estudio parametrico de un sistema de segundo orden

Contreras Custodio Ángel Alberto Universidad Veracruzana

Página 1

Estudio paramétrico de un Sistema

de Segundo Orden

Contreras Custodio Ángel Alberto

Proyecto 2


Página 2

Introducción

Objetivo

Resultados

Discusiones

Conclusiones

Bibliografía

Pág. 3

Pág. 4

Pág. 5

Pág. 11

Pág. 14

Pág. 15

Índice


Página 3

[1] Control automático con herramientas interactivas, Editorial Pearson, Capítulo 6, la función de

transferencia de dos sistemas en serie G1(s) y G2(s)

Los sistemas de segundo orden, tal y como su nombre indica, se pueden

describir mediante una ecuación diferencial normalizada de segundo orden del

tipo:

Donde Y(t) y X(t) son la salida y la entrada del sistema respectivamente.

Existen sistemas con dinámicas de segundo orden “puras” o formadas por la

combinación de dos sistemas de primer orden en serie (producto de dos

funciones de transferencia de primer orden [1]).

Para el estudio del comportamiento del sistema agruparemos las

constantes a2, a1, a0 y b. Formando nuevos parámetros 𝜏 (constante del

tiempo), ζ (tasa de amortiguamiento) y Κ (ganancia del sistema), siendo estos

parámetros igual a:

𝜏 = √𝑎2

𝑎0

Quedando una ecuación más favorable para su estudio y posterior solución:

La función de transferencia estándar de un sistema de segundo orden viene dada

por:

𝐺(𝑠) =𝑌(𝑠)

𝑋(𝑠)=

𝐾

𝜏2𝑆2 + 2𝜏𝜁𝑆 + 1

Introducción


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Nuestro estudio se basara en el comportamiento general de un sistema

de segundo orden, el cual se rige por la siguiente ecuación diferencial de

Segundo Orden y Lineal:

Dicha ecuación se estudia con dos parámetros:

𝜏 = √𝑎2

𝑎0

Conocíamos como; (tau) es la constante de tiempo y K es la ganancia

del estado estable o ganancia del proceso, y ahora entra en juego un nuevo

parámetro ζ (zeta) la tasa de amortiguamiento. Quedando una ecuación general

que nos ayudara más a entender el comportamiento de dicho sistema.

Aplicando la trasformada de Laplace para la solución de dicho sistema

nos dará una ecuación en el dominio de Laplace conocida como función de

transferencia para un sistema de segundo orden.

𝐺(𝑠) =𝑌(𝑠)

𝑋(𝑠)=

𝐾

𝜏2𝑆2 + 2𝜏𝜁𝑆 + 1

Para nuestro caso de estudio someteremos a la función de transferencia

a 3 tipos de perturbaciones (impulso, escalón y rampa). Estudiaremos su

comportamiento gráfico y daremos definiciones sobre su comportamiento, dicho

estudio nos ayudara a comprender más el comportamiento de este tipo de

sistemas. Esta será la función que vamos a estudiar:

sxSS

Ksy

1222

Donde la función x(s) tomara los valores en el dominio de la place del

comportamiento de un impulso, un escalón y una rampa, para así entender su

comportamiento en el dominio del tiempo.

Objetivo


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El grafico 1-E nos representa el

comportamiento de la función de

transferencia con respecto a la respuesta

a un escalón cuando esta varía con

respecto a la constante (a2).



transferencia con respecto a la respuesta

a un escalón cuando esta varía con

respecto a la constante (a1).



transferencia con respecto a la

respuesta a un escalón cuando esta

varía con respecto a la constante (a2).

Resultados

Grafico 1-E

Grafico 2-E

Grafico 3-E

Respuesta a un Escalón


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El grafico 1-M nos representa el



respuesta a un impulso cuando esta





respuesta a un impulso cuando esta

varía con respecto a la constante

(a1).




respuesta a un impulso cuando

esta varía con respecto a la

constante (a0).

Respuesta a un Impulso

Grafico 1-M

Grafico 2-M

Grafico 3-M


Página 7

El grafico 1-R nos representa el



respuesta a una rampa cuando esta











varía con respecto a la constante

(a0).

