosas proposiciones no han sido su!cientemente incorporadas en los libros de texto, y casi nada en las prcticas docentes habituales.En relacin con el 2 ciclo bsicoLosprogramasdeestudiode2ciclobsicocambian tanto la forma de organizacin como las categoras de es-tructuracin utilizadas en los programas de 1er ciclo. As, sepierdelaestructuraorganizadaporejesutilizadaen los programas de 1er ciclo; los aprendizajes esperados no aparecen explcitos en un solo lugar del documento, sino queestnentremezcladosconloscontenidosmnimos, lasorientacionesdidcticasylasactividadessugeridas. Asimismo,nocontienenindicadoresdeaprendizajey hayunaescasaexplicitacindelprogresoenelestudio matemtico en el interior de cada curso y entre cursos.AlolargodeesteciclovanapareciendocuatroOMen tornoanmeros:naturales,fraccionespositivas,deci-males positivos y nmeros con signo (que incluye los en-teros). La OM en torno a los naturales incorpora el estu-dio de la familia de grandes nmeros (nmeros mayores que el milln). La construccin de esta nueva familia no se apoya su!cientemente en los conocimientos relativos alasfamiliasdenmerosmspequeosestudiadosen 1er ciclo. Las tcnicas matemticas sugeridas se apoyan menos en la intuicin y conocimientos culturales de los nios, mientras que van apareciendo elementos tecnol-gicosdelmbitodelasmatemticas,sobretodoenel caso de las fracciones.Elmayorproblemaque,anuestroparecer,existeenlos programasde2ciclo,espec!camenteenelejeden-meros, se presenta en 8 bsico. Aparecen aqu abrupta y tardamente los llamados por el programa nmeros con signo. No queda clara la intencin de esta inclusin tar-da, al parecer se trata del estudio de los nmeros raciona-les, aunque se da gran nfasis a los nmeros enteros. Esta estrategia tiene como consecuencia una falta de consolida-cin del trabajo en este eje, que no permite su integracin adecuadadentrodelaOMmsglobaldenmeros,que incluya a todos los conjuntos numricos de manera articu-lada y con sentido.

Enelmbitodelestudiodelasoperacionesysuspro-piedades,aparecenseisOMpuntuales,que,enningn momentodelaenseanzabsicasearticulanentres: adicinysustraccinconfracciones;multiplicaciny divisin con fracciones; adicin y sustraccin con deci-males; multiplicacin y divisin con decimales; adicin ysustraccinconnmerosconsigno;multiplicaciny divisinconnmerosconsigno.Deesaforma,enlu-gar de progresar hacia la construccin de organizaciones matemticas ms amplias a medida que se avanza en el estudio matemtico, lo que sucede es un incremento de organizacionesmatemticaspuntualesaisladasentres, descontinuandoeltrabajorealizadoen1ercicloenesa direccin.EstefenmenodelainexistenciadeOMlo-cales relativamente completas en la enseanza suele pre-sentarse en otros pases, tal y como lo describen Bosch, FonsecayGascn(Boschetal.,2004).Porejemplo, en2ciclo,noreconocencomovlidoslosalgoritmos noconvencionalesdesarrolladosen1erciclo,utilizando siempre los algoritmos convencionales. Tampoco se pro-ponen actividades que permitan articular cada operacin con su inversa, ni los algoritmos convencionales con los estudiados anteriormente. INVESTIGACIN DIDCTICA161 ENSEANZA DE LAS CIENCIAS, 2009, 27(2)Entrminosgeneralespodemossostenerquelospro-gramasde1erciclobsicosonmsespec!cos,estruc-turados y sistemticos que los de 2 ciclo. En 2 ciclo se observanunasOMmsricasquelaspropuestasen1er ciclo, ya que la componente tecnolgica-terica de stas incorpora elementos nuevos en relacin con las OM de 1er ciclo. Sin embargo, la mayora de estos elementos es-tn muy poco desarrollados y aparecen implcitos en las actividades, por lo que se prev que los profesores debe-rn completarlos, a pesar de las escasas herramientas con que cuentan para realizarlo. Noobstanteestasdiferencias,lasOMdeambosciclos compartenunacaractersticacomn,esencialalahora desucorrespondienteenseanzayaprendizaje.Tanto unascomootrastienenunacomponenteprctica,esto es,tiposdetareasasociadasalosaprendizajesespera-dos y tcnicas o procedimientos para resolverlas, que no provocan la necesidad real de recurrir a un conocimiento matemtico nuevo, ya sea adaptando uno antiguo o cons-truyendo uno nuevo. Tampoco los problemas planteados provocan el cuestionamiento sobre cundo es til y per-tinente utilizar ciertas tcnicas y no otras, ni la necesidad de explicar por qu dichas tcnicas funcionan o fracasan frente a un determinado problema. En general las activi-dades permiten ilustrar los conocimientos en distintos y variados contextos, pero, tal y como estn concebidas, no facilitan que los estudiantes tomen un rol protagnico en el desarrollo de procedimientos que permitan resolver los problemas planteados, y, menos an, que participen eneldesarrollodeargumentacionesquejusti!quendi-chosprocedimientos.AmbostiposdeOMsiguenpro-piciando la forma tradicional de la enseanza de las ma-temticasy,aunqueaparecenproblemasdeilustracin novedosos, la actividad de los nios sigue centrada en la aplicacinrutinariadeprocedimientospreviamenteen-seados o mostrados por el profesor.Lamenorcantidaddeorientacionesenlosprogramas de estudio de 2 ciclo ha estimulado una gran diversi-daddepropuestasdidcticasentreloslibrosdetexto, ascomoentrelasestrategiasdeenseanzaseguidas por los distintos profesores del 2 ciclo observados. 