estudo das funções
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Estudo das Funções• Função Afim ou
Linear (1º grau)• Função
Quadrática (2º grau)
• Função Exponencial
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Para que estudar as Funções?
•Em nosso dia-a-dia, estamos sempre comparando e relacionando números, grandezas e formas.
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Exemplos
Número de questões que acertei num teste, com a nota que vou
tirar;
Velocidade média do automóvel, com o tempo de duração de
uma viagem;
Número de pães que vou comprar, com o preço a pagar.
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Para fazer esta tabela, a dona Ana faz o seguinte cálculo:
Preço a pagar = 0,20. nº de pães.
Dizemos que o preço a pagar (y) é função do número de pães (x), pois para cada quantidade de pães existe um único preço y a pagar.Y = 0,20.x
Na padaria da Ana tem uma tabela para facilitar o trabalho do caixa:
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Função Afim e Linear
1º Grau
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Definição de Função Afim (1º Grau)
Uma função f: R→R chama-se função afim,
quando existem dois números reais a e b que
f(x) = ax + b. Para todo x ϵ R.
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Gráfico da Função Afim
• Podemos representar os pares ordenados no plano cartesiano e fazer o gráfico da função.
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Y = X + 1
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Questão 1
Em uma certa cidade, os taxistas cobram R$2,50, a bandeirada, mais R$1,50 por quilômetro rodado. Como é possível para um passageiro determinar o valor da corrida?
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Resolução
Podemos verificar que o valor cobrado é sempre R$ 2,50, somado com R$1,50 e multiplicado pela quantidade de quilômetros rodados.Considerando x a quantidade de quilometro e y o valor cobrado, temos: Y = 1,50x + 2,50
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Gráfico da Função
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Função Quadrática2º grau
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Definição de Função Quadrática (2º grau)
Seja a, b e c números reais e a ≠ 0. A função f :R→R tal
que f(x) = ax² + bx + c para todo x Є R, é chamada
função polinomial do 2º grau ou função quadrática.
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Exemplos
• y = 5x² - 3x + 8• y = -2x² + x• g(x) = x² -
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Gráfico da Função do 2º grau
f(x)= x² :Como na função do 1º grau, basta atribuir valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y.
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Raízes da Função
Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax² + bx
+c, a ≠ 0, os números reais x tais que f(x) = 0.
Então as raízes da função são as soluções da equação do 2º
grau, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara:2.a
4.a.c-b² ±bx
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Observação
A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor
obtido para o radicando , chamado discriminante, a saber:
quando é positivo, há duas raízes reais e distintas;
quando é zero, há só uma raiz real;
quando é negativo, não há raiz real.
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PONTO DE INTERSECÇÃO DA PARÁBOLA COM O EIXO 0y
Para obter esse ponto, atribuímos o valor zero à variável x da equação da parábola f(x) = ax² + bx +c
y = a.0² + b.0 + cy = c
Logo, o ponto de intersecção da parábola com o eixo oy é (0, c).
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Para esboçar o gráfico da função y = x² - 6x + 5, vamos obter os pontos de intersecção da parábola com os eixos 0x e 0y .Fazendo y = 0, achamos as raízes:
Assim, a parábola intersecta o eixo 0x nos pontos (1, 0) e (5, 0).
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Fazendo x = 0, temos: y = 0² - 6.0 + 5 = 0
y = 5
Portanto, a parábola intersecta o eixo 0y no ponto (0, 5). Desse modo, o esboço do gráfico da função y = x² - 6x + 5 é:
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Máximo e Mínimo da Função Quadrática
Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para
cima e um ponto de mínimo V; quando a < 0, a parábola
tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo
V.
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Máximo e Mínimo da Função Quadrática
Em qualquer caso, as coordenadas de V são . Veja os gráficos:)4
,2
(aa
b
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Exemplo
O vértice da parábola da equação y = x² - 6x + 5 é dado por V(Xv, Yv), em que:
Portanto o vértice da parábola é o ponto v(3, -4).
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Questão 2
• Há dois números em que o triplo do quadrado é igual a 15 vezes esses números. Quais números são esses?
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Função Exponencial
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Definição de Função Exponencial
•É uma função f: , definida por f(x)=ax ou y=ax,
que atende as seguintes restrições a > 0 e a ≠ 1.
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Gráfico da Função Exponencial
Gráfico de uma função é o desenho da relação existente entre dois objetos “X
e Y” e no caso da Função Exponencial, essa relação apresenta a seguinte
característica:
se a > 1 “Função Crescente”
se 0 < a < 1 “Função Decrescente”, onde “a” representa a base da função:
f(x)=ax ou y=ax.
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Questão 3
• Uma cultura, inicialmente com 100 bactérias, reproduz-se em condições ideais. Suponha que, por divisão celular, cada bactéria dessa cultura dê origem a duas outras bactérias idênticas por hora.
1. Qual a população dessa cultura após 3 horas do instante inicial?
2. Depois de quantas horas a população dessa cultura será de 51200 bactérias?