Respuesta a una Rampa

Grafico 1-R

Grafico 2-R

Grafico 3-R


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Tabla de comparación y análisis del sistema sometido a un escalón, cuando varía la constante a2:

Calculamos la Tasa de estancamiento:

Calculamos el sobre impulso:

Tasa de Constante Tiempo Sobre Periodo de Tasa de Tiempo de Tipo de

Varia Amortg. del Tiempo de Subida Impulso Oscilación Deca. Estanc. Amortiguación

a2 a1 a0 ζ (zeta) τ (tau) t B T B/C 5 τ/ζ Respuesta

0.1 1 1 1.5811 0.3162 2.1972 N/A N/A N/A 2.5 Sobre

0.2 1 1 1.1180 0.4472 2.1972 N/A N/A N/A 2.5 Sobre

0.26 1 1 0.9806 0.5099 4.0841 1.51E-07 16.3363 2.27E-14 2.5 Sub

0.3 1 1 0.9129 0.5477 2.1074 0.0009 8.4298 0.00000 2.5 Sub

0.4 1 1 0.7906 0.6325 1.6223 0.0173 6.4892 0.00030 2.5 Sub

0.5 1 1 0.7071 0.7071 1.5708 0.0432 6.2832 0.00187 2.5 Sub

1 1 1 0.5000 1.0000 1.8138 0.1630 7.2552 0.02658 2.5 Sub

2 1 1 0.3536 1.4142 2.3748 0.3050 9.4993 0.09303 2.5 Sub

3 1 1 0.2887 1.7321 2.8417 0.3878 11.3667 0.15040 2.5 Sub

4 1 1 0.2500 2.0000 3.2446 0.4443 12.9785 0.19744 2.5 Sub

5 1 1 0.2236 2.2361 3.6037 0.4864 14.4146 0.23658 2.5 Sub

6 1 1 0.2041 2.4495 3.9304 0.5194 15.7216 0.26978 2.5 Sub

7 1 1 0.1890 2.6458 4.2322 0.5463 16.9288 0.29844 2.5 Sub

8 1 1 0.1768 2.8284 4.5140 0.5688 18.0559 0.32352 2.5 Sub

9 1 1 0.1667 3.0000 4.7792 0.5880 19.1169 0.34575 2.5 Sub

10 1 1 0.1581 3.1623 5.0306 0.6047 20.1223 0.36564 2.5 Sub

𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 = 𝑒−(

𝜁𝜏⁄ )𝑇

= 𝑒−2𝜋𝜁

√1−𝜁2⁄


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Para posteriormente despejemos de la formula el Periodo:

Según la aproximación para calcular el tiempo de subida tR: 𝑡𝑅 = 𝑇4⁄ esto para sistemas subamortiguados.

Y para sistemas Sobreamoriguados: 𝑡𝑅 = 2 𝜏 𝜁 𝐿𝑛(9) 𝜁 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 > 1 ecuación tomada del documento; Propuestas de fórmulas

para sistemas de segundo orden, Universidad ORT Uruguay, Ing. André Fonseca al 2006.



Varia Amortg. Del Tiempo. de Subida Impulso Oscilación Deca. Estanc. Amortiguación