3.2. Anlisis de procesos de enseanza y aprendiza-je desarrollados en torno a la aritmtica en escue-las bsicas de la Regin MetropolitanaEl anlisis de la dimensin fctica contempl la observa-cin de doce procesos en el mbito de la aritmtica y seis en el mbito de la geometra. En cada uno de los cursos se escogierontresunidadestemticaspresentesenlospro-gramas, tal y como muestra la tabla 1, para ser observadas de acuerdo a criterios emanados del anlisis curricular. Las observaciones realizadas fueron respaldadas por gra-bacionesenvdeodetodaslasclases.Seconstruyeron yaplicarondosentrevistasalosprofesoresyuncues-tionario a los alumnos. Las OM escogidas para realizar laobservacinyanlisisdelosprocesosdeestudiose muestran en la tabla 2.Est. Municipal 1Est. Part. Subvencionado 1Est. Municipal 2Est. Part. Subvencionado 24 5 4 5Geometra Geometra Aritmtica AritmicaNmeros Nmeros Geometra GeometraAritmtica Aritmtica Nmeros NmerosTabla 1Tabla 24 basico 5 basicoNmeros Fracciones FraccionesOperacionesProblemasmultiplicativosProblemas multiplicativosGeometra Cuadrilteros CuadrilterosINVESTIGACIN DIDCTICA162 ENSEANZA DE LAS CIENCIAS, 2009, 27(2)

En relacin con el 1er ciclo bsicoLa gestin de los procesos de enseanza, aprendizaje ob-servados en torno a la aritmtica escolar result muy poco ambiciosa en trminos de tareas matemticas y objetivos de aprendizaje. Por lo general, no responda en su totali-dad a lo que proponen los actuales programas, ni tampoco los libros de texto. Por ejemplo, en la mayora de procesos observados en torno al campo de problemas multiplicati-vos, se redujo drsticamente la cantidad de tareas respecto a la propuesta curricular: de un total de trece tareas identi-!cadas en el programa, los profesores trabajaron slo cua-troocinco.Observamosqueningunodelosprofesores hizoreferenciaalosalgoritmosnoconvencionalespara el clculo de las operaciones, sino que trabajaron directa-mente con los algoritmos convencionales, pese a las reite-radas sugerencias dadas en los programas. En ninguno de losprocesosobservadossevincularonlasdistintasope-raciones. Se observ un reducido espacio para el estudio y resolucin de problemas aditivos y multiplicativos, que aparecieronslounavezestudiadoslosalgoritmoscon-vencionalescorrespondientes. Alcentrarelestudioenel usodelosalgoritmosapareciunamarcadadesarticula-cin entre las operaciones.Deestaforma,detectamosquelasOMreconstruidas enlosprocesosobservadosreproducenlosaspectos esenciales del fenmeno de atomizacin de la actividad matemtica (Barb et al., 2005). Los nmeros naturales aparecen disociados de las fracciones y de los decimales, ylasoperacionesdesarticuladasentres,apesardelas claras directrices y sugerencias dadas en los programas para gestionar la articulacin entre ellas.En relacin con el 2 ciclo bsicoSe detect que, pese a la gran diversidad de estrategias de enseanza observadas entre los distintos procesos de estudio analizados, existe una macrotcnica didctica generalizada. En efecto, los profesores de 2 ciclo privilegian el estudio de procedimientos y algoritmos para realizar ejercicios por so-bre el estudio de problemas y cuestiones que permitan com-prender el sentido y signi!cado de los conocimientos. Las explicaciones dadas por el profesor son las justas para que a los estudiantes les quede lo ms claro posible cmo mani-pular las tcnicas de clculo. Hay casi una total ausencia de elementos tericos que justi!quen el funcionamiento de las tcnicas y que de!nan con precisin los objetos matemticos que utilizan. Por lo general, la estrategia de enseanza con-siste en presentar a los alumnos los conocimientos matem-ticos,especialmentelastcnicas,mostrandoconejemplos cmo se utilizan frente a tipos de problemas bien determina-dos, para luego dar una lista de ejercicios de prctica referi-dos a contextos muy cerrados y alejados de las experiencias cotidianasdelosnios.Dadalaausenciadetecnologay teora en clases, las matemticas son estudiadas en este ciclo como un conjunto de objetos aislados y desarticulados en-tre s; los alumnos tienen serias di!cultades para determinar qu conocimiento matemtico es el que permite resolver un determinado problema, cuando