a2 a1 a0 ζ (zeta) τ (tau) t B T B/C 5 τ/ζ Respuesta

1 0.1 1 0.05 1.0000 1.5728 0.8545 6.2911 0.7301 0.2500 Sub

1 0.2 1 0.1 1.0000 1.5787 0.7292 6.3148 0.5318 0.5000 Sub

1 0.26 1 0.13 1.0000 1.5842 0.6624 6.3370 0.4388 0.6500 Sub

1 0.3 1 0.15 1.0000 1.5888 0.6209 6.3551 0.3855 0.7500 Sub

1 0.4 1 0.2 1.0000 1.6032 0.5266 6.4127 0.2773 1.0000 Sub

1 0.5 1 0.25 1.0000 1.6223 0.4443 6.4892 0.1974 1.2500 Sub

1 1 1 0.5 1.0000 1.8138 0.1630 7.2552 0.0266 2.5000 Sub

1 1.9 1 0.95 1.0000 5.0306 7.06E-05 20.1223 4.99E-09 4.7500 Sub

1 3 1 1.5 1.0000 6.5917 N/A N/A N/A 7.5000 Sobre

1 4 1 2 1.0000 8.7889 N/A N/A N/A 10.0000 Sobre

1 5 1 2.5 1.0000 10.9861 N/A N/A N/A 12.5000 Sobre

1 6 1 3 1.0000 13.1833 N/A N/A N/A 15.0000 Sobre

1 7 1 3.5 1.0000 15.3806 N/A N/A N/A 17.5000 Sobre

1 8 1 4 1.0000 17.5778 N/A N/A N/A 20.0000 Sobre

1 9 1 4.5 1.0000 19.7750 N/A N/A N/A 22.5000 Sobre

1 10 1 5 1.0000 21.9722 N/A N/A N/A 25.0000 Sobre

𝑃𝑒𝑟𝑖𝑑𝑜 = 𝑇 =2𝜏𝜋

√1 − 𝜁2


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Sabiendo el valor de dichos parámetros sin necesidad de observar un gráfico podemos saber el comportamiento de nuestro

sistema, pues estos parámetros ayudan a imaginar el movimiento del sistema dándonos a conocer si sería un sistema que podemos

estudiar o simplemente no nos serviría como objeto de estudio.


Varia Amortg. Del Tiempo. de Subida Impulso Oscilación Deca. Estanc. Amortiguación

b a2 a1 a0 ζ (zeta) τ (tau) t B T B/C 5 τ/ζ Respuesta

1 1 1 0.1 1.5811 3.1623 21.9722 N/A N/A N/A 25.0000 Sobre

1 1 1 0.2 1.1180 2.2361 10.9861 N/A N/A N/A 12.5000 Sobre

1 1 1 0.26 0.9806 1.9612 15.7080 1.51E-07 6.28E+01 2.27E-14 9.6154 Sub

1 1 1 0.3 0.9129 1.8257 7.0248 0.0009 28.0993 7.91E-07 8.3333 Sub

1 1 1 0.4 0.7906 1.5811 4.0558 0.0173 16.2231 0.0003 6.2500 Sub

1 1 1 0.5 0.7071 1.4142 3.1416 0.0432 12.5664 0.0019 5.0000 Sub

1 1 1 1 0.5000 1.0000 1.8138 0.1630 7.2552 0.0266 2.5000 Sub

1 1 1 1.9 0.3627 0.7255 1.2229 0.2944 4.8915 0.0867 1.3158 Sub

1 1 1 3 0.2887 0.5774 0.9472 0.3878 3.7889 0.1504 0.8333 Sub

1 1 1 4 0.2500 0.5000 0.8112 0.4443 3.2446 0.1974 0.6250 Sub

1 1 1 5 0.2236 0.4472 0.7207 0.4864 2.8829 0.2366 0.5000 Sub

1 1 1 6 0.2041 0.4082 0.6551 0.5194 2.6203 0.2698 0.4167 Sub

1 1 1 7 0.1890 0.3780 0.6046 0.5463 2.4184 0.2984 0.3571 Sub

1 1 1 8 0.1768 0.3536 0.5642 0.5688 2.2570 0.3235 0.3125 Sub

1 1 1 9 0.1667 0.3333 0.5310 0.5880 2.1241 0.3457 0.2778 Sub

1 1 1 10 0.1581 0.3162 0.5031 0.6047 2.0122 0.3656 0.2500 Sub


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En un estudio más detallado, donde se aprecia y se analiza los tres parámetros

más importantes [ (tau), K y ζ (zeta)], podremos concluir con estos resultados:

En la figura 1-D-ESC aprecian los cambios del sistema y su

comportamiento cuando es sometido a una perturbación de tipo escalón, según

como varían cada constante (a2, a1 y a0) y dando un valor de ζ (zeta) distinto

observándose los tipos de oscilación que adquiere y la ganancia del sistema para

cada caso particular, que nos indica en qué valor el sistema va alcanzar la

estabilidad en un tiempo t.

1ra observación de la gráfica: Se aprecia cuando varía a0, la ganancia del

sistema va disminuyendo y hace que el sistema no alcance un valor estable

hasta que ζ sea aproximadamente igual a cero.

2da observación de la gráfica: Se aprecia cuando varía a1, 𝜏 (tau) se

mantiene constante y el periodo de oscilación T es aproximadamente igual entre

los gráficos.

3ra observación de la gráfica: Se aprecia cuando varía a2, que entre más

pequeña es ζ la oscilación será mayor, la cresta positiva se ira haciendo más

grande positivamente y la cresta negativa ser ara más grande negativamente.