ste es presentado dentro de una gama de problemas de distinto tipo. Encontramos varias contradicciones entre lo que los profe-sores declararon en sus entrevistas en relacin con la mate-mtica y su enseanza, y lo que efectivamente gestionaron en sus clases. Por lo general, en la entrevista aludieron a la necesidad de dar mayor nfasis a las habilidades y compe-tenciasdelosalumnosquealoscontenidospropiamente tales, y de asegurar la signi!cacin y relevancia de los dis-tintos temas matemticos del currculo en conexin con la vida de los estudiantes. Se re!rieron a la importancia de fo-mentar en los estudiantes la capacidad para abstraer, experi-mentar, aprender a aprender, comunicar su trabajo y resulta-dos, trabajar colaborativamente y de resolver problemas.3.3. Anlisis de condiciones y restricciones institucio-nales que las escuelas imponen para el desarrollo de los procesos de enseanza matemticos en aulaEnestapartedelainvestigacinindagamossiexisten factoresdenaturalezainstitucionalquepodrancontri-buir a explicar el problema en estudio. En cada escuela que particip en la investigacin se efectuaron entrevis-tas a sus directivos, y un focus group en el que partici-paron todos los profesores de bsica. Se detectaron nor-mas o patrones que parecan corresponder a restricciones institucionales.Sobrelabasedeestasrestriccionesse determinaron los contratos institucionales de cada ciclo. Presentamos a continuacin una sntesis de los principa-les resultados obtenidos en esta tercera fase.Principales similitudes- En toda la escuela bsica, el grado de apropiacin del cu-rrculo es an insu!ciente. Los profesores han incorporado algunos planteamientos de la reforma a su discurso, pero los planteamientosbsicossobrecmoensearlamatemtica no los han incorporado a su prctica habitual y, en ciertos ca-sos, ni siquiera los conocen. As, por ejemplo, los profesores en las entrevistas sealaron que es muy importante que los nios exploren; sin embargo este momento del estudio fue observado muy ocasionalmente en las clases de primer ciclo y menos an en las de segundo ciclo; tambin sealaron que la resolucin de problemas es muy importante para la forma-cin matemtica de los alumnos, pero en escasas oportuni-dades tuvo espacio dentro de las salas de clases, etc.-Enambosciclosdelabsicaseobservquelaorgani-zacin institucional de las prcticas de la enseanza por lo general no considera su!cientemente importante la especia-lizacin de los profesores para asignarles sus cursos. Por lo general, los criterios predominantes para dicha asignacin son ms bien de carcter administrativo y !nanciero. - Los profesores de ambos niveles tienen la oportunidad de ser autnomos en cuanto a la plani!cacin, ejecucin y eva-luacin de sus clases, puesto que por lo general no existen desde la institucin ni directrices ni mecanismos efectivos de supervisin al trabajo docente. Esto, sumado a que los profesores no cuentan con herramientas su!cientes para or-ganizar y gestionar su trabajo de forma e!caz, redunda en una prctica muy variada que por lo general no cumple los estndares de calidad sealados en el currculo.- Todos los profesores manifestaron tener carencias mate-mticas importantes en relacin con las exigencias curricu-lares del ciclo en que ejercen. Los escasos instrumentos y INVESTIGACIN DIDCTICA163 ENSEANZA DE LAS CIENCIAS, 2009, 27(2)medios existentes para apoyar la labor docente en el sistema suelen no ser su!cientes para cubrir sus necesidades.-Losprofesoresdeunciclonocuestionanlametodo-logadeenseanzadelotro.Porlogeneral,tantolos profesoresde1erciclocomode2consideranquesus formasdeensearlasmatemticassonadecuadaspara las edades de los nios que tienen a su cargo, y diferentes delasquedebenutilizarlosprofesoresdelotrociclo. Por esta razn, ni unos ni otros mani!estan la necesidad decomunicarseentreciclos,salvopararesolverdudas matemticas espec!cas.- Tanto los profesores de 1er ciclo como los de 2 no saben cmogestionarautnticosprocesosdeestudiomatem-tico.Nosabenquproblemasplanteardetalformaque provoquen a los alumnos la necesidad real de ampliar las herramientasmatemticasqueconocenyque,asuvez, permitan que aparezcan diversas tcnicas y a partir de ellas los elementos tecnolgicos y tericos correspondientes.Principales diferencias- Los profesores de 2 ciclo tienen mayor relacin con lasmatemticas,yporelloquizmenostemoraen-searla,quelosprofesoresde1erciclo,quienesporlo general se sienten poco competentes matemticamente. Por esta razn los profesores de 2 ciclo suelen sentirse, a la vez que as son considerados por toda la comunidad escolar,comolosmatemticosdelaescuela;recu-rren a ellos ante cualquier duda relacionada con las ma-temticas.Sinembargo,estaaparentesuperioridaden trminos de conocimientos matemticos no es su!cien-te para las demandas curriculares del ciclo. De hecho, los profesores de 2 ciclo no tienen una formacin ma-temtica idnea; la diferencia con sus pares de 1 ciclo es que conocen un repertorio ms amplio de tcnicas y algoritmos, pero de igual forma suelen desconocer los fundamentostericosytecnolgicosqueestndetrs del funcionamiento de los mismos. Por ello, no pueden establecer relaciones entre dichas tcnicas, ni tampoco sus dominios de validez. -Alosalumnosdel2cicloseleshacenmayoresexi-gencias que a los alumnos del 1er ciclo, pero slo en tr-minos del manejo ms preciso y rpido de las tcnicas o algoritmos. As, mientras que en 1er ciclo se acepta y se valora que los nios usen procedimientos rudimentarios, poco precisos y de escasa e!ciencia, en 2 ciclo se exige a los alumnos que frente a un tipo de problemas concre-tos utilicen el procedimiento impuesto por el profesor, y de la forma en que ste lo ense.- Los alumnos del 2 ciclo consideran que un profesor es mejor en la medida que ensea de manera directa y clara las tcnicas que se deben utilizar frente a un determinado tipodeproblemas,sinrecurriraexplicacionestericas sobresufuncionamiento.En1erciclo,porelcontrario, aunque la enseanza de las matemticas igualmente est centrada en el uso rutinario de tcnicas, los alumnos no le dan a stas la misma valoracin que los alumnos del 2 ciclo. Los alumnos de 2 ciclo dejan de explorar proble-mas y buscar sus propios medios de solucin, ya que el profesor se los proporciona.-Porlogeneral,losprofesoresde2ciclotienenmayor conocimiento de los programas o!ciales que los profesores de1erciclo,aunqueestonosigni!canecesariamenteuna mayor incorporacin en sus prcticas habituales. Los profe-sores de 2 ciclo se hacen cargo de la enseanza de unos co-nocimientos matemticos que, en la mayora de los casos, conocenmuysuper!cialmente.Porellosuelensentiruna mayor necesidad que los profesores de 1 ciclo de recurrir a documentos curriculares que circulan en el sistema, hacer cursos de capacitacin, etc. -Losprofesoresde1erciclobsicoimpartentodaslas asignaturas del ciclo, mientras que en 2 ciclo los profe-sores imparten slo una o dos asignaturas. De esta forma losprofesoresde2ciclo,ensumayorageneralistas, se van especializando en la prctica. Esta importante diferencia incide sobre la relacin de los profesores con sus alumnos y con la disciplina que ensean.4.FENMENODELAINHIBICINDEDE-TERMINADASCAPACIDADESMATEMTI-CAS DE LOS NIOS RELACIONADAS CON LA RESOLUCIN DE PROBLEMASComo una forma de contrastar empricamente nuestra hi-ptesis relativa al estancamiento del aprendizaje matem-tico de los nios a lo largo de la escuela bsica, aplicamos un problema poco habitual para la cultura escolar de bsi-ca de nuestro pas pero que, con las herramientas que dis-ponen los nios de 3 bsico en adelante, es factible de ser abordado y resuelto por ellos. Este problema fue construi-do por nuestro equipo de investigacin en el 2004, en el marco de la Estrategia LEM del Ministerio de Educacin. Este equipo ha tenido, junto con el Ministerio, la tarea de crear, desarrollar e implementar dicha estrategia, espec!-camente en el subsector de Matemtica. El problema fue aplicado en el 2007 a nios que cursaban entre 3 bsico y8bsico,detodaslasescuelasqueparticiparonenla investigacin.Asimismo,aprovechandolaparticipacin denuestroequipoendichaEstrategiaLEM,aplicamos este problema a nios que cursaban entre 3 y 8 bsico, en 60 escuelas de la Regin Metropolitana, 10.000 nios aproximadamente en total, y a un grupo de 40 alumnos de enseanza media de entre 1 y 2 ao medio. El problema se presenta a los estudiantes tal cual muestra la !gura 1. Figura 1INVESTIGACIN DIDCTICA164 ENSEANZA DE LAS CIENCIAS, 2009, 27(2)

Losresultadosqueobtuvimosconestaexperienciason sorprendentes, a la vez que desconcertantes. Del mismo modo quisimos indagar cmo, profesionales de diversos mbitos (cient!co, tecnolgico, humanista y comercial) y adultos escolarizados en general, abordaban el estudio de este problema. A continuacin presentamos los prin-cipaleshallazgosdeestaexperiencia,organizadospor etapas de escolarizacin de los distintos encuestados.a)Estudiantesdeenseanzamedia,profesionalesy adultos escolarizadosEn la mayora de alumnos de enseanza media encues-tados, as como en los ingenieros, mdicos, matemticos y profesores de matemtica de enseanza media encues-tados, se observ que abordaron el problema con mucha rigidez, buscando asociaciones con las matemticas que estudiaron para identi!car el tipo de problema que tie-nenensusmanos,yasreconocerlaestrategiaque deben usar para resolverlo. Estos estudiantes y