Discusiones

Figura 1-D-ESC


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En la figura 2-D-IMP nos muestran el comportamiento de un Sistema de

Segundo Orden sometido a una perturbación de tipo Impulso, su análisis y

comparación de los parámetros más importantes K y ζ (zeta) que son de suma

importancia para los sistemas de Segundo Orden. Este mismo grafico está en

función de la variación de las constantes (a2, a1 y a0) para su mejor comprensión

y estudio.

1ra observación de la gráfica: Se aprecia cuando varía a0, cuando ζ va

disminuyendo la oscilación es mayor y la cresta positiva decrece, mientras que

la cresta negativa crece.

2da observación de la gráfica: Se aprecia cuando varía a1, 𝜏 (tau) se

mantiene constante y el periodo de oscilación T es aproximadamente igual entre

los gráficos y amabas crestas (negativa y positiva) crecen con forme ζ se hace

más pequeña.


pequeña es ζ la oscilación será mayor, la cresta positiva se ira haciendo más

grande positivamente y la cresta negativa no crece en ningún caso.

Figura 2-D-IMP


Página 13

En la figura 3-D-RAM nos muestran el comportamiento de un Sistema de

Segundo Orden sometido a una perturbación de tipo Rampa, su análisis y

comparación de los parámetros más importantes K y ζ (zeta). El grafico está en

función de la variación de las constantes (a2, a1 y a0) para su mejor comprensión

y estudio.

1ra observación de la gráfica: Se aprecia cuando varía a0, cuando ζ va

disminuyendo la rampa va haciéndose más inclinada pues la ganancia del

sistema (K) va disminuyendo.

2da observación de la gráfica: Se aprecia cuando varía a1, cuando ζ va

aumentando la rampa se va inclinando pero la ganancia del sistema (K)

permanece constante. La separación entre cada línea es constante ya que 𝜏 (tau)

permanece constante para todos los casos.


pequeña es ζ la oscilación será mayor, y oscilara en toda la rampa.

Figura 3-D-RAM


Página 14

Un sistema de Segundo Orden describe su comportamiento y su

tendencia o estabilidad mediante los tres factores [ (tau), K y ζ (zeta)], la

constante del tiempo, la ganancia del sistema y la tasa de amortiguamiento, los

cuales nos indicaran en que tiempo y momento serán estables o si no lo serán.

Los sistemas siempre se comportaran dependiendo de la perturbación a

la cual sea sometida, y esta misma dará a conocer si es estable o no lo es, con

el simple hecho de conocer los valores de esos tres parámetro sabremos como

el sistema puede comportarse y si tiene una tendencia a seguir, y por conclusión

si el sistema es estable y si nos conviene su estudio o no, dicho comportamiento

estable es el que nos servirá para entender el sistema y saber si es seguro.

Códigos Utilizados en Scilab para la simulación de los sistemas

s=%s; a0=1; a1=1; a2=1; b=1; tau=(a2/a0)^0.5; zeta=a1/(2*tau*a0); K=b/a0; num=K;den=1+2*zeta*tau*s+(tau^2 )*s^2; g=num/den; disp (K,"K=",zeta,"zeta=",tau,"tau=",g,"G(s)=") polos=roots(den) disp("polos="),disp(polos) TF=syslin("c",num,den) t=linspace(0,25,500); step_res=csim("step",t,TF); plot(t,step_res),xgrid () , xtitle ( 'Respuesta a un Escalón','tiempo','Respuesta Y(t)'); imp_res=csim("imp",t,TF); plot(t,imp_res),xgrid(),xtitle("Respuesta a un Impulso","Tiempo","Respuesta"); ramp_res=csim(t,t,TF); plot(t,ramp_res),xgrid(),xtitle("Respuesta a una Rampa","Tiempo","Respuesta");

Conclusiones


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Control Automático de Procesos (Teoría y Práctica), Smith & Corripio.

Apuntes de Control Distribuido, Depto. Ingeniería de Sistemas y

Automática, Universidad de Sevilla, Sevilla, España.

Software de Simulación:

© Scilab Enterprises S.A.S 2013, Software Libre.

Control automático con herramientas interactivas, Editorial Pearson,

Capítulo 6.

Documento de Trabajo: Propuesta de fórmulas para sistemas de

segundo orden, Ing. André Fonseca, Universidad ORT, Uruguay, Agosto

2006.

Bibliografía

estudio parametrico de un sistema de segundo orden

Education