adultos, ensugranmayora,tendieronaidenti!carelproblema conunproblemadesistemasdeecuaciones.Luego, se trataba de de!nir las ecuaciones que describan la si-tuacin y, posteriormente, manipularlas hasta obtener las respuestas a las preguntas del problema. Se detect ade-ms que para la mayora de los profesionales, salvo los matemticos, en la medida en que haba transcurrido ms tiempodesdesueducacinobligatoria,sepresentaban msdi!cultadesparaencontrarlarespuestasiguiendo este procedimiento algebraico: no recordaban cmo ma-nipular el sistema. Elprocedimientoestndarusadoporalumnosdeense-anzamediayprofesionalesconsistaenconstruirun sistemadedosecuacionesdeprimergrado,enquex representabaelvalordeunapizza,eyelvalordeuna bebida(viceversa),talcomomuestrala!gura2.Este procedimiento se estudia en 2 medio, segn los actuales programas. Hay que sealar que slo el 38% de los estu-diantes de media encuestados resolvieron correctamente el problema, y que el 35% de los profesionales de reas nocient!casnologrresolverlo.Ademsque,porlo general, a todos les demand bastante tiempo obtener las respuestas.La estrategia seguida por los comerciantes encuestados fuedistintaaladelosrestantesencuestadosdeesta categora. stos usaron un procedimiento basado en el ensayo y error; suponan un precio, por ejemplo una pi-zza vale $1.750, y con este dato intentaban obtener los restantesprecios.Silasumalesresultabasuperioral valor de la compra, entonces disminuan el valor; de lo contrario lo aumentaban, y as hasta obtener los valores quedabanlasigualdadesbuscadas.Estosencuestados mostraban gran pericia para realizar los clculos men-talmente, aunque no todos ellos obtuvieron la respuesta correcta al problema y se demoraron considerablemen-te en lograrlo. b) Alumnos de 2 ciclo bsicoSe observ el mismo fenmeno descrito ms arriba, en alumnosde2ciclobsico.Enestecaso,losescasos estudiantes que pudieron abordar el problema (5% del totaldealumnosde2cicloencuestados)tendierona identi!carloconunproblemadedivisin,mostrando grandesdi!cultadesydesconciertoparaconcebiruna estrategia distinta a la enseada y que ellos asumen como la estrategia que permite resolver este tipo de problema. As, vimos alumnos como el de la !gura 3, dividiendo por 5 la cantidad total de dinero que cuesta laprimeracompra,aunquesabanquelosproduc-tos no costaban lo mismo en la realidad. Esta alumna, al realizar esta divisin, obtiene que cada pizza y cada bebidacuesta$1.400;alcabodeunossegundosella mismaexclama:qucarasestnlasbebidas!perono cuestionaelprocedimientoquehautilizadosinoque encuentraextraoelresultadoobtenidoporquenose correspondeconlarealidad:unapizzaesmscara que una bebida. Al preguntarle por qu haba dividido, ella dijo: porque ah hay 5 objetos, y en total cuestan $7.000.Estosniosnosabenquealhacerestadivi-sin, le estn asignando a priori el mismo peso a cada objeto, sin ser necesariamente cierto. Encontramos as alumnos que no construyeron el verdadero signi!cado de la divisin, y que buscan lo que tienen que hacer, ynoloquepodranhacer.Vemoscmoelcontra-to didctico establecido en 2 ciclo bsico opera como elemento central de este fenmeno didctico. Figura 2Figura 3INVESTIGACIN DIDCTICA165 ENSEANZA DE LAS CIENCIAS, 2009, 27(2)Hay dos hechos que es importante resaltar en la expe-rienciavividaconalumnosdeestaetapadeescolari-dad.Elprimero,quelamayoradeniosde2ciclo no pudieron siquiera abordar el problema y, los pocos quelohicieron,fracasaronensuprocesoderesolu-cin.Elsegundohechoesquelosescasosniosque abordaronelproblemamostraronbastantepericiaen realizar las divisiones. Esto pone de mani!esto que el problema de estos nios no es que no sepan dividir, sinoque,loquenosaben,escundoespertinente aplicar este modelo matemtico frente a una situacin problemtica.c) Nios de 1er ciclo bsicoLos nios de este ciclo encuestados mostraron gran ca-pacidad para abordar el problema y explorar autntica-mentedistintoscaminospararesolverlo.Estosnios, alnotenertodavaunarelacinestandarizadaconlas matemticas escolares, actan "exiblemente. El 85% de los alumnos de 1er ciclo encuestados (3 y 4 bsico; 8-10 aos)resolvieronexitosamenteelproblemay,adems, conprocedimientosmuchomse!cientesquelosusa-dos por los profesionales y alumnos de enseanza media encuestados. Veamosalgunasestrategiasobservadasen la experimentacin.Enla!gura4vemosaunalumnode3bsicousando un razonamiento basado en la comparacin por diferencia. Los gestos que realiz con sus manos muestran claramen-tecmorelacionlosdatosdelproblema,presentadosa travs de dos vietas, buscando similitudes y diferencias. Rpidamente observ que la diferencia entre una vieta y la otra era una pizza y, por tanto, atribuy a una pizza la diferenciaendinero.Deestaformaconcluy,enpocos minutos, que cada pizza vale $2.000 y, de aqu, que cada bebida vale $1.000.Otroprocedimientoobservadofueeldereducirelpro-blema a otro ms sencillo como el que muestra la !gura 5:Sitresbebidasytrespizzasvalen$9.000entotal, entonces una bebida con una pizza valen $3.000. Estu-diando la otra vieta y, sabiendo que cada par bebida-pi-zza vale $3.000, como en esa vieta hay dos pizzas y tres bebidas,esdecirdosparesbebida-pizzayunabebida suelta, y en total esa compra es de $7.000, entonces una bebida debe costar $1.000 y, con ello, una pizza cuesta $2.000.Se observaron slo algunos profesores de 1er ciclo bsi-co que resolvieron correctamente el problema; en estos casos lo abordaron tal como lo hicieron los nios de 1er ciclo.Lacaractersticacomndeestosprofesoreses, sorprendentemente,suescasarelacinconlasmatem-ticas (son profesores que no ensean en el 2 ciclo). Al terminar de resolverlo, se excusaban por no haber usa-domatemticas,argumentandoquelohabanhecho simplemente con lgica. Re!exionando sobre estos hallazgosAlencontrarnosconestosinesperadosresultadosnos planteamos preguntas como las siguientes:-Cmoesqueunacomunidadquemanejabastantes msconocimientosaritmticosqueotra,enestecaso alumnos de 2 ciclo, no es capaz de resolver este proble-ma aritmtico, mientras que la menos provista, en este caso alumnos de 1er ciclo, s puede?- Debemos concluir que la pillera o astucia le gana al conocimiento? Recordemos que el problema de las pi-zzas es inusual tanto para unos como para otros. - La enseanza de un saber matemtico implica nece-sariamente rigidizar las estrategias de estudio de los ni-os? Podra ser de otra manera? 5.CONCLUSIONESYREFLEXIONESDERIVA-DAS DEL ESTUDIOEl trabajo de investigacin que realizamos abordando las tresdimensionescurricular,fcticaeinstitucional,as comoloscrudosresultadosencontradosconelproble-madelaspizzas,nospermitenpostularloquepodra serconsideradounfenmenodidcticoporsugradode generalidadysuvinculacindirectaconunaestrategia espec!cadeenseanzadelasmatemticas(Brousseau, 1986).Elfenmenoconsisteenque:enmuchoscasos laescuelainhibe,deformanointencionadaymuyasu pesar, determinadas potencialidades matemticas que tie-nenlosnios.Hemosmostradocmoamedidaquelos nios avanzan en su escolaridad obligatoria van perdiendo ciertascapacidadesnecesariasparaabordarmatemticas que tenan, y que en 1er ciclo bsico, de alguna manera, no se las incrementaron pero tampoco se las inhibieron. Peroentonceshabraimperiosamentequepreguntar: qupasaenlaescuelaque,lejosdesersuintenciny Figura 5Figura 4INVESTIGACIN DIDCTICA166 ENSEANZA DE LAS CIENCIAS, 2009, 27(2)

propsito,terminalimitandodeterminadashabilidades matemticas necesarias para resolver problemas a mu-chosdesusalumnos?Enfuncindelosresultadosde nuestra investigacin podemos postular algunos factores que podran contribuir a dar respuesta a esta preocupante cuestin.Hemosdetectadoqueenlamayoradelasclasesob-servadas, se gestiona una enseanza de las matemticas alejada de sus sentidos y signi!cados originarios; se cla-si!calosproblemasdeformargidayestandarizaday, con ello, se limita -en muchos casos se impide-la po-sibilidad de que los estudiantes exploren autnticamente posibles caminos de abordaje y solucin. Se trata de una enseanza relativamente arbitraria, que presenta los co-nocimientosmatemticosalosestudiantesapropsito de razones formales, y no como respuesta a una necesi-dad. Hay instalada en el sistema escolar, y en particular en la escuela, una concepcin de las matemticas como un conjunto de conocimientos encerrados en s mismos; como si ella existiera por s misma y para s misma. En particular,sevuelvecasiimposiblehaceraparecerlas matemticascomoalgoquenacedelono-matemtico, como algo que matematiza realidades pre-matemticas. En 2 ciclo, frente a un tipo de problema se impone el uso de un nico procedimiento para resolverlo, las tareas sedebenresolverdelamismaformaenqueelprofesor lomostroense,sinunajusti!cacinquepermita valorarlonidescartarotrosprocedimientos.Hayquese-alar tambin que, por lo general, los problemas en la es-cuela suelen ser ejercicios rutinarios para cuya resolucin essu!cientelameraaplicacindelconocimientoantes enseado. Una manifestacin clara de esta opcin didcti-ca reduccionista es la ausencia del momento exploratorio en los procesos de estudio de 2 ciclo observados. Dicho momento carece de todo sentido frente a la opcin de im-poner un determinado procedimiento a priori. Como con-secuencia de ello, los estudiantes de 2 ciclo, a diferencia de los de primero, carecen de la libertad matemtica nece-sariaparapoderafrontardeterminadotipodeproblemas como es el caso del problema de las pizzas, puesto que su sujecin al contrato didctico les lleva rechazar la posibi-lidad de utilizar cualquier procedimiento que no haya sido previamenteinstitucionalizadoporeldocenteporconsi-derarlo como no matemtico. Asimismo, la utilizacin de los procedimientos es por lo general muy rgida. Se observa una enseanza atomi-zadadetemasquenosearticulan.Laintroduccinal estudio de un nuevo tema se realiza sin una cuestin pro-blemtica inicial, que le permita dar un sentido y a su vez una contextualizacin del mismo. Rara vez se relaciona con otros temas estudiados anteriormente, ni tampoco se abordan cuestiones relacionadas con el cmo afecta este saber nuevo a los saberes estudiados. Una enseanza que no incorpora su!cientemente lo que los nios ya saben, ni tampoco les otorga un verdadero rol dentro del proceso de construccin matemtica. Suele haberescasoespacioparapreguntasyparalainterac-cinentrelosestudiantesapropsitodelascuestiones matemticas que se estn estudiando, y nunca participan en el proceso de validacin de la produccin de conoci-mientos. Ahorabien,existenvariosobstculosquedi!cultanel cambio de dicha concepcin y, asimismo, la transforma-cin de las prcticas. Lejos de ser un problema exclusi-vodelprofesor,lainsu!cienciadelaenseanzadelas matemticas se origina a propsito de mltiples factores dediversandole,curricular,fcticoeinstitucional,tal comohemosdemostrado.Enparticular,existenciertos mecanismosquesehanpuestoenfuncionamientopara difundir los principios de la reforma que no contribuyen a modi!car la situacin de la enseanza de las matem-ticas. As por ejemplo, se ha puesto gran acento en la in-novacin, entendindola en muchos casos como un con-junto de principios que se presentan en ruptura respecto deciertasprcticastradicionales.Seconsiderahoyque hay que ensear a resolver problemas en oposicin a la enseanza centrada en tcnicas o algoritmos, o se debe favorecer el trabajo grupal en oposicin al traba-jo individual, etc. Esta visin polarizada del proceso de enseanzadesvirtalaesenciamismadelaprendizaje, querequieretantodelaresolucindeproblemascomo de tcnicas para resolverlos, del trabajo grupal como tam-bindelindividual,etc.Elloconduceaponerdemoda ciertos contenidos o nfasis muchas veces de manera hi-pertro!ada, sin realizar previamente un anlisis sobre la necesidad,pertinenciaybene!ciodeincorporarlos.Es posibleencontrarcaptulosenterosentextosescolares dedicados a la enseanza de la resolucin de problemas de forma general y separada de cualquier actividad ma-temtica espec!ca. Paraelsistemaeducativoesnecesarioquesusdocentes dispongan de instrumentos y recursos que les sirvan para plani!car y gestionar sus clases. Pero la aportacin de esos recursos depender de las posibilidades reales que dispon-gan los profesores para formarse en criterios de seleccin fundamentadoscient!camente,yparticiparenespacios institucionales de re"exin y formacin para estudiarlos. De esta forma, la tarea de elevar el nivel de logro de apren-dizaje de los estudiantes debiera considerar una etapa de difusinytrabajointensoconlosdocentesycontodos aquellos agentes del sistema educativo que participan en la tarea de la enseanza. Esto requiere de estudios riguro-sosyempricamentefundamentadosquedeterminenlas principales di!cultades del sistema educativo para lograr quelosniosalcancenlosaprendizajesesperados,as como sus posibles causas y explicaciones. De esta forma se podr establecer con mayor efectividad y fundamento eltipodeherramientasdidcticasquesedebenponera disposicin de los profesores para que logren el progreso acadmico de sus estudiantes. NOTAS1. Sistema nacional de evaluacin del Ministerio de Educacin de Chile cuyo propsito es contribuir al mejoramiento de la calidad y equidad de la educacin informando sobre el desempeo de los alumnos y alumnas en las reas de lenguaje, matemticas y comprensin del medio. INVESTIGACIN DIDCTICA167 ENSEANZA DE LAS CIENCIAS, 2009, 27(2)BARB,J.,BOSCH,M.,ESPINOZA,L.yGASCN,J. (2005).DidacticRestrictionsontheTeachingofLimits ofFunctionsatSecondarySchool,EducationalStudiesin Mathematics, 59, pp. 235-268.BOSCH, M., GASCN, J. y SIERRA, T. (2005a). Anlisis de un proceso de estudio en torno a la numeracin, en De Cas-tro, C. y Gmez, M. (eds.). Anlisis del currculo actual de matemticas y posibles alternativas. Captulo 3, pp. 39-74. 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AbstractThe research presented here analyzes the topic of the low levelsinmathematicslearning,obtainedbymostChil-ean students at the end of elementary school. The article is focuses on the case of school arithmetic using the An-thropological Theory of Didactics (Chevallard, 1999) and the Theory of Didactic Situations, (Brousseau, 1990). The researchbeganwiththenuclearmathematicallearning and contents of the current of!cial elementary school pro-grams in Arithmetics. In general terms we can sustain that the programs in the !rst elementary cycle are more structured and systematic thanthoseinthesecondcycle.InthiscycletheOMis more ambitious with a technological-theoretical charac-ter. However most of the elements are not very developed and appear to be implied in the activities. Regardless of thesedifferences,thekindoftasksthatappearinboth cycles,onthewhole,donotcausetherealneedtore-course to a new mathematic knowledge. Furthermore the activities that are put forward or raised make it dif!cult for the students to take the main role in the development procedures. Both kinds of OM keep on propitiating the traditional form of teaching mathematics.Then, the research with the observation and analysis of teaching-learningprocessesdevelopedregardingarith-metic, in elementary schools in the metropolitan region, andendedwiththeanalysisoftheinstitutionalrestric-tionsimposedbyschools,onthedevelopmentofthose processes. In most of the observed classes, we detected the absence of sense and meaning in the mathematics that was being taught. The problems presented by the teachers, especially inthesecondelementarycycle,followedstandardpat-terns, using such models to select the adequate procedures fortheirdetermination(ruling).Thisfactwasobserved in all the followed study procedures, the result being the scarceorpooropportunitiesgiventothestudentstoex-plore or set up resolved procedures. Forehead to a kind of problem of imposing the use of a unique procedure to !nd a solution, a procedure that had been taught previously.Intheanalysis,weidenti!edthephenomenonofthe progressive inhibition of some mathematical abilities of students through at elementary school. The students not onlystoplearningvitalmathematicalsubjectsfortheir academicandcognitivedevelopmentatatimelycur-ricular moment, but also a progressive stagnation in their developmentabilitiesiscaused,especiallyduringthe second basic cycle. Toempiricallycontrasttherelativehypothesisofthe blockages mathematic learning blockages of the children duringelementaryschool,wedesignedthefollowing problem: we have two purchases (shop), the !rst shopping (purchase) of $7,000, with two pizzas and three soft drinks and the second, of $9,000 with three pizzas and three soft drinks, same as the !rst one. The problem was designed to be presented through a drawing of each shop including the objects of the shop and the total cost of this one (see !gure 1). The problem was applied in 2007 to children that were ingrades3and8,ofalltheschoolsthatparticipatedin the research. Likewise, to widen the sample, this problem was applied to children that were in 3rd and 8th grade in other schools.Most of the children observed from the !rst cycle (8 to 10years)showedcapacitiestoapproachtheproblem and explore different procedures to !nd a solution. The most widely used was to associate the $2,000 difference between both purchases to the value of one pizza, then, with this fact, calculate the cost of the soft drink. Another oftheproceduresusedwastosupposeaprioriadeter-mined cost for one of the products (pizza or soft drink) andfromtherecalculatethepriceoftheotherproduct inonepurchaseandanotherandseeifthesecoincide. In case it did not, they varied the initial proposed value and repeated the process.A third strategy observed, was fromthevignetteofthesecondpurchase(threepizzas and three soft drinks cost $9,000) to associate the whole of one pizza with one soft drink, the price of $3,000, then use such information to assign the soft drink the differ-encebetweenthe$7,000fromthecostofthe!rstpur-chase and the $6,000 that he two pizzas cost with two of the soft drinks from that purchase. Most of the students observed from the second cycle (9 to 14years)werenotcapableofapproachingtheproblem, andthusgavenoanswer. Amongthegroupofstudents thatdidanswer,themostfrequentanswerwastodivide thepriceofeachpurchasebythequantityofproducts, thiswaygivingthesamecosttothepizzaandthesoft drink,assumingthattherewasnorelationbetweenboth purchases.Theprevalentstrategyusedbythosestudentsthatan-swered correctly was trial and error, and no other alterna-tive strategies were used.Weacknowledge!nancialsupportfromtheComisin NacionaldeInvestigacinCient!cayTecnolgica, form Chili (grant FONDECYT n1050234).A study of didactics phenomena related to arithmetic teaching in Chilean primary schoolEspinoza, Lorena1; Barb, Joaqun2 y Glvez, Grecia21 Departamento de Matemticas. Universidad de Santiago de Chile2 Grupo Flix Klein. Universidad de Santiago de Chilelorespinoz@gmail.comquimbarbe@gmail.comgrecia.galvez@gmail.com